Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN – CHUYÊN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021 Câu 1. (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: A 4 10 2 5 4 10 2 5 . Câu 2. (2,0 điểm) Cho B 2 22 23 24 22021 22022. Chứng minh rằng B 2 không phải là số chính phương. Câu 3. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC .Biết BC AB 2cm, AC 10cm và C· AH 300. Tính diện tích tam giác ABC. Câu 4. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a b 20c c3. Chứng minh rằng a3 b3 c3 chia hết cho 6. Câu 5. (2,0 điểm) Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo? 2x y 3 x2 9 0 Câu 6. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 y 2xy 9 0. Câu 7. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 m 1 x m2 2 0 ( x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2 x1 x2 4 (biết x1 x2 ). Câu 8. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC và đường tròn A; AB chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B ). Tia CE cắt AD tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của AD. Câu 9. (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a b c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất a3 b3 c3 biểu thức: P . a2 4ab b2 b2 4bc c2 c2 4ca a2 Câu 10. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có B· AD 900 . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K . Chứng minh rằng bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn. HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Ký tên Giám thị 2: Ký tên:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN – CHUYÊN (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Câu 1 Tính giá trị biểu thức: A 4 10 2 5 4 10 2 5 . (2,0 điểm ) - Lập luận : A 0 0,5 điểm 2 2 A 4 10 2 5 4 10 2 5 0,5 điểm 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2. ( 5 1)2 0,5 điểm 8 2( 5 1) 6 2 5 ( 5 1)2 A 1 5. 0,5 điểm Câu 2 Cho B 2 22 23 24 22021 22022 . Chứng minh rằng (2,0 điểm ) B 2 không phải là số chính phương. - Biến đổi: B 2 22 23 24 22021 22022 2B 2 2 22 23 24 22021 22022 2B 22 23 22022 22023 0,5 điểm - Tính được: 2B B 22023 2 B 22023 2 0,5 điểm - Tính được: B 2 22023 2 2 22023 0,5 điểm - Lập luận được: Vì 22023 là lũy thừa với số mũ lẻ nên 22023 không là số chính phương. Vậy B 2 không là số chính phương 0,5 điểm
3. Câu 3 Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC . Biết AC 10cm, (2,5 điểm ) BC AB 2cm và C· AH 300. Tính diện tích tam giác ABC. A 10cm 30° C H B - Tính được: CH AC.sin300 5cm AH AC.cos300 5 3cm 0,5 điểm - Viết được: AB2 HB2 AH 2 2 2 2 AB BC 5 5 3 0,5 điểm - Lập luận : BC AB 2cm AB BC 2 0,5 điểm 2 2 BC 2 BC 5 75 BC 2 BC 5 BC 2 BC 5 75 0,5 điểm - Tính được: BC 16 cm AH.BC 5 3.16 - Vậy S 40 3 cm2 0,5 điểm ABC 2 2 Câu 4 Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a b 20c c3 . (2,0 điểm ) Chứng minh rằng a3 b3 c3 chia hết cho 6. - Biến đổi được: a b 20c c3 a b c c3 c 18c a b c c c 1 c 1 18c 0,5 điểm - Chứng minh được: a b c c c 1 c 1 18c6 0,5 điểm - Mặt khác: a3 b3 c3 (a b c) (a 1)a(a 1) (b 1)b(b 1) (c 1)c(c 1)6 0,5 điểm 3 3 3 - Lập luận kết luận a b c chia hết cho 6 0,5 điểm
