Tuyển tập đề thi học kì II các quận - huyện Hà Nội năm học 2017-2108 môn Toán

146 trang thienle22 4650

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề thi học kì II các quận - huyện Hà Nội năm học 2017-2108 môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_de_thi_hoc_ki_ii_cac_quan_huyen_ha_noi_nam_hoc_201.pdf

Nội dung text: Tuyển tập đề thi học kì II các quận - huyện Hà Nội năm học 2017-2108 môn Toán

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KÌ II CÁC QUẬN- HUYỆN HÀ NỘI NĂM HỌC 2017-2108 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm : Toán THCS
MỤC LỤC ĐỀ 1: QUẬN HOÀN KIẾM 1 ĐỀ 2: QUẬN CẦU GIẤY 2 ĐỀ 3: QUẬN BA ĐÌNH 3 ĐỀ 4: QUẬN ĐỐNG ĐA 4 ĐỀ 5: QUẬN THANH XUÂN 5 ĐỀ 6: QUẬN HOÀNG MAI 6 ĐỀ 7: QUẬN TÂY HỒ 8 ĐỀ 8: QUẬN HAI BÀ TRƯNG 9 ĐỀ 9: QUẬN NAM TỪ LIÊM 10 ĐỀ 10: QUẬN BẮC TỪ LIÊM 11 ĐỀ 11: QUẬN LONG BIÊN 12 ĐỀ 12: QUẬN HÀ ĐÔNG 14 ĐỀ 13: HUYỆN ĐAN PHƯỢNG 15 ĐỀ 14: HUYỆN GIA LÂM 16 ĐỀ 15: HUYỆN PHÚ XUYÊN 17 ĐỀ 16: HUYỆN THANH TRÌ 18 ĐỀ 17: HUYỆN BA VÌ 19
ĐỀ 18: HUYỆN PHÚC THỌ 21 ĐỀ 20: HUYỆN CHƯƠNG MỸ 23 ĐỀ 21:: HUYỆN ĐÔNG ANH 24 ĐỀ 22: HUYỆN THANH OAI 25 ĐỀ 23: HUYỆN THƯỜNG TÍN 26 ĐỀ 24: HUYỆN MỸ ĐỨC 27 ĐỀ 25: HUYỆN ỨNG HÒA 30 ĐÁP ÁN QUẬN HOÀN KIẾM 32 ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY 36 ĐÁP ÁN QUẬN BA ĐÌNH 40 ĐÁP ÁN QUẬN ĐỐNG ĐA 45 ĐÁP ÁN QUẬN THANH XUÂN 49 ĐÁP ÁN QUẬN HOÀNG MAI 55 ĐÁP ÁN QUẬN TÂY HỒ 62 ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG 66 ĐÁP ÁN QUẬN NAM TỪ LIÊM 72 ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM 76 ĐÁP ÁN QUẬN LONG BIÊN 80 ĐÁP ÁN QUẬN HÀ ĐÔNG 84 ĐÁP ÁN HUYỆN ĐAN PHƯỢNG 88
ĐÁP ÁN QUẬN GIA LÂM 92 ĐÁP ÁN HUYỆN PHÚ XUYÊN 97 ĐÁP ÁN QUẬN THANH TRÌ 101 ĐÁP ÁN HUYỆN BA VÌ 105 ĐÁP ÁN HUYỆN PHÚC THỌ 109 ĐÁP ÁN HUYỆN QUỐC OAI 113 ĐÁP ÁN HUYỆN CHƯƠNG MĨ 118 ĐÁP ÁN HUYỆN ĐÔNG ANH 121 ĐÁP ÁN HUYỆN THANH OAI 128 ĐÁP ÁN HUYỆN THƯỜNG TÍN 132 ĐÁP ÁN HUYÊN MỸ ĐỨC 136 ĐÁP ÁN HUYỆN ỨNG HÒA 139
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê PHẦN I: ĐỀ BÀI Đề 1: Quận Hoàn Kiếm x 1 1 x x x Bài I (2 điểm). Cho hai biểu thức A và B . với x 0; x 1 x 1 x 1x 1 2 x 1 9 1) Tính giá trị của A khi x 4 2) Rút gọn B . 3) Với x và x 1 , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức PAB . Bài II (2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Nhà bạn Mai có một mảnh vườn, được chia thành nhiều luống, mỗi luống trồng một số lượng cây bắp cải như nhau. Mai tính rằng nếu tăng thêm 7 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số bắp cải toàn vườn giảm 9 cây; còn nếu giảm đi 5 luống nhưng mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số cây bắp cải toàn vườn sẽ tăng thêm 15 cây. Hỏi vườn nhà Mai hiện trồng bao nhiêu cây bắp cải? Bài III: ( 2 điểm). 9 3 2 2x 1 y 1 1) Giải hệ phương trình: 4 1 1 2x 1 y 1 2) Cho đường thẳng d: y 2 x m2 1 và parabol ():P y x 2 ( với m là tham số) trong mặt phẳng tọa độ Oxy . a) Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tìm m để độ dài khoảng cách HK bằng 3 ( đơn vị độ dài). Bài IV: (3,5điểm). Cho nửa ()O đường kính AB 2 R , C là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho C khác A và AC CB . Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho:COD 900 . Gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao điểm của AC và BD . 1) Chứng minh:CEDF là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: FC FA FD FB 3) Gọi I là trung điểm của EF , chứng minh IC là tiếp tuyến của ()O 4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào? x 8 Bài V. (0,5 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 . 2 y x2 y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K y x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 2: Quận Cầu Giấy x x 3 2 1 Bài I ( 2 điểm). Cho biểu thức AB , với x 0, x 9 . 1 3xx 9 x 3 3 x 4 a) Tính giá trị biểu thức A khi x . 9 b) Rút gọn B . B c) Cho P , tìm x để P 3 . A Bài II (2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ sẽ hoàn thành. Nếu mỗi người làm một mình , để hoàn thành công việc người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ 2 là 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng , thì mỗi người sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu? Bài III (2 điểm ). 1 4 3 2x 1 y 5 1) Giải hệ phương trình: . 3 2 5 2x 1 y 5 2) Cho phương trình: x2 2 m 1 x 2 m 0 . a) Chứng minh: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 với mọi m . b) Tìm m để 2 nghiệm x1, x 2 là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 . Bài IV ( 3,5 điểm) . Cho đường tròn tâm O đường kính AB , gọi H là điểm nằm giữa O và B , kẻ dây C D AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ E AC, kẻ CK AE tại K , đường thẳng DE cắt CK tại F . a) Chứng minh: AHCK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: KH// ED và tam giác ACF cân. c) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất. Bài V (0,5 điểm). Giải phương trình: 5x2 4 x x 2 3 x 18 5 x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 3: Quận Ba Đình 2x 1 3 Bài I (2,0 điểm). Cho biểu thức A : với x 0; x 9 x 9 x 3 x 3 1) Rút gọn biểu thức A 5 2) Tìm x để A 6 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 8 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 12 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu? Bài III (2,0 điểm). 2 x 5 4 y 2 1) Giải hệ phương trình 1 x 5 3 y 2 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x m 2 0 a) Giải phương trình khi m = 4 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 x 2 4 x 1 . x 2 Bài IV (3,5điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC 1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ABC = ANM 3) Chứng minh OA vuông góc với MN 4) Cho biết AH R 2 . Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Bài V (0,5điểm). Cho a, b > 0 thỏa mãn a b 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b 1 b a 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 4: Quận Đống Đa 2x 1 x 3 x 4 1 Bài I (2,5 điểm). Cho biểu thức A và B với x x 2 x x 2 x 0, x 4 a. Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 b. Rút gọn biểu thức B B c. Cho P . Tìm x để PP A Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài III. (1,5 điểm) Cho parabol P : y x 2 và đường thẳng d : y 2 m 1 x 2 m 1) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m 1 2) Tìmm để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M x1;;; y 1 N x 2 y 2 sao cho y y x x 1 1 2 1 2 Bài IV. (3,5 điểm) Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A và B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB. 1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. 2) AC cắt DE tại P, BC cắt DF tại Q. Chứng minh PAE đồng dạng với PDC suy ra PA PC PD PE . 3) Chứng minh AB // PQ. 4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn ()O thì trọng tâm G của tam giác ABC di chuyển trên đường nào? Bài V. (0,5 điểm) Cho các số thựca,, b c thỏa mãna b c 7; ab bc ca 15 . 11 Chứng minh rằng :a 3
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 5: Quận Thanh Xuân 1 2 Bài I ( 2,0 điểm). Cho biểu thức P với x 4; x 0 x 2 x x 4 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng P 0 với mọi x 4; x 0 1 c) Tìm những giá trị của x để P 15 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng tốc độ 5km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút. Tính tốc độ của ô tô lúc đi từ A đến B. 108 63 7 x y Bài III (2,0 điểm). 1) Giải hệ phương trình 81 84 7 x y 1 1 2) Cho đường thẳng d : y x 2 và Parabol P : y x 2 trên hệ trục tọa độ Oxy. 2 4 a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) đã cho. b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P).Tìm N trên trục hoành sao cho NAB cân tại N. Bài IV (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC R 3. A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N. a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AE.AB = AD.AC c) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K (K khác O). Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng. 1 1 1 Bài V (0,5 điểm) . Cho hai số thực m và n khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng trong m n 2 hai phương trình x2 mx n 0 và x2 nx m 0 có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 6: Quận Hoàng Mai I. TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm). Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1. Cặp số 1;2 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? 2x y 7 x 5 y 9 x y 1 2x 2 y 0 A. B. 3 C. D. 6x 2 y 2 x y 3 2x y 4 x y 3 4 2 2 Câu 2. Điều kiện của m để phương trình x 2 mx m 4 0 có hai nghiệm x1 0, x 2 0 là: A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 16 Câu 3. Cho đường tròn OR, đường kính AB, dây AC R . Khi đó số đo độ của cung nhỏ BC là: A.600 B. 1200 C. 900 D. 1500 Câu 4. Độ dài của một đường tròn là 10 (cm). Diện tích của hình tròn đó là: A. 10 cm2 B. 100 cm2 C. 50 cm2 D. 25 cm2 II. TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I ( 2,5 điểm) 2 1 3 x 2 y 1 1. Giải hệ phương trình sau: 3 2 8 x 2 y 1 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y x 2 và đường thẳng (d) : y 2 mx 2 m 1 a. Với m 1 . Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) . b. Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1 ; y1 ); B ( x 2 ; y 2 ) sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 . Bài II (2,5 điêm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một đội xe theo kế hoạch chở hết 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 5 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng đó trong bao nhiêu ngày?
