Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 22: Tọa độ trong không gian - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 22: Tọa độ trong không gian - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 22 Tọa độ trong không gian Câu 1. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 t x 1 y 1 z d1 : và d2 : y 1 và mặt P : x y z 1 0 . Đường thẳng vuông góc với mặt 2 1 1 z t phẳng P cắt d1 và d2 có phương trình là 13 9 4 1 3 2 x y z x y z A. 5 5 5 . B. 5 5 5 . 1 1 1 1 1 1 7 2 x z y 1 x y z C. 5 5 . D. . 1 1 1 1 1 1 Lời giải Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Phùng Hằng Chọn B x 2a 1 x 1 t d1 : y 1 a , d2 : y 1 . z a z t Gọi d là đường thẳng cần tìm, d cắt d1 , d2 lần lượt tại A, B . Khi đó:  A 2a 1; 1 a;a , B 1 t ; 1; t AB 2 t 2a;a; t a . 4 t 5 2 t 2a k   2 Do d  P AB knP a k a . 5 t a k 2 k 5  2 2 2 2 AB ; ; 1;1;1 . 5 5 5 5 1 3 2 x y z 1 3 2 5 5 5 Đường thẳng d qua A ; ; có vectơ chỉ phương u 1;1;1 là: . 5 5 5 1 1 1 Câu 2. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2;m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng. 4 A. m 7 ; n . B. m 1; n 0 . 3  Trang 591 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 C. m 7 ; n . D. m 4 ; n 3. 4 Lời giải Tác giả: Phạm Văn Mạnh; Fb: Phạm Văn Mạnh Chọn C m 7 2 m 1 3 Hai vectơ a , b cùng hướng khi: 0 3 . 1 3 2n n 4 Câu 3. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;5 , B 1;4;3 ,C 5;2;1 . Gọi M là điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho biểu thức T MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của T là: 145 154 A. . B. 2 3 . C. . D. 2 . 3 3 Lời giải Tác giả: Ngô Gia Khánh; Fb:Khánh Ngô Gia Chọn A     Ta có: AB 0;2; 2 , AC 4;0; 4 suy ra: AB , AC không cùng phương hay A, B,C là ba đỉnh của một tam giác. 7 8 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Suy ra: G ; ;3 . 3 3  2  2  2 Ta có: MA2 MB 2 MC 2 MA MB MC   2   2   2 MG GA MG GB MG GC 3MG2 GA2 GB2 GC 2 . Do tổng GA2 GB2 GC 2 không đổi nên MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M nằm trên mặt phẳng Oxy nên M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng Oxy . 7 8 2 2 2 145 Suy ra: M ; ;0 T MA MB MC . 3 3 3 Câu 4. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019)Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S1) có tâm I1 1;0;1 , bán kính R1 2 và mặt cầu (S2 ) có tâm I 2 1;3;5 , bán kính R2 1. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (S1) , (S2 ) lần lượt tại A và B . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn AB . Tính P M.m . A. P 2 6 .B. P 8 5 .C. P 4 5 . D. P 8 6 . Lời giải (theo thầy Phu Dang) Tác giả: Lê Tuấn Anh ; Fb:Anh Tuan Anh Le GV phản biện:Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức  Trang 592 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chọn D Ta có I1I2 5 R1 R2 3,I1 A P I2 B .    2   I I 2 I A AB BI R2 AB2 R2 2I A.BI Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2     AB2 20 2I A.I B 20 2.2.1.cos I A, I B 1 2 1 2   Max AB 2 6 I1 A Z Z I 2 B   . Min AB 4 I1 A Z [ I 2 B Vậy M.m 8 6 Câu 5. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 2 2 2 M (6;0;0) , N(0;6;0) , P(0;0;6) . Hai mặt cầu có phương trình (S1) : x y z 2x 2y 1 0 và 2 2 2 (S2 ) : x y z 8x 2 y 2z 1 0 cắt nhau theo đường tròn (C) . