›
›
›

60 đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10

docx 60 trang nhungbui22 11/08/2022 3990
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "60 đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx60_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_10.docx

Nội dung text: 60 đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10

  1. Phần thứ nhất TUYỂN CHỌN 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 ĐỀ SỐ 01 Câu 1 (4 điểm) x y m 2 1. Cho hệ phương trình 2 2 2 x y 2x 2y m 4 (trong đó m là tham số x và y là ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm. b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A xy 2 x y 2011. 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 3. x4 3m 1 x2 6m 2 0 . Câu 2 (1,5 điểm) x y xy 1 Giải hệ phương trình 2 2 x 3 y 3 4 Câu 3 (1 điểm) 1 1 1 Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì . 1 x 2 1 y 2 1 xy Câu 4 (3,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 và B 4;3 . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho ·AMB 450 . 2. Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác 6 17 ABC; biết rằng D 2;1 , E 3;4 , F ; . 5 5 3. Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC. Chứng minh rằng IA2 IB2 IC 2 2 . c p a a p b b p c 1
  2. ĐỀ SỐ 02 Câu 1 (4,0 điểm) xy2 y3 3x 6y 0 1. Giải hệ phương trình 2 . x xy 3 0 2. Giải phương trình 18x 16 4 2x2 5x 3 7 4x2 2x 2 7 2x2 8x 6 . Câu 2 (1,0 điểm) 1 Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương m;n; p sao cho mỗi một trong các số m ; np 1 1 n ; p là một số nguyên. pm mn Câu 3 (2,0 điểm) a2012 b2012 c2012 1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2011. Chứng b2010 c2010 a2010 minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho an 3 bn 3 cn 3 2011 an 2 bn 2 cn 2 . bn 1 cn 1 an 1 2010 bn cn an 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có am 3 bm 3 cm 3 am 2 bm 2 cm 2 bất đẳng thức: . bm 1 cm 1 am 1 bm cm am Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các DEF và XTY . 2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu 5 (1,0 điểm) Kí hiệu ¥ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử f : ¥ ¥ là hàm số thỏa mãn các điều kiện f 1 0 và f m2 2n2 f 2 m 2 f 2 n với mọi m,n ¥ . Tính các giá trị của f 2 và f 2011 . 2
  3. ĐỀ SỐ 03 Câu 1. 1. Giải phương trình: 2 x 6 3 x 5 x 3 . 2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a 2b 5c 0 . Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. Câu 2. x2 4xy x 2y 0 Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 . x 8x y 3x 4y 0 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A 1;3 , B 5; 3 . Xác định tọa   độ điểm M trên đường thẳng d: x 2y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cot A cot C cot B . 1. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi 1 . 2 2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2 . Câu 5. 1 1 1 Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1. a2 b2 c2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
  4. ĐỀ SỐ 04 Câu 1 (1,5 điểm) x x 1. Xác định tính chẵn – lẻ của hàm số y . 10 x 10 x 2. Cho các nửa khoảng A a;a 1 , B b;b 2 . Đặt C A B . Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dại của đoạn C khi đó. Câu 2 (2,0 điểm) 1. Tìm m để phương trình x2 1 m4 m2 1 có bốn nghiệm phân biệt. m 1 x 2 2. Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: m 1. x 2 Câu 3 (2,5 điểm) 1. Giải phương trình x2 7x 8 2 x . 7x y 2x y 5 2. Giải hệ phương trình . x y 2x y 1 Câu 4 (3,0 điểm) AB c AC b B· AC 600 1. Cho tam giác ABC có  , và . Các điểm M, N được xác định bởi MC 2MB và NB 2NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng diện tích của các tam giác 3 AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức S S S S . a b c 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R 0 , R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 4
  5. ĐỀ SỐ 05 Câu 1 (4 điểm) Hãy tìm tất cả các số để khi thêm vào tích sau ta được một số chia hết cho 2011. 2010 A 20112 1 .20102011 Câu 2 (4 điểm) x 1 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên ¡ thỏa mãn f x f x 1, với mọi x x 0, x 1. Câu 3 (4 điểm) Giải phương trình: 3x2 8x 67 8 4 4x 4 0. Câu 4 (4 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 1. a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c . Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm O và bán kính R. Chứng minh: M C MA2 MB2 MC 2 2BC 2. 5
  6. ĐỀ SỐ 06 Câu 1 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 2 x ¡ . 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x2 2 m 1 x m3 m 1 2 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 3 3 nhỏ nhất của biểu thức sau: P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 . Câu 2. x2 x3 y xy2 xy y 1 Giải hệ phương trình: 4 2 . x, y ¡ x y xy 2x 1 1 Câu 3. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 1 x2 y 1 y2 2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y. Câu 4. 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm  của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng OA OB OC OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho M· AB M· AC M· CD M· DA . Chứng minh đẳng thức sau: AB2 BC 2 CD2 DA2 cot , trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và 2AC.BD.sin BD. 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại 7 5 13 5 tiếp tam giác ABC tại các điểm M 1; 5 , N ; , P ; (M, N, P không trùng 2 2 2 2 với các đỉnh của ABC ). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q 1;1 và điểm A có hoành độ dương. 6
  7. ĐỀ SỐ 07 Câu 1 (6,0 điểm) a) Giải phương trình sau trên ¡ : 4x2 12x x 1 27 x 1 ; 9 b) Giải bất phương trình sau: x 2 . x 5 3 Câu 2 (3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai sốn 26 và n 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó. Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB 2KC , L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rẳng K· AB 2K· AC . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC. Câu 4 (4,0 điểm) Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. Câu 5 (4,0 điểm) Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức: x 1 y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 x 1 2 x y z 3. 33 z2 x2 1 33 x2 y2 1 33 y2 z2 1 7
  8. ĐỀ SỐ 08 Câu 1 (4,0 điểm) x3 y3 3y2 9 Giải hệ phương trình sau: 2 2 . x y x 4y Câu 2 (4,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3. Chứng minh bất đẳng thức: x2 y2 z2 1. x3 8 y3 8 z3 8 Câu 3 (4,0 điểm) Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Kí hiệu A 1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE; C 1 là giao điểm của CG và MP. Ta xác định các điểm A2, B2, C2 sao cho AGC2F, BGA2N, CGB2P là các hình bình hành. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy. Câu 4 (4,0 điểm) Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 m 12n3 n . Chứng minh rằng m n là lập phương của một số nguyên. Câu 5 (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có tọa độ x; y với x, y ¡ * và x 12; y 12 . Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhạt có các cạnh song song với các trục tọa độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và được tô màu. 8
  9. ĐỀ SỐ 09 Câu 1. a) Giải bất phương trình: x2 6x 2 2 2 x 2x 1. 5 4 10 6 x xy y y b) Giải hệ phương trình: . 2 4x 5 y 8 6 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: x2 m y x my 2 . x y xy Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 2;4 và các đường thẳng d1 : 2x y 2 0 , d2 : 2x y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho 2 2 (C) cắt d1 tại A, B và cắt d2 tại C, D thỏa mãn AB CD 16 5AB.CD . Câu 4. 1. Cho tam giác ABC có AB c , BC a , CA b . Trung tuyến CM vuông góc với CM 3 b phân giác trong AL và 5 2 5 . Tính và cos A. AL 2 c 9 2. Cho a,b ¡ thỏa mãn: 2 a 1 b . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16 a4 4 1 b4 . Câu 5. Cho f x x2 ax b với a,b ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi một phân biệt và 1 m,n, p 9 sao cho: f m f n f p 7 . Tìm tất cả các bộ số a,b . 9
