›
›
›

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

docx 36 trang nhungbui22 11/08/2022 2090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_thi_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_mon_toan_lop_12_nam_hoc_2019_2.docx

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

  1. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 -2020 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ THỌ I. PHẦN TỰ LUẬN. Bài 1. a) Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3x2 3 2m x 1 2m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn x1 1 x2 2 x3. x b) Giải phương trình: 6 3log6 5x 1 2x 1. Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45. Tam giác AA B cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C theo a.   b) Gọi G là trọng tâm tam giác AB 'C ', M là điểm thỏa mãn MB ' 3MA'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BG. Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z 6 0 và đường thẳng x y 2 z 5 d : . 1 1 4 a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và P . b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B 1;3; 1 , song song với P đồng thời tạo với d góc nhỏ nhất. Bài 4. a) Cho tập hợp X gồm 20 phần tử. Có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập con của X sao cho chúng khác tập rỗng và không giao nhau. n 2 n b) Cho khai triển 1 2x a0 a1x a2 x an x . Biết a1 2 a2 3 a3 n an 2916. Tính 2 n tổng S a0 3a1 3 a2 3 an . II. PHẦN TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Hàm số y sin2 3x có đạo hàm bằng A.3sin 6x . B. 2sin 6x . C. 2sin 3x . D. 2cos6x . Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f x e20x x2 là x3 1 x3 x3 1 A. 20e20x c . B. e20x c .C. 20e20x 1 c . D. e20x 2x c . 3 20 3 3 20
  2. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Câu 3. Cho cấp số cộng un thỏa mãn u5 u1 20 2u3 . Tổng u1 u2 u9 bằng A. 50 .B. 45 . C. 90 . D. 180. Câu 4. Cho tập hợp A gồm 11 phần tử. Có tất cả bao nhiêu tập con không quá 5phần tử của A ? 5 5 11 10 A. C11 . B. A11 . C. 2 . D. 2 . 5 2 1 Câu 5. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức 2x 2 bằng x A. 40 .B. 40 . C. 80 .D. 80 . Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x4 x2 3 trên đoạn 0;2 là phân số tối giản có dạng a ,b 0 . Giá trị của a b bằng b A.15 B, 17 C. 11 D. 19 Câu 7. Cho hàm số f x x3 3x2 2. Hàm số y f x2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 .B. ;0 .C. 0;2 . D. 1; . Câu 8. Cho hàm số y f x có đồ thi như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 2, x 1. Khẳng định nào sau đây sai? 1 0 1 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . 2 2 0 1 0 1 1 0 1 C. S f x dx f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx f x dx . 2 1 0 2 1 0 Câu 9. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên 1 Đồ thị hàm số y có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ? 2 f x 5 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
  3. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Câu 10. Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi. Biết AB AC AA a. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AC và BC bằng 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4 2 Câu 11. Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình log3 x log3 x 2m 1 0 có nghiệm thuộc khoảng 1;27 bằng A. 25 . B. 15 . C. 30 . D. 10 . Câu 12. Cho a,b,m,n là các số thực thỏa mãn a 5m ,b 2n . Giá trị biểu thức log(a.b) bằng m n m.log 5 n.log 2 m n n.log 5 m.log 2 A. 2 5 . B. 2 5 . 2 log2 5 log5 2 2 log2 5 log5 2 m n n.log 5 m.log 2 m n m.log 5 n.log 2 C. 2 5 . D. 2 5 . 1 log2 5 log5 2 1 log2 5 log5 2 x 1 y 3 z 2 Câu 13. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P chứa đường thẳng d : và điểm 2 1 1 A 1;1;2 có phương trình là A. x 4y 2z 9 0. B. x 5y 3z 11 0. C. x 4y 2z 7 0. D. x 5y 3z 10 0. Câu 14. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện bằng A. 4 6 a3. B. 6 a3. C. 2 a3. D. 4 2 a3. 2 6 x 2 Câu 15. Cho f x dx 5 và g dx 9. Tích phân 2 f x 3g x dx bằng 0 0 3 0 1 A. 1. B. 17. C. 7. D. . 2 Câu 16. Ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân có tổng và tích lần lượt là 18 và 1728. Biết công bội của cấp số nhân nhỏ hơn 1. Tổng các bình phương của 3 số hạng đó bằng A. 324. B. 144. C. 756 . D. 765. Câu 17. Số điểm cực trị của hàm số y x 1 x2 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 18. Một hộp đựng 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ, các viên bi cùng màu có kích thước khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Xác suất để 5 viên bi lấy được có đủ cả hai màu bằng 5 5 5 5 5 5 C11 C6 1 C11 C6 C6 1 C6 1 A. 5 . B. 5 . C. 5 D. 5 . C11 C11 C11 C11 Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA SB SC. Biết thể tích khối 2a3 chóp S.ABC bằng . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng 24 6a 6a 6a 6a A. . B. . C. . D. . 4 6 3 2
  4. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 1 x 1 Câu 20. Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận x2 2mx 5m đứng là: 1 1 A. 0 m . B. m . 3 3 1 C. m 0 hoặc m 5 . D. m 0 hoặc m 3 x Câu 21. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 8 3.2x m 0 có nghiệm trên đoạn 0;4 là a;b. Giá trị b a bằng A. 16. B. 2 . C. 18. D. 20 Câu 22. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2020;2020 để bất phương trình 2 2 1 log2 x 3 log2 mx 6x m nghiệm đúng với mọi x ¡ là A. 2019 .B. 2020 .C. 2017 . D. 0 . Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết AC 2a 3 , M là trung điểm của CC . Góc giữa mặt phẳng A B M và mặt đáy bằng 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B M bằng A. 2 3a . B. 4 3a .C. 6a .D. 2 6a . 3 Câu 24. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f 3 5, f x dx 6. Tích 0 9 phân f x dx có giá trị bằng 0 A. 17. B. 11. C. 9. D. 18. 2x m Câu 25. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng x2 1 0; là A. 0; . B. 0; . C. ; 0 . D. ;0 . 1 Câu 26. Cho hàm số y m 2 x3 m 2 x2 3mx 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của 3 tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số không có cực trị. A. 18.B. 19.C. 20.D. 17. Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 mx 2 . Tất cả các giá trị của tham số m để 2 hàm số y f sin x nghịch biến trên khoảng ; là 2 A. m 3 .B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 . Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy là hình chữ nhật, AB a, A' A A' B A' D 2a . 3a Biết khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng (A' BD) bằng . Thể tích khối hộp đã cho bằng 2
