Chuyên đề Toán Lớp 9 - Ôn tập: Phương trình bậc hai. Hệ Thức Vi-et - Trường THCS Hương Mạc 1

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 9 - Ôn tập: Phương trình bậc hai. Hệ Thức Vi-et - Trường THCS Hương Mạc 1

1. TRƯỜNG THCS HƯƠNG MẠC 1 CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VI-ET A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: I. Phương trình bậc hai: 1. Khái niệm: Phương trình bậc hai một ẩn ( nĩi gọn là phương trình bậc hai) là phương trình cĩ dạng ax2 bx c 0 trong đĩ x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0. Ví dụ: x2 5x 2 0 ; x2 4 0 ;3x2 6x 0 . 2. Cơng thức nghiệm . Cơng thức nghiệm Đối với phương trình ax2 bx c 0(a 0) và biệt thức b2 4ac • Nếu 0 thì phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: b b x ; x 1 2a 2 2a b • Nếu 0 phương trình cĩ nghiệm kép x x 1 2 2a • Nếu 0 thì phương trình vơ nghiệm. Cơng thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình ax2 bx c 0(a 0) và b= 2b’ , ' b'2 ac : • Nếu ∆’> 0 thì phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a b' • Nếu ∆’= 0 phương trình cĩ nghiệm kép x x 1 2 a • Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vơ nghiệm. 3. Hệ thức Vi-et a. Hệ thức Vi-et 2 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a ≠ 0) thì 1
2. b x x 1 2 a c x x 1 2 a b. Ứng dụng của hệ thức Vi – et. b.1 Cách nhẩm nghiệm Nếu phương trình ax2 bx c 0 (a ≠ 0) cĩ a+b+c=0 thì c phương trình cĩ một nghiệm x 1, cịn nghiệm kia là x . 1 2 a Nếu phương trình ax2 bx c 0 (a ≠ 0) cĩ a-b+c=0 thì phương trình cĩ một nghiệm x1 1, cịn nghiệm kia là c x . 2 a b.2 Tìm hai số biết tổng và tích. Nếu hai số cĩ tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đĩ là hai nghiệm của phương trình x2 Sx P 0 . Điều kiện để cĩ hai số đĩ là S 2 4P 0 . 4. Một số điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2. Với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a 0 Điều kiện để phương trình a. Vơ nghiệm khi ∆ 0 hoặc ∆’ >0. d. Cĩ nghiệm khi ∆ 0 e. Cĩ hai nghiệm trái dấu khi ac < 0. e.1 Cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm a.c 0 dương b x x 0 1 2 a e.2 Cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nghiệm a.c 0 dương b x x 0 1 2 a a.c 0 e.3 Cĩ hai nghiệm đối nhau b x x 0 1 2 a 2
3. 0 f. Cĩ hai nghiệm phân biệt cùng dấu c x .x 0 1 2 a 0 b f.1 Cĩ hai nghiệm phân biệt cùng dương x1 x2 0 a c x .x 0 1 2 a 0 b f.2 Cĩ hai nghiệm phân biệt cùng âm x1 x2 0 a c x .x 0 1 2 a Các biểu thức thường gặp trong việc giải tốn phương trình bậc hai chứa tham số khi 0 : 2 2 2 • x1 x2 x1 x2 2x1x2 3 3 3 • x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 1 1 x x S • 1 2 x1 x2 x1x2 p x x x2 x2 S 2 2P • 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 P II. LUYỆN TẬP CÁC DẠNG ĐỂ: I. Tốn trắc nghiệm: Dạng 1: Nhận biết (10) Câu 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai: 2 2 3 0x 2x 3 0 x 2x 0 2 1 x 2x 1 0 A. B. C. 2x 0 D. x Câu 2: Phương trình nào dưới đây cĩ hai nghiệm trái dấu. A. x2 x 0 B. x2 x 6 0 C. x2 x 0 D. x2 3x 2 0 Câu 3. Phương trình x2 2x 3 0 cĩ một nghiệm là: A. 3 B. -1 C. 1 D. A và B đúng. Câu 4: Phương trình 3x2 x 2021 0 cĩ A.hai nghiệm dương B.cĩ 2 nghiệm âm 3
