›
›
›

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 5: Hệ phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

docx 45 trang nhungbui22 11/08/2022 2230
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 5: Hệ phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtong_hop_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_thpt_vong_1_chuyen_de.docx

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 5: Hệ phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

  1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 5 Hệ phương trình x2 y2 z2 6 Câu 1. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hệ phương trình xy yz zx 3 với x , y , z là 6 6 6 x y z m ẩn số thực, m là tham số. Số giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm là A. 24 . B. 13. C. 12. D. 25 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Bá Long; Fb: Nguyễn Bá Long Chọn B Sử dụng hẳng đẳng thức a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca Ta có, x6 y6 z6 3 xyz 2 x2 y2 z2 x4 y4 z4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 2 x6 y6 z6 3 xyz 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 m 3 xyz 2 6 36 3 xy yz zx 2 6xyz x y z 2 m 3 xyz 6 9 6xyz x y z 1 x2 y2 z2 6 x2 y2 z2 6 2 Ta có: xy yz zx 3 2xy 2yz 2zx 6 x y z 0 x y z 0 6 6 6 6 6 6 x y z m x y z m 2 m 54 Do đó từ 1 ta được xyz 3 x2 y2 z2 6 x y z 0 Như vậy xy yz zx 3 xy yz zx 3 2 6 6 6 2 m 54 x y z m xyz 3 * Trường hợp 1: m 54 khi đó xyz 0 ta được x 0 hoặc y 0 hoặc z 0 y 3 y z 0 z 3 Với x 0 ta được yz 3 y 3 z 3 Hệ có nghiệm là 0; 3; 3 , 0; 3; 3  Trang 56 
  2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Các khả năng y 0 hoặc z 0 cũng tương tự như khả năng x 0 Tức là m 54 thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Trường hợp 2: Xét nghiệm của hệ có dạng x; x; z với x z . Khi đó hệ 2 trở thành 2x z 0 z 2x z 2x 2 2 2 m 54 x 2xz 3 x 1 x 1 4 m 66 3 m 54 m 54 m 54 x4 z2 x4 z2 4x6 3 3 3 Các khả năng nghiệm của hệ có dạng z; x; x và x; z; x với x z cũng tương tự như khả năng x; x; z . Tức là m 66 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dế nhận thấy hệ 2 không thể có nghiệm dạng x; x; x * Trường hợp 3: Nghiệm của hệ có dạng x; y; z với x y z x y z 0 m 54 Khi đó với m 54 hệ 2 trở thành xy yz zx 3 với k 3 m 54 xyz k 3 Áp dụng định lí đảo của định lí Vi-et với phương trình bậc 3 ta được x; y; z là 3 nghiệm của phương trình t3 3t k 0 t3 3t k 3 Xét hàm số f t t 3t , ta phải có fCT t k fCD t 2 k 2 m 54 Do đó 2 2 54 m 66 , vì m ¢ nên m 55;56; ;65 , có 11 số 3 Kết hợp các trường hợp trên ta được 13 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cụ thể m 54;55; ;66 . Câu 2. (HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có log2018 x log2019 y 1 nghiệm . log2019 x log2018 y m Lời giải log2018 x log2019 y 1 (1) log2019 x log2018 y m (2) Điều kiện: x; y 1. Đặt t log2019 y; 0 t 1.  Trang 57 
