›
›
›

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 8: Lượng giác - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

docx 25 trang nhungbui22 11/08/2022 2470
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 8: Lượng giác - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtong_hop_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_thpt_vong_1_chuyen_de.docx

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 8: Lượng giác - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

  1. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 8 Lượng giác cos x 1 Câu 1. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019)Hàm số y cĩ tập xác định D là: 4 cos x A. D R . B. D  . C. D R \ k ,k ¢. D. D k2 ,k ¢ . Lời giải Tác giả: Phạm Minh Thùy; Fb: Phạm Minh Thùy Chọn D Điều kiện xác định 4 cos x 0 cos x 1 0 4 cos x Ta thấy 1 cos x 1,x 3 cos x 4 5,x suy ra cos x 4 0,x. cos x 1 Xét 0 . Ta cĩ cos x 4 0,x. 4 cos x Nên cos x 1 0 cos x 1 cos x 1 (vì cos x 1,x ) x k2 ,k ¢. Vậy D k2 ,k ¢ . m sin x cos x 2sin x cos x Câu 2. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Tìm m để hàm số y sin2017 x cos2019 x 2 xác định với mọi x ; . 2 2 Lời giải Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc Với mọi x ; thì 0 cos x 1 cos2019 x cos2 x . 2 2 Khi đĩ: sin2017 x cos2019 x 2 sin2017 x cos2 x 2 sin2017 x 1 sin2 x 2 sin2 x 1 sin2015 x 2 1 2 1 0 với mọi x ; . 2 2 m sin x cos x 2sin x cos x Hàm số y xác định với mọi x ; sin2017 x cos2019 x 2 2 2 m sin x cos x 2sin x cos x 0 với mọi x ; sin2017 x cos2019 x 2 2 2  Trang 168 
  2. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 m sin x cos x 2sin x cos x với mọi x ; 2 2 3 Đặt t sin x cos x 2 sin x ; x ; x ; t 1; 2 . 4 2 2 4 4 4 m f t t2 t 1 Suy ra với mọi t 1; 2 Vậy m 2 1. 2sin 2x cos 2x Câu 3. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Trong tập giá trị của hàm số y sin 2x cos 2x 3 cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Tác giả: Cơng Phương; Fb: Nguyễn Cơng Phương Chọn C Phương trình: sin2x cos2x 3 0vơ nghiệm vì a2 b2 c2 . Do đĩ hàm số đã cho cĩ TXĐ D ¡ . 2sin 2x cos 2x Ta cĩ y y sin 2x y cos 2x 3y 2sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 3 (y 2)sin 2x y 1 cos2x 3y Để phương trình ẩn x cĩ nghiệm thì điều kiện là: (y 2)2 y 1 2 3y 2 y2 4y 4 y2 2y 1 9y2 5 7y2 2y 5 0 1 y 7 Do y ¢ nên y 1;0 Vậy cĩ 2 giá trị nguyên y . Câu 4. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Xét hàm số y tan x trên khoảng ; . Khẳng 2 2 định nào sau đây đúng? A. Trên khoảng ;0 hàm số đồng biến và trên khoảng 0; hàm số nghịch biến. 2 2 B. Trên khoảng ; hàm số luơn đồng biến. 2 2 C. Trên khoảng ; hàm số luơn nghịch biến. 2 2 D. Trên khoảng ;0 hàm số nghịch biến và trên khoảng 0; hàm số đồng biến. 2 2 Lời giải  Trang 169 
  3. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai. Chọn B Hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k ; k nên trên khoảng ; hàm số 2 2 2 2 y tan x luơn đồng biến. Câu 5. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Số nghiệm của phương trình sin x.sin 2x 2sin x.cos2 x sin x cos x 3 cos 2x trong khoảng ; là: sin x cos x A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn A Tác giả:Trần Thị Phương Lan; Fb: Trần Thị Phương Lan ĐK: sin x cos x 0 x k k Z . 4 Với điều kiện trên ta cĩ sin x.sin 2x 2sin x.cos2 x sin x cos x 3 cos 2x . sin x cos x sin 2x.sin x sin 2x.cos x sin x cos x 3 cos 2x . sin x cos x sin 2x sin x cos x sin x cos x 3 cos 2x . sin x cos x sin x cos x sin 2x 1 3 cos 2x . sin x cos x sin 2x 1 3 cos 2x (do sin x cos x 0 ). 3 1 1 cos 2x sin 2x . 2 2 2 1 cos 2x . 6 2 2x k2 6 3 k Z . 2x k2 6 3 x k 12 k Z . x k 4  Trang 170 
