Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Khánh Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Khánh Hòa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA TUYỂN SINH 10. BÀI THI TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ BÀI Bài 1. (2đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) y x2 và đường thẳng (d) y 2mx 2m 3 a/ Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/ Gọi y1, y2 lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị m để y1 y2 5 . Bài 2. (2đ) a/ Cho A 20 21 22 22019 và B 22020 . Chứng minh rằng: A,B là hai số tự nhiên liên tiếp. 2x2 3x 10 x2 2x 4 b/ Giải phương trình: 3 x 2 x 2 Bài 3. (3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O ) không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Các tiếp tuyến tại A của (O) và (O ) cắt (O ) và (O) lần lượt tại C và D . Trên đường thẳng AB lấy M sao cho B là trung điểm đoạn AM . a/ chứng minh hai tam giác ABD và CBA đồng dạng b/ Chứng minh MB2 BD.BC c/ Chứng minh ADMC là tứ giác nội tiếp Bài 4. (2đ) 1 2 1 2 a/ Chứng minh rằng với mọi số thực a,b luôn có: a 2 b2 a b và ab a b 2 4 b/ Cho x, y,z là các số thực dương thỏa mãn 5 x2 y2 z2 9x y z 18yz 0 . Tìm giá trị 2x y z lớn nhất của biểu thức Q y z Bài 5. (1đ) Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97 công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS. HẾT 1
2. LỜI GIẢI THAM KHẢO Bài 1. (2đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) y x2 và đường thẳng (d) y 2mx 2m 3 a/ Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/ Gọi y1, y2 lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị m để y1 y2 5 . Giải a/ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) x2 2mx 2m 3 x2 2mx 2m 3 0 (*) Có: m2 2m 3 m 1 2 2 0,m R Vì thế: phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Hay: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/ Gọi x1,x2 lần lượt là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P) y1 2m.x1 2m 3 Khi đó: và x1,x2 chính là hai nghiệm của (*) y2 2m.x2 2m 3 x1 x2 2m Theo Vi-ét, có: x1.x2 2m 3 Có: y1 y2 5 2m.x1 2m 3 2m.x2 2m 3 5 2m.(x1 x2 ) 4m 6 5 2m.2m 4m 6 5 0 4m2 4m 1 0 (2m 1)2 0 2m 1 0 ( do (2m 1)2 0,m R ) 1 m 2 1 Vậy m . 2 Bài 2. (2đ) a/ Cho A 20 21 22 22019 và B 22020 . Chứng minh rằng: A,B là hai số tự nhiên liên tiếp. 2x2 3x 10 x2 2x 4 b/ Giải phương trình: 3 x 2 x 2 Giải a/ Có A 20 21 22 22019 2A 21 22 23 22020 Trừ vế theo vế, ta được: 2A A 21 22 23 22020 20 21 22 22019 2
3. A 22020 1 Lại có: B 22020 ¥ (lũy thừa 2020 theo cơ số 2) Nên: A 22020 1 ¥ Và B A 1 . Vậy A,B là hai số tự nhiên liên tiếp. 2x2 3x 10 x2 2x 4 x2 2x 4 b/ 3 ĐK: x 2 0 và 0 (*) x 2 x 2 x 2 Phương trình tương đương: 24 12 2x 7 3. x 4 x 2 x 2 24 12 2x 8 1 3. x 4 x 2 x 2 12 Đặt t x 4 . x 2 ( ) 2t 1 3. t 1 t 1 2 2t 1 0 t 1 2 t 1 t 1 hoặc t . 