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? A. 4. B. 3. C. 1. D. Vô số. Lời giải Tác giả: Nguyễn Nguyên Chương; Fb: Nguyễn Chương Chọn D I M P O N Gọi ( ) là mặt phẳng chứa (C) và I là tâm mặt cầu cần tìm. Trừ theo vế hai phương trình mặt cầu ta được ( ) : 6x 4y 2z 0 3x 2y z 0 .  Trang 593 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác MNP suy ra tâm mặt cầu thuộc đường thẳng vuông góc với MNP và đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác MNP . Dễ thấy ( )  MNP và ( ) qua J 2;2;2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP nên I thuộc đường thẳng qua J và vuông góc MNP . Vậy có vô số mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán. Câu 6. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 2 y z 1 : . Gọi M là giao điểm của với mặt phẳng P : x 2y 3z 2 0 . Tọa độ của 3 1 2 điểm M là A. 5; 1; 3 . B. 1;1;1 . C. 2;0; 1 .D. 1;0;1 . Lời giải Tác giả: Vũ Hoàng Anh; Fb: Vũ Hoàng Anh Chọn B x 2 3t Phương trình tham số của đường thẳng là: y t z 1 2t Vì M thuộc nên M 2 3t ; t ; 1 2t Mặt khác M thuộc mặt phẳng P nên: 2 3t 2t 3 1 2t 2 0 t 1 Vậy điểm M 1;1;1 . Câu 7. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;5 . Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C mà OA OB OC 0 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Tác giả: Vũ Xuân Định ; Fb: Vu Xuan Đinh Chọn D Giả sử mặt phẳng cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , x y z C 0;0;c với abc 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng: 1 . a b c 1 2 5 Điểm M thuộc mặt phẳng ta có: 1 1 . a b c Để OA OB OC thì a b c . 1 2 5 8 + Trường hợp 1: a b c thay vào 1 ta được 1 1 a 8 . a a a a  Trang 594 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x y z a b c 8 . Phương trình mặt phẳng : 1 x y z 8 0. 8 8 8 1 2 5 2 + Trường hợp 2: a b c thay vào 1 ta được 1 1 a 2 . a a a a a b 2 x y z . Phương trình mặt phẳng : 1 x y z 2 0. c 2 2 2 2 1 2 5 4 + Trường hợp 3: a b c thay vào 1 ta được 1 1 a 4 . a a a a a c 4 x y z . Phương trình mặt phẳng : 1 x y z 4 0 . b 4 4 4 4 1 2 5 6 + Trường hợp 4: a b c thay vào 1 ta được 1 1 a 6 . a a a a a 6 x y z . Phương trình mặt phẳng : 1 x y z 6 0 . b c 6 6 6 6 Vậy có 4 phương trình mặt phẳng . Câu 8. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm x 1 y 1 z 3 A(3; 1; 2), B(1; 5;0) và đường thẳng d : . Biết rằng điểm M (a;b;c) là điểm trên 2 1 1 d sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 9 2 . Giá trị của biểu thức T a b c là. A. T 0 . B. T 3. C. T 1. D. T 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Đăng Điệp; Fb: Nguyễn Đăng Điệp Chọn C Gọi M d M 1 2t;1 t;3 t . 1   Theo bài ra ta có S AM , AB 9 2 (1) MAB 2   Ta có AM 2t 2;t 2;t 5 ; AB 2; 4;2   AM , AB 6t 24; 6t 6; 6t 12 1 2 2 2 1 6t 24 6t 6 6t 12 9 2 2 108t 2 216t 108 0 t 2 2t 1 0 t 1 M 1;0;2 .Vậy giá trị của biểu thức T a b c 1.  Trang 595 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 9. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;3 . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng Oxy và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là 13 6 6 13 x t x t x 2t x 2t 98 49 49 98 40 41 41 40 A. y 2t . B. y 2t . C. y t . D. y t . 49 49 49 49 135 135 135 135 z z z z 98 98 98 98 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Yến ; Fb: Nguyễn Yến. Chọn D Gọi I x0; y0; z0 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có 13 x 2 2 2 2 2 2 0 1 x0 y0 z0 x0 2 y0 z0 98 IA IB 2x0 4y0 3 2 2 2 2 2 2 40 IA IC 1 x0 y0 z0 x0 y0 3 z0 2x0 6z0 8 y0 49 I mp ABC x y z 6x0 3y0 2z0 6 0 0 0 1 135 1 2 3 z0 98 Gọi u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng , do đường thẳng song song với mặt phẳng  Oxy và vuông góc với đường thẳng AB nên chọn u AB 1;2;0 ;k 0;0;1 2;1;0 . 