Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

56 trang nhungbui22 12/08/2022 3900

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_dai_so_va_giai_tich_lop_11_chuong_3_day_so_cap_so_co.docx

Nội dung text: Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học A. LÝ THUYẾT Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau: - Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1. - Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n k 1 (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với n k 1. B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương n , đặt S 12 22 n2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? n(n 1)(n 2) n(n 1)(2n 1) A. S .B. S . 6 3 n(n 1)(2n 1) n(n 1)(2n 1) C. S .D. S . 6 2 Đáp án C. Lời giải Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi n ¥ * , ta có đẳng n(n 1)(2n 1) thức 12 22 32 n2 . 6 1(1 1)(2.1 1) - Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 12 1, vế phải bằng 1. 6 Vậy đẳng thức đúng với n 1. -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, tức là chứng minh (k 1)(k 1) 12(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3) 12 22 32 k 2 (k 1)2 . 6 6 Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là chứng minh (k 1)(k 1) 12(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3) 12 22 32 k 2 (k 1)2 . 6 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k 1)(k 1)(2k 1) 12 22 32 k 2 (k 1)2 (k 1)2. 6 (k 1)(k 1)(2k 1) k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(k 2)(2k 3) Mà (k 1)2 . 6 6 6 (k 1)(k 2)(2k 3) Suy ra 12 22 32 k 2 (k 1)2 . 6 Do đó đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra có điều phải chứng minh. Vậy phương án đúng là C. Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n. + Với n 1 thì S 12 1 (loại được các phương án B và D); + Với n 2 thì S 12 22 5 (loại được phương án A). Vậy phương án đúng là C. STUDY TIP Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau: n(n 1) 1) 1 2 n . 2
n2 (n 1)2 2) 13 23 n3 . 4 n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1) 3) 14 24 n4 . 30 n2 (n 1)2 (2n2 2n 1) 4) 15 25 n5 . 12 n(n 1)(n 2)(n 3) 5) 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) . 4 Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây: Câu 1. Với mỗi số nguyên n, đặt S 12 22 n2. Mệnh đề nào dưới đây là sai? 1 1 3 1 A. S 2n3 3n2 n .B. S n 1 n 1 n3 n . 6 6 6 2 1 3 n n 1 2n 1 C. S 2 n 1 3n n 1 2 n 1 . D. S . 6 6 Câu 2. Với mỗi số nguyên dương n, ta có 12 22 n2 an3 bn2 cn, trong đó a, b, c là các hằng số. Tính giá trị của biểu thức M ab2 bc2 ca2. 25 25 A. M 25 .B. M .C. M .D. M 23 . 216 6 Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n, để 12 22 n2 2017 . A. n 18.B. n 20 . C. n 17 .D. n 19. Câu 4. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n, thoả mãn 12 22 n2 2018. A. S 153. B. S 171.C. S 136 .D. S 190 . Ví dụ 2. Đặt Tn 2 2 2 2 (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. T 3 . B. T 2cos . C. T cos . D. T 5 . n n 2n 1 n 2n 1 n Đáp án B. Lời giải Ta chứng minh T 2cos bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy: n 2n 1 Bước 1: Với n 1 thì vế trái bằng 2 , còn vế phải bằng 2cos 2cos 2 . 21 1 4 Vậy đẳng thức đúng với n 1. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là T 2cos . k 2k 1 Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là chứng minh T 2cos . k 1 2k 2 Thật vậy, vì T 2 T nên theo giả thiết quy nạp ta có T 2 T 2 2cos . k 1 k k 1 k 2k 1 2 2 Mặt khác, 1 cos k 1 1 cos 2. k 2 2cos k 2 nên Tk 1 2.2cos k 2 2cos k 2 . 2 2 2 2 2 Vậy phương án đúng là B. STUDY TIP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n . + Với n 1 thì T1 2 (loại ngay được phương án A, C và D). Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây: 511 Câu 1. Đặt T 2 2 2 2 (có n dấu căn). Tìm n để T 2sin . n n 1024 A. n 10 . B. n 9 . C. n 11. D. n 8 . * Câu 2. Cho dãy số un xác định bởi u1 2 và un 1 2 un ,n ¥ . Số hạng tổng quát của dãy số un là: A. u 2sin . B. u 2cos . n 2n 1 n 2n 1 C. u cos . D. u sin . n 2n 1 n 2n 1 1 1 1 Ví dụ 3. Đặt S ,với n ¥ * .Mệnh đề nào dưới đây đúng? n 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) n 1 3n 1 n n 2 A. S . B. S . C. S . D. S . n 2(2n 1) n 4n 2 n 2n 1 n 6n 3 Đáp án C. Lời giải Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện. 1 1 1 1 Với mọi số nguyên dương k , ta có . (2k 1)(2k 1) 2 2k 1 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Do đó: Sn 1 1 . 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 Vậy phương án đúng là phương án C. Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n. 1 1 Với n 1thì S (chưa loại được phương án nào); 1 1.3 3 1 1 2 Với n 2 thì S (loại ngay được các phương án A,B và D. 2 1.3 3.5 5 Vậy phương án đúng là phương án C. Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây: 1 1 1 an b Câu 1. Với n ¥ * ,biết rằng . Trong đó a,b,c là các số 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) cn 1 nguyên. Tính giá trị biểu thức P a2 b3 c4 . A. P 17 . B. P 10. C. P 9. D. P 19. 1 1 1 an b Câu 2. Với n ¥ * ,biết rằng . Trong đó a,b,c là các số 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 4n c nguyên.Tính giá trị biểu thức T a b c a2 b2 c2 . A. T 40 . B. T 4. C. T 32 . D. T 16 .
2 1 1 1 an bn c * Câu 3.Biết rằng 2 ,trong đó n ¥ và a,b,c là các số 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 2n 1 nguyên. Tính giá trị biểu thức F a b a c . A. F 9 . B. F 6 . C. F 8 . D. F 27 . Câu 4. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình 1 1 1 17 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 35 A. S 153. B. S 136 . C. S 272 . D. S 306 . Ví dụ 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 1 n2 3n. A. n 3 .B. n 5 .C. n 6 .D. n 4 . Đáp án D. Lời giải Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n 1,2,3,4, ta dự đoán được 2n 1 n2 3n, với n 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây: -Bước 1: Với n 4 thì vế trái bằng 24 1 25 32, còn vế phải bằng 42 3.4 28. Do 32 28 nên bất đẳng thức đúng với n 4. -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k 4, nghĩa là 2k 1 k 2 3k. Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là phải chứng minh 2 k 1 1 k 1 2 3 k 1 hay 2k 2 k 2 5k 4. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k 1 k 2 3k. Suy ra 2.2k 1 2 k 2 3k hay 2k 2 2k 2 6k Mặt khác 2k 2 6k k 2 5k 4 k 2 k 4 42 4 4 16 với mọi k 4. Do đó 2k 2 2 k 2 3k k 2 5k 4 hay bất đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy phương án đúng là D. STUDY TIP Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau: Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất sao cho: 2n 1 n2 3n,n p,n ¥ * A. p 3 .B. p 5 .C. p 4 .D. p 7 . C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n 3 , là: A. S n.180.B. S n 2 .180. C. S n 1 .180 .D. S n 3 .180 . Câu 2. Với n ¥ * , hãy rút gọn biểu thức S 1.4 2.7 3.10 n 3n 1 . A. S n n 1 2 .B. S n n 2 2 . C. S n n 1 .D. S 2n n 1 . * * Câu 3. Kí hiệu k! k k 1 2.1,k ¥ . Với n ¥ , đặt Sn 1.1! 2.2! n.n!. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Sn 2.n!.B. Sn n 1 ! 1. C. Sn n 1 !.D. Sn n 1 ! 1. * 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 4. Với n ¥ , đặt Tn 1 2 3 2n và M n 2 4 6 2n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
T 4n 1 T 4n 1 T 8n 1 T 2n 1 A. n .B. n .C. n . D. n . M n 2n 2 M n 2n 1 M n n 1 M n n 1 Câu 5. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n 2n 1 với mọi số nguyên n p . A. p 5 .B. p 3 . C. p 4 .D. p 2 . Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của n ¥ * sao cho 2n n2 . A. n 5 .B. n 1 hoặc n 6 .C n 7 . D. n 1 hoặc n 5 . 1 1 1 an b Câu 7. Với mọi số nguyên dương n , ta có: , trong đó a,b,c là 2.5 5.8 3n 1 3n 2 cn 4 các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T ab2 bc2 ca2 . A. T 3.B. T 6 . C. T 43 . D. T 42 . 1 1 1 an 2 Câu 8. Với mọi số nguyên dương n 2 , ta có: 1 1 1 , trong đó a,b là các 4 9 n2 bn 4 số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T a2 b2 . A. P 5.B. P 9. C. P 20 .D. P 36. Câu 9. Biết rằng 13 23 n3 an4 bn3 cn2 dn e, n ¥ * . Tính giá trị biểu thức M a b c d e . 1 1 A. M 4 .B. M 1. C. M .D. M . 4 2 3 2 Câu 10. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2 2.3 n n 1 a1n b1n c1n d1 và 3 2 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 a2n b2n c2n d2 . Tính giá trị biểu thức T a1a2 b1b2 c1c2 d1d2 . 4 2 A. T 2 .B. T 1.C. M .D. T . 3 3 Câu 11. Biết rằng 1k 2k nk , trong đó n,k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau: 2 n n 1 n n 1 2n 1 n2 n 1 n n 1 2n 1 3n2 3n 1 S , S , S và S . 1 2 2 6 3 4 4 30 Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là: A. 4 .B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 12. Với n ¥ * , ta xét các mệnh đề P :"7n 5 chia hết cho 2"; Q :"7n 5 chia hết cho 3" và Q :"7n 5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là : A.3 .B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 13. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n 2n 1 ”. Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau: Bước 1: Với n 1, ta có: n! 1! 1 và 2n 1 21 1 20 1. Vậy n! 2n 1 đúng. Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 1, tức là ta có k! 2k 1 . Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là phải chứng minh k 1 ! 2k . Bước 3 : Ta có k 1 ! k 1 .k! 2.2k 1 2k . Vậy n! 2n 1 với mọi số nguyên dương n . Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Đúng.B. Sai từ bước 2.C. Sai từ bước 1.D. Sai từ bước 3. 1 1 1 an2 bn Câu 14. Biết rằng , trong đó a,b,c,d và n là các số 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 cn2 dn 16 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T a c b d .
là : A.T 75 .B. T 364 . C. T 300 . D. T 256 . D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án B. Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180 và tổng các góc trong từ giác bằng 360 , chúng ta dự đoán được S n 2 .180. Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với n 3 thì S 180 (loại luôn được các phương án A, C và D); với n 4 thì S 360 (kiểm nghiệm phương án B lần nữa). Câu 2. Đáp án A. Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n . Với n 1 thì S 1.4 4 (loại ngay được phương án B và C); với n 2 thì S 1.4 2.7 18 (loại được phương án D). Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n 1, S 4; n 2, S 18; n 3, S 48 ta dự đoán được công thức S n n 1 2 . n n 1 Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1 2 n và 2 n n 1 2n 1 2 12 22 n2 . Ta có: S 3 12 22 n2 1 2 n n n 1 . 6 Câu 3. Đáp án B. Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . Với n 1 thì S1 1.1! 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D). Cách 2: Rút gọn Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k.k! k 1 1 .k! k 1 .k! k! k 1 ! k!. Suy ra: Sn 2! 1! 3! 2! n 1 ! n! n 1 ! 1. Câu 4. Đáp án A. Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . 2 2 2 T1 5 Với n 1 thì T1 1 2 5;M1 2 4 nên (loại ngay được các phương án B, C, D). M1 4 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 2n 2n 1 4n 1 2n n 1 2n 1 Tn 4n 1 Tn ;M n . Suy ra . 6 3 M n 2n 2 Câu 5. Đáp án B. Dễ thấy p 2 thì bất đẳng thức 2 p 2 p 1 là sai nên loại ngay phương án D. Xét với p 3 ta thấy 2 p 2 p 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2n 2n 1 với mọi n 3 . Vậy p 3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm. Câu 6. Đáp án D. Kiểm tra với n 1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C. Kiểm tra với n 1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2n n2 ,n 5 .
