150 bài tập về bất đẳng thức Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: 150 bài tập về bất đẳng thức Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. 150 Bài tập về bất đẳng thức - Toỏn lớp 9 1 Bài 1: Cho a 3, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của S a a 1 8a a 1 24 a 1 10 Giải: S a ( ) 2 . a 9 9 a 9 9 a 3 1 Bài 2: Cho a 2 , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của S a a2 1 6a a a 1 12 a a 1 12 3 9 Giải: S a ( ) 3 3 . . a2 8 8 8 a2 8 8 8 a2 8 4 4 1 Bài 3: Cho a, b > 0 và a b 1, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của S ab ab 1 1 15 1 15 17 Giải: S ab (ab ) 2 ab 2 ab 16ab 16ab 16ab a b 4 16 2 3 Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a b c 2 1 1 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của S a2 b2 c2 b2 c2 a2 Giải: Cỏch 1: Cỏch 2: 1 1 1 S a2 b2 c2 b2 c2 a2 1 1 1 1 4 (12 42 )(a2 ) (1.a 4. )2 a2 (a ) b2 b b2 17 b Tương tự
2. 1 1 4 1 1 4 b2 (b ); c2 (c ) c2 17 c a2 17 a Do đú: 1 4 4 4 1 36 S (a b c ) (a b c ) 17 a b c 17 a b c 1 9 135 3 17 (a b c ) 17 4(a b c) 4(a b c) 2 Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x y z 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 x2 y2 z 2 82 y2 z 2 x2 Giải: 1 1 1 1 9 (1.x 9. )2 (12 92 )(x2 ) x2 (x ) y y 2 y 2 82 y 1 1 9 1 1 9 TT : y 2 (y ); z 2 (z ) z 2 82 z x2 82 x 1 9 9 9 1 81 S (x y z ) (x y z ) 82 x y z 82 x y z 1 1 80 (x y z ) 82 82 x y z x y z Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a 2b 3c 20 3 9 4 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của S a b c a 2b c Giải: Dự đoỏn a =2, b = 3, c = 4 12 18 16 12 18 16 4S 4a 4b 4c a 2b 3c 3a 2b c a b c a b c 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13 1 1 1 Bài 7: Cho x, y, z > 0 và 4 x y z 1 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của P 2x y z x 2y z x y 2z Giải: Ta cú
3. 1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1 ; x y x y y z y z x y y z x y y z x 2y z x 2y z 16 x y z TT : 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ; 2x y z 16 x y z x y 2z 16 x y z 1 4 4 4 S 1 16 x y z Bài 8: x x x 12 15 20 x x x Chứng minh rằng với mọi x R , ta cú 3 4 5 5 4 3 Giải: x x x x x x x x 12 15 12 15 x 20 15 x 20 12 x 2 . 2.3 ; 2.5 ; 2.4 5 4 5 4 3 4 3 5 Cộng cỏc vế tương ứng => đpcm. Bài 9: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8x 8y 8z 4x 1 4 y 1 4z 1 Giải: Dự đoỏn x=y=z = 2 và 3 8x.8x 3 64x 4x nờn: 8x 8x 82 3 3 8x.8x.82 12.4x ; 8y 8y 82 3 3 8y.8y.82 12.4 y ; 8z 8z 82 3 3 8z.8z.82 12.4z 8x 8y 8z 3 3 8x.8y.8z 3 3 8 2.8 2.8 2 192 Cộng cỏc kết quả trờn => đpcm. Bài 10: Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hóy chứng minh rằng 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3 xy yz zx Giải:
4. x3 y3 xy x y 1 x3 y3 xyz xy x y xy x y z 3xy 3 xyz 3xy 1 x3 y3 3xy 3 1 y3 z3 3yz 3 1 z3 x3 3 zx 3 ; ; xy xy xy yz yz yz z x z x z x 1 1 1 1 S 3 3 3 3 3 2 2 2 xy yz zx x y z Bài 11: Cho x, y là hai số thực khụng õm thay đổi. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của x y 1 xy biểu thức P 2 2 1 x 1 y Giải: 2 x y 1 xy x y 1 xy x y 1 xy 2 1 1 1 P 2 2 2 2 2 P 1 x 1 y 1 x 1 y x y 1 xy 4 4 4 Khi cho x=0 và y= 1 thỡ P = -1/4 Khi cho x=1 và y = 0 thỡ P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra. Bài 12: a3 b3 c3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ab bc ca b c a Giải: 2 a3 b3 c3 a4 b4 c4 (a2 b2 c2 )2 ab bc ac Cỏch 1: ab bc ac b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac a3 b3 c3 Cỏch 2: ab 2a 2; bc 2b2; ca 2a 2 b c a a3 b3 c3 2(a2 b2 c2 ) ab bc ac ab bc ac b c a Bài 13: 3x 2 4 2 y3 Cho x,y > 0 và x y 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A 4x y2 Giải: Dự đoỏn x = y = 2 3x 2 4 2 y3 3x 1 2 1 x 2 y y x y 9 A 2 2 y 2 4x y 4 x y x 4 y 4 4 2 2