  3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 t log2018 x 1 t x 2018 . t t y 2019 y 2019 Phương trình (2) (1 t)log2019 2018 t log2018 2019 m Xét f x (1 t)log2019 2018 t log2018 2019 ;0 t 1. log 2018 log 2019 f x 2019 2018 . 2 (1 t) 2 t log 2018 log 2019 f x 0 2019 2018 (1 t) t t.log2018 2019 1 t log2019 2018 . log2019 2018 t t0 log2018 2019 log2019 2018 Ta có f 0 log2019 2018 . f 1 log2018 2019 . f t0 log2019 2018 log2018 2019 . Yêu cầu bài toán log2019 2018 m log2019 2018 log2018 2019 . Câu 3. (HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ 3 2 2x y 2 x xy m phương trình có nghiệm. 2 x 3x y 1 2m Lời giải 3 2 2 2x y 2 x xy m x x 2x y m b) Ta có . x2 3x y 1 2m 2 x x 2x y 1 2m 1 Đặt a x2 x , b 2x y với điều kiện a x2 x . 4 a.b m Hệ phương trình đã cho có dạng . a b 1 2m Suy ra a , b là hai nghiệm của phương trình t 2 1 2m t m 0 * . 1 Hệ ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm t . 4 t 2 t 1 Ta có * m g t , t ; . 2t 1 4 2t 2 2t 1 g t . 2t 1 2  Trang 58 
  4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 3 t lo¹i 2 2 g t 0 2t 2t 1 0 . 1 3 t (tháa m·n) 2 Bảng biến thiên: + - 2 3 Từ bảng biến thiên trên suy ra m . 2 Câu 4. (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm 3x 6 2x 4 4 3y 18 2y I . 3x 2y 6 6m 0 Lời giải x 2 Đ1ều k1ện: . y 6 x y x y 1 2 2 1 2 2 3 2 3 2 3 Ta có HPT I . x y 1 2 m 4 2 3 x a 1 2 2 2 a b 2a 2b 3 Đặt , đ1ều k1ện a,b 0 . Ta có hệ phương trình trở thành II y a2 b2 m 4 b 2 3 Hệ phương trình I đã cho có ngh1ệm hệ II có ngh1ệm a;b vớ1 a,b 0 . - Nếu m 4 hệ II vô ngh1ệm hệ phương trình đã cho vô ngh1ệm. - Nếu m 4 . Chọn hệ tọa độ Oab từ hệ II ta có: PT (1) cho ta cung tròn C là một phần của đường tròn C tâm I 1;1 , R 5 thuộc góc phần 1 1 1 tư thứ nhất vì a,b 0 . 1 PT (2) cho ta cung tròn C là đường tròn C tâm O 0;0 , R m 4 thuộc góc phần tư 2 4 2 2  Trang 59 
  5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 thứ nhất vì a,b 0 . Để hệ phương trình I có ngh1ệm C , C g1ao nhau khác rỗng dựa vào hình vẽ trên ta có 1 2 OH R2 OK 3 m 4 2 5 5 m 3 2 10 . Vậy hệ đã cho có ngh1ệm 5 m 3 2 10 . mx y m 1 Câu 5. (HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) Cho hệ phương trình . x my 2 2 Khi hệ có nghiệm duy nhất xo ; yo , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A xo 2yo 5 . Lời giải Tác giả: Huỳnh Tấn Phát; Fb: Huỳnh Tấn Phát m 1 m 1 1 m m 1 Ta có: D m2 1, D m2 m 2 và D m 1. 1 m x 2 m y 1 2 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất D 0 m 1 (*). D m2 m 2 m 2 D m 1 1 Khi đó nghiệm của hệ là: x x và y y . o D m2 1 m 1 o D m2 1 m 1 2 2 2 m 2 2 1 2 Ta có: A xo 2yo 5 5 1 6 m 1 m 1 m 1 m 1 2 1 4 1 2 6 2 2 2, m 1. m 1 m 1 m 1 1 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2 0 m ( thỏa mãn điều kiện (*)). m 1 2 3 Vậy min A 2 khi m . 2 Câu 6. (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3x 6 2x 4 4 3y 18 2y I . 3x 2y 6 6m 0 Lời giải x 2 Điều kiện: . y 6  Trang 60 