Câu 7. Đáp án B. 1 1 1 1 Cách 1: Với chú ý , chúng ta có: 3k 1 3k 2 3 3k 1 3k 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.5 5.8 3n 1 3n 2 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 1 3n n = . . 3 2 3n 2 6n 4 Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a 1,b 0,c 6 . Suy ra T ab2 bc2 ca2 6 . a b 1 2a b 1 3x b 3 Cách 2: Cho n 1,n 2,n 3 ta được: ; ; . c 4 10 2c 4 8 3c 4 22 Giải hệ phương trình trên ta được a 1,b 0,c 6 . Suy ra T ab2 bc2 ca2 6 Câu 8. Đáp án C. 1 k 1 k 1 Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 . . Suy ra k 2 k k 1 1 1 1 3 2 4 n 1 n 1 n 1 2n 2 1 1 1 . . . . . 4 9 n2 2 2 3 3 n 2n 2n 4n Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a 2,b 4 . Suy ra P a2 b2 20 . a 1 3 3a 2 2 Cách 2: Cho n 2,n 3 ta được ; . Giải hệ phương trình trren ta được b 4 3b 3 a 2;b 4 . Suy ra P a2 b2 20 . Câu 9. Đáp án B. n2 n 1 2 n4 2n3 n2 Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 13 23 n3 . So sánh cách hệ 4 4 1 1 1 số, ta được a ;b ;c ;d e 0 . 4 2 4 Cách 2: Cho n 1,n 2,n 3,n 4,n 5, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a,b,c,d,e . Giải hệ 1 1 1 phương trình đó, ta tìm được a ;b ;c ;d e 0 . Suy ra M a b c d e 1. 4 2 4 Câu 10. Đáp án C. Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có: 1 2 +) 1.2 2.3 n n 1 12 22 n2 1 2 n n3 n2 n . 3 3 1 2 Suy ra a ;b 1;c ;d 0 . 1 3 1 1 3 1 +) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 3 12 22 n2 1 2 n n3 n2. Suy ra a2 b2 1;c2 d2 0. 4 Do đó T a a b b c c d d . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 Cách 2: Cho n 1,n 2,n 3,n 4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được 1 2 a ;b 1;c ;d 0 ; a b 1;c d 0. 1 3 1 1 3 1 2 2 2 2 4 Do đó T a a b b c c d d . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 Câu 11. Đáp án D.
n2 n 1 2 Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có S là sai. 3 4 Câu 12. Đáp án A. Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7n 5 chia hết cho 6. Thật vậy: Với n 1 thì 71 5 126 . Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, nghĩa là 7k 5 chia hết ccho 6. Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1, nghĩa là phỉa chứng minh 7k 1 5 chia hết cho 6. Ta có: 7k 1 5 7 7k 5 30 . Theo giả thiết quy nạp thì 7k 5 chia hết cho 6 nên 7k 1 5 7 7k 5 30 cũng chia hết cho 6. Vậy 7n 5 chia hết cho 6 với mọi n 1. Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng. Câu 13. Đáp án A. Câu 14. Đáp án C. 1 1 1 1 Phân tích phần tử đại diện, ta có: . k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 1 1 1 Suy ra: 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 2 1 1 1 n2 3n 2n2 6n = . 2 2 n 1 n 2 4n2 12n 8 8n2 24n 16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a 2;b 6;c 8;d 24 . Suy ra: T a c b d 300 . DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương ¥ * được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số) Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2 , ,un , , trong đó un u n hoặc viết tắt là un . Số hạng u1 được gọi là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát (số hạng thứ n ) của dãy số. 2. Các cách cho một dãy số: Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây: - Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát. n Ví dụ 1. Cho dãy số x với x . n n 3n 1 Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ 10 10 của dãy số. Chẳng hạn, x . 10 311 177147 - Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi. Ví dụ 2. Cho dãy số an xác định bởi a1 1 và an 1 3an 7,n 1.
b1 1,b2 3 Ví dụ 3. Cho dãy số bn xác định bởi . bn 2 4bn 1 5bn ,n 1 Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số hạng tổng quát của dãy số. - Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số. Ví dụ 4. Cho dãy số un gồm các số nguyên tố. Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4. Trên cạnh BC , ta lấy điểm A1 sao cho CA1 1. Gọi B1 là hình chiếu của A1 trên CA , C1 là hình chiếu của B1 trên AB , A2 là hình chiếu của C1 trên BC , B2 là hình chiếu của A2 trên CA , và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số un với un CAn . 3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng: * Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu ta có un 1 un với mọi n ¥ . * Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu ta có un 1 un với mọi n ¥ . Dãy số un được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có un 1 un với mọi n ¥ * . 2 Ví dụ 6. a) Cho dãy số xn với xn n 2n 3 là một dãy số tăng. 2 2 Chứng minh: Ta có xn 1 n 1 2 n 1 3 n 2 . 2 2 Suy ra xn 1 xn n 2 n 2n 3 2n 1 0,n 1 hay xn 1 xn ,n 1. Vậy xn là một dãy số tăng. n 2 b) Dãy số y với y là một dãy số giảm. n n 5n Chứng minh: n 3 n 3 n 2 4n 7 Cách 1: Ta có y . Suy ra y y 0,n 1 hay n 1 5n 1 n 1 n 5n 1 5n 5n 1 yn 1 yn ,n 1.Vậy yn là một dãy số giảm. * yn 1 Cách 2: Với n ¥ , ta có yn 0 nên ta xét tỉ số . yn n 3 yn 1 n 3 Ta có yn 1 n 1 nên 1,n 1. Vậy yn là một dãy số giảm. 5 yn 5 n 2 n c) Dãy số zn với zn 1 không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số n 1 n n giảm vì zn 1 zn 1 1 2 1 không xác định được dương hay âm. Đây là dãy số đan dấu. STUDY TIP Để chứng minh dãy số bn là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một trong 2 hướng sau đây: (1): Lập hiệu un un 1 un . Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra un 0 (dãy số tăng) hoặc un 0 (dãy số giảm)
un 1 (2): Nếu un 0,n 1thì ta có thể lập tỉ số Tn . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết un quả đã biết để chỉ ra Tn 1 (dãy số tăng),Tn 1(dãy số giảm). 4. Dãy số bị chặn * Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho um M ,n ¥ . * Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho um m,n ¥ . Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số * M , m sao cho m um M ,n ¥ . Ví dụ 7: 3n 1 a) Dãy số a với a 2017sin là một dãy số bị chặn vì 2017 a 2017,n ¥ * n n 4 n . 2n 3 2 b) Dãy số b với b là một dãy số bị chặn vì b 1,n ¥ * . n n 3n 2 3 n n 1 * c) Dãy số cn với cn 3n 2 .7 bị chặn dưới vì an 49,n ¥ . * d) Dãy số dn với dn 6 6 6 ( n dấu căn), bị chặn trên vì dn 3,n ¥ . STUDY TIP 1) Nếu un là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u1 . 2) Nếu un là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi u1 . B. Các bài toán điển hình n n Câu 5. Cho dãy số a xác định bởi a 2017sin 2018cos . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh n n 2 3 đề đúng? * * A. an 6 an ,n ¥ . B. an 9 an ,n ¥ . * * C. an 12 an ,n ¥ . D. an 15 an ,n ¥ . Đáp án C Lời giải Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng. n 6 n 6 n n + Ta có a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a n 6 2 3 2 3 n n 9 n 9 n n + Ta có a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a . n 6 2 3 2 3 n n 12 n 12 n n + Ta có a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a . n 12 2 3 2 3 n n 15 n 15 n n + Ta có a 2017sin 2018cos 2017sin 2018cos a . n 15 2 3 2 3 n Vậy phương án đúng là C. Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây n n Cho dãy số a xác định bởi a 2017sin 2018cos . Hãy chọn phương án trả lời n n 2 3 đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
* Câu 1: Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để an p ap ,n ¥ Câu 2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 3026 .B. 2017 1009 3 . C. 2017 1009 3 .D. 3026 . 3 5 Câu 6. Cho dãy số a xác định bởi a 1;a a 2 a 1,n ¥ * . Số hạng thứ 201 của dãy n 1 n 1 2 n 2 n số an có giá trị bằng bao nhiêu? A. a2018 2 . B. a2018 1. C. a2018 0 . D. a2018 5. Đáp án A Lời giải Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi. Ta có a1 1;a2 2;a3 0;a4 1;a2 2;a6 0; 1. * Từ đây chúng ta có thể dự đoán an 3 an ,n ¥ . Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy: Với n 1 thì a1 1 và a4 1. Vậy đẳng thức đúng với n 1. Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là ak 3 ak . Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là chứng minh ak 4 ak 1 . 3 5 Thật vậy, ta có a a2 a 1 (theo hệ thức truy hồi). k 4 2 k 3 2 k 3 3 5 Theo giả thiết quy nạp thì a a nên a a2 a 1 a . k 3 k k 4 2 k 2 k k 1 * Vậy đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra an 3 an ,n ¥ . Từ kết quả phần trên, ta có : nếu m  p mod3 thì am ap . Ta có 2018  2 mod3 nên a2018 2 . Vậy phương án đúng là A. * Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức an 3 an ,n ¥ giúp ta giải quyết được bài toán tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây nhé: 3 5 Cho dãy số a xác định bởi a 1;a a 2 a 1,n ¥ * . Hãy chọn phương án trả n 1 n 1 2 n 2 n lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây: Câu 1. Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy an A. S 0 . B. S 6 . C. S 4 . D. S 5. * Câu 2. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để an p ap ,n ¥ A. p 9 . B. p 2 . C. p 6. D. p 3 . Câu 3. Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy an A. S 2016 . B. S 2019 . C. S 2017 . D. S 2018 . Câu 4. Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy an A. S 3360 . B. S 3361. C. S 3364 . D. S 3365.
2 * Câu 7. Cho dãy số an xác định bởi a1 1;an 1 an 1,n ¥ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số an . A. an 2 . B. an 2n 1 . C. an 3n 2 . D. an n . Đáp án D Lời giải Ta có a2 2;a3 3;a4 4;a5 5 . Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được an n . Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được an n . Vậy phương án đúng là D. Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới đây: 2 * Cho dãy số an xác định bởi a1 1;an 1 an 1,n ¥ . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây: 1 1 1 Câu 1. Rút gọn biểu thức sn ,n 2 ta được a1 a2 a2 a3 an 1 an n n A. S n 1. B. S n 1. C. S . D. S . n n n n 1 n n 1 Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng A. Dãy số an là dãy số giảm. B. Dãy số an không là dãy số giảm. C. Dãy số an là dãy số tăng. D. Dãy số an không là dãy số tăng. 2 2 2 Câu 3. Rút gọn biểu thức Sn a1 a2 an n n 1 n n 1 A. S n n 1 . B. S n n 1 . C. S . D. S . n n n 2 n 2 STUDY TIP Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy + Với a1 1 thì loại ngay được phương án A. +Ta có a2 2 thì loại ngay được các phương án B và C. 3 Câu 8. Cho dãy số an có tổng của n số hạng đầu tiên bằng Sn n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 A. an là dãy số tăng và an 3n 3n 1. 2 B. an là dãy số giảm và an 3n 3n 1. 2 C. an là dãy số tăng và an 3n 3n 1. 2 D. an là dãy số tăng và an 3n 3n 1. Đáp án A. Lời giải 3 3 Ta có a1 a2 an Sn n và a1 a2 an 1 Sn 1 n 1 . 3 3 2 Suy ra an Sn Sn 1 n n 1 3n 3n 1.
2 2 2 Ta có an 3n 3n 1 và an 1 3 n 1 3 n 1 1 3n 9n 7 . * Do đó an an 1 6n 1 0,n ¥ . Dấu bằng chỉ xảy ra khi n 1 0 hay n 1. suy ra dãy số an là dãy số tăng. Vậy phương án đúng là A. * Câu 9. Cho dãy số an xác định bởi a1 1;an 1 3an 10,n ¥ . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số an . A. a15 28697809 . B. a15 28697814 . C. a15 9565933. D. a15 86093437 . Đáp án A Lời giải Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số an . Đặt bn an 5 khi đó bn 1 an 1 5 . * Từ hệ thức truy hồi an 1 3an 10,n ¥ suy ra bn 1 5 3 bn 5 10 bn 1 3bn . Như vậy ta có b1 a1 5 6;bn 1 3bn . 2 3 Ta có b2 3b1 ;b3 3b2 3 b1 b43 3b3 3 b1 . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được n 1 * n * rằng bn 3 b1,n ¥ , suy ra an 2.3 5,n ¥ . Do đó a15 28697809 . Vậy suy ra phương án đúng là A. STUDY TIP * Dãy số an xác định bởi a1 1;an 1 qan d,n ¥ d 1 qn 1 -Nếu q 1 thì số hạng tổng quát của dãy số a là a aqn 1 . n n 1 q -Nếu q 1 thì số hạng tổng quát của dãy số an là an a n 1 d . Cho dãy số an xác định bởi và an 1 3an 10,n ¥ * . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây. Câu 1. Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số an lần lượt là: A. 13,49,157 . B. 49,481,4369. C. 49,157,1453 . D. 49,1453,4369 . Câu 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số an . n n 1 n n A. an 2.3 5. B. an 2.3 5. C. an 2.3 5. D. an 2.3 5 . Câu 3. Số 2324522929 có là số hạng của dãy số an không, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu? A. Không. B. Có, 18. C. Có, 19. D. Có, 20 . Câu 4. an là một dãy số: A. Giảm và bị chặn trên. B. Tăng và bị chặn trên. C. Tăng và bị chặn dưới. D. Giảm và bị chặn dưới. Ví dụ 6. Cho dãy số an xác định bởi a1 5,a2 0 và an 2 an 1 6an ,n 1. Số hạng thứ 14 của dãy là số hạng nào? A. 3164070 . B. 9516786 . C. 1050594. D. 9615090 . Đáp án A Lời giải + Ta có an 2 an 1 6an ,n 1 an 2 2an 1 3 an 1 2an ,n 1.
