Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

103 trang thienle22 4470

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_phuong_trinh_bac_hai_mot_an.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

MỤC LỤC PHẦN A 3 NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 3 KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 4 PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP 6 I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ 6 A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. 6 B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 bx c 0 7 C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c 11 11 22 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; xx12 ) 11 xx12 E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. 13 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ 15 A. Giải và biện luận phương trình. 15 B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo, (,)  ;  ,  ) 17 C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. 19 D. Lập hệ thức liên hệ giữa xx12; sao cho độc lập đối giá trị tham số của phương trình. . 19 E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (: xx12   ; 19 F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất. 19 G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại. 19 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. 20 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 28 1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 28 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 31 A 0 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: AB.0 33 B 0 IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 35 Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): 35 Dạng 2: Phương trình: x a x b x c x d e,trong đó a+b=c+d 35 Dạng 3: Phương trình x a x b x c x d ex2, trong đó ab cd . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho xx2 0 . Phương trình tương đương: 35 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 1
44 Dạng 4: Phương trình x a x b c. ta đưa về phương trình trùng phương 35 Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai 37 BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 40 HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A 41 I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ 41 B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 bx c 0 41 C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c 42 11 22 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; xx12 ) 43 xx12 E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. 44 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ 46 BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. 46 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 79 A 0 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: AB.0 79 B 0 IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 81 PHẦN B PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP 88 I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 88 II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC 91 III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: 92 V. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 99 VI. NHIỀU CĂN BẬC LẺ: 101 VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ 102 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 2
PHẦN A NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc nhất một ẩn:  Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax b 0 trong đó x là ẩn số ; a , b là các số cho trước gọi là các hệ số a 0 . b  Phương pháp giải: ax b x . a Ví dụ minh họa Bài 1: Giải các phương trình: a) 2x 1 0 . b) x 2018 0 . c) 2x 3 2 0. Giải 1 1 a) 2x 1 0 x . Vậy phương trình có nghiệm x . 2 2 b) x 2018 0 x 2018. Vậy phương trình có nghiệm x 2018 . c) 2x 3 2 0 2xx 3 2 3. Vậy phương trình có nghiệm x 3 . Bài 2: Giải các phương trình: xx11 2 x a) 1 b) xx15 c) 2x 1 1 24 3 3 Giải xx11 a) 1 2xx 2 4 1 x 1.Vậy pt có nghiệm x 1. 24 2 1 b) xx15xx6 18. Vậy phương trình có nghiệm x 18 . 3 3 x 9 9 c) 2x 1 1 59xx. Vậy phương trình có nghiệm x . 3 5 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải các phương trình sau: 6 3x 9 a) . d) 2xx 1 4 . g) 2xx 1 3 . b) 3xx 2 3. e) 5xx 6 3 . h) 3xx 5 1. c) 3x 4 2 . f) 2xx 1 3 5 . i) 2x 4 6 . Đáp số: a) x 5 . 2 5 d) x . g) x . 1 3 3 b) x . 2 e) x 3 . h) x 3 . c) x 2 . f) x 6 . 64 i) x . 2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 3
KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 ( a 0) và biệt thức b2 4 ac : bb Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx ; . 1222aa b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép xx . 12 2a Nếu 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai và bb 2 , b2 ac : bb Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx ; . 12aa b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép xx . 12 a Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet Định lí Viet: Nếu xx12, là các nghiệm của phương trình thì: bc x x ; x x 1 2aa 1 2 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: SP2 40). 5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: (1) (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 4
0 (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0 (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0 (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: Nếu nhẩm được: x1 x 2 m n; x 1 x 2 mn thì phương trình có nghiệm x12 m, x n. c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm xx 1, . 12a c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm xx 1, . 12a Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 5
PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. Phương pháp: Học sinh xác định đúng dạng của phương trình bậc hai là ax2 bx c 0 và các hệ số a, b , c tương ứng với điều kiện a 0 . Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số của mỗi phương trình ấy. 1 a) x2 5 0 b) x 3 3 x 2 6 0 c) 2 x 2 5 x 0 2 d) x22 3 x 0 e) 2x - 5 = 0 f) -3x 2 x 4 0 Giải: Phương trình bậc hai là các phương trình a; c; d; f Phương trình x2 50 có các hệ số a 1; b 0, c 5 1 1 Phương trình 2xx2 5 0 có các hệ số a 2; b 5; c 2 2 Phương trình x2 3x 0 có các hệ số a 1; b 3; c 0 Phương trình -3x2 2x 4 0 có các hệ số a 3; b 2; c 4 Lưu ý: Dạng toán này đơn giản nhưng cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải chỉ rõ được đúng hệ số để khi giải bài toán bằng công thức nghiệm thay số chính xác. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài A.1: Chỉ ra hệ số a,b,c trong các phương trình sau: 2 2 2 2 6x +9x + 1= 0 8x -12x + 3 = 0 2x - 3x - 2 = 0 2x - (4- 5)x -2 5 = 0 1 3 5x2 + 3x - 2 = 0 x2 - x 11 = 0 x2 + x = 0 - x2 + 3x - 4 = 0 2 4 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 6
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 bx c 0 Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó. (Lớp 8) Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai. Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm xx 1, . 12a c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm xx 1, . 12a Bài tập minh hoạ: Bài 1: Giải phương trình sau: a) 3xx2 5 2 0 b) 5xx2 6 1 0 Giải: a) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3x22 5 x 2 0 3 x 6 x x 2 0 3 x ( x 2) ( x 2) 0 1 3x 1 0 x (3xx 1)( 2) 0 3 x 20 x 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 3 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai. Ta có a 3; b = 5; c = -2 b22 4 ac 5 4.3.( 2) 25 24 49 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b 5 49 5 7 2 1 b 5 49 5 7 12 x ; x 2 1 2a 2.3 6 6 3 2 2a 2.3 6 6 Vậy tập nghiệm của phương trình là Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 7
b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 5x22 610 x 5 x 5 x x 10 5(1)(1)0 x x x 1 5x 1 0 x (5xx 1)( 1) 0 5 x 10 x 1 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 5 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải: b 6 Ta có a 5; b = 6 b' = = = -3; c = 1 22 ' b 22 ac (3)5.19540 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b' ' ( 3) 4 3 2 b' ' ( 3) 4 3 2 1 x 1 x 1 a 55 2 a 5 5 5 Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm. Ta có a 5; b = 6; c = 1 và abc 5 ( 6) 1 0vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm c 1 phân biệt là x 1 và x . 1 2 a 5 * Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2  Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường. (không cần giải theo công thức ) VD : xx2 2 1 0 x 1 2 0 x = 1  Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax2 bx c 0 rồi mới áp dụng công thức : VD: xx 5 24 xx2 5 24 xx2 5 24 0 Áp dụng CT giải tiếp Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn t , ẩn b , ẩn a tùy vào cách ta chọn biến : VD: bb2 10 16 0 áp dụng CT giải tiếp với ẩn là  PT bậc 2 chứa căn ở các hệ số a, b , c thì ở ∆ ta buộc phải rút căn bậc hai VD: xx2 (2 3) 2 3 0 ( a 1; b (2 3); c 23 ) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 8
2 (2 3) 4.1.2 3 7 4 3 (Xem chuyên đề căn bậc 2: Dạng biểu thức trong căn là Hằng đẳng thức) BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài B.1: Giải các phương trình: a) xx2 5 6 0. b) xx2 2 1 0 . c) xx2 2 10 0 . d) 9xx2 12 4 0. Bài B.2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: a) xx2 1 2 2 0 . b) 2xx2 3 2 3 0 . c) xx2 60. d) xx2 9 20 0 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài B.01: Giải các phương trình sau: a) xx2 2 5 5 0 . b) xx2 9 10 0. c) 2xx2 3 5 0 . d) xx2 6 14 0 . e) x 32 16. f) xx2 8 15 0. g) 2 3x2 x 1 3 x 1 . h) 4xx2 4 1 0 . i) 7xx2 8 9 0. j) 16xx2 40 25 0 . k) 2xx2 2 2 0 . l) xx2 8 19 0. m) xx2 2 3 1 2 3 0. n) 2xx2 3 27 0 . o) 7xx2 8 9 0. p) x2 2 2 x 4 3 x 2 . q) xx2 3 10 3 0. r) xx2 30. Đáp số: a) x 5 . 9 41 c) Vô nghiệm b) x . 1,2 2 d) Vô nghiệm. x 1 x 3 e) . f) . x 7 x 5 3 22 i) Vô nghiệm x h) x . 3 1,2 4 g) . 3 3 3 x 6 5 2 2 5 l) Vô nghiệm j) x . k) x . 4 1,2 4 x 33 9 4 79 x o) x . m) . n) 2 . 1,2 x 31 7 x 3 x 21 q) Vô nghiệm x 0 p) . r) . x 22 x 3 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 9
Bài B.02. Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: a) 3xx2 11 8 0 . b) xx2 1 3 3 0. c) 3xx2 19 22 0. d) 5xx2 24 19 0. e) 3xx2 19 22 0. f) xx2 10 21 0 . g) 2018xx2 2017 0. h) xx2 12 27 0 . i) 5xx2 17 12 0. j) 1 2xx2 2 1 2 1 3 2 0 k) 1 3xx2 2 3 3 1 0 . Đáp số: x 1 x 1 x 1 b) . a) 8 . c) 22 . x x 3 x 3 3 x 1 x 1 x 3 f) . d) 19 . e) 22 . x 7 x x 5 3 x 1 x 3 x 1 h) . g) 2017 . x 9 i) 12 . x x 2018 5 x 1 x 1 k) 31. x j) 1 3 2 x 13 12 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 10