  5. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 a3 3a3 A. . B. . C. a3 . D. 3a3 . 2 2 Câu 29. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AD 2AB 2BC 2a . Quay hình thang quanh đường thẳng BC ta được một khối tròn xoay có thể tích V . Khẳng định nào dưới đây đúng? 4 a3 7 a3 8 a3 5 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Câu 30. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 1, y x 1 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành có thể tích bằng 7 2 A. . B. . C. . D. . 15 3 15 30 Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;5;6 , B 5;3;4 . Điểm M di động trên Oxy sao cho hai mặt phẳng ABM và Oxy vuông góc với nhau. Đường thẳng nào sau đây đi qua M ? x 3 2t x 5 t x 3 t x 5 t A. d1 : y 5 t . B. d2 : y 3 2t. C. d3 : y 5 t. D. d4 : y 3 t. z 0 z 0 z 0 z 0 Câu 32. Cho bất phương trình 4x 1 ax ( a là tham số) có tập nghiệm là 0; . Đặt m ea . Số giá trị nguyên của m là A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Câu 33. Cho phương trình 2002. 2log2 x 2 6 x 7log x 2 6 x 3m có bốn 2 2 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm đó bằng 8. Số các giá trị nguyên của m là A. 83 . B. 84 . C. 85 . D. 1001. Câu 34. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 ? A. 480. B. 960. C. 840. D. 1680. Câu 35. Cho tứ diện đều có chiều cao h. Ở ba góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cùng chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích tứ diện đều ban đầu. Giá trị của x bằng h h h h A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 3 4 3 6 4 1 Câu 36. Cho dx a b ln(6 c) với a,b,c,d là các số nguyên d 0 tan x cot x 12 6 dương. Giá trị biểu thức a b c d bằng A. 22 . B. 26 . C. 30 . D. 4. Câu 37. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:
  6. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 1 2 2 Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) f (x3 3x) x5 x3 3x trên đoạn [ 1;2] bằng 5 3 15 A. 2019 . B. 2020 . C. 2021. D. 2022 . Câu 38. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I (1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm A , B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Khi đó giá trị của m bằng 3 2 5 6 A. 1± . B. 1± . C. 1± . D. 1± . 2 2 2 2 Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại S . Cạnh bên SA và mặt bên (SAB) lần lượt tạo với đáy các góc bằng 45° và 60° . Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SBC đến mặt phẳng (SAD) bằng 42a 42a 2 15a 15a A. . B. . C. . D. . 14 42 15 15 Câu 40 . Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 6 2 25 và ba điểm A 2;2;4 , B 2; 2;2 ,C 5; 2; 3 . Điểm M nằm trên S và cách đều hai điểm A, B . Độ dài đoạn CM có giá trị lớn nhất bằng ? A. 97 4 . B. 2 26 4 .C. 94 4 . D. 3 26 4 .
  7. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 -2020 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT SỜ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ THỌ I. TỰ LUẬN Bài 1a. Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3x2 3 2m x 1 2m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn x1 1 x2 2 x3. Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Thắng FB: Nguyễn Hồng Thắng Cách 1 Ta có y ' 3x2 6x 3 2m 4 4 mx m 2 y 1 1 x 3 3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: y ' 3 3 y ' 4 4 y mx m 2 3 3 Để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn x1 1 x2 2 x3 'y' 0 (1) y .y 0 (2) thì : CD CT y(1) 0 (3) y(2) 0 (4) ' Ta có (1): y ' 6m 0 m 0 (1') (2): Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị hàm số 3 2m theo định lí Vi-et ta có: x x 2, x .x 1 2 1 2 3 4 4 4 4 (2) mx1 m 2 . mx2 m 2 0 3 3 3 3 2 16 2 4 4 4 m x1x2 m m 2 x1 x2 m 2 0 9 3 3 3 2 16 2 3 2m 4 4 4 32 3 3 m . m m 2 .2 m 2 0 m 4 0 m (2') 9 3 3 3 3 27 2 (3) 2 0(luoân ñuùngm R ) (3') 3 (4) 2m 3 0 m (4') 2
  8. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 3 3 Từ (1'), 2' , 3' , 4' m Vậy : m . 2 2 Cách 2 Xét PT hoành độ giao điểm x3 3x2 3 2m x 1 2m 0 x3 3x2 3x 1 Cô lập tham số: 2m x 1 2 x3 3x2 3x 1 2 x 2 x x 1 Xét hàm f x có f ' x x 1 x 1 2 Ta có bảng biến thiên 3 Để thỏa mãn đề bài thì 2m 3 m . 2 x Bài 1b. Giải phương trình: 6 3log6 5x 1 2x 1 Lời giải Tác giả: Xoan Thanh Nguyễn; Fb:Xoan Thanh Nguyễn 1 ĐK: x . 5 t t Đặt log6 5x 1 t 6 5x 1 6 3x 2x 1. x t x t Phương trình đã cho trở thành: 6 3t 6 3x 6 3x 6 3t 1 . Xét hàm số: f u 6u 3u , u ¡ . Ta có f ' u 6u ln 6 3 0, u ¡ Hàm số f u đồng biến trên ¡ do đó: x x 1 x t log6 5x 1 x 5x 1 6 6 5x 1 0 2 . Xét hàm số: g x 6x 5x 1. 2 Ta có: g ' x 6x ln 6 5 g '' x 6x ln 6 0, x ¡ Suy ra phương trình g ' x 0 có tối đa 1 nghiệm và phương trình g x 0 có tối đa 2 nghiệm. Mà g 0 g 1 0