  4. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Kết hợp với điều kiện trên ta cĩ nghiệm của phương trình là x k k Z . 12 13 11 Xét trên khoảng ; ta cĩ k k . Do k Z k 1,0 . 12 12 12 11 Vậy trên khoảng ; phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm là , . 12 12 Câu 6. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 2sin x 1 phương trình m cĩ nghiệm thuộc đoạn 0; . sin x 3 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Tác giả: Lê Thị Thu Hồng ; Fb: Thu Hong Le. Chọn A 2sin x 1 Phương trình m xác định với mọi x 0;  . sin x 3 Đặt: t sin x thì t 0;1. 2t 1 Phương trình đã cho trở thành: m . t 3 2t 1 7 Đặt f t . Vì f t 0,t 0;1 nên f t đồng biến trên đoạn 0;1. t 3 t 3 2 Yêu cầu bài tốn thỏa mãn khi và chỉ khi min f t m max f t 0;1 0;1 1 1 f 0 m f 1 m . 3 4 Vậy chỉ cĩ một số nguyên m 0 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Câu 7. (HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Giải phương trình 2 x 2 3 4sin 3 cos 2x 1 2cos x 2 4 0 . 2cos3x 1 Lời giải Tác giả: Hà Quốc Vũ ; Fb: Hà Quốc Vũ 2 x 2 3 4sin 3 cos 2x 1 2cos x 2 4 0 1 . 2cos3x 1 1 ĐKXĐ: 2cos3x 1 0 cos3x (*). 2  Trang 171 
  5. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 1 cos 2x 2 x 2 3 1 cos x 2 1 4sin 3 cos2x 1 2cos x 0 4. 3 cos2x 1 2. 0 2 4 2 2 2 2cos x 3 cos2x 1 1 sin 2x 0 1 3 sin 2x 3 cos2x 2cos x sin 2x cos2x cos x sin 2x sin x 2 2 3 2 5 5 2 2x x k2 3x k2 x k 3 2 6 18 3 k ¢ 5 5 2x x k2 x k2 x k2 3 2 6 6 5 2 5 2 3 1 So điều kiện (*), ta loại nghiệm x k (Do cos 3 k ). Nhận nghiệm 18 3 18 3 2 2 5 5 1 x k2 (Do cos 3 k2 0 ). 6 6 2 5 Vậy x k2 k ¢ . 6 Câu 8. (HSG11 Cụm Hà Đơng Hồi Đức Hà Nội năm 2018-2019) Giải phương trình sau sin 3x 3 cos3x 2sin 2x . Lời giải Tác giả:phùng minh nam ; Fb:Nam phùng 1 3 Ta cĩ : sin 3x 3 cos3x 2sin 2x sin 3x cos3x sin 2x 2 2 3x 2x k2 x k2 3 3 sin 3x sin 2x k ¢ 3 2 k2 3x 2x k2 x 3 15 5 2 k2  Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm S k2 ; k ¢  . 3 15 5  Câu 9. (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho phương trình sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 0 2sinx 2 . Hỏi phương trình cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 2018 ;2019 ? Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Hữu ; Fb: Nguyễn Văn Hữu sinx cosx sin2x 3 sin2x cos2x +1 0 1a Xét phương trình: 2sinx 2 .  Trang 172 
