Giáo án Toán Lớp 6 - Bài: Một số bài toán về ƯCLN và Ứng dụng - Năm học 2022-2023 - Hoàng Thị Như Quỳnh

Nội dung text: Giáo án Toán Lớp 6 - Bài: Một số bài toán về ƯCLN và Ứng dụng - Năm học 2022-2023 - Hoàng Thị Như Quỳnh

1. GIÁO ÁN DẠY THấM SỐ HỌC 6 NĂM HỌC: 2022-2023 Ngày soạn: 11/11/2022 Ngày dạy: 14/11/2022 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ƯCLN. ỨNG DỤNG A. MỤC TIấU 1. Kiến thức: - HS được củng cố, khắc sõu cỏc kiến thức về ước chung lớn nhất và một số ứng dụng của ước chung lớn nhất. 2. Kĩ năng: - HS biết vận dụng cỏc kiến thức đó học để giải cỏc bài toỏn liờn quan. 3. Thỏi độ: - Rốn cho HS tư duy chớnh xỏc, cỏch trỡnh bày lời giải. B. TIẾN TRèNH LấN LỚP I. Kiến thức - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp cỏc ước chung của cỏc số đú. Ước chung lớn nhất của a và b, kớ hiệu là ƯCLN(a,b) hoặc gọn hơn (a,b). - a và b nguyờn tố cựng nhau ⟺( , ) = 1. Ba số a, b, c đụi một nguyờn tố cựng nhau nếu ( , ) = 1, ( , ) = 1,( , ) = 1. - Nếu . ⋮ mà ( , ) = 1 thỡ ⋮ . - Cho ( , ) = . Nếu chia a và b cho d thỡ thương của chỳng là những số nguyờn tố cựng nhau. Núi cỏch khỏc, nếu ( , ) = thỡ = . ; = .푛 trong đú ( ,푛) = 1. II. Bài tập vận dụng Dạng 1: Tỡm ƯCLN của biểu thức số Phương phỏp giải: ☑￿ Dựa vào tớnh chất chia hết của một tổng, cỏc kiến thức liờn quan đến tỡm ƯCLN của hai số lớn hơn 1. Bài 1: Tỡm Ư 퐿 (2푛 + 1,2푛 + 3). Giải Gọi Ư 퐿 (2푛 + 1,2푛 + 3) = . ( ∈ ℕ∗) 2n 1 chia hết cho d và 2n 3 chia hết cho d 2n 3 2n 1 chia hết cho d GV: HOÀNG THỊ NHƯ QUỲNH 1 TRƯỜNG THCS YấN PHONG
2. GIÁO ÁN DẠY THấM SỐ HỌC 6 NĂM HỌC: 2022-2023 2 chia hết cho d ⟹ ∈ Ư(2). Ta cú: Ư(2) = {1;2} Vỡ 2n 1 và 2n 3 là số lẻ nờn d khụng thể bằng 2 d 1 Vậy Ư 퐿 (2푛 + 1,2푛 + 3) = 1 (đpcm) Bài 2: Tỡm ƯCLN của n 3 và 2n 5 Giải Gọi Ư 퐿 (푛 + 3,2푛 + 5) = . ( ∈ ℕ∗) Khi đú ta cú : n 3d 2 n 3 d 2 n 3 2n 5 d 1d d ệ (1) 1 2n 5d 2n 5d Khi đú Ư 퐿 (푛 + 3,2푛 + 5) = 1 Bài 3: Tỡm ƯCLN của hai số tự nhiờn a và a 2 Giải Gọi Ư 퐿 ( , + 2) = . ( ∈ ℕ∗) ad Khi đú ta cú : a 2 ad 2d d ệ (2) 1;2 a 2d TH1: d 1khi a;a 2 1 a  2 TH2: d 2 khi a;a 2 2 a2 Vậy Ư 퐿 ( , + 2) = 1 khi a  2 Ư 퐿 ( , + 2) = 2 khi a2 Bài 4: Tỡm ƯCLN của 2n 1 và 9n 4 Giải Gọi Ư 퐿 (2푛 ― 1,9푛 + 4) = . ( ∈ ℕ∗) Khi đú ta cú : 2n 1d 9 2n 1 d 2 9n 4 9 2n 1 d 17d d ệ (17) 1;17 9n 4d 2 9n 4 d GV: HOÀNG THỊ NHƯ QUỲNH 2 TRƯỜNG THCS YấN PHONG
