Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Tây Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Tây Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 02 tháng 6 năm 2019 Môn thi: TOÁN ( chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi) Câu 1: (1,0 điểm) Giải phương trình x4 x2 20 0 Câu 2: (1,0 điểm) 2a 2 2 a 1 Rút gọn biểu thức T với a 0,a 4 . a a 2 Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD AB / /CD có CD 2AD 2AB 8 . Tính diện tích của hình thang cân đó. Câu 4: (1,0 điểm) x2 5xy x 5y2 42 Giải hệ phương trình . 2 7xy 6y 42 x Câu 5: (1,0 điểm) Cho hai phương trình x2 6ax 2b 0 và x2 4bx 3a 0 với a,b là các số thực. Chứng minh nếu 3a 2b 2 thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Câu 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd sao cho abcd k 2 k ¥ * và ab cd 1(các chữ số tự nhiên a,b,c,d có thể giống nhau). Câu 7: (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có B· AC 60 và AB AC . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E . Kéo dài BI,CI lần lượt cắt DE tại F và G , gọi M là trung điểm BC . Chứng minh tam giác MFG đều. Câu 8: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn O có tâm O . a)(1,0 điểm) Trên cung nhỏ A»B của đường tròn O lấy điểm D (khác A,B ). Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A bán kính AC với đường thẳng BD . Chứng minh AD là đường trung trực của CK . b)(1,0 điểm) Lấy P là điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác O,C ). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB và AC. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường thẳng EF . Chứng minh Q thuộc đường tròn O . Câu 9: (1,0 điểm) 3 Chứng minh x y z 9xyz 4 x y z xy yz zx với x, y,z là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào? Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn thi: TOÁN (chuyên) (Bản hướng dẫn này có 04 trang) A. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản như trong hướng dẫn chấm thi vẫn cho điểm đúng như hướng dẫn chấm qui định. 2. Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm, thống nhất trong toàn tổ và được lãnh đạo Hội đồng chấm thi phê duyệt. 3. Sau khi cộng điểm toàn bài được làm tròn đến 0,25 điểm. B. Đáp án và thang điểm Câu Nội dung cần đạt Điểm Giải phương trình x4 x2 20 0 1,0 điểm Đặt t x2 ,t 0 , phương trình đã cho trở thành t2 t 20 0 1 0,25 2 1 b 4ac 81 0,25 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt t 4 (nhận); t 5 (loại) 0,25 Với t 4 tìm được x 2 . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0,25 x 2 2a 2 2 a 1 Rút gọn biểu thức T với a 0,a 4 . 1,0 điểm a a 2 2a 2 2 a 1 2 a 2 a 1 0,25 2 2 a 2 a 1 a 1 0,25 a a 2 a 1 a 2 0,25 Vậy T 2 a 1 . 0,25 Cho hình thang cân ABCD AB / /CD có CD 2AD 2AB 8 . Tính 1,0 điểm diện tích của hình thang cân đó. 3 Gọi H,K lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và B xuống CD .
3. SABCD là diện tích hình thang ABCD . · · · · Ta có VADH VBCK do AHD BKC 90 ; ADH BCK và AD BC 0,25 nên DH CK Mặt khác ABKH là hình chữ nhật nên AB HK suy ra CD HK 0,25 DH 2 2 Do đó AH AD2 DH 2 2 3 0,25 AH AB CD Vậy S 12 3 0,25 ABCD 2 2 2 x 5xy x 5y 42 1 Giải hệ phương trình . 2 1,0 điểm 7xy 6y 42 x 2 2 Lấy 1 2 ta được x y 0 x y 0,5 4 Thay x y vào 1 ta được x2 x 42 0 Giải phương trình trên ta được x 7; x 6 0,5 Với x 7 ta có y 7 ; Với x 6 ta có y 6 . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 7;7 và 6; 6 . Cho hai phương trình x2 6ax 2b 0 và x2 4bx 3a 0 với a,b là các số thực. Chứng minh nếu 3a 2b 2 thì ít nhất một trong hai phương 1,0 điểm trình đã cho có nghiệm. 2 2 1 9a 2b, 2 4b 3a 0,25 2 2 5 1 2 3a 1 2b 1 3a 2b 2 0,25 Do 3a 2b 2 nên 1 2 0 0,25 Suy ra có ít nhất một trong hai giá trị , không âm hay ít nhất một 1 2 0,25 trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd sao cho abcd k 2 k ¥ * 1,0 điểm và ab cd 1(các chữ số tự nhiên a,b,c,d có thể giống nhau). abcd k 2 k ¥ * k 2 100ab cd 100 1 cd cd 0,25 6 2 2 k 100 101cd 101cd k 100 101cd k 10 k 10 0,25 Do k 100 (vì k 2 chỉ có 4 chữ số) k 10 101 và do 101 là số nguyên 0,25 tố k 10 101 k 10 101 k 91 Suy ra abcd 912 8281. 0,25 Cho tam giác nhọn ABC có B· AC 60 và AB AC . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB AC lần lượt tại D và E . Kéo dài 7 ABC , 1,0 điểm BI,CI lần lượt cắt DE tại F và G , gọi M là trung điểm BC . Chứng minh tam giác MFG đều.
4. Ta có tứ giác CIEF nội tiếp vì C· EF A· ED 60 ( VADE đều) và · 1 · · CIF ABC ACB 60 . 0,25 2 Suy ra I·FC I·EC 90 nên FM MB MC 1 Mặt khác tứ giác BDGI nội tiếp vì ·ADE 60 (VADE đều) và B· IG C· IF 60 0,25 Suy ra I·GB I·DB 90 nên GM MB MC 2 Lại có G· MF 180 C· MF B· MG 180 A· BC A· CB 60 3 0,25 Từ 1 , 2 và 3 suy ra MF MG và G· MF 60 nên VMFG đều 0,25 Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn O có tâm O 2,0 điểm a)Trên cung nhỏ A»B của đường tròn O lấy điểm D (khác A,B ). Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A bán kính AC với đường thẳng 1,0 điểm BD . Chứng minh AD là đường trung trực của CK . 8 1 B· KC B· AC 45 1 0,25 2 B· DC 90 K· DC 90 2 . 0,25 Từ 1 , 2 suy ra VKDC vuông cân tại D nên DC DK 0,25 Ta lại có AC AK do đó AD là trung trực của CK . 0,25
5. b) Lấy P là điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác O,C ). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB và AC. Gọi Q là điểm đối xứng của 1,0 điểm P qua đường thẳng EF . Chứng minh Q thuộc đường tròn O . Gọi I là giao điểm của AP,EF . Ta có IP IQ IA nên VAQP vuông tại Q 1 0,25 Ta có FP FQ và VPFC vuông cân tại F nên F là tâm đường tròn ngoại 0,25 tiếp VPCQ 1 1 Do đó P· QC P· FC .90 45 2 . 2 2 0,25 Từ 1 , 2 suy ra A· QC A· QP P· QC 135 Suy ra A· QC A· BC 135 45 180 . 0,25 Vậy tứ giác ABCQ nội tiếp, nên Q thuộc đường tròn O . 3 Chứng minh x y z 9xyz 4 x y z xy yz zx * với x, y,z 1,0 điểm là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào? * x3 y3 z3 3xyz x2 y x2z y2 x y2z z2 x z2 y 0 . 0,25 x x y x z y y x y z z z x z y 0 . 9 0,25 Không mất tính tổng quát, giả sử x y z 0 . Khi đó z z x z y x y x x z y y z 0 ( hiển 0,25 nhiên đúng) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z hoặc hai trong 3 số bằng nhau, số 0,25 còn lại là 0 . Hết