  6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x y x y 1 2 2 1 2 2 3 2 3 2 3 Ta có hệ phương trình I . x y 1 2 m 4 2 3 x a 1 2 2 2 a b 2a 2b 3 1 Đặt (đk a,b 0 ). Ta có hệ phương trình (*) 2 2 y a b m 4 2 b 2 3 Hệ phương trình đã cho có nghiệm hệ * có nghiệm a,b 0 Nếu m 4 hệ * vô nghiệm hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Nếu m 4 . Chọn hệ tọa độ Oab như hình vẽ b (C2) B K (C2) H (C1) 1 I O 1 A a Do điều kiện a 0,b 0 nên chỉ xét ở góc phần tư thứ nhất 1 Phương trình 1 cho ta đường tròn C tâm I 1;1 , R 5 , cắt Ox và Oy lần lượt tại A 3;0 , 4 1 1 B 0;3 . 1 Phương trình 2 cho ta đường tròn C tâm O 0;0 , R m 4 thay đổi theo m. 4 2 2 Hệ * có nghiệm a,b 0 C1 cắt C2 có giao điểm ở góc phần tư thứ nhất. Cho bán kính R2 m 4 tăng dần, dễ thấy C2 cắt C1 đầu tiên tại hai điểm A, B , khi đó R2 OH 3 và C2 tiếp xúc C1 tại điểm cuối cùng K . Do đó, để C1 cắt C2 ở góc phần tư thứ nhất OH R2 OK 3 m 4 2 5 5 m 3 2 10 . Vậy hệ đã cho có nghiệm 5 m 3 2 10 . Câu 7. (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3x 6 2x 4 4 3y 18 2y . 3x 2y 6 6m 0 Lời giải  Trang 61 
  7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x x y y 2 1 2 2 0 3x 6 2x 4 4 3y 18 2y 2 2 3 3 Ta có . 3x 2y 6 6m 0 x y m 1 2 3 x a 1 2 a 0 Đặt , điều kiện . y b 0 b 2 2 m 1 2 2 a b a 2a b 2b 3 2 Khi đó hệ trở thành * a2 b2 m 4 m2 2m 15 ab 8 Hệ có nghiệm hệ * có nghiệm a,b 0 a b 0 m 1 0 2 ab 0 m 2m 15 0 5 m 3 2 10 . 2 2 2 a b 4ab m 1 m 2m 15 2 2 Vậy 5 m 3 2 10 . Câu 8. (HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình ì + + = ï x y 4 2xy íï ï 2x+ y = m x + y + x2 + x + y2 + y + 5 îï ( ) có nghiệm (x; y) thỏa mãn x ³ 1, y ³ 1. Lời giải ì ï x + y + 4 = 2xy (1) Xét hệ phương trình íï (với x, y ³ 1). ï 2x+ y = m x + y + x2 + x + y2 + y + 5 (2) îï ( ) Từ (1) ta có x + y = 2xy - 4 . Thế vào (2) ta được: 2x+ y = m(x + y + x2 + 2xy + y2 + 1)Û 2x+ y = m(x + y + (x + y)2 + 1) (*) (x + y)2 Đặt t = x + y ³ 2 và x + y + 4 = 2xy £ Þ x + y ³ 4 Þ t ³ 4 . 2 Do x ³ 1, y ³ 1 nên (x- 1)(y - 1)³ 0 Þ xy - x- y + 1³ 0 Þ xy ³ x + y - 1  Trang 62 
  8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 t + 4 Suy ra ³ t - 1Þ t £ 6 . 2 Do đó (*)Û 2t = m(t + t 2 + 1)Û m = 2t ( t 2 + 1- t). Hệ đã cho có nghiệm x ³ 1, y ³ 1 khi và chỉ khi phương trình m = 2t ( t 2 + 1- t) có nghiệm t Î [4;6]. æ 1 ö Xét hàm số f (t)= 2t t 2 + 1- t , t Î [4;6], ta có f ¢(t)= 2t t 2 + 1- t çln 2- ÷. ( ) ( ) 2 ÷ èç t + 1ø÷ 1 1 Do t 2 + 1 ³ t ³ t và t 2 + 1 ³ 17," t Î [4;6]Þ ln 2- ³ ln 2- > 0 nên f ¢(t)> 0 với mọi t 2 + 1 17 t Î [4;6]. Suy ra f (t) là hàm đồng biến trên [4;6]. Do đó để phương trình (*) có nghiệm thì f (4)£ m £ f (6)Û 16( 17 - 4)£ m £ 64( 37 - 6). Vậy 16( 17 - 4)£ m £ 64( 37 - 6) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 9. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Giải hệ phương trình 1 y2 x 2 x x . 2 ln 2x 3 8x 20x 12 ln y 2y Lời giải 2x 3 0 3 8x2 20x 12 0 x Điều kiện hệ phương trình 2 . x 0 y 0 y 0 1 y2 x 2 1 Xét hệ phương trình x x . 2 ln 2x 3 8x 20x 12 ln y 2y 2 2 2 x y 1 0 Khi đó (1) x 1 y x y 1 x y 1 0 . x y 1 0 3 1 Vì x , y 0 nên x y 1 . Do đó trường hợp x y 1 0 không thỏa mãn. 2 2 Với x y 1 0 y x 1 thì phương trình 2 trở thành 2 ln 2x 3 8x 20x 12 ln x 1 2 x 1 .  Trang 63 