3. GIÁO ÁN DẠY THấM SỐ HỌC 6 NĂM HỌC: 2022-2023 TH1: d 1khi 2n 1;9n 4 1 2n 117 2n 1 1717 2n 1817 2(n 9)17 n 9 17 n 17k 9 k N TH2: d 17khi 2n 1;9n 4 17 2n 117 2n 1 1717 2n 1817 2(n 9)17 n 917 n 17k 9 k N Vậy Ư 퐿 (2푛 ― 1,9푛 + 4) = 1 khi n 17k 9 k N Ư 퐿 (2푛 ― 1,9푛 + 4) = 17 khi n 17k 9 k N Dạng 2: Chứng minh hai số nguyờn tố cựng nhau Phương phỏp giải chung (nếu cú): Giả sử d a, b ☑￿ Cỏch 1: Chỉ ra d 1 ☑￿ Cỏch 2: +) Giả sử d 1 d 2 ( phương phỏp phản chứng) +) Gọi p là ước nguyờn tố của d +) Chỉ ra rằng p 1 ( vụ lý) +) Kết luận : d 1 Bài 5: Chứng minh rằng: a) Hai số tự nhiờn liờn tiếp (khỏc 0) là hai số nguyờn tố cựng nhau. b) Hai số tự nhiờn lẻ liờn tiếp là hai số nguyờn tố cựng nhau. Giải a) Gọi Ư 퐿 (푛,푛 + 1) = ( ∈ ℕ∗) nd Khi đú ta cú : n 1 nd 1d d 1 n 1d Ư 퐿 (푛,푛 + 1) = 1 Vậy hai số n và n 1 là hai số nguyờn tố cựng nhau. b) Gọi Ư 퐿 (2푛 + 1,2푛 + 3) = ( ∈ ℕ∗) Khi đú ta cú : 2n 3 2n 1 d 2d d ệ 2 d 1;2 Mà ta lại cú 2n 1d mà 2n 1 là số lẻ nờn d 2 , do đú d 1 Ư 퐿 (2푛 + 1,2푛 + 3) = 1 GV: HOÀNG THỊ NHƯ QUỲNH 3 TRƯỜNG THCS YấN PHONG
4. GIÁO ÁN DẠY THấM SỐ HỌC 6 NĂM HỌC: 2022-2023 Vậy hai số 2n 1 và 2n 3 là hai số nguyờn tố cựng nhau Bài 6: Cho m là số tự nhiờn lẻ, n là số tự nhiờn, CMR: m và m.n 4 là hai số nguyờn tố cựng nhau Giải Giả sử: m và m.n 4 cựng chia hết cho số tự nhiờn d , khi đú ta cú: md m.nd 4d d ệ 4 1;2;4 m.n 4d m.n 4d Do md và m lẻ d 2 hoặc d 4 loại Vậy d 1 Khi đú m và m.n 4 là hai số nguyờn tố cựng nhau Bài 7: Tỡm số tự nhiờn n để 4n 3,2n 3 nguyờn tố cựng nhau Giải Giả sử: 4n 3 và 2n 3 cựng chia hết cho số nguyờn tố d, thỡ 2 2n 3 4n 3 d 3d d 1;3 Để 2 số trờn nguyờn tố cựng nhau thỡ d 3 4n 3 3 4n  3 n  3 n 3k k Ơ Dạng 3: Tỡm hai số khi biết ƯCLN Phương phỏp giải chung (nếu cú): a d.m Nếu ƯCLN a,b d thỡ b d.n * m,n 1và m, n Ơ Bài 8: Tỡm hai sụ tự nhiờn a , b biết a b 162 và ƯCLN a,b 18 Giải Giả sử a b Ta cú ƯCLN a,b 18 Đặt a 18m ; b 18n; m,n 1 và m n; m,n Ơ * Từ a b 162 18 m n 162 m n 9 Do m n; m,n 1 ta lập bảng: m 1 2 4 GV: HOÀNG THỊ NHƯ QUỲNH 4 TRƯỜNG THCS YấN PHONG