  6. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x k2 2 4 Điều kiện: 2sinx 2 0 sin x (k,l ¢ ) . 2 3 x l2 4 Khi đĩ 1a trở thành: (sin x cos x)(sin 2x 3) sin 2x cos 2x 1 0 (sin x cos x)(sin 2x 3) 2sin x cos x 2sin2 x 0 (sin x cos x)(sin 2x 3) 2 sin x(sin x cos x) 0 (sin x cos x)(sin 2x 2 sin x 3) 0 sin x cos x 0 2a . sin 2x 2sin x 3 0 3a .Phương trình 2a sin x 0 x k . Dựa vào điều kiện đầu bài ta được: 4 4 5 x k2 (k ¢ ) . 4 .Phương trình 3a sin 2x 2sin x 3. Vì 1 sin2x 1 và 2 sinx 2 nên 3 sin 2x 2sin x 3. Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi 2x k2 x k sin 2x 1 2 4 sin 2x 2sin x 3 x  . sin x 1 x l2 x l2 2 2 5 Vậy x k2 (k ¢ ) . 4 5 5 Mà x ( 2018 ;2019 ) 2018 k2 2019 2018 2k 2019 . 4 4 Do k ¢ nên k 1009, 1008,,1008 suy ra ta cĩ 2018 nghiệm. Câu 10. (HSG11 Nghệ An 2018-2019) Giải phương trình cos 2x 7cos x 3(sin 2x 7sin x) 8 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn Phương trình: cos 2x 7cos x 3(sin 2x 7sin x) 8 cos 2x 3 sin 2x 7( 3 sin x cos x) 8 1 3 3 1 cos 2x sin 2x 7( sin x cos x) 4 2 2 2 2 cos cos 2x sin sin 2x 7(cos sin x sin cos x) 4 3 3 6 6 cos(2x ) 7sin(x ) 4 3 6  Trang 173 
  7. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 2sin2 (x ) 7sin(x ) 4 0 6 6 2sin2 (x ) 7sin(x ) 3 0 6 6 1 sin(x ) 6 2 sin(x ) 3(vn) 6 sin(x ) sin 6 6 x k2 6 6 (k ¢ ) x k2 6 6 x k2 2 (k ¢ ) x k2 3 Câu 11. (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Giải phương trình 2 2 2cos 2x 3 cos 4x 4cos x 1. 4 Lời giải Ta cĩ: 2 2 2cos 2x 3 cos 4x 4cos x 1 4 1 cos 4x 3 cos 4x 2 1 cos 2x 1 2 sin 4x 3 cos 4x 2cos 2x cos 4x cos 2x 6 k 4x 2x k2 x 6 36 3 k Z . 4x 2x k2 x k 6 12 Câu 12. (HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019) Giải phương trình: sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 . Lời giải Cách 1:Tác giả: Dương Đức Tuấn ; Fb: Dương Tuấn Ta cĩ: sin 3x 3sin x 4sin3 x sin x 3 4sin2 x sin x 1 2cos 2x .  Trang 174 
  8. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 Vậy ta cĩ: sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 sin2 x 1 2cos 2x .cos 2x sin2 x 0 sin2 x 1 2cos 2x 2 .cos 2x 1 0 sin2 x 4cos3 2x 4cos2 2x cos 2x 1 0 x k sin x 0 2 2 k sin x cos 2x 1 4cos 2x 1 0 x . cos 2x -1 x k 2 2 k Vậy nghiệm của phương trình là: x với k ¢ . 2 Cách 2: Tác giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành. Ta cĩ: sin2 3xcos2x sin2 2x 0 1 cos6x 1 cos 2x cos 2x 0 2 2 cos 2x cos6x cos 2x 1 cos 2x 0 cos6x cos 2x 1 0 cos8x cos 4x 2 0 2cos2 4x cos4x 3 0 cos 4x 1 2cos 4x 3 0 cos 4x 1 0 2cos 4x 3 0 x ¡ cos 4x 1 4x k2 x k ,k ¢ . 2 Câu 13. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1000  4 3 2sin x cos x sin 3x 3 4 4 4 0 2cos x 2 Lời giải Tác giả: Hồng Vũ; Fb: Hồng Vũ Giáo viên phản biện: Lê Đức Lộc ; Fb: Lê Đức Lộc 2 ĐK: cos x x k2 2 4 4 3 2sin x cos x sin 3x 3 4 4 4 0 2cos x 2 4 3 2sin x cos x sin 3x 3 0 4 4 4  Trang 175 
  9. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 1 cos 2x 2 1 2 sin 4x sin 2x 3 0 2 2 2 1 sin 2x 2 cos 4x sin 2x 6 0 1 2 sin 2x sin 2 2x cos 4x sin 2x 6 0 3sin 2 2x 3sin 2x 6 0 sin 2x 1 (nhận) hay sin 2x 2 (loại) sin 2x 1 x k ,k ¢ 4 5 Kết hợp với điều kiện, phương trình cĩ nghiệm x k2 ,k ¢ . 4 5 Tổng số nghiệm trên 0;1000  là tổng 500 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với u , cơng 1 4 sai d 2 500 5 S . 2. 499.2 250125 . 2 4 Câu 14. (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Giải các phương trình sau: 3 2019 2cos x sin 2xsin x 2 2.cos x . 4 Lời giải Tác giả: Fb: Nguyễn Ánh Dương Ta cĩ: 2019 3 3  2 2.cos x = 2 2.cos x 504 = 2 2.cos x 4 4 4 2 2 2 = 2 2. cos x sin x = 2 2. cos x sin x = 2cos x 2sin x . 2 2 2  2cos3 x sin 2xsin x = 2cos2 x cos x 2sin2 x cos x = 2 1 sin2 x cos x 2sin2 x cos x = 2cos x 2sin2 x cos x 2sin2 x cos x = 2cos x 4sin2 x cos x . Do đĩ phương trình đã cho tương đương 2cos x 4sin2 x cos x 2cos x 2sin x . 4sin2 x cos x 2sin x 2sin x 4sin2 x cos x 0 2sin x 2sin x cos x 1 0  Trang 176 