  9. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm x 0; x 1 thõa mãn điều kiện. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 0;1. Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45. Tam giác AA B cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a. ABC.A B C   b) Gọi G là trọng tâm tam giác AB 'C ', M là điểm thỏa mãn MB ' 3MA'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BG. Lời giải Tác giả: Nguyễn Bá Long -Huỳnh Công Liêm; Fb: Nguyễn Bá Long, Huynh Cong Liem Phản biện: Huynh Cong Liem C A B G T Q I M C' A' N H B' L K E a Gọi H là trung điểm của A B từ giả thiết ta suy ra AH  A B C . a Khi đó ·AA H 450 tam giác AA H vuông cân tại H HA HA . 2 a a2 3 a3 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: V AH.S . . ABC.A B C A B C 2 4 8 b Cách 1 (Dựng hình) *Gọi I, N lần lượt là trung điểm của đoạn A C , B C . Ta có IN là đường trung bình của tam giác A B C mà A B / / AB nên suy ra IN / / AB . Do đó, tứ giác ABNI là hình thang. Gọi E BN  AI . Ta có G là trọng tâm tam giác EAB nên G thuộc đường trung tuyến BI .   Vì MB ' 3MA' nên suy ra MA A H HB , do đó tứ giác ABHM là hình bình hành. Suy ra: AM / / BIH d AM , BG d A, BIH 1 . Vẽ BK / / AH BK  A B C tại K . Vẽ KL  IH IH  BKL , vẽ KQ  BL KQ  BIH d K, BIH KQ 2 . Tứ giác ABKH là hình chữ nhật có AK  BH T , suy ra KT AT 3 . a 3 * HKL vuông tại L : KL HK.cos H· KL a.cos K· A N a.cos300 . 2
  10. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 1 a 3 BKL vuông tại K chiều cao KQ cho ta: KQ 4 1 1 4 BK 2 KL2 a 3 Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: d AM , BG 4 Cách 2 (Phương pháp tọa độ) Ta chọn hệ trục Hxyz như hình vẽ a H 0;0;0 , A 0; ;0 , 2 a a 3 B 0; ;0 ,C ;0;0 , 2 2 a a A 0;0; , B 0;a; , 2 2 a 3 a a M 0; a;0 ,G ; ; . 6 6 6 Khoảng cách giữa AM và BG được xác định bởi công thức:  u,v .AB d AM , BG . u,v Ta có:  a AM 0; a; cùng phương u 0;2;1 . 2  a 3 5a a BG ; ; cùng phương v 3; 5; 2 . 6 6 3  Suy ra: u,v 1; 3; 2 3 và ta có AB 0;a;0 .  u,v .AB a 3 a 3 Vậy: d AM , BG . 1 3 12 4 u,v Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z 6 0 và đường thẳng x y 2 z 5 d : . 1 1 4 a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và P . b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B 1;3; 1 , song song với P đồng thời tạo với d góc nhỏ nhất. Lời giải Tác giả: Huỳnh Công Liêm; FB: Huynh Cong Liem a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và P .
  11. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 x t Ta có d : y 2 t . z 5 4t * Gọi A d  P . A d A t; t 2; 4t 5 . A P 2t t 2 2 4t 5 6 0 t 2 . * Vậy: A 2;4;3 . b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B 1;3; 1 , song song với P đồng thời tạo với d góc nhỏ nhất. Gọi u a;b;c với a2 b2 c2 0 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n 2; 1;2 . Vì đường thẳng song song với mặt phẳng P nên n  u n.u 0 2a b 2c 0 b 2a 2c . Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là v 1;1;4 . Gọi với 0o 90o là góc tạo bởi đường thẳng và d , ta có: u.v a b 4c a 2c cos do b 2a 2c . u . v 3 2. a2 b2 c2 2. 5a2 8ac 5c2 Đặt m cos , 0o 90o 0 m 1. Tìm góc nhỏ nhất nghĩa là ta tìm m lớn nhất, ta xét các trường hợp sau: c 0 a 1 - TH1: , ta có: m 1 . a 0 10a2 10 a 2 a 2c c - TH2: c 0 , ta có : m . 2 2 2 10a 16ac 10c a a 10 16 10 c c a t 2 Đặt: t , ta có: m 10m2 1 t 2 16m2 4 t 10m2 4 0 * . c 10t 2 16t 10 0 m 1 2 2 Khi 1 , ta có 18m 1 2m . Phương trình * có nghiệm t khi: m 10 m 0 0 1 1 . m 2 2
  12. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 45o 1 Suy ra: max cos a 1 c 2a b 2a u 1; 2; 2 . 2 t c 2 Vậy đường thẳng đi qua điểm B 1;3; 1 , song song với P đồng thời tạo với d góc nhỏ nhất có phương trình chính tắc là: x 1 y 3 z 1 : . 1 2 2 Bài 4a. Cho tập hợp X gồm 20 phần tử. Có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập con của X sao cho chúng khác tập rỗng và không giao nhau. Lời giải Tác giả: Phạm Văn Tuân. FB mr.vtuan Giả sử A, B là hai tập con được chọn của X , A , B , A B . Chia ngẫu nhiên 20 phần tử vào ba tập hợp A, B, X \ A B có 320 cách Khi A  có 220 cách chia ngẫu nhiên 20 phần tử vào hai tập hợp còn lại. Khi B  có 220 cách chia ngẫu nhiên 20 phần tử vào hai tập hợp còn lại. Do A , B , A B  nên có 320 2.220 1 cách chọn 320 2.220 1 Vai trò A, B như nhau nên có cách chọn thỏa mãn đề bài. 2 n 2 n Bài 4b. Cho khai triển 1 2x a0 a1x a2 x an x . Biết a1 2 a2 3 a3 n an 2916. Tính 2 n tổng S a0 3a1 3 a2 3 an . Lời giải Tác giả: Đỗ Văn Cường FB: Cường Đỗ Văn Cách 1 +) Ta có n 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n 1 2x a0 a1x a2 x an x Cn Cn .2x Cn . 2x Cn . 2x 1 Cn . 2x , lấy đạo hàm hai vế ta có n 1 n 1 n 1 2 2 3 3 2 n n n n 1 2n 1 2x a1 2a2 x nan x 1 2x Cn .2 2Cn . 2 .x 3.Cn . 2 .x 1 n.Cn . 2 x Đồng nhất hệ số hai vế ta được 1 1 a1 Cn .2 a1 Cn .2 2 2 2 2 2a2 2Cn . 2 2 a2 2Cn . 2 n n n n na 1 n.C . 2 n n n n an n.Cn . 2 1 2 2 n n 1 +) Cộng từng về ta có a1 2 a2 3 a3 n an Cn .2 2Cn .2 n.Cn .2 = 2.n.3n 1 2916 n 6
  13. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 6 2 6 Thay lại đề bài ta có 1 2x a0 a1x a2 x a6 x , cho x 3ta được 6 2 6 2 6 6 1 2.3 a0 a13 a2 3 a6 3 a0 a13 a2 3 a6 3 5 Cách 2 : n 2 n Ta có 1 2x a0 a1x a2 x an x n 2 n 1 2x a0 a1 x a2 x an x Lấy đạo hàm hai vế ta được n 1 n 1 2n 1 2x a1 2 a2 x n an x Thay x 1 vào khai triển trên ta được n 1 2n.3 a1 2 a2 n an 2916 n 6. Vậy với n 6 thì 2 n 6 S a0 3a1 3 a2 3 an 1 2.3 15625. II. PHẦN TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Hàm số y sin2 3x có đạo hàm bằng A. 3sin 6x . B. 2sin 6x . C. 2sin 3x . D. 2cos6x . Lời giải Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết FB: Nguyễn Đăng Thuyết Ta có y ' sin2 3x ' 2sin 3x.cos3x. 3x ' 3sin 6x . Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f x e20x x2 là x3 1 x3 x3 1 A. 20e20x c . B. e20x c . C. 20e20x 1 c . D. e20x 2x c . 3 20 3 3 20 Lời giải Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết FB: Nguyễn Đăng Thuyết 1 x3 Ta có f x dx e20x x2 dx e20x c . 20 3 Câu 3. Cho cấp số cộng un thỏa mãn u5 u1 20 2u3 . Tổng u1 u2 u9 bằng A. 50 .B. 45 .C. 90 . D. 180. Lời giải Tác giả: Đoàn Ngọc Hoàng; Fb:Hoàng Đoàn Chọn C Ta có u5 u1 20 2u3 u1 4d u1 20 2 u1 2d u1 4d 10 . 9 Mà S u u u 2u 8d 9 u 4d 90 . 9 1 2 9 2 1 1 Câu 4. Cho tập hợp A gồm 11 phần tử. Có tất cả bao nhiêu tập con không quá 5phần tử của A ?
