Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Có đáp án)

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Có đáp án)

1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 3 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 3 B - BÀI TẬP 3 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 6 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 11 DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG KHÔNG GIAN 13 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP. 17
2. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Các tính chất. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng . Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 2. Các cách xác định một mặt phẳng Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC)) Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d)) Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b)) 3. Các quy tắc vẽ hình, biểu diễn của hình không gian Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt. 4. Hình chóp và hình tứ diện. a) Hình chóp. Trong mặt phẳng cho đa giác lồi A1 A2 An . Lấy điểm S nằm ngoài . Lần lượt nối S với các đỉnh A1, A2 , , An ta được n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 . Hình gồm đa giác A1 A2 An và n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 được gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1 A2 An . Ta gọi S là đỉnh, đa giác A1 A2 An là đáy, các đoạn SA1, SA2 , , SAn là các cạnh bên, A1 A2 , A2 A3 , , An A1 là các cạnh đáy, các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 là các mặt bên b) Hình Tứ diện Cho bốn điểm A, B,C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là tứ diện ABCD . B - BÀI TẬP Câu 1: Cho 2 đường thẳng a,b cắt nhau và không đi qua điểm A . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn B. Có 3 mặt phẳng gồm a,b , A,a , B,b . Câu 2: Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Có C4 1 7 mặt phẳng.
3. Câu 3: Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải: Chọn C. Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn 3 điểm đã cho là C4 4. Câu 4: Trong mp , cho bốn điểm A , B , C , D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm S mp . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong số bốn điểm nói trên? A. 4. B. 5 . C. 6. D. 8 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Điểm S cùng với hai trong số bốn điểm A , B , C , D tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có 6 cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả 6 mặt phẳng tạo bởi S và hai trong số bốn điểm nói trên. Câu 5: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD , điểm E . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm A, B,C, D, E ? A. 6. B. 7. C. 8 . D. 9 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điểm E và 2 điểm bất kì trong 4 điểm A, B,C, D tạo thành 6 mặt phẳng, bốn điểm A, B,C, D tạo thành 1 mặt phẳng. Vậy có tất cả 7 mặt phẳng. Câu 6: Cho năm điểm A , B , C , D , E trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho? A. 10. B. 12. C. 8 . D. 14. Hướng dẫn giải: Chọn A. Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm A , B , C , D , E ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có 10 cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có 10 phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho. Câu 7: Trong các hình sau : (I) A A (II)A (III) A (IV) D C C B B D B D B C C D Hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn Câu đúng nhất) A. (I). B. (I), (II). C. (I), (II), (III). D. (I), (II), (III), (IV). Hướng dẫn giải: Chọn B. Hình (III) sai vì đó là hình phẳng. Câu 8: Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là : A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh. C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh. Hướng dẫn giải: Chọn C. Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.
4. Câu 9: Một hình chóp cụt có đáy là một n giác, có số mặt và số cạnh là : A. n 2 mặt, 2n cạnh. B. n 2 mặt, 3n cạnh. C. n 2 mặt, n cạnh. D. n mặt, 3n cạnh. Hướng dẫn giải: Chọn A. Lấy ví dụ hình chóp cụt tam giác ( n 3) có 5 mặt và 9 cạnh đáp án B. Câu 10: Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu? A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 6. Hướng dẫn giải: Chọn D. Hình tứ diện là hình chóp có số cạnh ít nhất. Câu 11: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. D. Nếu ba điểm phân biệt M, N,P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng chung B sai.
5. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ( ) cần thực hiện: - Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của ( ) và ( ) . - Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm ( AB ( )  ( ) ). Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD M và AB CD N. Giao tuyến của mặt phẳng SAC và mặt phẳng SBD là đường thẳng A. SN. B. SC. C. SB. D. SM. Hướng dẫn giải: Chọn D. Giao tuyến của mặt phẳng SAC và mặt phẳng SBD là đường thẳng SM. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD M và AB CD N. Giao tuyến của mặt phẳng SAB và mặt phẳng SCD là đường thẳng A. SN. B. SA. C. MN. D. SM. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AB / /CD . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp S.ABCD có 4mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là SO ( O là giao điểm của AC và BD ). C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là SI ( I là giao điểm của AD và BC ). D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SAD là đường trung bình của ABCD . Hướng dẫn giải: Chọn D.