  10. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2sin x sin 2x 1 0 sin x 0 sin 2x 1 x k k Z . x k 4 Câu 15. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải phương trình cos 2x sin x 2 0. 2 Lời giải 2 cos 2x sin x 2 0 cos 2x cos x 2 0 2cos x cos x 3 0 2 cos x 1 3 x k2 , k ¢ . cos x 2 Câu 16. (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) Giải các phương trình sau: 1. 1 3 sin 2x cos 2x 2. 9sin x 6cos x 3sin 2x cos2x 8. Lời giải Tác giả :Nguyễn Phương Thu, FB: Nguyễn Phương Thu Phản biện 1:Phạm Hồng Điệp ;FB: Hồng Điệp Phạm Phản biện 2: Nguyễn Minh Đức; FB: Duc Minh. 1 3sin 2x cos2x 3sin 2x cos2x 1 3 1 1 1 sin 2x cos2x sin 2x 2 2 2 6 2 2x k2 x k 6 6 2 k ¢ x k 2x k2 3 6 6 2 Vậy phương trình cĩ 2 họ nghiệm là: x k ; x k ;k ¢ 3 2) 9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 6cos x 3sin 2x cos 2x 9sin x 8 0 6cos x 6sin x cos x 1 2sin2 x 9sin x 8 0 6cos x 1 sin x 2sin2 x 9sin x 7 0  Trang 177 
  11. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 6cos x 1 sin x sin x 1 2sin x 7 0 1 sin x 6cos x 2sin x 7 0 sin x 1 1 6cos x 2sin x 7 2 1 x k2 ;k ¢ 2 2 2 2 2 2 2 2 vơ nghiệm vì cĩ a b 6 2 7 c Vậy phương trình cĩ 1 họ nghiệm là: x k2 ;k ¢ 2 2 3 sin2 x 3 cos x 2sin x Câu 17. (HSG12 Quảng Ngãi 2018-2019) Giải phương trình cos x . 1 2cos x tan x Lời giải Tác giả: Vĩnh Tín, FB: Vĩnh Tín 1 cos x 2 Điều kiện: cos x 0 tan x 0 Khi đĩ 2 3 sin2 x 3 cos x 2sin x cos x 2 3 sin2 x 3 cos x 2sin x sin x 2sin x cos x 1 2cos x tan x 2 3 sin2 x 3 cos x 3sin x 2sin x cos x 0 3 sin x 2sin x 3 cos x 2sin x 3 0 2sin x 3 3 sin x cos x 0 3 sin x cos x 0 1 2sin x 3 0 2 3 1 +) 1 sin x cos x 0 sin x 0 x k , k Z 2 2 6 6 x k2 3 3 +) 2 sin x ,k ¢ 2 2 x k2 3 x k 6 Kết hợp điều kiện ta suy ra nghiệm của phương trình là: ,k ¢ 2 x k2 3 Câu 18. (HSG12 tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Giải phương trình 2 sin 2x 6 sin x 1. 4 4  Trang 178 
  12. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Tạ Minh Trang; Fb: Minh Trang 2 sin 2x 6 sin x 1 4 4 sin 2x cos 2x 1 3 sin x cos x 0 2sin x cos x 2sin2 x 3 sin x cos x 0 2sin x cos x sin x 3 sin x cos x 0 cos x sin x 2sin x 3 0 x k 4 sin x 0 cos x sin x 0 4 x k2 k ¢ . 2sin x 3 0 3 3 sin x 2 2 x k2 3 2 Vậy phương trình cĩ 3 họ nghiệm x k ; x k2 ; x k k ¢ . 4 3 3 Câu 19. (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Giải phương trình 2 2 2cos 2x 3 cos 4x 4cos x 1. 4 Lời giải 2 2 1. 2cos 2x 3 cos 4x 4cos x 1 4 PT 1 cos 4x 3 cos 4x 2 1 cos 2x 1 2 sin 4x 3 cos 4x 2cos 2x cos 4x cos 2x 6 k 4x 2x k2 x 6 36 3 k ¢ . 4x 2x k2 x k 6 12 k Vậy x , x k k ¢ . 36 3 12 Câu 20. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Với giá trị nào của m thì phương trình 3sin2 x 2cos2 x m 2 cĩ nghiệm? A. m 0 . B. m 0 . C. 0 m 1. D. 1 m 0 . Lời giải  Trang 179 
