Chuyên đề Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

46 trang nhungbui22 12/08/2022 2070

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_phep_doi_hinh_va_phep_dong_dang_trong_mat_phang.doc

Nội dung text: Chuyên đề Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 1/ Phép Dời Hình . trang 2 2/ Phép Tịnh Tiến trang 5 3/ Phép Đối Xứng Trục trang 10 4/ Phép Đối Xứng Tâm trang 18 5/ Phép Quay trang 22 6/ Hai hình bằng nhau trang 30 7/ Phép Vị Tự . trang 32 8/ Phép Đồng Dạng trang 38 - 1 -
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phép biến hình. . ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất điểm M của mặt phẳng. Điểm M gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó. . Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M là ảnh của M qua phép f . Ta viết: M f M hay f M M hay f : M M hay M f M . Lưu ý : + Điểm M gọi là tạo ảnh, M là ảnh. + f là phép biến hình đồng nhất f M M ,M H . Điểm M gọi là điểm bất động, điểm kép, bất biến. + f1, f2 là các phép biến hình thì f2 f1 là phép biến hình. . Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M f M , với M H , tạo thành hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H f H . 2/ Phép dời hình. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là với hai điểm bất kì M , N và ảnh M , N của chúng, ta luôn có: M N MN .(Bảo toàn khoảng cách) 3/ Tính chất (của phép dời hình): . ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. . HQ: Phép dời hình biến: + Đường thẳng thành đường thẳng. + Tia thành tia. + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. + Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm trực tâm, trọng tâm trọng tâm, ) + Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm: I I , R R ) + Góc thành góc bằng nó. B . BÀI TẬP - 2 -
x = 2x 1 1 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f: M(x;y) I M = f(M) = . y = y + 3 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giaûi : a) A = f(A) = (1;5) b) B = f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 1 2 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2;4) Giaûi : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (3x;y) . Ñaây coù phaûi laø pheùp dôøi hình hay khoâng ? Giaûi : Laáy hai ñieåm baát kì M(x1;y1),N(x2;y2 ) Khi ñoù f : M(x1;y1) I M = f(M) = (3x1; y1) . f : N(x2;y2 ) I N = f(N) = (3x2; y2 ) 2 2 2 2 Ta coù : MN = (x2 x1) (y2 y1) , M N = 9(x2 x1) (y2 y1) Neáu x1 x2 thì M N MN . Vaäy : f khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình . (Vì coù 1 soá ñieåm f khoâng baûo toaøn khoaûng caùch) . 4 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình : a) f : M(x;y) I M = f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x;y) I M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Pheùp bieán hình naøo treân ñaây laø pheùp dôøi hình ? HD : a) f laø pheùp dôøi hình b) g khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ( vì x1 x2 thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình : a) f : M(x;y) I M = f(M) = (y + 1 ; x) b) g : M(x;y) I M = g(M) = ( x ; 3y ) . Pheùp bieán hình naøo treân ñaây laø pheùp dôøi hình ? Giaûi : a) f laø pheùp dôøi hình b) g khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ( vì y1 y2 thì M N MN ) 6 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x 3y 2 = 0 qua pheùp bieán hình f . Giaûi : Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä - 3 -
x x = 2x x Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = 2 y y 1 y y 1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Caùch 2 : Laáy 2 ñieåm baát kì M,N ( ) : M N . + M ( ) : M(2;0) I M f(M) ( 4;1) + N ( ) : N( 1; 1) I N f(N) (2;0) Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( )  (M N ) :  PTCtaéc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y 2 0 VTCP : M N (6; 1) 6 1 7 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x 3 ;y 1) . a) CMR f laø pheùp dôøi hình . b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = 4 . I (C ) : (x 2)2 + (y 3)2 = 4 8 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x 3 ;y 1) . a) CMR f laø pheùp dôøi hình . b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = 2 . x2 y2 d ) Tìm aûnh cuûa elip (E) : + = 1 . 3 2 Giaûi : a) Laáy hai ñieåm baát kì M(x1;y1),N(x2;y2 ) Khi ñoù f : M(x1;y1) I M = f(M) = (x1 3; y1 1) . f : N(x2;y2 ) I N = f(N) = (x2 3; y2 1) 2 2 Ta coù : M N = (x2 x1) (y2 y1) = MN Vaäy : f laø pheùp dôøi hình . b) Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä x = x 3 x x 3 Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( ) : x 2y 4 0 Caùch 2 : Laáy 2 ñieåm baát kì M,N ( ) : M N . + M ( ) : M(5 ;0) I M f(M) (2;1) + N ( ) : N(3 ; 1) I N f(N) (0;2) - 4 -
Qua M (2;1) x 2 y 1 ( )  (M N ) :  PTCtaéc ( ) : PTTQ( ) : x 2y 4 0 VTCP : M N ( 2;1) 2 1 Caùch 3 : Vì f laø pheùp dôøi hình neân f bieán ñöôøng thaúng ( ) thaønh ñöôøng thaúng ( ) // ( ) . + Laáy M ( ) : M(5 ;0) I M f(M) (2;1) + Vì ( ) // ( ) ( ) : x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( )  M (2;1) m = 4 ( ) : x 2y 4 0 c) Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä x = x 3 x x 3 Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = 2 (x 4)2 (y 3)2 2 M (x ;y ) (C ) : (x 4)2 (y 3)2 2 + Taâm I( 1;2) f + Taâm I = f [I( 1;2)] ( 4;3) 2 2 Caùch 2 : (C)  (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2 d) Duøng bieåu thöùc toaï ñoä x = x 3 x x 3 Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y 1 y y 1 x2 y2 (x + 3)2 (y 1)2 (x + 3)2 (y 1)2 Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 3 2 3 2 3 2 9 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f laø pheùp dôøi hình . b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x 2y 3 = 0. c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 3)2 + (y 1)2 = 2 . d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y2 = 4x . ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2)2 + (y 1)2 = 2 d) (y + 2)2 = 4(x 1) 10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( x ;y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A. f laø 1 pheùp dôøi hình B. Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh D. f [M(2;3)] ñöôøng thaúng 2x + y + 1 = 0 ÑS : Choïn C . Vì M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc tung C sai . 12 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình : f1 : M(x;y) I M = f1(M) = (x + 2 ; y 4) ; f2 : M(x;y) I M = f2(M) = ( x ; y) . Tìm toaï ñoä aûnh cuûa A(4; 1) qua f1 roài f2 , nghóa laø tìm f2[f1(A)] . f f ÑS : A(4; 1) I1 A (6; 5) I2 A ( 6 ; 5 ) . x 11 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( ; 3y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? 2 A. f (O) = O (O laø ñieåm baát bieán) B. AÛnh cuûa A Ox thì aûnh A = f(A) Ox . C. AÛnh cuûa B Oy thì aûnh B = f(B) Oy . D. M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9) ÑS : Choïn D . Vì M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9) - 5 -
Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho  MM u .  Kí hieäu : T hay Tu .Khi ñoù : Tu(M) M MM u g Pheùp tònh tieán hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát vectô tònh tieán cuûa noù . g Neáu To(M) M ,M thì To laø pheùp ñoàng nhaát . 2/ Biểu thức tọa độ: Cho u = (a;b) và phép tịnh tiến Tu. x = x + a M(x;y) I M =Tu(M) (x ;y ) thì y = y + b 3/ Tính chất: g ÑL : Pheùp tònh tieán baûo toaøn khoaûng caùch giöõa hai ñieåm baát kì . g HQ : 1. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng . 2. Bieán moät tia thaønh tia . 3. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng . 5. Bieán moät ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù . 6. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho . 7. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm I tröïc taâm , troïng taâm I troïng taâm ) 8. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . (Taâm bieán thaønh taâm : I I I , R = R ) PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM x = x + a M(x;y) I M =Tu(M) (x ;y ) thì y = y + b PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: không đổi) 1/ Lấy M (H) I M (H ) 2/ g (H)  ñöôøng thaúng  (H )  ñöôøng thaúng cuøng phöông Taâm I Taâm I g (H)  (C) II (H )  (C ) (caàn tìm I ) . + bk : R + bk : R = R - 6 -