  10. ĐỀ SỐ 10 Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y f (x) x2 2 m 1 x m. 1. Tìm m để bất phương trình f x 0 nhận mọi x thuộc ¡ là nghiệm. 2. Tìm m để phương trìn f x 0 có hai nghiệm x1 , x2 lớn hơn 1. Câu 2 (4 điểm) 1. Giải phương trình: 2 x 1 3 x 3 x2 4x 3 6 , x ¡ . 3 2 2 2 x 2x y 2y x y 2xy 2x 2. Giải hệ phương trình: x, y ¡ . 2x 1 2y 1 x 2y 1 Câu 3 (4 điểm) 1. Giải bất phương trình: 3x 2 x 3 x3 3x 1, x ¡ . 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x A cos4 x sin4 x 2sin2 x 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x . Câu 4 (6 điểm) 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có       1 GA.GB GB.GC GC.GA AB2 BC 2 CA2 . 6 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A 1;2 . Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x y 1 0 . Tìm tọa độ B và C, biết AB 2AC. 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2 2 2 C1 : x 1 y 3 9 và C2 : x 2 y 2 5. Lập phương trình đường thẳng đi qua A 1;0 , đồng thời cắt các đường tròn C1 và C2 lần lượt tại M, N (M, N không trùng A) sao cho AM 2AN. Câu 5 (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng a b c 1. a3 b2 c b3 c2 a c3 a2 b 10
  11. ĐỀ SỐ 11 Câu 1 (2,5 điểm) a) Cho hàm số y x2 3x 2 và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau. 1 1 b) Giải bất phương trình: 0 . x2 4x 3 2x 4 Câu 2 (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B( 1;2). Đường thẳng ∆ là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y -1 = 0; Khoảng cách từ C đến ∆ gấp 3 lần khoảng cách từ B đến ∆. Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung. b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BM 3 và CN của tam giác. Chứng minh rằng sin α ≤ . 5 Câu 3 (2,5 điểm)  2  a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD BC ; 3  1  AE AC . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. 4 b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b2 IB c2 IC 2a2 IA 0 ; Tìm điểm M sao cho biểu thức: (b2MB2 c2MC 2 2a2MA2 ) đạt giá trị lớn nhất. Câu 4 (2,5 điểm) a) Giải phương trình: 1 (6x 2) 2x2 1 2(5x2 4x) b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x y z xyz . Chứng minh rằng: 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 xyz x y z 11
  12. ĐỀ SỐ 12 Câu 1 (3,0 điểm) 1 1 a) Giải phương trình: 2 (x R ) x 2 x2 b) Cho phương trình bậc hai x2 2mx m2 2m 4 0 ( x là ẩn và m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm không âm x1 , x2 . Tính theo m giá trị của biểu thức P x1 x2 và tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (2,0 điểm) x2 xy y2 x 2y 0 Giải hệ phương trình: (x, y R) 2x xy y 2 Câu 3 (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 (a b c ) 2 2 2 10 a b c Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM thì AC 2 AB2 2BC 2 12R2 . a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là m, n, p. Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA theo m, n, p. b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt có phương trình là: x 2y 0, x 2 0, x y 3 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 10 và đỉnh A có hoành độ âm. Câu 5 (1,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M nằm bên trong tứ giác đó (M không nằm trên các cạnh của tứ giác ABCD). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các góc M· AB, M· BC, M· CD, M· DA có số đo không lớn hơn 45. 12
  13. ĐỂ SỐ 13 Câu 1 (3,0 điểm) 1 1 (x 3y)(3x y) x 2 y 1. Giải hệ phương trình (x, y R) 1 1 2(y2 x2 ) x 2 y 2. Tìm tất cả các giá trị của a,b sao cho phương trình x3 ax2 bx 3a 0 có các nghiệm đều là các số nguyên dương. Câu 2 (2,0 điểm) Giả sử a, b, c, d là các số nguyên sao cho a – b + c – d là số nguyên lẻ và chia hết a 2 b2 c2 d 2 . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều cóa b c d chia hết a n bn cn d n . Câu 3 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường tròn tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao ho CB=CE=BF, đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G. 1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn. 2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG = AF đồng thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG. Chứng minh rằng 1 E· HG C· AB . 2 Câu 4 (1,0 điểm) Ký hiệu R+ để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f xác định 1 y 1 x trên R+, nhận giá trị thực và thỏa mãn: xf x yf (y) yf y xf (x) y x x y x, y 0 Câu 5 (1,0 điểm) Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số chính phương. 1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số. 2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số? 13
  14. ĐỀ SỐ 14 Câu 1 (5 điểm) 3x Giải phương trình: 3x 1 2x2 1 5x2 3. 2 Câu 2 ( 5 điểm) 12 1 x 2 y 3x Giải hệ phương trình: 12 1 y 6 y 3x Câu 3 (3 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 9(a4 b4 c4 ) 25(a2 b2 c2 ) 48 0. a2 b2 c2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . b 2c c 2a a 2b Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD. Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BN, AH đồng quy. Câu 5 (2 điểm) Chứng minh rằng trong dãy 9; 99; 999; 9999; có vô số số hạng chia hết cho 17. 14
  15. ĐỀ SỐ 15 Câu 1. sin B 2sin C Cho tam giác ABC có sin A với A, B, C tương ứng là kí hiệu số đo 2cos B cosC của các góc B· AC,·ABC,·ACB của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 2 2 x xy 2y 3y 1 Câu 2. Giải hệ phương trình: (x, y R) x x y x y 2 a 3c a 3b 2a Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 5 a b a c b c Câu 4. Cho các số nguyên m, n, k thỏa m.n = k2 và k không chia hết cho 3. Chứng minh rằng (m – n) chia hết cho 3. Câu 5. Cho đường tròn (O1 ) có tâm O1 và đường tròn (O2 ) có tâm O2 , biết hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ tiếp tuyến chung d của hai đường tròn. Gọi C, D lần lượt là tiếp điểm của d với ( O1 ), (O2 ); biết A và C khác phía so với O1 O2 . Vẽ đường thẳng đi qua A và song song với d lần lượt cắt BD, BC tại E, F. Chứng minh rằng AE = AF. 15
  16. ĐỀ SỐ 16 Câu 1. (5 điểm) y3 3x2 y 28 Giải hệ phương trình: 2 2 x 6xy y 6x 10y Câu 2. (5 điểm) Cho tia Ax và điểm B cố định sao cho BAx nhọn, điểm C chạy trên tiaAx . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC và AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 3. (4 điểm) Cho x, y, z (0;1) . Chứng minh rằng: (x x2 )(y y2 )(z z2 ) (x yz)(y xz)(z yx) Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m;n) sao cho m2 n2 p là số nguyên tố và m3 n3 4 chia hết cho p . Câu 5. (2 điểm) Trên mạng lưới ô vuông vô hạn người ta điển vào mỗi ô vuông cơ sở một số thực sao cho mỗi số này bằng trung bình cộng của bốn số ở bốn hình vuông cơ sở có cạnh kề với nó. a) Chứng minh rằng: Nếu các số được điền vào các ô vuông cơ sở là những số nguyên dương thì các số đó phải bằng nhau. b) Nếu các số được điền là các số hữu tỉ thì các số được điền vào các ô vuông cơ sở có cạnh kề với nó, có nhất thiết phải bằng nhau không? Giải thích? 16
  17. ĐỀ SỐ 17 Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực (6x 3) 7 3x (15 6x) 3x 2 2 9x2 27x 14 11 Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC (BC < AC). Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại P, BQ vuông góc với AC tại Q. Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T. Chứng minh rằng TH  CM, trong đó H là trực tâm tam giác ABC. Câu 3 (4 điểm) 3 Cho hàm số f : ¡ ¡ ( ¡ là tập số thực) thỏa mãn f ( f (x)) x3 x với x ¡ . 4 Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt a, b, c sao cho f (a) f (b) f (c) 0 . Câu 4 (4 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị a , b, c: a4 b4 c4 abc(a b c) k(ab bc ca)2 Câu 5 (4 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013n 1 chia hết cho 22014 . 17