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài III. (3,5 điểm). Cho đường tròn O có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ CD . Đường kính MN của đường tròn O cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD .(E khác C,D,N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P. a) Chứng minh rằng :Tứ giác IKEN nội tiếp b) Chứng minh: EI.MN=NK.ME c) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của EIQ d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định. Bài IV (0,5 điểm): Cho a; b ; c 0 , chứng minh rằng: a b c a b c abbcca bc ca ab
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 7: Quận Tây Hồ Bài I (2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau 2x 1 y 2 4 a) 3x2 26 x 48 0 b) 6x 1 2 y 2 2 Bài II (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Lúc 7 giờ, một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 30 km. Ca nô nghỉ tại B 30 phút. Sau đó, ca nô ngược dòng với vận tốc riêng không đổi từ B về đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài III (2 điểm). Cho parabol P : y x 2 và đường thẳng d : y mx m 1 ( m là tham số) a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, phân biệt. b) Gọi x1, x 2 lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B . Tìm các giá trị của m thỏa mãn 2 2 x1 x 2 17. Bài IV (3,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E , CF cắt BE tại H . a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích hình quạt IEHF của đường tròn I nếu BAC 600 , AH 4 cm . c) Gọi AH cắt BC tạiD .Chứng minh FH là tia phân giác của DFE . d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của O tại E , F vàAH đồng quy tại một điểm. Bài 5 (0,5 điểm): Cho a 0; b 0 và a2 b 2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S ab 2( a b )
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 8: Quận Hai Bà Trưng x 1 Câu I: (2 điểm) Cho hai biểu thức A x 3 2x x 3 x 3 và B x 0, x 9 x 3 x 3 x 9 a) Tính giá trị của A khi x 25 b) Rút gọn biểu thức PBA : c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Câu II: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong. Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc nhiều hơn thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 4 giờ. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu hoàn thành công việc? Câu III: (2 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y x m 3 . a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m 1. b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. c) Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M( x1 ; y 1 ), N ( x 2 ; y 2 ) sao cho y1 y 2 3( x 1 x 2 ). Bài IV: ( 3,5 điểm) Cho (O) đường kính AB 2 R , xy là tiếp tuyến với (O) tại B,CD là một đường bất kỳ AC CB . Goi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là M, N. a) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp. b) Chứng minh AC AM AD AN c) Goi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm của MN. Chứng minh rằng tứ giác AOIH là hình bình hành. Khi đường kính CD quay quanh điểm O thì điểm I di động trên đường nào? d) Khi góc AHB bằng 60o . Tính diện tích xung quanh của hình tạo thành khi hình bình hành AHIO quay quanh cạnh AH theo R. Câu V: (0,5 điểm) Cho x 0; y 0 vµ x y 1 x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A y 1 x 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 9: Quận Nam Từ Liêm x x 2 2 x 8 2 Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A và B x 2 x 2 x 4 x 6 ( x 0; x 4; x 36 ) 1. Tính giá trị của biểu thức B khi x 25 . 2. Rút gọn biểu thức A . 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PAB : . Bài II. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một tổ sản xuất theo kế hoạch cần làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định. Thực tế, do thao tác hợp lý mỗi ngày tổ làm thêm được 10 sản phẩm nên không những hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày mà còn vượt mức kế hoạch 50 sản phẩm.Tính số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch. Bài 3. (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình sau: 2(x y ) x 2 7 5 x y 2 x 2 4 2. Cho phương trình sau: x2 2 m 1 x 4 m 0(x là ẩn, m là tham số). Tìm m để hệ 2 2 phương trình có hai nghiệm phân biết x1; x 2 thỏa mãn: x1 x 2 ( x 1 x 2 ) 4 . Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn OR; , điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP, AQ của đường tròn O , với PQ, là hai tiếp điểm. Qua P kẻ đường thẳng song song với AQ cắt đường tròn O tại M . Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn O . 1. Chứng minh: APOQ là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh: AP2 AN. AM 3. Kẻ đường kính QS của đường tròn O . Gọi H là giao điểm của NS và PQ , I là giao điểm của QS và MN . a) Chứng minh: NS là tia phân giác của góc PNM . b) Chứng minh: HI//. PM 4. Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K . Gọi G là giao điểm của PN và AO; E là trung điể của AP . Chứng minh ba điểm QGE,, thẳng hàng. Bài 5. (0,5 điểm) 4 3x y Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M . y 2 y2 x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 10: Quận Bắc Từ Liêm 4 x 1x 2 Bài I (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A và B với x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 2) Rút gọn biểu thức B 3 3) Tìm các giá trị của x để A 2 Bài II (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng thực tế khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó, tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo dự định mỗi ngày tổ làm được bao nhiêu sản phẩm Bài III (2,0 điểm): Cho phương trình x2 mx m 1 0 (1) a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm với mọi giá trị của m b) Tìm m để hai nghiệm x1; x 2 của phương trình (1) thỏa mãn x1 x 2 3 x 1 x 2 1 Bài IV (3,5 điểm): Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O; R). Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho AB < 2R. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt đường tròn (O) tại H và K (H nằm giữa M và K) 1) Chứng minh MKA MAH . Từ đó chứng minh MKA và MAH đồng dạng 2) Kẻ HI AK tại I. Chứng minh tứ giác AMHI nội tiếp một đường tròn 3) Kéo dài AH cắt BK tại D. Chứng minh AD KB 4) Lấy C đối xứng với B qua AK. Chứng minh điểm C thuộc đường tròn (O; R) Bài V (0,5 điểm): Giải phương trình x x 7 2 x2 7 x 2 x 35
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 11: Quận Long Biên Bài 1. (2,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình: 3 4 5 4 2 x 1 y 3 a) x 5 x 36 0 b) 1 3 6 x 1 y 3 Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một đoàn xe vận tải nhận chở 15 tấn hàng gửi tới đồng bào miền trung bị bão lũ. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển? (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau). Bài 3. (1,5 điểm)Cho parabol ()P có phương trình y x 2 và đường thẳng d có phương trình y mx 2 . (với m là tham số, x là ẩn) a) Chứng tỏ với mọi giá trị của m , đường thẳng d luôn cắt()P tại hai điểm phân biệt A và B . b) Gọi x1, x 2 lần lượt là hoành độ của A và B trên mặt phẳng tọa độ Oxy . 2 2 Tìm m để x1 x 2 3 x 1 x 2 14 . Bài 4. (4,0 điểm) Cho đường tròn O , đường kính AB 2 R . Dây CD cố định vuông góc với AB tại I (IA IB ). Gọi E là điểm di động trên dây CD ( E khác I ). Tia AE cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là M . a) Chứng minh: tứ giác IEMB nội tiếp. b) Chứng minh: AE. AM AC 2 c) Chứng minh: AB BI AE AM có giá trị không đổi khi E di chuyển trên dây CD . d) Xác định vị trí của điểm E trên dây CD để khoảng cách từ D đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất. 2. Bạn Thế Anh rót 80cm3 trà sữa vào một ly dạng hình nón. Thế Anh uống được một phần thì phần trà sữa còn lại trong ly là một hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của phần trà sữa lúc đầu trong ly. Tính thể tích phần trà sữa còn lại trong ly?
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài 5. (0,5 điểm) Quả bóng đá. Quả bóng đá mà chúng ta nhìn thấy hàng ngày ghép từ 32 mảnh lục giác màu trắng và hình ngũ giác màu đen được thiết kế bởi kiến trúc sư Richard Buckminster Fuller vào thập niên 1960. Lần đầu tiên trái bóng này được sử dụng tại vòng chung kết World Cup 1970 ở Mexico. Một trong nhứng lý do lớn để người ta không sử dụng trái bóng trắng mà sử dụng xen kẽ trắng đen là để người xem dễ dàng nhìn bóng hơn. Điều quan trọng trong việc sử dụng các mảnh ghép hình lục giác và ngũ giác xen kẽ sẽ làm cho trái bóng đi đúng quỹ đạo thật hơn. Hãy cho biết có bao nhiêu mảnh lục giác màu trăng trên 1 trái bóng?
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 12: Quận Hà Đông Bài 1: (3 điểm) 2x 2 y 3 1) Giải hệ phương trình: 3x 2 y 2 2) Cho phương trình: x2 mx 1 0 (Với m là tham số) a)Giải phương trình với m = 2 2 2 2 2 b) Tìm m để phương trình có các nghiệm x1, x 2 thỏa mãn: x1 x 2 5 x 1 x 2 Câu 2 (2,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tặng đồng bào nghèo ở miền cao biên giới. Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 5 xe nữa cùng loại. Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi xe chở ít hơn 2 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau. Bài 3 (4,0 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ điểm A tiếp xúc với (O) tại B và C. Trên đường tròn (O) lấy điểm M (khác B và C) sao cho M và A nằm về hai phía của đường thẳng BC. Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vuông góc với Acvà MI vuông góc với AB. 1) Chứng minh tứ giá MIBH nội tiếp; 2) Đường thẳng AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N. Chứng minh tam giác ABN đồng dạng với tam giác AMB, từ đó suy ra AB2 AM. AM ; 3) Chứng minh: MIH MHK 4) Chứng min rằng: MI + MK 2MH Bài 4: Với x, y là các số dương thỏa mãn x y 6 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y 2 xy
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 13: Huyện Đan Phượng x 3 2x x 1 3 11 x Câu 1: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A và B ( x 0; x 9) x 2 x 3 x 3 x 9 1. Tính giá trị biểu thức A khi x 25 . 3 x 2. Chứng minh: B . x 3 3. Tìm x để AB. 1 . Câu 2: (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một 3 mình trong 15 h và người thứ hai làm một mình trong 6 h thì cả hai người làm được công việc. 4 Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. Câu 3: (1,0 điểm) 1. Giải phương trình: x4 3 x 2 4 0 . 2. Cho phương trình: x2 2( m 1) x m 2 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Câu 4: (3,5 điểm)Cho hình vuông ABCD, N là trung điểm của DC, nối BN cắt AC tại F. Vẽ đường tròn (O), đường kính BN. Đường tròn (O) cắt AC tại E. Kéo dài BE cắt AD ở M 1) Chứng minh tứ giác MDNE nội tiếp 2) Chứng minh tam giác BEN cân 3) Gọi I là giao điểm của (O) với MN; H là giao điểm của BI và NE. Chứng minh MH BN 4) Chứng minh ba điểm M, H, F thẳng hàng Câu 5:(0,5 điểm) Giải phương trình 4 1 5 x x 2 x x x x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 14: Huyện Gia Lâm Câu 1: (2,0 điểm) x x 3 2 1 Cho hai biểu thức A và B với x 0; x 9 1 3 x x 9 x 3 3 x 4 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho PBA :. Tìm x để P < 3. Câu 2: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Một tàu thủy chạy xuôi dòng một khúc sông dài 72km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy 54km hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Câu 3: (2,0 điểm) 1 4 3 2x 1 y 5 1) Giải hệ phương trình: 3 2 5 2x 1 y 5 2) Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y 2 x m2 9 a)Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m 1 b)Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Câu 4: (3,5 điểm) Cho (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ ( E khác A và C). Kẻ CK  AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. 1) Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp. 2) Chứng minh KH // ED và ACF là tam giác cân 3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích ADF lớn nhất. Câu 5:(0,5 điểm) Giải phương trình: 5x2 4x x 2 3x 18 5 x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 15: Huyện Phú Xuyên x 2 x 3 3 x Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức A . với x 0; x 1 x x 1 x 1 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của biểu thức A tại x 4 3) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB. Bài 3: (2,0 điểm) 2x 3 y 7 1) Giải hệ phương trình x 5 y 3 2) Cho hai hàm số y 2 x 3 1 và y m 1 x 4 2 a) Tìm m biết đồ thị hàm số (2) đi qua điểm A 1;5 . b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và (2) với m tìm được ở câu a. Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn OR; đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của AB, trên d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB.Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ABNM là hình thang vuông. 2) CA là tia phân giác của MCH . 3) CH2 AM. BN 4) Xác định vị trí của C để diện tích tứ giác ABNM lớn nhất. Bài 5: (0,5 điểm) 42 60 Giải phương trình 6 5 x 7 x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 16: Huyện Thanh Trì Bài I (2.0 điểm): Cho các biểu thức x 1 x1 x x 4 A= và B = với x≥0, x≠4 x 2 x 1 x 2 x x 2 1. Tính giá trị của A khi x = 7+4 3 3 2. Chứng minh rằng: B= 2 x B 3. Tìm x để 1 A 2mx y 5 Bài II (2.0 điểm): Cho hệ phương trình : với m là tham số mx 3 y 1 1. Giải hệ phương trình với m =1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x – y = 2 3. Chứng minh rằng nếu hệ phương trình có nghiệm (x;y) thì điểm M(x;y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m thay đổi. Bài III (2.0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một đội công nhân được giao làm 1200 sản phẩm trong thời gian nhất định. Sau khi làm 5 ngày với năng suất dự kiến, đội đã tăng năng suất mỗi ngày thêm 10 sản phẩm. Do đó, đội đã hoàn thành công việc được giao sớm 5 ngày. Hỏi theo kế hoạch đội phải hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày. Bài IV (3.5 điểm): Cho tam giác MAB vuông tại M (MA 1; y>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = y 1 x 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 17: Huyện Ba Vì Bài I: ( 2 điểm). Khoanh tròn vào chữ cái A, B, C, D đứng trước câu trả lời đúng: 2x 11 y 7 Câu 1: Cho hệ phương trình: nghiệm duy nhất của hệ là: 10x 11 y 31 A. (1;2) B. (2;1) C. (-1;2) D. (1; -2) Câu 2: Nếu đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm A (-2; 3) thì: 3 3 3 3 A. a = B. a = C. a = D. a = 2 2 4 4 Câu 3: Nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0 là: A. 3; 2 B. – 3 ; - 2 C. – 3 ; 2 D. 3; - 2 2 Câu 4: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0, (a 0), điều nào sau đây là đúng: b c b c A. x x , x x B. x x , x x 1 2a 1 2 a 1 2a 1 2 a b c C. x x , x x D. 1 2a 1 2 a b c x x , x x 1 2a 1 2 a Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình x2 – 2x + 3m - 2 = 0 có nghiệm kép? A. m = 1 B. m = -1 C. m = -2 D. m = 2 Câu 6: Một hình trụ có thể tích 100cm3 và diện tích đáy bằng 25cm2, khi đó chiều cao của hình trụ bằng: A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm Câu 7: Một hình nón có chiều cao h = 12m và bán kính đường tròn đáy r = 5m. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng? A. 55 (m) B. 55 (m2) C. 65 (m) D. 65 (m2) Câu 8: Trên hình 2. MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M và góc KMN bằng 450. Khi đó số đo của góc MOK bằng:
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê A. 1350 B. 900 C.950 D. 450 Bài II: (2,5đ) Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2m +4 a. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) với m = 1 b. Tìm m để đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. 2 2 c. Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho x1 x 2 có giá trị nhỏ nhất. Bài III: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu mở vòi 1 1 chảy một mình trong 20 phút , mở tiếp vòi 2 chảy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được . 8 Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Bài IV : (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm C thuộc đoạn thẳng đó (C khác A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm M cố định, kẻ tia Cz vuông góc với CM tại C. tia Cz cắt By tại K. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính MC cắt MK tại E. a. Chứng minh tứ giác CEKB là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh AM. BK = AC. BC c. Chứng minh tam giác AEB là tam giác vuông. d. Cho A, B, M cố định. Tìm vị trí của điểm C để diện tích tứ giác ABKM lớn nhất. Bài V: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x2 + 9y2 -12xy + 24x – 48y + 2098
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 18: Huyện Phúc Thọ Câu 1. (2 điểm): a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số y ax2 đi qua điểm A 2;4 . Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được. 5x y 7 b) Giải hệ phương trình: 2x 3 y 4 Câu 2. (2 điểm): Cho phương trình x2 2 mx 2 m 1 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2 ; 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho x1 x 2 10 . Câu 3. (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Quãng đường từ A đến B dài 120km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến nơi sớm hơn ô tô thứ hai 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Câu 4. (3,5 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M cố định ở ngoài đường tròn (O; R) sao cho OM 2 R , ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là các tiếp điểm). Một cát tuyến bất kì qua M cắt đường tròn (O; R) lần lượt tại C và D. Kẻ tia phân giác của CAD cắt dây CD tại E và cắt đường tròn tại N. a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MA ME . c) Tính MC. MD theo R. d) Tính thể tích hình nón khi quay tam giác AOM một vòng quanh cạnh AM, biết R 1 cm . Câu 5. (0,5 điểm): Cho a,b,c 0;a b c 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. S a2 4 ab b 2 b 2 4 bc c 2 c 2 4 ca a 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 19: Huyện Quốc Oai Bài 1. (2 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: x y 3 a) x2 6 x 4 0 b) 2x y 12 Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một đội xe theo kế hoạch phải chở 360 tấn hàng từ Hà Nội đi Hải Phòng. Trước khi đi có 5 xe phải đi làm việc khác, vì vậy mỗi xe phải chở thêm 6 tấn hàng nữa mới hết số hàng đó. Hỏi đội có bao nhiêu xe? Bài 3. (2 điểm) Cho parabol (P): y 2 x 2 và đường thẳng d : y x m a) Tìm m biết đường thẳng d đi qua điểm A 1;2 b) Xác định tọa độ giao điểm của parabol P : y 2 x 2 và đường thẳng được xác định ở câu a. c) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt parabol P đã cho tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn O . Vẽ dây AB không qua tâm O , trên tia AB phần ở bên ngoài đường tròn lấy điểm C . Vẽ đường kính DE vuông góc với AB tại I ( D thuộc cung nhỏ AB ). Nối CE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K , DK cắt AB tại M . a) Chứng minh: Tứ giác EIMK nội tiếp được một đường tròn. b) Chứng minh rằng: CE CK CM CI c) Chứng minh: KC là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh K của ABK d) Cho ba điểm ABC,, cố định. Đường tròn O thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm AB, . Chứng minh DK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số thực dương a,, b c thỏa mãn a b c 4 . Chứng minh rằng: 1 1 1 . ab ac
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 20: Huyện Chương Mỹ Bài 1: (2 điểm) 2x 3 y 1 1. Giải hệ phương trình: x 2 y 3 1 2. Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y = x + 4 2 a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ; b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) không tiếp xúc với (P) Bài 2 ( 2 điểm) Cho phương trình ( ẩn x): x2 2 m 1 x 2 m 15 0 (1) ( m là tham số) a) Giải phương trình với m = 3; b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m; 1 1 4 c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để 2 x1 x 2 x 1 x 2 Bài 3 ( 2 điểm) Quãng đường AB dài 108 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc để đi từ A đến B. Biết ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 6km nên ô tô thứ hai đến B muộn hơn ô tô thứ nhất là 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe Bài 4 ( 3.5 điểm) Cho (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A). Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) ( E; F là hai tiếp điểm). Nối E với F cắt OM tại H và cắt OA tại B. a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp; b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R2; c) MO cắt cung nhỏ EF tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF d) Từ O kẻ đường kính của đường tròn tâm O vuông góc với OM nó cắt ME và MF kéo dài lần lượt tại P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất. Câu 5 (0.5 điểm) Giải phương trình sau: x2 2 x 1 x 2 1 x 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 21:: Huyện Đông Anh Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức: x x 1 1 A và B với x > 0; x ≠ 4. x 1 x 4 x 2 x 2 1) Tính giá trị của A khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức B. A 1 3) Tìm x để . B 2 Bài 2 (2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một tổ sản xuất được giao cho làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhưng thực tế mỗi ngày họ làm thêm được 10 sản phẩm nên đã hoàn thành trước dự định 3 ngày. Hỏi ban đầu mỗi ngày họ dự định làm bao nhiêu sản phẩm. Bài 3 (2 điểm). 3 y 1 5 x 1) Giải hệ phương trình: 1 2y 1 4 x 2) Cho đường thẳng (d): y m x m 1 và parabol (P) : y x 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 2 . b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x 1 – 3 x 2 x 2 – 3 26 . Bài 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB . Dây CD vuông góc với AB tại M cố định.Trên MC lấy điểm E , AE cắt(O; R) tại H, BH cắt DC tại K. a) Chứng minh: Tứ giác BHEM và tứ giác AMHK là các tứ giác nội tiếp; b) Chứng minh: AE.AH = AM.AB = AC2 c) BE cắt (O; R) tại N.Chứng minh A, N, K thẳng hàng. d) I là trung điểm của KE. Chứng minh IH là tiếp tuyến của (O). e) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tiếp tuyến tại C tại P. AP cắt CM tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của CM. Bài 5 (0,5 điểm). Cho x, y , z 0 và x y z 3 . x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của A y2 1 z 2 1 x 2 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 22: Huyện Thanh Oai Bài 1: 2x 3 y 7 a) Giải hệ phương trình 3x 2 y 4 b) Giải phương trình bậc hai: x2 2 2 x 7 0 x3 5 x 3 c) Rút gọn biểu thức A ( x 0) x 1 x x x Bài 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 150 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 5 xe phải đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe phải chở thêm 5 tấn hàng mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng mỗi xe bằng nhau. Bài 3: Cho parabol (P) y x 2 và đường thẳng d: y mx 2 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B 2 2 b) Gọi x1, x 2 là hoành độ của A, B tìm m sao cho : x1 x 2 x 2 x 1 5 x 1 x 2 4026 Bài 4 : Cho tam giác ABC ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC , điểm D thuộc bán kính OC . Đường vuông góc với OC tại D cắt AC và AB theo thứ tự E và F . a) Chứng minh rằng ABDE là từ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng CAD CFD c) Gọi M là trung điểm EF . Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Cho AB = 6cm , ACB 30o . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB Bài 5 : cho a, b , c 0; a b c 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của : S a2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ac a 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 23: Huyện Thường Tín x x 1 x x 1 x 2 Bài 1 : Cho biểu thức : P (): x x x x x 2 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên Bài 2 : cho phương trình x2 2( m 1) x 4 m 0(1) tham số m a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau , tìm hai nghiệm đó x x c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 2 4 x2 x1 Bài 3 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Trong tháng giêng 2 tổ sản xuất được 900 chi tiết máy . Sang tháng hai, do cải tiến kỹ thuật nên tổ 1 vượt mức 15% , tổ 2 vượt mức 10% so với tháng giêng , vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy . Hỏi trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Bài 4 : Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P sao cho AP > R. Từ P kẻ đường tiếp xúc với (O) tại M . a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn b) Chứng minh BM // OP c) Đường thẳng vuông góc AB tại O cắt BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành d) Cho AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I , PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I ; J ; K thẳng hàng Bài 5 : Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6 bc 2 ca 7 abc 4ab 9 ca 4 bc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M a 2 b a 4 c b c
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 24: Huyện Mỹ Đức A. Trắc nghiệm: (3 điểm) Câu 1: Hàm số y 3x2 đồng biến khi: A. x 0 B: x 0 C: x 0 D: x 0 Câu 2: Ở hình bên biết ACB 90o . Số đo cung AB là: A:90o B:180o C A B C:30o D:60o Câu 3: Cho hình vẽ biết xAB 30o . Số đo AmB bằng: A:15o B:30o A m x B O C:60o D: Đáp án khác 2 Câu 4: Đồ thị hàm số y x 2 đi qua điểm nào trong các điểm sau: 3 2 2 2 A: (0; ) B: (-1; ) C: (3;6) D: (1; ) 3 3 3 Câu 5: Cho Phương trình ax2 bx c 0( a 0). Nếu b2 4a c 0thì phương trình có 2 nghiệm là: b b b b A. x ; x B. x ; x 1a 2 a 12a 2 2 a b b C. x ; x D. Cả 3 đáp án đều sai. 12a 2 2 a Câu 6: Cho hình bên biết CAB 700 Số đo CMB là: A:70o B:140o C:35o D: Đáp án khác
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê C A 70 O B M Câu 7: Cho phương trình 35x2 37x 2 0 . Khi đó tổng 2 nghiệm của phương trình là: 37 A. B: 1 C: -1 D: Đáp án khác. 35 Câu 8: Diện tích xung quanh của 1 hình trụ có chu vi đáy là 13cm, chiều cao 3cm là: A. 16cm2 B: 10cm2 C: 39cm2 D: Đáp án khác. Câu 9: Phương trình 2015x2 2016x 1 0 có nghiệm là: 1 A. x 1; x 2015 B: x 1; x 2016 C: x 1; x D: Đáp án khác. 2015 Câu 10: Cho hình vẽ: Nếu ABO 250 thì xAB A:60o B:130o C:70o D:65o Câu 11: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, A và C là 2 đỉnh đối nhau. Biết C 3A . Số đo các góc A và C lần lượt là: A:45o ;1350 B:30o ;900 C:50o ;1500 D: 40o ;1200 Câu 12: Bán kính đáy của hình nón bằng 2cm. Độ dài đường sinh bằng 5cm. Diện tích toàn phần của hình nón là: A:11cm2 B:12cm2 C:13cm2 D:14cm2 B. Phần tự luận: (7 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) a) Giải phương trình: x 2 5x 6 0 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d ) y m x 2 m 4 ( 2 2 m 0 ). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1; x 2 thỏa mãn x1 x 2 13 Câu 2: ( 2 điểm ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 học sinh. Trong đợt quyên góp sách vở ủng hộ các bạn khó khăn mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 2 quyển. Mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 3 quyển. Vì vậy 2 lớp ủng hộ được 198 quyển sách. Tính số học sinh mỗi lớp. Câu 3: (3 điểm)Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm M bên ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm). Lấy C bất kì trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E, F là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM a) Chứng minh Tứ giác AECD nội tiếp. b) Chứng minh :CDE CBA c) Gọi I là giao điển AC và ED, K là giao điểm CB và DF. Chứng minh IK//AB Câu 4: (0,5 điểm ) Cho a, b, c là các số dương , a+b+c=1. Chứng minh: 2018a 1 2018 b 1 2018 c 1 1012
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đề 25: Huyện Ứng Hòa I. TRẮC NGHIỆM (2 điểm): Viết lại chữ cái đứng trước câu trả lời đúng vào giấy thi: 1 Câu 1: Điểm thuộc đồ thị hàm số y x2 là: 2 1 B. (2;-2) C. (2; 2) 1 A. 1; D. 1; 2 2 x 2 y 3 Câu 2: Giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: mx y 3 1 3 C. m 1 1 A. m B. m D. m 2 2 2 2 Câu 3: Giá trị của m để phương trình x m x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 6 A. 6 B. 12 C. -6 D. -12 Câu 4: Điều kiện của tham số m để phương trình m 2 x2 2x 3 0 là phương trình bậc hai là: A. m 2 B. m 2 C. m 0 D. m 2 Câu 5: Cho đường tròn tâm (O) và cung AB có số đo bằng 1100. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AB. Số đo góc AMB là A. 125o B. 110o C. 55o D. 70o Câu 6: Cho đường tròn (O; R) dây cung MN có độ dài bằng bán kính. Số đo của cung nhỏ MN là: A. 120o B. 30o C. 60o D. 150o Câu 7: Cho 1 hình nón có bán kính đáy bằng 3 cm, chiều cao 4cm.Khi đó diện tích xung quanh hình nón là: A. 30 cm2 B. 24 cm2 C. 12 cm2 D. 15 cm2 Câu 8: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 5cm, MQ = 3 cm. Khi quay hình chữ nhật MNPQ 1 vòng quanh cạnh MN ta được hình trụ có thể tích là: A. 90 cm3 B. 45 cm3 C. 75 cm3 D. 30 cm3
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê II. TỰ LUẬN (8 điểm) Bài 1. (2 điểm): Cho phương trình bậc hai x2 2 mx m m 1 0 với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m 2 ; 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 2 . (2 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một đoàn xe chở 420 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có 1 xe bị hỏng không tham gia chở hàng nên mỗi xe phải chở thêm so với dự định 2 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau. Bài 3. (3,5 điểm): Cho đường tròn tâm (O) có dây AB. Lấy điểm C trên tia AB nằm ngoài đường tròn. Kẻ đường kính EF vuông góc với dây AB tại D (E thuộc cung lớn AB). Tia CE cắt đường tròn tại điểm thứ hai I, các dây AB và FI cắt nhau tại K. 1) Chứng minh tứ giác EDKI nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh CI D CE CK C . 3) Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB. 4) Giả sử 3 điểm A, B, C cố định. Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua AB thì đường thẳng FI luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 4. (0,5 điểm): Giải phương trình: 4x 1 x3 1 2 x 3 2x 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê ĐÁP ÁN Đáp án quận Hoàn Kiếm Bài 1. 9 3 5 1 9 1 1) Thay x (TMĐK x 0; x 1) vào A ta được: A 4 2 2 5 4 9 3 1 1 1 4 2 2 9 Vậy: A 5 khi x . 4 2) Với x 0; x 1 ta có: 1 x x x 1 B . x 1x 1 x 1 2 x 1 x 1 x x x 1 B . x 1 x 1 2x 1 x B . x 1 x Vậy: B (với x 0; x 1) x 1 x 1 x x 1 3) Ta có: PAB . . 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Với x và x 1, ta xét các trường hợp: TH1. x 0 thì P 0 . 1 1 TH2. Nếu x 2 thì x 1 2 1 => x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 Do đó: P 1 1 2 2 x 1 2 1 2 1 2 1 Dấu “=” xảy ra khi x 2 . So sánh các trường hợp của . P ., ta thấy: maxP 2 2 khi và chỉ khi x 2 .