Do đó ta có b1 a2 2a1 10 và bn 1 3bn ,n 1. 2 3 Từ hệ thức truy hồi của dãy số bn , ta có b2 3b1;b3 3b2 3 b1;b4 3b3 3 b1 . Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng: n 1 n 1 bn 3 b1 10.3 ,n 1. + Ta có an 2 an 1 6an ,n 1 an 2 3an 1 2 an 1 3an ,n 1. Do đó ta có: c1 a2 3a1 15 và cn 1 2cn ,n 1. 2 3 Từ hệ thức truy hồi của dãy số cn , ta có c2 2c1;c3 2 c1;c4 2 c1 . Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng: n 1 n 1 cn 2 c1 15. 2 ,n 1. + Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình: a 2a 10.3n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 an 2.3 3. 2 . an 1 3an 15. 2 n 1 n 1 Do đó số hạng tổng quát của dãy số an là an 2.3 3. 2 ,n 1. Vậy suy ra a14 3164070 . Vậy phương án đúng là A. Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây: Cho dãy số an xác định bởi a1 5;a2 0 và an 2 an 1 6an ,n 1. Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây. Câu 1. Tính số hạng thứ năm của dãy số an . A. a5 210 . B. a5 66 . C. a5 36 . D. a5 360 . Câu 2. Số hạng tổng quát của dãy số an là:; n 1 n 1 n n A. an 2.3 3. 2 . B. an 2.3 3. 2 . n 1 n 1 n n C. an 2.3 3.2 . D. an 2.3 3.2 . STUDY TIP Dãy số an xác định bởi a1 a,a2 b và an 2 .an 1 .an , với mọi n 1, trong đó phương 2 trình t t  0 có hai nghiệm phân biệt là t1 và t2 . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số n 1 n 1 m1 m2 a an là an m1.t1 m2.t2 , trong đó m1,m2 thỏa mãn hệ phương trình . m1.t1 m2.t2 b 2 Ví dụ 7. Cho dãy số an xác định bởi a1 3 và an 1 an n 3n 4,n ¥ * . Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? A. 18. B. 17 . C. 20 . D. 19 Đáp án A. Lời giải Từ hệ thức truy hồi của dãy số an ta có: 3 2 2 n 6n 17n 21 a a 12 22 n 1 3 1 2 n 1 4 n 1 a . n 1 n 3 n3 6n2 17n 21 Suy ra số hạng tổng quát của dãy số a là a . n n 3
Giải phương trình an 1391 ta được n 18 Vậy phương án đúng là A. STUDY TIP Dãy số an xác định bởi a1 a và an 1 an f n ,n 1. n 1 Số hạng tổng quát của dãy số an được tính theo công thức: an a1  f i . i 1 1 Ví dụ 8. Cho dãy số a xác định bởi a 2 và a a 1 ,n 1. Mệnh đề nào dưới đây là n 1 n 1 2 n đúng? A. an là một dãy số giảm và bị chặn. B. an là một dãy số tăng và bị chặn. C. an là một dãy số giảm và không bị chặn dưới. D. an là một dãy số tăng và không bị chặn trên. Đáp án A Lời giải 3 5 Ta có a 2 a a . Do đó ta loại được các phương án B và D. 1 2 2 3 4 1 1 1 + Ta có an a 1 nên an 1 an an an 1 n 1 a2 a1 0,n ¥ *. 2 n 1 2 2 Suy ra an 1 an ,n 1 nên an là dãy số giảm. + Vì an là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi a1 2 . 1 Ta có 1 a a a 0,n 1 a 1,n 1. 2 n n 1 n n Vậy phương án đúng là A. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số 2n 3 n 1 Câu 1. Cho dãy số xn có xn ,n ¥ *. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? n 1 2n 5 2n 3 2n 5 2n 1 n 1 n n n 1 A. xn 1 . B. xn 1 . C. xn 1 . D. xn 1 . n 1 n 2 n 2 n 1 n 2n Câu 2. Cho dãy số y xác định bởi y sin2 cos . Bốn số hạng đầu của dãy số đó là: n n 4 3 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 1 1 A. 0, , , . B. 1, , , . C. 1, , , . D. 0, , , . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 3. Cho dãy số yn xác định bởi y1 y2 1 và yn 2 yn 1 yn ,n ¥ *. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là: A. 1,1,2,4,7 . B. 2,3,5,8,11. C. 1,2,3,5,8 . D. 1,1,2,3,5 . Câu 4. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 2.n.un 1 với mọi n 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? 10 10 10 10 10 10 A. u11 2 .11!. B. u11 2 .11!. C. u11 2 .11 . D. u11 2 .11 .
1 Câu 5. Cho dãy số u xác định bởi u và u u 2n với mọi n 2 . Khi đó u bằng: n 1 2 n n 1 50 A. 1274,5 . B. 2548,5. C. 5096,5 . D. 2550,5. n 1 8 Câu 6. Cho dãy số u có u . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số u ? n n 2n 1 15 n A. 8 . B. 6 . C. 5 . D. 7 . 2 Câu 7. Cho dãy số an có an n 4n 11,n ¥ *. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số an . A. 14. B. 15. C. 13. D. 12. n Câu 8. Cho dãy số a có a ,n ¥ *. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số a . n n n2 100 n 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 20 30 25 21 2 Câu 9. Cho dãy số yn xác định bởi y1 2 và yn 1 2yn n 3n,n ¥ *. Tổng S4 của 4 số hạng đầu tiên của dãy số là: A. S4 20 . B. S4 10 . C. S4 30 . D. S4 14 . Câu 10. Cho dãy số xn xác định bởi x1 5 và xn 1 xn n,n ¥ *. Số hạng tổng quát của dãy số xn là: n2 n 10 5n2 5n n2 n 10 n2 3n 12 A. x . B. x . C. x . D. x . n 2 n 2 n 2 n 2 2 xn Câu 11. Cho dãy số xn xác định bởi x1 và xn 1 ,n ¥ *. Mệnh đề nào dưới 3 2 2n 1 xn 1 đây là đúng ? 2 39999 2 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 100 39999 100 2 100 40001 100 40803 Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số. Câu 12. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ? n 1 A. Dãy a , với a 1 .sin ,n ¥ *. n n n 2n n B. Dãy bn , với bn 1 . 5 1 ,n ¥ *. 1 C. Dãy c , với c ,n ¥ *. n n n n 1 n D. Dãy d , với d ,n ¥ * . n n n2 1 Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ? n 1 n2 1 A. Dãy an , với an . B. Dãy bn với bn . 2 n 1 C. Dãy c , với c . D. Dãy d , với d 3.2n . n n n3 1 n n an 4 Câu 14. Cho dãy số x với x . Dãy số x là dãy số tăng khi: n n n 2 n A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a 1.
n 1 ! Câu 15. Cho hai dãy số x với x và y với y n sin2 n 1 . Mệnh đề nào dưới đây n n 2n n n là đúng ? A. xn là dãy số giảm, yn là dãy số giảm. B. xn là dãy số giảm, yn là dãy số tăng. C. xn là dãy số tăng, yn là dãy số giảm. D. xn là dãy số tăng, là dãy số tăng. Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số. 3n 1 Câu 16. Cho dãy số u , với u . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? n n 3n 7 A. Dãy un bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy un bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy un bị chặn trên và bị chặn dưới. D. Dãy un không bị chặn. Câu 17. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ? 2 A. Dãy an , với an n 16,n ¥ *. 1 B. Dãy b , với b n ,n ¥ * . n n 2n n C. Dãy cn , với cn 2 3,n ¥ *. n D. Dãy d , với d ,n ¥ *. n n n2 4 Câu 18. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ? A. Dãy an , với an 3n 1. 1 B. Dãy b , với b . n n n 2n 1 n 1 C. Dãy cn , với cn 3.2 . n D. Dãy dn , với dn 2 . Câu 19. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ? n 2 A. Dãy xn , với xn 1 . n 2n 3 . 2 B. Dãy yn , với yn n 6n . 2018n C. Dãy z , với z . n n 2017n 1 n D. Dãy wn , với wn 2017 . Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. n n Câu 20. Cho dãy số xn , xác định bởi: xn 2.3 5.2 ,n ¥ *. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. xn 2 5xn 1 6xn . B. xn 2 6xn 1 5xn . C. xn 2 5xn 1 6xn 0. D. xn 2 6xn 1 5xn 0.