5. 1 1 Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P 4 2 3 x3 y3 xy Giải: Ta cú 3 x y x3 y 3 3xy(x+y) x3 y 3 3xy=1 x3 y3 3xy x3 y3 3xy 3xy x3 y3 P= 4 4 2 3 x3 y3 xy x3 y3 xy 1 1 1 1 Bài 15: Cho x, y, z > 0 và 2 . Chứng minh rằng xyz 1 x 1 y 1 z 8 Giải: 1 1 1 1 1 y z yz 2 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z 1 xz 1 xy TT : 2 ; 2 1 y 1 x 1 z 1 z 1 x 1 y Nhõn cỏc vế của 3 BĐT => đpcm x y z Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của S x 1 y 1 z 1 Giải: x y z 1 1 1 9 9 3 S 3 3 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 4 Bài 17: 4a 2 5b2 3c2 Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: 48 a 1 b 1 c 1 Giải: 2 4a 2 4 a 1 4 4 4 4 a 1 4 a 1 8 8 8 16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b2 5 3c2 3 5 b 1 10 20; 3 c 1 6 12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 1 1 1 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Giải: 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ; ; cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a
6. Bài 19: Với a, b, c > 0 chứng minh rằng: 1 4 9 36 a b c a b c Giải: 2 1 4 9 1 2 3 36 a b c a b c a b c Bài 20: Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng: 1 1 4 16 64 a b c d a b c d Giải: 1 1 4 16 16 16 64 ; a b c a b c a b c d a b c d Cần nhớ: 2 a2 b2 c2 a b c x y z x y z Bài 21: 4 5 3 3 2 1 Với a, b, c > 0 chứng minh rằng: 4 a b c a b b c c a Giải: 1 1 4 3 3 3 1 1 4 2 2 8 1 1 4 ; ; a b a b a b a b b c b c b c b c c a c a Bài 22: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc , p là nửa chu vi tam giỏc đú. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng 2 p a p b p c a b c Giải: 1 1 1 2 2 2 p a p b p c a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c
7. Bài 23: x2 y2 z 2 Cho x, y, z> 0 và x y x 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P y z z x x y Giải: 2 x2 y2 z 2 x y z x y z 4 Cỏch1: P 2. y z z x x y 2 x y z 2 2 Cỏch 2: x2 y z y2 z x z 2 x y x; y; z y z 4 z x 4 x y 4 x y z x y z 4 P x y x 2. 2 2 2 Bài 24: Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x+2y+3z =18. Chứng minh rằng 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 51 1 x 1 2y 1 3z 7 Giải: 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 1 x 1 2y 1 3z 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 1 1 1 3 1 x 1 2y 1 3z 1 1 1 9 x 2y 3z 6 3 24. 3 1 x 1 2y 1 3z x 2y 3z 3 9 51 24. 3 21 7 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a 2 b2 1 ab a b Giải: Nhõn hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bỡnh phương. Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú p là nửa chu vi thỡ p a p b p c 3p Giải: Bu- nhi -a ta cú: p a p b p c (12 12 12 )(p a p b p c) 3(3p 2p) 3p
