Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 14 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi vào Lớp 10 chuyên Toán - Đề số 14 - Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

1. BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ 14 Văn Phú Quốc, GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho n là số tự nhiên và n 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 2. 13 1 23 2 33 3 n3 n b) Cho x, y là các số nguyên sao cho x2 2xy y và xy 2y2 x đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng 2x2 y2 2x y cũng chia hết cho 5. Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 1 2x x2 1 2x x2 2 x 1 4 2x2 4x 1 . 2xy y x2 y2 x y x y 14 2 2 b) Giải hệ phương trình: . 3 3 x y x y 9 2 2 Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol (P) : y 2x2 và đường thẳng d : y 2mx m 1. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức 1 1 P 2 2 đạt giá trị lớn nhất. (2x1 1) (2x2 1) Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành và CH.CD CB.CK . b) Chứng minh rằng AB.AH AD.AK AC 2 . Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2R và C là điểm chính giữa »AB . Lấy điểm M tùy ý trên B»C ( M khác B ). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM . Gọi H,I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm của các đường thẳng BM và HI . a) Chứng minh rằng A,H,K, N cùng nằm trên một đường tròn. R 10 b) Xác định vị trí của điểm M trên cung B»C ( M khác B ) sao cho AK . 2 Câu 6 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương sao cho ab bc ca 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 3 6b 3 6c 3 6a . a b c abc Câu 7 (0,5 điểm). Giả sử A là tập con của các số tự nhiên ¥ . Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x A ( x 1), luôn tồn tại a,b A sao cho x a b ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất. ===Hết===