  14. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 5 5 11 10 A. C11 . B. A11 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Dương; Fb: DuongNguyen Chọn D 0 1 2 3 4 5 Số tập con không quá 5phần tử của A là C11 C11 C11 C11 C11 C11 1024 . 5 2 1 Câu 5. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức 2x 2 bằng x A. 40 .B. 40 . C. 80 .D. 80 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan ; Fb: Ngoclan Nguyen Chọn D 5 5 k 1 k k 1 k k 5 k 3k 10 +) Số hạng tổng quát của khai triển 2x 2 là C5 . 2x . 2 C5 .2 1 .x . x x +) Ta cần tìm hệ số của số hạng chứa x2 nên 3k 10 2 k 4 . 4 4 1 +) Vậy hệ số cần tìm là C5 .2 1 80. Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x4 x2 3 trên đoạn 0;2 là phân số tối giản có dạng a ,b 0 . Giá trị của a b bằng b A.15 B, 17 C. 11 D. 19 Lời giải Tác giả: Trần Quang Kiên. FB: Kien Tranquang Chọn A 2 4 2 2 1 11 11 Ta có: x x 3 x . 2 4 4 1 11 4 2 Lại có f nên giả trí nhỏ nhất của hàm số f x x x 3 trên đoạn 0;2 là 2 4 11 . 4 a 11 Vậy a b 15 . b 4 Câu 7. Cho hàm số f x x3 3x2 2. Hàm số y f x2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 .B. ;0 .C. 0;2 .D. 1; . Lời giải Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn Chọn A Ta có f x 3x2 6x 3x(x 2).
  15. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 y ' 2x 1 . f x2 x 3 x2 x x2 x 2 . 2x 1 1  y ' 0 x 1;0; ;1;2. 2  Bảng xét dấu đạo hàm: x 1 1 0 1 2 2 y ' 0 0 0 0 0 Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng 1;0 , hàm số y f x2 x đồng biến. Câu 8. Cho hàm số y f x có đồ thi như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 2, x 1. Khẳng định nào sau đây sai? 1 0 1 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . 2 2 0 1 0 1 1 0 1 C. S f x dx f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx f x dx . 2 1 0 2 1 0 Lời giải Tác giả:Nguyễn Tất Phong; FB: Phong Hendz. Chọn C Từ đồ thị suy ra f x 0 với mọi x  1;0 và f x 0 với mọi x 0;1 . 1 0 1 0 1 Ta có: S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx A, B đúng. 2 2 0 2 0 1 0 1 1 0 1 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx D đúng 2 1 0 2 1 0 Câu 9. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên
  16. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 1 Đồ thị hàm số y có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ? 2 f x 5 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Tác giả: Xu xu FB: Xu xu Chọn C Ta có : 1 lim f x lim 0 x x 2 f x 5 1 lim f x lim 0 x x 2 f x 5 Vậy y 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 1 x x x 1 1 1 y không xác định khi và chỉ khi 5 x x2 2 f x 5 f x 2 x x3 x x4 Với x1 ; 2 ; x2 2;1 ; x3 1;2 ; x4 2; . Lại có : lim y 0; lim y ; lim y ; lim y ; lim y . x 1 x x1 x x2 x x3 x x4 Vậy đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là x x1; x x2 ; x x3; x x4 . Do đó đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận. Câu 10. Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi. Biết AB AC AA a. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AC và BC bằng 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 2 6 4 Lời giải Tác giả: Thanh Bình; Fb: Minh Hoang Chọn D
  17. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 B C D A B' C' A' D' Ta có A C AC a AC a2 a2 a 2 DC AB a 2 AD2 AC 2 DC 2 a2 2a2 2a2 2 cos AC , BC cos AC , AD . 2AD.AC 2.a.a 2 4 2 Câu 11. Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình log3 x log3 x 2m 1 0 có nghiệm thuộc khoảng 1;27 bằng A. 25 . B. 15 . C. 30 . D. 10 . Lời giải Tác giả: Tô Minh Trường FB:Tô Minh Trường Chọn B Đặt t log3 x với x 1;27 ta có t 0;3 . Bài toán trở thành tìm tổng các giá trị nguyên của m để phương trình t 2 t 2m 1 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;3 . Ta có t 2 t 2m 1 0 t 2 t 1 2m (*) . Xét hàm số f (t) t 2 t 1 trên đoạn 0;3 ta có f '(t) 2t 1 0,t 0;3 . Suy ra max f (t) f (3) 11;min f (t) f (0) 1. Để phương trình (*) có nghiệm thuộc 0;3 0;3 1 11 khoảng 0;3 điều kiện cần và đủ là 1 2m 11 m . 2 2 Với m ¢ m 0,1,2,3,4,5 . Vậy tổng các giá trị nguyên của m là 15. Câu 12. Cho a,b,m,n là các số thực thỏa mãn a 5m ,b 2n . Giá trị biểu thức log(a.b) bằng m n m.log 5 n.log 2 m n n.log 5 m.log 2 A. 2 5 . B. 2 5 . 2 log2 5 log5 2 2 log2 5 log5 2