13 40 135 Vậy đường thẳng qua I ; ; và có véc tơ chỉ phương u 2;1;0 có phương trình là 98 49 98 13 x 2t 98 40 y t , t ¡ . 49 135 z 98 Câu 10. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S): (x 1)2 y2 (z 2)2 10 và hai điểm A(1;2; 4), B(1;2;14) . Điểm M (a;b;c) trên mặt cầu (S) sao cho P MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức T a b c . 7 23 A. T . B. T . C. T 4. D. T 7 . 41 41 Lời giải Tác giả:Vũ Duy Hải; Fb: Toán ôn Chọn A  Trang 596 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có S có tâm I(1;0;2) và bán kính R 10 Ta thấy IA 2 10 2R . 1 1 Gọi P là giao điểm của IA và S P(1;1; 1) là trung điểm của IA.Gọi Q(1; ; ) là trung điểm của 2 2 IP. IQ IM 1 Xét 2 tam giác IQM và IMA có: và góc ·AIM chung IM IA 2 MA AI IQM : IMA c.g.c 2 MA 2MQ QM MI Vậy P MA 2MB 2 MQ MB 2BQ 3 82 Vì Q nằm trong S và B nằm ngoài S nên dấu = xảy ra khi M là giao điểm của QB và S và M thuộc đoạn QB x 1 3 Phương trình QB là: y 2 t t R và (S): (x 1)2 y2 (z 2)2 10 2 27 y 14 t 2 2 2 t 2 3 27 2 3 Vậy ta có: (1 1) 2 t (14 t 2) 10 2 2 46 t 41 2 TH1: t M (1;1;5) T a b c 7 (thỏa mãn) vì MB BQ 41 41 41 41 Câu 11. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba mặt cầu 2 2 2 2 2 2 (S1) : (x 3) (y 2) (z 4) 1, (S2 ) : x (y 2) (z 4) 4 và 2 2 2 (S3 ) : x y z 4x 4y 1 0 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S1) , (S2 ) , (S3 ) ? A. 2. B. 4.C.6. D. 8  Trang 597 
8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Phạm Thái Ly; Fb: Thai Ly Pham Chọn A (S1) có tâm I1( 3,2,4) , bán kính R1 1. (S2 ) có tâm I2 (0,2,4) , bán kính R2 2 . (S3 ) có tâm I3 ( 2,2,0) , bán kính R3 3 . Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu có VTPT n (a,b,c) , a 2 b2 c 2 0 . Nhận xét: I1I2 R1 R2 nên (S1) tiếp xúc ngoài (S2 ) . Do đó ta có hai trường hợp sau:   1  TH 1: (P) qua M nhận I I làm VTPT, trong đó M là điểm thoả mãn I M I I . 1 2 1 3 1 2  Ta có M ( 2, 2, 4) , I1I2 (3,0,0) phương trình (P) : x 2 0 . Nhận thấy I3 (P) nên mặt phẳng này không thoả mãn ycbt.   TH 2: (P) qua N , trong đó N là điểm thoả mãn NI1 I1I2 . Suy ra N ( 6, 2, 4) . Phương trình (P) : a(x 6) b( y 2) c(z 4) 0 ax by cz 6a 2b 4c 0 . 2 2 2 * (P) tiếp xúc với (S1) d(I1;(P)) R1 3a 2b 4c 6a 2b 4c a b c 3a a2 b2 c2 . (1) 2 2 2 * (P) tiếp xúc với (S3 ) d(I3;(P)) R3 2a 2b 6a 2b 4c 3 a b c 4a 4c 3 a2 b2 c2 . (2) 2 2 2 3a a b c 9a 4a 4c Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 4a 4c 3 a b c 3a a b c  Trang 598 
9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 5a 4c (I) 2 2 2 3a a b c 9a 4a 4c 5a 4c (II) 9a 4a 4c 2 2 2 3a a b c . 2 2 2 3a a b c 13a 4c (III) 2 2 2 2 2 2 3a a b c 3a a b c 13a 4c (IV) 2 2 2 3a a b c a 0 5a 4c 5 Xét hệ (I): c a 2 2 2 3a a b c 4 103 b2 a2 16 chọn được 2 bộ vectơ (4; 103; 5) , (4; 103; 5) . a 0 5a 4c 5 Xét hệ (II): c a 2 2 2 3a a b c 4 103 b2 a2 16 chọn được 2 bộ vectơ ( 4; 103;5) , ( 4; 103;5) . a 0 13a 4c 13 Xét hệ (III): c a không có bộ (a,b, c) nào thoả mãn. 2 2 2 3a a b c 4 41 b2 a2 16 a 0 13a 4c 13 Xét hệ (IV): c a không có bộ (a,b, c) nào thảo mãn. . 2 2 2 3a a b c 4 41 b2 a2 16 Từ kết quả trên ta có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S1) , (S2 ) , (S3 ) . Câu 12. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 1;1; 2 , v 1;0;m . Tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa hai vectơ u , v bằng 45 . A. m 2 6 . B. m 2 6 . C. m 2 . D. m 2 6 . Lời giải  Trang 599 