8. Bài 27: 1 1 Cho hai số a, b thỏa món: a 1;b 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng A a b a b 1 1 15b b 1 15.4 1 17 21 Giải: a 2;b 2. A a b 16 16 b 16 4 4 4 Bài 28: Chứng minh rằng a 4 b4 a3b ab3 Giải: 2 2 2 a 2 b2 (12 12 ) a2 b2 a2 b2 a2 b2 2ab a2 b2 a 4 b4 a3b ab3 Bài 29: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (x y 1)2 xy y x A (Với x; y là cỏc số thực dương). xy y x (x y 1)2 Giải: (x y 1)2 1 Đặt a;a 0 A a xy y x a 1 8a a 1 8 a 1 8 2 10 10 Cú A a ( ) .3 2. . A a 9 9 a 9 9 a 3 3 3 3 Bài 30: Cho ba số thực a,b,c đụi một phõn biệt. a2 b2 c2 Chứng minh 2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 Giải: a b b c c a . . . 1 (b c) (c a) (c a) (a b) (a b) (b c) 2 a b c VT 0 (b c) (c a) (a b) (Khụng cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thỡ xảy ra dấu =) Bài 31: Cho cỏc số dương a; b; c thoả món a + b + c 3. Chứng ming rằng 1 2009 670 a2 b2 c2 ab bc ca
9. Giải: 1 2009 a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1 2007 9 2007 2 2 2 2 2 670 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c 3 Bài 32: Cho a, b, c là cỏc số thực dương thay đổi thỏa món: a b c 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức ab bc ca P a2 b2 c2 a2b b2c c2a Giải: Bài 33: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0 ab bc ca 9 (a2 b2 c2 ) Suy ra P a2 b2 c2 P a2 b2 c2 a2 b2 c2 2(a2 b2 c2 ) t = a2 + b2 + c2, với t 3. 9 t t 9 t 1 3 1 Suy ra P t 3 4 P 4 a = b = c = 1 2t 2 2t 2 2 2 2 Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x + y + z = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 1 1 1 P = 16x 4y z Giải: 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P= x y z 16x 4 y z 16x 4 y z 16x 4 y 16x z 4 y z 16 y x 1 z x 1 z y cú =khi y=2x; khi z=4x; 1 khi z=2y =>P 49/16 16x 4y 4 16x z 2 4y z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
10. Bài 34: 4 5 Cho hai số thực dương x, y thỏa món: 23 x y 6 7 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B 8x 18y x y Giải: 6 7 2 2 4 5 B 8x 18y 8x 18y 8 12 23 43 x y x y x y 1 1 1 1 Dấu bằng xảy ra khi x;y ; .Vậy Min B là 43 khi x;y ; 2 3 2 3 Bài 35 Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và cú tổng khụng vượt quỏ 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 9 Giải: 1 x 2 x 1 0 và x 2 0 (x 1)(x 2) 0 x 2 3x 2 Tương tự y 2 3y 2 và z 2 3z 2 x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9 Bài 36: Cho a, b, c là cỏc số thuộc  1;2 thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng a b c 0 . Giải: a 1 a 2 0 a 2 a 2 0;b 2 b 2 0;c 2 c 2 0 a b c a 2 b 2 c 2 6 0 Bài 37: Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món a b c 2 . Chứng minh rằng: 1 1 1 97 a2 b2 c2 b2 c2 a2 2 Giải: 2 9 1 2 81 2 1 2 1 4 9 1.a . 1 a a a ; 4 b 16 b 2 b 2 97 4b cộng cỏc vế lại 2 1 4 9 2 1 4 9 b b ; c c c2 97 4c a2 97 4a
11. Bài 38: Cho tam giỏc cú ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng p p p 9 p a p b p c Giải: p p p 1 1 1 9 9 9 hay p a p b p c p a p b p c p a p b p c p Bài 39: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 6. Chứng minh rằng: 3(a2 b2 c2 ) 2abc 52 Giải: 8 abc ( a b c)(a b c)(a b c) (6 2a) 6 2b 6 2c abc 24 ab bc ac 3 2 2 2 16 36 (a b c ) 8 2 2 2 2abc 48 (a b c ) 2abc 48 (1) 3 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c a 2 b 2 c 2 0 4 (2) (1)and(2) dpcm 3 Cú chứng minh được 3(a2 b2 c2 ) 2abc 18 hay khụng? Bài 40: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 3 3 3 biểu thức P 4(a b c ) 15abc . Giải: 2 2 2 2 2 2 Cú a a (b c) (a b c)(a b c) (1) , b b (c a) (b c a)(b c a) (2) 2 2 2 c c (a b) (c a b)(c a b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra a b c Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc nờn cỏc vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhõn vế với vế của (1), (2), (3) ta cú: abc (a b c)(b c a)(c a b) (*) Từ a b c 2 nờn (*) abc (2 2a)(2 2b)(2 2c) 8 8(a b c) 8(ab bc ca) 9abc 0 8 9abc 8(ab bc ca) 0 9abc 8(ab bc ca) 8 (*) 3 3 3 3 Ta cú a b c (a b c) 3(a b c)(ab bc ca) 3abc 8 6(ab bc ca) 3abc
