Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 4 - Chủ đề 3: Phép chia số phức

Nội dung text: Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 4 - Chủ đề 3: Phép chia số phức

1. Chủ đề 3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC Thời lượng dự kiến: 2 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Biết cách thực hiện phép chia các số phức được thực hiện như thế nào? - Bài toán tính tổng và tích của hai số phức liên hợp. 2. Kĩ năng - Thực hiện được phép chia hai số phức. 3.Về tư duy, thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. - Tự giác, tích cực trong học tập. - Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, 2. Học sinh + Đọc trước bài + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu:Ôn lại kiến thức phép nhân, phép cộng hai số phức. Đặc biệt hai số phức liên hợp. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 1. Cho số phức z 2 3i . Tính z z và z.z . 1. z z 4, z.z 13 2. Tổng quát cho trường hợp z a bi . Tính z z và z.z 2 . 2. z z 2a, z.z a2 b2 z Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Nắm vững tính chất của tổng và tích hai số phức lien hợp. Biết cách thực hiện phép chia hai số phức. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp *Lấy ví dụ cụ thể, kiểm tra kết quả - Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó. - Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó Như vậy, nếu z a bi thì 2 z z 2a và z.z z Kết quả 1 Ví dụ 1. Hãy thực hiện các phép toán trong bảng dưới đây z z z z z.z z z z z z z z.z z z -2+i -2+i -2-i -4 5 2i 3-4i 3+4i 3-4i 6 25 8i Phương thức tổ chức: Thảo luận nhóm tại lớp , cử đại diện lên trình bày
2. Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động 2. Phép chia hai số phức Kết quả 2 Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn 3 4i 3 4 a. z i a. 3 4i 5z 5 5 5 b. 1 3i z 5 2i 1 17 b. z i Phương thức tổ chức: Thảo luận tại lớp 10 10 (Gợi ý câu b đưa về dạng câu a bằng cách nhân cả hai vế với số phức 1 3i ) Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho: c + di = (a + bi)z Số phức z đgl thương trong phép chia c + di cho a + bi. c di Kí hiệu: z a bi c di Chú ý: Trong thực hành, để tính thương , ta nhân cả tử và a bi mẫu với số phức liên hợp của a bi . Ví dụ 3: Thực hiện các phép chia sau đây Kết quả 3 3 2i 3 2i (3 2i)(2 3i) 12 5 a. a. i 2 3i 2 3i (2 3i)(2 3i) 13 13 1 i 1 i (1 i)(2 3i) 1 5 b. b. i 2 3i 2 3i (2 3i)(2 3i) 13 13 6 3i 6 3i (6 3i)( 5i) 15 30 c. c. i 5i 5i 5i( 5i) 25 25 Phương thức tổ chức: Thảo luận nhóm – cử đại diện lên trình bày C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh hoạt động Ví dụ 4:Thực hiện các phép tính sau Kết quả 4 2 3i 5 1 a. a. i 1 i 2 2 2 2 4 b. b. i 1 2i 5 5 2 i 4 7 c. c. i 3 2i 13 13 Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn Kết quả 5: a. 3 2i z 4 5i 7 3i a. z 1 8 9 b. 1 3i z 2 5i 2 i z b. z i 5 5 z c. z 15 5i c. 2 3i 5 2i 4 3i Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp
