Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Tây Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Tây Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2021 - 2022 Ngày thi: 08 tháng 6 năm 2021 Môn thi: TOÁN ( chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi) 4 2 3 Câu 1: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức P . 1 3 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hai đường thẳng y 3x 2m 1 và y 4x m 8 cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Câu 3: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết ·ABC 60 và AH a . Tính theo a độ dài cạnh BC . 2 xy y 16 Câu 4: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình . 2 x xy 25 Câu 5: (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 2y x y 2 x 1 . Câu 6: (1,0 điểm) Tìm m, n để phương trình x2 2 n 1 x 2n 2 m m2 n2 0 có nghiệm kép. Câu 7: Cho tứ giác ABCD ( ABC, BCD là các tam giác nhọn) nội tiếp đường tròn có AC và BD cắt nhau tại E . Gọi M , N và I lần lượt là trung điểm của CD, CE và DE . a) (1,0 điểm) Chứng minh I·AE E· BN . b) (1,0 điểm) Gọi J là giao điểm của AI và BN ; đường thẳng JM cắt AC và BD lần lượt tại K và L . Chứng minh JE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EKL . Câu 8: (1,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có A· BD 29 ; ·ADB 41 ; D· CA 58 và ·ACB 82 . Tính ·ABC . Câu 9: (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0 x, y, z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 2 x3 y3 z3 x2 y y2z z2x Hết Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2 :
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (chuyên) (Bản hướng dẫn này có 05 trang) A. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản như trong hướng dẫn chấm thi vẫn cho điểm đúng như hướng dẫn chấm qui định. 2. Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm, thống nhất trong toàn tổ và được lãnh đạo Hội đồng chấm thi phê duyệt. 3. Sau khi cộng điểm toàn bài được làm tròn đến 0,25 điểm. B. Đáp án và thang điểm Câu Nội dung cần đạt Điểm 1 4 2 3 Rút gọn biểu thức P . 1,0 điểm 1 3 2 1 3 • Biến đổi P 0,25 1 3 1 3 0,25 1 3 1 3 0,25 1 3 1 0,25 2 Tìm m để hai đường thẳng y 3x 2m 1 và y 4x m 8 cắt nhau tại 1,0 điểm một điểm trên trục tung. • Từ đề bài suy ra b b 0,25 2m 1 m 8 0,25 3m 9 0,25 m 3. Vậy m 3 là giá trị cần tìm. 0,25 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết 1,0 điểm ·ABC 600 và AH a. Tính theo a độ dài cạnh BC. Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) - Trang 2/6
3. A C B H AH • Trong tam giác vuông ABH ta có sin ·ABH 0, 25 AB AH 2a 3 • Tính được AB 0,25 sin ·ABH 3 AB • Trong tam giác vuông ABC ta có cos ·ABC 0,25 BC AB 4a 3 • Vậy BC . 0,25 cos·ABC 3 2 4 xy y 16 1 Giải hệ phương trình . 2 1,0 điểm x xy 25 2 2 • Lấy 2 1 theo vế ta được: x y 9 x y 3 0,25 16 25 • Nếu x y 3 x y 3 thay vào (1) ta được: y x . 0,25 3 3 16 25 • Nếu x y 3 x y 3 thay vào (1) ta được: y x . 0,25 3 3 25 16 25 16 • Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ; ; ; . 0,25 3 3 3 3 5 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 2y x y 2 x 1 . 1,0 điểm Ta có x2 2 y x y 2 x 1 x2 2 y 1 x 2 y2 1 0 (1). Ta có y2 2y 1 2y2 2 y2 2y 3 4 y 1 2 4 . 0,25 Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì theo y phải là số chính phương nên 0; 1; 4 . • Nếu 4 y 1 2 0 y 1, thay vào phương trình (1), ta có 2 x 0 x 4x 0 x x 4 0 . 0,25 x 4 2 • Nếu 1 y 1 3 y ¢ . Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) - Trang 3/6