12. 3 3 3 Từ đú 4(a b c ) 15abc 27abc 24(ab bc ca) 32 39abc 8(ab bc ca) 32 ( ) 3 3 3 Áp dụng (*) vào ( ) cho ta 4(a b c ) 15abc 3.( 8) 32 8 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 2 Từ đú giỏ trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a b c 3 Bài 41: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2 1 a3 b3 c3 3abc . 9 4 Giải: *P a3 b3 c3 3abc Ta cú a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac) a3 b3 c3 3abc (a2 b2 c2 ab bc ac) (1) cú abc ( a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 2 8 1 4(ab bc ca) 8abc 6abc ab bc ca (2) 3 3 2 5 (1)and(2) a3 b3 c3 3abc a2 b2 c2 ab bc ca 3 3 2 2 2 1 a b c 1 1 mà ab bc ca P a 2 b 2 c 2 2 6 6 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 a b c 0 a b c P . 3 3 3 3 6 3 6 9 *P a3 b3 c3 3abc abc ( a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4(ab bc ca) 8abc 0 1 ab bc ca) 2abc (3) 4 P a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac) 6abc 2 a2 b2 c2 ab bc ac 6abc a b c 3 ab bc ca 6abc 1 1 1 3 ab bc ca 2abc 1 3. 4 4
13. Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa món x+y+z =6 . Chứng minh rằng: x 2 y2 z2 xy yz zx xyz 8 Giải: Chứng minh được xyz x y z x y z x y z (6 2x)(6 2y)(6 2z) 216 72(x y z) 24(xy yz zx) 8xyz 8 xyz 24 (xy yz zx) (1) 3 2 mà x y z 9 x 2 y 2 z 2 2xy 2yz 2xz 9 x2 y2 z 2 xy yz xz 36 3xy 3yz 3xz (2) 8 Nờn xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy 3yz 3xz 3 1 2 xyz x2 y 2 z 2 xy yz xz 12 (xy yz zx) mà x y z 3(xy yz zx) 3 2 1 x y z 36 xyz x2 y 2 z 2 xy yz xz 12 . 12 8 3 3 9 Bài 43: Cho a 1342;b 1342 . Chứng minh rằng a2 b2 ab 2013 a b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải: Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau: 2 2 a 1342 b 1342 0; a 1342 b 1342 0;a 1342 b 1342 0 Thật vậy: 2 2 a 1342 b 1342 0 a 2 b 2 2.1342. a b 2.1342 2 0 (1) a 1342 b 1342 0 ab 1342a 1342b 1342 2 0 (2) a2 b2 2.1342. a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 0 a2 b2 ab 3.1342. a b 3.13422 2.2013. a b 3.13422 2013. a b 2013. a b 2.2013.1342 2013. a b 2013. a b 1342 1342 2013. a b Bài 44: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 2 A x 1 x 3 6 x 1 x 3
14. Giải: Cỏch 1: Cỏch 2: 4 4 2 2 A x 1 x 3 6 x 1 x 3 2 2 2 2 2 A x 1 x 3 4 x 1 x 3 2 2 2 2 A 2x 8x 10 4 x 4x 3 2 2 2 2 A 2(x 2) 2 4 (x 2) 1 A 4(x 2)4 8(x 2)2 4 4(x 2)4 8(x 2)2 4 A 8(x 2)4 8 8 Bài 45: Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món a+b+c=1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 c 1 a 1 b 1 4 Giải: Bài 46 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa món điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