Caùch 2 : Duøng bieåu thöùc toïa ñoä . Tìm x theo x , tìm y theo y roài thay vaøo bieåu thöùc toïa ñoä . Caùch 3 : Laáy hai ñieåm phaân bieät : M, N (H) I M , N (H ) B. BÀI TẬP 1 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M cuûa ñieåm M(3; 2) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;1) . Giaûi  x 3 2 x 5 Theo ñònh nghóa ta coù : M = Tu(M) MM u (x 3;y 2) (2;1) y 2 1 y 1 M (5; 1) 2 Tìm aûnh caùc ñieåm chæ ra qua pheùp tònh tieán theo vectô u : a) A( 1;1) , u = (3;1) A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) 3 Trong mpOxy . Tìm a ûnh A ,B laàn löôït cuûa ñieåm A(2;3), B(1;1) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (3;1) . Tính ñoä daøi AB , A B . Giaûi   Ta coù : A = Tu(A) (5;4) , B = Tu(B) (4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 . 4 Cho 2 vectô u ;u . Gæa söû M T (M),M T (M ). Tìm v ñeå M T (M) . 1 2 1 u1 2 u2 1 2 v Giaûi   Theo ñeà : M1 Tu (M) MM1 u1 , M2 Tu (M1) M1M2 u2 . 1   2  Neáu : M2 Tv(M) MM2 v v MM2 MM1 M1M2 u1+ u2 .Vaäy : v u1+ u2 5 Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A( 1;0) , caét Oy taïi B(0;2) . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng laø aûnh cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2; 1) . Giaûi Vì : A Tu(A) (1; 1) , B Tu(B) (2;1) . g qua A (1; 1 ) x 1 t Maët khaùc : Tu( ) ñi qua A ,B . Do ñoù : ptts : g VTCP : A B = (1;2) y 1 2t 6 Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A(1;0) , caét Oy taïi B(0;3) . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng laø aûnh cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 1; 2) . Giaûi Vì : A Tu(A) (0; 2) , B Tu(B) ( 1;1) . g qua A (0; 2 ) x t Maët khaùc : Tu( ) ñi qua A ,B . Do ñoù : ptts : g VTCP : A B = ( 1;3) y 2 3t - 7 -
7 Töông töï : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0 8 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 (y 2)2 4 qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (1; 3) . Giaûi x = x + 1 x = x 1 Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa pheùp tònh tieán Tu laø : y = y 3 y = y + 3 Vì : M(x;y) (C) : (x + 1)2 (y 2)2 4 x 2 (y 1)2 4 M (x ;y ) (C ) : x2 (y 1)2 4 Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C ) : x2 (y 1)2 4 9 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f laø pheùp dôøi hình . b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x 2y 3 = 0. c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 3)2 + (y 1)2 = 2 . d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y2 = 4x . ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2)2 + (y 1)2 = 2 d) (y + 2)2 = 4(x 1) 10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( x ;y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A. f laø 1 pheùp dôøi hình B. Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh D. f [M(2;3)] ñöôøng thaúng 2x + y + 1 = 0 ÑS : Choïn C . Vì M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc tung C sai . 9 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x 3)2 (y 2)2 1 qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 2;4) . x = x 2 x = x + 2 Giaûi : Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa pheùp tònh tieán Tu laø : y = y 4 y = y 4 Vì : M(x;y) (C) : (x 3)2 (y 2)2 1 (x 1)2 (y 2)2 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1)2 (y 2)2 1 Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C ) : (x 1)2 (y 2)2 1 BT Töông töï : a) (C) : (x 2)2 (y 3)2 1, u = (3;1) (C ) : (x 1)2 (y 2)2 1 b) (C) : x2 y2 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) : x2 y2 2x 2y 7 0 - 8 -
10 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñænh C vaø D cuûa hình bình haønh ABCD bieát ñænh A( 2;0), ñænh B( 1;0) vaø giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo laø I(1;2) . Giaûi    g Goïi C(x;y) .Ta coù : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) g Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân :    x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4) AI y 2 2 y 4 g Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân :   x 1 2 x 3 D = T (I) ID BI D D D(3;4) BI yD 2 2 yD 4 Baøi taäp töông töï : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế? Giaûi : Choïn 2 ñieåm coá ñònh A d , A d   Laáy ñieåm tuyø yù M d . Gæa söû : M = T (M) MM AB   AB MA M B M B/ /MA M d d = T (d) AB Nhaän xeùt : Coù voâ soá pheùp tònh tieán bieán d thaønh d . 12 Cho 2 ñöôøng troøn (I,R) vaø (I ,R ) .Haõy chæ ra moät pheùp tònh tie án bie án (I,R) thaønh (I ,R ) . Giaûi : Laáy ñieåm M tuyø yù treân (I,R) . Gæa söû : M = T (M) MM II   II IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình haønh ABCD , hai ñænh A,B coá ñònh , taâm I thay ñoåi di ñoäng treân ñöôøng troøn (C) .Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa caïnh BC. Giaûi   Goïi J laø trung ñieåm caïnh AB . Khi ñoù deã thaáy J coá ñònh vaø IM JB . Vaäy M laø aûnh cuûa I qua pheùp tònh tieán T . Suy ra : Quyõ tích cuûa M laø JB  aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) trong pheùp tònh tieán theo vectô JB - 9 -
14 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 . Goïi T laø pheùp tònh tieán theo vectô u = (m,n) vaø (P ) laø aûnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán ñoù . Haõy vieát phöông trình cuûa (P ) . Giaûi : T   g M(x;y) Iu M (x ;y ) , ta coù : MM = u , vôùi MM = (x x ; y y)  x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n Maø : M(x;y) (P) : y ax2 y n = a(x m)2 y = a(x m)2 n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m)2 n 2 2 2 Vaäy : AÛnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán Tu laø (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n . 15 Cho ñt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectô u 0 ñeå = T ( ) . u Giaûi : VTCP cuûa laø a = (2; 6) . Ñeå : = T ( ) u cuøng phöông a . Khi ñoù : a = (2; 6) 2(1; 3) u choïn u = (1; 3) . 16 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho 2 ñieåm A( 5;2) , C( 1;0) . Bieát : B = Tu(A) , C = Tv(B) . Tìm u vaø v ñeå coù theå thöïc hieän pheùp bieán ñoåi A thaønh C ? Giaûi T T      A( 5;2) Iu B Iv C( 1;0) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2) Tu+ v 17 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho 3 ñieåm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) vaø 2 vectô u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm aûnh cuûa K,M,N qua pheùp tònh tieán Tu roài Tv. T T      HD : Gæa söû : A(x;y) Iu BIv C(x ;y ) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)  x 1 1 x 2 Do ñoù : K =Tu v(K) KK (1;5) K (2;7) . y 2 5 y 7 Töông töï : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G laø troïng taâm ABC vaø pheùp tònh tieán theo vectô u 0 bieán A thaønh G . Tìm G = Tu(G) . - 10 -
Giaûi T T A(3;0) Iu G( 1;3) Iu G (x ;y )   x 1 4 x 5 Vì AG ( 4;3) u . Theo ñeà : GG u G ( 5;6). y 3 3 y 6 19 Trong maët phaúng Oxy , cho 2 ñöôøng troøn (C) : (x 1)2 (y 3)2 2,(C ) : x2 y2 10x 4y 25 0. Coù hay khoâng pheùp tònh tieán vectô u bieán (C) thaønh (C ) . HD : (C) coù taâm I(1; 3), baùn kính R = 2 ; (C ) coù taâm I (5; 2), baùn kính R = 2 . Ta thaáy : R = R = 2 neân coù pheùp tònh tieán theo vectô u = (4;1) bieán (C) thaønh (C ) . 20 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho hình bình haønh OABC vôùi A( 2;1) vaø B :2x y 5 = 0 . Tìm taäp hôïp ñænh C ? Giaûi   g Vì OABC laø hình bình haønh neân : BC AO (2; 1) C Tu(B) vôùi u = (2; 1) T  x x 2 x x 2 g B(x;y) Iu C(x ;y ) . Do : BC u y y 1 y y 1 g B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Goïi A1,B1,C1 laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC,CA,AB. Goïi O1,O2,O3 vaø I1,I2,I3 töông öùng laø caùc taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø caùc taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa ba tam giaùc AB1C1, BC1A1, vaø CA1B1 . Chöùng minh raèng : O1O2O3 I1I2I3 . HD :  Xeùt pheùp tònh tieán : T1  bieán A I C,C1 I B,B1 I A1 . AB 2 T1  T1  T1  AB AB AB AB C I2 C BA ;O I2 O ;I I2 I . 1 1 1 1 1 2 1 2 O1O2 I1I2 O1O2 I1I2.  Lyù luaän töông töï : Xeùt caùc pheùp tònh tieán T1  ,T1  suy ra : BC CA     2 2 O2O3 I2I3 vaø O3O1 I3I1 O2O3 I2I3,O3O1 I3I1 O1O2O3 I1I2I3 (c.c.c). 22 Trong töù giaùc ABCD coù AB = 6 3cm ,CD 12cm , Aµ 60 ,Bµ 150 vaø Dµ 90 . Tính ñoä daøi caùc caïnh BC vaø DA . HD : T    Xeùt : A IBC M AM BC.Ta coù : ABCM laø hình bình haønh vaø B· CM 30 (vì Bµ 150 ) - 11 -
Laïi coù : B· CD 360o (90 60 150 ) 60 M· CD 30 . Ñònh lyù haøm cos trong MCD : 3 MD2 MC2 DC2 2MC.DC.cos30 (6 3)2 (12)2 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta coù : MD = CD vaø MC = MD 3 MDC laø tam giaùc ñeàu 2 MCD laø nöûa tam giaùc ñeàu D· MC 90 vaø M· DA 30 . Vaäy : M· DA M· AD M· AB 30 AMD laø tam giaùc caân taïi M . 6 3 Döïng MK  AD K laø trung ñieåm cuûa AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Toùm laïi : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A . KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng coøn goïi laø pheùp ñoái xöùng truïc . Ñöôøng thaúng a goïi laø truïc ñoái xöùng. ÑN2 : Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng a laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng a .  Kí hieäu : Ña(M) M MoM MoM , vôùi Mo laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng a . Khi đó : g Neáu M a thì Ña(M) M : xem M laø ñoái xöùng vôùi chính noù qua a . ( M coøn goïi laø ñieåm baát ñoäng ) gM a thì Ña(M) M a laø ñöôøng trung tröïc cuûa MM g Ña(M) M thì Ña(M ) M g Ña(H) H thì Ña(H ) H , H laø aûnh cuûa hình H . g ÑN : d laø truïc ñoái xöùng cuûa hình H Ñd(H) H . g Pheùp ñoái xöùng truïc hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát truïc ñoái xöùng cuûa noù . Chuù yù : Moät hình coù theå khoâng coù truïc ñoái xöùng ,coù theå coù moät hay nhieàu truïc ñoái xöùng . 2/ Biểu thức tọa độ: M(x;y) I M Ñd(M) (x ;y ) x = x x = x ª d  Ox : ª d  Oy : y = y y = y - 12 -