4. C.cĩ 2 nghiệm trái dấu D.cĩ 2 nghiệm cùng dấu 2 Câu 5: Phương trình 2x x 6 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 . Khi đĩ tổng x1 x2 bằng: 1 B. -3 1 D. 3 A. C. 2 2 2 Câu 6: Phương trình x 5x 7 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 . Khi đĩ tích x1.x2 bằng: A.1 B.5 C.7 D.-7 Câu 7: Phương trình 7x2 -9x +2=0 cĩ tập nghiệm là: 2 2 2 2 A. 1;  B. 1;  C. 1;  D. 1;  7 7 7 7 Câu 8: Số 2 và 3 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau: A. x2 5x 6 0 B. x2 5x 6 0 C. x2 5x 6 0 D. x2 5x 6 0 Câu 9: Phương trình x2 2020x 2021 0 cĩ 1 nghiệm là A.1 B.-1 C.2 D.-2 Câu 10: Phương trình x2 7x 10 0 cĩ tổng và tích hai nghiệm là: A.7 và 10 B. 7 và -10 C. -7 và 10 D. -7 và -10 Dạng 2: Thơng hiểu (10) Câu 11. Trong các phương trình sau phương trình nào cĩ 2 nghiệm phân biệt: A. x 2 3x 5 0 B. 3x 2 x 5 0 C. x 2 6x 9 0 D. x 2 x 1 0 Câu 12: Điều kiện để phương trình (m 1)x 2 2x 1 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt là: A. m>0 B. m>0,m≠1 C. m>1 D. m>-2 Câu 13: Phương trình (m 1)x2 2(m 1)x 3 0 cĩ nghiệm kép khi: A.m =4 B. m= 1 C.m=1 và m = 4 7 D. m 4 Câu 14. Với giá trị nào của m thì phương trình m 1 x2 2 m 1 x m 3 0 vơ nghiệm A. m 1 C. m 1 D. m 1 Câu 15. Phương trình x 2 x 1 0 cĩ: A. Hai nghiệm phân biệt đều dương B. Hai nghiệm phân biệt đều âm C. Hai nghiệm trái dấu D. Hai nghiệm bằng nhau. Câu 16 : Phương trình x2 x a 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khi : A. a>1/4 B. a> -1/4 C. a 0 B.m>0,m ≠ 1 C. m<0 D. m ≠ 1 4
5. Câu 18 : Phương trình mx2 2mx 1 0 cĩ nghiệm kép khi : A. m ≠ ±1 B. m =1 C. m=0, m=1 D. m=-1 Câu 19. Cho phương trình m 1 x2 2 m 1 x m 3 0 với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất. 1 1 A. m 1 B. m C. m 1 hay m D. Cả 3 câu trên đều sai. 3 3 2 Câu 20. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x 3x 10 0 .Khi đĩ tích x1.x2 bằng: 3 3 A. B. C. 5 D. 5 2 2 Dạng 3: Vận dụng (8) Câu 21: Tập nghiệm của phương trình x2 – 3x +2 = 0 là: A.{-1;2} B. {1;2} C.{1;-2} D.{-1;-2} Câu 22: Phương trình bậc hai cĩ 2 nghiệm x1 2 1, x2 2 1 là: A. x2 x 2 2 0 B. x2 2 2 1 0 C. x2 2 2x 1 0 D. x2 2 2x 1 0 2 2 2 Câu 23. Giả sử x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình 2x 3x 5 0 . Biểu thức x1 x2 cĩ giá trị là: 29 29 25 A. B. 29 C. D. 2 4 4 Câu 24. Cho phương trình x2 – 4x + 1 – m = 0, với giá trị nào của m thì phương trình cĩ 2 nghiệm thoả mãn hệ thức: 5 x1 x2 4x1x2 0 A. m = 4 B. m = - 5 C. m = - 4 D. Khơng cĩ giá trị nào. 2 Câu 25. Với giá trị nào của m thì phương trình x 2x 3m 1 0 cĩ nghiệm x1; x2 thoả 2 2 mãn x1 x2 10 4 4 2 2 A. m B. m C. m D. m 3 3 3 3 2 Câu 26 : Phương trình x 2x 2 0 cĩ hai nghiệm là x1 và x2 . Phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm -x1 và -x2 là : A. x2 2x 1 0 B. x2 x 2 0 C. x2 2x 2 0 D. x2 2x 2 0 2 Câu 27 : Phương trình x x 2 0 cĩ hai nghiệm là x1 và x2. Biểu thức S x1 x2 2x1x2 cĩ giá trị là : A. 5 B.-5 C. 4 D. 0 5
6. 2 Câu 28 : Phương trình x x 10 0 cĩ hai nghiệm là x1 và x2 . Phương trình bậc hai cĩ 1 1 hai nghiệm và là : x1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 A. x2 x 0 B. x2 x 0 C. x2 x 0 D. x2 x 0 10 10 10 10 10 10 10 10 II. Tốn tự luận. Dạng 1 : Giải phương trình bậc hai. Bài 1: Giải phương trình a) x2 4x 4 0 b) 3x2 7x 2 0 c) 2x2 2 3 x 3 0 Giải 2 a) Cách 1: Ta cĩ: a 1;b' 2;c 4; ' 2 4 0 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm kép x 2 1 2 Cách 2: x2 4x 4 0 x 2 0 x 2 0 x 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm x 2 2 b) Ta cĩ 7 4.3.2 25 0 7 25 7 25 1 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x 2; x 1 2.3 2 2.3 3 c) Ta cĩ: a 2;b 2 3;c 3 Nhận thấy a b c 2 2 3 3 0 3 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x 1; x 1 2 2 Dạng 2 : Tính giá trị của biểu thức liên quan đến tổng và tích hai nghiệm. Bài 2: Cho phương trình 4x2 7x 1 0 Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức. 2 2 A x1 x2 B x1 x2 C x1 4 x2 4 6