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài II: Gọi số luống ban đầu là a (luống), a , a 5. Số cây bắp cải trồng mỗi luống ban đầu là b (cây), b , b 2. Số cây bắp cải trong vườn nhà Mai hiện có là ab (cây) Vì khi tăng thêm 7 luống và mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số cây bắp cải trong vườn giảm 9 cây nên ta có: (a 7)( b 2) ab 9 1 Vì khi giảm đi 5 luống và mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây bắp cải trong vườn tăng thêm 15 cây nên ta có: (a 5)( b 2) ab 15 2 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình : (a 7)( b 2) ab 9 2 a 7 b 5 a 50 (TMĐK) (a 5)( b 2) ab 15 2 a 5 b 25 b 15 Vậy vườn nhà Mai hiện trồng 50.15 750 cây bắp cải. Bài III. 1 a 1 2x 1 1) Điều kiện xác định: x ; y 1. Đặt: a 0, b 0 2 1 b y 1 1 1 1 a 9a 3 b 2 3 2x 1 3 2x 1 9 x 5 Hpt (TMĐK) 4a b 1 1 1 1 y 1 3 y 2 b 3 y 1 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 5;2 2a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P (*) ' 1 m 2 1 m 2 Để d và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B phương trình * có hai nghiệm phân biệt ' 0 m2 0 m 0. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 m 0 d và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt A x1; y 1 và B x2; y 2 . Vậy m 0 thì d cắt P tại hai điểm phân biệt A và B.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê b) H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành H x1;0 ; K x 2 ;0 x1 x 2 2 Theo hệ thức Viet ta có: 2 x1. x 2 m 1 Theo đề bài: HK 3 2 3 x x3 x x 4 x x 9 4 4.( m2 1) 9 m (TMĐK) 1 2 1 2 1 2 2 3 Vậy với m thì HK 3 2 Bài IV a) Xét (O) có: F ACB 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường 1 tròn) BC  F ADB 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường I tròn) AD  BF Xét tứ giác FCED có 1 D 1 FCE 90  BC   F  2 2 C 3 E  FCE FDE 180  5 4 FDE 90  BF   D  1 2 A 2 3 1 1 Mà hai góc nằm tại hai đỉnh đối nhau 3 O B 2 tứ giác FCED nội tiếp. b) Ta có tứ giác ACDB nội tiếp FCD FBA (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng H góc trong đỉnh đối diện) Xét FCD và FBA có: FCDchung   FCD∽ FBA() g g FCD FBA() cmt  FC FD (2 cặp cạnh tương ứng) FB FA K FC FA FD FB (đpcm) 1 c) Xét ECF vuông tại C có I là trung điểm của EF CI EF (t/c) CI I F 2   Xét ICF có FI = IC (cmt) ICF cân tại I FC1 1 (1)   Tứ giác FCED là tứ giác nội tiếp (cmt) FD1 1 (cùng chắn EC ) (2)
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê   Xét (O) có : DB1 1 (cùng chắn AC ) (3)   Xét OCB có OC = OB = R OCB cân tại O BC1 4 (t/c) (4)   Từ (1); (2); (3); (4) CC1 4  Mặt khác: BCF 90  C1 ICB 90   C4 ICB 90  OCI 90  OC  CI CI là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Ta có     OOO1 2 3 180     OO1 3 90   O2 90   Xét (O) ta có: 1  AO  2 1 2   1  AB 90  45  1 2 1 2 BO  12 3    Xét AEB ta có: A2 B 1 AEB   180 45 AEB  180 AEB  135 Qua A kẻ Ax AE . Qua B kẻ By   . By ∩ Ax = K Xét tứ giác EAKB ta có  KAE 90  Ax  AE  KAE KBE 180  KBE 90  By    Mà hai góc nằm tại hai đỉnh đối nhau nên tứ giác EAKB nội tiếp. AKB AEB  180 AKB   135 180 AKB  45 Gọi H là trung điểm của EK HA HE HK ( AEK vuông tại A ). H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EAKB . 1 Xét (H) : AKB AHB AHB 90 . 2 Xét AHB( AHB 90  ) có : HA = HB (bán kính đường tròn tâm H) AHB vuông cân tại H. Mà AB không đổi nên H cố định. Áp dụng định lí Pytago vào AHB ta có: HA2 HB 2 AB 2 2 HA 2 4 R 2 HA 2 2 R 2 HA 2 R . Vậy khi C thay đổi E chạy trên đường tròn (H; 2R ) cố định.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài V: x 8 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ; ta được: 2 y x8 x 8 x 2 . 4 2y 2 y y x x1 x 1 2 4 0 0 y y2 y 4 x 1 1 1 Đặt t, (0 t ) . Để ý: t t . y 4 4 4 2 2 2 31 64 31 33 K t32 t 31 t 2 32 t . 31 t 16 t t t 4 4 4 1 x 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: t 4 y 8 33 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là K tại x 2; y 8. 4 Đáp án quận Cầu Giấy Câu 1) 2 4 2 2 a) Khi x ( Thỏa mãn ĐKXĐ) thì x thì A 3 . 2 9 3 1 3. 9 3 Vậy A = 2/9 khi x = 4/9 a) Ta có: x 3 2 1 x 3 2 1 B x 9x 3 3 x x 9 x 3 x 3 x 32 x 3 x 3 x 9 x 9 x 9 x x 3 x 3 x 3 x . x 3
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê x x3 x 1 a) Ta có: P : , x 3 1 3 x x 3 3x 1 3 x 1 3 x 3 P 3 3 0 . x 3 x 3 x 3 10 0 x 3 0 x 9 x 3 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta suy ra 0 x 9 thì P 3 . Câu 2) Giả sử người 1 làm riêng trong x (giờ) thì hoàn thành công việc (điều kiện: x 0) Giả sử người 2 làm riêng trong y (giờ) thì hoàn thành công việc (điều kiện: y 0, y x ) 1 1 Trong một giờ người 1 làm được: công việc , người 2 làm được công việc. Theo giả thiết x y 1 1 1 hai người làm chung thì hoàn thành công việc trong 8 giờ nên ta có: (1). x y 8 Khi làm riêng người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ 2 là 12 giờ để hoàn thành công việc nên ta có x y 12 (2). Từ (1),(2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 8 x y xy 8 2 y 12 y y 12 y2 4 y 96 0 x y 8 x y 12 x y 12 x y 12 x y 12 2 y 12 Giải phương trình: y 4 y 96 0 y 12 y 8 0 đối chiếu với điều kiện ta có y 8 y 12 thỏa mãn, từ đó ta có x 24 . Vậy nếu làm riêng người 1 cần 24 giờ để hoàn thành công việc, người 2 cần 12 giờ để hoàn thành công việc. Câu 3. 1 4 1 3 2x 1 y 5 1 1. . Điều kiện x , y 5 , 3 2 2 5 2 2x 1 y 5 1 1 Đặt u ; v khi đó hệ trở thành 2x 1 y 5
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 1 1 u 4 v 3 u 1 2x 1 1 2x 1 x 1 . 3u 2 v 5 v 1 4 y 5 4 y 1 1 y 5 Vậy hệ có nghiệm x; y 1 ; 4 2. 2 2 a. Ta có ' m 1 2 m m 1 0 m Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 b. Để 2 nghiệm x1, x 2 là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 2 2 12 . Thì x1, x 2 là các số thực dương thỏa mãn x1 x 2 12 . x1 x 2 2 m 1 Theo hệ thức Viet ta có: x1 x 2 2 m x1 x 2 0 2 m 1 0 Ta có x1, x 2 0 m 0 . x1. x 2 0 2m 0 2 2 2 2 2 Hệ thức x1 x 2 12 x 1 x 2 2 x 1 x 2 12 4 m 1 4 m 12 0 m m 2 0 m 1 m 1 m 2 0 , đối chiếu với điều kiện ta thấy m 1 thỏa mãn. m 2 Câu 4. a) Vì CK AK nên AKC 900 , CH AB tại F 0 H nên AHC 90 . K AHC AKC 1800 nên AHCK là tứ giác nội tiếp. C (tổng 2 góc đối bằng 1800 ). E b) Vì AHCK là tứ giác nội tiếp nên CHK CAK CAE (góc nội tiếp cùng chắn cung KC ). Lại có CAE CDE (góc nội tiếp cùng chắn cung EC ). A O H B Từ đó suy ra CHK CDE HK// DE . Vì AB CD tại H nên H là trung điểm CD Mà HK// DF suy ra K là trung điểm của CF. I D
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Tam giác AFC có AK là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến nên CAF là tam giác cân tại K . c) Tam giác FAC cân tại A nên AF AC , Lại có tam giác ACD cân tại A nên AC AD Suy ra AF AD hay tam giác AFD cân tại A 1 1 Kẻ DI AF(I AF), ta có: S DI AF DI AC . AFD 2 2 Mà AC không đổi nên S AFD lớn nhất khi và chỉ khi DI lớn nhất. 1 1 AC 2 Trong tam giác vuông AID có ID AD AC hay S DI AF DI AC . AFD 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi IA khi đó DAF 900 dẫn đến tam giác ADF vuông cân tại A, suy ra EBA EDA 450 hay E là điểm chính giữa cung AB . x2 3 x 18 0 Câu 5. Điều kiện: x 0 x 6 (*). 2 5x 4 x 0 Phương trình đã cho 5x2 4 x x 2 3 x 18 5 x 5x2 4 x x 2 3 x 18 25 x 10 x x 2 3 x 18 2x2 9 x 9 5 x ( x 2 3 x 18) 0 2 2 2 2 x 6 x x 6 x 2(x 6 x ) 3( x 3) 5 ( x 6 x )( x 3) 0 2 5 3 0 x 3 x 3 2 t 1 x 6 x 2 Đặt t 0 2 t 5 t 3 0 3 x 3 t 2 7 61 2 x x 6 x 2 2 Trường hợp 1: t 1 1 x 7 x 3 0 x 3 7 61 x 2 7 61 Từ điều kiện (*) suy ra x . 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 2 x 9 3 x 6 x 3 2 Trường hợp 2: t 4 x 33 x 27 0 3 . 2 x 3 2 x 4 Từ điều kiện (*) suy ra x 9 . 7 61 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x và x 9 2 Đáp án Quận Ba Đình Thứ tự Đáp án Điểm Bài I 1) Rút gọn: 0,75 Điều kiện: x 0; x 9 (2 điểm) 2x 1 3 0,25 A : x 9 x 3 x 3 2x x 3 x 3 . x 3 x 3 x 3 x 3 3 0,25 2x x 3 x 3 x 1 . 0,25 x 3 x 3 3 x 3 5 0,75 2) Tìm x để A 6 x 1 5 0,25 6 x 1 5 x 3 x 3 6 0,25 x 9 0,25 x 81 tmđk 3) Tìm GTNN của A 0,5
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê x 1 2 0,25 A 1 x 3 x 3 1 Do x 0 A 3 Dấu “=” xảy ra x= 0 tm đk 1 Vậy GTNN của A: minA= x= 0 0,25 3 Bài II Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là x ( đv: giờ, x 0,25 >8) (2 điểm) Khi đó thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là x+12 (giờ) 1 Mỗi giờ đội thứ nhất làm được (công việc) x 0,75 1 Mỗi giờ đội thứ hai làm được (công việc) x 12 1 0,25 Theo bài ra, mỗi giờ cả hai đội làm được . công việc nên ta có 8 1 1 1 phương trình : . x x 12 8 0,5 Giải phương trình ta được x=-8(ktmđk); x=12 (TMĐK) 0,25 Vậy thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là 12 giờ; thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là 24 giờ. Bài III (2điểm) 2 x 5 4 y 2 Giải Hệ PT 1 1) 1 điểm x 5 3 y 2 Đk: y 0; y 4 . 0,25