3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình. gHQ : 1.Pheùp ñoái xöùng truïc bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng . 2. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng . 3. Tia thaønh tia . 4. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù . 5. Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm I tröïc taâm , troïng taâm I troïng taâm ) 6. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . (Taâm bieán thaønh taâm : I I I , R = R ) 7. Goùc thaønh goùc baèng noù . PP : Tìm aûnh M = Ña(M) 1. (d)  M , d  a 2. H = d  a 3. H laø trung ñieåm cuûa MM M ? ª PP : Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng : = Ña( )  TH1: ( ) // (a) 1. Laáy A,B ( ) : A B 2. Tìm aûnh A = Ña(A) 3.  A , // (a)  TH2 : // a 1. Tìm K =  a 2. Laáy P : P K .Tìm Q = Ña(P) 3.  (KQ) ª PP : Tìm M ( ) : (MA + MB)min. Tìm M ( ) : (MA+ MB)min  Loaïi 1 : A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi ( ) : 1) goïi A laø ñoái xöùng cuûa A qua ( ) 2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B Do ñoù: (MA+MB)min= A B M = (A B)( )  Loaïi 2 : A, B naèm khaùc phía ñoái vôùi ( ) : M ( ), thì MA + MB AB Ta coù: (MA+MB)min = AB M = (AB)( ) B . BÀI TẬP - 13 -
1 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M(2;1) ñoái xöùng qua Ox , roài ñoái xöùng qua Oy . Ñ Ñ HD : M(2;1) IOx M (2; 1) IOy M ( 2; 1) 2 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M(a;b) ñoái xöùng qua Oy , roài ñoái xöùng qua Ox . Ñ Ñ HD : M(a;b) IOy M ( a;b) IOx M ( a; b) Ñ Ñ 3 Cho 2 ñöôøng thaúng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 vaø ñieåm M( 1;2) . Tìm : M Ia M Ib M . Ñ Ñ HD : M( 1;2) Ia M (5;2) Ib M (5; 4) [ veõ hình ] . 4 Cho 2 ñöôøng thaúng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0). Ñ Ñ Tìm M : M(x;y) a M (x ;y ) b M (x ;y ). Ñ x 2m x Ñ x 2m x HD : M(x;y) Ia  M Ib  M tñ(m;y) y y tñ(2m x; n) y 2n y 5 Cho ñieåm M( 1;2) vaø ñöôøng thaúng (a) : x + 2y + 2 = 0 . HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d  a H( 2;0) , H laø trung ñieåm cuûa MM M ( 3; 2) 6 Cho ñieåm M( 4;1) vaø ñöôøng thaúng (a) : x + y = 0 . M = Ña(M) ( 1;4) 7 Cho 2 ñöôøng thaúng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm aûnh = Ña( ) . HD : 4 1 g Vì caét a K  a K( 2;1) 1 1 g M( 1;5) d  M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7 / 2) : tñieåm cuûa MM M Ña(M) (2;2) g  KM : x 4y + 6 = 0 8 Tìm b = Ña(Ox) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y + 3 = 0 . HD : g a  Ox = K( 3;0) . 3 9 g M  O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; ) . a 5 5 g b  KM : 3x + 4y 9 = 0 . 9 Tìm b = Ña(Ox) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y 3 = 0 . HD : g a  Ox = K(3;0) . g P  O(0;0) Ox . + Qua O(0;0) g : 3x y 0 +  a 3 9 3 9 g E = a  E( ; ) laø trung ñieåm OQ Q( ; ) . 10 10 5 5 g b  KQ : 3x + 4y 9 = 0 . 10 Tìm b = ÑOx(a) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y 3 = 0 . Giaûi : Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä (raát hay) Caùch 2 : gK= a  Ox K(3;0) g P(0;1) a Q = ÑOx(P) = (0; 1) g b  KQ : x 3y 3 = 0 . - 14 -
11 Cho 2 ñöôøng thaúng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm aûnh = Ña( ) . PP : / /a Caùch 1 : Tìm A,B A ,B  A B Caùch 2 : Tìm A A / / ,  A Giaûi : g A(0;1) A Ña(A) (2; 3) g  A , / / : x 2y 8 0 2 2 12 Cho ñöôøng troøn (C) : (x+3) (y 2) 1 , ñöôøng thaúng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Ña[(C)] HD : (C ) : (x 3)2 y2 1 . 13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) vaø C(1;6) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A. ABC caân ôû B B. ABC coù 1 truïc ñoái xöùng C. ABC ÑOx( ABC) D. Troïng taâm : G = ÑOy(G) HD : Choïn D 14 Trong mpOxy cho ñieåm M( 3;2), ñöôøng thaúng ( ) : x + 3y 8 = 0, ñöôøng troøn (C) : (x+3)2 (y 2)2 4. Tìm aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc (a) : x 2y + 2 = 0 . Giaûi : Goïi M , ( ) vaø (C ) laø aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc a . g Qua M( 3;2) a) Tìm aûnh M : Goïi ñöôøng thaúng (d) : g  a + (d)  (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d)  M( 3;2) m = 4 (d) : 2x y 4 = 0 1 x H (x M x M ) + H = (d )  (a) H ( 2;0 ) H laø tru n g ñ ie åm cu ûa M ,M H 2 1 y (y y ) H 2 M M 1 2 ( 3 x M ) x 1 2 M M ( 1; 2 ) 1 y 2 0 (2 y ) M 2 M b ) T ìm aûn h ( ) : 1 3 g V ì ( ) caét (a) K = ( )  (a) 1 2 x + 3 y 8 = 0 T o aï ñ o ä cu ûa K laø n g h ie äm cu ûa h e ä : K (2; 2 ) x 2 y + 2 = 0 g Laáy P K Q = Ña[P( 1;3)] = (1; 1) . ( Laøm töông töï nhö caâu a) ) g Qua P( 1;3) Goïi ñöôøng thaúng (b) : g  a - 15 -
+ (b)  (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b)  P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0 + E = (b)(a) E(0;1) E laø trung ñieåm cuûa P,Q 1 1 x (x x ) 0 ( 1 x ) x 1 E 2 P Q 2 Q Q E Q(1; 1) 1 1 y 1 y (y y ) 1 (3 y ) Q E 2 P Q 2 Q g Qua K(2;2) x 2 y 2 + ( )  (KQ) :  ( ) : 3x y 4 0 gVTCP : KQ ( 1; 3) (1;3) 1 3 c) + Tìm aûnh cuûa taâm I( 3;2) nhö caâu a) . Ñ Ñ + Vì pheùp ñoái xöùng truïc laø pheùp dôøi hình neân (C): g Taâm IIa (C ) : g Taâm I .Tìm I Ia I g R 2 g R R 2 2 2 Ñ Vaäy : (C) + Taâm I( 3;2)Ia (C ) + Taâm I = Ña [I( 3; 2)] ( ; ) BK : R = 2 5 5 BK : R = R = 2 2 2 (C ) : (x )2 (y )2 4 5 5 15 Trong mpOxy cho ñieåm M(3; 5), ñöôøng thaúng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, ñöôøng troøn (C) : (x+1)2 (y 2)2 9. Tìm aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc (a) : 2x y + 1 = 0 . HD : Ñ 33 1 9 13 a) M(3; 5) Ia M ( ; ),(d): x 2y 7 0,tñieåm H( ; ) 5 5 5 5 4 15 b) + K= (a) K( ; ) 7 7 + P ( ) : P(2;0) K , Q = Ña[P(2;0)] = ( 2;2) ( )  (KQ) : x 18y 38 0 Ñ 9 8 9 8 c) + I(1; 2) Ia I ( ; ) , R = R = 3 (C ) : (x + )2 (y )2 9 5 5 5 5 16 Cho ñieåm M(2; 3), ñöôøng thaúng ( ) : 2x + y 4 = 0, ñöôøng troøn (C) : x2 y2 2x 4y 2 0. Tìm aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng qua Ox . Ñ x x x x HD : Ta coù : M(x;y) Ox M (1) (2) y y y y Ñ g Thay vaøo (2) : M(2; 3) Ox M (2;3) g M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 . g M(x;y) (C) : x2 y2 2x 4y 2 0 x 2 y 2 2x 4y 2 0 (x 1)2 (y 2)2 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1)2 (y 2)2 3 17 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm aûnh cuûa a qua ÑOx. Ñ x x x x Giaûi : Ta coù : M(x;y) IOx M y y y y Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0 ÑOy Vaäy : (a) I (a ) : 2x y + 3 = 0 - 16 -
2 2 18 Trong mpOxy cho ñöôøng troøn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm aûnh cuûa a qua ÑOy. ÑOy x x x x Giaûi : Ta coù : M(x;y) I M y y y y Vì M(x;y) (C) : x2 y2 4y 5 = 0 ( x )2 y 2 4(y ) 5 = 0 x 2 y 2 4y 5 = 0 M (x ;y ) (C ) : x2 y2 4y 5 = 0 ÑOy Vaäy : (C) I (C ) : x2 y2 4y 5 = 0 19 Trong mpOxy cho ñthaúng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x2 y2 10x 4y 27 = 0 . a) Vieát bieåu thöùc giaûi tích cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Ña . b) Tìm aûnh cuûa ñieåm M(4; 1) qua Ña. c) Tìm aûnh : ( ) = Ña( ),(C ) Ña(C) . Giaûi a) Toång quaùt (a) : Ax + By + C=0 , A2 B2 0 Ñ   Goïi M(x;y) Ia M (x ;y ) , ta coù : MM (x x;y y) cuøng phöông VTPT n = (A;B) MM tn x x At x x At x x y y (t ¡ ) . Goïi I laø trung ñieåm cuûa MM neân I( ; ) (a) y y Bt y y Bt 2 2 x x y y x x At y y Bt A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0 2 2 2 2 2(Ax + By + C) (A2 B2)t 2(Ax + By + C) t A2 B2 2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C) x x ;y y A2 B2 A2 B2 4(2x y 3) 3 4 12 x x x x y 5 5 5 5 AÙp duïng keát quaû treân ta coù : 2(2x y 3) 4 3 6 y y y y y 5 5 5 5 Ñ 4 7 b) M(4; 1) Ia M ( ; ) 5 5 Ñ c) Ia : 3x y 17 0 Ñ d) (C) Ia (C ) : (x 1)2 (y 4)2 2 20 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng ( ) : x 5y 7 = 0 vaø ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm pheùp ñoái xöùng qua truïc bieán ( ) thaønh ( ) . Giaûi 1 5 Vì ( ) vaø ( ) caét nhau . Do ñoù truïc ñoái xöùng (a) cuûa pheùp ñoái xöùng bieán ( ) thaønh ( ) chính 5 1 laø ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi ( ) vaø ( ) . | x 5y 7 | | 5x y 13| x y 5 0 (a1) Töø ñoù suy ra (a) : 1 25 25 + 1 x y 1 0 (a2) Vaäy coù 2 pheùp ñoái xöùng qua caùc truïc ( 1) : x y 5 0 , ( 2) : x y 1 0 - 17 -