  18. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 m n n.log 5 m.log 2 m n m.log 5 n.log 2 C. 2 5 . D. 2 5 . 1 log2 5 log5 2 1 log2 5 log5 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thỏa; Fb: Nguyễn Thị Thỏa Chọn A m n Ta có log a.b log 5m.2n mlog5 nlog 2 log5 10 log2 10 m n m mlog 5 n log 2 m n m.log 5 n.log 2 2 5 2 5 . 1 log5 2 1 log2 5 (1 log2 5)(1 log5 2) 2 log2 5 log5 2 x 1 y 3 z 2 Câu 13. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P chứa đường thẳng d : và điểm 2 1 1 A 1;1;2 có phương trình là A. x 4y 2z 9 0. B. x 5y 3z 11 0. C. x 4y 2z 7 0. D. x 5y 3z 10 0. Lời giải Người làm: Vũ Văn Cẩn. FB:Vũ Văn Cẩn Chọn D. Đường thẳng d đi qua điểm M 1;3; 2 có véctơ chỉ phương u 2;1; 1 .  Ta có MA 2; 2;4  Mặt phẳng P chứa đường thẳng d và đi qua điểm M nên nhận u, MA 2; 10; 6 hay nhận n 1; 5; 3 làm một véctơ pháp tuyến p : x 5y 3z 10 0 p : x 5y 3z 10 0 . Câu 14. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện bằng A. 4 6 a3. B. 6 a3. C. 2 a3. D. 4 2 a3. Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Sáng; Fb: Nguyễn Sáng A P I B D G M N C
  19. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Chọn B Gọi G là trọng tâm của BCD . Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên AG  BCD . Gọi P là trung điểm cạnh AB , trong ABG dựng đường thẳng trung trực của cạnh AB cắt AG tại I . I AG IB IC ID Vì I PI IA IB IA IB IC ID Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD có tâm I , bán kính R IA. Ta có: AI AP AB.AP API : AGB AI (*) AB AG AG 2 2 2 2 2 2 2 4a 2a 6 1 Lại có: AG AB BG AB AN 4a , AP AB a thay 3 3 3 2 a 6 vào (*) ta được: AI R 2 4 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD : V R3 6 a3 3 2 6 x 2 Câu 15. Cho f x dx 5 và g dx 9. Tích phân 2 f x 3g x dx bằng 0 0 3 0 1 A. 1. B. 17. C. 7. D. . 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh FB: Minh Nguyen Chọn A 6 x Xét: I g dx 9. 0 3 x Đặt t x 3t dx 3dt 3 Đổi cận x 0 6 t 0 2 2 2 2 Khi đó I = 9 = ò g(t).3dt Þ ò g(t)dt=3 Þ ò g(x).dx = 3 (do tích phân không phụ thuộc 0 0 0 biến 2 2 2 Vậy 2 f x 3g x dx 2 f x .dx 3 g x dx 2.5 3.3 1. 0 0 0
  20. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Câu 16. Ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân có tổng và tích lần lượt là 18 và 1728. Biết công bội của cấp số nhân nhỏ hơn 1. Tổng các bình phương của 3 số hạng đó bằng A. 324. B. 144. C. 756 . D. 765. Lời giải Tác giả: Đặng Minh Trường. FB: Đặng Minh Trường Chọn C a Gọi ba số hạng của cấp số nhân theo thứ tự là ,a,aq ( q 1). q a a 12 a aq 18 a 12 Từ giả thiết ta có q 1 5 (do q 1) q q 2 3 a 1728 q 2 Ba số hạng của cấp số nhân là 6,12, 24 . Tổng bình phương ba số hạng bằng 6 2 122 24 2 756 Câu 17. Số điểm cực trị của hàm số y x 1 x2 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Tác giả: Đặng Minh Trường. FB: Đặng Minh Trường Chọn C x 0 Đặt f x x 1 x2 x3 x2 , có f x 3x2 2x , f x 0 2 , x 3 x 0 f x 0 . x 1 Bảng biến thiên của f x : f x khi x 1 2 Suy ra bảng biến thiên của hàm số y x 1 x có dạng: f x khi x 1
  21. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Vậy hàm số y x 1 x2 có ba điểm cực trị. Câu 18. Một hộp đựng 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ, các viên bi cùng màu có kích thước khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Xác suất để 5 viên bi lấy được có đủ cả hai màu bằng 5 5 5 5 5 5 C11 C6 1 C11 C6 C6 1 C6 1 A. 5 . B. 5 . C. 5 D. 5 . C11 C11 C11 C11 Lời giải Chọn A 5 Số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi là: n  C11 . 5 5 5 Số cách chọn ra được 5 viên bi cùng màu là: n A C5 C6 1 C6 . Xác suất để 5 viên bi lấy được có đủ cả hai màu là: 5 5 5 1 C6 C11 C6 1 P A 1 P A 1 5 5 C11 C11 Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA SB SC. Biết thể tích khối 2a3 chóp S.ABC bằng . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng 24 6a 6a 6a 6a A. . B. . C. . D. . 4 6 3 2 Lời giải Chọn B Đặt SA SB SC x 0 . Do hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nên ta có các kết quả sau: + Hình chiếu của S lên ABC là trực tâm H của ABC .