3. D,E HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG Mục tiêu: HS vận dụng được các kiến thức đã học để giải quyết một số bài cụ thể và tìm được cách giải quyết bài toán thực tế. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh 1 i i2 i2015 i2016 Kết quả 1. Tính 2 2015 2016 1. z 1 1 i i i i 2. y 1 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z 3i mãn 1 z i IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 1 NHẬN BIẾT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn 1 z 1 i 5 i 0 . Số phức w 1 z bằng A. 1 3i .B. 1 3i .C. 2 3i .D. 2 3i . Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn 1 z 1 i 5 i 0 . Số phức w 1 z bằng A. 1 3i .B. 1 3i .C. 2 3i .D. 2 3i . Lời giải Chọn D Ta có 1 z 1 i 5 i 0 1 z 2 3i z 1 3i . Vậy w 1 z 1 1 3i 2 3i . Câu 3: Gọi a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z 1 3i 1 2i 3 4i 2 3i . Giá trị của a b là A. 7 .B. 7 .C. 31.D. 31. Câu 4: Gọi a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z 1 3i 1 2i 3 4i 2 3i . Giá trị của a b là A. 7 .B. 7 . C. 31.D. 31. Lời giải Chọn B Ta có: z 1 3i 1 2i 3 4i 2 3i 2 1 2i 5 2 3i 12 19i Vậy a b 12 19 7. Câu 5: Cho số phức z có số phức liên hợp z 3 2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng. A. .1B. .C. 5 5 . D. . 1 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 1 2i 2 i . Mô đun của z bằng A. .2B. .C. 1 2 .D. . 10 Câu 7: Cho số phức z có số phức liên hợp z 3 2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng. A. 1.B. 5 .C. 5 .D. 1. Lời giải
4. Chọn C Ta có: z 3 2i . Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5 . Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 1 2i 2 i . Mô đun của z bằng A. 2 .B. 1.C. 2 .D. 10 . Lời giải Chọn C 3 i 1 2i z 1 2i 2 i 1 2i z 3 i z 1 i . Vậy z 2 . 1 2i Câu 9: Cho các số phức z1 2 3i , z2 4 5i . Số phức liên hợp của số phức w 2 z1 z2 là A. w 8 10i .B. w 12 16i .C. w 12 8i .D. w 28i . Câu 10: Cho các số phức z1 2 3i , z2 4 5i . Số phức liên hợp của số phức w 2 z1 z2 là A. w 8 10i .B. w 12 16i .C. w 12 8i .D. w 28i . Lời giải Chọn B Ta có w 2 6 8i 12 16i w 12 16i . 2 THÔNG HIỂU Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 i 13i 1. Tính mô đun của số phức z . 34 5 34 A. z 34 .B. z 34 .C. z .D. z . 3 3 Lời giải Chọn B 1 13i 1 13i Cách 1: Ta có z 2 i 13i 1 z z 34 . 2 i 2 i 2 2 11 27 850 z z 34 . 5 5 25 1 13i Cách 2: Dùng máy tính Casio bấm z . 2 i 2 Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z z với z a bi a, b ¡ ,b 0 . Chọn kết luận đúng. A. M thuộc tia Ox .B. M thuộc tia Oy . C. M thuộc tia đối của tia Ox .D. M thuộc tia đối của tia Oy . Lời giải Chọn C Gọi z a bi 2 z z a bi a bi 2 4b2 . Câu 3: số phức z thỏa mãn z 2 z và z 1 z i là số thực. A. z 1 2i. B. z 1 2i. C. z 2 i. D. z 1 2i. Lời giải
5. Chọn D z 2 z Gọi z x iy với x, y ¡ ta có hệ phương trình z 1 z i ¡ 2 2 x 2 y2 x2 y2 x 2 y2 x2 y2 x 1 x 1 y 1 xy 0 x 1 iy x iy i ¡ x 1 iy x iy i ¡ x 1 y 2 Câu 4: Cho bốn điểm M , N , P , Q là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số i , 2 i , 5 , 1 4i . Hỏi, điểm nào là trọng tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại? A. M .B. N .C. P .D. Q . Lời giải Chọn B Tọa độ các điểm: M 0; 1 , N 2;1 , P 5;0 , Q 1;4 . 0 5 1 2 3 Dễ thấy nên N là trọng tâm của tam giác MPQ . 1 0 4 1 3 Câu 5:Trong các số phức: 1 i 3 , 1 i 4 , 1 i 5 , 1 i 6 số phức nào là số phức thuần ảo? A. 1 i 3 .B. 1 i 4 . C. 1 i 5 .D. 1 i 6 . Lời giải Chọn D Ta có 1 i 2 1 2i i2 1 2i 1 2i . Do đó:  1 i 3 1 i 2 1 i 2i 1 i 2i 2i2 2 2i .  1 i 4 1 i 2 1 i 2 2i.2i 4i2 4 .  1 i 5 1 i 4 1 i 4 1 i 4 4i . 2  1 i 6 1 i 3 2i 3 8i . Câu 6: Cho số phức z thoả mãn 1 i z 1 3i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P , Q ở hình dưới đây? y N 2 M 1 O 1 x P 2 Q A. Điểm Q .B. Điểm P .C. Điểm M .D. Điểm N .