15. 1 1 1 1 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 Giải: x2 y2 2xy x y x2 y2 2xy x y x3 y3 xy x y 1 1 1 x3 y3 xy x y z 1 x3 y3 xy x y z 1 z 1 x 1 y ; ; dpcm 1 x3 y3 x y z 1 y3 z3 x y z 1 z3 x3 x y z Bài 47 Cho a,b là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: 2 a b a b 2a b 2b a 2 Giải: 2 a b 1 1 1 a b a b a b a b a b 2 ab a b 2a b 2b a 2 2 4 4 Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa món điều kiện: 1 1 1 1 1 8a 3 1 8b3 1 8c3 Giải: 1 1 1 2 1 2 2 2 1 8a 3 2a 1 4a 2 2a 1 2a 1 4a 2a 1 4a 2 2a 1 2 1 1 1 1 ; 2 ; 2 1 8b3 2b 1 1 8c3 2c 1 1 1 1 9 VT 1 2a2 1 2b2 1 2c2 1 2a2 1 2b2 1 2c2 1 Bài 49 a3 b3 c3 Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 b c a Giải: Cỏch 1: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a3 b3 c3 a4 b4 c4 a b c a b c a b c a2 b2 c2 b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca Cỏch 2 a3 b3 c3 ab 2a 2; bc 2b2; ca 2c2 VT 2 a 2 b2 c2 (ab bc ca) a 2 b2 c2 b c a Bài 50 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa món xyz = 1. Chứng minh rằng: x2 y2 z 2 3 y 1 z 1 x 1 2 Giải:
16. x2 y 1 y2 z 1 z 2 x 1 3 3 3 3 3 x; y; z VT x y z .3 y 1 4 z 1 4 x 1 4 4 4 4 4 2 Bài tập về bất đẳng thức và cực trị đại số Bài 1: (CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2009 – 2010) a) Cho x, y, z, a, b, c là cỏc số dương. Chứng minh rằng: 3 abc + 3 xyz 3 (a + x)(b + y)(c + z) . b) Từ đú suy ra: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 Bài 2: (CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2010 – 2011) 1 1 1 1 a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : ( ) a b 4 a b 1 1 1 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa món 2010. x y z 1 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P 2x y z x 2y z x y 2z Bài 3: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2011 – 2012) 2 1 a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : . x2 2y2 3 xy y 1 b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 M . a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2012 – 2013) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy , trong đú x, y là cỏc số thực thoả món điều kiện: x2013 y2013 2x1006 y1006 . Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2013 – 2014) a b c 3 Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Bài 6: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2015 – 2016)
17. Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món x y 3 . a) Chứng minh rằng xy y 4 . 2 6 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P . 3xy y 4 Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2015 – 2016) 1 1 1 Cho ba số khụng õm x, y, z thỏa món 2 . 1 2x 1 2y 1 2z 1 Chứng minh rằng xyz . 64 Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho m, n là cỏc số thực thay đổi sao cho m2 n2 5 . Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:Q m n mn 1. Bài 9: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2017 – 2018) 4 1 a) Với 0 < x < , chứng minh rằng ³ x . 3 x2 (4- 3x) 4 b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn sao cho a + b + c = 3. Chứng minh 3 rằng: 1 1 1 + + ³ 3. a2 (3b + 3c - 5) b2 (3c + 3a - 5) c2 (3a + 3b - 5 ) Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2017 – 2018) Với a, b, c là cỏc số thực dương, chứng minh rằng: a a a) ; a 2b a b a b c b) 1. a 2b b 2c c 2a Bài 11: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x + y + z = 2. 1 1 1 Chứng minh rằng 2 9xyz 21 x y z Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2018 – 2019) Với a, b, c là 3 số dương thỏa món điều kiện a b c ab bc ca 6abc 0.