n Câu 21. Cho dãy số un , với un 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? u u u .u A. 1 9 u . B. 2 4 u . 2 5 2 3 u 1 C. 1 u u u 100 . D. u .u u u . 1 2 100 2 1 2 100 5050 3n 1 Câu 22. Cho dãy số a xác định bởi a 2017cos . Mệnh đề nào dưới đây là sai ? n n 6 A. an 12 an ,n 1. B. an 8 an ,n 1. C. an 9 an ,n 1. D. an 4 an ,n 1. 3 5 Câu 23. Cho dãy số a xác định bởi a 1 và a a 2 a 1,n ¥ *. Mệnh đề nào dưới n 1 n 1 2 n 2 n đây là đúng ? A. a2018 a2 . B. a2018 a1 . C. a2018 a3 . D. a2018 a4 . Câu 24. Cho dãy số an xác định bởi a1 1,a2 2 và an 2 3.an 1 an ,n 1. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất sao cho an p an ,n ¥ *. A. p 9 . B. p 12 . C. p 24 . D. p 18 . Câu 25. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ? 2018 A. Dãy số an xác định bởi a1 1 và an 1 ,n ¥ * là một dãy số không đổi. an 2017 B. Dãy số b , với b tan 2n 1 , có tính chất b b ,n ¥ *. n n 4 n 2 n C. Dãy số cn , với cn tan n 1, là một dãy số bị chặn. D. Dãy số dn , với dn cos n , là một dãy số giảm. * Câu 10. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 2 và u2 2un 1 1,n N ,có tính chất A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới. B. Là dãy số giảm và bị chặn trên. C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới.D. Là dãy số tăng và bị chặn trên. 2 2 2 2 Câu 11. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 1 và un 1 2 un ,n 1. Tổng S2018 u1 u2 u2018 là 2 2 2 2 A. S2018 2015 .B. S2018 2018 . C. S2018 2017 . D. S2018 2016 . n n Câu 12. Cho dãy số (z ) xác định bởi z sin 2cos . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá n n 2 3 2 2 trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số (zn ) . Tính giá trị biểu thức T M m . A. T 13. B. T 5. C. T 18. D. T 7. 1 un 2017 Câu 13. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 ;un 1 ,n 1.Sn u1 u2 un khi n 2 2(n 1)un 1 2018 có giá trị nguyên dương lớn nhất. A. 2017. B. 2015. C. 2016. D. 2014.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số Câu 1. Đáp án C. 2n 3 2(n 1) 3 2n 5 n 1 (n 1) 1 n Ta có xn nên xn 1 . n 1 (n 1) 1 n 2 Câu 2. Đáp án A. 2 4 1 Ta có y sin2 cos 0; y sin2 cos . (loại phương án B và D) và 1 4 3 2 4 3 2 3 3 y sin2 cos2 . (loại phương án C). 3 4 2 Câu 3. Đáp án D. Ta có y3 2; y4 3 nên loại các phương án còn lại. Câu 4. Đáp án B. 2 2 3 Ta có u2 2 u1;u3 6u2 2 .2.3u1;u4 8u3 2 .2.3.4u1. Bằng phương pháp quy nạp toán học, n 1 n 1 10 chúng ta chứng minh được rằng un 2 .n!u1 2 .n!. Do đó u11 2 .11!. Câu 5. Đáp án D. 1 1 1 Ta có u 2(1 2 n) n(n 1) . Suy ra u 50.51 2550,5. n 2 2 50 2 Câu 6. Đáp án D. n 1 8 Giải phương trình ta được n 7. 2n 1 15 Câu 7. Đáp án B. 2 Ta có an (n 2) 15 15,n 1. Dấu bằng xảy ra khi n 2 0 n 2. Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15. Câu 8. Đáp án A. n n 1 2 Ta có an 2 . Dấu bằng xảy ra khi n 100 n 10. n 100 2 n2.100 20 1 Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng . 20 Câu 9. Đáp án A. Ta tính được y2 2; y3 4; y4 12 S4 20. Câu 10. Đáp án A. Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số. n(n 1) n2 n 10 Ta có x x (1 2 n 1) x 5 . n 1 n 2 2 Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng. (n 1)2 (n 1) 10 n2 n 10 n2 n 10 Phương án A: x n x n. n 1 2 2 2 n Cách 3: Với n 1 x1 5 loại các phương án còn lại B, C, D. Câu 11. Đáp án A. 1 1 Ta có xn 0,n 1 và 2(2n 1) ,n 1. xn 1 xn 1 1 3 4n2 1 Suy ra 4(1 2 n 1) 2(n 1) 2n(n 1) 2(n 1) . xn x1 2 2
2 2 Suy ra x . Do đó x . n 4n2 1 100 39999 Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số Câu 12. Đáp án B. • Dãy số (an ) là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm. n 2n n 1 n • Với dãy (bn ) , ta có bn 5 1(do ( 1) 1). Vì bn 1 5 1 5.5 1 bn ,n 1nên (bn ) là một dãy số tăng. 1 1 • Dãy số (c ) là một dãy số giảm vì c c ,n 1. n n 1 n 1 n 2 n n 1 n n 1 n • Dãy số (d ) là một dãy số giảm vì d d ,n 1. n n 1 n2 2n 2 n2 1 n Câu 13. Đáp án C. • Dãy số (an ) là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm. 1 1 • Dãy số (b ) là một dãy số tăng vì b n n 1 b ,n 1. n n n n 1 n 1 1 1 • Dãy số (c ) là một dãy số giảm vì c c ,n 1. n n n3 1 (n 1)3 1 n 1 n n 1 • Dãy số (dn ) là một dãy số tăng vì dn 3.2 3.2 dn 1,n 1. Câu 14. Đáp án B. a(n 1) 4 a(n 1) 4 an 4 2a 4 Ta có x . Xét hiệu x x . n 1 n 3 n 1 n n 3 n 2 (n 2)(n 3) (xn ) là dãy tăng khi và chỉ khi xn 1 xn 0,n 1 2a 4 0 a 2. Câu 15. Đáp án D. xn 1 n 2 Ta có xn 0,n 1 và 1,n 1nên (xn ) là dãy số tăng. xn 2 2 2 Ta có yn 1 yn sin (n 1) 1 sin n 0,n 1 nên (yn ) cũng là dãy số tăng. Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số Câu 16. Đáp án C. 8 8 Ta có u 1 1 u ,n 1 nên (u ) là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn n 3n 7 3n 10 n 1 n 1 8 dưới bởi u . Lại do u 1 1,n 1nên dãy số u bị chặn trên bởi 1. 1 5 n 3n 7 n Câu 17. Đáp án D. 2 • Dãy số (an ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì an n 16 17,n 1. 1 1 • Dãy số (b ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì b n 2 n. 2,n 1. n n 2n 2n n • Dãy số (cn ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì cn 2 3 5,n 1. 1 n n 1 • Dãy số (dn ) là dãy số bị chặn vì 0 dn ,n 1. do0 2 . 4 n 4 4n 4 Câu 18. Đáp án B. • Dãy số (an ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì u1 4. • Dãy số (bn ) có 0 bn 1,n 1 nên dãy số (bn ) là dãy số bị chặn. • Dãy số (cn ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi c1 12.
2n n • Dãy số (dn ) là dãy đan dấu và d2n ( 2) 4 lớn tùy ý khi n đủ lớn, còn 2n 1 n d2n 1 ( 2) 2.4 nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. Câu 19. Đáp án C. • Dãy số (xn ) là dãy đan dấu và x2n lớn tùy ý khi n đủ lớn, x2n 1 nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. • Dãy số (yn ) là dãy số giảm và yn nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. 2018 • Dãy số (z ) là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi z . n 1 20172 • Dãy số (w n ) là dãy đan dấu và w 2n lớn tùy ý khi n đủ lớn, w 2n 1 nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. Câu 20. Đáp án A. n 2 n 2 n n n 1 n 1 n n Ta có xn 2 2.3 5.2 18.3 20.2 ; xn 1 2.3 5.2 6.3 10.2 . • Phương án A: xn 2 5xn 1 6xn 0. n n • Phương án B: xn 2 6xn 1 5xn 8.3 15.2 0. n n • Phương án C: xn 2 5xn 1 6xn 36.3 40.2 0. n n • Phương án D: xn 2 6xn 1 5xn 44.3 55.2 0. Câu 21. Đáp án D. u u 3 39 • Phương án A: 1 9 35 u . 2 2 5 u .u 36 • Phương án B: 2 4 33 u . 2 2 3 u 1 • Phương án C: 1 u u u u 100 . 1 2 100 100 2 1 2 100 5050 • Phương án D: u1.u2 u100 3 3 u5050. Câu 22. Đáp án C. • Phương án A: 3(n 12) 1 (3n 1) (3n 1) an 12 2017cos 2017cos 6 2017cos an .n 1. 6 6 6 • Phương án B: 3(n 8) 1 (3n 1) (3n 1) an 8 2017cos 2017cos 4 2017cos an .n 1. 6 6 6 • Phương án C: 3(n 9) 1 (3n 4) (3n 4) an 9 2017cos 2017cos 4 2017cos an .n 1. 6 6 6 • Phương án D: 3(n 4) 1 (3n 1) (3n 1) an 4 2017cos 2017cos 2 2017cos an .n 1. 6 6 6 Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước. Câu 23. Đáp án A. Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0. Từ đây ta dự đoán an 3 an ,n 1. Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được rằng an 3 an ,n 1.
Mặt khác 2018 3.672 2 nên a2018 a2. Câu 24. Đáp án B. Trước hết ta kiểm tra phương án với p nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của (an ) : a 1;a 2;a 2 3 1;a 4 3;a 2 3 2;a 2 3;a 1; 1 1 3 4 5 6 7 a8 2;a9 1 2 3;a10 3 4. Dễ dàng thấy a10 3 4 1 a1 nên phương án A là sai. Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy (an ) : ta được (an ) : a1 1;a1 2;a3 2 3 1;a4 4 3;a5 2 3 2;a6 2 3;a7 1; a8 2;a9 1 2 3;a10 3 4;a11 2 2 3;a12 3 2;a13 1;a14 2. Từ đây ta dự đoán được an 12 an ,n 1. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được an 12 an ,n 1. Vậy số nguyên dương cần tìm là p 12. Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được an 6 an ,n 1. Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng an 6 an ,n 1.Như vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất để an 6 an ,n 1. Do đó an 12 a n 6 6 an 6 an ,n 1. Suy ra số cần tìm là p 12. Câu 25. Đáp án D. 2018 • Phương án A: Ta có a 1;a 1;a 1. Từ đây ta dự đoán a 1,n 1. 1 2 1 2017 3 n Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng an 1,n 1.Suy ra an là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng. • Phương án B: Ta có bn 2 tan2(n 2) 1 tan (2n 1) tan(2n 1) an ,n 1. 4 4 4 Vậy bn 2 bn ,n 1. Do đóphương án B là đúng. • Phương án C: Ta có cn 1,n 1.nên dãy số cn là dãy số không đổi. Suy ra cn là dãy số bị chặn. Do đó phương án C là đúng. • Phương án D: Ta có d2n cos(2n ) 1 cos(4n ) d4n . Suy ra khẳng định dn là một dãy số giảm là khẳng định sai. Câu 26. Đáp án C. 1 1 1 Ta có u u (u u ) (u u ). Từ đó ta tính được u 1 . n 1 n 2 n n 1 2n 1 2 1 n 2n 1 1 1 1 Do u u 0,n 1 nên u là dãy số giảm n 2 n 2n 2n 1 2n n 1 Ta có 1 u 1 2,n 1 nên u là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C. n 2n 1 n Câu 27. Đáp án B. 2 2 2 2 Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có un 1 un 2,n 1. Suy ra un u1 2(n 1) 2n 1. 2 2 2 2 Do đó Sn u1 u2 un 2(1 2 n) n n(n 1) n n . 2 Vậy S2018 2018 . Câu 28. Đáp án A. Dựa vào chu kì của hàm số y sin x; y cos x, ta có zn 12 zn ,n 1. Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là S z1; z2 ; ; z12 3; 2; 1;0;2.
Suy ra M 2;m 3.Do đó T 13. Câu 29. Đáp án C. 1 1 Dễ chỉ ra được un 0,n 1. Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có 2n 2,n 1. un 1 un Suy ra 1 1 1 2 1 2(1 2 n 1) 2(n 1) 2 n(n 1) 2(n 1) n n un . un u1 un n(n 1) 1 1 Do đó u ,n 1. n n n 1 1 n 2017 n 2017 Vậy S u u u 1 . Vì S nên n 2017. n 1 2 n n 1 n 1 n 2018 n 1 2018 2017 Suy ra số nguyên dương lớn nhất để S là n 2016 . Vì vậy phương án đúng là C. n 2018
CẤP SỐ CỘNG A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng. Đặc biệt, khi d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu u là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi n * un 1 un d, n ¥ . 1 2) Cấp số cộng un là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d 0 . 3) Cấp số cộng un là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d 0. STUDY TIP Để chứng minh dãy số u là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh u u là một hằng số với n n 1 n mọi số nguyên dương n . Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 . Lời giải Vì 1 2 3; 4 1 3; 7 4 3; 10 7 3; 13 10 3; 16 13 3; 19 16 3. Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với công sai d 3. Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. 2 3n a) Dãy số a , với a 4n 3 ; b) Dãy số b , với b ; n n n n 4 n 2 c) Dãy số cn , với cn 2018 ; d) Dãy số dn , với dn n . Lời giải a) Ta có an 1 4(n 1) 3 4n 1 nên an 1 an (4n 1) (4n 3) 4, n 1. Do đó an là cấp số cộng với số hạng đầu a1 4.1 3 1 và công sai d 4 . 2 3(n 1) 1 3n 1 3n 2 3n 3 b) Ta có b nên b b , n 1 n 1 4 4 n 1 n 4 4 4 2 3.1 1 3 Suy ra b là cấp số cộng với số hạng đầu b và công sai d . n 1 4 4 4 n 1 n 1 n n c) Ta có cn 1 2018 nên cn 1 cn 2018 2018 2017.2018 (phụ thuộc vào giá trị của n ). Suy ra cn không phải là một cấp số cộng. 2 2 2 d) Ta có dn 1 (n 1) nên dn 1 dn (n 1) n 2n 1 (phụ thuộc vào giá trị của n ). Suy ra dn không phải là một cấp số cộng. 2 4 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng u có 7 số hạng với số hạng đầu u và công sai d . Viết dạng khai n 1 3 3 triển của cấp số cộng đó.