  22. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 + Khoảng cách d S; ABC từ S đến mặt phẳng ABC là: d S; ABC SH : 1 1 1 1 SH 2 SA2 SB2 SC 2 1 x3 Thể tích khối chóp S.ABC là: V = SA.SB.SC = . 6 6 3 x3 2a3 2 2a3 æa 2 ö a 2 3 ç ÷ Từ giả thiết suy ra = Þ x = = ç ÷ Þ x = . 6 24 8 èç 2 ø÷ 2 1 1 1 1 3 3 6 a 6 Do đó 2 2 2 2 2 2 2 SH . SH SA SB SC x a 2 a 6 2 1 x 1 Câu 20. Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận x2 2mx 5m đứng là 1 1 A. 0 m . B. m . 3 3 1 C. m 0 hoặc m 5 . D. m 0 hoặc m 3 Lời giải Tác giả: Đoàn Ánh Dương; FB: Đoàn Ánh Dương Chọn A x 1 Ta có điều kiện 2 , để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận thì x 2mx 5m 0 2 x 2mx 5m 0 có hai nghiệm x1, x2 phân biệt không nhỏ hơn 1. 2 ' m 5m 0 x1 x2 2 2m 2 1 x1 1 0 x1x2 x1 x2 1 3m 1 m 0; . 3 2 2 x2 1 0 m 5m 0 m 5m 0 x Câu 21. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 8 3.2x m 0 có nghiệm trên đoạn 0;4 là a;b. Giá trị b a bằng A. 16. B. 2 . C. 18. D. 20 Lời giải Tác giả: Đoàn Ánh Dương; FB: Đoàn Ánh Dương Chọn D Với x [0;4] đặt t 2x t [1;16]. 3 Khi đó bài toán trở thành tìm m để phương trình t 2 3t m có nghiệm t [1;16] . 3 3 Xét hàm số f (t) t 2 3t với t [1;16] , ta có f '(t) t 3 f '(t) 0 t 4 2
  23. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Ta có: f 1 2 ; f 4 4; f 16 16 . max f (t) f (16) 16 b [1;16] min f (t) f (4) 4 a b a 20 . [1;16] Câu 22. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2020;2020 để bất phương trình 2 2 1 log2 x 3 log2 mx 6x m nghiệm đúng với mọi x ¡ là A. 2019 .B. 2020 .C. 2017 .D. 0 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Toàn ; FB: Nguyễn Văn Toàn Chọn D 2 2 2 2 1 log2 x 3 log2 mx 6x m log2 2x 6 log2 mx 6x m 2x2 6 mx2 6x m 2 mx 6x m 0 2 2 m x 6x m 6 0 1 I 2 mx 6x m 0 2 Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ¡ khi I có tập nghiệm là ¡ 1 và 2 cùng có tập nghiệm là ¡ * . Dễ thấy m 0 hoặc m 2 không thỏa mãn * . Vậy ta có 2 m 0 9 2 m m 6 m2 8m 3 0 1 * m 0 9 m2 0 2 m 2 m ;4 13  4 13; (vô nghiệm). m 0 m ; 3  3; Vậy không tồn tại m . Suy ra số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2020;2020 để bấtphương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ¡ là 0. Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết AC 2a 3 , M là trung điểm của CC . Góc giữa mặt phẳng A B M và mặt đáy bằng 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B M bằng A. 2 3a . B. 4 3a .C. 6a .D. 2 6a . Lời giải Tác giả:Nguyễn Văn Toàn ; FB: Nguyễn Văn Toàn
  24. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Chọn A MC / / AA' Gọi N AC  A M , do 1 nên C là trung điểm của AN NC AC 2a 3 . MC AA' 2 MA B  A B C A B Từ giả thiết ta có suy ra góc giữa mặt phẳng A B M A B  A C , A A A B  MA C và A B C là góc M· A C 30o . AB / / MA B Dễ thấy d AB, MB d A, MA B 2d C, MA B . MB  MA B MA B  ACCA Mặt khác A B  MA C nên d C, MA B d C, MN . MA B  ACCA MN Xét tam giác MNC vuông tại C d C, MN NC.sin 300 a 3 d AB, MB 2a 3 . 3 Câu 24. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f 3 5, f x dx 6. Tích 0 9 phân f x dx có giá trị bằng 0 A. 17. B. 11. C. 9. D. 18. Lời giải Tác giả: Hoài An; FB: Hoài An Chọn D Đặt t x , ta có t 2 x và 2tdt dx . Đổi cận: x 0 t 0, x 9 t 3 . Khi đó 9 3 I f x dx 2 tf t dt . 0 0 u t du dt Đặt , suy ra . Khi đó dv f t dt v f t 3 3 I 2 tf t f t dt 2 3 f 3 6 2 3.5 6 18 . 0 0
  25. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 2x m Câu 25. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng x2 1 0; là A. 0; . B. 0; . C. ; 0 . D. ;0 . Lời giải Tác giả: Hoài An; FB: Hoài An Chọn C 2x m Hàm số y có tập xác định D ¡ . x2 1 mx 2 Đạo hàm y . x2 1 x2 1 2 2 TH1: Khi m 0 , y 0 x , y 0 x . m m 2 2 Hàm số đã cho đồng biến trên ; và nghịch biến trên ; . m m Do đó không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên 0; . 2 2 TH2: Khi m 0 , y 0 x , y 0 x . m m 2 2 Hàm số đã cho đồng biến trên ; và nghịch biến trên ; . m m 2 2 Vì 0 nên 0;  ; . Vậy hàm số đồng biến trên 0; . m m TH3: Khi m 0 , y 0 x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ , do đó hàm số đồng biến trên 0; . Vậy hàm số đã cho đồng biến trên 0; khi m ; 0 . Cách khác (Tác giả: Nguyễn Thị Hà, Fb: Ha Nguyen) 2x m mx 2 Xét y có TXĐ: D ¡ ; y x2 1 x2 1 x2 1 y đồng biến trên 0; y ' 0 x 0; mx 2 0 x 0; x2 1 x2 1 mx 2 0 x 0; 2 m x 0; x
  26. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 2 2 2 Vì hàm số y nghịch biến trên 0; và lim 0 nên 0 x 0; x x x x Từ đó suy ra m 0 . 1 Câu 26. Cho hàm số y m 2 x3 m 2 x2 3mx 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của 3 tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số không có cực trị. A. 18.B. 19.C. 20.D. 17. Lời giải Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch; Fb: Hoạch Nguyễn Phản biện: Hoài An Chọn B TH1: Với m 2 thì hàm số trở thành y 6x 1, hàm số này không có cực trị nên m 2 thỏa mãn yêu cầu. TH2: Với m 2 , ta có y m 2 x2 2 m 2 x 3m . 2 Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y không đổi dấu m 2 3m m 2 0 2 m 2 2m 2m 4 0 . m 1 Do m ¢ , m  10;10 nên m 10; 9; 1;3; ;10 . Vậy có tất cả 19 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 mx 2 . Tất cả các giá trị của tham số m để 2 hàm số y f sin x nghịch biến trên khoảng ; là 2 A. m 3 .B. m 3 .C. m 3 .D. m 3 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch; Fb: Hoạch Nguyễn Phản biện: Hoài An Chọn C Xét hàm số y f sin2 x có đạo hàm là y sin 2x. f sin2 x . 2 Hàm số y f sin x nghịch biến trên khoảng ; khi và chỉ khi y 0, x ; (1) 2 2 2 Ta có, trên khoảng ; thì sin 2x 0 nên (1) f sin x 0, x ; (2) 2 2 2 Đặt sin x t . Với x ; thì t 0;1 nên (2) f t 0, t 0;1 2 t 2 2 t 2 mt 2 0, t 0;1 m , t 0;1 (3) t