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 1 Đặt a= x 5 ; b , Đk: a 0 y 2 a 2 b 4 10 1 0,5 Giải HPT: được a ; b a b 3 3 3 5 25  0,25 Giải được x ;  ; và do y 1 nên không có y thỏa mãn 3 3  KL: Hệ phương trình vô nghiệm (Nếu HS nhận thấy không có y t/m nên HPT vô nghiệm mà không cần tìm x vẫn cho 0,25) 2) 1 điểm Cho phương trình x2 2 m 1 x m 2 0 a) Giải PT khi m=4 Với m=4, giải PT: x2 10 x 16 = 0 được x 2;8 0,5 b) 1 0,25 PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt ' 0 m 2 2 Theo Vi-et có x1 x 2 2 m 1 ; x 1 . x 2 m 2 2 2 Xét x1 x 2 4 x 1 . x 2 x 1 x 2 2 x 1 . x 2 4 x 1 . x 2 4 m 1 2 2 m2 4m2 2 m 2 8 m 4 4 m 0 1 TH1: m 0 m2 6 m 2 0 2 m1 3 7 L ; m 2 3 7 TM 0,25 TH2: m 0 m2 2 m 2 0 vô nghiệm Vậy m 3 7 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài IV 0,25 x A (3,5 điểm) y N M O C B H D 1) - Giải thích AMH ANH 900 0,25 0,25 -Tính tổng AMH ANH 1800 0,25 - KL : AMHN là tứ giác nội tiếp 2) Cách 1: cm ANM MHA ( do tg AMHN nội tiếp) 0,5 0,25 ABC AHM (cùng phụ với MHB ) 0,25 ABC ANM Cách 2: Cm AM.AB = AN.AC (= AH2) ANM∽ ABC cgc ABC ANM (cho điểm tương ứng như cách 1) 3) Cách 1: Kẻ đường kính AD
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê DAC DBC (góc nt chắn cung DC) 0,5 ABC ANM (cmt) 0,25 Có DBC ABC 900 (góc nt chắn nửa đtr) 0,25 ANM DAC 900 AO  MN Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xAy của (O) c/m: xAC ABC (góc nt, góc tạo bởi tt và dây cùng chắn cung AC) ABC ANM (cmt) Vậy xAC ANM , ở vị trí slt MN // xy mà AO  xy (do xAy là TT của (O)) AO  MN (cho điểm tương ứng như cách 1) 4) Có AN.AC AH2 2R. 2 AO AD 0,25 (0,5 điểm) AN.AC AO.AD ANO ADC cgc AON ACD 900 0,25 AOM AON 1800 O, M, N thẳng hàng. Bài V Có 2P 2 a b 1 2 b a 1 (0,5 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm 2a b 1 2 b a 1 2a b 1 ; 2 b a 1 2 2 3 a b 2 3.2 2 0,25 2P 4 2 2 P 2 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 2a b 1 0,25 Dấu “=” xảy ra a b 1 2b a 1 Vậy P có GTLN là 2√2 khi a b 1 Đáp án Quận Đống Đa Bài I. a) Thay x 9 (Thỏa mãn điều kiện x 0 ) vào biểu thức A, ta có: 2 9 1 A 9 2.3 1 A 3 7 A 3 7 Vậy, x 9 thì A 3 b) Rút gọn: x 3 x 4 1 B x 2 x x 2 x 3 x 4 1 B x( x 2) x 2 x 3 x 4 x B x( x 2) x 4 x 4 B x( x 2) 2 x 2 B x( x 2) x 2 B x B x 2 2 x 1 x 2 c) P : A x x2 x 1 x 2 PPP 0 0 2x 1 Mà 2x 1 0 với mọi x 0, x 4 nên:
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê x 2 0 x 2 0 x 2 x 4 2x 1 Vậy để PP thì 0 x 4 Bài II. Gọi số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm)đk: x N*; x 0 thì số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày ở thực tế là x 5 (sản phẩm). 75 Số ngày theo kế hoạch là: (ngày) x 80 Số ngày trong thực tế là: (ngày). x 5 Vì trong thực tế xí nghiệp hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình: 75 80 1 75(x 5) 80 x x ( x 5) x x 5 x2 10 x 375 0 x 15 (TMĐK) hoặc x 25(loại). Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất 15 sản phẩm. Bài III. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : x2 2m 1 x 2m x2 2m 1 x 2m 0 * a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m 1 Thay m 1vào phương trình (*) x2 3x 2 0 x 1 y 1 x 2 y 4 Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là 1;1 & 2;4 b) Tìm mđể (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M x1 ; y 1 ; N x 2 ; y 2 sao cho y1 y 2 x 1 x 2 1 Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 0 2m 1 2 8m 2m 1 2 0  m 1 0 m 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê x1 x 2 2m 1 Áp dụng định lý Viet: x1 x 2 2m 2 y1 x 1 M, N P 2 y2 x 2 y1 y 2 x 1 x 2 1 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 1 2 x1 x 2 3x 1 x 2 1 2m 1 2 6m 1 4m2 2m 0 2m 2m 1 0 m 0 TM 1 m KTM 2 Vậy với m 0 (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y sao cho thì 1 1 2 2 y1 y 2 x 1 x 2 1 Bài IV. A E P O M D C Q F B 1) Tứ giác ADCE có: ADC AEC 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn => bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. 2) Xét PAE và PDC có: APE CPD (đối đỉnh); PAE PDC (góc nội tiếp chắn EC )
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê PA PE => PAE PDC (g.g) => (cạnh tương ứng) => PA PC PD PE PD PC 3) - CM: Tứ giác DCFB có: BDC BEC 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => Tứ giác DCFB nội tiếp đường tròn 1 1 - Có: APD sd AD sd EC ACD EAC 2 4 1 1 CQD sdCD sd BF DBC BCF 2 4 Mà ACD BCF (cùng phụ với DAC ) ( BCF CBF 900 và CBF BAC ); EAC DBC (cùng chắn AC ). => APD CQD => Tứ giác DPCQ nội tiếp => CPQ CDQ (cùng chắn CQ ). Mà CDQ CBF CAB => CPQ CAB (Ở vị trí đồng vị) => AB// PQ 4) A E P C D G I M N O Q F B Gọi G là trọng tâmABC CG 2 NG 1 N OM  AB (N sẽ là trung điểm AB). CN 3 NC 3 Từ G dựng GI / /OC I OM
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê GI NG NI 1 1 1 IG OC R không đổi OC NC NO 3 3 3 NI 1 Mà , do M,O,A,Bcố định nên Ncố định I cố định NG 3 1 Vậy trọng tâmG của ABCchuyển động trên I; R cố định 3 Bài V. a b c 7 b c 7 a b c 7 a Ta có: 1 ab bc ca 15 a b c bc 15 4a b c 4 bc 6 0 Với hai số thựcb, c ta luôn có: b c 2 4 bc b c 2 0 b c 2 4 bc 4bc b c 2 2 . Từ 1 và 2 , ta được: 60 4a b c 4 bc 4a 7 a b c 2 4 a 7 a 7 a 2 3a2 14 a 11 0 a 1 3 a 11 0 11 1 a . 3 Đáp án Quận Thanh Xuân Bài I (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: 1 2 P x 4; x 0 x 2 x x 4 1 2 P x x 2 x 2 x 2 x 2 2 x P x x 2 x 2 x 2 P x x 2 x 2 1 P x x 2 2) Chứng minh rằng P 0 với mọi x 4; x 0
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Ta có: x x 2 0  x 4, x 0 1 0 x 4, x 0 x x 2 Vậy P 0 với mọi x 4; x 0 1 3) Tìm những giá trị của x để P 15 1 1 x x 2 15 x 2 x 15 x 3 x 5 ( ktm ) x 9( tm ) 1 Vậy để P thì x 9 15 1 Bài II (2,0 điểm) Đổi 15 phút = h 4 +) Gọi vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là x (km/h), x > 0. +) Vì khi đi từ B trở về A người đó tăng tốc độ 5km/h so với lúc đi nên vận tốc của ô tô đi từ B trở về A là x 5 (km/h). 90 +) Thời gian ô tô đi từ A đến B là (giờ) x 90 +) Thời gian ô tô đi từ B trở về A là (giờ) x 5 1 90 90 1 +) Thời gian về ít hơn thời gian đi là h nên ta có phương trình: 4 x x 5 4
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 90 90 1 x x 5 4 90x 450 90x 1 x.( x 5) 4 450 1 x2 5x 4 x2 5x 1800 0 (x 40).( x 45) 0 x 40 0 x 40( tm ) x 45 0 x 45( loai ) Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là 40km/h Bài III (2,0 điểm) 108 63 7 x y 1) Giải hệ phương trình: 81 84 7 x y § KX § : x 0;y 0 1 a (a 0) x §Æt : 1 b (b 0) y 108a 63b 7 432a 252b 28 189a 7 81a 84b 7 243a 252b 21 108a 63b 7 1 1 1 1 a a (TM) 27 27 x 27 x 27(TM) 1 1 1 1 y 21(TM) 108. 63b 7 b (TM) 27 21 y 21 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x;y) (27; 21) 1 1 2) Cho đường thẳng (d): y x 2 và Parabol (P): y x2 trên hệ trục tọa độ Oxy. 2 4 a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) đã cho.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 1 * Vẽ Parabol (P): y x2 4 x -4 -2 0 2 4 1 4 1 0 1 4 y x2 4 1 Đồ thị hàm số y x2 là đường cong Parabol đi qua các điểm có tọa độ: 4 (-4; 4); (-2; 1); O(0; 0); (2; 1); (4; 4) 1 * Vẽ (d): y x 2 2 x 0 4 1 2 0 y x 2 2 1 Đồ thị hàm số y x 2 là đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ (0; 2) và (4; 0) 2 14 12 10 1 y = x2 4 8 1 y = x + 2 2 6 4 2 15 10 5 5 10 15 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê b) 1 1 +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 x 2 4 2 x 2 +) Giải phương trình ta được x 4 Suy ra tọa độ các điểm A 2; 1 ; B 4;4 +) Điểm N nằm trên trục hoành nên tọa độ N a;0 NA NB +) Tam giác NAB cân tại N nên ta có N AB a 22 1 a 4 2 42 1 a 2 0 2 9 Giải được a 4 9 Vậy tọa độ điểm N ;0 4 Bài IV (3,5 điểm)
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 0 a) Xét tứ giác BEDC có BEC BDC 90 Mà chúng là 2 góc có đỉnh cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc bằng nhau Tứ giác BEDC nội tiếp (dhnb). b) +) C/m: AED ACB (2 góc cùng bù với BED )  A chung +) Xét AED và ACB có: AED ACB (cmt) AED∽ ACB (g.g) AE AC (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) AD AB AE AB AD AC c) Ta có: BD C ACF 900 CF / / BD . Hay CF// BH . (1) Ta có: ABF AEC 900 BF / / CE . Hay BF//C H . (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCF là hình bình hành (dhnb). d) Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH AKH 900 =>HK  AK (3) Mà tam giác AKF nội tiếp đường tròn đường kính FA AKF 900 =>FK  AK (4) Từ (3) và (4) suy ra 3 điểm KHF,, thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) 1 1 1 Từ m n 2 2 m n mn 4 m n 2 mn m n 4 n m 4 0 * 2 2 Xét phương trình x mx n 0 1 có 1 m 4 n 2 2 phương trình x nx m 0 2 có 2 n 4 m .