7. 1 1 3 3 D E x1 +x2 x1 x2 Giải 2 Ta cĩ: 7 4.4. 1 65 0 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 phân biệt 7 x x 1 2 4 Áp dụng định lí Vi-ét ta cĩ: 1 x x 1 2 4 7 A x x 1 2 4 2 2 2 2 2 2 7 1 57 B x1 x2 x1 x2 2x1x2 2x1x2 x1 x2 2x1x2 2. 4 4 16 1 7 35 C x1 4 x2 4 x1x2 4x1 4x2 16 x1x2 4 x1 x2 16 4. 16 4 4 4 7 1 1 x x D = 1 2 4 7 x x x x 1 1 2 1 2 4 3 3 3 3 2 2 3 7 1 7 427 E x1 +x2 x1 x2 3x1 x2 3x1x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 3. . 4 4 4 64 Bài 3: Cho phương trình x2 m 2 x 3m 3 0 (1) với x là ẩn, m là tham số. a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ độ dài cạnh 2 2 2 huyền bằng 5 (hoặc x1 x2 5 ) . 1 1 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 sao cho 2 2 x1 x2 8 ( hoặc x1, x2 là độ dài 2 cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng cĩ độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là 8 ) Giải: a) m 2 2 4 3m 3 m 2 8m 16 m 4 2 0m Phương trình luơn cĩ hai nghiệm x1, x2. 7
8. Yêu cầu của bài tốn là tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1; x2 là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ độ 2 2 2 dài cạnh huyền bằng 5 tức là x1 x2 5 . Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 dương khi và chỉ khi 2 m 4 0 0 m 4 m 2 0 m 2 m 1 3m 3 0 m 1 x1 x2 m 2 Áp dụng định lí Vi-ét, ta cĩ: x1x2 3m 3 2 2 2 2 Ta cĩ: x1 x2 5 x1 x2 2x1x2 25 2 m 2 2 3m 3 25 m2 2m 15 0 m 5(thỏa mãn) m 3 (loại) Vậy m 5 (m 2)2 4(3m 3) m2 4m 4 12m 12 b) Ta cĩ m2 16m 16 (m 4)2 0m Nên phương trình luơn cĩ hai nghiệm. x1 x2 m 2 Áp dụng định lí Vi-ét, ta cĩ: x1x2 3m 3 2 2 2 1 1 1 x1 x2 1 x1 x2 2x1x2 1 Ta cĩ 2 2 2 2 2 2 x1 x2 8 x1 x2 8 x1 x2 8 m 2 2 2 3m 3 1 m2 2m 10 1 3m 3 2 8 9m2 18m 9 8 8m2 16m 80 9m2 18m 9 m2 2m 71 0 m 1 6 2 1 (t / m) m2 1 6 2 Vậy m 1 6 2;1 6 2 là giá trị cần tìm. 8
9. Bài 4: Cho phương trình bậc hai x2 3x m 0 (1) (m là tham số). a) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm bằng -2. Tính nghiệm cịn lại ứng với m vừa tìm được. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 A x1 x2 3x1x2 (Đề thi vào 10 Tốn học An Giang 2018 - 2019) Giải 2 a) Phương trình cĩ nghiệm bằng -2 nên 2 3. 2 m 0 m 10 b Theo định lí Vi-ét, ta cĩ: x1 x2 2 x2 3 x2 5 a Vậy với m 10 thì phương trình cĩ nghiệm -2 và nghiệm cịn lại là 5. 2 9 b) Phương trình cĩ 2 nghiệm khi và chỉ khi 0 3 4m 0 m 4 x1 x2 3 Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (1): x1x2 m 2 2 2 2 Ta cĩ: A x1 x2 3x1x2 x1 x2 2x1x2 3x1x2 x1 x2 5x1x2 9 5m 9 45 9 9 Ta lại cĩ: m 5m 9 5m A 4 4 4 4 9 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi m 4 4 Dạng 3 : Lập phương trình biết hai nghiệm Bài 5: Lập phương trình cĩ hai nghiệm 2 3 và 2 3 Giải Ta cĩ: S x1 x2 2 3 2 3 4 P x x 2 3 . 2 3 4 3 1 1 2 Phương trình cĩ hai nghiệm 2 3 và 2 3 là x2 4x 1 0 Bài 6: Tìm hai số u, v trong các trường hợp sau: a) u v 5 và uv 4 9
10. b) u2 v2 34 và uv 15 Giải a) Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì u, v là nghiệm của phương trình: x2 5x 4 0 2 5 4.4 9 0 suy ra phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: 5 3 5 3 x 4; x 1 1 2 2 2 Vậy các cặp số u;v thỏa mãn là 4;1 , 1;4 2 2 2 2 u v 8 b) Ta cĩ u v 34 u v 2uv 34 u v 34 2uv 64 u v 8 Trường hợp 1: u v 8 và uv 15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì u;v là nghiệm của phương trình: x2 8x 15 0 2 8 4.15 4 0 suy ra phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: 8 2 8 2 x 5; x 3 1 2 2 2 Các cặp số u;v thỏa mãn là 5;3 , 3;5 Trường hợp 2: u v 8 và uv 15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì u;v là nghiệm của phương trình: x2 8x 15 0 82 4.15 4 0 suy ra phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: 8 2 8 2 x 3; x 5 1 2 2 2 Các cặp số u;v thỏa mãn là 5; 3 , 3; 5 Vậy các cặp số u;v thỏa mãn là 5;3 , 3;5 , 5; 3 , 3; 5 2 Bài 7: Cho phương trình x 2 m 2 x 6 0 (m là tham số) cĩ hai nghiệm x1, x2. x x Lập phương trình cĩ hai nghiệm 2 và 1 . x1 x2 Giải 10
11. 2 Phương trình x 2 m 2 x 6 0 cĩ ac 0 nên phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 phân biệt. x1 x2 2 m 2 Áp dụng định lí Vi-ét, ta được: x1x2 6 x x Đặt u 2 và v 1 x1 x2 Ta cĩ: 2 2 2 2 x x 2x x 2 m 2 12 2 x2 x1 x1 x2 1 2 1 2 2m 8m 14 S u v x1 x2 x1x2 x1x2 6 3 x x P u.v 2 . 1 1 x1 x2 x x Phương trình cĩ hai nghiệm 2 và 1 là: x1 x2 2m2 8m 14 X 2 X 1 0 3X 2 2m2 8m 14 X 3 0 3 Dạng 4 : Lập biểu thức độc lập với tham số m. Bài 8: Cho phương trình x2 2m 1 x m 7 0 (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc m. Giải 2 Ta cĩ: 2m 1 4 m 7 4m2 4m 1 4m 28 4m2 29 0,m Phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Áp dụng định lí Vi-ét, ta cĩ: x1 x2 2m 1 x1 x2 2m 1 x1 x2 2x1x2 15 x1x2 m 7 2x1x2 2m 14 Vậy hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc vào tham số m là x1 x2 2x1x2 15 Bài 9: Cho phương trình m 2 x2 2mx m 1 0 (m là tham số). a) Tìm các giá trị của m phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số m. 11
12. Giải a) Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a 0 m 2 0 m 2 m 2 2 ' 0 m m 1 m 2 0 m 2 0 m 2 2m x x 1 2 m 2 b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta cĩ: m 1 x x 1 2 m 2 2m 4 4 2 m 2 4 4 12 x x 2 3 x1 x2 6 1 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 3 m 2 3 3 12 x x 1 4x x 4 1 2 m 2 m 2 m 2 m 2 1 2 m 2 Trừ từng vế ta cĩ 3 x1 x2 4x1x2 2 Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số m là 3 x1 x2 4x1x2 2 . Dạng 5 : Phương trình cĩ chứa tham số. Bài 10: Cho phương trình x2 4x m 3 0 (1) (m là tham số) a) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm kép. d) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu. e) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm cùng dấu. f) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm cùng dương. g) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm cùng âm. Giải ' ( 2)2 1.(m 3) 4 m 3 7 m a) Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi ' 7 m 0 m 7 Vậy m 7 thì phương trình cĩ nghiệm. b) Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ' 7 m 0 m 7 Vậy m 7 thì phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt. 12