9t 4t2 4t 1 4 4t2 5t 1 0 1 t 4 12 Khi t 1 thì x 4 1 x 2 x 4 x 2 x 2 12 0 2 x 2 (n) x 3x 2 0 (do ĐK (*) ) x 1 (n) 1 12 1 Khi t thì x 4 4 x 2 4 4 x 4 x 2 x 2 48 0 4x2 9x 14 0 (Vô nghiệm) Vậy S 1;2 Bài 3. (3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O ) không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Các tiếp tuyến tại A của (O) và (O ) cắt (O ) và (O) lần lượt tại C và D . Trên đường thẳng AB lấy M sao cho B là trung điểm đoạn AM . a/ Chứng minh hai tam giác ABD và CBA đồng dạng b/ Chứng minh MB2 BD.BC c/ Chứng minh ADMC là tứ giác nội tiếp Giải a/ Xét VABD và VCBA . Có: A· DB C· AB (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tt và dây chắn A»B của O ) 3
4. D· AB A· CB (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tt và dây chắn A»B của (O') ) VABD đồng dạng VCBA (g.g) b/ Vì VABD đồng dạng VCBA (câu a) AB BC Nên: hay AB2 BD.BC BD AB Mà: B là trung điểm AM MB2 AB2 BD.BC (đpcm) c/ Có: M· BD B· AD B· DA (Góc ngoài VABD ) M· BC B· AC B· CA (Góc ngoài VABC ) Mà: B· AD B· CA và B· DA B· AC (ở câu a) MB BC Nên: M· BD M· BC . Lại có: MB2 BD.BC BD MB Suy ra: VBDM ∽ VBMC (c.g.c) B· DM B· MC . Xét tứ giác ADMC có: Aµ Mµ B· AD B· AC Mµ Aµ Mµ B· AD B· DA Mµ Aµ Mµ D· BM B· MD B· MC Aµ Mµ 1800 B· DM B· MC Aµ Mµ 1800 Vậy: ADMC là tứ giác nội tiếp. Bài 4. (2đ) 1 2 1 2 a/ Chứng minh rằng với mọi số thực a,b luôn có: a 2 b2 a b và ab a b 2 4 b/ Cho x, y,z là các số thực dương thỏa mãn 5 x2 y2 z2 9x y z 18yz 0 . Tìm giá trị 2x y z lớn nhất của biểu thức Q y z Giải a/ Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương 1 2 Xét: a 2 b2 a b 2 2a 2 2b2 a 2 2ab b2 a 2 2ab b2 0 a b 2 0 (luon dung) 1 2 Vậy: a 2 b2 a b . Dấu “=” xảy ra khi a b 2 1 2 Xét: ab a b 4 4ab a 2 2ab b2 a 2 2ab b2 0 a b 2 0 (luon dung) 4
5. 1 2 Vậy: ab a b . Dấu “=” xảy ra khi a b 4 b/ Có: 5 x2 y2 z2 9x y z 18yz 0 5x2 5 y2 z2 9x y z 18yz 0 5x2 9x y z 5 y2 z2 18yz 1 2 5 2 Mà theo câu a. Có: y2 z2 y z 5 y2 z2 y z 2 2 1 2 9 2 và yz y z 18yz y z 4 2 Nên: 5 y2 z2 18yz 2 y z 2 5x2 9x. y z 2 y z 2 5x2 9x. y z 2 y z 2 0 5x2 10x. y z x. y z 2 y z 2 0 x 2. y z . 5x y z 0 x 2. y z 0 (do 5x y z 0 ) Hay x 2. y z 2x y z 2x 2.2. y z Có: Q 1 1 3 y z y z y z y z Qmax 3 . Dấu “=” xảy ra khi: x 4y 4z x 2. y z Vậy Qmax 3 khi x 4y 4z Bài 5. (1đ) Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97 công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS. Giải Lời bình: Tư duy từ nguyên lý Dirichlet Quy ước, ta xem sự hợp tác của công ty A với công ty B là một liên kết một chiều từ A vào B. Và hiển nhiên, cũng sẽ có liên kết một chiều ngược từ B vào A. Vì mỗi công ty của huyện KS hợp tác ít nhất 97 công ty huyện KV. Khi đó, số liên kết tối thiểu từ KS vào KV là: 33.97 3201 (liên kết) Giả sử: tất cả mỗi một công ty huyện KV đều có tối đa 32 liên kết với các công ty huyện KS. Khi đó, số liên kết tối đa từ KV vào KS là: 100.32 3200 3201 (liên kết) (MẪU THUẪN !) VẬY TỒN TẠI ÍT NHẤT MỘT CÔNG TY HUYỆN KV CÓ 33 LIÊN KẾT VỚI CÁC CÔNG TY HUYỆN KS. (đpcm) 5