  18. ĐỀ SỐ 18 Câu 1 (3,0 điểm) a) Cho phương trình bậc hai: x2 2mx 3m 2 0 , trong đó x là ẩn, m là tham số. 2 2 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 và x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Cho tam thức bậc hai f (x) ax2 bx c , a 0 . Chứng minh rằng nếu f (x) 0 với mọi x ¡ , thì 4a c 2b . Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2 3x 1 2x 3 (x ¡ ) . 2 2 2 2 (x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2 (x, y ¡ ) b) Giải hệ phương trình: 2 . x 6 y 3 x 2x 8 Câu 3 (2,0 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c=1. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3(a2 b2 c2 ). b c a b) Giải bất phương trình: 3 3 x 1 x 2 (x ¡ ) . Câu 4 (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông ABE và ACF với B· AE C· AF 90 , sao cho tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF. Gọi M là trung điểm BC, chứng minh rằng AM vuông góc với EF. b) Cho tam giác ABC không vuông với a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng nếu a2 b2 2c2 và tan A + tan B = 2tan C thì ABC là một tam giác cân. c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho tam giác ABC có tâm 11 1 đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm lần lượt có tọa độ là I (4;0) , G ; . Tìm tọa 3 3 độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng (d): 2x y – 1 0 và điểm M(4;2) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. 18
  19. ĐỀ SỐ 19 Câu 1 (2,0 điểm) 1. Cho hàm số: y x2 2mx 3m và hàm số y 2x 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương. 2. Giải bất phương trình: x2 8x 12 10 2x. Câu 2 (2,0 điểm) 3 1. Giải phương trình: (4x3 x 3)3 x3 . 2 2. Giải phương trình: 2x2 11x 23 4 x 1. Câu 3 (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1; 4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A (hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tam giác OAB. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x 2)2 (y 3)2 9 và điểm A(1; -2). Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Câu 4 (3,0 điểm) 1. Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2. 1 1 1 2. Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 ha b c (trong đó AB = c; AC = b; đường cao qua A là ha ). Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2a 2b 2c (a b)2 (b c)2 (c a)2 3 b c c a a b (a b c)2 19
  20. ĐỀ SỐ 20 Câu 1 (5,0 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình y 4x2 1, đường thẳng d có phương trình y x 3 1. Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao cho cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB = 1. 2. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi. Câu 2 (5,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 1 x2 1 x x. 2 2 x 21 y 1 y 2. Giải hệ phương trình: 2 2 y 21 x 1 x Câu 3 (5,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c (b < a). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P. Đường tròn nội tiếp của tam giác  ABC  tiếp xúc với AB, BC  lần lượt tại N, M. a) Tính BM , BN, BP theo hai vectơ BA, BC và theo a, b, c. b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng. 2. Cho tam giác ABC có AC = b, BC = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma ,mb ,mc là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh 1 1 1 3 rằng nếu thì tam giác ABC đều. abmc bcma camb 2RS Câu 4 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y -28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1; 6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC. Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 12 . Chứng minh rằng: 1 1 1 8 8 8 a b b c c a a2 28 b2 28 c2 28 20
  21. ĐỀ SỐ 21 Câu 1: Giải phương trình: 2x x2 2x 7 4 4 2x 1 2 2 4x 2y 4x 4y 2xy x y Câu 2: Giải hệ phương trình: 2 2 2x 1 2(x y) 3 8x y 4y 4(x y) 1 Câu 3: 1. Chứng minh rằng: Nếu các cạnh cuả tam giác ABC thỏa mãn: sin2014 A sin2014 B sin2014 C thì tam giác đó nhọn 2. Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH, BK là hai đường cao, HK 7 , diện tích tam giác ABHK bằng 7 lần diện tích tam giác CHK. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ trục oxy, cho điểm E(3;-1) và dường tròn (C) có phương trình: x2 y2 2x 8y 14 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm E và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 3 . Câu 5: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3xyz . Chứng minh: 1 1 1 3 x2 2y2 z2 1 y2 2x2 z2 1 z2 2x2 y2 1 4 21
  22. ĐỀ SỐ 22 Bài 1 (4 điểm): Cho hàm số: y x2 x 2 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Tìm m để đương thẳng : y x m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt tại hai điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ điểm O đến . xy(x 10)(y 10) 81 Bài 2 (6 điểm): a) Giải hệ phương trình: 2 2 x y 10x 10y 18 0 b) Giải phương trình: 2 x2 5x 7 3(x 1)(x 4) 8 c)Tìm m để phương trình: 4 x 4 x 2 16 x2 mcó nghiệm duy nhất. Bài 3: (4 điểm) a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 4(a b c) ab ac bc ba ca cb (a b)(b c)(c a) b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x y z 0; x2 y2 z2 8 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S x y z Bài 4: (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có diện tích S và cạnh BC = a, CA = b thỏa mãn điều kiện: a2 b cot A cot B . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 2S b) Cho tam giác đều ABC, O là trọng tâm tam giác. M là một điểm nằm trong tam giác, M khác O. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm tam giác DEF. Bài 5: (3 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Gọi AM, AD lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác trong của tam giác. Các đường thẳng AM, AD lần lượt có phương trình là: x y 2 0, y 0 . Giả sử B(1; 3), viết phương trình đường thẳng AC và xác định tọa độ của điểm C. b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. BE và CD là các đường cao của tam giác. Giả sử D(2; 0), E(1; 3) và đường thẳng BC: 2x y 1 0 . Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương. 22
  23. ĐỀ SỐ 23 2014 2015 Bài 1 (2 điểm): Tìm tập xác định của hàm số: f (x) x2 2x 3 x2 2x Bài 2 (1 điểm): x a) Chứng minh rằng hàm số: f (x) đồng biến trên khoảng ( 1; ). x 1 b) Chứng minh rằng hàm số: f (x) 2015 x 2015 x là một hàm số lẻ. Bài 3 (1 điểm): Giải phương trình: 19 3x 4 x2 x 6 6 2 x 12 3 x Bài 4 (1 điểm): Giải hệ phương trình: x2 2y2 3xy y 1 0 2 2 x y y 3 0 Bài 5 (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình: (m 1)x2 2(m 2)x 2m 2 0 vô nghiệm (x là ẩn, m là tham số) Bài 6 (1 điểm): Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh O, G, G’ thẳng hàng. Bài 7 (1 điểm): Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn: a2 b2 2c2 và tanA + tanC = 2tanB thì tam giác ABC đều. Bài 8 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) (đường trong (I) có tâm là I); điểm H(2; 2)là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M(5; 3), N(1; 3) và đường thẳng BC đi qua điểm P(4; 2). Bài 9 (1 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2015. Chứng minh rằng: 2015a a2 2015b b2 2015c c2 2015 a 2015 b 2015 c 6 2 2 bc ca ab a b c 23
  24. ĐỀ SỐ 24 Bài 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình: 5x2 2xy 5y2 2x2 2xy 5y2 3(x y) 3 2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5 Bài 2 (4 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm di động trên (O) không trùng với A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại N, AN cắt (O) tại D khác A. Tiếp tuyến của (O) tại D cắt CN tại P. Chứng minh rằng P di động trên một đường cố định khi C di động trên (O). Bài 3 (3 điểm): Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh: a b c 1 7a2 b2 c2 a2 7b2 c2 a2 b2 7c2 Bài 4 (3 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình: x2 y2 x y kxy có nghiệm nguyên dương x, y. Bài 5 (3 điểm): Cho trước số nguyên dương n 2. Trong một giải đấu cờ vua có 2n vận động viên tham gia, mỗi người đấu với người khác đúng một ván. Tại thời điểm trong giải, người ta thấy có n2 1 ván đấu đã diễn ra. Chứng minh rằng khi đó có thể chọn ra ba vận động viên sao cho hai người bất kỳ trong ba người được chọn dều thi đấu với nhau. Bài 6 (3 điểm): Cho hàm số f : ¥ * ¥ * 1 ( ¥ * là tập các số nguyên dương) thỏa mãn: f n f n 1 f n 2 f n 3 168. Tính f 2014 24