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c Phương pháp: c Dạng khuyết b : đối với phương trình ax2 ca 0 0 ta biến đổi x2 . Phương a c c trình này có nghiệm khi và chỉ khi 0 . Lúc này nghiệm của phương trình là x a a Dạng khuyết c : Đối với phương trình ax2 bx 0 ta có thể biến đổi về phương trình tích b ax2 bx 0 x (ax + b) = 0 để giải. Lúc này phương trình có 2 nghiệm là x 0 và x . a Ví dụ minh hoạ: Giải phương trình: a) 28x2 b) xx2 50 Giải: 2 28 2 xx 42 a) 2x 8 x x 4 . Kết luận nghiệm. 2 x 4 x 2 2 xx 00 b) x 5 x 0 x ( x 5) 0 . Kết luận nghiệm. xx 5 0 5 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài C1: Giải các phương trình sau: a. 5 x2 3 x 0 b . 2 x 2 – 6 x 0 c . 7 x 2 – 5 x 0 d. 4 x2 – 16 x 0 e . – 0,4 x 2 1,2 x 0 f . 3,4 x 2 8,2 x 0 11 22 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; xx12 xx12 ) Phương pháp: Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm từ đó tính được giá trị biểu thức. Các hệ thức thường gặp: 2 2 2 22 2  xx12 x 1 2 xxx 122 . 2 xxxx 1212 . 2 xxS 12 . 2 P . 2 2  x1 x 2 x 1 x 2 44 x 1 x 2 S P . 2 2  x2 x 1 x 1 x 2 44 x 1 x 2 S P . 2 22 2  xx12 xxxx 1212 xx 1212 xx 4 xx 12 SSP . 4 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 11
 xx3 3 xxxxxx 2 . 2 xxxx 2 3 xx . SS . 2 3 P . 12 121122 1212 12 2 2 2 2  xxx4 4 2 x 2 xx 2 2 2 xx 2 . 2 xx 2 2 xx 2 xx 2 2 . 121 2 12 12 12 12 12 2 SPP22 22 . 11xx S  12 . x1 x 2 x 1 x 2 P 2 1 1xx x x 4 x x SP2 4  21 1 2 1 2 . x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P 2 22 2 x x x x x x x x x1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 SSP.4  1 2 1 2 1 2 1 2 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P  xx3 3 xxxxxx 2 2 xxxx 2 xx . 12 121122 1212 12 xx 22 4 xxxx xx . SPSP22 4 1 2 1 2 1 2 1 2 22 xxx4 4 2 x 2 xxxx 2 2 2 2 SPSSP 2 2 . 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 Ví dụ minh hoạ: 2 Bài 1: Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình: xx2 2 0. Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: 11 22 33 A . B x12 x . C x12 x . D x12 x . xx12 Giải b S x x 1 12a Ta có: c P x x 22 12 a 1 1xx 1 A 21 . x1 x 2 x 1 x 2 22 22 2 B x12 x x1 x 2 x 1 x 2 1 2 2 3 2 . 2 2 C x1 x 2 x 1 x 2 x1 x 24 x 1 x 2 1 4 2 2 2 2 1. 33 3 D x12 x x1 x 23 x 1 x 2 x 1 x 2 1 3 2 2 7 3 2 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 12
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 2 Bài D.1. Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình: xx3 7 0 . Không giải phương trình Tính các giá trị của các biểu thức sau: 11 22 A . B x12 x . xx1211 33 C x12 x . D x12 x . 44 E x12 x . F33 x1 x 2 x 2 x 1 . 2 Bài D.2. Cho phương trình xx 4 3 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, 22 6x1 10 x 1 x 2 6 x 2 tính Q 33 55x1 x 2 x 1 x 2 Bài D.3: Gọi là hai nghiệm của phương trình: 3xx2 5 6 0 . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: xx21 A3 x1 2 x 2 3 x 2 2 x 1 . B . xx1211 xx22 D 12. xx12 E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Phương pháp: Áp dụng: nếu x1 x 2 S; x 1 x 2 P thì xx12; là nghiệm của phương trình X2 SX P 0 Ví dụ minh hoạ 1 1 Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và . 10 72 10 6 2 Giải: 1 1 5 S 10 72 10 6 2 7 Ta có: 1 1 1 P . 10 72 10 6 2 28 51 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm và là : XX2 0 7 28 Bài 2: Gọi là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình 1 1 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và . x1 1 x2 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 13
Giải: Ta có ac.0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 1 1xx2 1 S 21 x1 x 1 x x x x 1 9 1 2 1 2 1 2 1 1 1 P . xx121 1 9 1 1 11 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là và là: XX2 0 . x1 1 x2 1 99 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài E.1. Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình:3xx2 7 4 0. Không giải phương p q trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và . q 1 p 1 2 Bài E.2: Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình: 3xx 5 6 0 . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn: y12 x 1 x 2 và y22 x 2 x 1 . Bài E.3: Gọi là hai nghiệm của phương trình: 2xx2 3 1 0 . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm ; thỏa mãn: x 2 y 1 yx2 1 x a) 11 . b) 2 . yx2 2 22 x2 y2 x1 Bài E.4: Gọi là hai nghiệm của phương trình: xx2 10. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm ; thỏa mãn: xx yy 12 12xx y y x22 x a) 21. b) 1 2 1 2 . 22 yy12 y1 y 25 x 2 5 x 1 0 33xx12 yy21 2 Bài E.5: Cho phương trình : xx 3 2 0 có 2 nghiệm phân biệt xx12; . Không giải phương 1 1 trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : yx12 và yx21 x1 x2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 14
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ A. Giải và biện luận phương trình. Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Với tham số ở hệ số của phương trình bậc 2. Cho phương trình : mx2 – 2 m 2 x m –3 0  với m là tham số . Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình  Giải: 3 Bước 1: + Nếu m = 0 thay vào  ta có : 4x – 3 = 0 x = 4 Bước 2 + Nếu m 0 .Lập biệt số / m– 2 2 – m m 3 m 4 / 4 : phương trình  vô nghiệm = 0 m 4 0 m = 4 : phương trình  có nghiệm kép bm/ 2 4 2 1 x x 12a m 2 2 > 0 m 4 0 m 4 : phương trình vô nghiệm 1 m = 4 : phương trình Có nghiệm kép x = 2 04 m : phương trình  có hai nghiệm phân biệt: ; m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = Bài 2: Với hệ số của phương trình bậc 2 đã cho khác 0. Cho phương trình: x2 2 x m 1 0  ( m là tham số). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Giải: Ta có ’2 1– mm 1 2 – 0 2 mm 0 2 thì phương trình  vô nghiệm. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 15
b 0 2 mm 0 2 thì phương trình  có nghiệm kép xx 1 12a 0 2 mm 0 2 thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt b b xm 12 ; xm 12 1 a 2 a Kết luận: Vậy m 2 phương trình  vô nghiệm. m 2 thì phương trình  có nghiệm kép m 2 thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt ; Bài 3: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2 m 1 2 m 10 0 Giải. Ta có m 1 2 – 2 m 10 m2 – 9 + Nếu / > 0 m2 – 9 0 m 3 hoặc m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 x1 m 1 m 9 ; x2 m 1 m 9 + Nếu = 0 m = 3 - Với m 3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 4 - Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 2 + Nếu < 0 33 m thì phương trình vô nghiệm Kết kuận: Với m 3 thì phương trình có nghiệm x = 4 Với m 3 thì phương trình có nghiệm x 2 Với m 3 hoặc m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 2 x1 = m + 1 - m 9 x2 = m + 1 + m 9 Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm Chú ý: Khi giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số ta cần lưu ý trường hợp tham số nằm ở phần hệ số của lũy thừa bậc hai của ẩn. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 16
B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình cónghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo, (,)  ;  ,  ) Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S x12 x P x12 x Điều kiện chung trái dấu P 0 0 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S 0 0 0 ; P > 0 ; S 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c 0 b c (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 17
Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x – tham số m) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm. 22 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn xx12 10 Giải 2 1 15 a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = m 2 4 2 1 15 Do m 0 với mọi m; 0 > 0 với mọi m. 2 4 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S x12 x 2( m 1) và P x1. x 2 m 3 Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: và 2 222 2 Khi đó Axxxx 1 2 1 2 2 xxm 1 2 412 m 34–610 mm Theo bài A 10 4mm2 – 6 0 2mm 23 0 m 0 m 0 3 m 3 2m 3 0 2 m 3 2 Vậy m hoặc m 0 m 0 m 0 2 m 0 2m 3 0 3 m 2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 18
Bài 2: Cho phương trình: x2 2 x m 1 0 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3xx12 2 1 Giải a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau ' 0 2 m 0 m 2 m 2 P 1 m 1 1 m 2 Vậy m = 2 b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: (3) x1 x 2 2 2 x 1 2 x 2 4 x 1 5 x 1 5 Từ (1) và (3) ta có: 3x1 2 x 2 1 3 x 1 2 x 2 1 x 1 x 2 2 x 2 7 Thế vào (2) ta có: 5 7 m 1 m 34 (thoả mãn (*)) Vậy là giá trị cần tìm. C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. Phương pháp: Ta chỉ ra phương trình có ac.0 hoặc 0 ; 0 D. Lập hệ thức liên hệ giữa xx12; sao cho độc lập đối giá trị tham số của phương trình. Phương pháp: Ta thường biến đổi để đưa về dạng SP   với S và P là tổng và tích 2 nghiệm. ,,   là các số thực. E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (: xx12   ; ()x1 x 2  x 1 x 2  ; x1  x 1 x 2  ) F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất. Phương pháp: Mục E và F ta thường sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi. G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại. Phương pháp: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình từ đó tìm ra tham số. Từ tham số vừa tìm được áp dụng giải phương trình bậc hai tìm ra nghiệm còn lại. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 19