  9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 ln 2x 3 2x2 5x 3 ln x 1 x 1 2 2 1 1 ln 2x 3 ln x 1 2x 3 x 1 ln x 1 x 1 2 2 ln 2x 3 x 1 2x 3 x 1 ln x 1 x 1 3 . 1 • Xét hàm số f t ln t t với t . 2 1 1 1 Ta có f t 1 0,t nên hàm số f t ln t t đồng biến trên ; . t 2 2 Nên 3 f x 1 2x 3 f x 1 2x 3 x 1 x 1 x 1 2 2 2 2x 5x 3 x 1 x 3x 2 0 x 2 3 3 x 2 . x x 3 2 2 x 2 • Với x 2 thì y x 1 1 (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x 2; y 1. Câu 10. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Giải hệ phương trình 2 2 x 1 x y 1 y 1 3 x 2y 2 x x 2y 6 10 Lời giải Tác giả:; Fb: 2 2 x 1 x y 1 y 1 (1) x 2y 2 0 Xét hệ phương trình . Điều kiện . x 2y 6 0 3 x 2y 2 x x 2y 6 10 (2) Từ (1) y2 1 y 0 . 2 2 2 1 y 1 y y 1 y 2 Vậy (1) x 1 x 2 2 y 1 y y2 1 y y2 1 y y2 1 y y 1 y x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 x y 0 x y 0 x2 1 y2 1 x2 y2 x y x y 0 x y 1 0 . 2 2 2 2 x 1 y 1 x 1 y 1  Trang 64 
  10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x y Chú ý x2 1 y2 1 x2 y2 x y x y 1 0 , vậy x y . x2 1 y2 1 Khi đó 2 3 3x 2 x 6 x 10 3 3x 2 2 x 2 6 x 2 6 x 2 0 3 3x 6 2 2 x 9 2 x 2 6 x 0 x 2 6 x 0 3 . 3x 2 2 6 x 2 3x 2 2 6 x 2 9 3 2 2 Điều kiện: x 6 3x 2 2 6 . Mặt khác 1. 3x 2 2 2 6 x 2 2 9 3 2 9 2 3 Do đó 6 x 1 6 x 0  x ; 6 . 3x 2 2 2 6 x 2 3x 2 2 6 x 2 2 Từ đó: 3 x 2 x y 2 : thỏa điều kiện. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y 2 . Nhận xét: Có thể xét hàm f t t 2 1 t và chứng minh f ' t 0  t R , từ đó x y , nhưng cách này vượt quá kiến thức lớp 10. Câu 11. (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 2 2 3 y 1 y y 1 x 1 2 . 2 x x 2x 5 1 2 2x 4y 2 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Chí Thành; Fb: Nguyễn Chí Thành Điều kiện: 2x 4y 2 0 . Từ phương trình 1 , ta có: 2 2x 4y 2 y2 1 2y. y2 1 y2 2x 4y 2 y2 1 y . Thay vào phương trình 2 và chú ý rằng y2 1 y 0 . Lúc này ta được: x x2 2x 5 1 2 y2 1 y x 1 x 1 2 4 2 y2 1 y 2 x 1 x 1 2 1 y 1 y . 3 2 2 x 1 Đặt u . Từ 3 trở thành u u2 1 y2 1 y 2 u y u y u y u 2 1 y 2 1 0 u y 0 u2 1 y2 1 u y u y 1 0. 4 2 2 u 1 y 1  Trang 65 
  11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 u y u 1 u y 1 y Do 1 0 u2 1 y2 1 u2 1 y2 1 x 1 Nên từ 4 cho ta u y , hay y x 2y 1. 2 2 2 5 Thay vào phương trình 1 ta được: y 1 y y2 1 2y y2 1 y 4 2 y2 1 y 2 (vì y2 1 y 0 ) 3 5 y2 1 2 y y2 1 4 4y y2 y x . 4 2 5 3 Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm x; y là ; . 2 4 Câu 12. (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Giải hệ phương trình x 1 x 1 y 1 y 1 . 2 x x 12 y 1 36 Lời giải Tác giả: Vũ Việt Tiến; Fb: Vũ Việt Tiến x 1 x 1 y 1 y 1 1 + Ta có . 