  25. ĐỀ SỐ 25 Bài 1 (4 điểm): Giải bất phương trình: 7x2 7x 9 x2 x 6 2 2x 1 Bài 2 (4 điểm): Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có giao điểm P cảu hai đường phân giác của các góc B· AD,B· CD nằm trên đường chéo BD. Gọi Q là trung điểm của BD. Đường thẳng qua Csong song với AD cắt tia AQ tại K nằm ngoài tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tam giác CDK là tam giác cân. Bài 3 (4 điểm): Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện: xy yz zx 3xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y2 z2 x2 S x y2 1 y z2 1 z x2 1 Bài 4 (4 điểm): Một điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu. Bài 5 (4 điểm): Chứng minh rằng tồn tại 16 số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong 16 số đó thể biểu diễn được dưới dạng 7x2 9xy 5y2 x, y ¢ 25
  26. Phần thứ hai TUYỂN CHỌN 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 ĐỀ SỐ 26 Câu 1. (4 điểm) 1. Giải phương trình 3 4sin2 x 3 4sin2 3x 1 2cos10x. 2. Tìm x để sin x,sin2 2x,1 sin 7x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Câu 2. (6 điểm) 1. Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tàu. 3 13 1 2 15 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển f x x x 2x 1 thành đa 4 thức. 3. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 1 P1 2P2 3P3 nPn P2014 , với Pn là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. Câu 3. (2 điểm) x2014 2014x 2013 Tính lim . x 1 x 1 2 Câu 4. (6 điểm) 1. Cho đường tròn O và dây cung AB thay đổi sao cho AB luôn đi qua điểm I cố định nằm trong đường tròn O ( I không trùng với tâm O ). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn    IA IB IM. a 3 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A' B 'C ' D ' có AB AD a; AA' ; B· AD 600. Gọi M và 2 N lần lượt là trung điểm của A D và A B , E là giao điểm của MN và A C . a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng ACC A . b) Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng BDMN . Câu 5. (2 điểm) Cho các số thực dương a,b(a b) và hai dãy số un; vn xác định như sau: u a;v b 1 1 u v u n n ;v u .v ,n ¥ * n 1 2 n 1 n n Chứng minh rằng hai dãy số un; vn có giới hạn hữu hạn và limun limvn. 26
  27. ĐỀ SỐ 27 Câu 1. 2 2 Cho dãy số xn thỏa mãn x1 1 và xn 1 xn 2xn 2 xn 2xn 2 với mọi n nguyên dương. Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn khi n . Câu 2. 2 x x y y 2 Tìm tất cả các nghiệm thực của hệ phương trình sau đây . 2 2 2x y 3y 12 Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC và các đường cao AD, BE, CF . Các đường tròn đường kính AB, AC theo thứ tự cắt các tia DF, DE ở Q, P . Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . Chứng minh rằng 1. AN  PQ 2. AN, BP, CQ đồng quy. Câu 4. Cơ sở dữ liệu tạp chí của thư viện Quốc gia có đúng 2016 loại sách khác nhau. Thư viện này cho phép 2013 thư viện địa phương kết nối để có thể khai thác cơ sở dữ liệu tạp chí của nó. Biết rằng mỗi thư viện địa phương được phép khai thác cơ sở dữ liệu tạp chí của nó. Biết rằng mỗi thư viện địa phương được phép khai thác ít nhất 1008 loại tạp chí khác nhau và hai thư viện địa phương bất kì thì chỉ có tối đa 504 loại tạp chí mà cả hai thư viện địa phương đó cùng được phép khai thác. Chứng minh rằng có không quá một loại tạp chí trong cơ sở dữ liệu của thư viện Quốc gia mà cả 2013 thư viện địa phương đều không thể khai thác được. 27
  28. ĐỀ SỐ 28 Câu 1. (4 điểm) u1 2014 Cho dãy số un xác đinh như sau: 2 2 un 1 un 1 2a un a ,n 1,2, Tìm điều kiện của a ¡ để dãy số un có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường tròn tâm I tiếp xúc với hai cạnh AC, BC lần lượt tại E, F và tiếp xúc trong với đường tròn tâm O tại P. Một đường thẳng song song với AB tiếp xúc với đường tròn tâm I tại Q nằm trong tam giác ABC . a) Gọi K, L lần lượt là giao điểm thứ hai của PE và PF với O . Chứng minh rằng KL//FE . b) Chứng minh rằng ·ACP Q· CB . Câu 3. (4 điểm) Cho P x và Q x là các đa thức với hệ số thực, có bậc bằng 2014 và có hệ số cao nhất bằng 1. Chứng minh rằng nếu phương trình P x Q x không có nghiệm thực thì phương trình sau có nghiệm thực P x 2013 Q x 2013 . Câu 4. (4 điểm) Trong mặt phẳng cho 2n 1 n ¥ * đường thẳng phân biệt sao cho không có hai đường nào song song hoặc vuông góc và không có ba đường nào đồng quy. Chúng cắt nhau tạo thành các tam giác. Chứng minh số các tam giác nhọn tạo thành không vượt quá n n 1 2n 1 . 6 Câu 5. (4 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số x, y, z nguyên dương thỏa mãn:1 4x 4 y z2 . 28
  29. ĐỀ SỐ 29 Câu 1. (4 điểm) ì 2 2 ï x + y = 1 Giải hệ phương trình: í ,(x, y Î ¡ ) ï 5 3 îï 125y - 125y + 6 15 = 0 Câu 2. (4 điểm) ïì u1 = 1 ï Cho dãy số (u ) xác định bởi: íï n n ï (- 1) ï un+1 = un + , " n ³ 1 îï n + 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng u = + + + , " n ³ 1. 2n n + 1 n + 2 n + n b) Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Câu 3. (3 điểm) Hai đường tròn (O1; R1) và (O2 ; R2 ) (R1 > R2 ) cắt nhau tại điểm M và M ¢. Một tiếp tuyến chung T1T2 của hai đường tròn cắt đường thẳng O1O2 tại P (T1 thuộc (O1), T2 thuộc (O2 ) ). Đường thẳng PM cắt (O1) và (O2 ) lần lượt tại M1 và M2 khác M . Đường thẳng PM ¢ cắt (O1) và (O2 ) lần lượt tại M1¢ và M2¢ khác M ¢. Gọi A, B,C, D lần lượt là trung điểm của MM1 , MM2 , M ¢M1¢, M ¢M 2¢. Chứng minh rằng A, B,C, D nằm trên một đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với T1T2 . Câu 4. (3 điểm) Xác định các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn P(x). P(x2 )= P(x3 + 3x), " x Î ¡ . Câu 5. (3 điểm) Cho hai số tự nhiên m và n sao cho m > n ³ 1. Biết rằng hai chữ số tận cùng của 2014m bằng với hai cữ số tận cùng của 2014n theo cùng thứ tự. Tìm các số m và n sao cho tổng m + n có giá trị nhỏ nhất. Câu 6. (3 điểm) Cho đa giác đều 9 đỉnh A1 A2 A9 . Mỗi đỉnh của đa giác hoặc có màu đỏ hoặc có màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biệt bằng nhau có tất cả các đỉnh là các đỉnh của đa giác và cùng màu. 29
  30. ĐỀ SỐ 30 x sin 3x Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình 2sin2 (sinx 2cos x) t an2x 2 cos2x Câu 2. (1,5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi 1 sin n u 1;u u ,với mọi n 1,2,3, 1 n 1 n n2 Chứng minh rằng (un ) là dãy số tăng và bị chặn. Câu 3. (1,5 điểm) Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số (các chữ số không cần phân biệt). An và Bình độc lập mỗi người chọn ngẫu nhiên một số từ tập M và viết lên bảng. Tính xác suất để trên bảng có đúng một số chia hết cho 7 và có chữ số hàng đơn vị là 1. Câu 4. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1. Chứng minh rằng: x y z 9 x yz y zx z xy 4 Câu 5. (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AB BC CD a không đổi. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD . Câu 6. (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB CD, AC BD, AD BC là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì tam giác đó có các góc đều nhọn. 30