6. Lời giải Chọn C 1 3i 1 3i 1 i 1 3 3i i Ta có z 1 2i . Do đó điểm biểu diễn số phức z là điểm 1 i 2 2 M 1;2 . Câu 7: Phần thực và phần ảo của số phức z 1 2i i lần lượt là A. 1 và 2 .B. 2 và 1. C. 1 và 2 . D. 2 và 1. Lời giải Chọn B Ta có z 1 2i i 2 i . Vậy phần thực của số phức z bằng 2 và phần ảo của số phức z bằng 1. Câu 8: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Điểm biểu diễn của các số phức z 7 bi với b ¡ nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y 7 .B. x 7 .C. y x 7 .D. y x . Lời giải Chọn B Điểm biểu diễn của các số phức z 7 bi với b ¡ là M 7; b . Rõ ràng điểm M 7; b thuộc đường thẳng x 7 . 3 1 3i Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z . Tìm môđun của z iz . 1 i A. 4 2 .B. 4 .C. 8 2 .D. 8 . Lời giải Chọn C 3 1 3i z z 4 4i z 4 4i 1 i iz i 4 4i 4 4i z iz 4 4i 4 4i 8 8i z iz 8 2 8 2 8 2 z 2z 1 Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 i z i 2z 2i . Môđun của số phức w là: z2 A. 10 .B. 8 .C. 10 . D. 8 . Lời giải Chọn A Ta có 1 i z i 2z 2i 3 i z 1 3i z i . z 2z 1 i 2i 1 Suy ra w 1 3i . z2 i2
7. Vậy w 10 . 3 VẬN DỤNG Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 4i và z 3 3i 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 là: A. 13 1. B. 10 1.C. 13 .D. 10 . Lời giải Chọn C 2 2 Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có: z 2i z 4i x2 y 2 x2 y 4 y 3; z 3 3i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I 3;3 và bán kính bằng 1. Biểu thức P z 2 AM trong đó A 2;0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z 2 đạt được khi M 4;3 nên max P 4 2 2 3 0 2 13 . 2 Câu 2: Trong tập các số phức, cho phương trình z 6z m 0 , m ¡ 1 . Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 z2.z2 . Hỏi trong khoảng 0;20 có bao nhiêu giá trị m0 ¥ ? A. 13.B. 11.C. 12.D. 10. Lời giải Chọn D Điều kiện để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt là: 9 m 0 m 9 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 z2.z2 thì 1 phải có nghiệm phức. Suy ra 0 m 9 . Vậy trong khoảng 0;20 có 10 số m0 . Câu 3: Gọi số phức z a bi , a,b ¡ thỏa mãn z 1 1 và 1 i z 1 có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b bằng : A. a.b 2 .B. a.b 2 .C. a.b 1. D. a.b 1. Lời giải Chọn C 2 Theo giả thiết z 1 1 thì a 1 b2 1. Lại có 1 i z 1 có phần thực bằng 1 nên a b 2 .
8. Giải hệ có được từ hai phương trình trên kết hợp điều kiện z không là số thực ta được a 1,b 1 . Suy ra a.b 1. Trình bày lại 2 Theo giả thiết z 1 1 thì a 1 b2 1 1 . a b 2 Lại có 1 i z 1 a b 1 a b 1 i có phần thực bằng 1 nên 2 . b 0 Giải hệ có được từ hai phương trình trên ta được a 1,b 1 . Suy ra a.b 1. 1 i Câu 4: Cho số phức z thoả mãn là số thực và z 2 m với m ¡ . Gọi m là một giá trị của m để z 0 có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó: 1 1 3 3 A. m0 0; .B. m0 ;1 .C. m0 ;2 .D. m0 1; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Giả sử z a bi, a,b ¡ . 1 i 1 i 1 a b a b Đặt: w a b a b i i . z a bi a2 b2 a2 b2 a2 b2 w là số thực nên: a b 1 . 2 Mặt khác: a 2 bi m a 2 b2 m2 2 . 2 Thay 1 vào 2 được: a 2 a2 m2 2a2 4a 4 m2 0 3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT 3 phải có nghiệm a duy nhất. 2 2 3 0 4 2 4 m 0 m 2 m 2 1; (Vì m là mô-đun). 2 Trình bày lại Giả sử z a bi, vì z 0 nên a2 b2 0 * . 1 i 1 i 1 a b a b Đặt: w a b a b i i . z a bi a2 b2 a2 b2 a2 b2 w là số thực nên: a b 1 .Kết hợp * suy ra a b 0 . 2 Mặt khác: a 2 bi m a 2 b2 m2 2 .(Vì m là mô-đun nên m 0 ). 2 Thay 1 vào 2 được: a 2 a2 m2 g a 2a2 4a 4 m2 0 3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT 3 phải có nghiệm a 0 duy nhất. Có các khả năng sau : KN1 : PT 3 có nghiệm kép a 0 0 m2 2 0 ĐK: m 2 . 2 g 0 0 4 m 0 KN2: PT 3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a 0 0 m2 2 0 ĐK: m 2 . 2 g 0 0 4 m 0