  13. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Trần Ngọc Diễm; Fb: Trần Ngọc Diễm Chọn C 3sin2 x 2cos2 x m 2 sin2 x 2 sin2 x cos2 x m 2 sin2 x m (1). Vì 0 sin2 x 1 nên phương trình 1 cĩ nghiệm khi 0 m 1. Câu 21. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x 2sin 7x trên khoảng 0; là 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien Chọn C Ta cĩ: sin 5x 3 cos5x 2sin 7x 1 3 sin 5x cos5x sin 7x 2 2 sin 5x cos sin cos5x sin 7x 3 3 sin 5x sin 7x 3 5x 7x k2 x k 3 6 k ¢ k ¢ 5x 7x k2 x k 3 18 6 Với x k ,k ¢ : Vì x 0; nên ta cĩ: 6 2 1 1 0 k k k . 6 2 6 3 6 3 Mà k ¢ nên suy ra k 0 , suy ra nghiệm của phương trình là x . 6 Với x k ,k ¢ : Vì x 0; nên ta cĩ: 18 6 2 4 1 8 0 k k k 18 6 2 18 6 9 3 3 . 2 7 Mà k ¢ nên suy ra k 0;1;2. Suy ra các nghiệm của phương trình là: x ; x ; x . 18 9 18 2 7 Vậy cĩ 4 nghiệm của phương trình thỏa yêu cầu đề bài là: x ; x ; x ; x . 6 18 9 18  Trang 180 
  14. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 22. (HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải phương trình: cos 2x 1 2cos x sin x cos x 0 . Lời giải Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le Phản biện: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Ta cĩ: cos 2x 1 2cos x sin x cos x 0 cos2 x sin2 x 1 2cos x sin x cos x 0 cos x sin x cos x sin x 1 2cos x cos x sin x 0 cos x sin x cos x sin x 1 2cos x 0 cos x sin x sin x cos x 1 0 cos x sin x 0 sin x cos x 1 0 cos x sin x 0 sin x cos x 0 sin x 0 x k k ¢ . 4 4 x k2 4 4 x k2 sin x cos x 1 0 2 sin x 1 2 k ¢ 4 3 x k2 x k2 . 4 4 Vậy phương trình cĩ 3 nghiệm : x k ; x k2 ; x k2 k ¢ 4 2 Câu 23. (HSG11 Cụm Hà Đơng Hồi Đức Hà Nội năm 2018-2019) Giải phương trình sin x sin 2x 1. sin 3x Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan sin x 0 3 2 Điều kiện xác định: sin 3x 0 3sin x 4sin x 0 sin x 4cos x 1 0 1 cos x 2 Khi đĩ, phương trình đã cho tương đương với sin x sin 2x sin 3x 0 2sin 2x.cos x sin 2x 0 sin 2x 2cos x 1 0 sin x 0 l cos x 0 t / m x k k ¢ . 2 1 cos x l 2  Trang 181 
  15. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x k k ¢ . 2 Câu 24. (HSG11 tỉnh Thanh Hĩa năm 2018-2019) Giải phương trình : 2sin 2x cos 2x 7sin x + 4+ 3 1. 2cos x 3 Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền 5 Điều kiện: 2cos x 3 0 x k2 ,k ¢ . 6 5 Với điều kiện x k2 ,k ¢ ta cĩ : 6 Phương trình 2sin 2x cos 2x 7sin x 4 2cos x 4sin x cos x 2cos x 2sin2 x 7sin x 3 0 2cos x 2sin x 1 2sin x 1 . sin x 3 0 2sin x 1 . 2cos x sin x 3 0 1 2sin x 1 sin x 2 2cos x sin x 3 sin x cosx 1 l x k 2 6 k ¢ 5 x k 2 l 6 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x k 2 ,k ¢ . 6 Câu 25. (HSG12 Hà Nội năm 2018-2019) Giải phương trình cos x 1 x2 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Xét hàm số f x cos x x2 1 với x ¡ . Ta cĩ f x sin x 2x , f x cos x 2 . Vì f x 0 x ¡ f x đồng biến trên ¡ . Mà f 0 0 suy ra phương trình f x 0 cĩ nghiệm duy nhất x 0 . Bảng biến thiên:  Trang 182 
  16. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Từ bảng biến thiên suy ra f x 0 x 0 . Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x 0 . 2sin3 x sin x cos 2x Câu 26. (HSG12 tỉnh Hải Phịng năm 2018-2019) Giải phương trình 0. tan x 1 Lời giải Tác giả: Nhĩm 4 - Tổ 8 nhĩm tốn team tốn vd - vdc x k tan x 1 0 4 a) Điều kiện: , k ¢ . cos x 0 x k 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với: 2sin3 x sin x cos 2x 0 sin x 2sin2 x 1 cos 2x 0 sin x cos 2x cos 2x 0 sin x 1 cos 2x 0 x k2 sin x 1 2 . cos 2x 0 x k 4 2 3 Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình thì phương trình đã cho cĩ nghiệm x k , 4 k ¢ . Câu 27. (HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải phương trình 3 2 2 cos 2x sin 2x cos x 4sin x 0 x ¡ . 