10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung; Fb: Nguyễn Thị Hồng Nhung Chọn D 1 u.v 1 2m m Ta có: cos u ,v cos 45 2 m 2 6 . 2 u . v 6. 1 m 2 m 4m 2 0 Câu 13. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 14 x 4 y 4 z 4 S : x 1 y 2 x 3 và đường thẳng d : . Gọi 3 3 2 1 A x0 ; y0 ; z0 x0 0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu S và các tiếp điểm B,C, D sao cho ABCD là tứ diện đều . Tính giá trị của P x0 y0 z0 . A. P 8 . B. P 6 . C. P 16. D. P 12. Lời giải Tác giả: Đào Hải Nam – Bùi Quý Minh Chọn D 14 Câu 1. S có tâm I 1;2;3 bán kính R . 3 2 a 3 a 3 BN 3 Câu 2.Đặt AB a; BN . sin µA . 3 2 3 1 AB 3 BI BI Mặt khác sin µA AI 14 . 1 AI µ sin A1 Giả sử điểm A có tọa độ 4 3t;4 2t;4 t và do AI 14 nên ta có : Câu 3. 4 3t 1 2 4 2t 2 2 4 t 3 2 14 .  Trang 600 
11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 4. t 1 2 1. t 0 Câu 5. . t 2 Kết hợp với điều kiện điểm A có hoành độ dương nên ta nhận t 0 A 4;4;4 . Chọn D Câu 14. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;0 , B 2;0;3 và mặt phẳng P : x 2y 2z 4 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho AM 61 và MB vuông góc với AB . Lời giải     Ta có n 1; 2; 2 và AB 1;1;3 nên n ; AB 4; 5;3 . P P Dễ thấy B P và M P nên MB  P .   Lại có MB  AB (giả thiết) nên đường thẳng MB có véc tơ chỉ phương là: u n ; AB . P x 2 4t Phương trình tham số của đường thẳng MB là: y 5t M 2 4t ; 5t ;3 3t . z 3 3t Mà AM 2 61 4t 1 2 5t 1 2 9 t 1 2 61. t 2 1 0 t 1 . Vậy có hai điểm M 2; 5;6 và M 6;5;0 . Câu 15. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu x y 2 z S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và đường thẳng d : . Hai mặt phẳng P , P chứa d 1 1 1 và tiếp xúc với S tại T , T . Tìm toạ độ trung điểm H của TT . 5 2 7 7 1 7 5 1 5 5 1 5 A. H ; ; . B. H ; ; . C. H ; ; . D. H ; ; . 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tuân; Fb: Nguyễn Tuân Chọn C  Trang 601 
12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 + Mặt cầu S có tâm I 1;0; 1 và có bán kính R 1. + Gọi M là hình chiếu của I trên d . Suy ra: M t ;2 t ; t d .   Ta có: IM t 1;t 2; t 1 và ud 1;1; 1 là vectơ chỉ phương của d .   Suy ra: IM .ud 0 t 1 t 2 t 1 0 t 0 M 0;2;0 . 1 + Ta có: IM 6 , IH.IM IT 2 1 IH . 6 1 5 x 1 x H 6 H 6  1  1 1 5 1 5 Suy ra: IH IM yH 0 .2 yH . Vậy H ; ; . 6 6 3 6 3 6 1 5 zH 1 zH 6 6 Câu 16. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :x y z 1 0 và hai điểm A 1; 1; 2 , B 2;1;1 . Mặt phẳng Q chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P , mặt phẳng Q có phương trình là A. x y 0 . B. 3x 2y z 3 0 . C. 3x 2y z 3 0 . D. x y z 2 0 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Trung Hiếu; Fb: Hieu nguyen Chọn C   Ta có AB 1;2; 1 , mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n(P) 1;1;1 mặt phẳng Q có vectơ    pháp tuyến n AB,n 3; 2; 1 . (Q) (P) Lại có Q đi qua A 1; 1;2 nên Q có phương trình Q :3(x 1) 2(y 1) 1(z 2) 0 3x 2y z 3 0.  Trang 602 