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Khi đó: 2 2 1 2 m n 4 m 4 n 2 m n 2 mn 4 m 4 n 1 2 2 1 2 m n m n 4 n m 4 m n2 0  m , n (do thay từ phương trình * ). 1 2 => 1 0 hoặc 2 0 => có ít nhất một phương trình có nghiệm. Vậy có ít nhất một trong hai phương trình 1 và 2 có nghiệm với mọi m, n R . Đáp án Quận Hoàng Mai I. TRÁC NGHIỆM (1,0 điểm). Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1. Cặp số 1;2 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? 2x y 7 x 5 y 9 x y 1 2x 2 y 0 B. B. 3 C. D. 6x 2 y 2 x y 3 2x y 4 x y 3 4 2 2 Câu 2. Điều kiện của m để phương trình x 2 mx m 4 0 có hai nghiệm x1 0, x 2 0 là: B. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 16 Câu 3. Cho đường tròn OR, đường kính AB, dây AC R . Khi đó số đo độ của cung nhỏ BC là: A.600 B. 1200 C. 900 D. 1500 Câu 4. Độ dài của một đường tròn là 10 (cm). Diện tích của hình tròn đó là: A. 10 cm2 B. 100 cm2 C. 50 cm2 D. 25 cm2 Hướng dẫn giải Câu 1. Thay x 1,y 2 vào các hệ. Ta được đáp án A và C. 2 Câu 2. Thay x1 0 vào phương trình ta được m 4 0 m 2 Thử lại: Thay m 2 vào phương trình ta được
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê x2 4 x 0 x 0 (thỏa mãn điều kiện đề bài) x 4 Thay m 2 vào phương trình ta được x2 4 x 0 x 0 (không thỏa mãn điểu kiện đề bài) x 4 Vậy đáp án B. Câu 3. AC R AOC là tam giác đều. Suy ra góc CAB 600 1 Mà CAB sd BC sd BC 1200 2 Chọn đáp án B. Câu 4. Gọi bán kính hình tròn là R Chu vi hình tròn bằng 2 RR 10 5 Diện tích hình tròn là R2 25 cm 2 Vậy chọn đáp án D. II. TỰ LUẬN ( 9,0 điểm) Bài I ( 2,5 điểm) 2 1 3 x 2 y 1 1. ( Điều kiện xác định : x 2; y 1 ) 3 2 8 x 2 y 1 1 1 +) Đặt a; b x 2 y 1 2a b 3 +) Hệ phương trình 3a 2 b 8
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 4a 2 b 6 3a 2 b 8 7a 14 3a 2 b 8 a 2 ()TM b 1 1 5 +) Thay a 2 2 2 x 4 1 x (TM) x 2 2 1 +) Thay b 1 1 y 1 1 y 2 (TM) y 1 5 +) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( ; 2) 2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2 mx 2 m 1 a. +) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x2 2 mx 2 m 1 x2 2 mx 2 m 1 0 +) Thay m 1 vào phương trình ta được : x2 2 x 3 0 (x 1)( x 3) 0 x 1 y 1 x 3 y 9 +) Vậy khi m 1 thì giao điểm của (P) và (d) là : (1;1);( 3;9) b. +) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x2 2 mx 2 m 1 x2 2 mx 2 m 1 0 ' m2 2 m 1 ( m 1) 2 0;  m 1 (1) +) Suy ra (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1 ; y1 ); B ( x 2 ; y 2 ) 2 A(;) x1 y1 ()P y1 x1 2 B(;) x2 y2 ()P y2 x2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê x1 x 2 2 m +) Áp dụng định lí viet ta có : x1 x 2 2 m 1 +) Vì tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 nên ta có phương trình : y1 y 2 2 2 2 x1 x 2 2 2 (x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 2 4m2 2(2 m 1) 2 4m2 4 m 0 m 0( TM ) m 1( Loai ) +) Vậy m 0 thì (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : A( x1 ; y1 ); B ( x 2 ; y 2 ) sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2 . Bài II (2,5 điêm) Gọi thời gian chở hàng theo kế hoạch là x (ngày, x 1 ) 120 Năng suất của đội xe theo kế hoạch là (tấn/ngày) x Thời gian chở hàng thực tế là x 1 (ngày) Khối lượng hàng thực tế đội xe đã chở được là: 120 + 5 = 125 (tấn) 125 Năng suất thực tế là (tấn/ngày) x 1 Vì đội xe chở hàng vượt mức 5 tấn/ ngày nên ta có phương trình 125 120 5 x 1 x 5x2 10 x 120 0 x 6 x 4 Vì x 1nên x 6 Vậy thời gian chở hàng theo kế hoạch là 6 ngày
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài III. (3,5 điểm) N O E C I K D P Q M a) Xét đường tròn O có đường kính MN, M là điểm chính giữa cung nhỏ CD (gt) nên MN vuông góc với CD tại trung điểm I của CD. Do đó: MI D 900 1 0 Ta có E O; MN MEN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2 Xét tứ giác IKEN có: MI D MEN 900 90 0 180 0 mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác IKEN nội tiếp. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) Tứ giác IKEN nội tiếp (cmt) nên MEI MNK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK ) Xét MEI và MNK có: MEI MNK() cmt  EI ME  MEI∽ MNK(.) g g EI MN NK ME EMNchung  NK MN c) Xét MNP có 2 đường cao ME và PI cắt nhau tại K nên K là trực tâm MNP Do đó NK vuông góc với MP tại Q. Từ đó suy ra NQP 900 Xét tứ giác NIQP có: NIP NQP 900 mà 2 góc này cùng nhìn NP do đó tứ giác NIQP nội tiếp. Suy ra QNP QIP (vì cùng chắn cung PQ) (1) Tứ giác IKEN nội tiếp (cm a) nên QNP EIK (cùng chắn cung EK ) (2) Từ (1) và (2) suy ra QIP EIK . Do đó IK là phân giác của EIQ . d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê ME NP DEM DHC dv Ta có:  ME// CH CH NP  MEC ECH slt Mà DEM MEC ( 2 góc nt chắn 2 cung = nhau) EHC ECH EHC cân tại E EN là trung trực của CH Xét DCH có: IN là trung trực của CD (I trung điểm CD và IN  CD) NC ND EN là trung trực của CH (cmt) NC NH N là tâm đường tròn ngoại tiếp DCH H N; NC Mà N, C cố định => H thuộc đường tròn cố định khi E chạy trên cung lớn CD
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Bài IV (0,5 điểm): Cho a; b ; c 0 , chứng minh rằng: a b c a b c abbcca bc ca ab Hướng dẫn giải a b c b c a b c a Đặt A 1 1 1 3 abbcca ab bc ca a b b c c a Mà do a; b ; c 0 nên: b b a b a b c c c b c a b c a a c a a b c Cộng các vế ta được: b c a a b c 1 a b b c c a a b c b c a 1 a b b c c a b c a 3 3 1 a b b c c a A 2 (*) a b c a b c Đặt B b c c a a b a()()() b c b c a c a b Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương a; b c ta được:
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê a b c a2 a a() b c 2 a() b c a b c Tương tự ta có: b2 b b() c a a b c c2 c c() a b a b c a b c2 a 2 b 2 c Từ đó, ta có: 2 a()()() b c b c a c a b a b c B 2 ( ) a b c a b c Từ (*),( ) ta có: AB hay abbcca bc ca ab => đpcm Đáp án Quận Tây Hồ Bài 1 (2 điểm): 13 5 x 6 2 3 a) Ta có ' 13 3.48 25 13 5 8 x 3 3 8  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6;  3  x 1 b) Điều kiện: y 2 a x 1 Đặt Điều kiện: a, b 0 b y 2 2a b 4 a 1 Hệ phương trình tương đương với (Thỏa mãn) 6a 2b 2 b 2 x 1 1 x 2 (Thỏa mãn) y 2 2 y 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 2;2 Bài 2 (2 điểm) +) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h). Do vận tốc của dòng nước là 4 km/h nên ta có điều kiện x 4 . Vận tốc của ca nô khi chạy xuôi dòng là x 4 (km/h) Vận tốc của ca nô khi chạy ngược dòng là x 4 (km/h). +) Do chiều dài giữa 2 bến A và B là 30 km nên 30 Thời gian để ca nô đi xuôi dòng là (h) x 4 30 Thời gian để ca nô đi ngược dòng là (h). x 4 +) Do ca nô nghỉ tại B 30 phút nên tổng thời gian ca nô cả đi lẫn về là: 11 giờ 30 phút – 7 giờ - 30 phút = 4 giờ. Ta có phương trình sau: 30 30 4 x 4 x 4 30(x 4) 30( x 4) 4( x2 16) 30x 120 30 x 120 4 x2 64 4x2 60 x 64 0 x2 15 x 16 0 Giải phương trình trên ta được 2 nghiệm là x1 16 và x2 1. Đối chiếu với điều kiện của x ta chọn nghiệm x 16 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 16 km/h. Bài 3 (2 điểm) a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: x2 mx m 1 x2 mx m 1 0 (1)
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Có a 1; b m ; c m 1 m2 4 m 4 m 2 2 Để đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt z Vậy với m 2 thì đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, . b) Với m 2 , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 . b x x m 1 2 a Áp dụng định lý Viet ta có c x x m 1 1 2 a Theo đề bài 2 2 x1 x 2 17 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 17 m2 2 m 15 0 m 5 tm m 3 Vậy với m 5 hoặc m 3 thì hoành độ giao điểm của d và P thỏa mãn 2 2 x1 x 2 17. Bài 4 (3,5 điểm): A I E F H B D O C a) - Xét O đường kính BC có: BEC 900 ; BFC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). => BE AC; CF  AB .
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê - Xét tứ giác AEHF có: AEH HFA 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. b) - Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Mà AEH HFA 900 AH => I là trung điểm của AH => AI 2 cm 2 - Xét I có: BAC 600 => sd EHF 2. sd BAC 1200 . .r . n0 .2.120 0 4 - Có: l () cm Thừa EHF 1800 180 0 3 .r2 . n 0 .2 2 .120 0 4 S () cm2 IEHF 3600 360 0 3 c) - Xét ABC có: BE AC; CF  AB . Mà CF cắt BE tại H => AH BC tại D . - Xét tứ giác BFHD có: HFB HDB 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => tứ giác BFHDnội tiếp đường tròn. => HBD HFD (góc nội tiếp chắn HD ) (1) - Tứ giác AEHF nội tiếp => HFE HAE (góc nội tiếp cùng chắn HE ). Mà HBD HAE (cùng phụ với ACB ) HFE = HBD (2) Từ (1) và (2)=> HFE HFD => FH là tia phân giác của DFE . d) - Xét AEH vuông tại E có : I là trung điểm của AH => IE IH => IEH cân tại I => IEH IHE Mà BHD IHE (đối đỉnh); BHD ECO (cùng phụ với EBC ); ECO OEC ( OEC cân) => IEH OEC Mà OEC OEH 900 => IEH OEH 900 => OEI 900
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê => EI là tiếp tuyến của O tại E . Chứng minh tương tự có : FI là tiếp tuyến của O tại F . Mà I là trung điểm của AH => Hai tiếp tuyến của O tại E , F và AH đồng quy Bài 5 (0,5 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương a 0;b 0ta được: 1 a2 b 2 2ab 1 2ab ab (1) 2 Ta có: a2 b 2 1 a b 2 2ab 1 a b 2 1 2ab a b 2 1 1 a b 2 2 a b 2 (2) 1 Từ 1 ,(2) ta có: S ab 2(a b) 2 2 2 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a b 2 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là S 2 2 tại a b 2 2 Đáp án Quận Hai Bà Trưng Câu I: (2 điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25 Thay x 25 (TM) vào biểu thức A : 25 1 6 A 3 25 3 2 2) Rút gọn biểu thức PBA :
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 2x x 3 x 3 B x 3 x 3 x 9 2x x 3 x x 3 3 x 3 B x 9 2x 6 x x 3 x 3 x 3 B x 9 3x 3 3 x 1 B x 9 x 9 PBA : 3 x 1 x 1 P : x 9 x 3 3 x 1 x 3 P . x 9 x 1 3 P x 3 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x 0  x §KX§ 3 x 3 3 1 P 1 x 3 Dấu bằng xảy ra khi x 0 x 0 ( TM § K ) Vậy GTNN của P là 1 khi x 0 Câu II: (2 điểm) 24 Đổi 4 giờ 48 phút giờ 5 24 Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ, đk x 5 Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x 4 (giờ) 1 1 Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv). x x 4
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 24 Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai người làm được 5 24 5 1: (cv). 5 24 Do đó ta có phương trình: 1 1 5 x 4 x 5 5x2 68 x 96 0 x x 4 24 x( x 4) 24 Có ' 342 5.96 676 34 26 8 34 26 ' 26 x (loại) và x 12 (TMĐK). 5 5 5 Vậy người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 12 giờ, người thứ hai làm xong công việc một mình trong 8 giờ. Câu III: (2 điểm) 1. Khi m 1thì (d): y x 2 . 2 x 1 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x x 2  x 2 Vậy (d) giao (P) tại AB( 1;1), (2;4). 2. Số giao điểm của (d) và (P) là số nghiệm của phương trình: x2 x m 3  x 2 x m 3 0 13 Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì 0  13 4m 0  m . 4 13 3. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M( x ; y ), N ( x ; y ) thì m . 1 1 2 2 4 Theo Viet ta có x1 x 2 1; x 1 . x 2 m 3 Ta có : 2 2 y1 x 1, y 2 x 2 y y 3( x x ) 1 2 1 2 x2 x 2 3( x x ) 1 2 1 2 2 (x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 3( x 1 x 2 ) Do đó: 1 2(m 3) 3 m 2( TM D K )