21 Qua pheùp ñoái xöùng truïc Ña : 1. Nhöõng tam giaùc naøo bieán thaønh chính noù ? 2. Nhöõng ñöôøng troøn naøo bieán thaønh chính noù ? HD : 1. Tam giaùc coù 1 ñænh truïc a , hai ñænh coøn laïi ñoái xöùng qua truïc a . 2. Ñöôøng troøn coù taâm a . 22 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x 1)2 (y 2)2 4 qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy. PP : Duøng bieåu thöùc toaï ñoä ÑS : (C ) : (x 1)2 (y 2)2 4 23 Hai ABC vaø A B C cuøng naèm trong maët phaúng toaï ñoä vaø ñoái xöùng nhau qua truïc Oy . Bieát A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Haõy tìm toaï ñoä caùc ñænh A , B vaø C . ÑS : A (1;5), B (4;6) vaø C( 3;1) 24 Xeùt caùc hình vuoâng , nguõ giaùc ñeàu vaø luïc giaùc ñeàu . Cho bieát soá truïc ñoái xöùng töông öùng cuûa moãi loaïi ña giaùc ñeàu ñoù vaø chæ ra caùch veõ caùc truïc ñoái xöùng ñoù . ÑS : g Hình vuoâng coù 4 truïc ñoái xöùng , ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñænh ñoái dieän vaø caùc ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm cuûa caùc caëp caïnh ñoái dieän . g Nguõ giaùc ñeàu coù 5 truïc ñoái xöùng ,ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua ñænh ñoái dieän vaø taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu . g Luïc giaùc ñeàu coù 6 truïc ñoái xöùng , ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñænh ñoái dieän vaø caùc ñöôøng thaúng ñi qua trung ñieåm cuûa caùc caëp caïnh ñoái dieän . 25 Goïi d laø phaân giaùc trong taïi A cuûa ABC , B laø aûnh cuûa B qua pheùp ñoái xöùng truïc Ñd . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A. Neáu AB < AC thì B ôû treân caïnh AC . B. B laø trung ñieåm caïnh AC . C. Neáu AB = AC thì B  C . D. Neáu B laø trung ñieåm caïnh AC thì AC = 2AB . ÑS : Neáu B = Ñd(B) thì B AC . g A ñuùng . Vì AB < AC maø AB = AB neân AB < AC B ôû treân caïnh AC . 1 g B sai . Vì giaû thieát baøi toaùn khoâng ñuû khaúng ñònh AB = AC. 2 g C ñuùng . Vì AB = AB maø AB = AC neân AB = AC B  C . g D ñuùng . Vì Neáu B laø trung ñieåm caïnh AC thì AC=2AB maø AB =AB neân AC=2AB . 26 Cho 2 ñöôøng thaúng a vaø b caét nhau taïi O . Xeùt 2 pheùp ñoái xöùng truïc Ña vaø Ñb : Ñ Ñ A Ia B Ib C . Khaúng ñònh naøo sau ñaây khoâng sai ? A. A,B,C ñöôøng troøn (O, R = OC) . B. Töù giaùc OABC noäi tieáp . C. ABC caân ôû B D. ABC vuoâng ôû B HD : g A. Khoâng sai . Vì d1 laø trung tröïc cuûa AB OA = OB , d2 laø trung tröïc cuûa BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C ñöôøng troøn (O, R = OC) . g Caùc caâu B,C,D coù theå sai . - 18 -
27 Cho ABC coù hai truïc ñoái xöùng . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ? A. ABC laø vuoâng B. ABC laø vuoâng caân C. ABC laø ñeàu D. ABC laø caân . HD : Gæa söû ABC coù 2truïc ñoái xöùng laø AC vaø BC AB = AC AB AB BC ABC ñeàu . BC = BA 28 Cho ABC coù Aµ 110o. Tính Bµ vaø Cµ ñeå ABC coù truïc ñoái xöùng . A. Bµ = 50o vaø Cµ 20o B. Bµ = 45o vaø Cµ 25o C. Bµ = 40o vaø Cµ 30o D. Bµ = Cµ 35o HD : Choïn D . Vì : ABC coù truïc ñoái xöùng khi ABC caân hoaëc ñeàu Vì Aµ 110o 90o ABC caân taïi A , khi ñoù : 180o Aµ 180o 110o Bµ Cµ 35o 2 2 29 Trong caùc hình sau , hình naøo coù nhieàu truïc ñoái xöùng nhaát ? A. Hình chöõ nhaät B. Hình vuoâng C. Hình thoi D. Hình thang caân . ÑS : Choïn B. Vì : Hình vuoâng coù 4 truïc ñoái xöùng . 30 Trong caùc hình sau , hình naøo coù ít truïc ñoái xöùng nhaát ? A. Hình chöõ nhaät B. Hình vuoâng C. Hình thoi D. Hình thang caân . ÑS : Choïn D. Vì : Hình thang caân coù 1 truïc ñoái xöùng . 31 Trong caùc hình sau , hình naøo coù 3 truïc ñoái xöùng ? A. Hình thoi B. Hình vuoâng C. ñeàu D. vuoâng caân . ÑS : Choïn C. Vì : ñeàu coù 3 truïc ñoái xöùng . 32 Trong caùc hình sau , hình naøo coù nhieàu hôn 4 truïc ñoái xöùng ? A. Hình vuoâng B. Hình thoi C. Hình troøn D. Hình thang caân . ÑS : Choïn C. Vì : Hình troøn coù voâ soá truïc ñoái xöùng . 33 Trong caùc hình sau , hình naøo khoâng coù truïc ñoái xöùng ? A. Hình bình haønh B. ñeàu C. caân D. Hình thoi . ÑS : Choïn A. Vì : Hình bình haønh khoâng coù truïc ñoái xöùng . 34 Cho hai hình vuoâng ABCD vaø AB C D coù caïnh ñeàu baèng a vaø coù ñænh A chung . Chöùng minh : Coù theå thöïc hieän moät pheùp ñoái xöùng truïc bieán hình vuoâng ABCD thaønhø AB C D . HD : Gæa söû : BC  B C = E . Ta coù : AB = AB , Bµ Bµ 90 ,AE chung . EB = EB Ñ ABE = AB F B IAE B bieát AB = AB - 19 -
EC = EC Ñ Maët khaùc : C IAE C AC = AC = a 2 B· AB Ngoaøi ra : AD = AD vaø D· AE D· AE 90 2 Ñ Ñ D IA D ABCD IAE AB C D 35 Goïi H laø tröïc taâm ABC . CMR : Boán tam giaùc ABC , HBC , HAC , HAC coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng nhau . HD : ¶ ¶ » Ta coù : A1 = C2 (cuøng chaén cung BK ) ¶ ¶ ¶ ¶ A1 = C1 (goùc coù caïnh töông öùng  ) C1 = C2 CHK caân K ñoái xöùng vôùi H qua BC . Xeùt pheùp ñoái xöùng truïc BC . Ñ Ñ Ñ Ta coù : K IBC H ; B IBC B ; C IBC C Ñ Vaäy : Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp KBC IBC Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp HBC 36 Cho ABC vaø ñöôøng thaúng a ñi qua ñænh A nhöng khoâng ñi qua B,C . a) Tìm aûnh ABC qua pheùp ñoái xöùng Ña. b) Goïi G laø troïng taâm ABC , Xaùc ñònh G laø aûnh cuûa G qua pheùp ñoái xöùng Ña. Giaûi a) Vì a laø truïc cuûa pheùp ñoái xöùng Ña neân : g A a A Ña(A) . g B,C a neân Ña : B I B ,C I C sao cho a laø trung tröïc cuûa BB ,CC b) Vì G a neân Ña : G I G sao cho a laø trung tröïc cuûa GG . 37 Cho ñöôøng thaúng a vaø hai ñieåm A,B naèm cuøng phía ñoái vôùi a . Tìm treân ñöôøng thaúng a ñieåm M sao cho MA+MB ngaén nhaát . Giaûi : Xeùt pheùp ñoái xöùng Ña : A I A . M a thì MA = MA . Ta coù : MA + MB = MA + MB A B Ñeå MA + MB ngaén nhaát thì choïn M,A,B thaúng haøng Vaäy : M laø giao ñieåm cuûa a vaø A B . 38 (SGK-P13)) Cho goùc nhoïn xOy vaø M laø moät ñieåm beân trong goùc ñoù . Haõy tìm ñieåm A treân Ox vaø ñieåm B treân Oy sao cho MBA coù chu vi nhoû nhaát . Giaûi Goïi N = ÑOx(M) vaø P = ÑOx(M) . Khi ñoù : AM=AN , BM=BP Töø ñoù : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP ( ñöôøng gaáp khuùc ñöôøng thaúng ) MinCVi = NP Khi A,B laàn löôït laø giao ñieåm cuûa NP vôùi Ox,Oy . - 20 -
39 Cho ABC caân taïi A vôùi ñöôøng cao AH . Bieát A vaø H coá ñònh . Tìm taäp hôïp ñieåm C trong moãi tröôøng hôïp sau : a) B di ñoäng treân ñöôøng thaúng . b) B di ñoäng treân ñöôøng troøn taâm I, baùn kính R . Giaûi a) Vì : C = ÑAH(B) , maø B neân C vôùi = ÑAH( ) Vaäy : Taäp hôïp caùc ñieåm C laø ñöôøng thaúng b) Töông töï : Taäp hôïp caùc ñieåm C laø ñöôøng troøn taâm J , baùn kính R laø aûnh cuûa ñöôøng troøn (I) qua ÑAH . Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ÑN : Pheùp ñoái xöùng taâm I laø moät pheùp dôøi hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M ñoái xöùng vôùi M qua I. Pheùp ñoái xöùng qua moät ñieåm coøn goïi laø pheùp ñoái taâm . Ñieåm I goïi laø taâm cuûa cuûa pheùp ñoái xöùng hay ñôn giaûn laø taâm ñoái xöùng .   Kí hieäu : ÑI(M) M IM IM . g Neáu M  I thì M  I g Neáu M I thì M Ñ (M) I laø trung tröïc cuûa MM . I g ÑN :Ñieåm I laø taâm ñoái xöùng cuûa hình H ÑI(H) H. Chuù yù : Moät hình coù theå khoâng coù taâm ñoái xöùng . ÑI 2 Bieåu thöùc toïa ñoä : Cho I(xo;yo) vaø pheùp ñoái xöùng taâm I : M(x;y) I M ÑI(M) (x ;y ) thì x = 2xo x y 2yo y 3 Tính chaát : 1. Pheùp ñoái xöùng taâm baûo toaøn khoaûng caùch giöõa hai ñieåm baát kì . 2. Bieán moät tia thaønh tia . 3. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng . 4. Bieán moät ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù . 5. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho . 6. Bieán moät goùc thaønh goùc coù soá ño baèng noù . 7. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . ( Tröïc taâm tröïc taâm , troïng taâm troïng taâm ) 8. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . ( Taâm bieán thaønh taâm : I I I , R = R ) B . BÀI TẬP - 21 -
1 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I : 1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1) 2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) C (4; 2) Giaûi :   x 1 3 x 4 a) Gæa söû : A Ñ (A) IA IA (x 1;y 2) ( 3;1) A (4;1) I y 2 1 y 1 Caùch : Duøng bieåu thöùc toaï ñoä 2 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I : 1) ( ) : x 2y 5 0,I(2; 1) ( ) : x 2y 5 0 2) ( ) : x 2y 3 0,I(1;0) ( ) : x 2y 1 0 3) ( ) : 3x 2y 1 0,I(2; 3) ( ) : 3x 2y 1 0 Giaûi PP : Coù 3 caùch Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä Caùch 2 : Xaùc ñònh daïng // , roài duøng coâng thöùc tính khoaûng caùch d( ; ) . Caùch 3 : Laáy baát kyø A,B , roài tìm aûnh A ,B  A B Ñ x 4 x x 4 x 1) Caùch 1: Ta coù : M(x;y) II M y 2 y y 2 y Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2y 5 0 M (x ;y ) : x 2y 5 0 Ñ Vaäy : ( ) II ( ) : x 2y 5 0 Caùch 2 : Goïi = ÑI( ) song song : x + 2y + m = 0 (m 5) . |5| | m | m 5 (loaïi) Theo ñeà : d(I; ) = d(I; ) 5 | m | m 5 12 22 12 22 ( ) : x 2y 5 0 Caùch 3 : Laáy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5;0)  A B : x 2y 5 0 3 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I : 1) (C) : x2 (y 2)2 1,E(2;1) (C ) : (x 4)2 y2 1 2) (C) : x2 y2 4x 2y 0,F(1;0) (C ) : x2 y2 8x 2y 12 0 ñ / nghiaõ hay bieåu thöùc toaï ñoä 3) (P) : y = 2x2 x 3 , taâm O(0;0) .  (P ) : y = 2x2 x 3 HD :1) Co ù 2 caùch giaûi : Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä . Ñ Caùch 2 : Tìm taâm I IE I ,R R (ña õ cho) . 2) Töông töï . 4 Cho hai ñieåm A vaø B .Cho bieát pheùp bieán ñoåi M thaønh M sao cho AMBM laø moät hình bình haønh . - 22 -