  31. Đề số 31 Câu 1: (4 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) biết: 1 2(n 2)2 u (n3 4n2 5n 2)u u ,u 673,u n 1 n ,n N,n 1 . 1 2 2 n 2 n 3 Câu 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại S . Gọi d là đường thẳng chứa phân giác trong góc A của tam giác ABC .các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, AC cắt d lần lượt tại M và N . Gọi P là giao điểm của BM và CN, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP , H là trực tâm của tam giác OMN . a) Chứng minh H, I đối xứng với nhau qua d . b) Chứng minh A, I, S thẳng hàng. Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : R R sao cho f (xf (x y)) f (yf (x)) x2 ,x, y R Câu 4: (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) với x, y nguyên tố cùng nhau và thõa mãn phương trình: 2(x3 x) y3 y. Câu 5: (4 điểm) Cho n là số nguyên dương chẵn lớn hơn hoặc bằng 4 .Ta tô màu mỗi số trong các số n n nguyên dương từ 1 đến n sao cho số trong chúng được tô màu xanh và số còn lại 2 2 được tô màu đỏ.Với mỗi cách tô như vậy,kí hiệu fn là số các số nguyên dương bất kì mà nó có thể viết được dưới dạng tổng hai số khác màu a) Tìm tất cả các giá trị của f4 . b) Khi n 8 ,chứng minh rằng fn 2n 3 .Hãy chỉ ra một cách tô màu thỏa mãn: fn 2n 5 . 31
  32. ĐỀ SÓ 32 Câu 1. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình lượng giác sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 . 2 x 2 y 8 2. Giải hệ phương trình . 2 2 x 4 y y 4 x 4 Câu 2. (2,0 điểm) 1. Cho a, b , c là ba hằng số và un là dãy số được xác định bởi công thức: * un a n 1 b n 2 c n 3 n ¥ . Chứng minh rằng lim un 0 khi và chỉ khi a b c 0 . n 2. Các số a, b , c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 . Tìm các số đó biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín. Câu 3. (2,0 điểm) n 1. Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số 23 1 chia hết cho 3n 1 nhưng không chia hết cho 3n 2 . 2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên lấy ra được chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Câu 4. (3,0 điểm) 1. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B . Gọi P là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ACD . a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng P . b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC . Một mặt phẳng P chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB , SD tại các điểm B , D khác 4 SB SD 3 S . Chứng minh rằng: . 3 SB SD 2 Câu 5. (1,0 điểm) Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin sin x . 32
  33. ĐỀ SỐ 33 Câu 1. (2,0 điểm) 3 1 cot x Giải phương trình: 3tan 2x 2 2cos 2x 0 . cos 2x 1 cot x Câu 2. (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: 2 3 2010 2011 2 4042110 1 x x x x a0 a1x a2 x a4042110 x . a) Tính tổng a0 a1 a2 a4042110 . b) Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011. 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3. Câu 3. (2,5 điểm) 2 * 1. Cho dãy số un được xác định như sau u1 2011, un 1 n un 1 un , với mọi n ¥ , n 2 . Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. x 2x 1 3 3x 2 2 2. Tính giới hạn: A lim . x 1 x2 1 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. 1. Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng A BD và đường thẳng AC đi qua trọng tâm tam giác A BD . 2. Hãy xác định các điểm M , N lần lượt nằm trên các cạnh A D , CD sao cho MN vuông góc với mặt phẳng CB D . Tính độ dài đoạn MN theo a. 33
  34. ĐỀ SỐ 34 Câu 1. (4 điểm) 1. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 x2 2y2 1 2 2 2. Giải hệ phương trình: 2y 3z 1 (x, y, z ¡ ) xy yz zx 1 Câu 2. (2 điểm) Giả sử A, B,C, D lần lượt là các số đo các D· AB , ·ABC , B· CD, C· DA của tứ giác lồi ABCD bất kì. A B C 1. Chứng minh rằng: sin A sin B sin C 3sin . 3 A 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P sin sin B sin C sin D . 3 Câu 3. (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9. Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC . Phân giác trong của các góc A, B,C cắt đường tròn ngoại tiếp tam ABC A , B ,C AA CC I giác lần lượt tại các điểm 1 1 1 . Đường thẳng 1 cắt đường thẳng 1 tại ; AA BC N BB AC P đường thẳng 1 cắt tại điểm ; đường thẳng 1 cắt đường thẳng 1 1 tại điểm . GọiO là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M . Biết rằng BM MN và B· AC 2·ABC . Tính các góc của tam giác ABC . Câu 5. (1 điểm) 1 Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f (3x) f f (2x) 2x,x 0 . 2 Chứng minh rằng f (x) x,x 0 . 34
  35. ĐỀ SỐ 35 Bài 1. Giải phương trình: cos3 x sin3 x 3 cos 2x sin x cos x . 2 2 xy x y x 2y Bài 2. Giải hệ phương trình . x 2y y x 1 2x 2y u1 1 Bài 3. Cho dãy 1 u u ,n 1,2, n 1 n un Tính u . (Kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x). 2010 Bài 4. Cho a,b,c 0 thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 3 2 a b b c c a . a b b c c a Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M nằm trên tia đối của tia BA . Một đường thẳng đi qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (MD MC) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC và BOD cắt nhau tại điểm thứ hai K . Gọi L là giao điểm của AD và BC . a) Chứng minh rằng tứ giác AKLB nội tiếp. b) Chứng minh rằng LK  OK . c) Chứng minh K, L, M thẳng hàng. Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy có hai điểm A(1;0), B(3;0) . H là điểm thay đổi trênOy . AH và BH lần lượt cắt đường tròn đường kính AB ở điểm thứ hai tại D và E . Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Xác định tọa độ điểm cố định đó. 35
  36. ĐỀ SỐ 36 Bài 1. Giải phương trình 32x2 6x 1 4x2 . Bài 2. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1 x2 x3 x4 2011 Với x1 20 , x2 11, x3 7 . Bài 3. Chứng minh trong tam giác ABC ta luôn có 25 2sin3 A sin2 B sin2 C 8 Bài 4. Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O; R) , điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Gọi H là trực tâm tam giác ABC . 1. Chứng minh rằng khi B· AC 600 thì AH R . 2. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác HBC . Bài 5. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I , bán kính r có BC a , CA b , AB c , p là nửa chu vi. Gọi R , R1, R2 , R3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC , IBC , ICA, IAB . Chứng minh rằng: a b c p 2 2 2 . R1 R2 R3 r.R 36
  37. ĐỀ SỐ 37 Câu 1. (1,5 điểm) tan2 x tanx 2 Giải phương trình: sin(x ) . 1 tan2 x 2 4 Câu 2. (3,0 điểm) 1. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A , tính xác suất để số được chọn chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. 2. Chứng minh đẳng thức sau: 0 2 1 2 2 2 3 2 2011 2 2012 2 1006 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 . Câu 3. (2,5 điểm) 1. Chứng minh rằng phương trình 8x3 6x 1 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Tìm ba nghiệm đó sin n 2. Cho dãy số (u ) được xác định bởi:u sin1; u u , n N, n 2. Chứng minh n 1 n n 1 n2 rằng dãy số (un ) được xác định như trên là một dãy số bị chặn. Câu 4. (3,0 điểm) 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2 , các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a ( a 0 ). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a . 2.Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(SBC). Gọi H là hình chiếu vuông góc 1 1 1 1 của S lên mp ABC . Chứng minh rằng SB  SC biết rằng SH 2 SA2 SB2 SC 2 3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD, BC AD, AC BD và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí điểm X sao cho tổng XA XB XC XD đạt giá trị nhỏ nhất. 37
  38. ĐỀ SỐ 38 Câu 1. (4,0 điểm) 2 2 Giải phương trình: 2 2sin 2 x . tan x cot 2x Câu 2. (4,0 điểm) u1 4 * Cho dãy số un : 1 , n N . u u 4 4 1 2u n 1 9 n n Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho B· AE C· AF , gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc F trên các đường thẳng AB, AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D . Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau. Câu 4. (4,0 điểm) Cho tập hợp A 1;2;3 ;18 .Có bao nhiêu cách chọn 5 số trong tập A sao cho hiệu hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2 . Câu 5. (4,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . a 1 b 1 c 1 Chứng minh rằng: 3 1 b2 1 c2 1 a2 38
