Bài tập trắc nghiệm Giải tích Khối 12 - Chương 4 - Chủ đề 2: Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Khối 12 - Chương 4 - Chủ đề 2: Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w . •. 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a,b,c ¡ ;a 0 . Xét b2 4ac , ta có b • 0 : phương trình có nghiệm thực x . 2a b • 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: x . 1,2 2a b i | | • 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: x . 1,2 2a  Chú ý. n n 1  Mọi phương trình bậc n : Ao z A1z An 1z An 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai 2 ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét b S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a B.KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức • Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực + a 0, a có các căn bậc hai là i | a | . + a 0 , a có đúng một căn bậc hai là 0. + a 0 , a có hai căn bậc hai là a . Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và i . Hai căn bậc hai của a2 ( a là số thực khác 0) là ai và ai . • Trường hợp w a bi a,b ¡ ,b 0 Gọi z x yi x, y ¡ là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 w , tức là 2 2 2 2 2 x y a x yi a bi x y 2xyi a bi 2xy b Mỗi cặp số thực x; y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x yi của số phức w a bi . Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w 5 12i . Gọi z x yi x, y ¡ là một căn bậc hai của số phức w 5 12i . x 2 2 2 2 x 4 2 x y 5 y 3 Ta có z2 w x yi 5 12i 6 2xy 12 y x 2 x y 3 Vậy w 5 12i có hai căn bậc hai là 2 3i và 2 3i . 2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan Trang 1/21
2. • Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z2 z 1 0 Ta có b2 4ac 3 0 1 i 3 Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là x . 1,2 2 • Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình. + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x 1. + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x 1. + Định lý Bơdu: Phần dư trong phép chia đa thức f x cho x a bằng giá trị của đa thức f x tại x a. Tức là f x x a g x f a Hệ quả: Nếu f a 0 thì f x  x a Nếu f x  x a thì f a 0 hay f x 0 có một nghiệm x a. – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau: n n 1 Với đa thức f x an x an 1x a1x a0 chia cho x a có thương là n 1 n 2 g x bn 1x bn 2 x b1x b0 dư r an an 1 an 2 a2 a1 a0 a bn 1 an bn 2 abn 1 an 2 bn 3 abn 2 an 3 b1 ab2 a2 b0 ab1 a1 r ab0 b0 – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ: – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau. – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có). – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới. – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm. C.KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH 1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX. Nhập số thuần ảo i : Phím ENG 2. Tìm các căn bậc hai của một số phức Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z 3 4i có kết quả: Cách 1: – Mode 2 (CMPLX) – Nhập hàm X 2 – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận. Cách 2: – Mode 1 (COMP) – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol 3;4 – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Rec X ,Y : 2 , ta thu được kết quả X 1;Y 2 . – Vậy 2 số phức cần tìm là 1 2i và 1 2i . Trang 2/21
3. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong £ , phương trình 2x2 x 1 0 có nghiệm là: 1 1 1 1 A. x 1 7i ; x 1 7i B. x 1 7i ; x 1 7i 1 4 2 4 1 4 2 4 1 1 1 1 C. x 1 7i ; x 1 7i D. x 1 7i ; x 1 7i 1 4 2 4 1 4 2 4 Câu 2. Khai căn bậc hai số phức z 3 4i có kết quả: A. z1 1 2i; z2 1 2i B. z1 1 2i; z2 1 2i C. z1 1 2i; z2 1 2i D. z1 1 2i; z2 1 2i . Câu 3. Trong £ , nghiệm của phương trình z3 8 0 là: A. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i B. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i C. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i D. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i Câu 4. Trong £ , phương trình z z 2 4i có nghiệm là: A. z 3 4i B. z 2 4i C. z 4 4i D. z 5 4i Câu 5. Hai giá trị x1 a bi; x2 a bi là hai nghiệm của phương trình: A. x2 2ax a2 b2 0 B. x2 2ax a2 b2 0 C. x2 2ax a2 b2 0 D. x2 2ax a2 b2 0 Câu 6. Trong £ , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là: z 3i z i z 1 i z 2 3i A. B. C. D. z 4i z 4i z 3i z 1 i Câu 7. Trong £ , phương trình z2 z 1 0 có nghiệm là: 2 3i 1 5i 1 3i z z z z 3 5i 2 2 2 A. B. C. D. z 3 5i 2 3i 1 5i 1 3i z z z 2 2 2 Câu 8. Tính căn bậc hai của số phức z 8 6i ra kết quả: z 3 i z 3 i z 3 i z 3 i A. B. C. D. z 3 i z 3 i z 3 i z 3 i Câu 9. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 5 0 là: z 5 z 4 5i A. B. C. 5i D. 5i 4 z 5 z 5i Câu 10. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 5 12i là: z 2 3i z 2 3i A. B. z 2 3i C. z 2 3i D. z 2 3i z 2 3i Câu 11. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 4z 5 0 là: z 2 i A. z 2 i B. z 2 i C. D. z 2 i z 2 i Câu 12. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 2z 1 2i 0 là z1 2 i z1 i 2 z1 2 i z1 2 i A. B. C. D. z2 i z2 i z2 2 i z2 i Câu 13. Cho z 3 4i . Tìm căn bậc hai của z . A. 2 i và 2 i B. 2 i và 2 i Trang 3/21
4. C. 2 i và 2 i D. 3 2i và 3 2i Câu 14. Cho z 1 i . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z : 4 4 7 7 A. 2 cos isin và 2 cos isin 8 8 8 8 B. 2 cos isin 4 4 C. 2 cos isin 4 4 4 4 D. 2 cos isin và 2 cos isin 8 8 8 8 Câu 15. Trong £ , phương trình z2 i z2 2iz 1 0 có nghiệm là: 3 3 C. 1 2i ; 2 i ; 4iB. 1 i ; 1 i ; 2i 2 2 2 1 i 2 A. , 1 i , iD. 1 2i ; 15i ; 3i 2 2 Câu 16. Trong £ , phương trình z4 6z2 25 0 có nghiệm là: A. 8; 5i B. 3; 4i C. 5; 2i D. 2 i ; 2 i 1 Câu 17. Trong £ , phương trình z 2i có nghiệm là: z A. 1 3 i B. 5 2 i C. 1 2 i D. 2 5 i Câu 18. Trong £ , phương trình z3 1 0 có nghiệm là: 2 i 3 1 i 3 1 i 5 5 i 3 A. 1; B. 1; C. 1; D. 1; 2 2 4 4 Câu 19. Trong £ , phương trình z4 1 0 có nghiệm là: A 1; 2i B. 2; 2i C. 3; 4i D. 1; i Câu 20. Trong £ , căn bậc hai của 121 là: A. 11i B. 11i C. 11 D. 11i và 11i Câu 21. Phương trình 8z2 4z 1 0 có nghiệm là: 1 1 5 1 1 1 1 3 A z i; z i B. z i; z i 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1 C. z i; z i D. z i; z i 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 2 2 2 Câu 22. Biết z1; z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z2 là: 9 9 A. B.9 C. 4 D. 4 4 Câu 23. Phương trình z2 az b 0 có một nghiệm phức là z 1 2i . Tổng 2 số a và b bằng: A. 0 B. 3 C. 3 D. 4 2 2 2 Câu 24. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Khi đó phần thực của z1 z2 là: A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 2 2 2 Câu 25. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 4 0 . Khi đó A | z1 | | z2 | có giá trị là A. 7 B. – 8 C. 4 D. 8 Câu 26. Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? Trang 4/21
5. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 2 2 2 Câu 27. Biết z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z2 là: 9 9 A. 4B. C. 9D. 4 4 Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z2 2z 2 0 A. 0B. 1 C. 2 D. Vô số nghiệm. Câu 29. Tìm các căn bậc hai của 9 . A. 3i B. 3C. 3i D. 3 Câu 30. Trong £ , phương trình z4 4 0 có nghiệm là: A. 1 4i ; 1 4i B. 1 2i ; 1 2i C. 1 3i ; 1 3i D. ± 1 i ; 1 i Câu 31. Giải phương trình z2 2z 7 0 trên tập số phức ta được nghiệm là: A. z 1 2 2i B. z 1 6i C. z 1 2i D. z 1 7i Câu 32. Căn bậc hai của số phức 4 6 5i là: A. 3 5i B. 3 5i C. 3 5i D. 2 Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 56i . Phần thực của z là: A. 6 B. 7 C. 4 D. –4 Câu 34. Tập nghiệm trong £ của phương trình z3 z2 z 1 0 là: A. i;i;1; 1 B. i;i;1 C. i; 1 D. i;i; 1 Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm 4 3i; 2 i là: A. z2 2 4i z 11 2i 0 B. z2 2 4i z 11 2i 0 C. z2 2 4i z 11 2i 0 D. z2 2 4i z 11 2i 0 Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z2 | z |2 z ? A. 3B. 0 C. 1 D. 2 Câu 37. Phương trình 2 i z2 az b 0 a,b £ có hai nghiệm là 3 i và 1 2i . Khi đó a ? A. 9 2i B. 15 5i C. 9 2i D. 15 5i 6 Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn z2 6z 13 0 . Tính z z i A. 17 và 4 B. 17 và 5C. 17 và 3D. 17 và 2 2 Câu 39. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 1 3i z 2 1 i 0 . Khi đó 2 2 w z1 z2 3z1z2 là số phức có môđun là: A. 2B. 13 C. 2 13 D. 20 Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z2 8 | z |2 3 0 là: A. 3B. 2 C. 4 D. 1 Câu 41. Tìm số phức z để z z z2 . A z 0; z 1 i B. z 0; z 1 i C. z 0; z 1 i; z 1 i D. z 1 i; z 1 i Câu 42. Với mọi số ảo z, số z2 | z |2 là: A. Số thực âm B. Số 0 C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 Câu 43. Trong trường số phức phương trình z3 1 0 có mấy nghiệm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm là: Trang 5/21
6. b 2 b 2 b 2 b 2 A. B. C. D. c 2 c 2 c 2 c 2 2 Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình z 7z 15 0 có hai nghiệm z1, z2 . Giá trị biểu thức z1 z2 z1z2 là: A. –7 B. 8 C. 15 D. 22 Câu 46. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i x 3 x 3 x 3 x 3 A. B. C. D. y 1 y 1 y 1 y 1 Câu 47. Trên tập số phức, cho phương trình sau: z i 4 4z2 0. Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực ¡ . 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức £ . 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực. 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức. 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức. 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0B. 1 C. 3 D. 2 Câu 48. Phương trình z6 9z3 8 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 2 Câu 49. Giả sử z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1 B. I 1;0 C. I 0;1 D. I 1;0 Câu 50. Cho phương trình z2 mz 6i 0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng m a bi a,b ¡ . Giá trị a 2b là: A. 0B. 1 C. 2 D. 1 4 z 1 Câu 51. Gọi z1, z2 , z2 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 1. Giá trị của 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 là: 17 17 9 17i A. B. C. D. 8 9 17 9 Câu 52. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2 mz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i là: A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i Câu 53. Cho phương trình z2 mz 2m 1 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương 2 2 trình có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1 z2 10 là: A. m 2 2 2i B. m 2 2 2i C. m 2 2 2i D. m 2 2 2i 2 Câu 54. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 8 0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức w 2z1 z2 z1 là: A.12 6i B. 10C. 8D. 12 6i Câu 55. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z4 1 0 trên tập số phức là bao nhiêu? A. 3B. 1 C. 2 D. 0 2 Câu 56. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M | z1 | | 3z1 z2 | là: Trang 6/21
7. A. 6 2 21 B. 6 2 21 C. 6 4 21 D. 6 4 21 Câu 57. Phương trình x4 2x2 24x 72 0 trên tập số phức có các nghiệm là: A. 2 i 2 hoặc 2 2i 2 B. 2 i 2 hoặc 1 2i 2 C. 1 2i 2 hoặc 2 2i 2 D. 1 2i 2 hoặc 2 2i 2 2 4 4 Câu 58. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 3z 7 0 . Khi đó A z1 z2 có giá trị là: A. 23B. 23 C. 13D. 13 Trang 7/21
8. E. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 C B B C B C D D D D B A A C D B A A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Trong £ , phương trình 2x2 x 1 0 có nghiệm là: 1 1 1 1 A. x 1 7i ; x 1 7i B. x 1 7i ; x 1 7i 1 4 2 4 1 4 2 4 1 1 1 1 C. x 1 7i ; x 1 7i D. x 1 7i ; x 1 7i 1 4 2 4 1 4 2 4 Hướng dẫn giải: Ta có: b2 4ac 12 4.2.1 7 7i2 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: 1 i 7 x 1,2 4 Vậy ta chọn đáp án A. Câu 2. Khai căn bậc hai số phức z 3 4i có kết quả: A. z1 1 2i; z2 1 2i B. z1 1 2i; z2 1 2i C. z1 1 2i; z2 1 2i D. z1 1 2i; z2 1 2i . Hướng dẫn giải: Giả sử w x yi x, y ¡ là một căn bậc hai của số phức z 3 4i . Ta có: x 1 2 2 2 x 1 2 x y 3 y 2 w2 z x yi 3 4i 2 2xy 4 y x 1 x y 2 Do đó z có hai căn bậc hai là: z1 1 2i z2 1 2i Ta chọn đáp án A. Câu 3. Trong £ , nghiệm của phương trình z3 8 0 là: A. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i B. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i C. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i D. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i Hướng dẫn giải: Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có: z 2 z 2 z3 8 0 z 2 z2 2z 4 0 2 2 z 2z 4 0 z 1 3 z 2 z 2 z 1 3i z 1 3i z 1 3i z 1 3i Trang 8/21
9. Ta chọn đáp án A. Câu 4. Trong £ , phương trình z z 2 4i có nghiệm là: A. z 3 4i B. z 2 4i C. z 4 4i D. z 5 4i Hướng dẫn giải: Đặt z a bi a,b ¡ z a2 b2 . Thay vào phương trình: a2 b2 a bi 2 4i a2 b2 a 2 a 3 Suy ra b 4 b 4 Ta chọn đáp án A. Câu 5. Hai giá trị x1 a bi; x2 a bi là hai nghiệm của phương trình: A. x2 2ax a2 b2 0 B. x2 2ax a2 b2 0 C. x2 2ax a2 b2 0 D. x2 2ax a2 b2 0 Hướng dẫn giải: S x x 2a Áp dụng định lý đảo Viet : 1 2 . 2 2 P x1.x2 a b 2 2 2 2 Do đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x Sx P 0 x 2ax a b 0 Ta chọn đáp án A. Câu 6. Trong £ , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là: z 3i z i z 1 i z 2 3i A. B. C. D. z 4i z 4i z 3i z 1 i Hướng dẫn giải: b2 4ac 3i 2 4.1.4 25 0 Nên phương trình có hai nghiệm phức là: 3i 5i z i 1 2 3i 5i z 4i 2 2 Ta chọn đáp án A. Câu 7. Trong £ , phương trình z2 z 1 0 có nghiệm là: 2 3i 1 5i 1 3i z z z z 3 5i 2 2 2 A. B. C. D. z 3 5i 2 3i 1 5i 1 3i z z z 2 2 2 Hướng dẫn giải: b2 4ac 1 2 4.1.1 3 0 Nên phương trình có hai nghiệm phức là: 1 3i x 1 2 1 3i x 2 2 Ta chọn đáp án A. Câu 8. Tính căn bậc hai của số phức z 8 6i ra kết quả: Trang 9/21