HD :   MA BM Neáu AMBM laø hình bình haønh   MB AM      Vì : MM MA AM MA MB (1)  Goïi I laø trung ñ ieåm  cuûa A B . T a co ù : IA   IB  Töø (1) M M  M I IA MI IB MM 2MI MI IM M ÑI(M) . 5 Cho ba ñöôøng troøn baèng nhau (I1;R),(I2;R),(I3;R) töøng ñoâi tieáp xuùc nhau taïi A,B,C . Gæa söû M laø moät ñieåm treân (I1;R) , ngoaøi ra : Ñ Ñ Ñ ÑI M IA N ; N IB P ; P IC Q . CMR : M I1 Q . HD : Do (I1;R) tieáp xuùc vôùi (I2;R) taïi A , neân :   ÑA ÑA ÑA M I N ;I1 I I2 MI1 I NI2 MI1 NI2 (1) Do (I2;R) tieáp xuùc vôùi (I3;R) taïi B , neân :   ÑB ÑB ÑB N I P ;I2 I I3 NI2 I PI3 NI2 PI3 (2) Do (I3;R) tieáp xuùc vôùi (I1;R) taïi C , neân : Ñ Ñ Ñ   P IC Q ;I IC I PI IC QI PI QI (3) 3  1  3 1 3 1 Töø (1),(2),(3) suy ra : MI QI M Ñ (Q) . 1 1 I1 5 Cho ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A . Keû ñöôøng cao AH . Veõ phía ngoaøi tam giaùc hai hình vuoâng ABDE vaø ACFG . a) Chöùng minh taäp hôïp 6 ñieåm B,C,F,G,E,Dco ù moät truïc ñoái xöùng . b) Goïi K laø trung ñieåm cuûa EG . Chöùng minh K ôû treân ñöôøng thaúng AH . c) Goïi P = DE  FG . Chöùng minh P ôû treân ñöôøng thaúng AH . d) Chöùng minh : CD  BP, BF  CP . e) Chöùng minh : AH,CD,BF ñoàng qui . HD : a) Do : B· AD 45 vaø C· AF 45 neân ba ñieåm D,A,F thaúng haøng . Ñ Ñ Ñ Ñ Ta coù : AlDF A ; DlDF D ; FlDF F ; C lDF G ; Ñ B lDF E (Tính chaát hình vuoâng ). Vaäy : Taäp hôïp 6 ñieåm B,C,F,G,E,D co ù truïc ñoái xöùng chính laø ñöôøng thaúng DAF . b) Qua pheùp ñoái xöùng truïc DAF ta coù : ABC = AEG neân B· AC A· EG. Nhöng : B· CA A· GE ( 2 ñoái xöùng = ) · ¶ ¶ ¶ AGE A2 (do KAG caân taïi K) . Suy ra : A1 A2 K,A,H thaúng haøng K ôû treân AH . c) Töù giaùc AFPG laø moät hình chöõ nhaät neân : A,K,P thaúng haøng . (Hôn nöõa K laø trung ñieåm cuûa AP ) Vaäy : P ôû treân PH . - 23 -
d) Do EDC = DBP neân DC = BP . DC = BP · · Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhöng hai goùc naøy coù caëp BC = AP caïnh : BC  AP caëp caïnh coøn laïi : DC  BP. Lyù luaän töông töï , ta coù : BF  CP. e) Ta coù : BCP . Caùc ñöôøng thaúng AH, CD vaø BF chính laø ba ñöôøng cao cuûa BCP neân ñoàng qui . 6 Cho hai ñieåm A vaø B vaø goïi ÑA vaø ÑB laàn löôït laø hai pheùp ñoái xöùng taâm A vaø B . a) CMR : ÑB ÑA T  . 2AB b) Xaùc ñònh ÑA ÑB. HD : a)  Goïi M laø moät ñieåm baát kyø , ta coù : Ñ   MIA M : MA AM   ÑB M I M : MB BM . Nghóa laø : M = ÑB ÑA(M),M (1) Ñ Ñ  I B A Ta chöùng minh :  M   M : Bieát : MM MM MM  Maø : MM 2MA vaø M M 2M B   Vaäy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB       Vì : MA AM neân MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T  (M),M (2) 2AB Töø (1) vaø (2) , suy ra : ÑB ÑA T  . 2AB b) Chöùng minh töông töï : ÑA ÑB T  . 2BA 7 Chöùng minh raèng neáu hình (H) coù hai truïc ñoái xöùng vuoâng goùc vôùi nhau thì (H) coù taâm ñoái xöùng . HD : Duøng hình thoi Gæa söû hình (H) coù hai truïc ñoái xöùng vuoâng goùc vôùi nhau . Laáy ñieåm M baát kyø thuoäc (H) vaø M1 Ña(M) , M2 Ñb(M1) . Khi ñoù , theo ñònh nghóa M1,M2 (H) . · · Goïi O = a  b , ta coù : OM = OM1 vaø MOM1 2AOM1 · · OM1 = OM2 vaø M1OM2 2M1OB · · · · Suy ra : OM = OM2 vaø MOM1 M1OM2 2(AOM1 +M1OB) · hay MOM1 2 90 180 Vaäy : O laø trung ñieåm cuûa M vaø M2 . Do ñoù : M2 ÑO(M),M (H),M2 (H) O laø taâm ñoái xöùng cuûa (H) . - 24 -
8 Cho ABC coù AM vaø CN laø caùc trung tuyeán . CMR : Neáu B· AM B· CN = 30 thì ABC ñeàu . HD : Töù giaùc ACMN coù N· AM N· CM 30 neân noäi tieáp ñtroøn taâm O, bkính R=AC vaø M· ON 2N· AM 60 . ÑN ÑN Xeùt : A I B (O) I (O1) thì B (O1) vì A (O) . ÑM ÑM C I B (O) I (O2) thì B (O2) vì C (O) . OO OO 2R Khi ñoù , ta coù : 1 2 OO O laø tam giaùc ñeàu . · 1 2 MON 60 Vì O1B O2B R R 2R O1O2 neân B laø trung ñieåm O1O2. Suy ra : ABC ; OO1O2 (Vì cuøng ñoàng daïng vôùi BMN) . Vì OO1O2 laø tam giaùc ñeàu neân ABC laø tam giaùc ñeàu . Vấn đề 5 : PHÉP QUAY A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ÑN : Trong maët phaúng cho moät ñieåm O coá ñònh vaø goùc löôïng giaùc . Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M sao cho OM = OM vaø (OM;OM ) = ñöôïc goïi laø pheùp quay taâm O vôùi goùc quay . g Pheùp quay hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát taâm vaø goùc quay g Kí hieäu : QO . Chuù yù : Chieàu döông cuûa pheùp quay  chieàu döông cuûa ñöôøng troøn löïông giaùc . g Q2k  pheùp ñoàng nhaát ,k ¢ g Q(2k+1)  pheùp ñoái xöùng taâm I ,k ¢ 2 Tính chaát : g ÑL : Pheùp quay laø moät pheùp dôøi hình . g HQ : 1.Pheùp quay bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng . 2. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng . 3. Tia thaønh tia . 4. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù . Q Q 5. Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâmI tröïc taâm , troïng taâmI troïng taâm ) Q(O ; ) 6. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . ( Taâm bieán thaønh taâm : II I , R = R ) 7. Goùc thaønh goùc baèng noù . B. BÀI TẬP - 25 -
/ 1 Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm M(x;y) . Tìm M = Q(O ; )(M) . HD : x = rcos Goïi M(x;y) . Ñaët : OM = r , goùc löôïng giaùc (Ox;OM) = thì M y = rsin Q(O ; ) Vì : M I M/ . Goïi M/ (x ;y ) thì ñoä daøi OM/ = r vaø (Ox;OM/ ) = + . Ta coù : x = rcos( + ) = acos .cos asin .sin x cos ysin . y = rsin( + ) = asin .cos acos .sin xsin y cos . / x = x cos ysin Vaäy : M y = xsin y cos Ñaëc bieät : Q(O ; ) // x = x cos ysin  M I M y = xsin y cos Q (I ; ) / x xo = (x xo)cos (y yo)sin  M I M I(xo;yo) y yo = (x xo)sin (y yo)cos Q (I ; ) // x xo = (x xo)cos (y yo)sin  M I M I(xo;yo) y yo = (x xo)sin (y yo)cos 2 Trong mpOxy cho pheùp quay Q . Tìm aûnh cuûa : (O;45 ) a) Ñieåm M(2;2) b) Ñöôøng troøn (C) : (x 1)2+ y2= 4 Q (O ; 45 ) Giaûi . Goïi : M(x;y) I M/ (x/;y/ ) . Ta coù : OM = 2 2, (Ox; OM) = / x = rcos( +45 ) r cos .cos45 rsin .sin 45 x.cos45 y.sin 45 Thì M y = rsin( +45 ) rsin .cos45 r cos .sin 45 y.cos45 x.sin 45 2 2 x = x y / M 2 2 2 2 y = x y 2 2 Q (O ; 45 ) a) A(2;2) I A/ (0 ;2 2) Q g Taâm I(1;0) (O ; 45 ) / b) Vì (C) :  (C ) : g Taâm I ? g Bk : R = 2 g Bk : R = R = 2 Q (O ; 45 ) 2 2 2 2 I(1;0)I I/ ( ; ) . Vaäy : (C ) : (x )2+ (y )2= 4 2 2 2 2 1 3 x = x y 3 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : 2 2 . Hoûi f laø pheùp gì ? 3 1 y = x y 2 2 - 26 -
Giaûi x = x cos ysin Ta coù f : M(x;y) I M (x ;y ) vôùi 3 3 f laø pheùp quay Q y = xsin y cos (O; ) 3 3 3 4 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng qua : a) Pheùp ñoái xöùng taâm I(1; 2). b) Pheùp quay Q . (O;90 ) Giaûi x 2 x x 2 x a) Ta coù : M (x ;y ) = ÑI(M) thì bieåu thöùc toïa ñoä M y 4 y y 4 y Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y ) 1 0 2x y 9 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 9 0 Ñ Vaäy : ( ) II ( ) : 2x y 9 0 Q b) Caùch 1 : Goïi M(x;y) I(O;90 ) M (x ;y ) . Ñaët (Ox ; OM) = , OM = r , Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r . Q x = rcos (O;90 ) x r cos( 90 ) rsin y x y Khi ñoù : M I M y = rsin y x y rsin( 90 ) rcos x Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + 1 = 0 x 2y + 1 = 0 M (x ;y ) ( ) : x 2y 1 0 Q Vaäy : ( ) I(O;90 ) ( ) : x 2y 1 0 Q Caùch 2 : Laáy : M(0;1) ( ) I(O;90 ) M ( 1;0) ( ) Q 1 1 N( ;0) ( ) I(O;90 ) N (0; ) ( ) 2 2 Q ( ) I(O;90 ) ( )  M N : x 2y 1 0 Q 1 Caùch 3 : Vì ( ) I(O;90 ) ( ) ( )  ( ) maø heä soá goùc : k 2 k 2 Q M(0;1) ( ) I(O;90 ) M (1;0) ( ) Qua M (1;0) g ( ) : 1 ( ) : x 2y 1 0 g hsg ; k = 2 5 Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy cho A(3;4) . Haõy tìm toaï ñoä ñieåm A laø aûnh cuûa A qua pheùp quay taâm O goùc 90o. HD : Goïi B(3;0),C(0;4) laàn löôït laø hình chieáu cuûa A leân caùc truïc Ox,Oy . Pheùp quay taâm O goùc 90o bieán hình chöõ nhaät OABC thaønh hình chöõ nhaät OC A B . Khi ñoù : C (0;3),B ( 4;0). Suy ra : A ( 4;3). - 27 -
6 Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy . Tìm pheùp quay Q bieán ñieåm A( 1;5) thaønh ñieåm B(5;1) .   OA OB 26 HD : Ta coù : OA ( 1;5) vaø OB (5;1)   OA.OB 0 OA  OB B = Q (A) . (O ; 90 ) 7 Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy , cho ñieåm M(4;1) . Tìm N = Q (M) . (O ; 90 ) HD :   Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1) (O ; 90 ) Do : OM ON x2 y2 16 1 17 (2) . Giaûi (1) vaø (2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1;4) .  Thöû laïi : Ñieàu kieän (OM;ON) 90 ta thaáy N( 1;4) thoaû maõn . 8 a)Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy , cho ñieåm A(0;3) . Tìm B = Q (A) . (O ; 45 ) HD : Pheùp quay Q bieán ñieåm A Oy thaønh ñieåm B ñt : y x,ta coù : (O ; 45 ) xB yB 0 2 2 3 3 3 . Maø OB = xB yB 3 xB B( ; ). OA OB 3 2 2 2 4 3 3 3 4 3 b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q (A)  B ( ; ) (O;60o) 2 2 9 Cho ñöôøng troøn (C) : (x 3)2 (y 2)2 4 . Tìm (C ) = Q (C) . (O ; 90 ) HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2)2 (y 3)2 4 . (O ; 90 ) 10 Cho ñöôøng troøn (C) : (x 2)2 (y 2 3)2 5 . Tìm (C ) = Q (C) . (O ; 60 ) HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2)2 (y 2 3)2 5 . (O ; 60 ) 11 Cho ñöôøng troøn (C) : (x 2)2 (y 2)2 3 . Tìm (C ) = Q (C) . (O ; 45 ) HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 1 2)2 (y 1 2)2 3 . (O ; 45 ) 12 [CB-P19] Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy , cho ñieåm A(2;0) vaø ñöôøng thaúng (d) : x + y 2 = 0. Tìm aûnh cuûa A vaø (d) qua pheùp quay Q . (O ; 90 ) HD :  Ta coù : A(2;0) Ox . Goïi B = Q (A) thì B Oy vaø OA = OB . (O ; 90 )  Vì toaï ñoä A,B thoaû maõn pt (d) : x + y 2 = 0 neân A,B (d) . Do B = Q (A) vaø töông töï Q (A) = C( 2;0) (O ; 90 ) (O ; 90 ) x y x y neân Q (d) = BC (BC) : 1 1 x y 2 0 (O ; 90 ) xC yC 2 2 - 28 -