  39. ĐỀ SỐ 39 (Đề thi HSG lớp 11, Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (4,0 điểm) (x 1)(y2 6) y(x2 1) Giải hệ phương trình: 2 2 (y 1)(x 6) x(y 1) Câu 2. (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AC cố định với trung điểm K . Hai điểm B, D di động luôn đối xứng nhau qua K. Đường phân giác của góc BCD cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại I, J gọi M là giao điểm thứ hai khác A của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ẠIJ. Chứng minh M luôn chạy trên đường tròn cố định khi B, D thay đổi. Câu 3. (4,0 điểm) Cho P x và Q x là hai đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn: P x3 xQ x3 chia hết cho x2 x 1. Gọi d là ước số chung lớn nhất của hai số P 2013 Q 2013 . Chứng minh rằng d chia hết cho 2012 . Câu 4. (4,0 điểm) 2 2 n Cho dãy số an : a1 a2 1; an 1 6an an 1 4.( 1) , n 2. n 5 1 2 Chứng minh rằng: lim . n  k 1 ak ak 3 ak ak 2 3 Câu 5. (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên dương n lớn hơn 1 . Ta xét tất cả các số dương k thỏa mãn đồng thời các điều kiện: k có n chữ số Tất cả các chữ số của k đều lẻ. Giá trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số liên tiếp bất kì của k luôn bằng 2 . Tìm tổng tất cả các số k có tận cùng là 5 khi n chẵn. 39
  40. ĐỀ SỐ 40 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình: sin 2 x 3 cos 2 x (2 3)sinx cosx 1 3 . Câu 2. (2,0 điểm) 2 2013 a) Xét khai triển: 1 x 1 2x 1 2013x a0 a1x a2 x a2013 x . 1 2 2 2 Tính a2 1 2 2013 . 2 b) Chọn ngẫu nhiên một số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất số được chọn không nhỏ hơn 2013 . Câu 3. (2,0 điểm) u u 1, u 3, u 2u u 1, n 1;2; a) Cho dãy số n được xác định như sau: 1 2 n 2 n 1 n u Tính Lim n n2 b) Tính m(x 1)(x3 4 x) x3 3x 1 0. (m là tham số). Chứng minh với mọi giá trị thực của m phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Câu 4. (2,0 điểm) a) Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Chứng minh mp A' BD song song với mp CB ' D ' . Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD ' sao cho đường thẳng MN vuông góc với mp A' BD . b) Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB ',C ' D ' . Xác định thiết diện cắt bởi mp MNP với hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' , tính theo a diện tích thiết diện đó. Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c là các hằng số thực và f x ax3 bx2 cx. Tìm tất cả các số a,b,c sao cho f 2 26 và f x 1 với mọi số thực x sao cho x 1 40
  41. ĐỀ SỐ 41 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2,5 điểm) x y z 4 2 2 2 1. Giải hệ phương trình: x y z 14, (x; y; z R) 3 3 3 x y z 34 2. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực, nhận giá trị trong tập số thực và x thỏa mãn xf y – yf x f ( ) với mọi số thực x, y, x 0 . y Câu 2. (1,5 điểm) x x (1 a) x ax , Cho trước số thực a (0;1) . Cho dãy số n n 1 , bị chặn và thỏa mãn n 2 n 1 n n 1. Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC nội tiếp trong đường tròn O , các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại T , đường thẳng AT cắt lại đường tròn tại X . Gọi Y là điểm đối xứng với X qua O . Các đường thẳng YB, XC cắt nhau tại P , các đường thẳng XB,YC cắt nhau tại Q . 1. Chứng minh rằng P,Q,T thẳng hàng. 2. Chứng minh rằng các đường thẳng PQ, BC, AY đồng quy. Câu 4. (2,0 điểm) x y z 5 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn y z 1 x 2 Câu 5. (1,0 điểm) Một vòng tròn được chia thành k cung, được đánh số từ 1 đến k như 3 hình vẽ. Ban đầu tại mỗi cung đặt một viên bi. Mỗi lần dịch chuyển, 2 . người ta dịch chuyển hai viên bị, một viên theo cùng chiều kim đồng . hồ, một viên ngược chiều kim đồng hồ, vào cung kề với cung chứa nó . (hai viên bi được dịch chuyển không nhất thiết phải từ cùng một cung). 1 Hỏi sau hữu hạn bước như vậy, có đưa được tất cả các viên bi về cùng một cung hay không? 41
  42. ĐỀ 42 Câu 1.(4,0 điểm) 3tan 2x Giải phương trình: 2 3sin 2x 3 2 sin 2x 1 Câu 2.(4,0 điểm) x2 1 y2 xy 4y Giải hệ phương trình: y x y 2 2 x 1 Câu 3.(3,0 điểm) f x 4 3g(3x 14) 2x 1 Xác định các hàm số f x , g x biết x 3 x ¡ f g x 5 x 1 3 Câu 4.(5,0 điểm) Cho tam giác ABC . 1. Gọi O , r tương ứng là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng: a) OA2.OB3 OB2.OC3 OC 2.OA3 96r5 ; 2012 b) OA1005.OB1007 OB1005.OC1007 OC1005.OA1007 3. 2r . 2. Trên các cạnh BC , CA , AB lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BM CN AP k k 0 . BC CA AB Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà độ dài các cạnh của tam giác đó lần lượt bằng độ dài các đoạn thẳng AM , NB , CP . Tìm k để tam giác đó có diện tích nhỏ nhất. Câu 5.(4,0 điểm) Cho ba số thực dương: x , y , z thỏa mãn x y z 1. x3 y3 z3 1 Chứng minh: . xy yz xz yz xy xz 2 42
  43. ĐỀ 43 Câu 1. Giải phương trình: 1 sin 2x cos 2x 2 sin x cos x. Câu 2. Cho tập hợp A 0;1;2;3;4. Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2012 gồm các chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 luôn có mặt ? 1 2 2 Câu 3. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn 1 và x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z biểu thức P y2 2z2 . 1 cos B 2c a Câu 4. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I và thỏa mãn . sin B 4c2 a2 a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân. b) Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của BC , CA , AB với đường tròn I . BE cắt đường tròn I tại điểm thứ hai là K . Biết BE 9 2 và K là trung điểm của BE . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC . Câu 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi M , E , Q lần lượt là trung điểm của AB, AD , CD và N , P lần lượt là trực tâm tam giác AME và tam giác DQE . Chứng minh: tứ giác MNPQ là hình bình hành. 43
  44. ĐỀ 44 Câu 1.(3,0 điểm) 2 x x 10 y y a) Giải hệ phương trình: . 2 1 x 2 2x 12 y 2 b) Giải phương trình: cos 2x cos 4x 6 2sin 3x . Câu 2.(2,5 điểm) a) Tính giới hạn dãy số: lim n4 n2 1 3 n6 1 . u1 2013 b) Cho dãy số un xác định như sau: 1 n 1 . n 1 n un 1 un n 2013 Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số un ? Câu 3.(2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AB//CD và BC 2a , AB AD DC a a 0 . Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết SD vuông góc với AC . a) Tính SD . b) Mặt phẳng qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khác O , D ) và song song với hai đường thẳng SD và AC . Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng . Biết MD x . Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất. Câu 4.(2,0 điểm) Cho phương trình: x4 ax3 bx2 cx d 0 . a) Với d 2013, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt. 4 b) Với d 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a2 b2 c2 . 3 44
  45. ĐỀ 45 Câu 1.(6,0 điểm) x 2 3 sin x. 1 cos x 4cos x.sin2 3 a) Giải phương trình: 2 0 . 2sin x 1 2x 1.3 2.3x 1.4 3.4x 1 2013 2012.2013x 1 b) Tính giới hạn sau: L lim . x 0 x Câu 2.(4,5 điểm) 2 3 10 11 2 3 110 a) Cho khai triển: 1 x x x x a0 a1x a2 x a3 x a110 x . 0 1 2 3 10 11 Chứng minh đẳng thức sau: C11a0 C11a1 C11a2 C11a3 C11 a10 C11 a11 11. n C1 2C 2 3C3 1 nC n b) Tính tổng: S n n n n . 2.3 3.4 4.5 n 1 n 2 Câu 3. (5,0 điểm) 2 a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao BB 5 , CC 2 và cosC· BB . 5 Tính diện tích tam giác ABC . b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A B C . Tính các góc của tam giác đó 2 khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất P 2cos 4C 4cos 2C cos 2A cos 2B . Câu 4. (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SC  ABC và tam giác ABC vuông tại B . Biết AB a , 13 AC a 3 và góc giữa hai mặt phẳng SAB , SAC bằng với sin . 19 Tính độ dài SC theo a . Câu 5.(2,0 điểm) 4 a1 Cho dãy số an thỏa mãn 3 n 1,n ¥ . 2 2 n 2 an n an 1 n 1 anan 1 Tính liman . 45