  27. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 t 2 2 2 2 Xét hàm số g t t , t 0;1 có g t 1 0, t 0;1 t t t 2 Suy ra g t đồng biến trên 0;1 . Bảng biến thiên g t : Dựa vào BBT ta thấy (3) m 3. Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy là hình chữ nhật, AB a, A' A A' B A' D 2a . 3a Biết khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng (A' BD) bằng . Thể tích khối hộp đã cho bằng 2 a3 3a3 A. . B. . C. a3 . D. 3a3 . 2 2 Lời giải FB: My Hanh Chọn D Gọi G là giao của AC và BD. Vì A' A A' B A' D nên hình chiếu của A' trên (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Hay A'G  (ABCD) , suy ra (A' BD)  (ABCD) . Kẻ AM  BD , suy ra AM  (A' BD) AM d(A,(A' BD)) d(B ',(A' BD) . 3a AM . 2 1 1 1 Mặt khác ABD vuông tại A , AM  BD AM 2 AB2 AD2 a2 3 AD a 3 S và BD 2a ABD 2 1 a3 A'G A' B2 BG2 a 3 V A'G.S A'.ABD 3 ABD 2
  28. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 3 VABCD.A'B'C 'D' 3a . Câu 29. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AD 2AB 2BC 2a . Quay hình thang quanh đường thẳng BC ta được một khối tròn xoay có thể tích V . Khẳng định nào dưới đây đúng? 4 a3 7 a3 8 a3 5 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Lời giải FB: My Hanh Chọn D Quay hình thang vuông đã cho quanh đường thẳng chứa cạnh BC sẽ tạo thành một khối tròn xoay có hình dạng của một khối trụ bị khuyết một khối nón. Khối trụ có chiều cao là AD 2a , bán kính đáy AB a , vậy thể tích khối trụ là: 2 3 V1 a .2a 2 a . 1 Khối nón có chiều cao là CH a , bán kính đáy HD a , vậy thể tích khối nón là V a3 . 2 3 5 Thể tích cần tìm là V V V a3 . 1 2 3 Câu 30. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 1, y x 1 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành có thể tích bằng 7 2 A. . B. . C. . D. . 15 3 15 30 Lời giải Tác giả: Đào Hữu Nghị; Fb: Đào Hữu Nghị Chọn C 2 x 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm (x 1) x 1 x 1 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là 1 1 4 2 4 3 2 2 V (x 1) ( x 1) dx (x 4x 5x 2x)dx . 2 2 15 Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;5;6 , B 5;3;4 . Điểm M di động trên Oxy sao cho hai mặt phẳng ABM và Oxy vuông góc với nhau. Đường thẳng nào sau đây đi qua M ?
  29. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 x 3 2t x 5 t x 3 t x 5 t A. d1 : y 5 t . B. d2 : y 3 2t. C. d3 : y 5 t. D. d4 : y 3 t. z 0 z 0 z 0 z 0 Lời giải Tác giả: Đào Hữu Nghị; Fb: Đào Hữu Nghị Chọn C    Ta có AB (2; 2; 2) 2u1 , với u1 (1; 1; 1) ; k (0;0;1) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy . Xét mặt phẳng ( ) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng Oxy .  Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n k,u (1;1;0) . 1 Phương trình mặt phẳng ( ) là x y 8 0 x 3 t Khi đó điểm M (d) ( )  Oxy . Phương trình của đường thẳng d là y 5 t. z 0 Câu 32. Cho bất phương trình 4x 1 ax ( a là tham số) có tập nghiệm là 0; . Đặt m ea . Số giá trị nguyên của m là A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Trà My, FB: Nguyễn My Chọn C Bất phương trình 4x 1 ax có tập nghiệm là 0; khi và chỉ khi x 4 1 ax,x 0; x 4 1 ax,x ;0 4x 1 a,x 0; x 4x 1 a,x ;0 x 4x 1 x.4x.ln 4 4x 1 Đặt f x . Có f ' x x x2 Xét g x x.4x.ln 4 4x 1 g ' x x.4x. ln 4 2 . g ' x 0 x 0 . Bảng biến thiên của g x
  30. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Từ bẳng biến thiên suy ra g x 0,x ¡ \ 0 x.4x.ln 4 4x 1 0,x ¡ \ 0 . x.4x.ln 4 4x 1 Suy ra f ' x 0,x ¡ \ 0 x2 4x 1 4x 1 4x 1 Có lim f x lim ln 4 , lim f x lim ln 4 , lim f x lim 0 .Ta x 0 x 0 x x 0 x 0 x x x x có bảng biến thiên của f x f x a,x 0; Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để thì a 0 m ea 1, mà f x a,x ;0 m 0,m ¢ có 1 giá trị nguyên của m . Câu 33. Cho phương trình 2002. 2log2 x 2 6 x 7log x 2 6 x 3m có bốn 2 2 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm đó bằng 8. Số các giá trị nguyên của m là A. 83 . B. 84 . C. 85 . D. 1001. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Trà My, FB: Nguyễn My Chọn B Đkxđ: 2 x 6 1 1 Đặt t x 2 6 x t ' 2 x 2 2 6 x t ' 0 x 2 6 x x 2 . Ta có bảng biến thiên của t