18. 1 1 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P . a2 b2 c2 Bài 13: ( CHUYấN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YấN NĂM HỌC 2019 – 2020) Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món ab bc ca 1. Chứng minh rằng a b2 1 b c2 1 c a2 1 2 . Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009) Tỡm x, y để biểu thức F đạt giỏ trị nhỏ nhất: F 5x 2 2y 2 2xy 4x 2y 3 Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009) x 1 a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y . x2 x 1 b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc 52. Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c = 1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 . c 1 a 1 b 1 4 Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho ba số dương a,b và c thoả món abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 . a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2 Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho a, b, c>0 thỏa món abc=1 . Chứng minh 1 1 1 3 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2 Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x y z xyz . 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z 2 Chứng minh rằng: xyz x y z Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho ba số khụng õm a, b, c thay đổi thỏa món điều kiện a b c 4. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P a3b b3c c3a abc 2 ab3 bc3 ca3 bca 2 . Bài 21: ( HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010) a)Tỡm x. y để biểu thức P đạt giỏ trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .
19. b)Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng: bc ca ab 2 a3 c 2b b3 a 2c c3 b 2a c)Cho ba số thực ,, 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: x  y  z M . Với mọi x, y, z > 0. y z z x x y Bài 22: ( HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho x, y là cỏc số thực dương thừa món xy = 1 . 4 Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + 8 x y Bài 23: ( HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho 3 số x, y, z 0 thỏa điều kiện x y z 1. x y z Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P x 1 y 1 z 1 Bài 24: ( HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 x2 yz y2 xz z 2 xy 2 xy yz zx Bài 25: ( HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018) a)Cho a, b, c là ba số khụng õm thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 2 ab + bc + ca và p, q, r là ba số thỏa món p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp 0. b)Cho cỏc số dương a, b thỏa món điều kiện a.b = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 M = a + b + 1 a 2 + b 2 + a + b Bài 26: ( HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019) Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a + b + c = 3 Chứng minh rằng a b3 1 b c3 1 c a 3 1 5 Bài 27: ( HSG TỈNH BèNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019) Cho x, y là cỏc số thực thỏa món x y 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x 4 x 3 2y 1 y 3 2x 1 2y 4
20. Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HểA NĂM HỌC 2013– 2014) Cho các số x,y,z thoả mãn x+y+z =1 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : M = x2 xy y2 y2 yz z 2 z 2 zx x2 Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món: a b c 3. a 1 b 1 c 1 Chứng minh rằng: 3 1 b2 1 c2 1 a2 Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017) a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương. 2 a2 b2 a b Chứng minh rằng: . x y x y b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1. x y 4 Chứng minh rằng: . 1 x2 1 y2 3 Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng a b c a b c minh: 3 4 b c a a b b c c a Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010) Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 a b b c c a . a b c ab bc ca Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món: a b c 3. Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 1 b2 1 c2 1 a2 Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009) Các số thực x,y,z thoả mãn: x4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) . Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. a3 b3 c3 3 Chứng minh rằng 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4
21. Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013) Cỏc số dương x, y, z thỏa món điều kiện: x y z 1 .Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: x 4 y 4 z 4 F . x 2 y 2 x y y 2 z 2 y z z 2 x 2 z x Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015) 9 Cho a,b thỏa món: (2 a)(1 b) 2 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16 a4 4 1 b4 Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (x y 1)2 xy y x A (Với x; y là cỏc số thực dương). xy y x (x y 1)2 Bài 39: (HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 2ab 6bc 2ac 7abc . Tỡm giỏ trị 4ab 9ac 4bc nhỏ nhất của biểu thức C a 2b a 4c b c Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015) Cho cỏc số dương x, y, z thay đổi thỏa món: xy yz zx xyz . Tỡm giỏ trị lớn nhất 1 1 1 của biểu thức: M . 4x 3y z x 4y 3z 3x y 4z Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả món a 2 b2 c2 3. a 2 3ab b2 b2 3bc c2 c2 3ca a 2 Chứng minh rằng: 3 . 6a 2 8ab 11b2 6b2 8bc 11c2 6c2 8ca 11a 2 Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019) Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món xy yz xz 3. x2 y2 z 2 Chứng minh bất đẳng thức 1. x3 8 y3 8 z3 8 Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHềNG NĂM HỌC 2016– 2017) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 3 3 1. a3 b c b3 c a c3 a b