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Vậy để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M( x1 ; y 1 ), N ( x 2 ; y 2 ) sao cho y1 y 2 3( x 1 x 2 ) thì m 2 . Câu IV: (3,5 điểm) 1. M H I C K B A O N D +) Xét (O) có: AB, CD là đường kính BC AD; AC BD (1) 1 1 Có CMN là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn CMN AB CB DB (2) 2 2 1 ADC AC (3) 2 Từ (1), (2), (3) CMN ADC (4) Mà ADC CDN 1800 ( hai góc kề bù).(5) Từ (4),(5) CMN CDN 180o Vậy tứ giác MCDN nội tiếp đường tròn. 2. Xét ACD và ANM có A chung CMN ADC (cmt)
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê ACD∽ ANM AC AD AC AM AD AN AN AM 3. +) Ta có AHM cân tại H CMH CAH ACD CAB ( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau: AD BC ). mà CMH CAB 900 CAH ACD 900 Xét ACK có CAH ACD 900 AKC 90 0 CK  AH Xét tứ giác AOIH có HI// AO  MN và OI// AH  CD Suy ra AOIH là hình bình hành. +) Có H là trung điểm của MN và M, N thuộc xy cố định H di động trên đường thẳng xy (6) Vì AOIH là hình bình hành AO IH mà AO không đổi IH không đổi. (7) Suy ra điểm I di động trên đường thẳng song song với đường thẳng xy. 4. N I x P Q 30° A H +) Khi hình bình hành AHIO quay một vòng quanh cạnh AH thì cạnh AO và HI vạch nên 2 hình nón bằng nhau có đường sinh AO HI R Cạnh OI vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình tròn +) Xét AOP có OAP 30  , OPA 90 
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê OP OP sin 30 OA x R OP R.sin 30  (đvđd) 2 AB +) Xét ABH vuông tại A có: tan 60 AH AB2 R 2 R 3 AH (đvđd) tan 60 3 3 +) Ta có: Sxq tru 2 . OP . AH RR2 3 S 2 . . xq tru 2 3 2 R2 3 S (đvdt) xq tru 3 Câu V: (0,5 điểm) Ta có : x y x2 x y 2 y A y 1 x 1 xy x y 1 x y 2 2xy x y xy 2 2 2xy 6 2 xy 2 xy 2 6 6 Do xy 0 xy 2 2 3 2 1 xy 2 xy 2 Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi: x 0;y 1 xy 0 x 1;y 0 x 0;y 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A 1 tại . x 1;y 0
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Đáp án Quận Nam Từ Liêm Bài I. 1. Thay x 25 (TM) vào biểu thức B có: 2 B 2 25 6 Vậy x 25 thì B 2 . x x 2 2 x 8 2 2. A x 2 x 2x 4 x 2 2 2x 6 8 3. PA: : 1 x 2 x 6 x 2 x 2 8 8 8 8 8 8 Ta có: x 0 x 0 x 2 2 1 1 x 22 x 2 2 x 2 2 p 3. Dấu “=” xảy ra khi x 0 (TM) Vậy GTNN của P là 3 khi x 0 . Bài II. Gọi số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm), ()x N * 600 Số ngày tổ sản xuất làm theo kế hoạch là (ngày) x Số sản phẩm mà tổ đã làm mỗi ngày thực tế làm là x 10(sản phẩm) 650 Số ngày tổ sản xuất làm theo thực tế là (ngày) x 10 Theo đề bài tổ sản xuất hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày nên ta có phương trình: 600 650 2 (1) x x 10 Giải phương trình (1) 600(x 10) 650 x 2 x ( x 10) (1) x( x 10) ( x 10) x x ( x 10) 600(x 10) 650 x 2 x ( x 10) 300(x 10) 325 x x ( x 10) 300x 3000 325 x =x2 +10x x2 35 x 3000 0 x 40( tm ) x 75() ktm
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Vậy số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là 40 sản phẩm. Bài III. 2(x y ) x 2 7 1/ Giải hệ phương trình sau: 5 x y 2 x 2 4 x y a Đặt x 2 b ( x 2) 2a b 7(1) 10 a 5 b 35 9b 27 b 3 5a 2 b 4 10 a 4 b 8 Thay b 3vào (1) ta được: 2a 3 7 a 2 a x y 2 x y 2 x y 2 Trả ẩn: b x 2 3 x 2 9 x 7( TM ) 7 y 2 y 5 ()TM x 7( TM ) x 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) (7; 5) 2/ x2 2 m 1 x 4 m 0 (x là ẩn, m là tham số) b2 4 ac  2( m 1)2 4.1.4 m 4( m 1) 2 16 m 4(m2 2 m 1) 16 4m2 8 m 4 16 m 4 m 2 8 m 4 (2 m  2) 2 0 m . Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0 2m 2 0 2 m 2 m 1 Vậy m 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x 2 2 m 2 Theo Vi – et ta có x1 x 2 4 m 2 2 2 Đề bài cho x1 x 2 ( x 1 x 2 ) 4 (x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 4 (2m 2)2 2.4 m (2 m 2) 4 4m2 8 m 4 8 m 2 m 2 4 0 4m2 2 m 2 0 m 1( L ) 1 m () TM 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 1 Vậy m thì phương trình thỏa mãn đầu bài. 2 Bài IV. P S H N M A I O Q 1) Xét t/g APOQ có: APO 900 (Do AP là tiếp tuyến của (O) tại P) AQO 900 (Do AQ là tiếp tuyến của (O) tại Q) APO AQO 900 90 0 180 0 Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên t/g APOQ nội tiếp. 2) Xét (O), có: APN AMP (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cung chắn NP ) Xét APN và AMP có NAP chung; APN AMP (cmt) AP AM APN  AMP (g-g) AP2 AM. AN AN AP 3) a) Ta có: AQ QS (AQ là tt của (O) ở Q); PM // AQ (gt) PM QS Mà QS là đường kính của (O) nên S là điểm chính giữa của PM nhỏ. sd PS sd SM PNS SNM Vậy NS là phân giác của PNM . b) Xét (O), có: SNM PQS (2 góc nt chắn PS , SM ) hay HNI HQI , mà N và Q là hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh IH
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê t/g HNQI nội tiếp HIN HQN . Mà HQN PMN (2 góc nt cùng chắn PN ) HIN PMN Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IH // MP . 4) Gọi AO PQ {} F Xét (O), có AP, AQ là hai tt cắt nhau tại A (gt) AP AQ Mà OP OQ R OA là trung trực của PQ . F là trung điểm của PQ . AK NK AKN  PKA (g-g) AK2 NK. PK PK AK KN KQ KNQ  KQP (g-g) KQ2 KN. KP KQ KP AK2 KQ 2 nên AK KQ . Xét APQ , có: AF,PK là các trung tuyến cắt nhau ở G G là trọng tâm. Mà E là trung điểm của AP nên QGE,, thẳng hàng. Bài V. 4 4 4x x 1 x 1 Áp dụng BĐT Cô-sy ta có: 1 x2 2 x 2 . 0 y2 y 2 y y4 y 4 3x y 8 x y 5 x 8 x y 5 x 5 11 M 2 . 4 y2 x y 2 x y y 2 x y 4 4
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 8x y y2 x 2 x Dấu “=” xảy ra y 4 x 2 2 4 y 2 2 x 2 1 y 11 2 Vậy MinM khi x ; y 2 2 . 4 2 Đáp án Quận Bắc Từ Liêm Bài 1: 4 4 8 a) Với x 4 (TMĐK) thay vào biểu thức A ta có: A 4 1 3 8 Vậy A khi x 4 3 1x 2 b) B với x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x x 1 2 B x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 B x 1 x 1 x 2 x 1 B x 1 x 1 2 x 1 B x 1 x 1 x 1 B x 1 x 1 Vậy B với x 0; x 1 x 1 3 3 4 x c) A với x 0; x 1 2 2x 1
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 3 x 1 8 x 3x 8 x 3 0 3x 1 x 3 0 3x 1 0 3 x 1 x 3 x 9 TM x 3 0 x 3 3 Vậy x 9 thì A 2 Bài 2: Gọi số sản phẩm tổ công nhân dự định làm trong một ngày là: x (sản phẩm) x * Do tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm nên số ngày tổ công nhân dự định phải làm là: 240 (ngày) x Tuy nhiên khi thực hiện, mỗi ngày họ làm thêm được 10 sản phẩm nên số sản phầm làm được là: x 10 (sản phẩm) 240 Khi đó, số ngày mà tổ công nhân đã làm là: (ngày) x 10 Theo đề bài, do cải tiến kĩ thuật, đội công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 240 240 ngày nên ta có phương trình: 2 x x 10 240(x 10) 240x 2x(x 10) 2x2 20x 2400 0 x2 10x 1200 0 x 40 (KTM) x 30 (TM) Vậy mỗi ngày tổ dự định làm được 30 sản phầm Bài III (2,0 điểm): a) Ta có: m2 4( m 1) m 2 4 m 4 ( m 4) 2  0 m R Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê b) Để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x 2 mà x1 x 2 0 thì 2 0 m 2 0 m 1 P x x 0 1 2 m 1 0 Xét x1 x 2 3 x 1 x 2 1 x1 x 2 3 x 1 x 2 1 m 3 m 1 1 3m 1 m 1 Với m 1 9(m 1) m2 2 m 1 m2 11 m 10 0 (m 1)( m 10) 0 m 1 (tháa m·n ) m 10 (tháa m·n ) Vậy m 1 hoặc m 10 thì hai nghiệm x1; x 2 của phương trình (1) thỏa mãn : x1 x 2 3 x 1 x 2 1 Bài IV (3,5 điểm): Cho A là một điểm thuộc đường tròn OR; . Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn O . Lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho AB 2 R . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB , đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt đường tròn O tại H và K ( H nằm giữa M và K ) 1) Chứng minh MKA MAH . Từ đó chứng minh MKA và MAH đồng dạng 2) Kẻ HI AK tại I . Chứng minh tứ giác AMHI nội tiếp một đường tròn 3) Kéo dài AH cắt BK tại D . Chứng minh AD KB 4) Lấy C đối xứng với B qua AK . Chứng minh điểm C thuộc đường tròn OR; . Lời giải
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê B D M H K I A O C a) Xét OR; có MK A MAH (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AH ) Xét MKA và MAH có: AMK chung   MKA(.) MAH g g MKA MAH  b)Tứ giác AMHI có: AMH AIH 90  90  1800 mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác AMHI là tứ giác nội tiếp. c) Xét KMB và KMA có KM chung; KMB KMA 90  (vì KM AB); MA MB (gt) KMB KMA (c – g – c) nên MKA MKB Mà MK A MAH (chứng minh trên) nên MAH MKB MKD Xét tứ giác MAKD có MAH MKD . Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh MD Do đó tứ giác MAKD nội tiếp. ADK AMK ( hai góc cùng nhìn cạnh AK ) Mà AMK 90o ADK 90 o AD  BK . d) Xét tam giác KAB có KM AB (gt); AD KB và KM AD H
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê H là trực tâm ABK nên BH KA . Lại có IH KA (gt) nên B , H , I thẳng hàng. Tứ giác BMHD( M D 900 90 0 180 0 ) nội tiếp nên ABK MH D 1800 Mà ABK ACK (Do C đối xứng với B qua AK ), MH D AHK (đối đỉnh) nên ACK AHK 1800 do đó tứ giác AHCK nội tiếp. Lại có A , H , K cùng thuộc OR; nên C thuộc OR; . Bài V (0,5 điểm): Giải phương trình x x 7 2 x2 7x 2x 35 Điều kiện: x 0 * Đặt txxt 7 7 tx2 2 7 2 xxxxxt 2 7 2 2 2 7 2 7 PT t2 t42 0 t 7 t 6 0 t 6 do t 7 Với t 6 x x 7 6 2 x 7 2 x2 7 x 36 29 2x 0 2 2x 7 x 29 2 x 2 2 4 x 7 x 29 2 x 29 x 2 2 2 4x 28 x 841 116 x 4 x 29 x 841 2 x tháa m·n c¸c §K 144 144x 841 841 Vậy PT có một nghiệm duy nhất x 144 Đáp án Quận Long Biên Bài 1. a) x4 5 x 2 36 0 2 t 4 TM Đặt x t t 0 ta có: t2 5 t 36 0 t 4 t 9 0 t 9 KTM Với t 4 x2 4 x 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;2 3 4 5 x 1 y 3 b) x 1; y 3 1 3 6 x 1 y 3 1 1 a 3 2 x 1 3a 4 b 5 a 3 x 1 x TM Đặt ta có: 3 1 a 3 b 6 b 1 1 b 1 y 2 TM y 3 y 3 2 x Vậy hệ có nghiệm duy nhất 3 . y 2 Bài 2. Gọi số xe thực tế tham gia vận chuyển là x (xe), ()x N * Số xe dự định tham gia vận chuyển là x 1(xe) 15 Khối lượng mỗi xe dự định phải chở là (tấn) x 1 15 Khối lượng mỗi xe thực tế phải chở là (tấn) x Theo đề bài, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định nên ta có phương 15 15 trình sau: 0,5 (1) x x 1 Giải phương trình (1) 15.2(x 1) 15.2 x 1. x ( x 1) (1) 30x 30 30 x x2 x x2 x 30 0 x.2( x 1) ( x 1).2 x 2 x ( x 1) x 5( tm ) x 6( ktm) Vậy thực tế có 5 xe tham gia vận chuyển. Bài 3. a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol ()P : x2 mx 2 x 2 mx 2 0 1 Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị d và ()P . Ta có: ac 1. 2 2 0 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m .
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Vậy đường thẳng d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Vì x1, x 2 lần lượt là hoành độ của A và B nên x1, x 2 là nghiệm của phương trình (1) x1 x 2 m Theo định lí Vi- et ta có : . x1. x 2 2 2 2 2 Theo đề bài ta có : x1 x 2 3 x 1 x 2 14 x1 x 2 5 x 1 x 2 14 m2 5. 2 14 m2 10 14 m2 4 m 2 m 2 Vậy m 2 hoặc m 2 thì đường thẳng d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt A và B . Bài 4. 0 1. a) Ta có EIB EMB 90 C Nên tứ giác EIBM là tứ giác nội tiếp (theo dấu hiệu: M O' “tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp”). H E O b) Vì CD AB và AB là đường kính của nên A I O B A là điểm chính giữa của cung CD nhỏ hay AC AD Suy ra ACE AMC (vì hai góc nội tiếp của O D chắn hai cung bằng nhau). Do đó ACE ∽ AMC (g – g). AC AE Suy ra AM. AE AC 2 1 . AM AC c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ACB tại C với đường cao CI ta được: AB. BI BC 2 2 Từ 1 , 2 ta được: AB. BI AE . AM BC2 AC 2 AB 2 4 R 2 .