4. Câu 5 Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả (2,0 điểm ) thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo? - Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường THCS X x, y N *; x, y 60 0,5 điểm - Lập luận được pt: x y 60 0,25 điểm 38x 50y - Lập luận được pt: 42 60 0,5 điểm x y 60 x 40 - Giải hệ pt: 38x 50y 42 y 20 0,5 điểm 60 0,25 điểm - Trả lời: Cô giáo : 40 , thầy giáo : 20 Câu 6 2x y 3 x2 9 0 1 Giải hệ phương trình: (1,5 điểm ) 2 y 2xy 9 0. 2 - Điều kiện 2x y 3 0, 0,25 điểm 2 2 - Phương trình (2) y x x 9 0,25 điểm - Phương trình 1 2x y 3 y x 2 0 0,25 điểm 2x y 3 0 x 3 0,5 điểm y x 0 y x - Kiểm tra điều kiện và kết luận hệ phương trình có nghiệm 3;3 0,25 điểm Câu 7 Cho phương trình: x2 m 1 x m2 2 0 (*) ( x là ẩn, m là (2,0 điểm ) tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2 x1 x2 4 (biết x1 x2 ). - Lập luận được phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu thì P < 0 0,5 điểm ac 1. m2 2 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị m. - Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và x1 x2 Suy ra x1 0, x2 0 x1 x1, x2 x2 0,5 điểm do đó từ gt: 2 x1 x2 4 2x1 x2 4 1
5. x x 1 m (2) 0,25 điểm - Theo định lí Viet ta có: 1 2 2 x1.x2 m 2 (3) x1 x2 1 m (2) x1 m 5 - Giải hệ 0,25 điểm 2x1 x2 4 (1) x2 6 2m Mà x1 0 x2 nên ta được m 3. - Thay x m 5, x 6 2m vào (3) ta được phương trình: 1 2 0,25 điểm 2 m 2 (m 5)(6 2m) m 2 . m 14 0,25 điểm - Kết hợp m 3 ta được m 2 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 8 Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính (2,5 điểm ) BC và đường tròn A; AB chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B). Tia CE cắt AD tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của AD . B O C H E D A F 0,5 điểm - Kẻ đoạn nối tâm OA và dây chung BE OA  BE - Chứng minh được: BE  CF 0,5 điểm 0,5 điểm - Chứng minh được:OA / /CF - Chứng minh được tứ giác AOCF là hình bình hành 0,5 điểm OC FA . BC AD AD 0,5 điểm - Lập luận: từOC AF F là trung điểm của 2 2 2 AD .
6. Câu 9 Cho a, b, c là các số dương và a b c 6. Tìm giá trị nhỏ (1,5 điểm ) nhất biểu thức: a3 b3 c3 P . a2 4ab b2 b2 4bc c2 c2 4ca a2 a3 b Với a,b 0, ta chứng minh a . a2 b2 2 2 1 1 - Áp dụng: a b 0 a2 b2 2ab 0,25 điểm a2 b2 2ab Khi đó: a3 a(a2 b2 ) ab2 ab2 ab2 b 2 a a a a2 b a2 b2 a2 b2 2ab 2 0,25 điểm b3 c c3 a b ; c b2 c2 2 c2 a2 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 2 0,25 điểm - Áp dụng: a b 0 2 a2 b2 4ab Ta có: a3 a3 1 a3 . ; a2 4ab b2 a2 2(a2 b2 ) b2 3 a2 b2 b3 b3 1 b3 . ; 0,25 điểm b2 4bc c2 b2 2(b2 c2 ) c2 3 b2 c2 c3 c3 1 c3 . c2 4ac a2 c2 2(c2 a2 ) a2 3 c2 a2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 0,25 điểm a2 4ab b2 b2 4bc c2 c2 4ca a2 3 3 3 1 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 1 3 a b b c c a 6 0,25 điểm -Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, dấu “=” xảy ra khi a b c 2. Câu 10 0 Cho hình bình hành ABCD có B· AD 90 .Gọi H là chân
7. (2,0 điểm ) đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K .Chứng minh rằng bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn. K O A M B C D H Gọi M là trung điểm AB . Để chứng minh bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn, ta đi chứng minh D· KH D· CH . · · · - Chứng minh được: DCH ABC AKC 0,5 điểm Khi đó ta đi chứng minh D· KA H· KM . Bài toán được hoàn thành nếu ta chứng minh được tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM. - Chứng minh được: K· AD K· MH 0,5 điểm Ta có: K· AD 180 K· AC 180 D· AC K· BC ·ACH mà K· MH M· HC M· CH M· BC M· CA ·ACH K· BC ·ACH Suy ra K· AD K· MH (1) - Chứng minh được: KMA # BMC KA BC AD AK MK (2) KM BM MH AD MH - Từ (1) và (2) suy ra DKA # HKM D· KA H· KM 0,5 điểm Mà D· KH D· KA ·AKH H· KM ·AKH ·AKC D· KH D· CH Và kết luận bốn điểm K, H, D, C cùng thuộc một đường tròn. 0,5 điểm (Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng giám khảo phân bước cho điểm tương ứng)