4 4 Lời giải a) Phương trình tương đương với: 1 1 1 1 2 2 cos x sin x cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x 0 2 2 2 2 4 cos x sin x cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x 0 cos x sin x 0 1 4 cos x sin x sin 2x 4 0 2  Trang 183 
  17. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta cĩ 1 tan x 1 x k k ¢ 4 2 Giải 2 : Đặt t cos x sin x 2 cos x 2; 2 sin 2x 1 t 4 t 1 Phương trình trở thành: 4t 1 t2 4 0 t2 4t 3 0 t 3 loại x k2 Với t 1 ta cĩ 2 cos x 1 k ¢ 4 x k2 2 Vậy phương trình ban đầu cĩ ba họ nghiệm là x k ; x k2 ; x k2 k ¢ 4 2 Câu 28. (HSG12 tỉnh TỈNH VĨNH PHÚC 2018-2019) Giải phương trình 2cos x 1 2sin x cos x sin x sin 2x . Lời giải Tác giả: Nguyễn Tường Lĩnh; Fb: Khoisx Bvkk Ta cĩ: 2cos x 1 2sin x cos x sin x sin 2x 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x 2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1 2cos x 1 sin x cos x 0 x k2 3 1 2cos x 1 0 cos x 2 x k2 cos x sin x 0 3 tan x 1 x k 4 x k2 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: x k2 k ¢ . 3 x k 4 Câu 29. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Giải phương trình: 2sin x 3 4sin2 x 6sin x 3 1 33 6sin x 4 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Ái Trinh ; Fb: Trinh Nguyễn  Trang 184 
  18. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Xét phương trình: 2sin x 3 4sin2 x 6sin x 3 1 33 6sin x 4 1 Đặt t sin x , 1 t 1. Phương trình 1 trở thành: 2t 3 4t 2 6t 3 1 33 6t 4 8t3 24t 2 24t 9 1 33 6t 4 2t 2 3 3 2t 2 6t 4 33 6t 4 2 Phương trình 2 cĩ dạng: f 2t 2 f 3 6t 4 Với f u u3 3u, u ¡ f u 3u2 3 3 u2 1 0, u ¡ f u đồng biến trên ¡ . t 2 1 Suy ra: 2t 2 3 6t 4 8t 3 24t 2 18t 4 0 1 , vì t  1;1 nên chọn t . t 2 2 x k2 1 1 6 Với t sin x , k ¢ 2 2 5 x k2 6 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S k2 , k2  . 6 6  Câu 30. (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hĩa năm 2018-2019) Giải phương trình 1 sin x cos 2x sin x 4 1 cos x 1 tan x 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu. x k cos x 0 cos x 0 2 Điều kiện: . 1 tan x 0 tan x 1 x k 4 1 sin x cos 2x sin x 4 1 Pt cos x . sin x 1 2 cos x cos x 1 sin x cos 2x cos x sin x 1 . cos x . cos x sin x 2 2  Trang 185 
  19. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 sin x 1 sin x cos 2x 1 2sin2 x sin x 1 0 2 . sin x 1 loại x k2 1 6 Với sin x sin x sin , k Z . 2 6 7 x k2 6 7 Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là: x k2 ; x k2 với 6 6 k Z . Câu 31. (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hĩa năm 2018-2019) G1ả1 phương trình 1 sin x cos2x sin x 4 1 cosx . 1+tanx 2 Lời giải 1 sin x cos2x sin x 4 1 Xét phương trình cosx (1) . 1+tanx 2 cosx 0 cosx 0 Đ1ều k1ện (2). 1 tanx 0 tanx 1 Vớ1 đ1ều k1ện (2) thì 1 sinx cos2x sin x 4 1 (1) cos x sinx 1 2 cos x cos x 1 sinx cos2x cos x sinx 1 . cos x cos x sinx 2 2 1 sinx cos 2x 1 1 sinx 2sin2 x+sinx 1 0 2 . sin x 1 Vớ1 sinx 1 thì cos x 0, khơng thõa mãn đ1ều k1ện (2). 1 3 1 Vớ1 sin x thì cos x 0,tan x 1 nên (2) thỏa mãn. 2 2 3 x k2 1 6 Ta cĩ: sin x sin x sin (k ¢ ). 2 6 7 x k2 6 7 Vậy phương trình (1) cĩ ngh1ệm x k2 , x k2 , k ¢ . 6 6  Trang 186 