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê d) Gọi O ' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME . Theo ý b) có ACE AMC hay ACE EMC CE Mà sđ EMC sđ (với CE là cung trên đường tròn O' ). 2 CE Suy ra sđ ACE sđ 2 Suy ra AC là tiếp tuyến của O' (theo định lý đảo về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). Mà AC BC nên O' BC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên BC . Ta có DO' DH nên DO ' nhỏ nhất khi OH'  . Khi đó E là giao điểm thứ hai của CD và H; HC . 2. Lượng trà sữa lúc đầu đựng trong ly có hình nón nên giả sử hình nón đựng lượng sữa đó là CAB với đỉnh là C , đáy là đường tròn tâm H với bán kính là R . 1 Ta có: V . CH . . R2 80 . CAB 3 Sau khi Thế Anh uống được một phần thì phần trà sữa còn lại trong ly là một hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của phần trà sữa lúc đầu trong ly. Gọi hình nón mà đựng lượng sữa còn lại trong ly là CDE với đỉnh là C , đáy là đường tròn tâm K với bán kính là r . CK r 1 Ta có: CH R 2 Do đó: 2 12 1CH R 1 1 2 1 80 3 VCDE . CK . . r . . . . . CH . . R . V CAB 10 cm 3 3 2 2 8 3 8 8 Bài 5.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Ta gọi số miếng trắng là x ( x là số tự nhiên, x 32 ) Ta gọi số miếng đen là y ( y là số tự nhiên, y 32 ) Vì tổng có 32 miếng nên ta có x y 32. Ta xét các đoạn thẳng là các cạnh của ngũ giác và lục giác. Ta tính tổng số đoạn thẳng theo hai cách: Có x miếng trắng và mỗi miếng có 6 đoạn thẳng, nhưng trong đó mỗi miếng có 3 đoạn thẳng 3x 9 x mà được lặp hai lần nên số đoạn thẳng có là: 6x (1) 2 2 Có y miếng đen và mỗi miếng có 5 đoạn thẳng, nhưng trong đó mỗi đoạn thẳng mà nối hai đỉnh 5y 15 y gần nhất của hai ngũ giác được lặp hai lần nên số đoạn thẳng có là: 5y (2) 2 2 9x 15 y Từ (1) và (2) ta có: 3x 5 y . 2 2 3x 5 y 3 x 5 y 0 8 x 160 x 20 Từ đó ta có hệ phương trình: x y 32 5 x 5 y 160 3 x 5 y 0 y 12 Vậy có 20 miếng màu trắng. Đáp án Quận Hà Đông Bài 1: 1) Giải hệ phương trình: 2x 2 y 3 5 x 5 x 1 x 1 322x y 322 x y 322 y y 0,5 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;0,5 2) a) Với m 2 , phương trình: x2 2 x 1 0 ' 2 x 1 2
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê b) m2 4 4 0(  m ) Nên: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 x1 x 2 m Áp dụng hệ thức Viet: x1 x 2 1 Theo đề bài: 2 2 2 2 x1 x 2 5 x 1 . x 2 2 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 5 x 1 x 2 m2 2( 1) 5.1 m2 3 m 3 Bài 2: Gọi số xe lúc đầu đội có là x (xe), (x N* ) Số xe thực tế tham gia là x 5 (xe) 120 Khối lượng mỗi xe dự định lúc đầu phải chở là (tấn) x 120 Khối lượng mỗi xe thực tế phải chở là (tấn) x 5 Theo đề bài mỗi xe chở ít hơn 2 tấn so với dự định nên ta có phương trình: 120 120 2 (1) x x 5 Giải phương trình (1) 120(x 5) 120x 2.x(x 5) (1) x.(x 5) (x 5).x x(x 5) 120(x 5) 120x 2x(x 5) 60(x 5) 60x x(x 5) 60x 300 60x =x2 +5x x2 5x 300 0 x 15( tm ) x 20(ktm) Vậy lúc đầu đội có 15 xe. Bài 3:
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê I B H M N A O C K a) +) Do MI AB (gt) MIA 90o MH BC (gt) MHB 90o +) Xét tứ giác MIBH có: MIB MHB 90o 90 o 180 o Tứ giác MIBH nội tiếp (dhnb) 1  b) )XÐt O :ABN s®BN ( gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung) 2  1 BMN s®BN (gãc néi t iÕp) 2  ABN BMN +) Xét ABN và AMB có:  A chung   ABN AMB (cmt) ABN∽ AMB (g.g) AN AB (tính chất 2 tam giác đồng dạng) AB AM AB2 AM.AN (tính chất tỉ lệ thức) (đpcm) c) C/m: MIH MHK
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê )Cã : MH  BC (gt) MHC 90o MK AC (gt) MKC 90o +) Xét tứ giác MHCK có: MHC MKC 90o 90 o 180 o Tứ giác MHCK nội tiếp (dhnb) MHK MCK (1) (t/c) (2 góc nội tiếp cùng chắn MK) +) Do tứ giác MIBH nội tiếp (cmt) MIH MBH (2) (2 góc nội tiếp cùng chắn HM) 1  +) Xét (O): MCK MBC s® MC (hệ quả) (3) 2 Từ (1), (2), (3) MIH MHK (đpcm) d) C/m: MI MK 2MH Do tứ giác MIBH nội tiếp (cmt) MBI MHI (4) Tứ giác MHCK nội tiếp (cmt) MKH MCH (5) 1 Xét (O): IBM BCM sdBM (hệ quả) (6) 2 Từ (4), (5), (6) MHI MKH Xét MHI và MHK có: MIH MHK (cmt)   MIH∽ MHK (g.g) MHI MKH (cmt) MH MI MH2 MI.MK MK MH 2 Ta có: MI MK 2 MI.MK 2 MH 2MH (đpcm) Dấu “=” xảy ra MI = MK AMI AMK MAI MAK AM là phân giác của BAC
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê Mà ABC cân tại A ( do AB=AC, tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) AM  BC Suy ra M là điểm chính giữa BC. Bài 4: 2 2 Ta có: x y 0 x2 y 2 2 xy 2 x 2 y 2 x y 2 2 x y 0 x2 y 2 2 xy x y 4 xy 2 33 x y 33.4 Theo để bài ta có: P x2 y 2 xy 2 x y 2 2 x y 648 516 648 43 43 65 P 2. 2.18 2 x y 2 x y 2 2 3 3 3 x y Dấu “=” xảy ra khi 4 x y 3 x y 1296 65 Vậy GTNN của P là khi x y 3 3 Đáp án Huyện Đan Phượng x 3 2x x 1 3 11 x Câu 1: Cho hai biểu thức A và B ( x 0; x 9) x 2 x 3 x 3 x 9 1. Tính giá trị biểu thức A khi x 25 . 3 x 2. Chứng minh: B . x 3 3. Tìm x để AB. 1. 2 Giải: 1. x 25 ( tmđk) x 5 A . 7 2x x 3 x 1 x 3 3 11 x 2. B x 3 x 3
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 2x 6 x x 4 x 3 3 11 x x 3 x 3 3x x 3 3 x . x 3 x 3 x 3 3. Ta có: x 3 3 x 3 x AB . x 2 x 3 x 2 3x 2 x 2 AB 1 AB 1 0 1 0 0 2 x 2 x 1 0 x 1. x 2 x 2 Câu 2: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một 3 mình trong 15 h và người thứ hai làm một mình trong 6 h thì cả hai người làm được công việc. 4 Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. Giải: Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc. y (h) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc, x 16; y 16 . 1 Vậy trong một giờ làm một mình thì người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm x 1 được công việc. y Vì hai người làm chung thì hoàn thành công việc sau 16 h nên trong một giờ hai người làm được 1 công việc. 16 1 1 1 Ta có phương trình . x y 16 1 15 Sau 15 h người thứ nhất làm được 15. công việc. x x
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 1 6 Sau 6 h người thứ hai làm được 6. công việc. y y Vì người thứ nhất làm một mình trong 15 h và người thứ hai làm một mình trong 6 h thì cả hai 3 người làm được công việc nên ta có phương trình 4 15 6 3 x y 4 16 16 16 16 16 16 1 1 1 x y x y x y Giải hệ: 15 6 3 5 2 1 40 16 2 x y 4 x y 4 x y 24 1 x x 24 tmðk 1 1 1 y 48 y16 x Vậy nếu làm một mình xong toàn bộ công việc thì người thứ nhất cần 24 h còn người thứ hai cần 48 h. Câu 3: 1. Giải phương trình: x4 3 x 2 4 0 . 2. Cho phương trình: x2 2( m 1) x m 2 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Giải: 1. Ta có: x4 3 x 2 4 0 x4 1 3 x 2 3 0 x2 1 x 2 1 3 x 2 1 0 2 2 x 1 x 4 0 x2 1 x 1.
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 2. Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì : ac 0 1.( m2 4) 0 m 2 4 2 m 2. Câu 4: Giải: 1) Xét (O) có = 90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A B Mà BEN MEN 1800 (hai góc kề bù ) => = 90° E M = 90° (vì ABCD là hình vuông) Xét tứ giác MDNE có H + = 180° mà hai góc này ở vị trí đối nhau O I MDNE là tứ giác nội tiếp F 2) Xét (O) có : Có ABCD là hình vuông nên ECB ECN 450 ( tính chất đường chéo hình vuông) D N C 0 EBN ECN 45 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung EN) ENB ECB 450 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) 3)Ta có = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BI  MN Nên EBN ENB 450 và = 90° (cm trên) 0 => BEN vuông cân tại E Mặt khác NE MB (do BEN 90 ) Vậy BEN là tam giác cân tại E. Suy ra H là trực tâm của BMN Nên MH BN 4) Vì N là trung điểm của CD nên ta chứng minh được A B = => = Mà = ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung NC) E Suy ra = hay HBF HEF M => tứ giác EBFH nội tiếp đường tròn ( hai góc có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh HF) H + = 180° O I Mà = 90° => = 90° hay HF BN F Lại có MH BN nên suy ra 3 điểm M, H, F thẳng hàng. D N C
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 4 1 5 Câu 5: Giải phương trình : x x 2 x x x x 5 x Giải: Điều kiện: 2 1 x 0 1 a x a 0 4 1 5 x Phương trình: x x 2 x 1 Đặt x x x 5 b 2 x b 0 x 1 5 4 Ta có a2 b 2 x 2 x x x x x 1 abab2 2 0 ababab . 0 abab . 1 0 Mà a 0, b 0 a b 1 0 a b 0 a b 1 5 x 2 x x x 1 5 x 2 x x x 4 x 0 x x2 4 0 x 2( TM ) x 2(L) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2 Đáp án Quận Gia Lâm Câu 1: 4 2 4 9 2 a) Thay x (TMĐK) vào biểu thức A ta được A 3 9 4 2 9 1 3. 1 3. 9 3 4 2 Vậy với x thì A 9 7
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê b) ĐKXĐ: x 0; x 9 x 3 2 1 x 3 2 1 B x 9x 3 3 x x 9 x 3 x 3 x 32 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2 x 6 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 x x 3 x 3 x 3 x x3 x 1 c) Ta có: PBA :: với x 0; x 9 x 3 1 3 x x 3 3x 1 P 3 3 x 3 3x 13 x 3 3 x 1 3 x 9 0 0 x 3 x 3 x 3 10 0 x 3 0 x 3 x 9 x 3 Kết hợp điều kiện xác định: x 0; x 9 Vậy để P 3 thì 0 x 9 Câu 2: Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x (km/h; x 3 ). Khi đó vận tốc tàu thủy khi chạy xuôi dòng là x 3 (km/h) Vận tốc tàu thủy khi chạy ngược dòng là x 3 (km/h) 72 Thời gian tàu thủy xuôi khúc sông 72km là (h) x 3 54 Thời gian tàu thủy ngược khúc sông 54km là (h) x 3 72 54 Theo đề bài ta có phương trình: 6 x 3 x 3
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê 72 x 3 54 x 3 6 x 2 9 6x2 126 x 0 x 0 KTM x 21 TM Vậy vận tốc riêng của tàu thủy là 21 km/h Câu 3: 1 x 1) Hệ phương trình đã cho có điều kiện: 2 y 5 1 a 2x 1 Đặt: a, b 0 1 b y 5 Hệ phương trình trở thành: a 4 b 3 a 4 b 3 7 a 7 a 1 (thỏa mãn điều kiện a, b ). 3a 2 b 5 6 a 4 b 10 3 a 2 b 5 b 1 1 1 2x 1 2x 1 1 x 0 (thỏa mãn điều kiện xác định) 1 y 5 1 y 4 1 y 5 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 0; 4 . 2) (P): y x 2 và (d): y 2 x m2 9 a) Khi m 1 thì đường thẳng (d) có dạng: y 2 x 8 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) khi m 1 : 2 2 x1 2 y 1 4 x 2 x 8 x 2 x 8 0 x2 4 y 2 16 Vậy khi m 1 Parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt 2;4 và 4;16 .
Nhóm Toán THCS Toán Học là đam mê b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 2 x m 2 9 x 2 2 x m 2 9 0 (*) Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (*) phải có hai nghiệm trái dấu ac 0 m2 9 0 m 2 9 3 m 3 Vậy 3 m 3 thì (d) cắt (P) tại hai điểm nằm vầ hai phía của trục tung. Câu 4: F K C M E A O H B D 1) Xét tứ giác AHCK, có: AHC 900 (CD  AB), AKC 900 (CK AE) AHC AKC 900 90 0 180 0 Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên t/g AHCK nội tiếp. 2) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có: KHC KAC (hai góc nội tiếp cùng chắn KC ) Xét (O): KAC EDC (hai góc nội tiếp cùng chắn EC ) KHC EDC Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // ED. Xét đường tròn (O): AB là đường kính (gt), CD  AB (gt) H là trung điểm của CD. Xét CFD có: H là trung điểm của AB, HK // FD K là trung điểm của FC. AK là đường trung tuyến của ACF . Xét ACF có: AK là đường cao, trung tuyến ACF cân tại A. 3) Kẻ FM  AD tại M