Lời giải 2 10 Ta có u u d ; u u d 2; u u d ; 2 1 3 3 2 4 3 3 14 22 u u d ; u u d 6; u u d ; 5 4 3 6 5 7 6 3 2 2 10 14 22 Vậy dạng khai triển của cấp số cộng u là ; ; 2; ; ; 6; . n 3 3 3 3 3 II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG. Định lý 1. Nếu cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u được xác định n 1 n bởi công thức: un u1 (n 1)d, n 2. (2) STUDY TIP Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau: Cho cấp số cộng u biết hai số hạng u và u thì số hạng đầu và công sai được tính theo công thức: n p q u u (1) : d p q p q (2) : u1 u p ( p 1)d. Ví dụ 4. Cho cấp số cộng un có u1 2 và d 5 . a) Tìm u20 . b) Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? Lời giải a) Ta có u20 u1 (20 1)d 2 19.( 5) 93. b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un u1 (n 1)d 7 5n. Vì un 2018 nên 7 5n 2018 n 405. Do n 405 là số nguyên dương nên số 2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho. III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG. Định lý 2. Trong một cấp số cộng un , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u u u k 1 k 1 với k 2 . (3) k 2 STUDY TIP Một cách tổng quát, ta có: u u Nếu u là cấp số cộng thì u p k p k , 1 k p . n p 2 Ví dụ 5. a) Cho cấp số cộng u có u 101 và u 99 . Tìm u . n 99 101 100 b) Cho cấp số cộng 2, x, 6, y . Tính giá trị của biểu thức P x2 y2 . Lời giải u u a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có u 99 101 nên u 100. 100 2 100
2 6 x y b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x 2 và 6 . 2 2 Vì x 2 nên y 10. Vậy P x2 y2 22 102 104. IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG. Định lý 3. Cho một cấp số cộng un . Đặt Sn u1 u2 un . Khi đó: n(u u ) n(n 1) S 1 n (4) hoặc S nu d. (5) n 2 n 1 2 STUDY TIP 1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính S khi biết số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số n cộng. 2) Để tính được Sn , thì công thức (5) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng. 3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u1 , d, n, un , Sn . Chúng ta cần biết ba đại lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo các công thức tính un , Sn thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng u1 , d, n . Ví dụ 6. Cho cấp số cộng un có u1 2 và d 3. a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. b) Biết Sn 6095374 , tìm n . Lời giải n(n 1) 3(n2 n) n(3n 7) Ta có S nu d 2n . n 1 2 2 2 25(3.25 7) a) Ta có S 850 . 25 2 n(3n 7) b) Vì S 6095374 nên 6095374 3n2 7n 12190748 0 n 2 Giải phương trình bậc hai trên với n nguyên dương, ta tìm được n 2017. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? n * A. Dãy số an , với an 2 , n ¥ . * B. Dãy số bn , với b1 1, bn 1 2bn 1, n ¥ . 2 2 * C. Dãy số cn , với cn (2n 3) 4n , n ¥ . 2018 * D. Dãy số dn , với d1 1, dn 1 , n ¥ . dn 1 Lời giải Đáp án C. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng. - Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 2, 4, 8. Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 4 2 2 4 8 4. - Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 3, 7. Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 3 1 2 4 7 3. * - Phương án C: Ta có cn 9 12n, n ¥
* Do đó, cn 1 cn 12, n ¥ nên (cn ) là cấp số cộng. 1009 - Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 1009, . 505 Ba số này không lập thành cấp số cộng. STUDY TIP 1) Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh un 1 un là một hằng số với mọi số nguyên dương n . 2) Để chỉ ra dãy số un không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng liên tiếp uk ,uk 1 ,uk 2 của dãy số không lập thành một cấp số cộng. Câu 2. Cho cấp số cộng u có u 123 và u u 84 . Tìm số hạng u . n 1 3 15 17 A.u17 242 .B. u17 235 .C. u17 11. D. u17 4 . Lời giải Đáp án C. u u 84 Ta có công sai của cấp số cộng là d 3 15 7 . 3 15 12 Suy ra u17 u1 (17 1)d 11. Vậy phương án đúng là C. STUDY TIP Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng của n số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau. Nhận xét: Cụ thể chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây: Câu 1: Cho cấp số cộng un có u1 123 và u3 u15 84 . Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho? A. 17. B. 16. C. 18. D. 19. Câu 2: Cho cấp số cộng un có u1 123 và u3 u15 84 . Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng un . A. un 130 7n . B. un 116 7n . C. un 123 7n . D. un 123 7n . Câu 3: Cho cấp số cộng un có u1 123 và u3 u15 84 . Tính tổng S2017 của 2017 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. S2017 14487102,5. B. S2017 13983861. C. S2017 13990920,5.D. S2017 14480043. Câu 4: Cho cấp số cộng un có u1 123 và u3 u15 84 . Biết rằng tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 18, tìm n . A. n 34 . B. n 35 . C. n 36 . D. n 37 . Câu 3. Cho cấp số cộng un có u1 2u5 0 và S4 14 . Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng. A.u1 8, d 3 .B. u1 8, d 3 .C. u1 8, d 3 . D. u1 8, d 3. Lời giải Đáp án D. Ta có u1 2u5 0 u1 2(u1 4d) 0 3u1 8d 0 . 4(2u 3d) S 14 1 14 2u 3d 7 4 2 1 3u1 8d 0 u1 8 Ta có hệ phương trình . 2u1 3d 7 d 3
Vậy phương án đúng là D. Câu 4. Cho cấp số cộng un . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? A.um k un k um un , với k m,k n . B. um k um k 2um , với k m . C.um uk (m k)d, với k m . D. u3n u2n un 1 . Lời giải Đáp án D. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai. + Phương án A: Ta có um k un k u1 (m k 1)d u1 (n k 1)d u1 (m 1)d u1 (n 1)d um un . Do đó A là phương án đúng. + Phương án B: Ta có um k um k u1 (m k 1)d u1 (m k 1)d 2[u1 (m 1)d] 2um . Do đó B là phương án đúng. + Phương án C: Ta có um u1 (m 1)d u1 (k 1)d (m k)d uk (m k)d Do đó C là phương án đúng. + Phương án D: Ta có u2n un 1 u1 (2n 1)d u1 nd u1 (3n 1)d u1 u3n u1 Vậy phương án D sai. STUDY TIP Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như: 1) um k un k um un , với k m,k n . 2) um k um k 2um , với k m . 3) um uk (m k)d, với k m . Do đó C là phương án đúng. + Phương án D: Ta có u2n un 1 u1 2n 1 d u1 nd u1 3n 1 d u1 u3n u1 u3n . Vậy D là phương án sai. * Câu 5. Cho dãy số un xác định bởi u1 321 và un 1 un 3 với mọi n ¥ . Tính tổng S của 125 số hạng đầu tiên của dãy số đó. A. S 16875 .B. S 63375 . C. S 63562,5 .D. S 16687,5 . Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy số un , ta có un là một cấp số cộng với công sai d 3. Do đó tổng của 125 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là 125. 2u 125 1 d S 1 16875 2 Vậy chọn phương án A. 2 2 2 Câu 6. Cho cấp số cộng un có công sai d 3 và u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. S100 14650 .B. S100 14400 . C. S100 14250 . D. S100 15450 . Lời giải Đặt a u1 thì 2 2 2 2 2 2 2 2 u2 u3 u4 a d a 2d a 3d 3a 36a 126 3 a 6 18 18 với mọi a .
Dấu bằng xảy ra khi a 6 0 a 6 .Suy ra u1 6 . 100. 2u 100 1 d Ta có S 1 14250 . Vậy phương án đúng là C. 100 2 Nhận xét: Từ kết quả bài tập này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây: 2 2 2 Câu 1. Cho cấp số cộng un có công sai d 3 và u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 2017 của cấp số cộng đó. A. u2017 6042. B. u2017 6045. C. u2017 6044. D. u2017 6054. 2 2 2 Câu 2. Cho cấp số cộng un có công sai d 3 và u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2019 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho? A. 676 . B. 675. C. 672 . D. 674 . 2 2 2 Câu 3. Cho cấp số cộng un có công sai d 3 và u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. A. un 9 3n . B. un 6 3n . C. un 5 3n . D. un 3 3n . Câu 4. Cho cấp số cộng un có công sai d 3, trong đó m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 biểu thức F u2 u3 u4 . A. min F 18 . B. min F 6 . C. min F 99 . D. min F 117 . Câu 7. Cho cấp số cộng 3,8,13, Tính tổng S 3 8 13 2018 . A. S 408422 .B. S 408242 . C. S 407231,5 . D. S 409252,5 . Lời giải Cấp số cộng 3,8,13, có số hạng đầu a1 3 và công sai d 5. 2018 3 Suy ra 2018 là số hạng thứ 1 404 của cấp số cộng. 5 404. 3 2018 Do đó S S 408242 . Vậy B là phương án đúng. 404 2 Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi sau đây: Câu 1. Cho cấp số cộng 3,8,13, Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó? A. 402 .B. 403.C. 404 . D. 405 . Câu 2. Cho cấp số cộng 3,8,13, , x, Tìm x biết 3 8 13 x 408242 . A. x 2017 .B. x 2016 . C. x 2019 . D. x 2018 . Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số cộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng 408242 ? A. 402 .B. 403.C. 405 . D. 404 . Câu 4. Cho cấp số cộng un có u1 3, uk 2018 và Sk 408242 . Số hạng thứ 2018 của cấp số cộng đó là số nào dưới đây? A. 10088.B. 10093. C. 10083. D. 10098. Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x3 3mx2 2m m 4 x 9m2 m 0 . 17 265 17 265 A. m 0 .B. m .C. m .D. m 1. 12 12 Lời giải Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận. - Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x1 x2 x3 3m . Vì x1, x2 , x3
lập thành cấp số cộng nên x1 x3 2x2 . Suy ra 3x2 3m x2 m . Thay x2 m vào phương trình đã cho, ta được 3 2 2 2 m 0 m 3m.m 2m m 4 .m 9m m 0 m m 0 m 1 - Điều kiện đủ: + Với m 0 thì ta có phương trình x3 0 x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó m 0 không phải giá trị cần tìm. + Với m 1, ta có phương trình x3 3x2 6x 8 0 x 1; x 2; x 4. Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m 1 là giá trị cần tìm. Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi chọn được phương án đúng. Trước hết, ta kiểm tra phương án A và D (vì m nguyên). + Với m 0 thì ta có phương trình x3 0 x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó m 0 không phải giá trị cần tìm. + Với m 1, ta có phương trình x3 3x2 6x 8 0 x 1; x 2; x 4. Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m 1 là giá trị cần tìm. STUDY TIP Phương trình bậc ba ax3 bx2 cx d 0 a 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp b số cộng thì điều kiện cần là x là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta có hệ 3a thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là 2b3 9abc 27a3d 0 . Trong thực hành giải b toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là x là nghiệm của phương trình. 3a Câu 9. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x4 10x2 2m2 7m 0 , tính tổng lập phương của hai giá trị đó. 343 721 721 343 A. .B. . C. . D. . 8 8 8 8 Lời giải Đặt t x2 t 0 . Khi đó ta có phương trình: t 2 10t 2m2 7m 0 (*) . Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm 52 (2m2 7m) 0 dương phân biệt 0 2m2 7m 25. 2 2m 7m 0 (do tổng hai nghiệm bằng 10 0 nên không cần điều kiện này). + Với điều kiện trên thì (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t1, t2 (t1 t2 ) . Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là t2 ; t1 ; t1 ; t2 . Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi t1 t2 t1 t1 t2 t1 t2 9t1. 2 Theo định lý Vi-ét ta có: t1 t2 10; t1.t2 2m 7m . t2 9t1 t1 1 m 1 Suy ra ta có hệ phương trình t1 t2 10 t2 9 9 . m 2 2 t1.t2 2m 7m 2m 7m 9 2 Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được. 3 3 9 721 Do đó 1 . 2 8 Suy ra phương án đúng là C.
Câu 10. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 7700000 đồng.B. 15400000đồng. C. 8000000 đồng.D. 7400000 đồng. Lời giải Gọi un là giá của mét khoan thứ n , trong đó 1 n 20. Theo giả thiết, ta có u1 100000 và un 1 un 30000 với 1 n 19 . Ta có (un ) là cấp số cộng có số hạng đầu u1 100000 và công sai d 30000 . Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng (un ) . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là 20[2u (20 1)d] S u u u 1 7700000 (đồng). 20 1 2 20 2 Vậy phương án đúng là A. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? 5 1 1 7 5 1 1 A. 3,1,5,9,14 .B. 5,2, 1, 4, 7 . C. ,1, , , 3 .D. , , 2, , . 3 3 3 2 2 2 2 Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng? A. Dãy số an với an 3n 5 . B. Dãy số bn với bn 3 5n . 2 C. Dãy số cn với cn n n . 4n 1 D. Dãy số d với d 2017cot 2018 . n n 2 1 1 1 Câu 3. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: Ba số , , theo thứ tự lập thành một x y y z z x cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Ba số x2 , y2 , z2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. B. Ba số y2 , z2 , x2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. C. Ba số y2 , x2 , z2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. D. Ba số z2 , y2 , x2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng. * Câu 4. Cho cấp số cộng un xác định bởi u3 2; un 1 un 3, n ¥ . Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. A. un 3n 11.B. un 3n 8 .C. un 2n 8.D. un n 5. Câu 5. Cho cấp số cộng un có u2 2017;u5 1945 . Tính u2018 . A. u2018 46367 .B. u2018 50449 .C. u2018 46391.D. u2018 50473 . 2 Câu 6. Cho cấp số cộng xn có Sn 3n 2n . Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó. A. u1 2;d 7 .B. u1 1;d 6 .C. u1 1;d 6 . D. u1 2;d 6 . 2 2 2 2 Câu 7. Cho cấp số cộng un có Sn 7n 2n . Tính giá trị của biểu thức P u3 u5 u7 . A. P 491.B. P 419 .C. P 1089 . D. P 803 .