22. Bài 44: (HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2009– 2010) Cho hai số a, b thoả mãn a 1; b 4 , tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: 1 1 A a b a b Bài 45: ( HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2013– 2014) Cho m là số cố định, x và y là cỏc số thay đổi. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: P (x 3y 1)2 (2x my 4)2 Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011) 1 1 1 a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 4. x y z 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 2x + y + z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa món x2011 y2011 z2011 3 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2 Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011) 4x+3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012) 1 1 Cho a > 0, b > 0 và a + b 1. Tỡm GTNN của biểu thức A = a 2 b 2 . a 2 b 2 Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016) Cho a,b,c 0 thỏa móna b c 3. Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 1 c2 1 a2 1 Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017) Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món ab bc ca 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 2a b c P . 1 a 2 1 b2 1 c2 Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019) Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4 a b c P . a b b c c a Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2013– 2014) a,b,c 0 3 9 1 13 Cho , chứng minh rằng : a b c a 2b 3c 10 4a 8b c 2
23. Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2014– 2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món ab ac bc 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 19a 3 19b 3 19c 3 thức T 1 b2 1 c2 1 a2 Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2016– 2017) Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món a b c 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P 2a2 ab 2b2 2b2 bc 2c2 2c2 ca 2a2 Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c là cỏc độ dài ba cạnh của một tam giỏc và thỏa hệ thức a b c 1. 1 Chứng minh rằng a2 b2 c2 . 2 Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015) Cho x, y dương thỏa món điều kiện: x y 6 . 6 8 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3x 2y x y Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016) 1 1 1 2 Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa món: a2 b2 4 c2 b2 4 a2 c2 4 3 3 Chứng minh rằng: ab bc ca 4 Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019) Cho ba số dương x, y,z thỏa món điều kiện: xy yz zx 673 . x x x 1 Chứng minh rằng: x2 yz 2019 y2 zx 2019 z2 xy 2019 x y z Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BèNH NĂM HỌC 2011 – 2012) Tỡm GTLN của y x 9 x2 . Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BèNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho ba số thực khụng õm x,y,z thỏa món x+y+z=3.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x 2 3xy 2y 2 2y 2 3yz 2z 2 2z 2 3zx 2x 2 Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)
24. a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì x3 y3 z3 3xyz. 1 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện mn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 m2 n 2 m2n 2 P . m2n 2 m2 n 2 Bài 63: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010) Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng x y z 1 x2 yz 2010 y2 zx 2010 z 2 xy 2010 x y z Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a,b,c là cỏc số thực dương. CMR: ab bc ca a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x y z 3. 2x2 y2 z 2 2y2 z 2 x2 2z 2 x2 y2 Chứng minh rằng 4xyz. 4 yz 4 zx 4 xy Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho cỏc số thực dương x,y,z thỏa món x 2 y 2 z 2 3 x y z Chứng minh rằng xy yz xz 3 yz 3 xz 3 xy Bài 67: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho cỏc số thực phõn biệt a,b,c . Chứng minh rằng 1 1 1 9 2 2 2 a b c 2 2 2 . (a b) (b c) (c a) 2 Bài 68: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018) 3a b 3b c 3c a Chứng minh rằng a b c 9 với a,b,c là độ dài ba a2 ab b2 bc c2 ca cạnh của một tam giỏc. Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BèNH NĂM HỌC 2013 – 2014)