6. Hình chóp S.ABCD có 4mặt bên SAB , SBC , SCD , SAD nên A đúng. S , O là hai điểm chung của SAC và SBD nên B đúng. S , I là hai điểm chung của SAD và SBC nên C đúng. Giao tuyến của SAB và SAD là SA , rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD . Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO . Gọi I, J là hai điểm trên cạnh BC , BD . Giả sử IJ cắt CD tại K , BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H , ME cắt AH tại F . Giao tuyến của hai mặt phẳng MIJ và ACD là đường thẳng: A. KM . B. AK . C. MF . D. KF . Hướng dẫn giải: Chọn D. Do K là giao điểm của IJ và CD nên K MIJ  ACD (1) Ta có F là giao điểm của ME và AH Mà AH  ACD , ME  MIJ nên F MIJ  ACD (2) Từ (1) và (2) có MIJ  ACD KF Câu 5: Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ACD và GAB là: A. AM , M là trung điểm AB . B. AN , N là trung điểm CD . C. AH , H là hình chiếu của B trên CD . D. AK , K là hình chiếu của C trên BD . Hướng dẫn giải: Chọn B.
7. A là điểm chung thứ nhất của ACD và GAB G là trọng tâm tam giác BCD , N là trung điểm CD nên N BG nên N là điểm chung thứ hai của ACD và GAB . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ACD và GAB là AN . Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I là trung điểm của SD , J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC . Giao tuyến của hai mặt phẳng ABCD và AIJ là: A. AK , K là giao điểm IJ và BC . B. AH , H là giao điểm IJ và AB . C. AG , G là giao điểm IJ và AD . D. AF , F là giao điểm IJ và CD . Hướng dẫn giải: Chọn D. A là điểm chung thứ nhất của ABCD và AIJ IJ và CD cắt nhau tại F , còn IJ không cắt BC , AD , AB nên F là điểm chung thứ hai của ABCD và AIJ . Vậy giao tuyến của ABCD và AIJ là AF . Câu 7: phẳng MBD và ABN là: A. MN . B. AM . C. BG , G là trọng tâm tam giác ACD . D. AH , H là trực tâm tam giác ACD . Hướng dẫn giải: Chọn C. B là điểm chung thứ nhất của MBD và ABN . G là trọng tâm tam giác ACD nên G AN,G DM do đó G là điểm chung thứ hai của MBD và ABN . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng MBD và ABN là BG . Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và SAC là: A. SD . B. SO , O là tâm hình bình hành ABCD . C. SG , G là trung điểm AB . D. SF , F là trung điểm CD .
8. Hướng dẫn giải: Chọn B. S là điểm chung thứ nhất của SMN và SAC . O là giao điểm của AC và MN nên O AC,O MN do đó O là điểm chung thứ hai của SMN và SAC . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng SMN và SAC là SO . Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm SA và SB . Khẳng định nào sau đây là sai? A. IJCD là hình thang. B. SAB  IBC IB . C. SBD  JCD JD . D. IAC  JBD AO , O là tâm hình bình hành ABCD . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có IAC  SAC và JBD  SBD . Mà SAC  SBD SO trong đó O là tâm hình bình hành ABCD . Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD€BC . Gọi M là trung điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là: A. SI , I là giao điểm AC và BM . B. SJ , J là giao điểm AM và BD . C. SO , O là giao điểm AC và BD . D. SP , P là giao điểm AB và CD . Hướng dẫn giải: Chọn A. S là điểm chung thứ nhất của MSB và SAC . I là giao điểm của AC và BM nên I AC , I BM do đó I là điểm chung thứ hai của MSB và SAC . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là SI . Câu 11: Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm CD , I là điểm trên đoạn thẳng AG , BI cắt mặt phẳng ACD tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM ACD  ABG . B. A , J , M thẳng hàng. C. J là trung điểm AM . D . DJ ACD  BDJ . Hướng dẫn giải:
9. Chọn C. Ta có A ACD  ABG , M BG M ACD  ABG nên M CD AM ACD  ABG . Nên AM ACD  ABG vậy A đúng. A , J , M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt ACD , ABG nên A , J , M thẳng hàng, vậy B đúng. Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM . Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD / /BC . Gọi I là giao điểm của AB và DC , M là trung điểm SC . DM cắt mặt phẳng SAB tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. S , I , J thẳng hàng. B. DM  mp SCI . C. JM  mp SAB . D. SI SAB  SCD . Hướng dẫn giải: Chọn C. S , I , J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp SAB và SCD nên A đúng. M SC M SCI nên DM  mp SCI vậy B đúng. M SAB nên JM  mp SAB vậy C sai. Hiển nhiên D đúng theo giải thích A.
10. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) là xét hai khả năng xảy ra: - Trường hợp 1: ( ) chứa đường thẳng và cắt đường thẳng d tại I . Khi đó: I d  I d  ( ) d  d I I - Trường hợp 2: ( ) không chứa đường thẳng nào cắt d . + Tìm ( )  d và ( )  ( ) ; + Tìm I d  ; I d  ( ) . Câu 1: Cho bốn điểm A, B,C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây: A. BCD . B. ABD . C. CMN . D. ACD . Hướng dẫn giải: Chọn D. A M N B I D C I BD I (BCD),(ABD) I MN I (CMN) Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA . a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD . A. Điểm H, trong đó E AB CD , H SA EM B. Điểm N, trong đó E AB CD , N SB  EM C. Điểm F, trong đó E AB CD , F SC  EM D. Điểm T, trong đó E AB CD ,T SD  EM b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng SBD .
11. A. Điểm H, trong đó I AC  BD , H MA SI B. Điểm F, trong đó I AC  BD , F MD  SI C. Điểm K, trong đó I AC  BD , K MC  SI D. Điểm V, trong đó I AC  BD , V MB  SI Hướng dẫn giải: a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi E AB CD . S Trong SAB gọi. Ta có N EM  MCD N MCD và N SB nên N SB  MCD . M b) Trong ABCD gọi I AC  BD . Trong SAC gọi K MC  SI . N K A Ta có K SI  SBD và K MC nên I D K MC  SBD . B C E Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , M là một điểm trên cạnh SC , N là trên cạnh BC . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN . A. Điểm K, trong đó K IJ  SD , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD B. Điểm H, trong đó H IJ  SA , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD C. Điểm V, trong đó V IJ  SB , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD D. Điểm P, trong đó P IJ  SC , I SO  AM , O AC  BD, J AN  BD Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ABCD gọi O AC  BD, J AN  BD . S Trong SAC gọi I SO  AM và K IJ  SD . Ta có I AM  AMN , J AN  AMN IJ  AMN . K I A M Do đó K IJ  AMN K AMN . B Vậy K SD  AMN J N O D C
12. DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG KHÔNG GIAN a) Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.  d A B C tức là: - Tìm d ( )  ( ) ; - Chỉ ra (chứng minh) d đi qua ba điểm A, B,C A, B,C thẳng hàng. Hoặc chứng minh đường thẳng AB đi qua C A, B,C thẳng hàng. b) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại. d3 d I 1 d2 Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại. - Bước 1: Tìm I d1  d2 . - Bước 2: Chứng minh d3 đi qua I . d1,d2 ,d3 đồng quy tại I . Phương pháp 2 Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và dôi một ở trong ba mặt phẳng phân biệt. - Bước 1: Xác định d1,d2  ( ); d1  d2 I1 d2 ,d3  ( ); d2  d3 I2 trong đó ( ) , ( ) , ( ) phân biệt d3 ,d1  ( ); d3  d1 I3 - Bước 2: Kết luận d1,d2 ,d3 đồng quy tại I  I1  I2  I3 . Câu 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD . Mặt phẳng qua MN cắt AD và BC lần lượt tại P , Q . Biết MP cắt NQ tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I , A , C . B. I , B , D . C. I , A , B . D. I , C , D . Hướng dẫn giải:
13. Chọn B. Ta có MP cắt NQ tại I I MP I ABD . I NQ I CBD I ABD  CBD . I BD . Vậy I , B , D thẳng hàng. Câu 2: Cho tứ diện SABC . Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF cắt BC tại J , FD cắt CA tại K .Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ba điểm B, J, K thẳng hàng B. Ba điểm I, J, K thẳng hàng C. Ba điểm I, J, K không thẳng hàng D. Ba điểm I, J,C thẳng hàng Hướng dẫn giải: Ta có I DE  AB, DE  DEF I DEF ; AB  ABC I ABC 1 .Tương tự J EF  BC S J EF DEF 2 K DF  AC J BC  ABC D F K DF  DEF 3 Từ (1),(2) và (3) ta K K AC  ABC A E C có I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng ABC và DEF nên chúng thẳng hàng. B I J Câu 3: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M , N . Một mặt phẳng  đi qua BC cắt SD, SA tương ứng tại P và Q . a) Gọi I AM  DN, J BP  EQ . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm S, I, J,G thẳng hàng. B. Bốn điểm S, I, J,G không thẳng hàng. C. Ba điểm P, I, J thẳng hàng. D. Bốn điểm I, J,Q thẳng hàng. b) Giả sử K AN  DM , L BQ  EP . Khằng định nào sau đây là đúng? A. Ba điểm S, K, L thẳng hàng. B. Ba điểm S, K, L không thẳng hàng C. Ba điểm B, K, L thẳng hàng D. Ba điểm C, K, L thẳng hàng Hướng dẫn giải: a) Ta có S SAE  SBD , (1) L S G AE  SAE G AE  BD G BD  SBD Q G SAE K N 2 P G SBD J M I A D C G E B
14. I DN  SBD I AM  DN I AM  SAE I SBD 3 I SAE J BP  SBD J SBD J BP  EQ 4 J EQ  SAE J SAE Từ (1),(2),(3) và (4) ta có S, I, J,G là điểm chung của hai mặt phẳng SBD và SAE nên chúng thẳng hàng. Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tưng ứng tại các điểm M , N, P,Q . Khẳng định nào đúng? A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui. B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau. C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song. D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau. Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng MNPQ gọi I MP  NQ . S Ta sẽ chứng minh I SO . Dễ thấy SO SAC  SBD . I MP  SAC Q M I I NQ  SBD N P I SAC D I SO I SBD A Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I . O B C Câu 5: Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong P lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc P . Các đường thẳng SA, SB cắt Q tương ứng tại các điểm C, D . Gọi E là giao điểm của AB và a.Khẳng định nào đúng? A. AB,CD và a đồng qui. B. AB,CD và a chéo nhau. C. AB,CD và a song song nhau. D. AB,CD và a trùng nhau Hướng dẫn giải: Trước tiên ta có S AB vì ngược lại thì S AB  P S P (mâu thuẫn giả thiết) do đó S, A, B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng SAB . C SA  SAB Do C SA Q Q C C Q D C SAB 1 a C Q E B A P S
15. D SB  SAB D SAB Tương tự D SB  Q 2 D Q D Q Từ (1) và (2) suy ra CD SAB  Q . E AB  SAB E SAB Mà E AB  a E CD . E a  Q E Q Vậy AB,CD và a đồng qui đồng qui tại E .
16. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP. Phương pháp: Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1 A2 An cắt bởi mặt phẳng , ta tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp) Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng và  thường được tìm như sau : γ β b A a α Tìm hai đường thẳng a,b lần lượt thuộc và  , đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng  nào đó; giao điểm M a b chính là điểm chung của và  . Câu 1: Cho ABCD là một tứ giác lồi. Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp S.ABCD ? A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. Hướng dẫn giải: Chọn D. Hình chóp S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của hình chóp có tối đa 5 cạnh. Vậy thiết diện không thể là lục giác. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. Hướng dẫn giải: Chọn A. Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp. Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến. Hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của với S.ABCD có không qua 5 cạnh, không thể là hình lục giác 6 cạnh. Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB . Mặt phẳng ADM cắt hình chóp theo thiết diện là A. tam giác.B. hình thang. C. hình bình hành.D. hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD . a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì? A. Tam giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành
17. b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành Hướng dẫn giải: a) Trong mặt phẳng ABCD , gọi S E AB CD . Trong mặt phẳng SCD gọi Q SC  EP . Ta có E AB nên EP  ABP Q ABP P , do đó Q SC  ABP . A Q Thiết diện là tứ giác ABQP . B D C E b)Trong mặt phẳng ABCD gọi F,G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD Trong mặt phẳng SAD gọi H SA FP Trong mặt phẳng SCD gọi K SC  PG . S Ta có F MN F MNP , P FP  MNP H MNP H H SA Vậy H SA MNP Tương F A H MNP D K tự K SC  MNP . M Thiết diện là ngũ giác MNKPH . B N C G Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD . Điểm C nằm trên cạnh SC . Thiết diện của hình chóp với mp ABC là một đa giác có bao nhiêu cạnh? A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 6. Hướng dẫn giải: Chọn B. Xét ABA và SCD có A SC, SC  SCD A là điểm chung 1. A ABA S Gọi I AB CD I AB, AB  ABA M Có I là điểm chung 2. I CD,CD  SCD ABA  SCD IA A' Gọi M IA  SD . A D Có ABA  SCD A M ABA  SAD AM C B I
18. ABA  ABCD AB ABA  SBC BA Thiết diện là tứ giác ABA M . Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng IBC là: A. Tam giác IBC. B. Hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ). D. Tứ giác IBCD . Hướng dẫn giải: Chọn B. S Gọi O là giao điểm của AC và BD , G là giao điểm của CI và SO . Khi đó G là trọng tâm tam giác SAC . Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD . I J Gọi J BG  SD . Khi đó J là trung điểm SD . Do đó thiết điện của hình chóp cắt bởi IBC là hình thang IJCB ( B G C J là trung điểm SD ). O A D Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P là ba điểm trên các cạnh AD,CD, SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) là hình gì? A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của MN với DA, DB, DC . Trong mặt phẳng SDB gọi H KP  SB Trong mặt phẳng SAB gọi T EH  SA S Trong mặt phẳng SBC gọi R FH  SC . H E MN R Ta có EH  MNP , T P H KP F N T SA D C T SA MNP . K T EH  MNP M O E A B Lí luận tương tự ta có R SC  MNP . Thiết diện là ngũ giác MNRHT . Câu 8: Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là trung điểm AB và AC . Mặt phẳng ( ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác T . Khẳng định nào sau đây đúng? A. T là hình chữ nhật. B. T A là tam giác. C. T là hình thoi. D. T M là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành. Hướng dẫn giải: N D Chọn D. B C
19. qua MN cắt AD ta được thiết diện là một tam giác. qua MN cắt hai cạnh BD và CD ta được thiết diện là một hình thang. Đặc biệt khi mặt phẳng này đi qua trung điểm của BD và CD , ta được thiết diện là một hình bình hành. Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNQ là đa giác có bao nhiêu cạnh ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải: Chọn C. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNQ là ngũ giác MNPQR. Đa giác này có 5 cạnh. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) SAC và SBD A. SC B. SB C. SO trong đóO AC  BD D. S b) SAC và MBD A. SM B. MB C. OM trong đóO AC  BD D. SD c) MBC và SAD A. SM B. FM trong đó F BC  AD C. SO trongO AC  BD D. SD d) SAB và SCD A. SE trong đó E AB CD B. FM trong đó F BC  AD C. SO trongO AC  BD D. SD Hướng dẫn giải: a) Gọi O AC  BD O AC  SAC S O BD  SBD Lại có S SAC  SBD M O SAC  SBD SO SAC  SBD . A D F O C B E
20. b) O AC  BD O AC  SAC O BD  MBD O SAC  MBD . Và M SAC  MBD OM SAC  MBD . c) Trong ABCD gọi F BC  MBC F BC  AD F MBC  SAD F AD  SAD Và M MBC  SAD FM MBC  SAD d) Trong ABCD gọi E AB CD , ta có SE SAB  SCD . Câu 11: Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC . A. PC trong đó P DC  AN , N DO  BC B. PC trong đó P DM  AN , N DA BC C. PC trong đó P DM  AB , N DO  BC D. PC trong đó P DM  AN , N DO  BC b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABD . A. DR trong đó R CM  AQ , Q CA BD B. DR trong đó R CB  AQ , Q CO  BD C. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BA D. DR trong đó R CM  AQ , Q CO  BD c) Gọi I, J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD . A. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BE  IA, E BO CD B. FG trong đó F IACD , G KM  AE , K BA IJ , E BO CD C. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BA IJ , E BO CD D. FG trong đó F IJ CD , G KM  AE , K BE  IJ , E BO CD Hướng dẫn giải: a) Trong BCD gọi N DO  BC , trong A ADN gọi P DM  AN P DM  CDM R G P AN  ABC P M P CDM  ABC D Lại có Q J C CDM  ABC PC CDM  ABC B O E . K I b)Tương tự, trong BCD gọi Q CO  BD , N trong ACQ gọi R CM  AQ C F
21. R CM  CDM R CDM  ABD R AQ  ABD D là điểm chung thứ hai của MCD và ABD nên DR CDM  ABD . c) Trong BCD gọi E BO CD, F IJ CD , K BE  IJ ; trong ABE gọi G KM  AE . F IJ  IJM G KM  IJM Có F IJM  ACD , F CD  ACD G AE  ACD