u3 u5 5 Câu 8. Cho cấp số cộng un với . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng. u3.u5 6 A. u1 1 hoặc u1 4 .B. u1 1 hoặc u1 4 .C. u1 1 hoặc u1 4 .D. u1 1 hoặc u1 1. 2 2 2 Câu 9. Cho cấp số cộng un có công sai d 2 và u2 u3 u4 đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng un ? A. 1012.B. 1011. C. 1014. D. 1013. Câu 10. Cho cấp số cộng 6, x, 2, y . Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 2; y 5 .B. x 4; y 6 . C. x 2; y 6 .D. x 4; y 6 . Câu 11. Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là A. 6,9,12,15,18,21.B. 21,18,15,12,9,6 . 13 27 41 16 23 37 44 58 65 C. ,10, ,17, ,24 .D. , , , , , . 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Câu 12. Cho hai cấp số cộng xn : 4,7,10, và yn :1,6,11, Hỏi trong 2017 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 .B. 403.C. 672 .D. 673. Câu 13. Cho cấp số cộng 1,7,13, , x thỏa mãn điều kiện 1 7 13 x 280 . Tính giá trị của x . A. x 53 .B. x 55 .C. x 57 .D. x 59 . Câu 14. Biết rằng tồn tại các giá trị của x 0;2  để ba số 1 sin x,sin2 x,1 sin3x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x . 7 23 A. S 5 .B. S 3 .C. S .D. S . 2 6 Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Câu 15. Cho cấp số cộng un có u4 3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9 45. Cấp số cộng trên có A. S10 92 .B. S20 980 .C. S3 56 .D. S16 526 . Câu 16. Cho cấp số cộng xn có x3 x13 80 . Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. A. S15 600 .B. S15 800 . C. S15 570 .D. S15 630 . Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng. Câu 17. Cho cấp số cộng un . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. n p um p m un m n u p 0 .B. m n um n p un p m u p 0 . C. m p um n m un p n u p 0 .D. p n um m p un m n u p 0 . 1 1 1 Câu 18. Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện , , lập thành một cấp số b c c a a b cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Ba số a,b,c lập thành một cấp số cộng. 1 1 1 B. Ba số , , lập thành một cấp số cộng. a b c C. Ba số a2 ,b2 ,c2 lập thành một cấp số cộng. D. Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 10x2 m 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. A. m 16 . B. m 9 . C. m 24 . D. m 21. Câu 20. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x4 2 m 1 x2 2m 1 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó. 1312 1024 32 1600 A. . B. . C. . D. . 81 81 9 81 Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 x m2 1 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. A. m 16 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Câu 22. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1,m2 ,m3 của tham số m để phương trình x3 9x2 23x m3 4m2 m 9 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính 3 3 3 giá trị của biểu thức P m1 m2 m3 . A. P 34. B. P 36. C. P 64 . D. P 34 . Câu 23. Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm . Kí hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao hn . A. hn 0,18n 0,32 m . B. hn 0,18n 0,5 m . C. hn 0,5n 0,18 m . D. hn 0,5n 0,32 m . Câu 24. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này? A. 77 hàng. B. 76 hàng. C. 78 hàng. D. 79 hàng. Câu 25. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? A. 98 ô. B. 100ô. C. 102 ô. D. 104 ô. Câu 26. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty. A. 198triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 228 triệu đồng. D. 114 triệu đồng. Câu 27. Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2 , , An , sao cho với mỗi số nguyên dương n , OAn n . Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox , vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn , n 1,2, Kí hiệu u1 là diện tích nửa đường tròn đường kính OA1 và với mỗi n 2 , kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn 1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Dãy số un không phải là một cấp số cộng. B. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d . n 4 C. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d . n 8 D. Dãy số u không phải là một cấp số cộng có công sai d . n 2
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị C của hàm số y 3x 2 . Với mỗi số nguyên dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị C với đường thẳng d : x n 0 . Xét dãy số un với un là tung độ của điểm An . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Dãy số un là một cấp số cộng có công sai d 2 . B. Dãy số un là một cấp số cộng có công sai d 3. C. Dãy số un là một cấp số cộng có công sai d 1. D. Dãy số un không phải là một cấp số cộng. Câu 29. Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u1 2 và công sai d 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy các điểm A1, A2 , sao cho với mỗi số nguyên dương n , điểm An có tọa độ n;un . Biết rằng khi đó tất cả các điểm A1, A2 , , An , cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương trình của đường thẳng đó. A. y 3x 5. B. y 3x 2 . C. y 2x 3 . D. y 2x 5
D. HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng Câu 1. Đáp án B. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng. - Phương án A: 1 3 5 1 9 5 4 14 9 5 . - Phương án B: 2 5 1 2 4 1 7 4 3 . Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng. Câu 2. Đáp án C. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng. - Phương án A: Ta có an 1 an 3,n 1 nên an là cấp số cộng. - Phương án B: Ta có bn 1 bn 5,n 1 nên bn là cấp số cộng. - Phương án C: Ta có cn 1 cn 2n,n 1 nên cn không là cấp số cộng. 4n 1 - Phương án D: Ta có d 2018,n 1(do cot 0 ) nên d là cấp số cộng. n 2 n Câu 3. Đáp án C. Theo giả thiết, ta có: 1 1 2 y z 2x y z 2 x y x z y2 z2 2x2 . x y z x y z Suy ra y2 , x2 , z2 hoặc z2 , x2 , y2 lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C. Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng Câu 4. Đáp án A. Ta có un là cấp số cộng có công sai d 3 nên số hạng đầu là u1 u3 2d 8 Suy ra số hạng tổng quát là un 3n 11. Câu 5. Đáp án A. u1 d 2017 u1 2041 Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có: u1 4d 1945 d 24 Suy ra u2018 u1 2017d 46367 . Câu 6. Đáp án B. Ta có u1 S1 1 và u1 u2 S2 8 . Suy ra u2 7 Vậy d u2 u1 6 . Câu 7. Đáp án A. Ta có un Sn Sn 1 9 4n . Suy ra u3 3,u5 11,u7 19 . Do đó P 491. Câu 8. Đáp án A. u3 u5 5 u3 2 u3 3 Ta có hoặc . u3.u5 6 u5 3 u5 2 u3 2 + Giải , ta được u1 1. u5 3 u3 3 + Giải , ta được u1 4 . u5 2 Câu 9. Đáp án A. 2 2 2 2 2 Ta có u2 u3 u4 3u1 24u1 56 3 u1 4 8 8 Dấu bằng xảy ra khi u1 4 0 u1 4 Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un 2n 6 .
Nếu un 2018 thì 2n 6 2018 n 1012 . Vậy 2018 là số hạng thứ 1012 của cấp số cộng. Câu 10. Đáp án C. 2x 6 2 x 2 Theo tính chất của cấp số cộng, ta có . 2. 2 x y y 6 Câu 11. Đáp án A. Theo giả thiết, ta có u1 3,u8 24 Suy ra 3 7d 24 d 3 . Vậy 6 số cần viết thêm là 6,9,12,15,18,21. Câu 12. Đáp án B. Ta có xn 4 n 1 .3 3n 1,1 n 2017 yn 1 m 1 .5 5m 4,1 m 2017 Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có 3n 1 5m 4 3n 5 m 1 . Suy ra n5, tức là n 5t và m 3t 1 t ¥ * . Lại do 1 n 2017 nên 1 t 403. ứng với 403 giá trị của t , ta tìm được 403 số hạng chung. Câu 13. Đáp án B. Cấp số cộng 1,7,13,, x có số hạng đầu u1 1 và công sai d 6 nên số hạng tổng quát là un 6n 5 n 6n 4 Giả sử x u 6n 5 . Khi đó 1 7 13  x 3n2 2n n 2 2 Theo giả thiết, ta có 3n 2n 280 n 10 x u10 55 . Câu 14. Đáp án A. Theo tính chất của cấp số cộng ta có: 1 sin x 1 sin 3x 2sin2 x 2 4sin x 4sin3 x 2sin2 x 2sin3 x sin2 x 2sin x 1 0 2sin x 1 sin2 x 1 0 1 sin x 2 cos x 0 x k2 1 6 +) sin x . 2 7 x k2 6 +) cos x 0 x k 2
11 7 Với nghiệm x k2 và x 0;2  , ta tìm được x . Với nghiệm x k2 và 6 6 6 7 x 0;2  , ta tìm được x . Với nghiệm x k và x 0;2  ta tìm được nghiệm 6 2 3 x ; x 2 2 11 7 3 Do đó S 5 . 6 6 2 2 Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Câu 15. Đáp án B. Ta có u4 3 u1 3d 3 . 92u1 8d  S 45 45 u 4d 5 . 9 2 1 u1 3d 3 u1 27 Do đó ta có hệ phương trình . u1 4d 5 d 8 102u1 9d  202u1 19d  Ta có S 90;S 980 10 2 20 2 Vậy đáp án đúng là B. Câu 16. Đáp án A. Ta có x3 x13 80 x1 2d x15 2d 80 15 x x x x 80 S 1 15 600 . 1 15 15 2 Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng. Câu 17. Đáp án A. Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng. Ta có: um u1 m 1 d;un u1 n 1 d;u p u1 p 1 d . - Phương án A: Ta có: n p um p m un m n u p - n p u1 m 1 d p m u1 n 1 d m n u1 p 1 d 0 . - Vậy đáp án A. Câu 18. Đáp án A. Theo giả thiết ta có: 1 1 2 b c a b c a c a a c 2 b 2 b c a b a c 2b Suy ra ba số a,b,c hoặc c,b,a lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là.A. Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng. Câu 19. Đáp án B. Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là 9b2 100ac hay 9.102 100.1.m m 9 . Với m 9 thì phương trình đã cho trở thành x4 10x2 9 0 x 1; x 3 . Bốn số 3; 1;1;3 lập thành một cấp số cộng nên m 9 là giá trị cần tìm. Câu 20. Đáp án A.
ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là 9b2 100ac hay m 4 2 9 2m 2 100.1. 2m 1 9m2 32m 16 0 4 m 9 Với m 4 , ta có phương trình x4 10x2 9 0 . Phương trình nàu có 4 nghiệm là 3; 1;1;3 lập thành cấp số cộng. 4 1 1 Với m , ta có phương trình 9x4 10x2 1 0 . Phương trình này có 4 nghiệm 1; ; ;1 9 3 3 lập thành cấp số cộng. 4 Vậy m 4;m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9 2 2 4 1312 Do đó 4 . 9 81 Câu 21. Đáp án D. Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện b 3 cần là 1 là nghiệm của phương trình. 3a 3 Suy ra 13 3.12 1 m2 1 0 m 2 . Với m 2 , ta có phương trình x3 3x2 x 3 0 . x 3 x2 1 0 x 1, x 1, x 3 Ba số 1,1,3 lập thành cấp số cộng. Vậy các giá trị cần tìm là m 2 . Do đó D là phương án đúng. Câu 22. Đáp án A. Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều b 9 kiện cần là: 3 là nghiệm của phương trình. 3a 3 Suy ra 33 9.32 23.3 m3 4m2 m 9 0 m3 4m2 m 6 0 m 1,m 2,m 3 Với m 1,m 2,m 3 thì m3 4m2 m 6 0 nên m3 4m2 m 9 15 . Do vậy, với m 1,m 2,m 3 ta có phương trình x3 9x2 23x 15 0 x 3 x2 6x 5 0 x 1, x 3, x 5 . Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy m 1,m 2,m 3 là các giá trị cần tìm. Do đó 1 3 23 33 34 Câu 23. Đáp án A. Ký hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Khi đó, ta có hn 1 hn 0,18 (mét), trong đó h1 0,5 (mét). Dãy số hn lập thành một cấp số cộng có h1 0,5 và công sai d 0,18 . Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là hn 0,5 n 1 .0,18 0,18.n 0,32 (mét). Câu 24. Đáp án A.
n n 1 Giả sử trồng được n hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là S 1 2 n . 2 n n 1 Theo giả thiết ta có 3003 n 77 . 2 Câu 25. Đáp án B. Kí hiệu un là số hạt dẻ ở ô thứ n . Khi đó, ta có u1 7 và un 1 un 5,n 1. Dãy số un là cấp số cộng với u1 7 và công sai d 5 nên có 2 n 2u1 n 1 d 5n 9n S . n 2 2 5n2 9n Theo giả thiết, ta có 25450 n 100 . 2 Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng. Câu 26. Đáp án B. Kí hiệu un là mức lương của quý thứ n làm việc cho công ty. Khi đó u1 13,5 và un 1 un 0,5,n 1. Dãy số un lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u1 13,5 và công sai d 0,5 . Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý. Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng un . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của 12.2.13,5 11.0,5 kỹ sư là S 195 (triệu đồng). 12 2 Câu 27. Đáp án B. n Bán kính đường tròn có đường kính OA là r . n n 2 2 1 n n2 Diên tích nửa đường tròn đường kính OAn là Sn . 2 2 8 2 2n 1 Suy ra u s s n2 n 1 ,n 2 . n n n 1 8 8 2 1 1 Ta có u1 . 2 2 8 Do u u ,n 1 nên u là cấp số cộng với công sai d . n 1 n 4 n 4 Suy ra B là phương án đúng. Câu 28. Đáp án B. Ta có An n;un trong đó un 3n 2 . Do un 1 un 3,n 1 nên un là một cấp số cộng với công sai d 3 . Suy ra B là phương án đúng. Câu 29. Đáp án A. Số hạng tổng quát của cấp số cộng un là un u1 n 1 d 3n 5 .
Nhận thấy toạ độ của các điểm An đều thoả mãn phương trình y 3x 5 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm A1, A2 , , An , là y 3x 5 . Suy ra A là phương án đúng.
CẤP SỐ NHÂN A. LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA. Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q. Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân. Đặc biệt: 1) Khi q 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). 2) Khi q 0 thì cấp số nhân có dạng u1,0,0,0,,0, 3) Khi u1 0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0,0,0,0,,0, Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: * Nếu un là một cấp số nhân với công bội q , ta có công thức truy hồi un 1 un .q, n ¥ (1) STUDY TIP 1) Để chứng minh dãy số un là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi q sao cho un 1 un .q, n 1. 2) Trong trường hợp un 0,n 1 để chứng minh un là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ ra tỷ u số n 1 là một số không đổi với mọi số nguyên dương n. un 3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân. Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân. 1 1 1 1 3, 1, , , , . 3 9 27 81 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Ta có 1 2 3; 1 3. ; 1. ; . ; 3 3 3 9 3 3 1 1 1 1 1 1 . ; . . 27 9 3 81 27 3 1 1 1 1 1 Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số 3, 1, , , , . là một cấp số nhân với công bội q . 3 9 27 81 3 Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? 2n 3 2 a) Dãy số xn , với xn n ; b) Dãy số yn , với yn 5 ; 2 3n 1 c) Dãy số z , với z ; d) Dãy số w , với w . n n n n n 3n 1 Lời giải a) Cách 1: Ba số hạng đầu của dãy số xn là 1, 4, 9. Vì 4 1.4;9 4.4 nên dãy số xn không phải là cấp số nhân. 2 2 xn 1 n 1 2 1 Cách 2: Ta có xn 1 n 1 nên 2 1 2 (phụ thuộc vào n không phải là số không xn n n n đổi). Do đó, xn không phải là cấp số nhân.
2(n 1) 3 2n 1 y 2 b) Ta có y 5 5 nên n 1 5 5 (là số không đổi). Do đó, y phải là cấp số n 1 y n n nhân với công bội q 5 . 2 zn 1 n c) Ta có zn 1 nên (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi). n 1 zn n 1 Do đó zn không phải là một cấp số nhân. 4 10 28 10 4 5 28 10 5 d) Ba số hạng đầu của dãy số w là , , . Vì  ,  nên dãy số w không phải n 9 27 81 27 9 6 81 27 6 n là cấp số nhân. Ví dụ 3. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 1 và công bội q 3. Viết 6 số hạnh đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó. Lời giải Ta có u2 u1q ( 1)( 3) 3; u3 u2 q 3( 3) 9; u4 u3 q ( 9)( 3) 27; u5 u4 q (27)( 3) 81; u6 u5 q ( 81)( 3) 243; Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là S 1 3 ( 9) 27 ( 81) 243 182. 2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân. Định lý 1. Nếu cấp số nhân u có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát u được xác định n 1 n n 1 bởi công thức: un u1 q , n 2. (2) STUDY TIP Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra kết quả sau: Cho cấp số nhân un với các số hạng khác 0. Khi đó ta có: m k 1) um uk .q ,k m. u 2) qm k m ,k m. uk Ví dụ 4. Cho cấp số nhân un có u1 3 và q 2. a) Tìm u7 . b) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho? Lời giải 7 1 6 a) Ta có u7 u1q 3.2 192. n 1 n 1 b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un u1q 3.2 . n 1 Vì un 12288 nên 3.2 12288 n 13. Do n 13 là số nguyên dương nên số12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho. Ví dụ 5. Cho cấp số nhân xn có x3 18 và x7 1458. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó Lời giải Gọi q là công bội của cấp số nhân xn .
2 2 x3 18 x1.q 18 x1.q 18 x1 2 x1 2 Ta có 6 2 4 2 x7 1458 x1.q 1458 x1.q q 1458 q 9 q 3 n 1 n 1 + Với x1 2 và q 3, ta có số hạng tổng quát là xn x1.q 2.3 . n 1 n 1 + Với x1 2 và q 3, ta có số hạng tổng quát là xn x1.q 2.( 3) . 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân Định lý 2. Trong một cấp số nhân un , bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2 u k uk 1.uk 1, k 2 (3) STUDY TIP Một cách tổng quát, ta có: 2 Nếu un là cấp số nhân thì um um k um k ,k m Ví dụ 6. a) Cho cấp số nhân an có a7 4 và a9 12 . Tìm a8 . b) Cho cấp số nhân 3, x,12, y . Tính giá trị của biểu thức F x3 y3 . Lời giải 2 a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có a8 a7 .a9 4.12 48 Suy ra a8 4 3 hoặc a8 4 3 . b) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x2 3.12 36 và x.y 122 144. Giải ra ta được x 6; y 24 hoặc x 6; y 24 . + Với x 6; y 24 thì F x3 y3 14040. + Với x 6; y 24 thì F x3 y3 14040. Vậy F 14040hoặc F 14040. 4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Định lý 3. Cho một cấp số nhân un với công bội q 1. Đặt Sn u1 u2 un . Khi đó: n(1 qn ) u u S (4) hoặc S 1 n 1 (5) n 1 q n 1 q STUDY TIP 1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính Sn khi biết số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân. 2) Công thức (5) được sử dụng để tính Sn trong trường hợp biết các số hạng u1,un 1 và công bội q của cấp số nhân. Ví dụ 7. a) Tính tổng S 1 10 102  1012. b) Cho cấp số nhân un có u1 3 và công bội q 2 . Tìm k, biết Sk 189 . Lời giải
2 12 a) Ta có dãy số 1,10,10 ,,10 lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 1 và công bội q 10 . Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó u 1 q13 1 1 13 S S13 10 1 . 1 q 9 u 1 qk 3. 1 2k 1 k b) Ta có Sk 3 2 1 1 q 1 2 Theo giả thiết, ta có 3 2k 1 189 2k 26 k 6. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? n n 1 * A. Dãy số an , với an 1 .3 1, n ¥ . 2017 B. Dãy số b , với b 1, b b b , n ¥ * . n 1 n 1 n 2018 n 2n 1 * C. Dãy số cn , với cn n.5 , n ¥ . 2 * D. Dãy số dn , với d1 3, dn 1 dn , n ¥ . Lời giải Đáp án B Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng. - Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 8, 28, 80. 28 80 Ba số này không lập thành cấp số nhân vì . 8 28 4035 - Phương án B: Ta có b b ,n ¥ * nên b là cấp số nhân n 1 2018 n n c 25 n 1 - Phương án C: Ta có n 1 (phụ thuộc vào n, không phải là không đổi) cn n Do đó (cn ) không phải là cấp số nhân. - Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số dn là 3,9,81. Nhận thấy ba số này không lập thành cấp số nhân nên dãy số dn không là cấp số nhân. Câu 2. Cho cấp số nhân an có a1 3 và a2 6 . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho. A. a5 24 . B. a5 48 . C. a5 48 .D. a5 24 . Lời giải Đáp án B a Ta có công bội của cấp số nhân là q 2 2. a1 4 4 Suy ra a5 a1.q 3.( 2) 48 . Vậy phương án đúng là B. Nhận xét: Với dữ kiện của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây: Câu 1. Cho cấp số nhân an có a1 3 và a2 6 . Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho. n n 1 n 1 n A. un 3.( 2) . B. un 3.( 2) . C. un 3.(2) . D. un 3.(2) . Cho cấp số nhân a có a 3 và a 6 . Tìm tổng S của 50 số hạng đầu tiên cấp số nhân đã Câu 2. n 1 2 cho.
A. S 250 1. B. S 251 1. C. S 1 250 . D. S 1 251 . Câu 3. Cho cấp số nhân an có a1 3 và a2 6 . Biết rằng Sk 16383 , tính a k . A. ak 24576 . B. ak 24576 . C. ak 49152 . D. ak 49152 . x2 x4 x5 10 Câu 3. Cho cấp số nhân xn có . Tìm x1 và công bội q. x3 x5 x6 20 A. x1 1,q 2.B. x1 1,q 2 . C. x1 1,q 2 .D. x1 1,q 2 . Lời giải x 1 q2 q3 10 x2 x4 x5 10 2 x 2 Ta có 2 . 2 3 x3 x5 x6 20 x q 1 q q q 2 2 x Suy ra x 2 1. Vậy phương án đúng là A. 1 q n Câu 4. Cho cấp số nhân un có tổng n số hạng đầu tiên là Sn 5 1. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. A. u1 6,q 5 .B. u1 5,q 4 . C. u1 4,q 5 . D. u1 5,q 6 . Lời giải 2 Ta có u1 S1 5 1 4 và u2 S2 S1 5 1 5 1 20. STUDY TIP 1) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba: 3 2 Nếu phương trình bậc ba ax bx cx d 0 có ba nghiệm x1, x2 , x3 thì: b x x x 1 2 3 a c x1x2 x2 x3 x3 x1 . a d x x x 1 2 3 a 2) Trong thực hành giải toán, chúng ta sử dụng kết quả này kết hợp với giả thiết của bài toán để tìm ra nghiệm của phương trình hoặc xác định được mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình. d Trường hợp nếu là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nói trên có ba nghiệm a d lập thành một cấp số nhân là x 3 là nghiệm của phương trình bậc ba đó. a Câu 5. Cho cấp số nhân un có u1 3 và 15u1 4u2 u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho. A. u13 24567 .B. u13 12288.C. u13 49152 . D. u13 3072. Lời giải Gọi q là công bội của cấp số nhân un . 2 2 Ta có 15u1 4u2 u3 45 12q 3q 3 q 2 33 33 q. 12 Suy ra u13 u1q 12288. Phương án đúng là B. Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau:
Câu 15. Cho cấp số nhân un có u1 3 và 15u1 4u2 u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là n 1 n A. un 3.2 . B. un 3.2 1. n 1 n 1 C. un 3. 2 . D. un 3.4 . Câu 16. Cho cấp số nhân un có u1 3 và 15u1 4u2 u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó? A. 13.B. 12. C. 14. D. 15. Câu 17. Cho cấp số nhân un có u1 3 và 15u1 4u2 u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. A. S15 737235. B. S15 2949075. C. S15 1474515. D. S15 2949075. Câu 18. Cho cấp số nhân un có u1 3 và 15u1 4u2 u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Biết Sk 5898195, tìm k . A. k 16. B. k 18. C. k 19. D. k 17. Câu 6. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 125 cm3 và diện tích toàn phần là 175 cm2. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó. A. 30cm. B. 28cm. C. 31cm. D. 17,5cm. Lời giải Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích a thước đó là ,q,aq. q a Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là V .a.qa a3 125 a 5. q Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là a a 2 1 1 Stp 2 .a a.aq aq. 2a 1 q 50 1 q . q q q q q 2 1 2 Theo giả thiết, ta có 50 1 q 175 2q 5q 2 0 1 . q q 2 1 Với q 2 hoặc q thì kích thước của hình hộp chữ nhật là 2,5cm;5cm;10cm. 2 Suy ra tổng của ba kích thước này là 2,5 5 10 17,5 cm. Vậy phương án đúng là D. Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 7x2 2 m2 6m x 8 0. A. m 7. B. m 1. C. m 1 hoặc m 7. D. m 1 hoặc m 7. Lời giải + Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 lập thành một cấp số nhân. Theo định lý Vi-ét, ta có x1x2 x3 8. 2 3 Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x1x3 x2 . Suy ra ta có x2 8 x2 2. + Điều kiện đủ: Với m 1 và m 7 thì m2 6m 7 nên ta có phương trình x3 7x2 14x 8 0.