25. 1 1 1 Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 1. a b c 1 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 . 8 Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BèNH NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho a, b 0 thỏa món a b 2 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau: 1 1 M a b2 b a2 Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BèNH NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho ba số thực dương thỏa món x y z 2 xyz . Chứng minh rằng: x y z 6 2 xy yz zx Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013) a 3 b3 c 3 Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng: ab bc ca b c a Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho a, b, c là cỏc số thực thỏa món a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0. Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho ba số thực a,b,c thỏa 1 a,b,c 2. Chứng minh : a b c a c b 7 . b c a c b a Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009) Cho x + y = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3. Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014) 1 1 1 Cho a,b,c là 3 số dương thoả món 2 . Tỡm giỏ trị lớn nhất 1 a 1 b 1 c của Q=abc Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017) a b c Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2. b c c a a b Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)
26. 1 1 Chứng minh rằng: 21. a + 3. b 80 với a 3, b 3. b a Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a , b là hai số dương thỏa món a + b = 1 2 2 1 1 1 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T = a b a2 b a b2 Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x + y = 2 . CMR :x5 + y5 ≥ 2. Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BèNH NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0. 5a 3b 2c Chứng minh rằng: 1 a b c Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYấN NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a R thỏa món a5 – a3 + a = 2. Chứng minh rằng : 3 < a6 < 4 Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2010 – 2011) Cho ba số dương a,b,c thoả món: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2011. a2 b2 c2 1 2011 Chứng minh rằng: . b c c a a b 2 2 Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món x + y = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B 1 1 . x3 y3 xy Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2014 – 2015) a b a b Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món 2 c 6. Tỡm giỏ trị b a b 2 a 2 bc ca 4ab nhỏ nhất của biểu thức P . a(2b c) b(2a c) c(a b) Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho cỏc số thực a,b,c thỏa món : 0 a,b,c 2 và a b c 5 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A a b c . Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2017 – 2018)
27. Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x z. Chứng minh rằng xz y 2 x 2z 5 . y2 yz xz yz x z 2 Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HểA NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x y z 1 0. x3 y3 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P 2 x yz y xz z xy Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017) x 2y Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu 1 x 1 y thức P = xy2 Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho a, b, c là cỏc số dương thỏa món a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của a b b c c a P = c a b a b c b c a Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008) Cho cỏc số thực dương a,b,c thoả món abc 2.Chứng minh rằng a3 b3 c3 a b c b c a c a b. Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009) Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món abc 2. Chứng minh rằng a3 b3 c3 a b c b c a c a b Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010) Chứng minh rằng: 2 3 1 1 1 1 a b c abc với mọi a,b,c 0 a b b c c a 2 3 abc (a b)(b c)(c a) Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011) Cho a, b, c là ba số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức a 3c 4b 8c P . a 2b c a b 2c a b 3c Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho a, b, c, d là cỏc số thực thỏa món điều kiện:
28. abc bcd cda dab a b c d 2012 . Chứng minh rằng: a2 1 b2 1 c2 1 d 2 1 2012 . Bài 96: ( HSG TP VĨNH YấN NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a,b,c là cỏc số dương. Chứng minh rằng a b c a) 1. b 2c c 2a a 2b a b 2c b c 2a c a 2b b) a b c . 3b2 6c2 3c2 6a2 3a2 6b2 Bài 97: ( HSG TỈNH YấN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004) Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trỡnh 5a2 + 5b2 + 8ab = 18. Tỡm những giỏ trị của a và b để : a) M đạt giỏ trị lớn nhất b) M đạt giỏ trị nhỏ nhất Bài 98: ( HSG TỈNH YấN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007) (m n)2 Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A m3 n3 Bài 99: ( HSG TỈNH YấN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012) 2 2 2 Cho x, y, z là ba số dương thỏa món xyz = 1. Chứng minh rằng x + y + z ≥ 3 y+1 z+1 x+1 2 Xem tiếp tài liệu tại: