Giáo án Toán Lớp 6 - Bài: Một số bài toán về Bội chung và Bội chung nhỏ nhất - Năm học 2022-2023

Nội dung text: Giáo án Toán Lớp 6 - Bài: Một số bài toán về Bội chung và Bội chung nhỏ nhất - Năm học 2022-2023

1. Ngày soạn: 11/11/2022 Ngày dạy: 14/11/2022 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BỘI CHUNG – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT A. Mục tiêu Kiến thức: - Hiểu khái niệm bội chung, bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số. - Nhận biết được mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất Kĩ năng : - Biết cách tìm bội chung của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. - Biết tìm bội chung thông qua tìm bội chung nhỏ nhất. - Tìm được bội chung nhỏ nhất của hai số khi biết ước chung lớn nhất của chúng. - Thực hành vận dụng giải một số dạng toán liên quan đến bội chung và bội chung nhỏ nhất. Thái độ: Rèm tính cẩn thận, chính xác B. Tiến trình dạy học I. Kiến thức cơ bản 1. Bội chung Bội chung Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. xa xa x BC(a,b) x BC(a,b,c) xb xb xc 2. Bội chung nhỏ nhất Bội chung nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b) hay [a, b] Nhận xét : - BCNN(a, 1) = a. - BCNN(a, b, 1) = BCNN(a,b). 3. Cách tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố Ta thực hiện theo ba bước sau : Bước 1 : Phân tích các thừa số ra thừa số nguyên tố. Bước 2 : Chọn ra các thừa số chung và riêng. Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
2. Chú ý: - Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó - Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy. Nếu ca,cb BCNN(a,b,c) c 4. Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó. II. Kiến thức bổ sung 1. Nếu a.bc và ƯCLN(b,c) = 1 thì ac 2. Nếu am,an aBCNN(m,n) . Đặc biệt nếu (m,n) = 1 thì am.n q a.m 3. Nếu BCNN(a,b) q q a.n UCLN(m,n) 1 4. ƯCLN(a,b). BCNN(a,b) = a.b III. Bài tập vận dụng Dạng 1: TÌm BC, BCNN của 2 hay nhiều số Bài 1. Hãy xác định : BCNN(8, 18, 28); BCNN(9, 26); BCNN(150, 25, 75) Giải : a. Ta lần lượt thực hiện : Phân tích các số ra thừa số nguyên tố : 8 = 23; 18 = 2.32; 28 = 22.7 Chọn ra thừa số nguyên tố chung và riêng : 2, 3, 7 Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 3, thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 2 và 7 có số mũ lón nhất là 1. Khi đó : BCNN(8, 18, 28) = 23.32.7 = 504 b. Nhận xét rằng : ƯCLN(9, 26) = 1 do đó, suy ra : BCNN(9, 26) = 9.26 = 243. c. Nhận xét rằng : 150 25; 150  75. Do đó, suy ra : BCNN(150, 25, 75) = 150 Bài 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180. Hướng dẫn giải Ta có: 40 23.5;180 22.32.5 BCNN(40,180) 23.32.5 360 BC(40,60) B(360) 0;360;720; 
3. Vậy các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180 là 0 và 360 Dạng 2: Bài toán quy về tìm BC, BCNN của 2 hay nhiều số Bài 3/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a  15 a 18 Hướng dẫn giải: Vì a  15 ; a 18 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(15,18) Ta có 15 =3.5 ; 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy a = 90 Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 , cho 5 , cho 7 được số dư theo thứ tự là 2, 3, 4 Hướng dẫn a 3m 2 (m N) 2a 6m 4, chia cho 3 dư 1 a 5n 3 (n N) 2a 10n 6 chia cho 5 dư 1 a 7 p 4 (p N) 2a 14 p 8, chia cho 7 dư 1 Do đó: 2a 1 BC(3,5,7) . Để a nhỏ nhất thì 2a 1 là BCNN(3,5, 7) BCNN(3,5, 7) 105 2a 1 105 2a 106 a 53 Bài 5. Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1. Hướng dẫn giải: Gọi số cần tìm là a. Vì khi chia a cho 2, 5, 11 đều dư 1 nên ta có: a - 1⋮2; ― 1⋮5; ― 1⋮11 a 1 BC 2,5,11 Mà a bé nhất nên a – 1 bé nhất a 1 BCNN(2,5,11) Ta có BCNN (2,5,11) = 110 => a – 1 = 110 => a = 111 Dạng 3: Một số bài toán thực tế Bài 1: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000?
4. Hướng dẫn giải Gọi số người của đơn vị bộ đội là x (x N) x : 20 dư 15 x – 15 20 x : 25 dư 15 x – 15 25 x : 30 dư 15 x – 15 30 Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35) Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5 => BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x k = 1; 2; 3 60 Chỉ có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615  41 Vậy đơn vị bộ đội có 615 người Bài 2. Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia 10 dư 9. tìm số học sinh của khối 6 Hướng dẫn giải Gọi số HS của khối 6 là a, a ∈ , 235 ≤ ≤ 250 Theo bài ta có: a 23;a 34;a 45;a 56;a 910 a 1 đều chia hết cho 3; 4; 5; 6; 10 Hay a + 1 ∈ (3,4,5,6,10) Ta có BCNN(3,4,5,6,10) = 60 nên a + 1 ∈ (60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300 } Do 235 ≤ ≤ 250 nên 236 ≤ + 1 ≤ 251 => a + 1 = 240 hay a = 239 Vậy số HS khối 6 của trường là 239 học sinh. Dạng 4: Một số bài toán liên hệ giữa ƯCLN và BCNN Bài 1 : Tìm hai số tự nhiên a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.
5. Hướng dẫn giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b. Từ (*), do (a, b) = 16 => a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ;(m, n) = 1 Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = m.n.d = m.n.16 = 240 => m.n = 15 => m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức ( ) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => m.n.162 = 240.16 => m.n = 15. Bài 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Hướng dẫn giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216  mn = 6 => m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 => a = 6, b = 36 hoặc là a = 12, b = 18. IV. Bài tập về nhà Bài 1. Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của các số: 126; 140; 180 Bài 2. Một số tự nhiên khi chia cho 12; 18; 21 đều dư 5. Tìm số đó biết rằng nó xấp xỉ 1000 Bài 3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 dư 5, chia cho 13 thì dư 8. Bài 4. Khối 6 của 1 trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số HS khối 6. Bài 5. Tìm 2 số biết rằng BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng bằng 19