5. GIÁO ÁN DẠY THấM SỐ HỌC 6 NĂM HỌC: 2022-2023 n 8 7 5 a 18.m 18 36 72 b 18.n 144 126 90 Vậy a 18; b 144 a 36; b 126 a 72 ; b 90 Bài 9: Tỡm hai số nhỏ hơn 200 , biờt hiệu của chỳng bằng 90 và ƯCLN là 15 Giải Gọi hai số cần tỡm là a , b a,b Ơ ;a,b 200 Ta cú ƯCLN a,b 15 Đặt a 15m ; b 15n; m,n 1 và m n; m,n Ơ Từ a b 90 15 m n 90 m n 6 15m 200 m 13 Lại cú a,b 200 15n 200 n 13 Với m,n 1;m n và m,n 13 Ta cú bảng m 13 11 7 n 7 5 1 a 15.m 195 65 85 b 15.n 105 75 15 Vậy hai số cần tỡm là 195 và 105 ; 65 và 75; 85 và 15. Bài 10: Tỡm hai số tự nhiờn cú tớch bằng 432 và ƯCLN bằng 6 Giải Gọi hai số cần tỡm là a , b a,b Ơ Giả sử a b Ta cú ƯCLN a,b 6 Đặt a 6m ; b 6n ; m,n 1 và m n; m,n Ơ Từ a.b 432 36.m.n 432 m.n 12 Với m,n 1; m n ta cú bảng m 1 3 n 12 4 a 6.m 6 18 b 6.n 72 24 Vậy hai số cần tỡm là 6 và 72; 18 và 24. GV: HOÀNG THỊ NHƯ QUỲNH 5 TRƯỜNG THCS YấN PHONG
6. GIÁO ÁN DẠY THấM SỐ HỌC 6 NĂM HỌC: 2022-2023 Bài 11: Tỡm hai số a , b biết 7a 11b và ƯCLN a,b 45 Giải Ta cú: 7a 11b a b Lại cú ƯCLN a,b 45 Đặt a 45m; b 45n ; m,n 1 và m n; m,n Ơ Từ 7a 11b a 11 b 7 m 11 m 11 (vỡ m,n 1) n 7 n 7 Nờn a 45.11 495 b 45.7 315 Vậy a 495 và b 315 Vậy cú hai cặp số cần tỡm là a,b 24;30 ; 30;24  . III. Bài tập về nhà: Bài 1. Cho n là số tự nhiờn, Tỡm ƯCLN của a, 21n 5 và 14n 3 b, 18n 2 và 30n 3 c, 24n 7 và 18n 5 Bài 2. Tỡm n để 9n 24 và 3n 4 là hai số nguyờn tố cựng nhau (푛 ∈ ℕ∗) Bài 3. HSG Sụng Lụ - năm 2019) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ 2n 1và 6n 5 là hai số nguyờn tố cựng nhau. Bài 4. Tỡm hai số tự nhiờn biết rằng: a) Hiệu của chỳng bằng 84 ; ƯCLN bằng 28 cỏc số đú trong khoảng từ 300 đến 400 . b) Hiệu của chỳng bằng 48; ƯCLN bằng 12 . Bài 5. ( - Năm 2017) Tỡm hai số tự nhiờn biết tổng của chỳng bằng 84 và ước chung lớn nhất của chỳng bằng 6 . GV: HOÀNG THỊ NHƯ QUỲNH 6 TRƯỜNG THCS YấN PHONG