9. 3 Từ đó suy ra m0 2 1; . 2 2017 Câu 5: Trong tập hợp các số phức, gọi z , z là nghiệm của phương trình z2 z 0 , với z có thành 1 2 4 2 phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn z z1 1. Giá trị nhỏ nhất của P z z2 là 2017 1 2016 1 A. 2016 1.B. .C. .D. 2017 1. 2 2 Lời giải Chọn A 2017 Xét phương trình z2 z 0 4 1 2016 z1 i Ta có: 2016 0 phương trình có hai nghiệm phức 2 2 . 1 2016 z2 i 2 2 Khi đó: z1 z2 i 2016 z z2 z z1 z1 z2 z1 z2 z z1 P 2016 1. Vậy Pmin 2016 1. Câu 6: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thỏa mãn z m 6 z và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z 4 A. 10. B. 0. C. 16. D. 8. Lời giải Chọn D Cách 1: z x iy x iy x 4 iy x x 4 y2 4iy Gọi z x iy với x, y ¡ ta có z 4 x 4 iy x 4 2 y2 x 4 2 y2 là số thuần ảo khi x x 4 y2 0 x 2 2 y2 4 Mà z m 6 x m 2 y2 36 Ta được hệ phương trình 36 m2 2 2 2 x x m y 36 4 2m x 36 m 4 2m 2 2 2 y2 4 x 2 2 36 m2 x 2 y 4 y2 4 2 4 2m 2 36 m2 36 m2 36 m2 Ycbt 4 2 0 2 2 hoặc 2 2 4 2m 4 2m 4 2m m 10 hoặc m 2 hoặc m 6 Vậy tổng là 10 2 6 6 8 . Cách 2: 2 2 x m y 36 Để có một số phức thỏa mãn ycbt thì hpt có đúng một nghiệm 2 2 x 2 y 4
10. 2 2 2 2 Nghĩa là hai đường tròn C1 : x m y 36 và C2 : x 2 y 4 tiếp xúc nhau. Xét C1 có tâm I1 2;0 bán kính R1 2 , C2 có tâm I2 m;0 bán kính R2 6 I1I2 R1 R2 m 2 4 Cần có : m 6;6;10; 2. I1I2 R1 R2 m 2 6 Vậy tổng là 10 2 6 6 8 .sss 4 VẬN DỤNG CAO Câu 1: Cho z là số phức thỏa mãn z m z 1 m và số phức z 1 i . Xác định tham số thực m để z z nhỏ nhất. 1 1 1 A. m .B. m .C. m .D. m 1. 2 2 3 Lời giải Chọn B Đặt z x iy x, y ¡ . 2 2 1 Ta có: z m z 1 m x m y2 x 1 m y2 x m. 2 2 1 2 z z m 1 y 1 0. 2 1 1 m 1 0 m Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 . y 1 0 y 1 1 Vậy m thì min z z 0. 2 Câu 2: Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i z 5 2i bằng A. 1 10 .B. 4 .C. 17 D. 5 . Lời giải Chọn C Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z . Do z 2 2i 2 nên tập hợp điểm M là đường tròn C : x 2 2 y 2 2 4 . Các điểm A 1;1 , B 5;2 là điểm biểu diễn các số phức 1 i và 5 2i . Khi đó, P MA MB . Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn C còn điểm B nằm ngoài đường tròn C , mà MA MB AB 17 . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với C . Ta có, phương trình đường thẳng AB : x 4y 3 0 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn C là nghiệm của hệ với 1 y 5
11. 2 2 2 2 x 2 y 2 4 4y 5 y 2 4 x 4y 3 0 x 4y 3 22 59 y N 2 2 2 17 Ta có 4y 5 y 2 4 17y 44y 25 0 22 59 y L 17 37 4 59 22 59 Vậy min P 17 khi z i 17 17 Câu 3: Xét các số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 4 3i 5 . Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. P 10.B. P 4 . C. P 6 . D. P 8 . Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: z 4 3i 5 a 4 b 3 5 a2 b2 8a 6b 20 Đặt A z 1 3i z 1 i ta có: A a 1 2 b 3 2 a 1 2 b 1 2 2 2 2 2 A2 12 12 a 1 b 3 a 1 b 1 2 2 a2 b2 4b 12 2 16a 8b 28 8 4a 2b 7 1 Mặt khác ta có: 4a 2b 7 4 a 4 2 b 3 15 42 22 a 4 2 b 3 2 15 25 2 Từ 1 và 2 ta được: A2 200 4a 2b 7 25 a 6 Để Amax 10 2 a 4 b 3 b 4 4 2 Vậy P a b 10 .
12. V. PHỤ LỤC 1 PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 2 MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Phép chia -Tổng tích của hai số Làm quen với phép Biết cách thức hiện Giải các bài toán số phức phức liên hợp chia số phức các phép toán tổng phức tạp liên quan -Thực hiện phép chia các hợp: cộng, trừ, nhân đến số phức số phức chia các số phức