2 x x 12 y 1 36 2 + Điều kiện: x 1; y 1. + Ta thấy x y 1 không là nghiệm của hệ phương trình. + Ta có 1 x 1 y 1 y 1 x 1 x y x y y x 1 1 . x 1 y 1 y 1 x 1 * x 1 y 1 y 1 x 1 + Ta thấy * vô nghiệm vì vế trái luôn dương, vế phải luôn âm với x 1,y 1, x; y 1;1 + Với x y , thế vào 2 ta được: x2 x 12 x 1 36 2 x2 2x 1 x 1 12 x 1 36 x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 6 x 1 x 1 6 0 v« nghiÖm x 1 x 1 6 x 1 x 1 6 0 x 1 2 x 3 . x 1 3 v« nghiÖm  Trang 66 
  12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 + Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3; 3 . Câu 13. (HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 17 3x 5 x 3y 14 4 y 0 , x, y ¡ . 2 2 2x y 5 3 3x 2y 11 x 6x 13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm 5 x 0 4 y 0 Điều kiện: * . 2x y 5 0 3x 2y 11 0 Đặt 5 x a 0 ; 4 y b 0 , phương trình 17 3x 5 x 3y 14 4 y 0 trở thành: 2 2 2 2 3 3 17 3 5 a .a 3 4 b 14 0 3a 2 .a 3b 2 .b 3a 2a 3b 2b Xét hàm số y f t 3t3 2t trên 0; . Ta có f t 9t 2 2 0, t 0; nên hàm số y f t đồng biến trên 0; . Vì thế với a 0, b 0 thì 3a3 2a 3b3 2b f a f b a b . Suy ra 5 x 4 y 5 x 4 y y x 1. Thay y x 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình: 2 3x 4 3 5x 9 x2 6x 13 1 . 4 Điều kiện x ;5 . 3 Khi đó phương trình 1 2 3x 4 2 3 5x 9 6 x2 6x 5 4 3x 4 4 9 5x 9 36 x 1 x 5 2 3x 4 2 3 5x 9 6 6 x 1 15 x 1 x 1 x 5 3x 4 1 5x 9 2 x 1 0 6 15 x 5 3x 4 1 5x 9 2 x 1 6 15 x 5 2 3x 4 1 5x 9 2 6 15 Phương trình 2 tương đương với x 5 . 3x 4 1 5x 9 2  Trang 67 
  13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 6 15 4 Đặt g x x, x ;5 . 3x 4 1 5x 9 2 3 9 75 4 Ta có g x 2 2 1 0, x ;5 . 3x 4 1 . 3x 4 2 5x 9 2 . 5x 9 3 4 Suy ra hàm số g x nghịch biến trên ;5 3 4 Vì thế phương trình g x 5 có nhiều nhất một nghiệm trên ;5 . 3 Ta lại có x 0 là nghiệm của phương trình g x 5 nên đây là nghiệm duy nhất. Với x 1 thì y 2 . Với x 0 thì y 1. So sánh điều kiện * , hệ đã cho có hai nghiệm x ; y là 1 ; 2 ; 0 ; 1 . Câu 14. (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Giải hệ phương trình: y y2 1 x y x2 xy y2 2 2ln x x2 1 . x y 3 .2x 3 2y 1 Lời giải Tác giả:Lê Thị Nguyên ; Fb: Ngọc Giang Nguyên y y2 1 x y x2 xy y2 2 2ln 1 x x2 1 . x y 3 .2x 3 2y 1 2 Điều kiện xác định: x, y ¡ . Phương trình (1) x3 y3 2 x y 2ln y y2 1 2ln x x2 1 x3 2x 2ln x x2 1 y3 2y 2ln y y2 1 Xét hàm số f t t3 2t 2ln t t 2 1 , ta có: 2 1 1 f ' t 3t 2 2 t 2 1 2t 2 3 2t 2 0 , t ¡ . t 2 1 t 2 1 t 2 1 Suy ra f t là hàm số đồng biến trên ¡ . Do đó 1 f x f y x y . Thay x y vào phương trình (2) ta được : 3x (2x 1) 2x 1 3 .  Trang 68 