13 Cho (d) : x 3y 1 = 0 . Tìm = Q (d) . ( ) : 3x y 1 0 (O ; 90 ) 14 Cho (d) : 2x y 2 = 0 . Tìm = Q (d) . (O ; 60 ) aûnh 1 3 HD : d  Ox = A(1;0) , d  Oy = B(0;2)  A ( ; ),B ( 3;1) 2 2 ( ) : ( 3 2)x (2 3 1)y 4 0 15 Cho tam giaùc ñeàu ABC coù taâm O vaø pheùp quay Q . (O;120 ) a) Xaùc ñònh aûnh cuûa caùc ñænh A,B,C . b) Tìm aûnh cuûa ABC qua pheùp quay Q (O;120 ) Giaûi a) Vì OA = OB = OC vaø A· OC B· OC C· OA 120 neân Q : AI B,B I C,C I A (O;120 ) b) Q : ABC  ABC (O;120 ) 16 [CB-P19] Cho hình vuoâng ABCD taâm O . a) Tìm aûnh cuûa ñieåm C qua pheùp quay Q . (A ; 90 ) b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng BC qua pheùp quay Q (O ; 90 ) HD : a) Goïi E = Q (C) thì AE=AC vaø C· AE 90 neân AEC (A ; 90 ) vuoâng caân ñænh A , coù ñöôøng cao AD . Do ñoù : D laø trung ñieåm cuûa EC . b) Ta coù : Q (B) C vaø Q (B) C Q (BC) CD. (O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 ) 17 Cho hình vuoâng ABCD taâm O . M laø trung ñieåm cuûa AB , N laø trung ñieåm cuûa OA . Tìm aûnh cuûa AMN qua pheùp quay Q . (O;90 ) HD :  Q (A) D , Q (M) M laø trung ñieåm cuûa AD . (O;90 ) (O;90 ) Q (N) N laø trung ñieåm cuûa OD . Do ñoù : Q ( AMN) DM N (O;90 ) (O;90 ) 18 [ CB-1.15 ] Cho hình luïc giaùc ñeàu ABCDEF , O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa noù . Tìm aûnh cuûa OAB qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O , goùc 60 vaø pheùp  tònh tieán TOE . HD : Goïi F = T Q . Xeùt : OE (O;60 )  Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C . (O;60 ) (O;60 ) (O;60 )     TOE(O) E,TOE(B) O,TOE(C) D  Vaäy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D F( OAB) = EOD - 29 -
19 Cho hình luïc giaùc ñeàu ABCDEF theo chieàu döông , O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa noù . I laø trung ñieåm cuûa AB . a) Tìm aûnh cuûa AIF qua pheùp quay Q . (O ; 120 ) b) Tìm aûnh cuûa AOF qua pheùp quay Q . (E ; 60 ) HD : a)  Q bieán F,A,B laàn löôït thaønh B,C,D , trung ñieåm I (O ; 120 ) thaønh trung ñieåm J cuûa CD neân Q ( AIF) CJB . (O ; 120 ) b)  Q bieán A,O,F laàn löôït thaønh C,D,O . (E ; 60 ) 15 Cho ba ñieåm A,B,C theo thöù töï treân thaúng haøng . Veõ cuøng moät phía döïng hai tam giaùc ñeàu ABE vaø BCF . Goïi M vaø N töông öùng laø hai trung ñieåm cuûa AF vaø CE . Chöùng minh raèng : BMN laø tam giaùc ñeàu . HD : Xeùt pheùp quay Q .Ta coù : Q (A) E , Q (F) C (B; 60 ) (B; 60 ) (B; 60 ) Q (AF) EC . (B; 60 ) Do M laø trung ñieåm cuûa AF , N laø trung ñieåm cuûa EC , neân : Q (M) N BM = BN vaø M· BN 60 BMN laø tam giaùc ñeàu . (B; 60 ) 21 [ CB-1.17 ] Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BC . Ñieåm A chaïy treân nöûa ñöôøng troøn ñoù . Döïng veà phía ngoaøi cuûa ABC hình vuoâng ABEF . Chöùng minh raèng : E chaïy treân nöûa ñöôøng coá ñònh . HD : Goïi E = Q (A) . Khi A chaïy treân nöûa ñöôøng troøn (O) , (B;90 ) E seõ chaïy treân nöûa ñöôøng troøn (O ) = Q [(O)] . (B;90 ) 22 Cho ñöôøng (O;R) vaø ñöôøng thaúng khoâng caét ñöôøng troøn . Haõy döïng aûnh cuûa ( ) qua pheùp quay Q . (O ; 30 ) Giaûi Töø O haï ñöôøng vuoâng goùc OH vôùi . Döïng ñieåm H sao cho (OH;OH ) = 30 vaø OH = OH . Döïng ñöôøng troøn qua 3 ñieåm O,H,H ; ñöôøng troøn naøy caét taïi ñieåm L . Khi ñoù LH laø ñöôøng thaúng phaûi döïng . 23 Cho ñöôøng thaúng d vaø ñieåm O coá ñònh khoâng thuoäc d , M laø ñieåm di ñoäng treân d . Haõy tìm taäp hôïp caùc ñieåm N sao cho OMN ñeàu . Giaûi : OMN ñeàu OM ON vaø N· OM 60 . Vì vaäy khi M chaïy treân d thì : g N chaïy treân d laø aûnh cuûa d qua pheùp quay Q . (O;60 ) g N chaïy treân d laø aûnh cuûa d qua pheùp quay Q (O; 60 ) - 30 -
24 Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O ) baèng nhau vaø caét nhau ôû A vaø B . Töø ñieåm I coá ñònh keû caùt tuyeán di ñoäng IMN vôùi (O) , MB vaø NB caét (O ) taïi M vaø N . Chöùng minh ñöôøng thaúng M N luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. Giaûi Xeùt pheùp quay taâm A , goùc quay (AO; AO ) = bieán (O) thaønh (O ) . Vì MM vaø NN qua B neân (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) . Qua pheùp quay Q : MI M , NI N vaø do ñoù Q(A; ) MNI M N Ñöôøng thaúng MN qua ñieåm coá ñònh I neân ñöôøng thaúng M N qua ñieåm coá ñònh I laø aûnh cuûa I qua Q(A; ) 25 Cho hai hình vuoâng ABCD vaø BEFG a) Tìm aûnh cuûa ABG trong pheùp quay Q . (B; 90 ) b) Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AG vaø CE . Chöùng minh BMN vuoâng caân . Giaûi BA BC BG BE a) Vì vaø (BA;BC) 90 (BG;BE) 90 Q : A I C,G I E Q : ABG  CBE (B; 90 ) (B; 90 ) b) Q : AG  CE Q : M I N BM BN vaø (BM;BN) = 90 (B; 90 ) (B; 90 ) BMN vuoâng caân taïi B . 26 Cho ABC . Qua ñieåm A döïng hai tam giaùc vuoâng caân ABE vaø ACF . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC vaø giaû söû AM  FE = H . Chöùng minh : AH laø ñöôøng cao cuûa AEF . HD : Xeùt pheùp quay Q : Keùo daøi FA moät ñoaïn AD = AF . (A;90 ) Vì AF = AC AC = AD neân suy ra : Q bieán B , C laàn löôït thaønh E , D (A;90 ) Ñ/nghóa neân goïi trung ñieåm K cuûa DE thì K= Q (M)  MA  AK (1) . (A;90 ) Trong DEF , vì AK laø ñöôøng trung bình neân AK // FE (2) Töø (1),(2) suy ra : AM  FE AH laø ñöôøng cao cuûa AEF . - 31 -
27 Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng 2 vaø coù caùc ñænh veõ theo chieàu döông . Caùc ñöôøn g cheùo ca ét nhau taïi I. Treân caïnh BC laáy BJ = 1 . Xaùc ñònh pheùp bieán ñoåi AI thaønh BJ . AB 2 HD : Ta coù : AI= 1 AI BJ . Laïi coù : (·AI,BJ) 45 . 2 2 BJ = Q (AI) . Taâm O = ttröïc cuûa AB cung chöùa goùc 45 ñi (O;45 )  qua A,B BJ = Q (AI) (O;45 ) 28 [CB-1.18] Cho ABC . Döïng veà phía ngoaøi cuûa tam giaùc caùc hình vuoâng BCIJ,ACMN,ABEF vaø goïi O,P,Q laàn löôït laø taâm ñoái xöùng cuûa chuùng . a) Goïi D laø trung ñieåm cuûa AB . Chöùng minh raèng : DOP vuoâng caân taïi D . b) Chöùng minh raèng : AO  PQ vaø AO = PQ . HD : a)  Vì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB  AI . (C;90 ) 1 Maët khaùc : DP BM , DO AI 2 DP = vaø  DO DOP vuoâng caân taïi D . b) Töø caâu a) suy ra : Q Q O I(D;90 ) P,A I(D;90 ) Q OA vaø  PQ. 29 Cho ABC coù caùc ñænh kí hieäu theo höôùng aâm . Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc hình vuoâng ABDE vaø BCKF . Goïi P laø trung ñieåm cuûa AC , H laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua B , M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn FH .  a) Xaùc ñònh aûnh uûa hai vectô BA vaø BP trong pheùp quay Q . (B;90 ) b) Chöùng minh raèng : DF  BP vaø DF = 2BP . HD : BA = BH (cuøng baèng BD) a) Ta coù : (BA;BH) = 90   90 90 H QB (A) BH QB (BA)   90 90 90 Vì : QB (A) H,QB (C) F QB (AC) HF .   90 90 Maø : F laø trung ñieåm cuûa AC , QB (F) M laø trung ñieåm cuûa HF . Do ñoù : QB (BP) BM .   90 b) Vì : QB (BP) BM BP BM,BP  BM . 1 1 Maø : BM = DF vaø BM // DF (Ñöôøng trung bình cuûa HDF ). Do ñoù : BP = DF , DF  BP . 2 2 - 32 -
30 Cho töù giaùc loài ABCD . Veà phía ngoaøi töù giaùc döïng caùc tam giaùc ñeàu ABM , CDP . Veà phía trong töù giaùc, döïng hai tam giaùc ñeàu BCN vaø ADK . Chöùng minh : MNPK laø hình bình haønh . 60 HD : Xeùt pheùp quay QB : MI A , NI C Q MNI(B;90 ) AC MN AC (1) 60 Xeùt pheùp quay QD : PI C , KI A Q PKI(D;90 ) CA PK CA (2) Töø (1) , (2) suy ra : MN = PK . Lí luaän , töông töï : MK = PN MKNP laø hình bình haønh . 31 Cho ABC . Veà phía ngoaøi tam giaùc , döïng ba tam giaùc ñeàu BCA1,ACB1,ABC1 . Chöùng minh raèng : AA1,BB1,CC1 ñoàng quy . HD : Q Q (B;60 ) (B;60 ) Gæa söû AA1  CC1 I . Xeùt : A1I C,A I C1 Q (B;60 ) · · A1A I CC1 (A1A;CC1) 60 AJC1 60 (1) · Laáy treân CC1 ñieåm E sao cho : IE = IA . Vì EIA 60 EIA ñeàu . Q Q Q (A;60 ) (A;60 ) (A;60 ) Xeùt : B I C1,I I E , B1 I C Vì : C1,B,C thaúng haøng neân B,I,B1 thaúng haøng AA1,BB1,CC1 ñoàng quy . 32 Chöùng minh raèng caùc ñoaïn thaúng noái taâm caùc hình vuoâng döïng treân caùc caïnh cuûa moät hình bình haønh veà phía ngoaøi , hôïp thaønh moät hình vuoâng . HD : Goïi I1,I2,I3,I4 laø taâm cuûa hình vuoâng caïnh AB,BC,CD,DA . Duøng pheùp quay Q(I;90 ) : B I C . Vì I1BA I3CD · · CI3 BI1 vaø DCI3 ABI1 45 . Maø DC // AB CI3  BI1 Q (I;90 ) Vaäy : I3 I I1 I2I1 I2I3 vaø I2I1  I2I3 . Lyù luaän töông töï , ta coù : I1I2I3I4 laø moät hình vuoâng . Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN - 33 -