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. Câu 1: Cho phương trình 2m 1 x2 2 mx 1 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng 1;0 . Câu 2: Cho phương trình x22 2 m 1 x m 1 0 ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình đã cho thỏa mãn: 1 2 2 x1 x 2 x 1 3 x 2 . Câu 3: Tìm m để phương trình x2 5 x 3 m 1 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai 33 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x 2 3 x 1 x 2 75 2 Câu 4: Cho phương trình x 10 mx 9 m 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m 1. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện xx12 90 x22 2( m 1) x m m 1 0 Câu 5: Cho phương trình ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m 0 . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 11 4 xx12 2x2 (2 m 1) x m 1 0 Câu 6: Cho phương trình ( m là tham số). Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3xx12 4 11 x22 2( m 1) x m 3 0 Câu 7: Cho phương trình ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. 11 Câu 8: Cho phương trình x22 mx m 4 m 1 0 ( m là tham số). 22 a) Giải phương trình đã cho với m 1 . 11 b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn xx12 xx12 22 Câu 9: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình x m x m 10 ( m là tham số) có nghiệm nguyên. x2 2( m 1) x m 3 0 Câu 10: Cho phương trình ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m . 22 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x12 x (với x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 20
2 Câu 11: Cho phương trình x mx m 10 ( m là tham số). a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức 22 xx12 1 M 22. Từ đó tìm m để M 0 . x1 x 2 x 1 x 2 22 b) Tìm giá trị của m để biểu thức P x12 x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 Câu 12: Cho phương trình x 2 m 2 x 2 m 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn xx12 2 Câu 13: Cho phương trình x2 m 10 x m ( m là tham số). Gọi x , x là hai nghiệm 1 2 22 của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để A x1 x 2 x 1 x 2 2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 14: Cho phương trình x2 2 mx 2 m 1 0 ( m là tham số). Gọi x , x là hai nghiệm 1 2 22 của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để A x1 x 2 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. 2 Câu 15: Cho phương trình x 2 m 1 x 2 m 5 0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn xx12 1 . 2 Câu 16: Cho phương trình x mx m 20 ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 22 xx12 22 b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn .4 . xx12 11 2 Câu 17: Cho phương trình x mx 10 (1) ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1): x22 x 11 x x Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 2 2 xx12 22 Câu 18: Cho phương trình x 2 m 1 x m 1 0 1 ( m là tham số). a) Tìm điều kiện của m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình 1 thỏa mãn: 2 x1 x 2 x 1 3 x 2 . 2 Câu 19: Tìm m để phương trình x 2 x 2 m 1 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân 2 2 2 2 biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x2( x 1 1) x 1 ( x 2 1) 8 . 2 43 Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình x 80 x m để là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại. 22 Câu 21: Cho phương trình x 2 m 1 x m m 1 0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A 22 x1 x 2 x 2 x 1 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 21
1 Câu 22: Cho phương trình x22 20 mx m ( m là tham số). 2 a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau. c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. 2 Câu 23: Cho phương trình x 2 x m 3 0 ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1. Tính nghiệm còn lại. 33 b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức xx12 8 22 Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 m 1 x m 1 0 có hai 22 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P x12 x đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 25: Cho phương trình x2 m 5 x 2 m 6 0 ( x là ẩn số) a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . 22 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12, thỏa mãn: xx12 35 . Câu 26: Cho phương trình x2 2 x m 2 0 1 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm b) Tìm m để phương trình 1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại Câu 27: Cho phương trình x2 mx m 10 1 với x là ẩn số a) Giải phương trình khi m 2 b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c) Gọi xx12, là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức 22 A x12 1 x 1 2016. Câu 28: Cho phương trình x2 2 m 1 x 2 m 0 với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm còn lại. Câu 29: Cho phương trình x2 m 1 x m 2 0 ( x là ẩn số, m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, b) Tính tổng và tích của hai nghiệm xx12, của phương trình theo m 22 c) Tính biểu thức A x1 x 2 6 x 1 x 2 theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất Câu 30: Cho phương trình: x2 2 m 1 x 4 m 0 ( x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình với m 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 31: Cho phương trình x22 2 x m 1 0 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m . c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: xx12 3 Câu 32: Cho phương trình: x2 m 2 x m 1 0 ( m là tham số) a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 22 b) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có x1 x 2 13 x 1 x 2 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 22
Câu 33: Cho phương trình x2 x m 20 với m là tham số và x là ẩn số a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 33 b) Giả sử xx12, là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1 x 2 x 1 x 2 10 Câu 34: Cho phương trình x2 4 x m 3 0 ( x là ẩn) a) Tìm m để phương trình có nghiệm xx12, 2 2 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12, thỏa x1 x 2 x 1 x 2 51 Câu 35: Cho phương trình: x22 2 m 3 x m 3 m 1 0 ( x là ẩn số, m là tham số) a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Tìm m để A x1 x 2 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : x 2 mx 2 m 1 0 1 a) Chứng tỏ phương trình 1 luôn có nghiệm xx12, với mọi giá trị của m 22 b) Đặt A 25 x1 x 2 x 1 x 2 , tìm m sao cho A 27 Câu 37: Cho phương trình x2 m 3 x m 5 0 ( x là ẩn) a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 22 x1 4 x 1 x 2 4 x 2 11 Câu 38: Cho phương trình: x2 mx 2 m 4 0 ( x là ẩn số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m 22 c) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình. Định m để xx12 5 Câu 39: Cho phương trình x2 2 x 4 m 1 0 ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 22 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12, thỏa x1 x 2 2 x 1 2 x 2 12 Câu 40: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2 mx 4 m – 4 0 ( x là ẩn) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m 2 b) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 2 mx 8 m 5 0 Câu 41: Cho phương trình: x2 2 m 4 x m 6 0 a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 11 b) Tính theo m biểu thức A rồi tìm m để A . xx12 Câu 42: Cho phương trình: x2 2 m 2 x 2 m 0 1 với x là ẩn số. a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt xx12, 2 b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x2 x 1 x 1 . Câu 43: Cho phương trình: x22 2 x 2 m 0 1 với x là ẩn số. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . 22 b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức xx12 4 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 23
Câu 44: Cho phương trình: x22 3 m 2 x 2 m m 3 0 1 ,(với x là ẩn số). a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Gọi xx12, là các nghiệm của 1 . Tìm m để xx12 3 . Câu 45: Cho phương trình: x22 2 m 2 x m 0 1 với x là ẩn số. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm xx12, thỏa mãn 22 x1 1 x 2 1 x 1 x 2 x 2 x 1 2 . Câu 46: Cho phương trình: x22 2 m 1 x m 3 0 1 ( với x là ẩn số) a) Tìm điều kiện để 1 có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm xx12, thỏa mãn 22 2x1 1 x 2 1 2 x 2 1 x 1 1 x 1 x 2 14 . Câu 47: Tìm m để phương trình x2 mx 3 0 ( m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 36xx12 Câu 48: Cho phương trình x22 5 m 1 x 6 m 2 m 0 1 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 22 b) Gọi xx12, là nghiệm của phương trình. Tìm m để xx12 1. Câu 49: Cho phương trình: x2 2( m 1) x m 3 0 1 a) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi xx12, là 2 nghiệm của phương trình 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 22 thức P x12 x . c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m . Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ): x2 – 2 mx 2 m 1 0 1 Với giá trị nào của m thì phương trình 1 có hai nghiệm xx12, thỏa mãn xx12 3 Câu 51: Cho phương trình ẩn x : x2 – 2 mx 4 0 1 a) Giải phương trình đã cho khi m 3 . b) Tìm giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm xx12, thỏa mãn: 22 xx12 1 1 2 . Câu 52: Cho phương trình ẩn x : x2 – 2 mx 1 0 1 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . 22 b) Tìm các giá trị của m để: x1 x 2–7 x 1 x 2 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 24
Câu 53: Cho phương trình ẩn x : x2 – x 1 m 0 1 a) Giải phương trình đã cho với m 0 . b) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm xx12, thỏa mãn: x1 x 2 x 1 x 2– 2 3 x 1 x 2 . Câu 54: Cho phương trình x4 ( m 2 4 m ) x 2 7 m 1 0 . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10 Câu 55: Cho phương trình 2x2 2 m 1 x m 1 0 . Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3xx12 4 11. Câu 56: Cho phương trình: x22 2 m 1 x m 3 0 1 ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Câu 57: Cho phương trình: x2 mx m 10 . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 23xx12 nhất của biểu thức: P 22 . x1 x 2 21 x 1 x 2 22 Câu 58: Cho phương trình x22 mx m 4 m 1 0 1 2 3 2 3 a) Giải phương trình 1 với m 1. 11 b) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn xx12 . xx12 Câu 59: Xác định các giá trị của tham số m để phương trình: x2 m 5 x m 6 0 . Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. b) 2xx12 3 13. Câu 60: Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 3 0 1 a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không phụ thuộc vào m . 22 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x12 x (với x1 , x2 là 2 nghiệm của pt 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 25
Câu 61: Cho phương trình: x22 2 m 1 m m 6 0 * a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm. b) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm x , x thỏa mãn xx33 50 . 1 2 12 2 Câu 62: Cho phương trình có ẩn x : x mx m 10 ( m là tham số ) 1. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m . 22 2. Đặt A x1 x 2 6. x 1 x 2 a) Chứng minh A m2 88 m b) Tìm m sao cho A 8 . c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. d) Tìm m sao cho xx12 3 . Câu 63: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : x2 2 mx 2 m 1 0 1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m . 22 2. Đặt A 25 x1 x 2 x 1 x 2 a) Chứng minh A 8 m2 18 m 9 b) Tìm m sao cho A 27 . c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm m sao cho xx12 3 . Câu 64: Cho phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số ): x2 2 m 1 x 2 m 5 0 1 1. Giải và biện luận số nghiệm của x1 , x2 của m theo tham số m . 2. Tìm m sao cho x1 , x2 thỏa mãn: xx a) 12 2. xx21 b) x1 x 2 26 x 1 x 2 c) 2xx12 3 5. 22 d) Tìm m sao cho 12 10x1 x 2 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. Câu 65: Cho phương trình: x22 2 m 1 x m 3 0 ( m là tham số ) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 22 b) Tìm giá trị của m để xx12 4, với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Câu 66: Cho phương trình: x2 mx m 10 (1) ( m là tham số ) a) Chứng minh phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m . b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức 22 x1 x 2 x 1 x 2 2. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 26
Câu 67: Cho phương trình: x2 2 mx 2 m 3 0 a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m . c) Tìm m để x1 x 2 23 x 1 x 2 ( x1 , x2 là nghiệm của phương trình trên ). Câu 68: Cho phương trình: x2 2 m 2 x 2 m 5 0 ( x là ẩn số ) a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm x1 , x2 với mọi m . 22 b) Tìm m để A x1 x 2 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. Câu 69: Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 0 ( m là tham số ) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . 2 b) Tìm m để A x1 x 1 2 mx 2 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 70: Cho phương trình: x22 2 m 3 x m m 1 0 ( x là ẩn ) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 22 b) Cho B x1 x 2 5 x 1 x 2 tìm m để B đạt giá trị lớn nhất. Câu 71: Cho phương trình: x22 2 m 1 x m 4 m 3 0 a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x1 x 2 2 x 1 x 2 và giá trị của m tương ứng. Câu 72: Cho phương trình: 2x2 2 m 1 x m 1 0 a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 . b) Viết tổng và tích hai nghiệm theo m. 4xx12 1 4 1 c) Tìm m để 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn: 9 xx21 Câu 73: Cho phương trình x2 2 mx 2 m 1 0 a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m . 22 b) Đặt A 25 x1 x 2 x 1 x 2 . Tìm m sao cho A = 27. Câu 74: Cho phương trình x2 2 mx m 2 0 1 ( x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình (1) thỏa mãn: 22 1 x1 2 x 2 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2 2 Câu 75: Cho phương trình: x2 mx m 2 0 1 ( x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . 22 xx12 22 b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của 1 thỏa mãn: .4 . xx12 11 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 27
Câu 76: Cho phương trình 2 mx 1 x2 0 1 ( x lầ ẩn số). a) Chứng minh phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 1 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 A x1 4 x 1 2 x 2 4 x 2 2 2 x 1 x 2 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG Cho phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (1) PP1: Ẩn phụ: Đặt t = x2 (t 0) Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 P0 S0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có một nghiệm dương và một nghiệm 0 bằng 0 P0 S0 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có 0 ai nghiệm trái dấu S0 P0 Phương trình (1) có 1 nghiệm (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm 0 S0 bằng không và nghiệm còn lại âm P0 S0 0 0 Phương trình (1) có 1 nghiệm (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm P0 S0 Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a. A 0 PP2: Giải trực tiếp: Biến đổi đưa về dạng phương trình tích AB.0 B 0 Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình: xx42 13 36 0 (1) Giải: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 28
Cách 1: Đặt t = x2 t 0 phương trình (1) có dạng : tt2 13 36 0 Ta có 13 2 4.36 25 5 13 5 13 5 t 9; t 4 1 2 2 2 2 Với t1 = 9 x = 9 x 9 3 2 Với t2 = 4 x =4 x 4 2 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3. Cách 2: xx42 13 36 0 (x4 12 x 2 36) x 2 0 (xx2 6) 2 2 0 (x22 6 x )( x 6 x ) 0 xx2 60 2 xx 60 Giải phương trình : x2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: xx 2; 3 . Giải phương trình : x2 – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm xx 2; 3 . Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1 3; x 2 2; x 3 2; x 4 3 . Bài 2: Giải phương trình: xx42 5 6 0 (2) Giải: Cách 1: Đặt t = x2 t 0 phương trình (2) có dạng : tt2 5 6 0 Ta có: 5 2 4.6 1 1 5 1 5 1 t 3; t 2 1 2 2 2 2 Với t1 = 3 x = 3 x 3 2 Với t2 = 2 x =2 x 2 Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 3 ; x2= - 3 ; x3= 2 ; x4 = - . Cách 2: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 29
x4– 2 x 2 – 3 x 2 6 0 x4– 2 x 2 3 x 2 6 0 x2 x 2– 2 3 x 2 – 2 0 xx22– 2 – 3 0 x2 – 2 0 2 x – 3 0 Giải phương trình : x2 –2= 0 ta được 2 nghiệm: x= 2 ; x=- . Giải phương trình : x2 –3= 0 ta được 2 nghiệm x= 3 ; x= - . Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= ; x2=- ; x3= ; x4= - . Bài 3: Giải phương trình: xx42–10 9 0 3 Giải: Đặt x2 t 0 x 4 t 2 , phương trình (3) có dạng tt2 10 9 0 3’ Giải phương trình (3’) , có a b c 1 10 9 0 t12 1, t 9 2 Với t = t1 = 1 thì x = 1 x1 = 1 ; x2 = - 1 2 Với t = t2 = 9 thì x = 9 x3 = 3 ; x4 = -3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: 1).x4 3 x 2 – 4 0 2). x 4 4 x 2 3 0 3).5x4 3 x 2 – 2 0 4). x 4 – 5 x 2 6 0 5).2x4 – 3 x 2 – 2 0 6). x 4 10 x 2 24 0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 30
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Giải các phương trình sau 14 1 a. 1 x2 9 3 x 2x x2 x 8 b. x 1 (x 1)(x 4) Giải : a. ĐKXĐ : x 3 14 1 1 (x 3)(x 3) x 3 14 (x 3)(x 3) (x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3) 14 = (x – 3)(x + 3) + (x + 3) x2 – 9 + x + 3 – 14 = 0 x2 + x – 20 = 0 Ta có: = b2 – 4ac = 12 – 4.1.( – 20) = 1 + 80 = 81 > 0 81 9 PT có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt : b 1 9 x4 (tm ĐK) 1 2a 2.1 b 1 9 x5 (tm ĐK) 2 2.a 2.1 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: xx12 4; – 5 b. ĐKXĐ: x – 1 & x 4 2x(x 4) x2 x 8 (x 1)(x 4) (x 1)(x 4) 2x(x – 4) = x2 – x + 8 2x2 – 8x – x2 + x – 8 = 0 x2 – 7x – 8 = 0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 31
Ta có: a – b + c = 1 – (– 7) + (– 8) = 0 PT có 2 nghiệm : x1 = – 1 (không tm ĐKXĐ) c x = = 8(tm ĐKXĐ) 2 a Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: 12 8 a. 1 ( xx12 3; 7 ) x 1 x 1 b. 2x x 8x 8 ( vô nghiệm) 2 x 2 x 4 x 2x 8 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 32
A 0 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: AB.0 B 0 Bài tập: Giải các phương trình sau: a. 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0 b. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 c. (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2 d. (2x2 + 3)2 – 10x2 – 15x = 0 Giải: a. 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0 12x3 – 10x2 – 2x = 0 x(12x2 – 10x – 2) = 0 x = 0 hoặc 12x2 – 10x – 2 = 0 +) x1 = 0 +) 12x2 – 10x – 2 = 0 Ta có: a + b + c = 12 – 10 – 2 = 0 PT có 2 nghiệm: c 2 1 x = 1; x = 2 3 a 12 6 1 Vậy PT đã cho có 3 nghiệm: x = 0; x = 1; x = 1 2 3 6 b. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0 (x + 3)(x2 – 2) = 0 x + 3 = 0 hoặc x2 – 2 = 0 +) x + 3 = 0 x1 = – 3 +) x2 – 2 = 0 x2 = 2 = ( 2 )2 x = x2 = ; x3 = – Vậy PT đã cho có 3 nghiệm : x1 = – 3; x2 = ; x3 = – c. (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2 (x2 + 2x – 5)2 – (x2 – x + 5)2 = 0 (x2 + 2x – 5 + x2 – x + 5)(x2 + 2x – 5 – x2 + x – 5)= 0 (2x2 + x)(3x – 10) = 0 x(2x + 1)(3x – 10) = 0 x = 0 hoặc 2x + 1 = 0 hoặc 3x – 10 = 0 +) x1 = 0 1 +) 2x + 1 = 0 x2 = 2 10 +) 3x – 10 = 0 x3 = 3 1 10 Vậy PT đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = ; x3 = 2 3 d. (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = 0 (2x2 + 3)2 – 5x(2x2 + 3) = 0 (2x2 + 3)(2x2 + 3 – 5x) = 0 2x2 + 3 = 0 hoặc 2x2 – 5x + 3 = 0 +) 2x2 + 3 = 0 2x2 = 0 – 3 x2 = – 1,5 (vô nghiệm) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 33
+) 2x2 – 5x + 3 = 0 Ta có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 PT có 2 nghiệm: c3 x1 = 1 ; x2 = a2 3 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 2 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN: Bài T.1: Giải các phương trình: a) x42 10 x x 20 0 . b) x42 22 x 8 x 77 0 c) x4 6 x 3 8 x 2 2 x 1 0. d) x4 2 x 3 5 x 2 6 x 3 0 . Bài T.2: a) Giải phương trình: x42 4 x 12 x 9 0 (1). b) Giải phương trình: x42 13 x 18 x 5 0 c) Giải phương trình: 2x4 10 x 3 11 x 2 x 1 0 (4) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 34
IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ax4 bx 3 cx 2 kbx k 2 a 00 k . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 2 2 2 kk k xx 0 ta được: a x 2 b x c 0 . Đặt tx với tk 2 ta có: xx x 2 kk2 22 thay vào ta được phương trình: 2 x 2 x 22 k t k a t 20 k bt c xx Dạng 2: Phương trình: x a x b x c x d e,trong đó a+b=c+d 22 Phương trình x abxabx cdxcd e . Đặt t x2 a b x , ta có: t ab t cd e Dạng 3: Phương trình x a x b x c x d ex2, trong đó ab cd . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho xx2 0 . Phương trình tương đương: 2 2 2 ab cd x abxabx cdxcd ex x abx cd e xx ab cd Đặt t x x . Ta có phương trình: t a b t c d e xx 44 ab Dạng 4: Phương trình x a x b c. Đặt xt ta đưa về phương trình trùng 2 phương Bài 1: Giải các phương trình: 1) 2x4 5 x 3 6 x 2 5 x 2 0 2) xx 1 44 3 2 3) x x 1 x 2 x 3 24 4) x 2 x 3 x 4 x 6 6 x2 0 Lời giải: 1) Ta thấy x 0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho x2 ta được: 2 2 11 122 1 1 2 xx 2 5 6 0 . Đặt t x , t 2 x 2 x 2 t 2 . Ta xx x x x t 2 22 1 2 có: 2 t 2 5 t 6 0 2 t 5 t 2 0 1 . Với t 2 x 2 x 2 x 1 0 t x 2 2) Đặt xt 2 ta được: t 1 44 t 1 2 t42 6 t 0 t 0 x 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2. Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 35
4 a44 b a b với ab 0 . 24 Áp dụng BĐT này với: a x 1, b x 3 VT VP . Đẳng thức xảy ra khi x 2. 3) Ta có phương trình: x22 3 x x 3 x 2 24 . Đặt t x2 3 x . Ta được: t t 2 24 t2 2 t 24 0 t 6, t 4 * t 6 x2 3 x 6 0 phương trình vô nghiệm * t 4 x2 3 x 4 0 x 1; x 4 . Vậy phương trình có hai nghiệm xx 1; 4 . 4) Phương trình x2 2 x 12 x 2 x 12 6 x 2 0 Vì x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 12 12 12 xx 4 1 6 0 . Đặt tx , ta có: xx x 2 t 1 t 4 t 1 6 0 t 3 t 2 0 t 2 12 2 x 4 * t 1 x 1 x x 12 0 x x 3 * t 2 x2 2 x 12 0 x 1 13 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x 3; x 4; x 1 13 Bài 2) 2 a) Giải phương trình: 3 x23 x 1 2 x 1 2 5 x 1 b) Giải phương trình: x6 3 x 5 6 x 4 21 x 3 6 x 2 3 x 1 0 c) Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 2 x 4 x 5 360 3 d) Giải phương trình: x33 5 x 5 5 x 24 x 30 0. Lời giải: a) Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x3 1 ta được: x2 x 11 x xx2 1 2 1 32 . Đặt t 3 t 5 3 t2 5 t 2 0 t 2, t x 11 x2 x xt 13 3 13 * t 2 x2 3 x 1 0 x 2 1 * t 3 x2 2 x 4 0 phương trình vô nghiệm 3 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 36
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng. Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x3 ta được: 321 1 1 1 x 32 3 x 6 x 21 0 . Đặt t x ,2 t . Ta có: x x x x 211 2 3 2 x 23 t 2; x t t 3 nên phương trình trở thành: xx 22 32 2 t 3 t t 3 3 t 2 6 t 21 0 t 3 t 9 t 27 0 t 3 t 3 0 t 3 1 3 5 * t 3 x 3 x2 3 x 1 0 x x 2 35 * t 3 x2 3 x 1 0 x . Vậy phương trình có bốn nghiệm 2 3 5 3 5 xx ; . 22 c) Phương trình x2 6 x 5 x 2 6 x 8 x 2 6 x 9 360 Đặt t x2 6 x , ta có phương trình: y 5 y 8 y 9 360 22 x 0 y y 22 y 157 0 y 0 x 6 x 0 x 6 Vậy phương trình có hai nghiệm: xx 0; 6 . d) Ta có: x33 5 x 30 5 x 5 x 5 x 5nên phương trình tương đương 3 x3 5 x 5 5 x 3 24 x x 3 24 x 30 0 . Đặt u x3 55 x . Ta được hệ: u3 55 u x u x u22 ux x 60 u x . 3 x 55 x u x324 x 5 0 x 1 x x 5 0 x 1. Vậy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai ax bx a) Phương trình: c với abc 0 . x22 mx p x nx p Phương pháp giải: Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình. Với x 0 , ta chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 37
ab kk2 c . Đặt t x t22 x 2 k 2 k 2 k . Thay vào phương pp 2 x m x n xx xx trình để quy về phương trình bậc 2 theo t . 2 2 ax b) Phương trình: xb với a 0, x a . xa Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức a22 b a b 2 2 ab . Ta viết lại phương trình thành: 2 2 ax x2 x 2 x 2 x2 x 2 a . b 2 a b 0 . Đặt t quy về phương trình x a x a x a x a xa bậc 2. Bài 1) Giải các phương trình: 25x2 a) x2 11 . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013). x 5 2 12xx 3 b) 1. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010). x22 4 x 2 x 2 x 2 x2 c) 3xx2 6 3 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008). x 2 2 xx323 d) x3 20 x 1 3 x 1 Giải: a) Điều kiện x 5 2 2 5x 10 x2 x 2 10 x 2 Ta viết lại phương trình thành x 11 0 11 0 . Đặt x 5 x 5 x 5 x 5 2 x 2 t 1 t thì phương trình có dạng tt 10 11 0 x 5 t 11 x2 1 21 x2 Nếu t 1 ta có: 1 x2 x 5 0 x . Nếu t 11 11 x 52x 5 xx2 11 55 0 phương trình vô nghiệm. b) Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x 0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì 12 3 2 thu được: 1. Đặt tx 2 thì phương trình trở thành: 22 x xx 42 xx 12 3 22 t 1 1 12t 3 t 6 t 2 t t 7 t 6 0 . tt 2 t 6 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 38
2 Với t 1 ta có: x 2 1 t2 t 2 0 vô nghiệm. Với t 6 ta có: x 2 x 2 6 x2 4 x 2 0 x 2 2 . x 2 x 2 x x c) x2 2 x 1 0 x 3 3 x 1 0 . x 2 x 2 x 2 33 Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là xx 6; . 3 d) Sử dụng HĐT a33 b a b 3 3 ab a b ta viết lại phương trình thành: 3 x333 x 2 x x 2 x x 2 x3 2 0 x 3 x 2 0 hay 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 23 2 2 2 2 3 2 x x 3 x x x 2 3 2 0 1 1 1 1xx 2 2 0. Suy ra x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 phương trình đã cho vô nghiệm. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 39
BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải các phương trình sau: 1) x22 x 2 x x 3 6. 2) 6x 7 2 3 x 4 x 1 1. 3) xx 1 44 3 82 . 4) x 1 x 2 x 4 x 5 10. 5) x2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 . 6) x 2 x 1 x 8 x 4 4 x2 . 22 7) 3 x2 2 x 1 2 x 2 3 x 1 5 x 2 0 . 8) 3x4 4 x 3 5 x 2 4 x 3 0. 9) 2x4 21 x 3 34 x 2 105 x 50 0. 1 1 1 1 1 10) 0 . x x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 4 x 8 x 8 8 11) . x 1 x 1 x 2 x 2 3 x 1 x 6 x 2 x 5 12) . x x 2 x2 12 x 35 x 2 4 x 3 x 2 10 x 24 x2 x 1 x 2 2 x 2 x 2 3 x 3 x 2 4 x 4 13) 0. x 1 x 2 x 3 x 4 43xx 14) 1 4x22 8 x 7 4 x 10 x 7 15) 2x2 3 x 1 2 x 2 5 x 1 9 x 2 . 16) x22 5 x 1 x 4 6 x 1 2 . 17) x4 9 x 3 16 x 2 18 x 4 0. x2 12 18) 3xx2 6 3 . x 2 2 2xx 13 19) 6 . 3x22 5 x 2 3 x x 2 20) x2 x 4 1 x 2 2 1 0 . 22 x 2 x 2 x2 4 21) 20 5 202 0. x 1 x 1 x 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 40
HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 bx c 0 Bài B.1: a) xx2 5 6 0 b224 ac 5 4.1.6 1 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 51 b 51 x 3, x 2. 1 22a 2 22a b) xx2 2 1 0 b22 ac 1 1 2 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x 12, x 12. 1 a 2 a c) xx2 2 10 0 b22 ac 1 10 9 0 Phương trình vô nghiệm. d) 9xx2 12 4 0 b22 ac 6 9.4 0 b 62 Phương trình có nghiệm kép: xx12 . a 93 Bài B2: a) xx2 1 2 2 0 Ta có: a b c 1 1 2 2 0 nên phương trình có hai nghiệm: c x 1; x 2 . 1 2 a b) 2xx2 3 2 3 0 Ta có: abc 2 3 2 3 0 nên phương trình có hai nghiệm: x1 1 c ; x 3 . 2 a c) xx2 60 b S x x 1 12a Ta có: suy ra x 2 ; x 3 . c 1 2 P x x 6 12 a b S x12 x 9 2 a d) xx9 20 0 . Ta có: suy ra x1 4 ; x2 5 . c P x x 20 12 a Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 41
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c Bài C.1: a. 5x2 + 3x = 0 x(5x + 3) = 0 x0 x 0 3 5x 3 0 x 5 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 5 b. 2x2 – 6x = 0 2x(x – 3) = 0 20x x 0 x 30 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 c. 7x2 – 5x = 0 x(7x – 5) = 0 x 0 x 0 5 7x 5 0 x 7 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 7 d. 4x2 – 16x = 0 4x(x – 4) = 0 4x 0 x0 x 4 0 x4 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 4 e. – 0,4x2 + 1,2x = 0 – 0,4x(x – 3) = 0 0,4x 0 x0 x 3 0 x3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 f. 3,4x2 + 8,2x = 0 0,2x(17x + 41) = 0 0,2x 0 x 0 41 17x 41 0 x 17 41 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 17 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 42
11 22 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; xx12 xx12 ) Bài D.1. b S x x 3 12a a) Ta có: c P x x 7 12 a 1 1xx2 1 A 21 . x1 x 1 x x x x 1 9 1 2 1 2 1 2 22 2 B x12 x x1 x 2 x 1 x 2 23. 2 2 C x1 x 2 x 1 x 2 x1 x 24 x 1 x 2 37 . 33 3 D x12 x x1 x 23 x 1 x 2 x 1 x 2 72. 4 4 22 2 E x12 x S2 P 2 P 527 22 F3 x1 x 2 3 x 2 x 1 10 x 1 x 2 3 x 1 x 2 1. Bài D.2 6x2 10 x x 6 x 2 6( x x ) 2 2 x x 6.(4 3)2 2.8 17 Q 1 1 2 2 1 2 1 2 33 2 2 5x1 x 2 5 x 1 x 2 52x x x x x x 5.8 (4 3) 2.8 80 1 2 1 2 1 2 Bài D.3: b 5 S x x 12a 3 a) Ta có: c P x x 2 12 a 200 Axxxx3 2 3 2 13 xx 6 xx2 2 13 PSP 6 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 xxx x22 x x x x 38 B 212 1 1 2 2 1 . x1 x 1 x x x x 1 3 1 2 1 2 1 2 2 97 x x4 x x . 1 2 1 2 3 xx2222x x x x 11 D 12 1 2 1 2 . x1 x 2 x 1 x 2 3 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 43
E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Bài E.1. Ta có ac.0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. b 7 S p q a 3 c 4 P p. q a 3 47 2 pq2 pq p q 33 15 q1 p 1 pq p q 147 14 Suy ra: 1 33 p q pq 2 . q1 p 1 pq p q 1 7 p q 15 2 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm và là : XX2 0 . q 1 p 1 14 7 Bài E.2: Ta có Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 5 S y y 123 Có : 176 P y y 12 9 5 176 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y ; y là : XX2 0 . 1 2 39 Bài E3: Ta có Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 11 S y12 y Ta có: 2 13 P y y 12 2 11 13 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm ; là : XX2 0 . 22 b) 9 S y y 128 Ta có: 1 P y y 12 2 91 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm ; là : XX2 0 . 82 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 44
Bài E.4: Ta có ac.0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. xx12 yy12 yy12 3 x2 x 1 y 1 y 2 3 a) Ta có: yy12 y1 y 23 y 1 y 2 9 33xx12 yy21 yy21 2 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 là : XX3 9 0 . y y x22 xyy3 y y 3 b) 1 2 1 212 1 2 . 22 22 y1 y 25 x 2 5 x 1 0 yy125 yy12 2 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm ; là : XX2 3 2 0 . Bài E.5: Ta có 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 1 1 1 1xx12 3 9 S y1 y 2 x 2 x 1( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 3 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 22 1 1 1 1 9 P y1 y 2 ( x 2 )( x 1 ) x 1 x 2 1 1 2 1 1 x1 x 2 x 1 x 2 22 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 99 hay y22 y 0 2 y 9 y 9 0 22 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 45
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. Câu 1: 1 Xét 2mm 1 0 phương trình trở thành xx 1 0 1 1;0 2 1 Xét 2mm 1 0 khi đó ta có: 2 ' m22 2 m 1 m 2 m 1 m 1 2 0 mọi m . Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m . Ta thấy nghiệm x 1không thuộc khoảng 1;0 1 mm 11 Với m phương trình còn có nghiệm là x 2 2mm 1 2 1 Phương trình có nghiệm trong khoảng 1;0 suy ra 12m 1 1 0 0 1 0 2mm 1 2 1 m 0 21m 2mm 1 0 2 1 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng 1;0 khi và chỉ khi m 0 . Câu 2: 2m 1 2 4. m2 1 5 4 m 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt m 4 5 a) Phương trình hai nghiệm m 4 x x 21 m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 12 2 x12 x m 1 Theo đề bài: 2 x1 x 2 x 1 3 x 2 x x 2 43 x x x x 1 2 1 2 1 2 2 2 2m 1 4 m 1 x12 3 x x12 3 x 5 4 m m 1 x1 x12 x 21 m 2 Ta có hệ phương trình: x 3 x 5 4 m 3( m 1) 12 x 2 2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 46
mm 1 3( 1)  m2 1 22 3 mm22 1 4 1 m2 10 m 1 Kết hợp với điều kiện m 1 là các giá trị cần tìm Câu 3: 52 4.1. 3mm 1 29 12 29 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m 12 xx12 5 Áp dụng hệ thức Vi-ét x12 x 31 m 33 Ta có: x1 x 2 3 x 1 x 2 75 2 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 75 x1 x 2 25 x 1 x 2 3 x 1 x 2 75 25 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 75 xx12 3 5 Kết hợp xx12 5 suy ra xx12 1; 4 Thay vào x12 x 31 m suy ra m 3 5 Vậy m là giá trị cần tìm 3 Câu 4: a) Với m 1 phương trình đã cho trở thành xx2 10 9 0 x1 1 Ta có abc 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x2 9 b) ' 5m 2 1.9 m 25 m2 9 m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ' 0 25mm2 9 0 (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x 2 10 m 10 x 2 10 m x 2 m x 2 m x1 9 x 2 0 x 1 9 x 2 x 1 9 m x 1 9 m ,(*) m 1 x x 99 m x x m 2 1 2 1 2 9mm 9 0 m 0 m 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 47
Câu 5: a) Với m 0 , phương trình đã cho trở thành: xx2 2 1 0 ' 2 ; x1,2 1 2 Vậy với m 0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x1,2 12. b) '2 m Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 0 mm 2 0 2 x x 2( m 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 12 2 x12 x m m 1 Do đó: 1 1xx12 2(m 1) 4 4 2 4 x1 x 2 x 1 x 2 m m 1 22 m 1 m m 1 0 m m 1 0 3 m 1 2( m22 m 1) 2 m m 3 0 m 2 3 Kết hợp với điều kiện m 1; là các giá trị cần tìm. 2 Câu 6: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì 0 2mm 1 2 4.2. 1 0 4mm2 12 9 0 2m 3 2 0 3 m 2 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có: 2m 1 13- 4m x x x 12 2 1 7 m1 7m 7 x12 .x x2 2 26 -8m 3x12 4x 11 13- 4m 7m 7 3 4 11 7 26 -8m 13- 4m 7m 7 Giải phương trình 3 4 11 7 26 -8m m 2 m 2 Ta được . Vậy là các giá trị cần tìm m 4,125 m 4,125 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 48
Câu 7: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 2 2 mm 1 1. 3 0 2m 4 0 m 2 Vậy m 2 là các giá trị cần tìm a) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm. Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a 3 a 2 m 2 2 a.3 a m 3 2 mm 11 2 am 33 22 mm2 6 15 0 m 3 2 6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 3 2 6 là các giá trị cần tìm. Câu 8: 19 a) Với m 1 phương trình trở thành x22 x 0 x 2 x 9 0 22 x1 1 10 x2 1 10 b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì 0 2 1 12 1 m 4. . m 4 m 1 0 8 m 2 0 m 2 2 4 1 Để phương trình có nghiệm khác 0 mm2 4 1 0 2 m1 4 3 2 m2 4 3 2 11 xx12 0 Ta có x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 10 xx12 xx12 10 m 0 20m 2 m 4 19 mm 8 3 0 m 4 19 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 49
m 0 Kết hợp với điều kiện ta được m 4 19 m 0 Vậy là các giá trị cần tìm. m 4 19 Câu 9: 2 m24 4.1. m 1 m 4 m 4 Phương trình có nghiệm nguyên khi mm4 44 là số chính phương m 0 Nếu thì 0 (loại) m 1 Nếu m 2 thì 42 2 (nhận) Nếu m 3 thì 2m m 2 5 2 m2 4 m 5 0 2m2 4 m 5 4 m 4 m4 21 m 2 m 4 22 mm22 1 không là số chính phương. Vậy m 2 là giá trị cần tìm Câu 10: 2 '22 37 a) m1 1. m 3 m 3 m 4 m 0, m 24 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. x1 x 2 2( m 1) x 1 x 2 2 m 2 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x 2 m 3 2 x 1 x 2 2 m 6 x1 x 2 2 x 1 x 2 4 0 không phụ thuộc vào m . 22 22 c) P x1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 4 m 1 2 m 3 2 5 15 15 2m , m 2 4 4 15 55 15 5 Do đó P và dấu "" xảy ra khi 20mm . Vậy P với m . min 4 24min 4 4 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 50
Câu 11: x12 x m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12 x m 1 22 2 2 xx12 1 x1 x 2 2 x 1 x 2 1 m 2 m 1 1 Ta có M 22 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 m 1 m 2 mm2 21 m 1 m m 11 m m m 0 2 m 1 m 10 m 1 Để M 0 0 m m 1 0 mm 1 m 0 m 0 m 10 2 22 2 a) Ta có P x1 x 21 x 1 x 2 2 x 1 x 2 1 m 2 m 1 1 m2 2 m 1 m 1 2 0 , m Do đó Pmin 0 và dấu "" xảy ra khi mm 1 0 1 Vậy Pmin 0 với m 1. Câu 12: Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1 , x2 là '0 m2 10 xx12 0 2(mm 1) 0 0 xx12 0 20m x12 x 21 m Theo hệ thức Vi-ét: x12 x 2 m Ta có xx12 2 x1 x 2 22 x 1 x 2 2m 2 2 2 m 2 m 0 (thoả mãn) Vậy m 0 là giá trị cần tìm. Câu 13: Ta có [-(m+1)]2 4m m 2 2 m 1 ( m 1) 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 mm 1 2 0 1 x12 x m 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12 x m 22 Ta có A x1 x 2 x 1 x 2 2007 x 1 x 2 x 1 x 2 2007 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 51
1 1 3 m m 1 2007 m22 m 2007 m 2. m . 2006 2 4 4 2 1 8027 8027 m , m 2 4 4 11 Dấu "" xảy ra mm 0 22 8027 1 Vậy A với m . min 4 2 Câu 14: Ta có 2m 22 4.1.2 m 14 m2 8 m 44 m 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 mm 1 2 0 1 x12 x 2 m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12 x 21 m 22 Ta có A x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 22 1 m m 12007212 m m 4 m 2 m 4 m m 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 m 2. m . 4 m , m 4 16 16 4 4 4 11 1 1 Dấu "" xảy ra mm 0 . Vậy A với m . 44max 4 4 Câu 15: 2 2 Ta có 2 m 1 4.1. 2 m 5 4 m 12 m 22 2m 22 2.2 m .3 9 13 2 m 3 13 0 , m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . x12 x 22 m a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I) x12 x 25 m x1 10 Theo giả thiết x1 1 x 2 x 1 1 x 2 1 0 x 1 x 2 x 1 x 2 1 0 (II) x2 10 Thay (I) vào (II) ta có: 2m 5 2 m 2 1 0 0. m 2 0, đúng với mọi m . Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn xx12 1 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 52
Câu 16: a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . m24.( m 2) m 2 4 m 8 ( m 2) 2 4 4 0 , m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . b) Vì a b c 1 m m 2 1 0 , m nên phương trình có 2 nghiệm xx12,1 , m . Phương trình x22 mx m 2 0 x 2 mx m x22 22 x mx m mx m Ta có 1. 2 4 1 . 2 4 x1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1 m2 ( x 1)( x 1) 12 4 mm2 4 2 (xx12 1)( 1) Vậy m 2 là các giá trị cần tìm. Câu 17: Ta có ac. 1. 1 1 0, với m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m . 2 x11 mx 1 a) Ta có do x , x là nghiệm của phương trình (1). 2 1 2 x22 mx 1 x22 x 1 x x 1 mx 1 x 1 mx 1 x 1 Do đó P 1 1 2 2 1 1 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 x12 m 11 x m mm 1 1 0 vì x1 , x2 0 . xx12 Vậy P 0 . Câu 18: 2 2 2m 1 4.1. m 1 4 m 5 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 4mm 5 0 4 x x 21 m 12 a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 2 x12 x m 1 22 Ta có xx12 xx 12 3 xx 12 4 xxxxx 12122 4 2 2 33m 214m m 1214 m x2 6640 m x 2 x 2 2 m 1 Suy ra x 1 2 mm 1 3 3 Do đó . m22 1 m 1 0 m 1 (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) 22 Vậy m 1 là các giá trị cần tìm. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 53
Câu 19: 2 2 4.1. 2mm 1 8 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 8mm 0 0 xx12 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I) x12 x 21 m 2 2 2 22 2 2 Ta có x2(1)(1)82 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 ( x 1 x 2 )8 2 2 2 x1 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2 8 (II) Thay (I) vào (II) ta có: 22 2(2 m 1) 422 m 1 8 2 m 3 m 20 1 m 2 m 2 So với điều kiện có nghiệm m 0 . Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu 20: Do 43 là nghiệm của phương trình nên thỏa: 2 4 3 8 4 3 m 0 mm 13 0 13 Thay m 13 vào phương trình ta được phương trình: xx2 8 13 0 * ' 4 2 1.13 3 x 43 Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là: 1 x2 43 Vậy x 43 là giá trị cần tìm. Câu 21: 2 2 Ta có 2m 1 4.1. m m 1 5 0 , m . Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . x12 x 21 m a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x12 x m m 1 22 2 Ta có A 2 xxxx1221 2 5 xx 12 2 xx 12 9 xx 12 2 xx 12 9 m22 m 1 2 2 m 1 2 m m 11 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 54
2 2 1 1 1 1 45 45 m 2. m . 11 m , m 2 4 4 2 4 4 11 Dấu "" xảy ra mm 0 22 45 1 Vậy A với m . min 4 2 Câu 22: '22 11 a) mm 1. 0, m . 22 Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 xm1 b) Hai nghiệm của phương trình là 2 2 xm2 2 2 2 1 1 Theo đề bài ta có m m m22 22 m m m 2 2 2 2 2 2mm 0 0 c) Theo định lý Pitago ta có: 22 22 22 m 2 m m 9 2 m 8 0 m 4 0 22 m 2 m 2 Vậy là các giá trị cần tìm. m 2 Câu 23: Vì phương trình x2 2 x m 3 0 có nghiệm x 1 nên ta có: ( 1)2 2.( 1)m 3 0 m 6 0 m 6 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x 2 2 1 x 2 2 x 2 3 Vậy m 6 và nghiệm còn lại là x 3. a) ' 12 1. mm 3 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 02 m xx12 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12 x m 3 Ta có Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 55
33 xx12 8 3 (x1 x 2 ) 3 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 8 23 3.(m 3).2 8 6(m 3) 0 m 30 m 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Câu 24: 2m 1 2 4.1. m2 1 4 m 5 5 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m . 4 x12 x 21 m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x12 x m 1 22 2 Ta có P x1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 22 2m 1 2 m 1 2 m 4 m 3 2 m2 2 11132 m m 1 2 11 , m Dấu "" xảy ra mm 1 0 1 (nhận) Vậy Pmin 1 khi m 1. Câu 25: 2 Δ m 5 4.1. 2m 6 mm 5 2 4. 2 6 m2 10 m 25 8 m 24 mm2 21 mm 1 2 0;  Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm. xx, a) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x m 5; 12a c P x x 26 m 12 a 22 Ta có: xx12 35 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 35 mm 5 2 2 2 6 35 m2 10 m 25 4 m 12 35 0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 56
mm2 6 22 0 1 ' 32 1. 22 9 22 31 0 Vì '0 nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt: mm12 3 31; 3 31 Vậy m 3 31; 3 31 Câu 26: Phương trình 1 có nghiệm : '0 1 m 2 0 30 m m 3 Vậy phương trình 1 có nghiệm khi m 3 a) Do phương trình 1 có 2 là một nghiệm nên thỏa: 22 2.2 m 2 0 m 60 m 6 Thay m 6 vào phương trình 1 ta được phương trình: xx2 2 8 0 * '11.82 1890, ' 93 1 3 1 3 Do '0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: xx12 2; 4 11 Vậy m 6 và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm. Câu 27: a) Khi m = 2, phương trình 1 trở thành: xx2 2 1 0 2 Ta có a b c 1 2 1 0 nên phương trình 2 có hai nghiệm: c 2 xx 1; 2 12a 1 Vậy khi m 2 , tập nghiệm của phương trình 2 là S 1; 2 b) m22 4.1. m 1 m 4 m 4 m 2 2 0; với mọi m . Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . xx, c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x m 12a c P x x m 1 12 a Ta có: A x 122 x 1 2016 12 2 A x12 1 x 1 2016 2 A x1 x 2 x 1 x 2 1 2016 A m 1 m 1 2 2016 A 02 2016 A 2016 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 57
Câu 28: Do phương trình có nghiệm x 2 nên thỏa: 22 2mm 1 .2 2 0 4 4mm 2 2 0 2m 2 0 22m m 1 Thay m 1vào phương trình ta được phương trình: xx2 3 2 0 * c 2 Ta có abc 1 3 2 0 nên phương trình * có hai nghiệm: xx12 1; 2 a 1 Vì x2 2 nên nghiệm còn lại là x1 1 Vậy m 1 và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm. Câu 29: 2 2 2 mm 1 4.1. 2 mm 1 4 2 m 2 m 1 4 m 8 mm2 29 mm2 2 1 8 m 1 2 8 0; với mọi m Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt xx, với mọi . 12 m a) Với mọi , phương trình đã cho có hai nghiệm xx, thỏa hệ thức Vi-ét: m 12 b S x x m 1 12a c P x x m 2 12 a 22 2 2 b) Ta có A x1 x 2 6 x 1 x 2 x1 x 2 8 x 1 x 2 mm 1 8 2 m2 2 m 1 8 m 16 mm2 6 17 mm2 6 9 8 m 3 2 8 8; với mọi m Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA 8 khi và chỉ khi m 3 . Câu 30: Với m 1 phương trình trở thành: xx2 4 4 0 * ' 22 1.4 0 b'2 Vì '0 nên phương trình * có nghiệp kép: xx12 2 a 1 Vậy với m 1, tập nghiệm của phương trình * là S 2 a) Ta có 2 2 2 2 2 ' mm 1 1. 4 mm 14 m 2 m 1 4 m mm 21 m 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 1 2 0 m 1 0 m 1 Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 58
Câu 31: a) Ta có ' 122 1. m 1 11 m2 m2 20 , với mọi m Vì '0, với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: b 2 S x x 2 12a 1 cm 2 1 P x x m2 1 12 a 1 c) Ta có xx12 2 (do trên) và xx12 3 nên ta có hệ phương trình sau: x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 3 x x 3 x 0 x 3 x 0 1 2 1 2 1 2 x1 x 2 2 x 1 1 2 x 1 3 * 2x 2 x 1 x 1 2 2 2 2 Thay * vào biểu thức x12 x m 1 ta được: 3 .1 m22 1 m 2 m 2 Vậy m 2 là các giá trị cần tìm. Câu 32: Ta có mm 2 2 4.1. 1 m2 4 m 4 4 m 4 m2 80 , với mọi m . Vì 0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . a) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét: b m 2 S x12 x m 2 a 1 cm 1 P x x m 1 12 a 1 Theo đề bài, ta có: x22 x 13 x x x x2 2 x x 13 x x 0 x x2 3 x x 13 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 mm 2 3 1 13 0 mm 2 3 1 13 0 m2 4 m 4 3 m 3 13 0 2 mm 60 * 2 1 4.1. 6 1 24 25 0; 25 5 Do 0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 1 5 1 5 mm 2; 3 122.1 2.1 Vậy mm12 2; 3 là các giá trị cần tìm . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 59
Câu 33: Ta có 12 4.1. m 2 1 4m 8 94m 9 Để phương trình có nghiệm 0 9 4m 0 4 m 9 m 4 9 Vậy m thì phương trình có nghiệm . 4 9 Với m thì phương trình trên có hai nghiệm xx, thỏa hệ thức Vi-ét: a) 4 12 b 1 S x x 1 12a 1 cm 2 P x x m 2 12 a 1 Ta có x x33 x x 10 22 1 2 1 2 x1 x 2 x 2 x 1 10 x x x x2 2 x x 10 0 1 2 1 2 1 2 1 . 12 2.m 2 10 0 1 2m 4 10 0 1 2m 4 10 0 2m 5 0 25m 5 m 2 5 Vậy m thì phương trình trên có nghiệm. 2 Câu 34: 2 Ta có ' 2 1. m 3 43 m 1 m Để phương trình có nghiệm xx12, ' 0 1 mm 0 1 m 1 xx, a) Theo câu a, ta có thì phương trình có hai nghiệm 12 thỏa hệ thức Vi-ét: b 4 S x x 4 12 a 1 cm 3 P x x m 3 12 a 1 Ta có x2 x 2 x 2 x 2 51 x x22 2 x x x x 51 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 22 2. mm 3 3 51 0 16 2m 6 m2 6 m 9 51 0 2 mm 4 32 0 * Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 60
2 ' 2 1. 32 4 32 36 0; ' 36 6 Do ∆’ > 0 nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: 26 26 m 4 (loại); ;8m (nhận) 1 1 2 1 Vậy m8 là giá trị cần tìm . Câu 35: 2 2 22 Ta có ' m 3 1. m 3 m 1 m 6 m 9 m 3 m 1 98m Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m 8 ' 0 9m 8 0 9 m 8 m 9 8 Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m . 9 8 a) Theo câu a, với mọi m thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét: 9 b 23 m S x12 x 23 m a 1 c m2 31 m P x x m2 31 m 12 a 1 Ta có x x x x A x1 x 2 1 x 2 1 2 1 2 x1 x 2 x 1 x 2 2 2 2 2 1 27 m 3 m 1 2 m 3 m 3 m 1 2 m 6 mm 7 mm 44 2 2 1 27 27 1 m , với mọi m (vì m 0 , với mọi m ) 2 4 4 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m . 2 27 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA khi và chỉ khi m 4 2 Câu 36: Ta có ' mm 2 1. 2 1 mm2 21 m 10 2 ; với mọi m Do '0 (với mọi m) nên phương trình 1 luôn có nghiệm xx12, với mọi giá trị của m . a) Theo câu a, với mọi m thì phương trình 1 luôn có nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: bm2 S x x 2 m 12a 1 cm21 P x x 21 m 12 a 1 Ta có A 25 x22 x x x 2 x x2 2 x x 5 x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x1 x 2 4 x 1 x 2 5 x 1 x 2 29 x1 x 2 x 1 x 2 2 2mm 9 2 1 8mm 18 9 Do A = 27 nên thỏa: 8mm2 18 9 27 8mm2 18 18 0 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguy ễn Tiến – 0986 915 960 Trang 61
2 4mm 9 9 0 * 2 Ta có 9 4.4. 9 81 144 225 0; 225 15 9 15 9 15 3 Do 0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: mm12 3; 2.4 2.4 4 3 Vậy mm 3; là các giá trị cần tìm. 124 Câu 37: 2 2 2 Ta có mm 3 4.1. 5 mm 3 4. 5 m 6 m 9 4 m 20 2 2 2 mm 10 29 mm 10 25 4 m 5 4 0 ; với mọi m . Vì 0 (với mọi m ) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m a) Theo câu a, ta có với mọi thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt xx, thỏa m 12 hệ thức Viet: b m 3 S x12 x m 3 a 1 cm 5 P x x m 5 12 a 1 22 22 Ta có x1 4 x 1 x 2 4 x 2 11 x1 x 2 4 x 1 x 2 11 0 x x2 2 x x 4 x x 11 0 1 2 1 2 1 2 m 3 2 2 m 5 4 m 3 11 0 m2 6 m 92 m 104 m 12110 mm2 12 20 0 * Ta có ' 6 2 1.20 36 20 16 0; ' 16 4 6 4 6 4 Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt: mm 10; 2 1211 Vậy mm12 10; 2 là các giá trị cần tìm. Câu 38: 2 2 2 Ta có: mm 4.1. 2 4 mm 8 16 m 40 ; với mọi m . Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . xx, a) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x m 12a c P x x 24 m 12 a 22 2 2 Ta có xx12 5 x1 x 2 2 x 1 x 2 5 0 mm 2. 2 4 5 0 2 2 mm 4 8 5 0 mm 4 3 0 * c 3 Vì abc 1 4 3 0 nên phương trình * có hai nghiệm: mm12 1; 3 a 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 62
Vậy mm12 1; 3 là các giá trị cần tìm. Câu 39: 2 Ta có ' 1 1. 4m 1 1 4m 1 24m 1 Để phương trình có nghiệm ' 0 2 4m 0 4 m 2 m . 2 1 Vậy m thì phương trình có nghiệm. 2 1 a) Theo câu a, với 0 m thì phương trình có hai nghiệm xx, thỏa hệ thức Vi- 2 12 ét: b 2 S x x 2 12 a 1 cm41 P x x 41 m 12 a 1 22 2 Ta có x1 x 2 2 x 1 2 x 2 12 x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 12 0 1 22 2 4m 1 2.2 12 0 4 8m 2 4 12 0 8m 2 0 m (thỏa) 4 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 Câu 40: 2 2 2 Ta có ' mm 1. 4 4 mm 44 mm 2 0,  Do ' 0, m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . a) Theo câu a) ' 0 m 2 nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: bm2 S x x 2 m 12a 1 cm44 P x x 44 m 12 a 1 2 Do x1 là nghiệm của phương trình nên thỏa: x11 2 mx 4 m 4 0 2 x11 2 mx 4 m 4 * x2 2 mx 8 m 5 0 Ta có 12 2mx 4 m 4 2 mx 8 m 5 0 12 (do * ) 2m x12 x 12m 9 0 2m.2m 12m 9 0 (do hệ thức Vi-ét) 4m2 12m 9 0 2m 3 2 0 2m 3 0 3 2m 3 m 2 3 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 Câu 41: 2 Ta có: ' mm 4 6 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 63
' mm 4 2 6 ' m2 8 m 16 m 6 ' mm2 9 22 2 97 ' mm 0,  22 Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: b x x 2 m 4 2 m 4 2 m 8 12a c x.6 x m 12 a 1 1xx 2m 8 2 m 6 12 8 Có: A 12 x1 x 2 x 1. x 2 m 6 m 6 2 mm 6 4 2 6 44 2 m 6 m 6 m 6 m 6 4 Để A thì suy ra 46 m hay m 6 Ư(4)= 4; 2; 1;1;2;4 m 6 Lập bảng: m 6 -4 -2 -1 1 2 4 m 2 4 5 7 8 10 Vậy m 2;4;5;7;8;10 thì A . Câu 42: 2 2 2 Ta có: ' mm 2 2 mm 22 m 4 m 4 2 m mm2 24 mm 1 2 3 0,  Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x 2 m 2 2 m 2 2 m 4 12a c P x.2 x m 12 a 2 Ta có: x2 x 1 x 1 x2 x 1 2 m 2 x 1 2 m 2m 4 x1 x 1 2 m 2 x 1 2 m 42 4 2x 2 m 4 x x1 112 2mm 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 64
2 2 22 Thay x1 vào 1 ,ta được: 2 mm 2 2 0 1 m 11 mm 2 4 4 m 2 1 m 2 m 1 m 0 1 m 2 1 m 2 1 m 2 4 4 m22 3 m 2 2 m 1 2 m m 0 4 4m2 12 m 8 2 m 4 m 2 2 m 3 0 2m32 8 m 14 m 12 0 m32 4 m 7 m 6 0 m 2 m2 2 m 3 0 m 2 Vậy m2 là giá trị cần tìm. Câu 43: Ta có: ' 1 2 2mm22 1 2 0,  m Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x 22 12a c P x. x 2 m2 3 12 a 22 xx12 2 Có: xx12 4 xx12 2 4 x1 xx12 2 3 42 2 TH1: thay vào 3 .Ta được:  2m (vô lý) xx 22 33 12 x 2 3 x1 24 x 2 x 1 TH2: thay vào 3 . Ta được: 4 2 2m22 m 4 m 2 . x1 x 2 22 x 2 Vậy m2 là giá trị cần tìm . Câu 44: 2 2 Ta có: 3m 2 4 2 m m 3 3m 22 8 m2 4 m 12 9m22 12 m 4 8 m 4 m 12 m2 8 m 16 m 4 2 0,  m Do 0, m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 65
a) Theo câu a, 04 m nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức b S x x 3 m 2 3 m 2 12a Vi-ét: c P x. x 2 m2 m 3 3 12 a Ta có hệ phương trình sau: 96m x1 xx12 3 4 9mm 6 3 2 2 , thay vào 3 , ta được:  23mm x x 3 m 2 3 m 2 44 12 x 2 4 9m 6 3 m 2 16 2 m2 m 3 27m22 36 m 12 32 m 16 m 48 5mm2 20 60 0 mm2 4 12 0 mm 2, 6 Vậy mm 2, 6 là giá trị cần tìm. Câu 45: Ta có: ' m 2 22 m22 m 2 m 0,  m Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x 2 m 2 4 2 m 12a c P x. x m2 3 12 a Ta có: 22 x1 1 x 2 1 x 1 x 2 x 2 x 1 2 x1 x 2 x 1 x 2 12 x 1 x 2 x 1 x 2 m22 4 2 m 1 m 4 2 m 2 m2 2 m 5 4 m 2 2 m 3 2 m 2 2m32 5 m 2 m 5 0 m2 2 m 5 2 m 5 0 2mm 5 2 1 0 5 m 2 5 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 Câu 46: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 66
2 2 2 2 22 Ta có: ' mm 1 3 mm 13 m 2 m 1 m 3 24m Để 1 có nghiệm thì ' 2mm 4 0 2 a) Theo câu a) ' 0 m 2 nên phương trình luôn có hai nghiệm xx12, thỏa hệ thức Vi-ét: b S x x 2 m 1 2 m 2 12a c P x. x m2 3 3 12 a Ta có: 22 2x1 1 x 2 1 2 x 2 1 x 1 1 x 1 x 2 14 2 2xxxx1212 2 1 2 xxxx 1221 2 1 xx 12 2 xx 12 14 2 4x1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 14 2 x1 x 2 6 x 1 x 2 x 1 x 2 16 0 2m 2 2 6 m2 3 2 m 2 16 0 4m22 8 m 46 m 182 m 2160 2 2mm 6 36 0 mm2 3 18 0 mm 3, 6 Vậy m 6 là giá trị cần tìm. Câu 47: Ta có: m2 12 Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì 0 m 23 hoặc m 23 x12 x m (1) Kết hợp với hệ thức Viét ta có : 3xx12 6 (2) xx12 3 (3) 6 m 36m Giải hệ 1 , 2 ta được x1 ; x2 2 2 6 m 36m Thay x1 , x2 vào 3 ta được : 2 2 6 mm 3 6  3 6 mm 3 6 12 m 4 22 Vậy m 4 là giá trị cần tìm . Câu 48: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 67
2 Ta có: 5m 1 4 6 m2 2 m 25m22 10 m 1 24 m 8 m mm2 2 1 mm 1 2 0,  Vì 0, m nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. a) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình 5mm 1 1 5mm 1 1 Ta có: xm 31 ; xm 2 1 2 2 2 22 22 22 Theo đề bài: xx12 1 3mm 1 2 1 9m 6 m 1 4 m 1 0 6 13mm2 6 0 m 0 ;m 13 6 Vậy m 0 ; m là giá trị cần tìm. 13 Câu 49: Ta có: '  (mm 1)2 3 ' m2 2 m 1 m 3 ' mm2 3 4 22 2 3 3 3 ' mm 2. . 4 2 2 2 2 37 ' mm 0,  24 Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình 1 b S x x 2 m 1 2 12a Áp dụng định lý Vi-ét: c P x x m 3 3 12 a Theo đề bài ta có: P x22 x 12 P x22 x 22 x x x x 1 2 1 2 1 2 P x x2 2 x x 1 2 1 2 2 P 4 m 1 2 m 3 2 P 4 m 8 m 4 2 m 6 2 P 4 m 10 m 10 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 68
22 2 5 5 5 P 2 m 2.2 m . 10 2 2 2 2 5 15 15 P 2, m  m 2 2 2 55 Dấu "" xảy ra 20mm 24 2215 5 Vậy Min x12 x khi m . 2 4 b) Từ 3 m x12 x 3 Thay m x12 x 3 vào 2 , ta được: x1 x 2 2 x 1 x 2 3 1 x1 x 2 24 x 1 x 2 Câu 50: Ta có: ' mm 2 2 1 ' mm2 2 1 ' mm 1 2 0,  Với m 1 thì phương trình 1 có hai nghiệm xx12, b S x x 2 m 2 12a Áp dụng Định lý Vi-ét: c P x x 2 m 1 3 12 a m x2 x12 x2 m 42xm2 2 Giải hệ: 4 xx 30 xx 30 3m 12 12 x 1 2 3m2 Thay 4 vào 3 , ta được: 21m 3mm2 8 4 0 * 4 ' 4 2 3.4 '4 ' 2 0 2 Nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: mm12 2; 3 2 Vậy mm 2; là giá trị cần tìm. 123 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 69
Câu 51: Với m = 3 phương trình 1 trở thành: xx2 – 6 4 0 2 Giải 2 ra ta được hai nghiệm: xx12 3 5, 3 5 . a) Ta có: '4 m2 . m 2 Phương trình 1 có nghiệm '0 * m -2 b S x x 2 m 12a Theo hệ thức Vi-ét ta có: c P x x 4 12 a 2222 22 Ta có : xx12 1 1 2 x1 2 x 1 1 x 2 2 x 2 1 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 0 2 2 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 0 2mm 2.4 2.2 0 4mm 4 8 0 2 m1 1 mm 20 . m2 2 Đối chiếu với điều kiện * ta thấy chỉ có nghiệm m2 2 thỏa mãn. Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu 52: Ta có: ' mm2 1 0,  Do đó phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . b S x x 2 m 12a a) Theo định lí Vi-ét: c P x x 1 12 a 22 2 2 Ta có: x1 x 2–7 x 1 x 2 x1 x 2 37 x 1 x 2 2m 3 1 7 4m2 3 7 m 1 Vậy m 1là giá trị cần tìm. Câu 53: Với m 0 phương trình 1 trở thành xx2 – 1 0 2 Ta có : 1 2 4.1.1 3 0 , nên phương trình 2 vô nghiệm. a) Ta có: 1 2 – 4 1 mm 3– 4 4 Để phương trình có nghiệm thì 0 3mm 4 0 * 3 Theo hệ thức Vi-ét ta có: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 70
b S x x 1 12a c P=x x 1 m 12 a Thay vào đẳng thức: x1 x 2 x 1 x 2– 2 3 x 1 x 2 ta được: 1 mm 1– 2 3 .1 1 mm –13 m2 13 m2 4 m 2 Đối chiếu với điều kiện * suy ra chỉ có m 2 thỏa mãn. Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu 54: Đặt X x2 X 0 Phương trình trở thành X4 ( m 2 4 m ) X 2 7 m 1 0 (1) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 22 0 (m 4 m ) 4(7 m 1) 0 S 0 mm2 40 (I) P 0 7m 1 0 Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X 2 . Phương trình đã cho có 4 nghiệm xX1,2 1 ; xX 3,4 2 2 2 2 2 2 x1 x 2 x 3 x 4 2( X 1 X 2 ) 2( m 4 m ) 22 m 1 Vậy ta có 2(m 4 m ) 10 m 4 m 5 0 m 5 Với m 1, (I) thỏa mãn Với m 5 , (I) không thỏa mãn. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Câu 55: 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi 0 2mm 1 4.2. 1 0 4m2 4 m 1 8 m 8 0 4mm2 12 9 0 2m 3 2 0 3 Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi m 1 . 1 2 2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 71
21m 13 4m xx x 12 2 1 7 mm 1 7 7 Theo định lí Vi-et, ta có: x1 x 2 x 2 * 2 26 8m 3xx12 4 11 13 4mm 7 7 3. 4. 11 7 26 8m Giải phương trình * ta được: mm 2  4,125. So với điều kiện 1 , ta được: mm 2  4,125. Câu 56: Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi 0 2 2 22 2 mm 1 4. 3 0 4m 8 m 4 4 m 12 0 m 2 . Vậy với m 2 phương trình 1 luôn có nghiệm. a) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Với m 2 phương trình 1 có 2 nghiệm. Gọi a là một nghiệm thì nghiệm kia là 3a . a 3 a 2 m 1 Theo Vi-et, ta có: 2 a.3 a m 3 Giải hệ phương trình trên, ta được: m 3 2 6 thỏa mãn điều kiện. Vậy m 3 2 6 phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Câu 57: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Phương trình luôn có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi 0 mm2 4 1 0 m 20 2 Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 23xx12 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 22 . x1 x 2 21 x 1 x 2 x12 x m Theo Vi-et, ta có: . x12.1 x m 21m Khi đó: P m2 2 Tìm điều kiện để P có nghiệm theo ẩn 1 1 Suy ra P 1. Vậy giá trị lớn nhất bằng 1 khi m 1, giá trị nhỏ nhất bằng khi 2 2 m 2 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 72
Câu 58: Giải phương trình 1 với m 1. Thế m 1 vào phương trình 1 ta được xx2 2 9 0. x 1 10 Giải phương trình này ta được: 1 . x2 1 10 11 a) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn xx12 . xx12 1 Để phương trình có 2 nghiệm thì 0 8m 2 0 m * . 4 2 Để phương trình có nghiệm khác 0 thì: mm2 4 1 0 23 m1 4 3 2 Hay . m2 4 3 2 11 xx12 0 Theo đề bài, ta có: xx12 x1 x 2 x 1 x 2 10 xx12 xx12 10 m 0 20m 2 m 4 19 . mm 8 3 0 m 4 19 Kết hợp với điều kiện * và , ta được mm 0  4 19 . Câu 59: Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì 0 mm 5 2 4 6 0 mm2 14 1 0 mm 7 4 3  7 4 3 * a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. xx21 1 Giả sử xx12 , theo Vi-et, ta có: x12 x m 5 . x12 x m 6 Giải hệ trên ta được: mm 0  14 thỏa mãn * . 2xx12 3 13 b) Theo giả thiết ta có: x12 x m 5 x12 x m 6 Giải hệ trên ta được: mm 01  thỏa mãn * . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 73
Câu 60: Để phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt thì: 0 2 2 2 37 mm 1 3 0 mm 3 4 0 m 0 luôn đúng với mọi m . 24 Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi m . x x 21 m x12 x 22 m a) Theo Vi-ét: 12 . x12.3 x m 2x12 . x 2 m 6 d) Suy ra x1 x 2 24 x 1 x 2 hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không phụ thuộc vào m . 2 2 222 2 5 Pxxxx 1 2 1 2 2 xxm 1 2 2226410102 m mm m 44 2 5 Vậy P 4 khi và chỉ khi m . min 4 Câu 61: Để phương trình * có hai nghiệm thì: 0 2m 1 2 4 m2 m 6 0 25 0 Vậy phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . 2 xx12.0 mm 60 Để phương trình * có hai nghiệm âm thì: xx12 0 2m 1 0 mm 32  1 m 3 m 2 Vậy với m 3 thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm. a) Với 25 suy ra x12 m 2; x m 3 33 33 2 Theo giả thiết, ta có: xx12 50 mm 2 3 50 5 3mm 3 7 50 15 m1 2 2 mm 10 . 15 m2 2 Câu 62: 2 2 Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì 0 mm 4 1 0 m 20 Vậy với m 2 phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. 22 1. A x1 x 2 6. x 1 x 2 22 2 2 2 a) A x1 x 2 6. x 1 x 2 x1 x 2 8 x 1 x 2 mm 81 mm 88 b) Với A 8 mm2 8 8 8 mm 80  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 74
c) A m2 8 m 8 m 4 2 8 8 Vậy Amin 8 khi và chỉ khi m 4 . x x m 12 m1 4 d) Theo Vi-et, ta có: x12 x m 1 . 4 m2 xx12 3 3 Câu 63: Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m . Để phương trình có 2 nghiệm thì 0 4mm2 4 2 1 0 2m 2 2 0 Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x1 , x2 với mọi m . 1. A 25 x22 x x x A 2 x x2 2 x x 5 x x A 29 x x2 x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x12 x2 m Theo Vi-et, ta có: . x12 x 21 m a) A 2 2 m 2 9 2 m 1 8 m2 18 m 9 (đpcm). m1 3 b) Theo giả thiết, ta có: A 27 8mm2 18 9 27 4mm2 9 9 0 3 . m 2 4 2 2 9 9 9 c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất: A 8 m 18 m 9 2 2 m 22 88 9 9 Vậy A khi m . min 8 8 d) Tìm m sao cho xx12 3 . x x2 m 12 m1 2 Theo Vi-et, ta có: x12 x 21 m . 2 m2 xx12 3 3 Câu 64: Giải và biện luận số nghiệm của x1 , x2 của 1 theo tham số m . m 1 2 2 m 5 m2 4. - Nếu 0 m2 40 22 m Phương trình 1 vô nghiệm. 2 m 2 - Nếu 0 m 40 m 2 Phương trình 1 có nghiệm duy nhất x 1. - Nếu 0 m2 40 22 m Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 75
1. Tìm m sao cho x1 , x2 thỏa mãn x x 21 m - Theo Vi-et, ta có: 12 x12 x 25 m 5 - Điều kiện nghiệm khác 0* m 2 xx a) 12 2 xx21 22 2 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 x1 x 2 40 x 1 x 2 4 mm 1 8 20 0 m 2 b) x1 x 2 26 x 1 x 2 2 mm 1 4 10 6 m 1 x12 x 21 m 13 c) Theo giả thiết, ta có: x12 x 25 m mm12  2 6 2xx12 3 5 22 d) Tìm m sao cho 12 10x1 x 2 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. 22 2 2 Ta có:12 10x1 x 2 x 1 x 2 12 8x1 x 2 x 1 x 2 12 8 2mm 5 4 1 4mm2 24 32 4 m 32 23 92 Đẳng thức đạt giá trị lớn nhất bằng 92 khi m 3 . Câu 65: Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 24m m 2 x12 x 21 m 2 a) Theo Vi-et, ta có: x12 x m 3 mm 13  22 xx12 4 Câu 66: m2 4 m 4 m 2 2 0 với mọi m . 22 2 a) x1 x 2 x 1 x 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 2 mm 12 mm 20 mm 12  . Câu 67: m2 2 m 3 m 1 2 2 0 Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . x12 x2 m a) Theo Vi-et, ta có: x12 x 23 m 3 b) x x 23 x x 23m m . 1 2 1 2 2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 76
Câu 68: m 2 22 2 m 5 m 3 0 Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x1 , x2 . 2 22 22 9 3 3 a) Axxxxxxxx 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m 5 4 m 2 2 m 2 4 4 3 9 Vậy A khi m . max 4 4 Câu 69: 2m 1 22 4 m 4 m2 8 m 4 4 m 1 0 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . a) Theo Vi-et, ta có: x12 x 21 m và x12 x m 33 3 Khi đó: Am 4 2 . Vậy A khi m 0 . 22 min 2 Câu 70: 2m 3 2 4 m2 m 1 85m 5 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 m . 8 2 a) B x1 x 2 7 x 1 x 2 B 2 m 3 2 7 m2 m 1 2 5 49 49 Bm 3 6 36 12 49 5 Vậy B khi m . max 12 6 Câu 71: m 1 2 m2 4 m 3 2 m 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 m 1 . 2 a) Theo Vi-et, ta có: x12 x 21 m và x12 x m 43 m Khi đó: A m2 4 m 3 4 m 1 Am 2 11 Vậy Amin 1 khi m 0 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 77
Câu 72: 2mm 1 2 4.2. 1 2m 3 2 0 Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x1 , x2 . 21m m 1 a) Theo Vi-et, ta có: xx và xx \. 12 2 12 2 b) Điều kiện để x1 và x2 khác 0 là m 1 4xx12 1 4 1 2 Theo giả thiết, ta có: 9 40 x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 xx21 2 21m 2mm 1 1 0 8mm2 4 0 mm 02  thỏa điều kiện m 1. 2 Câu 73: 2 2 17 m m 20 m 24 Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm với mọi m . 2 22 2 a) A 2 xx1 2 5 xx 1 2 2 xx 1 2 9 xxm 1 2 8 18 m 9 3 Theo giả thiết, có: A 27 8mm2 18 9 27 8mm2 18 18 0 mm 3  . 4 Câu 74: 2 2 13 m m 20 m 22 Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . a) Theo Vi-et, ta có: x12 x2 m và x12 x m 2 22 Theo giả thiết, ta có: 1 x1 2 x 2 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2 2 2 1 x x x x 20 4mm2 2 2 0 mm 1  . 1 2 1 2 2 Câu 75: m224.( m 2) m 4 m 8 m 2 2 4 0 Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . a) Theo Vi-et, ta có: x12 x m và x12 x m 2 . 22 xx12 22 22 Theo giả thiết: .4 2 x1 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 2 0 xx12 11 2m2 m 2 2 4 m 0 m 2 . Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 78