13. c) Phương trình cĩ nghiệm kép khi và chỉ khi ' 7 m 0 m 7 Vậy m 7 thì phương trình cĩ nghiệm kép. d) Phương trình cĩ nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac 0 m 3 0 m 3 Vậy m< 3 thì phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu. e) Phương trình cĩ hai nghiệm cùng dấu ' 7 m 0 m 7 3 m 7 x1.x2 m 3 0 m 3 Vậy 3 m 7 thì phương trình cĩ hai nghiệm cùng dấu. f) Phương trình cĩ hai nghiệm cùng dương ' 7 m 0 m 7 x1.x2 m 3 0 3 m 7 m 3 x1 x2 4 0 Vậy 3 m 7 thì phương trình cĩ hai nghiệm cùng dương. g) Phương trình cĩ hai nghiệm cùng âm ' 7 m 0 x1.x2 m 3 0 (Khơng cĩ giá trị nào của m thỏa mãn bài tốn). x1 x2 4 0(vơlí) Vậy khơng cĩ giá trị nào của m để phương trình cĩ hai nghiệm cùng âm. Bài 11: Cho phương trình (m 3)x2 2mx m 2 0(1) ; m là tham số. a) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. -Nếu m= 3 thì phương trình (1) trở thành -6x +5 = 0 cĩ nghiệm duy 5 nhất x = . 6 -Nếu m ≠3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai. Phương trình (1) cĩ nghiệm ' 0 (-m)2 - (m - 3).(m + 2) 0 m + 6 0 m -6 Vậy phương trình 1 cĩ nghiệm với m -6 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt 13
14. Phương trình (`1) cĩ hai nghiệm phân biệt m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 Vậy phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khi m 3 và m > -6 c) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm là hai số đối nhau. Phương trình (1) cĩ hai nghiệm là hai số đối nhau m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 S x x 0 2m m 0 1 2 0 m 3 Vậy với m = 0 thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm là hai số đối nhau. d) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. Phương trình (1) cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau m 3 m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 m 6 S x .x 1 2m m 2 m 3 2 3 ( vơ lí ) 1 2 1 m 3 Vậy khơng cĩ giá trị nào của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. e) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. m 3 m 3 m 3 2m S 0 0 0 m 3 m 3 a.c 0 2 m 3 (m 2)(m 3) 0 0 < m < 3 Vậy với 0 < m < 3 thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. 14
15. f) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm dương. Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm dương. m 3 m 3 2m S 0 0 -2 10 thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. 2 2 h) Tìm các giá trị của m để biểu thức A x1 x2 cĩ giá trị nhỏ nhất, với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). 15
16. Để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1, x2 thì: m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 m 2 2m Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x .x = ; x x = 1 2 m 3 1 2 m 3 Khi đĩ: 2 2 2 A = x1 x2 = (x1 x2 ) 2x1.x2 2m 2(m 2) 2m 2 2m 12 = ( )2 = m 3 m 3 (m 3) 2 Suy ra: (2 - A)m2 + 2(1 + 3A)m + 12 - 9A = 0 (*) Để tồn tại m thì phương trình (*) với ẩn m phải cĩ nghiệm. 3 + Nếu A = 2 thì phương trình (*) cĩ một nghiệm m = 7 + Nếu A 2 thì phương trình (*) cĩ nghiệm '(m) = 36A - 23 0 23 23 b 1 3A 15 A minA = m = 36 36 a A 2 17 15 23 Vậy với m = thì biểu thức A = x 2 x 2 cĩ giá trị nhỏ nhất là 17 1 2 36 2 2 x1 .x2 i) Tìm m để biểu thức B = 2 cĩ giá trị lớn nhất, với x1, x2 là hai nghiệm (x1 x2 ) của phương trình (1). Để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1, x2 thì: m 3 m 3 m 3 ' 0 m 6 0 m 6 Theo hệ thức Vi-ét và đề bài ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 x1 .x2 (x1.x2 ) (m 2) (2m) (m 4m 4) B = 2 = 2 = 2 : 2 = 2 (x1 x2 ) (x1 x2 ) (m 3) (m 3) 4m Suy ra: (4m + 1)m2 + 4m + 4 = 0 ( ) Để tồn tại m thì phương trình ( ) phải cĩ nghiệm: 1 + Nếu B = thì phương trình ( ) cĩ một nghiệm m = -1 4 16