1 ÑL : Neáu ABC vaø A B C laø hai tam giaùc baèng nhau thì coù pheùp dôøi hình bieán ABC thaønh A B C . 2 Tính chaát : 1. Neáu thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp dôøi hình thì ñöôïc moät pheùp dôøi hình . 2. Hai hình goïi laø baèng nhau neáu coù pheùp dôøi hình bieán hình naøy thaønh hình kia . B. BÀI TẬP 1 Cho hình chöõ nhaät ABCD . Goïi E,F,H,I theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB,CD,BC,EF. Haõy tìm moät pheùp dôøi hình bieán AEI thaønh FCH . HD :  Thöïc hieän lieân tieáp pheùp tònh tieán theo AE vaø pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng IH  T : AI E,EI B,II H T ( AEI) EBH AE AE  ÑIH : EI F,BI C,HI H ÑIH( EBH) FCH  Ñ : T ( AEI) FCH IH AE Do ñoù : Ñ T ( AEI) FCH AEI FCH IH AE 2 Cho hình chöõ nhaät ABCD . Goïi O laø taâm ñoái xöùng cuûa noù ; E,F,G,H,I,J theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB,BC,CD,DA,AH,OG . Chöùng minh raèng : Hai hình thang AJOE vaø GJFC baèng nhau . HD :  Pheùp tònh tieán theo AO bieán A,I,O,E laàn löôït thaønh O,J,C,F . Pheùp ñoái xöùng qua truïc cuûa OG bieán O,J,C,F laàn löôït thaønh G,J,F,C. Töø ñoù suy ra pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp bieán hình treân seõ bieán hình thang AJOE thaønh hình thang GJFC . Do ñoù hai hình thang aáy baèng nhau . 3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) vaø ñöôøng thaúng (d) : 2x y = 0 . Tìm aûnh cuûa (d) qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay Q vaø pheùp tònh tieán T . (O;90 ) u - 34 -
Q T HD : PP : d I(O;90 ) d Iu d  Goïi d Q (d) . Vì taâm O d neân Q (O) O d . (O;90 ) (O;90 ) Maët khaùc : d  d d : x 2y C 0 (C 0) maø d qua O neân C = 0 d : x + 2y = 0 Q Caùch khaùc : Choïn M(1;2) d I(O;90 ) M d . x OM cos( 90 ) x OM cos cos90 OMsin sin 90 x x cos90 ysin 90 Ta coù : M y OMsin( 90 ) y OMsin cos90 OM cos sin 90 y y cos90 xsin 90 x 1cos90 2sin 90 x 2 M ( 2;1) y 1 y 2 cos90 1sin 90  Goïi d Tu(d ) d // d d : x 2y C 0 .  x x 3 x 3 Goïi O Tu(O) OO = u O (3;1) . y y 1 y 1 Vì d  O 3 2 C 0 C 5 d : x 2y 5 0 Vaäy :T Q (d) (d ) : x 2y 5 0 u (O;90 ) 4 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : x2 y2 2x 4y 4 0 coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp tònh tieán theo u = (3; 1) vaø pheùp ÑOy . ÑS : (C ) : (x + 4)2 (y 3)2 9 5 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : x2 y2 6x 2y 6 0 coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay Q vaø pheùp Ñ . (O;90 ) Ox HD : (C) coù taâm I(3;1) , bk : R = 2 . Khi ñoù : Q (O;90 ) Ñ (C) : I(3;1) , R = 2 I (C ) : I ( 1;3) , R = 2 IOx (C ) : I ( 1; 3) , R = 2 (C ) :(x + 1)2 (y 3)2 4 6 [CB-P23] Trong mpOxy cho caùc ñieåm A( 3;2),B( 4;5) vaø C( 1;3). a) Chöùng minh raèng : Caùc ñieåm A (2;3),B (5;4) vaø C (3;1) theo thöù töï laø aûnh cuûa A,B vaø C qua Q . (O; 90 ) b) Goïi A1B1C1 laø aûnh cuûa ABC qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp - 35 -
Q vaø pheùp ñoái xöùng Ñ . Tìm toaï ñoä caùc ñænh cuûa A B C . (O; 90 ) Ox 1 1 1 HD : a) Goïi M,N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân Ox,Oy thì M( 3;0),N(0;2). Q Khi ñoù : Hình chöõ nhaät OMANI(O; 90) hcnhaät OM A N vôùi M (0;3),N (2;0). Do ñoù : A (2;3) = Q (A) . (O; 90 ) Ttöï : B (5;4) = Q (B),C (3;1) = Q (C) . (O; 90 ) (O; 90 ) Q I(O; 90) Caùch khaùc : Gæa söû A A  AOA vuoâng caân taïi O . Ñieàu ñoù ñuùng vì : OA = OA = 13, OA.OA 0 . Laøm töông töï cho B,C ta coù ñieàu caàn chöùng minh . b)  Pheùp quay : Q ( ABC) A B C ,Ñ ( A B C ) A B C (O; 90 ) Ox 1 1 1 xA xA 2 Khi ñoù : 1 A (2; 3).Ttöï : B (5; 4),C (3; 1). y y 3 1 1 1 A1 A 2 7 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y 2x , 2 (P2) : y 2x 4x 1. Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) y 2x2 4x 1 y 2(x 1)2 3 B) Tònh tieán sang traùi 1 ñôn vò roài xuoáng döôùi 3 ñôn vò ta ñöôïc (P2). C) (P ) vaø (P ) baèng nhau . 1 2 D) Pheùp tònh tieán theo u = (1; 3) bieán (P1) thaønh (P2) . ÑS : B) 8 Trong mpOxy , cho 4 ñieåm A(2;0),B(4;4),C(0;2) vaø D( 4;4) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Caùc OAC, OBD laø caùc tam giaùc vuoâng caân . Q B) Pheùp quay : OAB I(O;90 ) OCD . C) OAB vaø OCD laø hai hình baèng nhau . D) Toàn taïi moät pheùp tònh tieán bieán A thaønh B vaø C thaønh D . ÑS : D) 9 Trong mpOxy cho ABC vôùi A( 3;0),B(0;3),C(2;4) . Pheùp bieán hình f bieán A thaønh A ( ;3) , B thaønh B (2;6),C thaønh C (4;7) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ? 3 A) f laø pheùp quay Q . B) f laø pheùp ñoái xöùng taâm I( 1; ) . (O;90 ) 2 C) f laø pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;3) . D) f laø pheùp ñoái xöùng truïc . ÑS : C) - 36 -
Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ 1 ÑN : Cho ñieåm I coá ñinh vaø moät soá k 0 . Pheùp vò töï taâm I tæ soá k .   k Kí hieäu : VI , laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M sao cho IM k IM. k 2 Bieåu thöùc toïa ñoä : Cho I(xo;yo) vaø pheùp vò töï VI . k VI k x = kx+ (1 k)xo M(x;y) I M VI (M) (x ;y ) thì y = ky+ (1 k)yo 3 Tính chaát :   k k 1. M VI (M), N VI (N) thì M N = kMN , M N = |k|.MN 2. Bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng . 3. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho . 4. Bieán moät tia thaønh tia . 5. Bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng maø ñoä daøi ñöôïc nhaân leân |k| . 6. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc ñoàng daïng vôùi noù . 7. Ñöôøng troøn coù baùn kính R thaønh ñöôøng troøn coù baùn kính R = |k|.R . 8. Bieán goùc thaønh goùc baèng noù . B . BÀI TẬP 1 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp vò töï taâm I , tæ soá k 0 : a) A(1;2) , I(3; 1) , k = 2 . A ( 1;5) b) B(2; 3),I( 1; 2),k 3 . B ( 10;1) 1 c) C(8;3), I(2;1) , k = . C (5;2) 2 2 1 1 2 4 d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I  O,k = 1/ 3 P (1; ),Q ( ; ),R ( ; ) 3 3 3 3 3   V(I;2) x 3 4 HD : a) Goïi : A(1;2) I A (x ;y ) IA 2IA (x 3;y 1) 2( 2;3) y 1 6 x 1 A ( 1;5) . y 5 - 37 -
2 Cho ba ñieåm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) . Toàn taïi hay khoâng toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán B thaønh C ? HD : Gæa söû toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán B thaønh C .   V(A;k) 1 k(2) 1 Khi ñoù : B I C AC kAB k 2 k( 4) 2 Vaäy : Toàn taïi pheùp vò töï V 1 : B I C . (A; ) 2 3 Cho ba ñieåm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) . Toàn taïi hay khoâng toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán B thaønh C ? HD : Gæa söû toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán B thaønh C . V   Khi ñoù : B I(A;k) C AC kAB (1) . 4 Cho OMN . Döïng aûnh cuûa M,N qua pheùp vò töï taâm O , tæ soá k trong moãi tröôøng hôïp sau : 1 3 a) k = 3 b) k = c) k = 2 4 Giaûi     3 a) Pheùp vò töï VO : M I M , N I N thì ta coù OM 3OM,ON 3ON 1/2 b) Pheùp vò töï VO : M I H , N I K thì HK laø ñöôøng trung bình cuûa OMN .  3   3  c) Pheùp vò töï V 3/4 : M I P , N I Q thì ta coù OP OM,OQ ON O 4 4 - 38 -
5 Cho hình bình haønh ABCD (theo chieàu kim ñoàng hoà) coù taâm O . Döïng : a) AÛnh cuûa hình bình haønh ABCD qua pheùp vò töï taâm O , tæ soá k = 2 . 1 b) AÛnh cuûa hình bình haønh ABCD qua pheùp vò töï taâm O , tæ soá k = . 2 Giaûi   2 a) Goïi VO : A I A thì OA 2OA   B I B thì OB 2OB   C I C thì OC 2OC   D I D thì OD 2OC 2 VO : Y ABCDM I Y A B C D . Ta veõ : AB// A B ,BC// B C ,CD // C D ,DA // D A  1  b) Goïi V 1/2 : A I P thì OP OA O 2  1  B I Q thì OQ OB 2  1  C I R thì OR OC 2  1  D I S thì OS OD 2 1/2 VO : Y ABCDM  Y PQRS . Ta veõ : AB// PQ,BC// QR,CD // RS,DA // SP . 6 Cho ABC coù AB = 4, AC = 6 , AD laø phaân giaùc trong cuûa Aµ cuûa ABC (D BC) . Vôùi giaù trò naøo cuûa k thì pheùp vò töï taâm D , tæ soá k bieán B thaønh C . HD : µ The o tính chaát cuûa phaân giaùc trong cuûa A , ta coù : DB AB 4 2  3  V( D; 3/2 )  DC DB B I C . DC  AC  6 3 2 Do DB vaø DC ngöôïc höôùng . - 39 -
7 Cho ABC vuoâng ôû A vaø AB = 6, AC = 8 . Pheùp vò töï V 3 bieán B thaønh B ,C thaønh C . (A; ) 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? 9 2 A) BB C C laø hình thang . B) B C = 12 . C) S S . D) Chu vi ( ABC) = Chu vi( AB C ) . AB C 4 ABC 3 HD : V  A) ñuùng vì B C (A;3/2) BC . 3 3  B) sai vì : B C = BC AB2 AC2 15 2 2 1 3 3 .AB .AC .AB. .AC S 9  C) ñuùng vì : AB C 2 2 2 . S 1 AB.AC 4 ABC .AB.AC 2 Chu vi AB C 3  D) ñuùng vì : Chu vi ABC 2 8 Cho ABC coù hai ñænh laø B vaø C coá ñònh , coøn ñænh A di ñoäng treân ñöôøng troøn (O) cho tröôùc . Tìm taäp hôïp caùc troïng taâm cuûa ABC .  1  HD : Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC . Ta coù I coá ñònh . Neáu G laø troïng taâm cuûa ABC thì IG IA . 3 1/3 Vaäy G laø aûnh cuûa A qua pheùp vò töï VI . Taäp hôïp ñieåm A laø ñöôøng troøn (O) neân taäp hôïp G laø ñöôøng troøn (O ) , ñoù chính laø aûnh cuûa ñöôøng troøn 1/3 (O) qua pheùp vò töï VI . 9 Trong mpOxy , cho ñieåm A( 1;2) vaø ñöôøng thaúng d ñi qua A coù heä soá goùc baèng 1 . Goïi B laø ñöôøng thaúng di ñoäng treân d . Goïi C laø ñieåm sao cho töù giaùc OABC laø hình bình haønh .Tìm phöông trình taäp hôïp : a) Caùc taâm ñoái xöùng I cuûa hình bình haønh . b) Caùc troïng taâm G caùc tam giaùc ABC . HD : a) gQua A( 1;2)  (AB): (AB) : y 2 1(x 1) y x 3 gHsg : k = 1 1  Vaäy B chaïy treân d thì I chaïy treân d // d vaø ñi qua trung ñieåm M( ;1) cuûa ñoaïn OA . 2 3 Vaäy d : x y = 0 . 2  2  2 4 b)  Ta coù : OG OB G V2/3(B) . Vaäy G chaïy treân ñt d // d vaø qua ñieåm N( ; ) V2/3(A). 3 O 3 3 O d : x y 2 = 0 . - 40 -