13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 17. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 5;3;1 , B 4; 1;3 , C 6,2,4 và D 2;1;7 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa       3MA 2MB MC MD MA MB là một mặt cầu S . Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu S . 4 2 3 1 14 2 21 A. I ;1; , R . B. I ; ; , R . 3 3 3 3 3 3 3 14 8 21 8 10 1 3 C. I 1; ; , R . D. I ; ; , R . 3 3 3 3 3 3 3 Lời giải Tác giả: Đỗ Hữu Nhân ; Fb: Do Huu Nhan Phản biện: Nguyễn Xuân Giao ; Fb: Giao Nguyen Chọn C Gọi M x, y, z .     3MA 2MB MC MD 3 3x;14 3y;8 3z       3MA 2MB MC MD MA MB 9 x 1 2 3y 14 2 3z 8 2 21 2 2 2 14 8 21 x 1 y z 3 3 9 14 8 21 Vậy tập hợp các điểm M là một mặt cầu S có tâm I 1; ; và bán kính R . 3 3 3 Câu 18. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm       A 4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 và điểm M a;b;c thỏa mãn MA.MB 2MB.MC 5MC.MA lớn nhất. Tính P a 2b 4c . A. P 23. B. P 31. C. P 11. D. P 13. Lời giải Tác giả: Trần Anh Tuấn; Fb: Trần Anh Tuấn Chọn D    Ta có: MA 4 a;1 b;5 c , MB 3 a; b;1 c , MC 1 a;2 b; c  Trang 603 
14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019       MA.MB 2MB.MC 5MC.MA 4 a 3 a 1 b b 5 c 1 c 2 3 a 1 a 2 b 2 b 2 1 c c 5 4 a 1 a 5 1 b 2 b 5 5 c c 2a2 2b2 2c2 4a 10b 17c 21 2 2 2 5 17 573 573 2 a 1 2 b 2 c 2 4 8 8 a 1 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b . Khi đó P a 2b 4c 13. 2 17 c 4 Câu 19. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S :x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 và mặt phẳng P : 2x y 2z 14 0 . Điểm M thay đổi trên S , điểm N thay đổi trên P . Độ dài nhỏ nhất của MN bằng: 1 3 A. 1. B. 2 . C. . D. . 2 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Huyền ; Fb: Huyen Nguyen Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 , bán kính R 3. Khoảng cách từ I đến P bằng: d I, P 4 R S và P không có điểm chung. Đường thẳng qua I và vuông góc với P cắt S tại A , cắt P tại H . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thay đổi trên S và P . Gọi K,Elần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên P và IH . Ta có: MN MK EH  Trang 604 
15. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Vì M nằm trên mặt cầu S ( M nằm trên đường tròn tâm E là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng qua M vuông góc với IH ) nên EH AH MN AH . Vậy độ dài MN nhỏ nhất bằng AH d I, P R 1, xảy ra khi M  A, N  H . Câu 20. (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;0 , M 0;1;0 . Tìm tọa độ điểm H thuộc mặt phẳng P :x y z 2 0 biết rằng AH 2 và mặt phẳng AMH vuông góc với mặt phẳng P . Lời giải      Ta có: n 1;1;1 ; AM 1;2;0 u . Ta có: n ; AM 2; 1; 1 . P AM P Mặt phẳng AMH chứa AM và vuông góc với mặt phẳng P nên phương trình mặt phẳng AMH là : 2x y z 1 0 .  Gọi H x; y; z , ta có: AH x 1; y 1; z và AH 2 2 x 1 2 y 1 2 z2 2. 2x y z 1 0 Vì H thuộc mặt phẳng P nên ta có hpt: x y z 2 0 giải hpt ta được H1 1;0; 1 2 2 2 x 1 y 1 z 2 và H2 1; 2;1 Câu 21. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;2;0 và x 1 2t đường thẳng d : y t . Tìm phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A và vuông góc với d. z 1 t A. 2x y z 4 0 .B. x 2 y z 4 0 . C. 2x y z 4 0 . D. 2x y z 4 0 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Khoa ; Fb: Nguyễn Khoa Chọn D Do mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng d nên P có VTPT là nP ud 2;1; 1 . Mặt phẳng P đi qua điểm A 1;2;0 và vuông góc với đường thằng d có phương trình là: 2 x 1 1 y 2 1 z 0 0 2x y z 4 0.  Trang 605 