10. z 3 i z 3 i z 3 i z 3 i A. B. C. D. z 3 i z 3 i z 3 i z 3 i Hướng dẫn giải: Giả sử w x yi x, y ¡ là một căn bậc hai của số phức z 8 6i . x 3 2 2 2 x 9 2 x y 8 y 1 w2 z x yi 8 6i Ta có: 3 2xy 6 y x 3 x y 1 z1 3 i Do đó z có hai căn bậc hai là z2 3 i Ta chọn đáp án A. Câu 9. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 5 0 là: z 5 z 4 5i A. B. C. 5i D. 5i 4 z 5 z 5i Hướng dẫn giải: z2 5 0 z2 5 z i 4 5 Ta chọn đáp án A. Câu 10. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 5 12i là: z 2 3i z 2 3i A. B. z 2 3i C. z 2 3i D. z 2 3i z 2 3i Hướng dẫn giải: Giả sử z x yi x, y ¡ là một nghiệm của phương trình. z2 5 12i x yi 2 5 12i x2 y2 2xy 5 12i x 2 x2 4 x2 y2 5 y 3 6 2xy 12 y x 2 x y 3 z 2 3i Do đó phương trình có hai nghiệm là z 2 3i Ta chọn đáp án A. Câu 11. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 4z 5 0 là: z 2 i A. z 2 i B. z 2 i C. D. z 2 i z 2 i Hướng dẫn giải: z2 4z 5 0 z 2 2 1 z 2 i z 2 i Ta chọn đáp án A. Câu 12. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 2z 1 2i 0 là z1 2 i z1 i 2 z1 2 i z1 2 i A. B. C. D. z2 i z2 i z2 2 i z2 i Hướng dẫn giải: Trang 10/21
11. 2 2 z 1 1 i 2 i z 2z 1 2i 0 z 1 2i z 1 1 i z 1 1 i i Ta chọn đáp án A. Câu 13. Cho z 3 4i . Tìm căn bậc hai của z . A. 2 i và 2 i B. 2 i và 2 i C. 2 i và 2 i D. 3 2i và 3 2i Hướng dẫn giải: Giả sử w x yi x, y ¡ là một căn bậc hai của số phức z 3 4i . Ta có: x 2 2 2 2 x 4 2 x y 3 y 1 w2 z x yi 3 4i 2 2xy 4 y x 2 x y 1 z 2 i Do đó z có hai căn bậc hai là z 2 i Ta chọn đáp án A. Câu 14. Cho z 1 i . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z : 4 4 7 7 A. 2 cos isin và 2 cos isin 8 8 8 8 B. 2 cos isin 4 4 C. 2 cos isin 4 4 4 4 D. 2 cos isin và 2 cos isin 8 8 8 8 Hướng dẫn giải: Ta có z 1 i 2 cos isin có các căn bậc hai là: 4 4 4 7 7 4 w1 2 cos isin ;w2 2 cos isin 8 8 8 8 Ta chọn đáp án A. Câu 15. Trong £ , phương trình z2 i z2 2iz 1 0 có nghiệm là: 3 3 C. 1 2i ; 2 i ; 4iB. 1 i ; 1 i ; 2i 2 2 2 1 i 2 A. , 1 i , iD. 1 2i ; 15i ; 3i 2 2 Hướng dẫn giải: 2 1 i z i 2 2 z z i z 2iz 1 0 2 2 z i 0 z i Ta chọn đáp án A. Câu 16. Trong £ , phương trình z4 6z2 25 0 có nghiệm là: A. 8; 5i B. 3; 4i C. 5; 2i D. 2 i ; 2 i Hướng dẫn giải: Trang 11/21
12. 2 z 2 i z4 6z2 25 0 z2 3 16 0 z2 3 4i z2 3 4i z 2 i Ta chọn đáp án A. 1 Câu 17. Trong £ , phương trình z 2i có nghiệm là: z A. 1 3 i B. 5 2 i C. 1 2 i D. 2 5 i Hướng dẫn giải: 1 z 0 z 0 z 0 z 0 z 2i 2 z 1 2 i z 2 z 2 1 i z 2iz 1 0 z i 2 0 z i 2i Ta chọn đáp án A. Câu 18. Trong £ , phương trình z3 1 0 có nghiệm là: 2 i 3 1 i 3 1 i 5 5 i 3 A. 1; B. 1; C. 1; D. 1; 2 2 4 4 Hướng dẫn giải: z 1 z 1 z3 1 0 z 1 z2 z 1 0 2 1 3 z z 1 0 z 2 Ta chọn đáp án A Câu 19. Trong £ , phương trình z4 1 0 có nghiệm là: A 1; 2i B. 2; 2i C. 3; 4i D. 1; i Hướng dẫn giải: z 1 z 1 4 2 z 1 0 z 1 z 1 z 1 0 z 1 z 1 2 z 1 0 z i Ta chọn đáp án A. Câu 20. Trong £ , căn bậc hai của 121 là: A. 11i B. 11i C. 11 D. 11i và 11i Hướng dẫn giải: Ta có: z 121 z 11i 2 . Do đó z có hai căn bậc hai là z 11i; z 11i Ta chọn đáp án A. Câu 21. Phương trình 8z2 4z 1 0 có nghiệm là: 1 1 5 1 1 1 1 3 A z i; z i B. z i; z i 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1 C. z i; z i D. z i; z i 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 Hướng dẫn giải: 2 2i 1 i ' b'2 ac 4 8 4 0 z 1,2 8 4 4 Ta chọn đáp án A. 2 2 2 Câu 22. Biết z1; z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z2 là: 9 9 A. B.9 C. 4 D. 4 4 Hướng dẫn giải: Trang 12/21