4. 2 y 3 • Nếu 0 y 1 4 . y 1 + Với y 3, thay vào phương trình (1), ta có: 0,25 x2 8x 16 0 x 4 2 0 x 4 . + Với y 1, thay vào phương trình (1), ta có x2 0 x 0 . Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên là 0; 1 , 4; 1 , 4; 3 , 0; 1 . 0,25 6 Tìm m, n để phương trình x2 2(n 1)x 2n(2 m) m2 n2 0 có 1,0 điểm nghiệm kép. • Phương trình đã cho có nghiệm kép khi 0 2 0,25 n 1 2n(2 m) m2 n2 0 2 n 1 (m n)2 0 0,25 2 n 1 0 0,25 2 (m n) 0 n 1; m 1 0,25 Vậy m 1,n 1 là các giá trị cần tìm. 7 Cho tứ giác ABCD ( ABC, BCD là các tam giác nhọn) nội tiếp đường tròn có AC và BD cắt nhau tại E. Gọi M , N và I lần lượt là trung điểm của CD, CE và DE. a) (1,0 điểm) Chứng minh I·AE E· BN. 2,0 điểm b) (1,0 điểm) Gọi J là giao điểm của AI và BN; đường thẳng JM cắt AC và BD lần lượt tại K và L. Chứng minh JE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EKL. Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) - Trang 4/6
5. a) Chứng minh I·AE E· BN . 1,0 điểm Ta có I·NE D· CA (vì IN là đường trung bình trong tam giác ECD) 0,25 D· BA D· CA ( cùng chắn cung AD ) 0,25 Hay I·BA I·NA. Từ đó suy ra tứ giác ABNI nội tiếp 0,25 Do đó I·AN I·BN (cùng chắn cung IN ) hay I·AE E· BN 0,25 b) Gọi J là giao điểm của AI và BN; đường thẳng JM cắt AC và BD lần lượt tại K và L. Chứng minh JE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 1,0 điểm tam giác EKL. • Do J· NI J· AB (tứ giác ABNI nội tiếp) nên JNI # JAB NI JN 0,25 suy ra (1) AB JA • Do MN, IN, IM là các đường trung bình trong CDE và tứ giác ABNI nội 0,25 tiếp nên ta có M· NI N· IB E· AB và M· IN D· CE E· BA NI NM Suy ra EAB # MNI dẫn tới (2) AB AE 0,25 Lại có J·NM J· BI J·AN ( MN song song BD và câu a ) (3) Từ (1), (2) và (3) ta được JAE # JNM suy ra M· JN E· JA Do đó J·EK J· AE ·AJE J·NM M· JN K· LE hay JE là tiếp tuyến của 0,25 đường tròn ngoại tiếp tam giác EKL . 8 Cho tứ giác ABCD có A· BD 29; ·ADB 41; D· CA 58 và 1,0 điểm ·ACB 82. Tính ·ABC. Gọi E là giao điểm thứ 2 của AC và đường tròn ngoại tiếp BCD 0,25 Khi đó E· CB E· DB 82 suy ra DA là phân giác của E· DB Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) - Trang 5/6
6. • D· CE D· BE 58 nên BA là phân giác của E· BD 0,25 Từ đó suy ra EA là phân giác của D· EB ; Mà D· EB 180 (58 82) 40 0,25 D· EB 40 Vậy ·ABC A· BD D· BC A· BD 29 49 0,25 2 2 9 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0 x, y, z 1. Tìm giá trị lớn nhất của 3 3 3 2 2 2 1,0 điểm biểu thức T 2 x y z x y y z z x . Do 0 x, y, z 1 nên ta có: (1 x2 )(1 y) (1 y2 )(1 z) (1 z2 )(1 x) 0 0,25 (x2 y2 z2 ) (x y z) (x2 y y2 z z2 x) 3 (1) Do 0 x, y, z 1 nên: x3 x2 x; y3 y2 y; z3 z2 z. (2) 0,25 Từ đó T 2(x3 y3 z3 ) (x2 y y2 z z2 x) do (1) 0,25 (x2 y2 z2 ) (x y z) (x2 y y2 z z2 x) 3 . (3) Vậy giá trị lớn nhất của T là 3. Dấu bằng trong (3) xảy ra đồng thời dấu bằng trong (1), (2) x y z 1 x y 1; z 0 0,25 y z 1; x 0 z x 1; y 0 (Học sinh chỉ cần nêu được 1 trường hợp xảy ra dấu bằng là được) Hết Hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) - Trang 6/6