  14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 Nhận xét: x không là nghiệm của (3). 2 2x 1 Do đó 3 3x 0 . 2x 1 2x 1 Xét hàm số g x 3x , ta có: 2x 1 4 1 1 g ' x 3x ln 3 g ' x 0, x ( ; )  ( ; ) . (2x 1)2 2 2 1 1 Suy ra g x đồng biến trên mỗi khoảng ( ; ) , ( ; ) . 2 2 Suy ra phương trình (3) có không quá 2 nghiệm. Mà g 1 g 1 0 do đó (3) có đúng hai nghiệm là x 1. Vậy tập nghiệm của hệ là: { 1 ; 1 ; 1 ; 1 }. Câu 15. (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Giải hệ phương trình: 4 2 3 8 x y xy 9x 0 1 4 2 3 8 y x yx 9y 0 2 Lời giải Nếu x 0 y 0 Nếu y 0 x 0 4 3 4 8 x y y xy 9xy 0 Nếu xy 0 . Hệ phương trình tương đương với 4 3 4 8 xy x yx 9xy 0 Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ ta được: x y 3 3 3 3 3 3 8 2xy x y x y 0 x y 2xy 1 0 2xy 1 TH1: x y thế vào phương trình (1) ta được: 9 8 x4 x2 x4 9x 0 8x2 9x 0 x ( vì xy 0 ) 8 1 TH2: 2xy 1 x thế vào phương trình (1) ta được 2y 1 2 1 3 9 6 3 8 4 y .y 0 8y 18y 1 0 16y 2y 2y  Trang 69 
  15. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 y3 1 y 1 x 2 (thỏa mãn các điều kiện) 3 1 y 1 8 y x 1 2 9 9 1 1 Vậy nghiệm của hệ là: 0;0 ; ; ; ;1 ; 1; 8 8 2 2 Câu 16. (HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 2 2 x 1 x y 1 y 1 3 x 2y 2 x x 2y 6 10 Người làm: Nguyễn Quốc Lân (dhbktoannql@gmail.com) Lời giải 2 2 x 1 x y 1 y 1 (1) x 2y 2 0 Xét hệ phương trình . Điều kiện . x 2y 6 0 3 x 2y 2 x x 2y 6 10 (2) Nhận xét (1) y2 1 y 0 y ¡ . 2 2 2 1 y 1 y y 1 y 2 Vậy (1) x 1 x 2 2 y 1 y y2 1 y y2 1 y y2 1 y y 1 y x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 x y 0 x y 0 x2 1 y2 1 x2 y2 x y x y 0 x y 1 0 . 2 2 2 2 x 1 y 1 x 1 y 1 x y Chú ý x2 1 y2 1 x2 y2 x y x y 1 0 , vậy x y . x2 1 y2 1 Khi đó 2 3 3x 2 x 6 x 10 3 3x 2 2 x 2 6 x 2 6 x 2 0 3 3x 6 2 2 x 9 2 x 2 6 x 0 x 2 6 x 0 3 . 3x 2 2 6 x 2 3x 2 2 6 x 2 9 3 2 2 Điều kiện: x 6 3x 2 2 6 . Mặt khác 1. 3x 2 2 2 6 x 2 2 9 3 2 9 2 3 Do đó 6 x 1 6 x 0  x ; 6 . 3x 2 2 2 6 x 2 3x 2 2 6 x 2 2 Từ đó: 3 x 2 x y 2 : thỏa điều kiện. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y 2 . Nhận xét: Có thể xét hàm f t t 2 1 t và chứng minh f ' t 0  t R , từ đó x y , nhưng cách này vượt quá kiến thức lớp 10.  Trang 70 
  16. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 17. (HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Giải hệ phương trình sau : 2x2 xy y2 5x y 2 0(1) . 2 2 x y x y 4 0(2) Lời giải Tác giả ; Trần Dung ; Fb: Dung Chang. Từ phương trình : 2x2 xy y2 5x y 2 0 2x2 2xy xy y2 x 4x 2y y 2 0 (2x2 xy x) (2xy y2 y) (2y 4x 2) 0 x(2x y 1) y(2x y 1) 2(2x y 1) 0 (2x y 1)(x y 2) 0 2x y 1 0 (3) x y 2 0 (4) Kết hợp (2) và (3) hoặc (2) và (4) ta có hệ : x2 y2 x y 4 0 x2 y2 x y 4 0 x2 (2x 1)2 x (2x 1) 4 0 2x y 1 0 y 2x 1 y 2x 1 x2 y2 x y 4 0 x2 y2 x y 4 0 x2 (2 x)2 x (2 x) 4 0 x y 2 0 y 2 x y 2 x 4 2 2 x 5x x 4 0 5x x 4 0 5 y 2x 1 y 2x 1 13 y 2 2 5 2x 4x 2 0 (x 1) 0 y 2 x y 2 x x 1 y 1 4 13  Vậy nghiệm của hệ S x; y 1;1 , ;  . 5 5  Câu 18. (HSG10 Kim Liên 2018-2019) Giải hệ phương trình x4 x2 y2 x3 y 1 . 3 2 x y xy x 1 Lời giải 2 Ta có : x4 x2 y2 x2 xy 2x3 y . a x2 xy a2 b 1 Đặt , hệ phương trình trở thành : . 3 b x y a b 1 2 a 1 Suy ra a a 2 0 . a 2 Với a 1 ta tính được b 0 . Với a 2 ta tính được b 3.  Trang 71 