13. b 3 S z1 z2 a 2 Theo Viet, ta có: c 3 P z .z 1 2 a 2 3 9 z2 z2 S 2 2P 3 1 2 4 4 Ta chọn đáp án A. Câu 23. Phương trình z2 az b 0 có một nghiệm phức là z 1 2i . Tổng 2 số a và b bằng: A. 0 B. 3 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Vì z 1 2i là một nghiệm của phương trình z2 az b 0 nên ta có: 1 2i 2 a 1 2i b 0 a b 2ai 3 4i a b 3 Ta chọn đáp án A. 2 2 2 Câu 24. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Khi đó phần thực của z1 z2 là: A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Hướng dẫn giải: b S z z 4 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 5 1 2 a 2 2 2 z1 z2 S 2P 16 2.5 6 Ta chọn đáp án A. 2 2 2 Câu 25. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 4 0 . Khi đó A | z1 | | z2 | có giá trị là A. 7 B. – 8 C. 4 D. 8 Hướng dẫn giải: z2 2z 4 0 z 1 2 3 0 z 1 3i 2 2 A | z1 | | z2 | 8 Ta chọn đáp án A. Câu 26. Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: z3 8 z 2 z2 2z 4 0 z 2 z 1 2 3 0 z 2 z 1 3i Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm. Ta chọn đáp án A. 2 2 2 Câu 27. Biết z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z2 là: 9 9 A. 4B. C. 9D. 4 4 Hướng dẫn giải: Trang 13/21
14. b 3 S z1 z2 a 2 Áp dụng định lý Viet, ta có: c 3 P z z 1 2 a 2 3 9 z2 z2 S 2 2P 3 1 2 4 4 Ta chọn đáp án A. Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z2 2z 2 0 A. 0B. 1 C. 2 D. Vô số nghiệm. Hướng dẫn giải: ' b'2 ac 1 2 1 0 nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực. Ta chọn đáp án A. Câu 29. Tìm các căn bậc hai của 9 . A. 3i B. 3C. 3i D. 3 Hướng dẫn giải: Ta có 9 9.i2 nên 9 có các căn bậc hai là 3i và 3i . Ta chọn đáp án A. Câu 30. Trong £ , phương trình z4 4 0 có nghiệm là: A. 1 4i ; 1 4i B. 1 2i ; 1 2i C. 1 3i ; 1 3i D. ± 1 i ; 1 i Hướng dẫn giải: z2 2i z 1 i z4 4 0 2 z 2i z 1 i Ta chọn đáp án A. Câu 31. Giải phương trình z2 2z 7 0 trên tập số phức ta được nghiệm là: A. z 1 2 2i B. z 1 6i C. z 1 2i D. z 1 7i Hướng dẫn giải: z2 2z 7 0 z 1 2 6 0 z 1 6i Ta chọn đáp án A. Câu 32. Căn bậc hai của số phức 4 6 5i là: A. 3 5i B. 3 5i C. 3 5i D. 2 Hướng dẫn giải: Giả sử w là một căn bậc hai của 4 6 5i . Ta có: 2 w2 4 6 5i w2 3 5i w 3 5 i . Ta chọn đáp án A. Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 56i . Phần thực của z là: A. 6 B. 7 C. 4 D. –4 Hướng dẫn giải: Ta có: 33 56i 7 4i 2 z 7 4i Do đó phần thực của z là 7. Ta chọn đáp án A. Câu 34. Tập nghiệm trong £ của phương trình z3 z2 z 1 0 là: A. i;i;1; 1 B. i;i;1 C. i; 1 D. i;i; 1 Hướng dẫn giải: Trang 14/21
15. 3 2 2 z 1 z z z 1 0 z 1 z 1 0 z i Ta chọn đáp án A. Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm 4 3i; 2 i là: A. z2 2 4i z 11 2i 0 B. z2 2 4i z 11 2i 0 C. z2 2 4i z 11 2i 0 D. z2 2 4i z 11 2i 0 Hướng dẫn giải: S  2 4i Áp dụng định lý Viet, ta có: . P . 11 2i Do đó ,  là hai nghiệm của phương trình: z2 Sz P 0 z2 2 4i z 11 2i 0 Ta chọn đáp án A. Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z2 | z |2 z ? A. 3B. 0 C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải: Gọi z a bi a,b ¡ là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có: z2 | z |2 z a bi 2 a2 b2 a bi a 2b2 bi 2abi 0 a 2b2 b 2ab i 0 2 a b 0 a 2b 0 2 1 a 2b 0 b 0 a 2 b 2ab 0 1 a 1 2 b 2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta chọn đáp án A. Câu 37. Phương trình 2 i z2 az b 0 a,b £ có hai nghiệm là 3 i và 1 2i . Khi đó a ? A. 9 2i B. 15 5i C. 9 2i D. 15 5i Hướng dẫn giải: Theo Viet, ta có: a S z z 4 i a i 4 i 2 a 9 2i 1 2 2 i Ta chọn đáp án A. 6 Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn z2 6z 13 0 . Tính z z i A. 17 và 4 B. 17 và 5C. 17 và 3D. 17 và 2 Hướng dẫn giải: z2 6z 13 0 z 3 2 4 0 z 3 2i +) Nếu z 3 2i : 6 6 9 15i 18 72i z 3 2i 1 4i z i 3 3i 3 3i 18 6 z 1 4i 17 z i +) Nếu z 3 2i : 6 6 13 9i 30 40i z 3 2i 3 4i z i 3 i 3 i 10 6 z 3 4i 5 z i Trang 15/21