  46. ĐỀ 46 Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: 3 6cos x 2 2cos3x 2cos x 2 . x2 b) Giải bất phương trình: 1 x 1 x 2 . 4 Câu 2.(4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ¡ thỏa mãn: f f y f x f x y f x y;x, y . Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên BC ( M khác B , C ). Hình chiếu của M trên AB , AC theo thứ tự là H và K . Goi I là giao điểm của BK và CH . Chứng minh rằng đường thẳng MI luôn qua một điểm cố định. Câu 4. (3,0 điểm) 4 4 4 Giải phương trình x1 x2 x12 2013 với x1, x2 , x3 , , x12 ¢ . Câu 5. (2,0 điểm) Tìm số cách chọn ra 11 số nguyên phân biệt từ 2012 số nguyên dương đầu tiên sao cho trong sự lựa chọn đó không có hai số nguyên liên tiếp. 46
  47. ĐỀ SỐ 47 Câu 1. (5 điểm) 4 2 un 2013 * Cho dãy số un xác định bởi u1 2014 ,un 1 3 ,n ¥ un un 4026 n 1 v , n *. limv . Đặt n  3  ¥ Tính n k 1 uk 2013 Câu 2. (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD giao với phân giác góc B· AC tại E nằm trong tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD tại F (khác B ), AF giao với BE tại I. CI giao với BD tại K. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK. Câu 3. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây 1. f x y f x f y với mọi x, y ¡ . 2. f x ex 1 với mỗi x ¡ . Câu 4. (4 điểm) y x2 x y 3 Giải hệ phương trình sau: x y x, y ¡ 2 2 2 x y 3 2x 1 11 Câu 5. (2 điểm) Trên bảng ô vuông 3 3 , người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm. a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là 8. b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với số điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với số điểm số là một số lẻ. 47
  48. ĐỀ SỐ 48 Câu 1. (4 điểm) 2x 2y 2x y 2xy 1 1 3 Giải hệ phương trình: 3 3y 1 8x 2y 1 x 0 Câu 2. (4 điểm) 2 a 5a 10 a :a 1;a n n ,n 1. Cho dãy n n 1 1 n 1 5 an a) Chứng minh dãy an hội tụ và tính lim an. a a a 5 5 b) Chứng minh 1 2 n n 1. n 2 Câu 3. (4 điểm) Gọi AD, BE,CF là ba đường phân giác trong của tam giác ABC vuông ở A. Đoạn thẳng AD cắt EF tại K. Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC lần lượt ở M , N. 2 2 Chứng minh rằng: MN AB AC . 2 Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn f x2 y2 xf x yf y ,x, y ¡ (1). Câu 5. (4 điểm) Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200 . Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100 . 48
  49. ĐỀ SỐ 49 Câu 1. (5 điểm) Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1007 : 8sin2 x.cosx 3 sinx cosx 0 7 3 sin x 3cos x 2 2 Câu 2. (5 điểm) 2n 1. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 1 x 3x2 biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 1 2 n 2014 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 1 2. Từ các chữ số 1,3, 4,8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4? Câu 3. (5 điểm) n u1 2014 * 1 Cho dãy số un xác định như sau: n ¥ . Đặt Sn . Tìm lim Sn  n un 1 1 u1u2 un k 1 uk Câu 4. (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O, R , AD R. Dựng các hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN. Câu 5. (2 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi I là tâm của hình vuông CDD’C’, K là trung điểm của cạnh CB. a) Dựng thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng AKI . Tính diện tích của thiết diện theo a. b) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của AKI và CC’. 49
  50. ĐỀ SỐ 50 Câu 1. 3 2 tan x 2 a) Giải phương trình: 3tan 2x 4cos2 x 2. cos2x 1 tanx 3 3x 4 2x 3 b) Tính giới hạn sau: L lim . x 1 x3 2x2 x Câu 2. k 1 k k 1 a) Tìm các số nguyên dương n, k biết n 20 và các số Cn ,Cn ,Cn theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng. b) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn sin 2 B sin 2 C sin B sin C sin 2 A. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cot A cot B cot C. Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng ABC lấy điểm S (khác A ). Kẻ đường cao BH của tam giác ABC ( H thuộc AC ). Gọi P là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB, giả sử P cắt tia đối của tia AS tại M. Đường thẳng MH cắt SC tại N. a) Chứng minh MC  SHB và SC  MBN . b) Biết cạnh BC a, ·ABC , ·ACB . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác SMC theo a, ,  khi S di động trên tia Ax. Câu 4. u1 1,u2 3 2 Cho dãy số un thỏa mãn: u u . Chứng minh: n 1 n 2, n 2,n 2 ¥ un un 1 1 1 1 5 5 . u1 u2 un 2 50
  51. Phần thứ ba TUYỂN CHỌN 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 ĐỀ SỐ 51 Câu 1. a) Giải phương trình: 2 x 6 3 x 5 x 3 b) Các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c 0 . Chứng minh rằng phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. x2 4xy x 2y 0 Câu 2. Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 x 8x y 3x 4y 0 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 5; 3 . Xác định tọa   độ điểm M trên đường thẳng d : x 2y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cot A cot C cot B . a) Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 &CC1 của tam giác 1 ABC khi . 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2 . 1 1 1 Câu 5. Ba số dương a,b,c thỏa mãn 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a2 b2 c2 1 1 1 P . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 51
  52. ĐỀ SỐ 52 Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 2 Cho hàm số y x m 1 x 4 m x 1 2m Cm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m 1 . b) Tìm các giá trị của m để Cm có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu 2. (6,0 điểm) a) Giải phương trình cos2x+cos3x-sinx cos4x=sin6x . b) Giải bất phương trình: 6 x2 3x 1 x4 x2 1 0 . c) Tìm số thực a để phương trình 9x 9 a3x cos x có nghiệm thực duy nhất. 2 sinx Câu 3. dx (2,0 điểm)Tính tích phân: 3 . 0 sinx 3cosx Câu 4. (6,0 điểm) a) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC . Đặt AM x, AN y . Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diệnD AMN nhỏ nhất. b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : x y 5 0 và hai elip x2 y2 x2 y2 E : 1, E : 1 a b 0 có cùng tiêu điểm. Biết E2 đi qua 1 25 16 2 a2 b2 M . Tìm M sao cho E2 có độ dài trục lớn nhỏ nhất. c) Trong không gian Oxyz cho điểm M 0;2;0 và hai đường thẳng x 1 2t x 3 2s 1 : y 2 2t ; 2 : y 1 2s t, s ¡ . Viết phương trình mặt phẳng P đi z 1 t z s qua M song song với trục Ox , sao cho P cắt 1; 2 lần lượt tại A, B : AB 1 Câu 5. (2,0 điểm) a2 b2 c2 6 Cho các số thực a,b,c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ab bc ca 3 P a6 b6 c6 . 52
  53. ĐỀ SỐ 53 Câu 1. (3,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y sin4 x cos4 x cos3 x sin3 x . Câu 2. (4,0 điểm)Cho lục giác ABCDEF nội tiếp trong đường tròn O; R sao cho AB CD EF R . Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm của BC, DE, FA; P,Q lần lượt là trung điểm của DC, AD .     a) Xác định phép biến hình biến AC thành BD và tính góc giữa AC & BD . Chứng minh rằng tam giác IPQ đều. b) Chứng minh rằng tam giác IJK đều. Câu 3. (4,0 điểm) a) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình cos 2x 3 2m cosx m 0 . 1 1 sin2 x cos2 x 2 2 b) Giải phương trình: 8 2 2 2 2 32 49 56 x 16x . Câu 4. (4,0 điểm) a) Biển số xe là dãy kí tự gồm hai chữ cái đứng trước và bốn chữ số dứng sau. Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A,B,C, Z; các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0,1,2, ,9 . Hỏi có bao nhiêu biến số xe có hai chữ số đầu (sau hai chữ cái) khác nhau, đồng thời có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số chẵn đó giống nhau? 15 b) Cho biểu thức f (x) 1 x x2 . Khai triển f (x) thành đa thức 2 29 30 f (x) a0 a1x a2 x  a29 x a30 x . Tính A a0 a1 a2 a3  a29 a30 và a10 . Câu 5. (4,0 điểm)Cho tứ diện SABC có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Cho BC a,CA b, AB c . a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a,b,c . b) Tính thể tích tứ diện SABC theo a,b,c . Câu 6. (1,0 điểm)An, Bình và Tâm mỗi người có hai nghề nghiệp khác nhau và khác với hai người còn lại. Các nghề của họ là nhà văn, kiến trúc sư, giáo viên, bác sĩ, luật sư và họa sĩ . Mỗi nhân vật trong các câu dưới đây là một người riêng biệt: 1. Người giáo viên và nhà văn đi chơi tennis với An. 2. Người bác sĩ đặt họa sĩ vẽ một bức họa. 3. Người bác sĩ có cuộc hẹn với người giáo viên. 4. Người họa sĩ có họ với người kiến trúc sư. 5. Tâm thắng bình và người họa sĩ khi chơi cờ. 6. Bình sống ở bên cạnh nhà của nhà văn. Hãy tìm nghề nghiệp của mỗi người? 53
