Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

1. Đề thi TS 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYấN BèNH ĐỊNH Năm học: 2021 – 2022 Mụn: TOÁN (Chuyờn Toỏn – Tin) – Ngày: 11/06/2021 Đề chớnh thức Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) oOo Bài 1. (2.0 điểm) ổ - + ử ổ ử ỗ x y x y ữỗ1 1ữ 1. Cho biểu thức: A = ỗ - ữ.ỗ - ữ. ốỗ x + y x - y ứữốỗx yứữ Tớnh giỏ trị biểu thức A với x = 2021 + 2 505 , y = 2021- 2 505 . 1 1 1 1 2. Cho cỏc số thực a, b, c ạ 0 và a + b + c ạ 0 thỏa món + + = . a b c a + b + c 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + = . a2021 b2021 c 2021 a2021 + b2021 + c 2021 Bài 2. (2.5 điểm) 1. Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiờn khỏc nhau thỏa món tổng của 11 số bất kỳ lớn hơn tổng của 10 số cũn lại. Biết cỏc số 101 và 102 thuộc tập hợp A . Tỡm cỏc số cũn lại của tập hợp A . 2. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x sao cho x 2 - x + 13 là số chớnh phương. Bài 3. (1.5 điểm) ỡ ù 2 2xy - y + 2x + y = 10 Giải hệ phương trỡnh: ớù . ù ợù 3y + 4 - 2y + 1 + 2 2x - 1 = 3 Bài 4. (3.0 điểm) Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O , D là điểm bất kỡ thuộc cạnh BC ( D khỏc B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và AC . Đường thẳng MN cắt đường trũn (O) tại P , Q (theo thứ tự P , M , N , Q ). Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDP cắt AB tại I (khỏc B ). Cỏc đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K . a) Chứng minh 4 điểm A , I , P , K nằm trờn một đường trũn. QA PD b) Chứng minh = . QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDP tại G (khỏc P ). Đường thẳng CD IG cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh khi D di chuyển trờn đoạn BC thỡ tỉ số khụng CE đổi. Bài 5. (1.0 điểm) Cho a , b là cỏc số dương thỏa món a + 2b ³ 3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 9 3a2 + a2b + ab2 + (8 + a)b3 P = 2 . ab  HẾT  ĐÁP ÁN THAM KHẢO – CHUYấN TOÁN TIN – BèNH ĐỊNH 2021 – 2022 Bài 1. (2.0 điểm) GV: Lờ Hồng Quốc " Cần cự bự thụng minh " Trang 1
2. Đề thi TS 10 ổ - + ử ổ ử ỗ x y x y ữỗ1 1ữ 1. Cho biểu thức: A = ỗ - ữ.ỗ - ữ. ốỗ x + y x - y ứữốỗx yứữ Tớnh giỏ trị biểu thức A với x = 2021 + 2 505 , y = 2021- 2 505 . 1 1 1 1 2. Cho cỏc số thực a, b, c ạ 0 và a + b + c ạ 0 thỏa món + + = . a b c a + b + c 1 1 1 1 Chứng minh rằng: + + = (*). a2021 b2021 c 2021 a2021 + b2021 + c 2021 1. Điều kiện: x > 0 ; y > 0 và x ạ y . ổ - + ử ổ ử - + - - - ỗ x y x y ữỗ1 1ữ x 2 xy y x 2 xy y y - x 4 Ta cú: A = ỗ - ữ.ỗ - ữ= . = . ốỗ x + y x - y ữứ ốỗx yứữ x - y xy xy Thay x = 2021 + 2 505 , y = 2021- 2 505 vào biểu thức đó thu gọn, ta được: 4 4 A = = = 4 . 2021 + 2 505. 2021- 2 505 2021- 4.505 ỡ 4 ù x = 2021 + 2 505 Vậy A = (với x > 0 ; y > 0 và x ạ y ) và A = 4 khi ớù . xy ù ợù y = 2021- 2 505 1 1 1 1 1 1 1 1 b + c b + c 2. Ta cú: + + = Û - + + = 0 Û + = 0 . a b c a + b + c a a + b + c b c a(a + b + c) bc ổ ử ỗ 1 1 ữ Û (b + c)ỗ + ữ= 0 ốỗa(a + b + c) bc ữứ Û (b + c)(bc + a2 + ab + ca)= 0 (do a, b, c ạ 0 và a + b + c ạ 0 ) ộa = - b ờ Û + + + = 0 Û ờ = - . (b c)(a b)(c a) ờb c ờ ởc = - a ỡ ù 1 1 1 1 1 1 1 ù 2021 + 2021 + 2021 = 2021 - 2021 + 2021 = 2021 ù a b c a a c c  Với a = - b , suy ra: ớù ; do đú (*) đỳng. ù 1 1 1 ù = = ợù a2021 + b2021 + c 2021 a2021 - a2021 + c 2021 c 2021  Tương tự trong hai trường hợp cũn lại là: b = - c và c = - a thỡ (*) cũng đỳng. Do đú bài toỏn được chứng minh. Bài 2. (2.5 điểm) 1. Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiờn khỏc nhau thỏa món tổng của 11 số bất kỳ lớn hơn tổng của 10 số cũn lại. Biết cỏc số 101 và 102 thuộc tập hợp A . Tỡm cỏc số cũn lại của tập hợp A . 2. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x sao cho x 2 - x + 13 là số chớnh phương. 1. Giả sử A = {a1 ; a2 ; a3 ; ; a21} với a1 ; a2 ; a3 ; ; a21 ẻ Ơ và a1 a12 + a13 + + a21 Û a1 > a12 - a2 + a13 - a3 + + a21 - a11 (1). Vỡ a1 ; a2 ; a3 ; ; a21 ẻ Ơ nờn a12 - a2 ³ 10 ; a13 - a3 ³ 10 ; ; a21 - a11 ³ 10 (2). Từ (1) và (2), suy ra: a1 > 11404+4414042+4.4 4+441403= 100 mà a1 là số nhỏ nhất trong cỏc số của tập hợp A 10 số 10 nờn a1 = 101 (3). GV: Lờ Hồng Quốc " Cần cự bự thụng minh " Trang 2
3. Đề thi TS 10 Từ (1) và (3), suy ra: a12 - a2 + a13 - a3 + + a21 - a11 0 với mọi x ³ ; y ³ 0 ị phương trỡnh (4) vụ nghiệm. (4) 2 Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho là: (x ; y)= (1;4). Bài 4. (3.0 điểm) Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O , D là điểm bất kỡ thuộc cạnh BC ( D khỏc B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và AC . Đường thẳng MN cắt đường trũn (O) tại P , Q (theo thứ tự P , M , N , Q ). Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDP cắt AB tại I (khỏc B ). Cỏc đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K . a) Chứng minh 4 điểm A , I , P , K nằm trờn một đường trũn. QA PD b) Chứng minh = . QB PK GV: Lờ Hồng Quốc " Cần cự bự thụng minh " Trang 3
4. Đề thi TS 10 c) Đường thẳng CP cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDP tại G (khỏc P ). Đường thẳng CD IG cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh khi D di chuyển trờn đoạn BC thỡ tỉ số khụng CE đổi. a) Vỡ tứ giỏc APBC nội tiếp ị PãAC + PãBC = 180° (1). Vỡ tứ giỏc BDIP nội tiếp ị PãID + PãBC = 180° (2). Từ (1) và (2), suy ra: PãID = PãAC . Lại cú: PãID + PãIK = 180° ; PãAC + PãAK = 180° . Do đú: PãIK = PãAK ; mà hai gúc này cựng nhỡn cạnh PK ị tứ giỏc AIPK nội tiếp hay 4 điểm A , I , P , K nằm trờn 1 đường trũn. b) Ta cú: ÃPK = Ã IK = BãID = BãPD .  Xột DPBD và DPAK , ta cú: PãBD = PãAK (cmt); ÃPK = BãPD (cmt). PB PD ị DPBD # DPAK (g – g) ị = (3). PA PK  Vỡ tứ giỏc APBQ nội tiếp, suy ra: ùỡ PB MP ù = ù QA MA PB QB PB QA ớù ị . = 1 ị = (4). ù QB MB QA PA PA QB ù = ợù PA MP QA PD Từ (3) và (4), suy ra: = . QB PK c)  Trờn AB xỏc định điểm H sao cho ÃPH = Kã PI . Vỡ tứ giỏc AIPK nội tiếp, nờn Kã PI = BãAC . Lại cú A , P và BãAC khụng đổi nờn H là điểm cố định. KI KP  Dễ dàng chứng minh được DKPI # DAPH (g – g) ị = (5). AH AP KP KD Dễ dàng chứng minh được DPKD # DPAB (g – g) ị = (6). AP AB KD KI KD AB Từ (5) và (6) suy ra: = ị = (7). AB AH KI AH CD KD  Ta cú: PãGI = PãBI = PãCA nờn GI P AC hay IE P AC ị = (8). CE KI CD AB AB CD  Từ (7) và (8) suy ra = mà khụng đổi nờn khụng đổi. CE AH AH CE Bài 5. (1.0 điểm) Cho a , b là cỏc số dương thỏa món a + 2b ³ 3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 9 3a2 + a2b + ab2 + (8 + a)b3 P = 2 . ab 2 2 9 2 3 3a + a b + ab + 8 + a b 2 ( ) 3a 9b 8b Ta cú: P = 2 = + a + + + b2 ab b 2 a 8b2 4b.2b 4b(3- a) 12b Theo đề a + 2b ³ 3 ị 2b ³ 3- a ị = = = - 4b . a a a a GV: Lờ Hồng Quốc " Cần cự bự thụng minh " Trang 4
5. Đề thi TS 10 3a 9b 8b2 3a 9b 12b 3a 12b 3b Do đú: P = + a + + + b2 ³ + 3- 2b + + - 4b + b2 = + + b2 - + 3 b 2 a b 2 a b a 2 2 3a 12b ổ 3ử 39 39 231 ³ 2. . + ỗb - ữ + ³ 12 + = . b a ốỗ 4ứữ 16 16 16 ùỡ a, b > 0 ù ù 3a 12b 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ớù = Û a = 2b = . ù b a 2 ù ợù a + 2b = 3 231 ổ3 3ử Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P bằng khi (a;b)= ỗ ; ữ. 16 ốỗ2 4ứữ  CHÚC CÁC EM HỌC TỐT  GV: Lờ Hồng Quốc " Cần cự bự thụng minh " Trang 5