16. Ta chọn đáp án A. 2 Câu 39. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 1 3i z 2 1 i 0 . Khi đó 2 2 w z1 z2 3z1z2 là số phức có môđun là: A. 2B. 13 C. 2 13 D. 20 Hướng dẫn giải: b S z z 1 3i 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 2 1 i 1 2 a 2 2 2 2 w z1 z2 3z1z2 S 5P 1 3i 10 1 i 2 4i | w | 4 16 20 Ta chọn đáp án A. Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z2 8 | z |2 3 0 là: A. 3B. 2 C. 4 D. 1 Hướng dẫn giải: Gọi z a bi a,b ¡ là nghiệm của phương trình. Ta có: 4 a bi 2 8 a 2 b2 3 0 4 a2 b2 2abi 8 a2 b2 3 0 12a2 4b2 8abi 3 0 12a2 4b2 3 4a2 b2 1 ab 0 ab 0 a 0 2a b 2 1 2 2 b 1 4a 4ab b 1 a 0 1 ab 0 a b 0 4 b 0 Vậy phương trình có 4 nghiệm phức Ta chọn đáp án A. Câu 41. Tìm số phức z để z z z2 . A z 0; z 1 i B. z 0; z 1 i C. z 0; z 1 i; z 1 i D. z 1 i; z 1 i Hướng dẫn giải: Gọi z a bi a,b ¡ là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có: a 1 a2 b2 0 2 2 2 a b 0 b 1 z z z2 a bi a bi a bi a 1 2ab 2b a 0 b 0 b 0 z 0 z 1 i z 1 i Ta chọn đáp án A. Câu 42. Với mọi số ảo z, số z2 | z |2 là: A. Số thực âm B. Số 0 C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 Hướng dẫn giải: Trang 16/21
17. Do z là số ảo nên z có dạng: z bi b ¡ . Ta có: z2 | z |2 bi 2 b2 b2 b2 0 . Ta chọn đáp án A. Câu 43. Trong trường số phức phương trình z3 1 0 có mấy nghiệm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải: z 1 3 2 z 1 0 z 1 z z 1 0 1 3i z 2 Vậy phương trình có ba nghiệm trong trường số phức. Ta chọn đáp án A. Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm là: b 2 b 2 b 2 b 2 A. B. C. D. c 2 c 2 c 2 c 2 Hướng dẫn giải: Do z 1 i là một nghiệm của z2 bz c 0 nên ta có: 2 b c 0 b 2 1 i b 1 i c 0 b c bi 2i 0 b 2 c 2 Ta chọn đáp án A. 2 Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình z 7z 15 0 có hai nghiệm z1, z2 . Giá trị biểu thức z1 z2 z1z2 là: A. –7 B. 8 C. 15 D. 22 Hướng dẫn giải: b S z z 7 1 2 a Theo Viet, ta có: z1 z2 z1z2 S P 7 15 8 c P z z 15 1 2 a Ta chọn đáp án A. Câu 46. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i x 3 x 3 x 3 x 3 A. B. C. D. y 1 y 1 y 1 y 1 Hướng dẫn giải: z3 18 26i x yi 3 18 26i x3 3x2 yi 3xy2 y3i 18 26i (x3 3xy2 ) 3x2 y y3 i 18 26i 3 2 2 2 x 3xy 18 x x 3y 18 3x2 y y3 26 2 2 y 3x y 26 Do x, y nguyên nên x 3 x 3 x2 3y2 6 y 1 2 2 x x 3y 18 x 6 x 6 loai 2 2 x 3y 3 y 11 Mà y 3x2 y2 26 x 3; y 1 Trang 17/21
18. Ta chọn đáp án A. Câu 47. Trên tập số phức, cho phương trình sau: z i 4 4z2 0. Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực ¡ . 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức £ . 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực. 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức. 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức. 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0B. 1 C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải: z i 4 4z2 0 z i 4 4z2 2 z i 2iz z2 1 0 z 1 z 1 2 2 2 z 2i 3 0 z 2 3 i z i 2iz z 4iz 1 0 Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng. Ta chọn đáp án A. Câu 48. Phương trình z6 9z3 8 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 Hướng dẫn giải: Ta có: z6 9z3 8 0 z 1 z 2 z2 z 1 z2 2z 4 0 z 1 z 2 3 z 1 1 i 3 Ta chọn đáp án A. 2 Câu 49. Giả sử z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1 B. I 1;0 C. I 0;1 D. I 1;0 Hướng dẫn giải: z2 2z 5 0 z 1 2 4 0 z 1 2i A 1;2 ; B 1; 2 Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I 1;0 . Ta chọn đáp án A. Câu 50. Cho phương trình z2 mz 6i 0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng m a bi a,b ¡ . Giá trị a 2b là: A. 0B. 1 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho b S z z m 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 6i 1 2 a Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có: Trang 18/21
19. 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2 S 2P m 12i 5 m 5 12i m 3 2i m 3 2i a 3;b 2 a 2b 3 4 1 Ta chọn đáp án A. 4 z 1 Câu 51. Gọi z1, z2 , z2 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 1. Giá trị của 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 là: 17 17 9 17i A. B. C. D. 8 9 17 9 Hướng dẫn giải: i Với mọi z , ta có: 2 z 1 i z 1 1 i 4 1 z z 1 2z i 3 1 2z i z 1 2 4i i z 2z i 5 z 0 2 2 2 1 i 2 4i P z2 1 z2 1 z2 1 z2 1 1 i 1 1 1 1 2 3 4 9 25 9 2i 13 16i 425 17 1 2i . 9 25 9.25 9 Ta chọn đáp án A. Câu 52. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2 mz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i là: A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i Hướng dẫn giải: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình. b S z1 z2 m a 2 2 2 2 Theo Viet, ta có: z1 z2 S 2P m 2i c P z .z i 1 2 a Ta có: m2 2i 4i m2 2i m2 1 i 2 m 1 i Ta chọn đáp án A. Câu 53. Cho phương trình z2 mz 2m 1 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương 2 2 trình có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1 z2 10 là: A. m 2 2 2i B. m 2 2 2i C. m 2 2 2i D. m 2 2 2i Hướng dẫn giải: b S z z m 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 2m 1 1 2 a 2 2 2 2 2 z1 z2 10 S 2P 10 m 2 2m 1 10 m 4m 12 0 m 2 2 8 0 m 2 2 2i Trang 19/21
20. Ta chọn đáp án A. 2 Câu 54. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 8 0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức w 2z1 z2 z1 là: A.12 6i B. 10C. 8D. 12 6i Hướng dẫn giải: 2 2 z1 1 7i z 2z 8 0 z 1 7 0 z 1 7i z2 1 7i w 2z z z 2 1 7i 1 7i 1 7i 1 7i 1 7i 1 7 8 1 2 1 Câu 55. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z4 1 0 trên tập số phức là bao nhiêu? A. 3B. 1 C. 2 D. 0 Hướng dẫn giải: 4 z 1 z 1 0 z i Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1 1 0 Ta chọn đáp án A. 2 Câu 56. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M | z1 | | 3z1 z2 | là: A. 6 2 21 B. 6 2 21 C. 6 4 21 D. 6 4 21 Hướng dẫn giải: z2 2z 6 0 z 1 2 5 0 z 1 5i z1 1 5i; z2 1 5i M | z1 | | 3z1 z2 | 1 5i 2 4 5i 6 84 6 2 21 Ta chọn đáp án A. Câu 57. Phương trình x4 2x2 24x 72 0 trên tập số phức có các nghiệm là: A. 2 i 2 hoặc 2 2i 2 B. 2 i 2 hoặc 1 2i 2 C. 1 2i 2 hoặc 2 2i 2 D. 1 2i 2 hoặc 2 2i 2 Hướng dẫn giải: x4 2x2 24x 72 0 x2 4x 6 x2 4x 12 0 2 x2 4x 6 0 x 2 2 0 x 2 2i 2 2 x 4x 12 0 x 2 8 0 x 2 2 2i Ta chọn đáp án A. 2 4 4 Câu 58. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 3z 7 0 . Khi đó A z1 z2 có giá trị là: A. 23B. 23 C. 13D. 13 Hướng dẫn giải: b S z z 3 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 7 1 2 a 4 4 2 2 2 2 A z1 z2 S 2P 2P 3 2.7 2.49 23 Ta chọn đáp án A. Trang 20/21