  54. ĐỀ SỐ 54 Câu 1. a)Giải phương trình x 1 x 1 2 x x2 2 . b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x m x 1 có nghiệm thuộc đoạn  2;2 . 3 3 2 y y x 3x 4x 2 Câu 2. Giải hệ phương trình: 2 1 x y 2 y 1 Câu 3. a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn log4 x 2y log4 x 2y 1 . Chứng minh rằng: 2x y 15 . b) Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0 , thỏa mãn 2 a b c 2 a2 b2 c2 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức a3 b3 c3 P . a b c ab bc ca Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;2 . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình x2 y2 2x 4y 4 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Câu 5. a) Cho tứ diện ABCD , gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC & ABD . Gọi SC , SD theo thứ tự là diện tích của tam giác ABC, ABD . Chứng minh: 2S S sin V C D V V . 3AB ABCD b) Cho tứ diện SABC có SA SB SC a . Mặt phẳng P thay đổi đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A , B ,C S . Tìm GTLN của: 1 1 1 P SA .SB SB .SC SC .SA 54
  55. ĐỀ SỐ 55 Câu 1. (4,0 điểm) 1 x2 y2 5 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 57 4x2 3x y 3x 1 25 Câu 2. (4,0 điểm) * Cho dãy số xn với x1 a, xn 1 xn xn 1 , n ¥ . Tìm điều kiện cần và đủ của a để dãy trên có giới hạn hữu hạn. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn có phân giác trong AD D BC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC . Gọi H là giao điểm của BF &CE . Chứng minh rằng AH vuông góc với BC . Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S , BC a,CA b,AB c . Chứng minh rằng: b c a a2 c a b b2 a b c c2 2 3S . b c c a a b Câu 5. (4,0 điểm) Câu 6. Cho số nguyên dương n 2 và tập M 1;2;3;;n . Với mỗi tập con A khác rỗng của M , ta kí hiệu A là số phần tử của tập A , min A và max A tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập A . Tính  min A maxA A theo n . AM ,A  HẾT 55
  56. ĐỀ SỐ 56 Câu 1. (4,0 điểm) Cho P,Q là các số nguyên dương thỏa mãn P,Q và P.Q đều không là số chính phương. Chứng minh rằng nếu a;b là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình x2 PQy2 1 và c,d là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của c2 PQd 2 a phương trình x2 PQy2 1 thì ta có: 2cd b (Lưu ý: Nghiệm nguyên dương ; được gọi là lớn hơn ngiệm nguyên dương ; nếu 0,   0 ) Câu 2. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i). f x2 y2 2 f xy f 2 x y ,x, y ¡ ii)x, y 2010; : x y thì.f (x) f (y) Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC và M , N là hai điểm di động trên đường thẳng BC sao cho   MN BC . Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với AC , đường thẳng d2 đi qua N và vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của d1 & d2 . Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 4. (4,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: 9 a4 b4 c4 25 a2 b2 c2 48 0 . a2 b2 c2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F . b 2c c 2a a 2b Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Ta chia tam giácABC thành n tam giác nhọn. Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu? 56
  57. ĐỀ SỐ 57 Câu 1. (3,0 điểm) 3 Giải phương trình: 6sin x 2 sin 3x 1 162sin x 27 . Câu 2. (3,0 điểm) x2 x 2 3 y2 x 3 2 2 Giải hệ phương trình y y 2 3 z y 3 . 2 2 z z 2 3 x z 3 Câu 3. (4,0 điểm) u 3 1 Cho dãy số un xác định bởi 1 2 un 1 un un 4 , n 1,2 5 a) Chứng minh rằng dãy un tăng nhưng không bị chặn trên. n 1 v ,n 1,2 b) Đặt n  , tính limvn . k 1 uk 3 Câu 4. (5,0 điểm) Hình chóp n giác đều có góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy bằng , góc tạo bởi giữa cạnh bên và mặt đáy là  . Chứng minh rằng sin2 sin2  tan2 . 2n Câu 5. (3,0 điểm) Xét x, y ¡ thỏa mãn điều kiện: 3x 6 2x 4 4 3y 18 y . Tìm giá trị lớn nhất, x y giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 . 2 3 Câu 6. (2,0 điểm) 1 Cho đa thức f (x) có bậc là 2010 thỏa mãn f (n) , n 1,2 2011 . Tính f (2012) . n HẾT 57
  58. ĐỀ SỐ 58 Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin 2x cos2x 7sinx 2cosx 4 . Câu 2. (6,0 điểm) a) Chứng minh ad bc a2 b2 c2 d 2 với a,b,c,d là các số thực. 1 1 1 b) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: a b c . Chứng minh rằng: a b c 3 2 a b c a b c abc c) Cho x, y, z ¡ thỏa x2 y2 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của A x y z xyz . Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1 là số chính phương. Câu 4. (2,0 điểm) x3 3xy2 49 Giải hệ phương trình: 2 3 x 8xy y 8y 17x Câu 5. (2,0 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm: 1 x x m x x2 2 Câu 6. (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA vuông góc với ABCD , SA a . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC & SD. Câu 7. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 xy 2y2 với x, y là các số thực thỏa mãn x2 xy y2 3 . HẾT 58
  59. ĐỀ SỐ 59 Câu 1. (5,0 điểm) a) Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là T . Gải sử A, B,C là ba điểm thẳng hàng trên T , tiếp tuyến của T tại các điểm A, B,C lần lượt cắt T tại các điểm A , B ,C (tương ứng khác A, B,C ). Chứng minh rằng A , B ,C thẳng hàng. b) Cho hàm số y x2n 1 2011x 2012 1 , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì đồ thị hàm số 1 luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm. Câu 2. (5,0 điểm) a)Giải phương trình: log2 x log4 x log6 x log3 x log5 x log7 x x ¡ . 2 1 1 b) Giải phương trình: 5x 6 x2 x ¡ . 5x 7 x 1 Câu 3. (3,0 điểm) k Kí hiệu Cn là tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n;k,n ¢ , tính tổng sau: 0 1 2 2009 2010 S C2010 2C2010 3C2010  2010C2010 2011C2010 . Câu 4. (5,0 điểm) a) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành, AD 4a a 0 , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất. b) Cho tứ diện ABCD có BAˆC 600 ,CAˆD 1200 . Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD . Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. Câu 5. (2,0 điểm) Cho hai số thực x, y : x2 y2 . Chứng minh rằng cos x cosy 1 cos xy . HẾT 59
  60. ĐỀ SỐ 60 Câu 1. (3.0 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 mx (1) . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d :x 2y 9 0 . Câu 2. (3.0 điểm) 2 (x cosx) I dx Tính tích phân 2 2 . 4cos x 3sin x 2 Câu 3. (2.0 điểm) 10 Cho biểu thức P(x) 1 4x 3x2 . Xác định hệ số của x3 trong khai triển P(x) thành lũy thừa của x. Câu 4. (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp là I(4;0) ; phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát đỉnh A của ABC là d1 : x y 2 0 và d2 : x 2y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC . b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC có AB c; BC a;CA b . Chứng minh rằng: IA2 IB2 IC 2 1 . bc ca ab Câu 5. (3.0 điểm) a) Giải phương trình 2sin 2x cos2x 2 2. sin 2x.cos x sinx 2cos x . 81 b) Cho x, y, z 0;1 . Chứng mình rằng 2x 2y 2z 2 x 2 y 2 z . 8 Câu 6. (3.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết khoảng cách từ A đến (SBC) bằng b; góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp bằng . Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 7. (3.0 điểm) x y 2 2 y x Giải hệ phương trình 2 2 . x 3y 2y 3x 2 0 60