  17. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 0 x 1 2 x xy 1 0 1 y 0 TH1: . 3 x y 0 x 1 x 1 y 0 y 0 2 3 4 2 2 x 2 x 2x 3 0 x xy 2 x2 TH2: 3 (vô nghiệm ). 3 3 x y 3 y 3 y 3 x x Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: 1;0 và 1;0 . Câu 19. (HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 1 1) Giải hệ phương trình: 2 2 x y x 2x 12 0 2 2) Giải phương trình x 3 1 x x 4 x 2x2 6x 3 3) Giải bất phương trình x3 (3x2 4x 4) x 1 0 Lời giải 1) Ta có: x y x2 xy y2 3 3 x2 y2 2 x3 y3 3x 3y 3x2 3y2 2 x3 3x2 3x 1 y3 3y2 3y 1 x 1 3 y 1 3 x 1 y 1 y x 2 . Thế y x 2 vào phương trình 2 ta được phương trình: 2 3 2 2 x 3 x x 2 2x 12 0 x x 2x 12 0 x 3 x 2x 4 0 2 . x 2x 4 0 VN Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y 3;1 . 2) Điều kiện 1 x 4 . Ta có x 3 1 x x 4 x 2x2 6x 3 . x 3 1 x 1 x 4 x 1 2x2 6x . x 3 x x x 3 2x x 3 . 1 x 1 4 x 1 x x 3 0, 1 1 1 2 , 2 1 x 1 4 x 1 x 0 Giải 1 :x x 3 0 tm . x 3  Trang 72 
  18. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 1 1 Giải 2 ta có 2 VP . Vậy 2 vô nghiệm. 1 x 1 4 x 1 1 1 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 0;3 3) Điều kiện x 1. Ta có: x3 (3x2 4x 4) x 1 0 x3 3x2 x 1 4(x 1) x 1 0 3 x3 3x2 x 1 4 x 1 0 (1) * Xét x 1, thay vào (1) thỏa mãn. 3 * Xét x 1 x 1 0 . Chia hai vế của (1) cho x 1 ta được bất phương trình 3 2 x x 3 4 0 . x 1 x 1 x Đặt t , ta có bất phương trình t3 3t 2 4 0 (t 1)(t 2)2 0 t 1 x 1 1 x 0 1 x 0 1 x 0 x t 1 1 x 1 x x 0 x 0 1 5 x 1 2 2 0 x x 1 x x x 1 0 2 1 5 1 x 2 1 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là: T 1; 2 Câu 20. (HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 2 3 x xy x 2y y . 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 Lời giải Tác giả:Trần Thị Thùy Dương; Fb:Thùy Dương 3 2 3 x xy x 2y y 1 Câu 1. 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 2 x 0 2 Điều kiện: 2x 5x 0 5 . x 2 x y 3 3 2 3 2 2 Ta có 1 x y xy y x y 0 x y x xy 2y 1 0 2 2 x xy 2y 1 0 *  Trang 73 
  19. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 2 2 y 7y Mà x xy 2y 1 x 1 0,x, y ¡ nên phương trình (*) vô nghiệm. 2 4 Thay x y vào phương trình (2) ta được: x3 3x 5 2x2 5x 3x3 5x2 2x 5 x3 3x 5 2x2 5x 1 3x3 5x2 2x 5 x3 3x 5 2x2 5x 1 x3 3x 5  x  2x2 5x 1 2x2 5x 1 2 3 2x 5x 1 0 3 2 x 3x 5 2x 5x 1 x 0 3 2 2x2 5x 1 x 3x 5 x 2x 5x 1 4 5 33 5 33 (3) x  x (thỏa mãn điều kiện) 4 4 2 3 2 3 2 2 (4) x 2x 5 x 2x 5x x (2x 5) x  2x 5x 2 x3 2x3 (2x 5) (2x 5)2 x3 (2x 5) 2 x3 x3 (2x 5) (2x 5)2 0 2 3 3 2x 5 3 2 2x 2x 5 0 x (2x 5) 0 (không thỏa mãn). 2 4 2x 5 0 5 33 5 33 5 33 5 33 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y ; ; ; . 4 4 4 4 Câu 21. (HSG11 Nghệ An 2018-2019) Giải hệ phương trình 2 2 x x 2x 2 y 1 y 1 x, y R . 3 2 2 2 x 3x 2y 6 2x y 2 0 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn 2 2 x x 2x 2 y 1 y 1 (1) Xét hệ phương trình x, y R . 3 2 2 2 x 3x 2y 6 2x y 2 0 (2) Điều kiện 2x2 y 2 0 . (1) x 1 y x 1 2 1 y2 1 0 x 1 y x 1 y x 1 y x 1 y 0 x 1 y 1 0 2 2 2 2 x 1 1 y 1 x 1 1 y 1  Trang 74 