10 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng d qua pheùp vò töï taâm I , tæ soá k : 2 a) d : 3x y 5 = 0 ,V(O; ) d : 9x 3y 10 0 3 b) d : 2x y 4 = 0 ,V(O;3) d : 2x y 12 0 c) d : 2x y 4 = 0 ,V(I; 2) vôùi I( 1;2) d : 2x y 8 0 d) d : x 2y 4 = 0 ,V(I;2) vôùi I(2; 1) d : x 2y 8 0 11 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn (C) qua pheùp vò töï taâm I , tæ soá k : (Coù 2 caùch giaûi ) a) (C) : (x 1)2 (y 2)2 = 5 ,V(O; 2) (C) : (x 2)2 (y 4)2 = 20 b) (C) : (x 1)2 (y 1)2 = 4 ,V(O; 2) (C) : (x 2)2 (y 2)2 = 16 c) (C) : (x 3)2 (y 1)2 = 5 ,V(I; 2) vôùi I(1;2) (C) : (x 3)2 (y 8)2 = 20 12 Tìm pheùp vò töï bieán d thaønh d : x y 2 a) d : 1,d : 2x y 6 0,V(O;k) k = . 2 4 3 HD : d : 2x y 4 0 // d : 2x y 6 0 . Laáy A(2;0) d,B(3;0) d .      3  Vì : pheùp vò töï V(O;k) : A I B OB kOA . Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA 2 3 3 V(O; ) V(O; ) Vaäy : A I2 B d I2 d Löu yù : Vì O,A,B thaúng haøng neân ta choïn chuùng cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng . Ñeå ñôn giaûn ta choïn chuùng cuøng naèm treân Ox hoaëc Oy . 2 2 2 2 b) (C1) : (x 4) y 2 ; (C2) : (x 2) (y 3) 8 V(I; 2),I( 2;1) HD :  (C1) coù taâm I1( 4;0),R1 2 , (C2) coù taâm I2(2;3),R2 2 2 V(I;k)  Gæa söû :(C1) I (C2) thì : R g R | k | R | k | 2 2 k 2 2 1 R   1 g II2 kII1 thì  k = 2 . Goïi I(xo;yo) thì (2 xo;3 yo) 2( 4 xo; yo) I( 2;1)  k = 2 . Goïi I(xo;yo) thì (2 xo;3 yo) 2( 4 xo; yo) I( 10; 3) Vaäy coù 2 pheùp vò töï bieán (C1)  (C2) laø V(I; 2) vôùi I( 2;1) hoaëc V(I;2) vôùi I( 10; 3) 2 2 2 2 13 Trong mpOxy , cho 2 ñöôøng troøn (C1) : (x 1) (y 3) = 1 vaø (C2) : (x 4) (y 3) = 4 . a) Xaùc ñònh toaï ñoä taâm vò töï ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn ñoù . b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn ñoù . HD : (C1) coù taâm I1(1;3) , bk : R1 1 ; (C2) coù taâm I2(4;3) , bk : R2 2 .   R2 2 a) Goïi I laø taâm vò töï ngoaøi cuûa (C1) vaø (C2) , ta coù : II2 kII1 vôùi k = 2 I( 2;3) R1 1 - 41 -
b) Tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn laø tieáp tuyeán töø I ñeán (C1). Goïi ñt ñi qua I vaø coù heä soá goùc k :y 3 = k(x+2) ky y 3 2k 0 . 1 1 : 2.x 4y 12 3 2 0 tieáp xuùc (C1) d(I1; ) R1 k 2 2 2 : 2.x 4y 12 3 2 0 14 Cho ñöôøng troøn (O,R) ñöôøng kính AB . Moät ñöôøng troøn (O ) tieáp xuùc vôùi (O,R) vaø ñoaïn AB taïi C, D , ñöôøng thaúng CD caét (O,R) taïi I . Chöùng minh raèng : AºI BºI . HD :  C laø taâm vò töï cuûa 2 ñöôøng troøn (O) vaø (O ) .  D (O ), I (O) vaø ba ñieåm C,D,I thaúng haøng . Goïi R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (O ) , khi ñoù : R R VC : O I O ,I I D OI // O D OI  AB (Vì O D  AB) I laø trung ñieåm cuûa A»B AºI BºI . 15 Cho hai ñöôøng troøn (O,R) vaø (O , R ) tieáp xuùc trong taïi A (R > R ) . Ñöôøng kính qua A caét (O,R) taïi B vaø caét (O , R ) taïi C . Moät ñöôøng thaúng di ñoäng qua A caét (O, R) taïi M vaø caét (O , R ) taïi N . Tìm quyõ tích cuûa I = BN  CM . HD : IC CN Ta coù : BM // CN . Hai BMI : NCI . Do ñoù : IM BM AC CN Hai ACN : ABM . Do ñoù : AB BM IC AC 2R R IC R IM AB 2R R IM IC R R R CI R  R  V(C;k ) CI CM M : IR R  I CM R R R R Vaäy : Taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn () vò töï cuûa ñöôøng R troøn (O,R) trong pheùp vò töï V(C ;k ) . R R 16 Cho ABC . Goïi I , J . M theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AB, AC vaø IJ . Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp taâm O cuûa AIJ , caét AO taïi A . Goïi M laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A xuoáng BC . Chöùng minh raèng : A , M , M thaúng haøng . - 42 -
HD :     Goïi M1 laø trung ñieåm BC .Ta coù : AB 2AI vaø AC 2AJ V(A;2) Töø ñoù : AIJ  ABC . Khi ñoù : V(A;2) : O I A ,M I M1 OM  IJ A M1  BC . Nhö theá : M1  M A,M,M thaúng haøng ( vì A,M,M1 thaúng haøng ) 17 Cho ABC . Goïi A1,B1,C1 töông öùng laø trung ñieåm cuûa BC,CA, AB. Keû A1x,B1y,C1z laàn löôït song song vôùi caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa caùc goùc A,B,C cuûa ABC . Chöùng minh : A1x,B1y,C1z ñoàng quy. HD : 1 Xeùt pheùp vò töï taâm G , tæ soá . G laø troïng taâm ABC , 2 I laø taâm ñöôøng troøn noâïi tieáp ABC . Ta coù : AJ I A1x , BI I B1y , CI I C1z , GI 1 I I J ( ) A x,B y,C z ñoàng quy taïi J . GJ 2 1 1 1 18 Cho hai ñöôøng troøn (O1,R1) vaø (O2,R2) ngoaøi nhau R1 R2 . Moät ñöôøng troøn (O) thay ñoåi tieáp xuùc ngoaøi vôùi (O1) taïi A vaø tieáp xuùc ngoaøi vôùi (O2) taïi B . Chöùng minh raèng : Ñöôøng thaúng AB luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh . HD :   A laø taâm vò töï bieán (O ) thaønh (O) : AO vaø AO ngöôïc höôùng . 1 1  B laø taâm vò töï bieán (O) thaønh (O ) : AO vaø AO ngöôïc höôùng .  2 1 Keùo daøi AB caét (O ) taïi C : AO vaø CO ngöôïc höôùng .  2 2 Vaäy : AO1 vaø CO2 ngöôïc höôùng . Nhö vaäy AC hay cuõng laø AB phaûi ñi qua taâm I aø taâm vò töï ngoaøi cuûa (O1) vaø (O2) . - 43 -
19 Cho ABC . Ngöôøi ta muoán ñònh ba ñieåm A ,B ,C laàn löôït treân caùc caïnh BC,CA,AB sao cho A B C ñeàu vaø A B  CA , B C  AB vaø C A  BC . 1. Goïi E,F,K laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng cao phaùt xuaát töø A,B,C . 2/3 2/3 2/3 Ñaët : C = VB (A),A = VB (E),B = VB (F).  2  a) Nghieäm laïi raèng : A = V2/3(E) vaø B C CK . B 3 b) Suy ra raèng : A B C ñeàu . 2. Chöùng minh raèng tröïc taâm H cuûa ABC cuõng laø troïng taâm cuûa A B C . HD : a 3 Trong ABC ñeàu caùc ñöôùng cao : AE = BF = CK = .(a laø caïnh cuûa ABC) 2 vaø E,F,K laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh .  2    2 1   2  1. a) Vì A = V2/3(E) BA BE BC CA ( BC) CA CB . Vaäy : A = V2/3(E) . B 3 3 2 3 B  2    2   1  2  Vì C = V2/3(A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = V2/3(C). B 3 3 3 3 A V2/3 V2/3  2  Vaäy : CIA B , KIA C B C CK . 3 g B C // CK cuøng  AB  2  b) Ta coù : B C CK 2 a 3 3 g B C = CK = 3 3  2  2 Töông töï : C A AE vaø A B BF . 3 3 a 3 Vaäy : B C  AB,C A  BC,A B  AC vaø B C =C A = A B = A B C ñeàu . 3 2. Tröïc taâm H cuûa ABC cuõng laø troïng taâm cuûa tam giaùc ñoù , neân :  2   2    2    2  BH BF. Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF . 3 3 3 3 Vaäy : C H // AF . Suy ra : C H  A B Lyù luaän töông töï : A H  B C . Vấn đề 8 : PHÉP ĐỒNG DẠNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN - 44 -
1 ÑN : Pheùp bieán hình F goïi laø pheùp ñoàng daïng tæ soá k (k > 0) neáu vôùi hai ñieåm baát kì M , N vaø aûnh M , N laø aûnh cuûa chuùng , ta coù M N = k.MN . 2 ÑL : Moïi pheùp ñoàng daïng F tæ soá k (k> 0) ñeàu laø hôïp thaønh cuûa moät pheùp vò töï tæ soá k vaø moät pheùp dôøi hình D. 3 Heä quaû : (Tính chaát ) Pheùp ñoàng daïng : 1. Bieán 3 ñieåm thaúng haøng thaønh 3 ñieåm thaúng haøng (vaø baûo toaøn thöù töï ) . 2. Bieán ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng . 3. Bieán tia thaønh tia . 4. Bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng maø ñoä daøi ñöôïc nhaân leân k ( k laø tæ soá ñoàng daïng ) . 5. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc ñoàng daïng vôùi noù ( tæ soá k). 6. Bieán ñöôøng troøn coù baùn kính R thaønh ñöôøng troøn coù baùn kính R = k.R . 7. Bieán goùc thaønh goùc baèng noù . 4 Hai hình ñoàng daïng : ÑN : Hai hình goïi laø ñoàng daïng vôùi nhau neáu coù pheùp ñoàng bieán hình naøy thaønh hình kia . F H ñoàng daïng G  F ñoàng daïng : H I G B.BÀI TẬP 1 Cho ñieåm M a) Döïng aûnh cuûa pheùp ñoàng daïng F laø hôïp thaønh cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Ña vaø pheùp vò töï V taâm O , vôùi O a , tæ soá k = 2 . b) Döïng aûnh cuûa pheùp ñoàng daïng F laø hôïp thaønh cuûa pheùp vò töï V taâm O , tæ soá k = 3 vaø pheùp quay taâm I vôùi goùc quay = 90 . Giaûi 2 Ña VO a) Goïi : MI M1I M2  M (a) thì M1  M vaø M laø trung ñieåm OM2  M (a) vaø O M1 thì : g a laø trung tröïc ñoaïn MM1 g M1 laø trung ñieåm ñoaïn OM2  M (a) vaø O  M1 thì : g a laø trung tröïc ñoaïn MM1 g M1 laø trung ñieåm ñoaïn OM2 V 3 Q90 b) Goïi MIO M II M . Khi ñoù :   1 2 OM1 3OM , IM = IM1 vaø (IM1;IM) 90 - 45 -
2 Cho ABC coù ñöôøng cao AH . H ôû treân ñoaïn BC . Bieát AH = 4 , HB = 2 , HC = 8 . Pheùp ñoàng daïng F bieán HBA thaønh HAC . F ñöôïc hôïp thaønh bôûi hai pheùp bieán hình naøo döôùi ñaây ? 1 A) Pheùp ñoái xöùng taâm H vaø pheùp vò töï taâm H tæ soá k = .  2 B) Pheùp tònh tieán theo BA vaø pheùp vò töï taâm H tæ soá k = 2 . C) Pheùp vò töï taâm H tæ soá k = 2 vaø pheùp quay taâm H , goùc (HB;HA) . D) Pheùp vò töï taâm H tæ soá k = 2 vaø pheùp ñoái xöùng truïc . HD : 2 Pheùp VH vaø Q(H; ) vôùi = (HB;HA) : B I A, A I C Vaäy : F laø pheùp ñoàng daïng hôïp thaønh bôûi V vaø Q bieán HBA thaønh HAC .   3 Cho hình bình haønh ABCD coù taâm O . Treân caïnh AB laáy ñieåm I sao cho IA 2IB 0 vaø goïi G laø troïng taâm cuûa ABD . F laø pheùp ñoàng daïng bieán AGI thaønh COD . F ñöôïc hôïp thaønh bôûi hai pheùp bieán hình naøo sau ñaây ? A) Pheùp tònh tieán theo GO vaø pheùp vò töï V(B; 1) . 1 B) Pheùp ñoái xöùng taâm G vaø pheùp vò töï V(B; ). 2 3 C) Pheùp vò töï V(A; ) vaø pheùp ñoái xöùng taâm O . 2 2 D) Pheùp vò töï V(A; ) vaø pheùp ñoái xöùng taâm G . 3 HD :  3  g Vì G laø troïng taâm ABD neân AO AG 2  3  g Theo giaû thieát , ta coù : AB AJ . 2 g Pheùp ñoái xöùng taâm O , bieán A thaønh C vaø B thaønh D ( O laø baát bieán ) V2/3 Ñ V2/3 Ñ V2/3 Ñ g AIA AIO C . g G IA O IO O . g I IA B IO D . 3 V(A; ) Ñ AGI 2 AOB O COD Pheùp ñoàng daïng F . . . . . . . . HẾT . . . . . . - 46 -