  20. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 32. (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hĩa năm 2018-2019) Giải phương trình 1 sinx cos2x sin x 4 1 cosx 1+tanx 2 Lời giải x k cosx 0 2 Điều kiện: (k ¢ ) tanx -1 x k 4 Với mọi x thuộc tập xác định, ta cĩ: π 2 1+sinx+cos2x sin(x+ ) 1+sinx+cos2x sinx+cosx 1 1 4 = cosx 2 = cosx 1+tanx 2 sinx+cosx 2 cosx x m 2 sin x=1 2 1+sin x+cos 2x=1 2sin x sin x+1=0 -1 x m2 (m ¢ ) sin x= 6 2 7 x m2 6 x m2 6 (m ¢ ) 7 Đối chiếu đk, phương trình cĩ nghiệm: x m2 6 Câu 33. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Giải phương trình cos2 x 3 cos x 6sin x.cos x sin x cos x 2 sin2 x sin x . Lời giải cos2 x 3 cos x 6sin x.cos x sin x cos x 2 sin2 x sin x cos2 x 3 cos x 3sin 2x 1 sin 2x sin2 x sin x 2sin 2x 3 cos x sin x 3 1 sin 2x cos x sin x 2 2 k2 2x x k2 x 3 9 3 sin 2x sin x ,k ¢ . 3 2 2x x k2 x k2 3 3 k2 2 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x ; x k2 k ¢ . 9 3 3 Câu 34. (HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Giải phương trình 1 2sin 4x tan 2x 1. Lời giải  Trang 187 
  21. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Điều kiện x k k ¢ . Khi đĩ, 4 2 1 2sin 4x tan 2x 1 sin 2x 2sin 4x.sin 2x cos2x sin 2x cos2x cos6x cos2x . sin 2x cos6x cos 2x cos6x . 2 2x 6x k2 x k 2 16 4 k ¢ k ¢ . 2x 6x k2 x k 2 8 2 x k 16 4 Vậy phương trình cĩ hai họ nghiệm k ¢ . x k 8 2 Câu 35. (HSG12 YÊN LẠC 2 năm 2018-2019) Giải phương trình: 4cos2 x 1 sin x 2 3 cos xcos2x 1 2sin x . Lời giải Phương trình tương đương với: 4cos2 x 4cos2 x. sin x 2 3 cos xcos2x 1 2sin x . 2sin x(2cos2 x 1) 2 3 cos xcos2x 4cos2 x 1 0 . 2sin xcos2x 2 3 cos xcos2x 3cos2 x sin2 x 0 . 2cos2x sin x 3 cos x 3 cos x sin x 3 cos x sin x 0 . 3 cos x sin x 2cos2x 3 cos x sin x 0 . 3 cos x sin x 0 . 2cos2x 3 cos x sin x 0 +) 3 cos x sin x 0 tan x 3 x k k ¢ . 3 5 x k2 5 6 +) 2cos2x 3 cos x sin x 0 cos2x cos x k ¢ . 6 5 k2 x 18 3 5 5 k2 Vậy phương trình cĩ nghiệm: x k , x 2k , x k ¢ . 3 6 18 3 Câu 36. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3x cos 2x 9sin x 4 0 trên khoảng 0;3 là: 25 11 A. . B. 6 . C. . D. 5 . 6 3  Trang 188 
  22. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Long; Fb: Nguyễn Thanh Long Chọn B  cos3x cos 2x 9sin x 4 0 4cos3 x 3cos x 1 2sin2 x 9sin x 4 0 cos x 4cos2 x 3 2sin2 x 9sin x 5 0 2 cos x 4 1 sin x 3 2sin x 1 sin x 5 0 cos x 1 4sin2 x 2sin x 1 sin x 5 0 cos x 1 2sin x 1 2sin x 1 2sin x sin x 5 0 1 2sin x cos x 1 2sin x sin x 5 0 1 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 5 0 1 2sin x 0 cos x 2sin x cos x sin x 5 0 x k2 1 6  Với 1 2sin x 0 sin x sin x sin k ¢ . 2 6 5 x k2 k2 6 6  Với cos x 2sin x cos x sin x 5 0 sin x cos x sin 2x 5 2 sin x sin 2x 5 4 2 sin x 2; 2 ,x 0;3 Ta cĩ đánh giá sau 4 sin 2x 5  6; 4,x 0;3 Suy ra 2 sin x sin 2x 5,x 0;3 . 4 Vậy phương trình này vơ nghiệm. 5 13 17   Trong khoảng 0;3 , phương trình cĩ tập nghiệm: S ; ; ;  6 6 6 6  Suy ra tổng các nghiệm trong khoảng 0;3 của phương trình là 6 . 3 Câu 37. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Giải phương trình cos2 2x cos2x 0 4 Lời giải Tác giả: Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần  Trang 189 