17. 1 + Nếu B thì phương trình ( ) cĩ nghiệm 4 '(m) = 4 - 4(1 + 4B) = 16B 0 16B 0 B 0 b 2 Max B = 0 m = 2 (thỏa mãn) a 4B 1 2 2 x1 .x2 Vậy với m = -2 thì biểu thức B = 2 cĩ giá trị lớn nhất. (x1 x2 ) Bài 12 : Cho phương trình (ẩn số x): x2 4x m2 3 0 * . 1. Chứng minh phương trình (*) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa x2 5x1 Lời giải: 1. x2 4x m2 3 0 * . 16 4m2 12 4m2 4 4 0; m Vậy (*) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) cĩ hai nghiệm x1; x2 thỏa x2 5x1 2 Theo hệ thức Viet cĩ: x1.x2 m 3; x1 x2 4; mà x2 5x1 x1 1; x2 5 2 Thay x1 1; x2 5 vào x1.x2 m 3 m 2 2 Bài 13: Cho phương trình mx2 2 m 1 x m 4 0 (1) (m là tham số). a) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 4x1 x2 3 Giải a) Trường hợp 1: m 0 thì 1 2x 4 0 x 2 Với m 0 thì phương trình cĩ nghiệm. Trường hợp 2: m 0 thì (1) là phương trình bậc hai cĩ nghiệm khi và chỉ khi 2 1 ' 0 m 1 m m 4 0 6m 1 0 m 6 1 Kết hợp 2 trường hợp thì m 6 17
18. 1 Vậy với m thì phương trình (1) cĩ nghiệm. 6 b) Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 m 0 m 0 m 0 1 ' 0 6m 1 0 m 6 2 m 1 x x (2) 1 2 m Áp dụng định lí Vi-ét, ta cĩ: m 4 x x (3) 1 2 m Theo đề bài ta cĩ: 4x1 x2 3 x2 3 4x1 (4) Thay (4) vào (2) ta được: 2 m 1 2 m 1 m 2 x 3 4x 3x 3 x 1 1 m 1 m 1 3m 4 m 2 5m 8 x 3 2 3m 3m m 2 5m 8 Thay x ; x vào (3) ta được 1 3m 2 3m m 2 5m 8 m 4 . 3m 3m m m 8 2 m 2 5m 8 9m m 4 2m 17m 8 0 1 m 2 1 Kết hợp điều kiện suy ra m 8 hoặc m . 2 1 Vậy với m 8 hoặc m thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 4x1 x2 3 Dạng 6 : Tương giao giữa đường thẳng và parabol. Bài 14: Cho đường thẳng (d): y = x +2 và parabol (P) y = x2. a) Tìm tọa độ giao điểm A và B của hai đồ thị trên bằng phương pháp đại số. b) Gọi D,C lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A, B lên trục hồnh. Tính diện tích tứ giác ABCD. 18
19. Giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là : x2 x 2 x2 x 2 0 Ta thấy a-b+c=0 nên phương trình cĩ nghiệm x1= -1 ; x2 = 2. x1= -1 thì y1 = -1 +2 = 1 ta cĩ A(-1 ;1) x2 = 2 thì y2 = 2+2=4 ta cĩ B(2 ;4). Vậy (d) cắt (P) tại A(-1 ;1) và B(2 ;4). b) Hình chiếu của A,B trên trục hồnh lần lượt là D(-1;0), C(2;0). Khi đĩ ABCD là hình thang vuơng tại C,D cĩ các đáy là AD = 1, BC = 4 và đường cao CD = 3. 1 1 15 Diện tích cần tìm là S (AD BC)CD .(1 4).3 (đơn vị diện tích). ABCD 2 2 2 Bài 15 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m+2)x +3 và parabol (P) y = x2. a) Chứng minh (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ là các số nguyên. Giải: x2 (m 2)x 3 a) Phương trình hồnh độ giao điểm x2 (m 2)x 3 0(1) m 2 2 4.( 3) (m 2)2 12 0m Phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt nên (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x1;x2 là hồnh độ giao điểm của (d) và (P) thì x1;x2 là hai nghiệm của phương trình (1). x1 x2 m 2 Theo hệ thức Vi–ét ta cĩ x1.x2 3 x1 1 x1 3 Vì x1;x2 là các số nguyên nên hoặc x2 3 x2 1 Khi đĩ x1 +x2 = 1+(-3) = m + 2  m = -4. 19