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4. Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q 2. Vậy, m 1 và m 7 là các giá trị cần tìm. Do đó phương án D. STUDY TIP Ta có thể chỉ ra nghiệm x2 bằng cách khác: 2 Theo định lý Vi-ét thì x1 x2 x3 7; x1x2 x2 x3 x3 x1 2 m 6m ; x1x2 x3 8. 2 Theo tính chất của cấp số nhân thì x1x3 x2 . Suy ra 2 2 m 6m x1x2 x2 x3 x3 x1 x2 x1 x2 x3 . 3 2 m2 6m 8 m2 6m Thay x x x 7; được x . Thay vào x x x 8 ta được 8 1 2 3 2 7 1 2 3 73 m2 6m 7 0. Nhận xét: Từ kêt quả của ví dụ này, ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây: Câu 1. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 7x2 2 m2 6m x 8 0. Tính tổng bình phương của hai giá trị đó. A. 48 .B. 64 . C. 36 .D. 50 . Câu 2. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 7x2 2 m2 6m x 8 0 . Tính tổng bình phương của ba số hạng của cấp số nhân đó. A. 49 .B. 21.C. 14. D. 13. Câu 8. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ A. 4.105. 0,05 5 . B. 4.105. 1,4 5 . C. 4.105. 1,04 5 . D. 4. 10,4 5 . Lời giải 5 Đặt u0 4.10 và r 4% 0,04. Gọi un là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ n. Khi đó ta có un 1 un un 1 r ,n N. Suy ra un là cấp số nhân với số hạng đầu u0 và công bội q 1 r. n Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân un là un u0 1 r . Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có: 4 5 5 5 un u1.q 4.10 . 1 0,04 4. 10,4 mét khối gỗ. Vậy phương án đúng là D. Câu 9. Bài toán “Lãi kép” Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây? A. 196715000 đồng.B. 196716000 đồng. C. 183845000 đồng. D. 183846000 đồng. Lời giải 8 Đặt M 0 10 (đồng) và r 7% 0,07. Gọi M n là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau n năm.
Theo giả thiết, ta có M n 1 M n M n.r M n 1 r ,n 1. Do đó dãy số M n là cấp số nhân với số hạng đầu M 0 và công bội q 1 r. Suy ra n M n M 0 1 r . Vì vậy, sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là 10 8 10 M10 M 0 1 r 10 . 1,07 196715000. Vậy phương án đúng là A. Câu 10. Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng (kể từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có 180 triệu đồng? A. 34 tháng. B. 32 tháng.C. 31 tháng. D. 30 tháng. Lời giải Theo ví dụ 9 , thì sau n tháng gửi tiết kiệm, ta có n 7 M n M 0 1 r , trong đó M 0 15.10 ,r 0,0058. 7 n Do đó M n 15.10 . 1,0058 . Cách 1: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng. 7 34 + Phương án A: M 34 15.10 . 1,0058 182594000 (đồng). 7 32 + Phương án B: M 32 15.10 . 1,0058 180494000 (đồng). 7 31 + Phương án C: M 31 15.10 . 1,0058 179453000 (đồng). Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa). 7 Cách 2: Theo giả thiết, ta có M n 18.10 (đồng). n n 6 Do đó, ta có 18.107 15.107. 1,0058 1,0058 . 5 6 Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được n log : log 1,0058 hay n 31,526. 5 Do đó n 32. Vậy phương án đúng là B. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân. Câu 1. Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân? 1 1 1 1 1 1 A. 1, , , . B. ; ; ;1. 5 25 125 8 4 2 1 1 1 C. 4 2;2 4 2;4 4 2;8 4 2. D. 1; ; ; . 3 9 27 Câu 2. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? n A. Dãy số un , với un 7 3n. B. Dãy số vn , với vn 7 3 . 7 C. Dãy số w , với w 7.3n. D. Dãy số t , với t . n n n n 3n Câu 3. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân. u1 2 u1 1 u1 3 u1 3 A. 2 . B. . C. . D. n . un 1 un un 1 3un un 1 un 1 un 1 2 .un Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
u Câu 4. Cho dãy số u xác định bởi u 3 và u n ,n 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số. n 1 n 1 4 n 1 n n 1 n 1 A. un 3.4 . B. un 3.4 . C. un 3.4 . D. un 3.4 . Câu 5. Cho cấp số nhân xn có x2 3 và x4 27. Tính số hạng đầu x1 và công bội q của cấp số nhân. A. x1 1,q 3 hoặc x1 1,q 3. B. x1 1,q 3 hoặc x1 1,q 3. C. x1 3,q 1 hoặc x1 3,q 1. D. x1 3,q 1 hoặc x1 3,q 1. Câu 6. Cho cấp số nhân an có a3 8 và a5 32. Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó. A. a10 1024. B. a10 512. C. a10 1024. D. a10 1024. Câu 7. Cho cấp số nhân x,12, y,192. Tìm x và y. A. x 3, y 48 hoặc x 4, y 36. B. x 3, y 48 hoặc x 2, y 72. C. x 3, y 48 hoặc x 3, y 48. D. x 3, y 48 hoặc x 3, y 48. Câu 8. Cho cấp số nhân un có u1 5,q 3 và Sn 200, tìm n và un . A. n 5 và un 405. B. n 6 và un 1215. C. n 7 và un 3645. D. n 4 và un 135. Câu 9. Cho cấp số nhân an có a1 2 và biểu thức 20a1 10a2 a3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đó. A. a7 156250. B. a7 31250. C. a7 2000000. D. a7 39062. Câu 10. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất 1 bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó. 9 A. 50 ,150 ,450 ,2250. B. 90 ,270 ,810 ,2430. C. 70 ,210 ,630 ,2690. D. 80 ,320 ,720 ,2480. u4 u6 540 Câu 11. Cho cấp số nhân un có . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân. u3 u5 180 A. u1 2,q 3. B. u1 2,q 3. C. u1 2,q 3. D. u1 2,q 3. Câu 12. Cho cấp số nhân an có a1 7, a6 224 và Sk 3577. Tính giá trị của biểu thức T k 1 ak . A. T 17920. B. T 8064. C. T 39424. D. T 86016. Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Câu 13. Cho cấp số nhân un có S2 4 và S3 13. Tìm S5. 181 35 A. S 121 hoặc S . B. S 121 hoặc S . 5 5 16 5 5 16 185 183 C. S 114 hoặc S . D. S 141 hoặc S . 5 5 16 5 5 16 Câu 14. Cho cấp số nhân un có u1 8 và biểu thức 4u3 2u2 15u1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S10. 11 10 2 4 1 2 4 1 210 1 211 1 A. S B. S C. S D. S 10 5.49 10 5.48 10 3.26 10 3.27 1024 Câu 15. Cho cấp số nhân un có u1 2, công bội dương và biểu thức u4 đạt giá trị nhỏ nhất. u7 Tính S u11 u12 u20.
A. S 2046. B. S 2097150. C. S 2095104. D. S 1047552. u4 u6 540 Câu 16. Cho cấp số nhân un có . Tính S21. u3 u5 180 1 21 21 21 1 21 A. S21 3 1 B. S21 3 1. C. S21 1 3 . D. S21 3 1 . 2 2 Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân. Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 3x 1 x2 5m 4 x 8 0. A. m 2. B. m 2. C. m 4. D. m 4. Câu 18. Biết rằng tồn tại hai giá trị m1 và m2 để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 2x3 2 m2 2m 1 x2 7 m2 2m 2 x 54 0. Tính giá trị của biểu thức 3 3 P m1 m2 . A. P 56 B. P 8. C. P 56 D. P 8. Câu 19. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu? A. 120. B. 121. C. 122. D. 200. Câu 20. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền? A. 108. 0,007 5 (đồng)B. 108. 1,007 5 (đồng) C. 108. 0,007 6 (đồng) D. 108. 1,007 6 (đồng) Câu 21. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu? A. 10320 nghìn người.B. 3000 nghìn người. C. 2227 nghìn người. D. 2300 nghìn người. Câu 22. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 1012 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? A. 1024.1012 tế bào.B. 256.1012 tế bào. C. 512.1012 tế bào. D. 512.1013 tế bào. Câu 23. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 12288m2 , tính diện tích mặt trên cùng. A. 6m2. B. 12m2. C. 24m2. D. 3m2. Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng. Câu 24. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai? A. Dãy số an , với a1 3 và an 1 an 6, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 B. Dãy số bn , với b1 1 và bn 1 2bn 1 3, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 C. Dãy số cn , với c1 2 và cn 1 3cn 10 n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. 2 D. Dãy số dn , với d1 3 và dn 1 2dn 15, n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. Câu 25. Các số x 6y, 5x 2y, 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số 5 x , y 1, 2x 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y. 3 3 1 3 1 A. x 3, y 1 hoặc x , y . B. x 3, y 1 hoặc x , y . 8 8 8 8
C. x 24, y 8 hoặc x 3, y 1 D. x 24, y 8 hoặc x 3, y 1 Câu 26. Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2;3;9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F x2 y2 z2. A. F 389. hoặc F 395. B. F 395. hoặc F 179. C. F 389. hoặc F 179. D. F 441 hoặc F 357. D. HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân. Câu 1. Đáp án B Các dãy số trong các phương án A,C và D đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án B thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án B không phải là cấp số nhân. Câu 2. Đáp án C. Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng. + Phương án A: Ba số hạng đầu của dãy số là 4,1, 2 không lập thành cấp số nhân nên dãy số un không phải là cấp số nhân. + Phương án B : Ba số hạng đầu của dãy số là 4; 2; 20 không lập thành cấp số nhân nên dãy số vn không phải là cấp số nhân. n 1 + Phương án C : Ta có wn 1 7.3 3wn ,n 1 nên dãy số wn là một cấp số nhân. 7 7 7 + Phương án D : Ba số hạng đầu của dãy số là , , không lập thành cấp số nhân nên dãy số 3 6 9 tn không phải là cấp số nhân. Câu 3. Đáp án B. Các kiểm tra như câu 2. Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. Câu 4. Đáp án B. u 1 1 Ta có: u n .u nên u là cấp số nhân có công bội q . Suy ra số hạng tổng quát là n 1 4 4 n n 4 n 1 n 1 1 1 n un u1.q 3. 3.4 . 4 Vậy phương án đúng là B. Câu 5. Đáp án B. x 3 x q 3 x 1 x 1 2 1 1 1 . Ta có 3 hoặc x4 27 x1q 27 q 3 q 3 Do đó B là phương án đúng. Câu 6. Đáp án A. 2 a3 8 a1q 8 a1 2 a1 2 Ta có: hoặc . a 32 4 q 2 q 2 5 a1q 32 9 Với a1 2,q 2 thì a10 a1q 1024. 9 Với a1 2,q 2 thì a10 a1q 1024. Vậy a10 1024. Suy ra A là phương án đúng. Câu 7. Đáp án C. Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
y2 12.192 2304 y 48. Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có: xy 122 144. Với y 48 thì x 3; với y 48 thì x 3. Vậy phương án đúng là C. Câu 8. Đáp án D. 1 qn Ta có: S u . nên theo giả thiế, ta có: n 1 1 q 1 3n 5. 200 3n 81 n 4. 1 3 3 Suy ra u4 u1.q 135. Vậy đáp án là D. Câu 9. Đáp án B. Gọi q là công bội của cấp số nhân an . 2 2 Ta có 20a1 10a2 a3 2 q 10q 20 2 q 5 10 10,q. Dấu bằng xảy ra khi q 5. 6 6 Suy ra a7 a1.q 2.5 31250. Vậy phương án đúng là B. Câu 10. Đáp án B. Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không. + Phương án A: Các góc 50 ,150 ,450 ,2250 không lập thành cấp số nhân vì 150 3.50 ; 450 3.150 ; 2250 3.450. + Phương án B : Các góc 90 ,270 ,810 ,2430 lập thành cấp số nhân và 1 90 270 810 2430 3600. Hơn nữa, 90 810 nên B là phương án đúng. 9 + Phương án C và D : Kiểm tra như phương án A. Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là a,aq,aq2 ,aq3 , trong đó q 1. 1 Theo giả thiết, ta có a aq2 nên q 3. 9 Suy ra các góc của tứ giác là a,3a,9a,27a. Vì tổng các góc trong tứ giác bằng 3600 nên ta có: a 3a 9a 27a 3600 a 90. Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc 90 ). Câu 11. Đáp án A. Ta có u4 u6 540 u3 u5 q 540. Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q 3. 2 4 Lại có u3 u5 180 u1 q q 180. Vì q 3 nên u1 2. Vậy phương án đúng là A. Câu 12. Đáp án A.