  23. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 cos2x n 2 3 2 Ta cĩ: cos 2x cos2x 0 . 4 3 cos2x l 2 2x k2 x k 1 3 6 cos2x cos k ¢ . 2 3 2x k2 x k 3 6 Câu 38. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Giải phương trình cos2 x 3 cos x 6sin x.cos x sin x cos x 2 sin2 x sin x . Lời giải cos2 x 3 cos x 6sin x.cos x sin x cos x 2 sin2 x sin x cos2 x 3 cos x 6sin x.cos x 1 2sin x.cos x sin2 x sin x 3 cos x sin x 4sin x cos x 2 2x x k2 x k 3 9 3 3 cos x sin x 2sin 2x sin x sin 2x k ¢ . 3 2 2x x k2 x k2 3 3 2 2 Vậy phương trình cĩ nghiệm x k ; x k2 , k ¢ . 9 3 3 Câu 39. (HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019) Giải phương trình: 5 sin 3x 16 15sin x 4 4 Lời giải Đặt t x x t . Phương trình đã cho trở thành: 4 4 5 sin 3 t 15sin t 16 0 4 4 sin 3t 15sin t 16 0 4sin3 t 12sin t 16 0 4 sin t 1 sin2 t sin t 4 0 sin t 1 t k2 . 2 Do đĩ ta cĩ: x k2 ,k ¢ . 4 Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 ,k ¢ . 4  Trang 190 
  24. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 40. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Trên đoạn [- 2018; 2018] phương trình sin x(2cos x - 3)= 0 cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm ? A. 3856. B. 1286 . C. 2571. D. 1928. Lời giải Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân Chọn C x k sin x 0 Ta cĩ: sin x(2cos x - 3)= 0 3 x k2 , k ¢ . cos x 6 2 x k2 6 k ¢ k ¢ + Với x k , k ¢ . Ta cĩ 2018 2018 nên 2018 k 2018 k k 642; 641; ;0; ;641;642 . k ¢ + Với x k2 , k ¢ . Ta cĩ nên 6 2018 k2 2018 6 k 321; 320; ;0; ;320;321. k ¢ + Với x k2 , k ¢ . Ta cĩ nên 6 2018 k2 2018 6 k 321; 320; ;0; ;320;321. Vậy phương trình cĩ 2571 nghiệm. Câu 41. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cĩ tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình cos2 x m cos x m cĩ nghiệm? A.2. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb:NguyenHuong Chọn B Đặt a m cos x,a 0 a2 m cos x 1 . Ta cĩ cos2 x a m 2 2 2 2 a cos x 0 Thế cos x a m từ (2) vào (1) ta được a cos x a cos x a cos x 1  Trang 191 
  25. TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 +) Với a cos x 0 m cos x cos x 3 t  1;0 Đặt t cos x, t 1;1 , pt (3) trở thành m t t   2 m t t Lập bảng biến thiên hàm số f t t 2 t trên  1;0 Khi đĩ phương trình cĩ nghiệm khi m 0;2,m ¢ m 1;2 +) Với a cos x 1 m cos x 1 cos x 4 t  1;1 Đặt t cos x, t 1;1 , pt (4) trở thành m t 1 t   2 m t t 1 Lập bảng biến thiên hàm số g t t 2 t 1trên  1;1 3 Khi đĩ phương trình cĩ nghiệm khi m ;3 ,m ¢ m 1;2;3 4 Vậy cĩ 3 giá trị của m thỏa mãn Câu 42. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cho phương trình cos 2x 3 sin 2x 5 3 sin x cos x 6 0 . Tính tổng giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình. 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 Lời giải Chọn C cos 2x 3 sin 2x 5 3 sin x cos x 6 0 3 1 t 3sin x cos x 2 sin x cos x 2sin x , t 2 Đặt: 2 2 6 t 2 3sin2 x cos2 x 3sin 2x 2 cos2x 3sin 2x cos2x 3sin 2x 2 t 2 Phương trình trở thành: x k 2 t 1 N 1 2 1 6 6 x k12 t 5t 4 0 sin x 3 k ,k ¢ 1 2 t 4 L 6 2 5 x k2 2 x k2 2 6 6 Nghiệm dương nhỏ nhất là x ứng với k 0 .Nghiệm âm lớn nhất là x ứng với k 1 1 3 1 2 2 2 Do đĩ: x x 1 2 3 3  Trang 192 