20. Vậy m = -4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ là các số nguyên. 3. NHỮNG LỖI HỌC SINH THƯỜNG MẮC Khi a là số âm nhưng khi ∆>0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thì khi thay vào cơng thức nghiệm vẫn để a là số dương quên dấu “ – “. Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình (m 1)x2 2mx (m 2) 0 cĩ hai nghiệm phân biệt Một số học sinh giải như sau: Ta cĩ ' m2 (m 1)(m 2) m2 (m2 3m 2) 3m 2 2 Để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thì ∆’>0 3m – 2>0  m 3 Ở đây học sinh đã quên điều kiện để phương trình trên là phương trình bậc hai là m 1 0 m 1. m 1 m 1 0 Vậy điều kiện cần tìm là 2 ' 3m 2 0 m 3 Ví dụ 2 : Tìm điều kiện của m để phương trình (m 1)x2 mx 2m 1 0(2) cĩ hai nghiệm phân biệt. Một số học sinh đã giải như sau : Vì a+b+c=m-1+m-2m+1=0 nên phương trình (2) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt 1 2m x 1, x . 1 2 m 1 Cách giải này mắc hai lỗi : Thứ nhất : Quy tắc nhẩm nghiệm chỉ áp dụng cho phương trình bậc hai nên cần thêm điều kiện m ≠1. 1 2m Thứ hai : Khi đã cĩ điều kiện m ≠ 1 rồi thì chắc 1. m 1 Vậy lời giải đúng là : Vì a+b+c=0 nên phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt m 1 0 m 1 m 1 khi 1 2m 2 1 1 2m m 1 m m 1 3 Ví dụ 3 : Cho phương trình x2 (2m 1)x 2m 0 (3) Tìm m để phương trình (3) cĩ hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho x2 = 2x1. Một học sinh giải như sau : Phương trình (3) là phương trình bậc hai cĩ a+b+c=1-2m- 1+2m=0 nên (3) cĩ hai nghiệm là x1= 1, x2 = 2m. Do đĩ điều kiện cần tìm là 2m = 2  m = 1. Sai lầm của lời giải ở chỗ x1,x2 chỉ là quy ước, do vậy cần xét cả trường hợp thứ hai là x1 = 2m, x2 = 1. Do đĩ trường hợp thứ hai cho kết quả 1= 4m m = ¼. 20
21. 1 Kết quả cuối cùng là m 1;  . 4 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau bằng cơng thức nghiệm: 5 a. 3x2 2x 3 2 0 b. 5x2 5 2x 0 2 c. x2 1 3 x 3 0 d. x2 3 2 x 6 0 Bài 2: Với giá trị nào của k thì các phương trình sau cĩ nghiệm kép? Tính nghiệm kép đĩ. a. x2 10x k 2 0 b. x2 kx 3 0 c. x2 2kx 7 k 0 d. x2 k 1 x 1 0 Bài 3: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau vơ nghiệm? a. 3x2 2mx 4 0 b. x2 2x m 0 c. 3x2 mx 2 0 d. x2 m 2 x 9 0 Bài 4: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo m. a. 4x2 mx 15 0 b. x2 8x 4m2 0 c. 4x2 3x m 1 0 d. 3x2 2 m 1 x 3 0 Bài 5: Với giá trị nào của x hai hàm số sau cĩ giá trị bằng nhau: 1 a. y x2 1 và y 2x b. y x2 2 và y 3x 2 2 2 Bài 6: Cho phương trình: 3x 5x 6 0 cĩ nghiệm x1 ; x2 . Khơng tính giá trị của x1 ; x2 , hãy lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là u và v. 1 1 Biết u x1 và v x2 . x2 x1 Bài 7: Lập các phương trình bậc hai cĩ các nghiệm là các cặp số sau 1 a. 5 1 và b. 2 3 và 2 3 5 1 2 Bài 8: Cho phương trình x 5x 6 0 cĩ hai nghiệm x1 ; x2 . Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau: 2 2 3 3 a. A x1 x2 b. B x1 x2 2 2 1 1 x1 x2 c. C d. D 2 2 x1 x2 x2 x1 21
22. 2 Bài 9: Cho phương trình 2x 7x 6 0 cĩ hai nghiệm x1 ; x2 . Khơng giải phương trình, hãy lập phương trình cĩ hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau: 1 1 a. u ; v b. u 1 x1 ; v 1 x2 x1 x2 2 Bài 10: Cho phương trình x 12x m 0 . Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện sau: 3 a. x x 2 b. x x 1 2 1 2 2 Bài 11: Cho phương trình: x2 2mx 4m 4 0. x 1 x 1 13 a. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiêm thỏa mãn 1 2 x2 x1 4 b. Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 mà khơng phụ thuộc vào tham số m. Bài 12: Cho phương trình : x2 5x 2m 1 0 a. Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x x 19 b. Tìm m để 1 2 x2 x1 3 Bài 13: Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2m 10 0 a. Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 2 2 b. Tìm GTNN của biểu thức A 10x1x2 x1 x2 Bài 14: Cho phương trình: m 4 x2 2mx m 2 0 a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x = 2, tìm nghiệm cịn lại c. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt. Bài 15: Cho phương trình: x2 4x m 1 0. Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm thõa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. Bài 16: Cho phương trình: mx2 2 m 3 x m 2 0 a. Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt b. Tìm m thỏa mãn hệ thức 3x1x2 2 x1 x2 7 0 c. Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 mà khơng phụ thuộc vào m. Bài 17: Cho phương trình: x2 m 3 x m 0 a. Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt b. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm bằng - 2. Tìm nghiệm cịn lại. c. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm Tìm nghiệm thỏa mãn hệ thức: 3 x1 x2 x1x2 5. 22
23. Bài 18: Cho phương trình: x2 2 m 3 x m2 8m 6 0 2 2 a. Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 34. b. Với giá trị m của câu a. Khơng giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: x1 x2 A . x2 x1 Bài 19: Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 4 0 a. Chứng minh phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 b. Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 40. c. Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 mà khơng phụ thuộc vào m. Một số bài tốn về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et trong Đề thi vào 10 của tỉnh Bắc Ninh và một số tỉnh khác. Bài 1: (2007-2008) Cho phương trình bậc hai x2 2(2m 1)x 3m2 4 0 (ẩn x) (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm m để x1+2x2 = -2. Bài 2: ( 2008-2009) Cho phương trình 2x2 (2m 1)x m 1 0 (*) a) Tìm m để phương trình (*) cĩ nghiệm kép. b) Tìm m để phương trình (*) cĩ hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm cĩ giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Bài 3: (2009-2010) Cho phương trình (m 1)x2 2(m 1)x m 2 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = 3. b) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn 1 1 3 . x1 x2 2 Bài 4: (2012-2013) Cho phương trình mx2 (4m 2)x 3m 2 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = 2. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) cĩ các nghiệm là nghiệm nguyên. Bài 5: (2013-2014) Cho phương trình 2x2 4mx 2m2 1 0 (m là tham số) (1) a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1,x2. Tìm m để 2x1 4mx2 2m 9 0 . Bài 6: (2015-2016). Cho phương trình x2 2mx 2m 10 0 (1) ,m là tham số. 1) Giải phương trình (1) khi m = -3. 2) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho 2x1 x2 4 . Bài 7 : ( 2017-2018) 23
24. Cho phương trình x2 2mx m2 1 0 (1) với m là tham số. 1) Giải phương trình (1) khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1), lập phương trình bậc hai nhận 3 2 2 3 2 2 x1 2mx1 m x1 2 và x2 2mx2 m x2 2 là nghiệm. Bài 8: Cho phương trình bậc hai với ẩn số x: x2 2 m 1 x 2m 3 0 (với m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của phương trình khơng phụ thuộc vào tham số m. (Đề thi vào 10 Sở giáo dục và Đào tạo Hải Phịng 2017 - 2018) Bài 9: Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 m 0 (m là tham số). Tìm giá trị của m 2 2 để phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 x1 1 x2 6 . (Đề thi vào lớp 10 mơn Tốn năm 2018 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) 24