  31. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Từ bảng biến thiên ta thấy với mỗi giá trị t 2 2;4 thì cho ta hai giá trị x 2 a với a 0;4 . Vậy để phương trình 2002. 2log2 x 2 6 x 7log x 2 6 x 3m  2 2 có 4 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 8 thì phương trình 2002. 2.log2 t 7log t 3m có hai nghiệm t phân biệt thuộc 2 2;4 . 2 2 3 Đặt u log2 t có t 2 2;4 u ;2 2 Để phương trình 2002. 2.log2 t 7log t 3m có hai nghiệm t phân biệt thuộc 2 2;4 thì 2 2 2 3 phương trình 2002. 2u 7u 3m có hai nghiệm phân biệt u ;2 . 2 2 3 Ta có bảng biến thiên của f u 2002 2u 7u trên nửa khoảng ;2 2 2 3 Để phương trình 2002. 2u 7u 3m có hai nghiệm phân biệt u ;2 thì 2 49049 49049 3m 12012 m 4004,m ¢ có 84 giá trị của m . 4 12 Câu 34. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 ? A. 480. B. 960. C. 840. D. 1680. Lời giải Tác giả: Đoàn Phú Như; Fb: Như Đoàn Chọn C Ta có : 1 2 3 4 5 6 7 28 1(mod3) , do đó nếu lấy năm trong bảy số đã cho sao cho tổng của năm số đó chia hết cho 3 thì tổng của hai số còn lại chia cho 3 dư 1. Ta có bảy cặp số có tổng chia cho 3 dư 1 là : 1;3 , 1;6 , 2;5 , 3;4 , 3;7 , 4;6 , 6;7 . Vậy có tất cả 7.5! 840 số. Câu 35. Cho tứ diện đều có chiều cao h. Ở ba góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cùng chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích tứ diện đều ban đầu. Giá trị của x bằng h h h h A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 3 4 3 6 Lời giải Tác giả:Đoàn Phú Như ; Fb: Như Đoàn
  32. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Chọn D A E h x G B D K F H C 2 2 2 a 3 a 6 h 6 Gọi độ dài cạnh của tứ diện đều đã cho là a thì h a  a 3 2 3 2 1 a2 3 h3 3 Khi đó thể tích của tứ diện đều đường cao h là V  h . h 3 4 8 x3 3 Tương tự thể tích của tứ diện đều đường cao x là V x 8 1 h3 3 6x3 3 h Theo giả thiết bài toán ta có : V 3V V V 6V x h x 2 h h x 8 8 3 6 4 1 Câu 36. Cho dx a b ln(6 c) với a,b,c,d là các số nguyên d 0 tan x cot x 12 6 dương. Giá trị biểu thức a b c d bằng A. 22 . B. 26 . C. 30 . D. 4. Lời giải Tác giả: Phạm Thị Yến FB : Phạm Thị Yến Chọn A 4 4 sin x cos x 1 6 12 dx 1 1 dx 0 tan x cot x 0 sin x cos x 12 6 12 6 4 sin x cos x sin x cos x 6 12 12 6 1 dx 0 sin x cos x 12 6
  33. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 cos x x 4 sin 4 1 6 12 sin 1 dx 12 . 1 dx 12 0 sin x cos x cos 0 sin x cos x 12 6 12 12 6 cos x x 4 4 cos x sin x 6 12 12 6 tan 1 dx 2 3 1 dx 12 0 sin x cos x 0 sin x cos x 12 6 12 12 4 2 3 ln sin x ln cos x x 2 3 ln 6 27 12 6 4 0 Vậy a b c d 22 Câu 37. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau 1 2 2 Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) f (x3 3x) x5 x3 3x trên đoạn [ 1;2] bằng 5 3 15 A. 2019 . B. 2020 . C. 2021. D. 2022 . Lời giải Tác giả: Phạm Thị Yến FB : Phạm Thị Yến Chọn C Ta có g '(x) 3(x2 1). f '(x3 3x) (x4 2x2 3) 2 3 2 (x 1) 3 f '(x 3x) (x 3) Khi x [ 1;2] thì f '(x3 3x) 0 (BBT) và x2 3 0 x 3 f '(x3 3x) (x2 3) 0x [ 1;2] Vậy g '(x) 0 x 1 BBT
  34. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Vậy max g(x) g(1) f ( 2) 2 2021 . [ 1;2] Câu 38. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I (1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm A , B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Khi đó giá trị của m bằng 3 2 5 6 A. 1± . B. 1± . C. 1± . D. 1± . 2 2 2 2 Lời giải Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Triết Minh Đoàn Chọn A Ta có y¢= 3x2 - 3m . Hàm số có hai cực trị Û y¢= 0 có hai nghiệm phân biệt 36m 0 m 0 . 1 Vì y = y¢- 2mx + 2 nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = - 2mx + 2(D). 3 2m- 1 Ta có d (I;D)= . 4m2 + 1 1 R2 1 Mặt khác S = .IA.IB.sin A· IB £ = . IAB 2 2 2 1 Nên diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất bằng khi sin A· IB = 1 hay tam giác AIB 2 vuông cân tại I . 1 1 2m 1 1 3 Do đó IH R. m 1 . 2 2 4m2 1 2 2 Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại S . Cạnh bên SA và mặt bên (SAB) lần lượt tạo với đáy các góc bằng 45° và 60° . Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SBC đến mặt phẳng (SAD) bằng 42a 42a 2 15a 15a A. . B. . C. . D. . 14 42 15 15 Lời giải Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Triết Minh Đoàn Chọn C
  35. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Dễ thấy SMN  ABCD . Gọi H là hình chiếu của S lên ABCD H MN . Khi đó S·MH 60 , S· AH 45 . a2 Giả sử SA SB x SM x2 , 4 x 2 SHA vuông cân tại H SH . 2 SH a 3 a 6 a 2 SHM vuông tại H sin 60 x SH , MH . SM 2 4 4 Gọi I là hình chiếu của H lên AD , K là hình chiếu của H lên SI HK  SAD . a 1 1 1 a 15 HI HK . 2 HK 2 SH 2 HI 2 10 Gọi G là trọng tâm SBC , E là trung điểm BC . Do đó: 2 4 4 2a 15 d G; SAD d E; SAD d H; SAD .HK . 3 3 3 15 Câu 40 . Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 6 2 25 và ba điểm A 2;2;4 , B 2; 2;2 ,C 5; 2; 3 . Điểm M nằm trên S và cách đều hai điểm A, B . Độ dài đoạn CM có giá trị lớn nhất bằng: A. 97 4 . B. 2 26 4 .C. 94 4 . D. 3 26 4 . Lời giải Tác giả: Phan Quyên; FB: Quyen Phan Chọn B Mặt cầu S có tâm O 1;2;6 , bán kính R 5. Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . Khi đó : 2x 2y z 3 0 .
  36. Đề HSG PHÚ THỌ Năm 2019 - 2020 Do d R nên cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn C . O, Mặt khác M S , MA MB nên M C . * Tìm tâm H và bán kính R1 của C : - Gọi là đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với . Khi đó phương trình đường x 1 2t thẳng : y 2 2t . Suy ra H  1;0;5 . z 6 t 2 2 2 2 - R1 R d O, 5 3 4 . Lại có C . CM lớn nhất khi M ở trên C sao cho CM CH R1 2 26 4 .