  20. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 1 y 0 y x 1 x 1 y 1 0 2 2 2 2 x 1 1 y 1 x 1 y 0 (*) x 1 1 y 1 2 Ta có (*) x 1 1 y2 1 x 1 y x 1 x 1 y y 0 nên phương trình (*) vô nghiệm. Thế y x 1 vào phương trình (2) ta được phương trình x3 5x2 4x 4 2x2 x 1 0 3 2 2 2 x 3x 4 2x x 1 2x x 1 0 (3) Đặt a 2x2 x 1 0, phương trình (3) trở thành 3 2 3 2 x a x 3x a 4a 0 x a x 2a 0 x 2a 2 x 0 1 5 1 5 + x a 2x x 1 x 2 x y x x 1 0 2 2 2 x 0 2 4 2 5 4 2 + x 2a 2 2x x 1 x 2 x y 7x 4x 4 0 7 7 1 5 1 5 2 4 2 5 4 2  Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S ; ; ;  2 2 7 7  Câu 22. (HSG12 Quảng Ngãi 2018-2019)Giải hệ phương trình 2x2 y 7 3x 2 x 3xy 5 . x2 4 y2 1 1 4x2 xy Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt ; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt 2x2 y 7 3x 2 x 3xy 5 1 Xét hệ phương trình x2 4 y2 1 1 4x2 xy 2 2 2 x x 3 +) Điều kiện: 3 . * 1 x 3xy 0 y 3 2 1 1 +) Với điều kiện * , từ 2 y 4 y 2 4 . 3 x x  Trang 75 
  21. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 +) Xét hàm số: f t t 2 4 t, t . 3 t 1 f ' t 1 0,t . t 2 4 3 2 1 Suy ra, hàm số f t t 4 t đồng biến trên ; . 3 1 1 1 Mặt khác f t liên tục trên ; . Do đó, từ 3 f y f y . 3 x x 1 +) Thay y vào 1 , ta được: 2x 7 3x 2 x 3 5. 4 x 7 Nhận thấy, x không là nghiệm của 4 , nên 4 có thể viết lại: 2 5 5 3x 2 x 3 3x 2 x 3 0. 2x 7 2x 7 5 2 7 g x 3x 2 x 3 , x ,x Đặt 2x 7 3 2 . 3 1 10 3 x 3 3x 2 10 g' x 2 3x 2 2 x 3 2x 7 2 2 x 3. 3x 2 2x 7 2 6x 29 10 2 7 2 0, x ,x . 2 x 3. 3x 2 3 x 3 3x 2 2x 7 3 2 2 7 7 Suy ra g x đồng biến trên ; và ; . 3 2 2 Mà g 1 g 6 0, nên 4 có hai nghiệm x 1,x 6. 1 +) Vậy nghiệm x; y của hệ phương trình là 1;1 và 6; . 6 Câu 23. (HSG12 tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Giải hệ phương trình y 2 x 2 x y 0 (1) x 1 y 1 y 3 1 x2 y 3x (2) Lời giải Tác giả: Đồng Anh Tú ; Fb: AnhTu x 1 ĐK: y 0 2 x y 3x 0 a x 2 x a2 2 Đặt , (a 1,b 0) , ta được . Khi đó phương trình (1) trở thành 2 b y y b b2 2 a b a2 2 0 ab b a 2 b a 0 b a ab 2 0 a b (do ab 2 0) nên PT (1) x 2 y x 2 y . Thay vào phương trình (2), ta được  Trang 76 
  22. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 1 x 2 1 x 1 1 x2 2x 2 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 1 (3) t 2 Xét hàm số f (t) t 1 1 t 2 trên ¡ , ta có f ' t 1 1 t 2 0,t ¡ , do đó hàm số 1 t 2 f t đồng biến trên ¡ . x 1 Ta có (3) f x 1 f x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 2x 1 x 1 2 x 3 . x 3x 0 Với x 3 y 5, ta thấy x 3, y 5 thỏa mãn điều kiện . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 3;5 . Nhận xét: Ta có thể biến đổi phương trình (1) đi theo hướng khác như sau: y 2 x Từ PT(2), ta có y 3 , nên PT(1) (4) , ta có đặt y 2 a , a 1 thay vào (4), ta y x 2 a x t được , từ đây suy ra x 0 . Xét hàm số g t đồng biến trên 0; , ta a 2 x 2 t 2 được a x hay y x 2 . Câu 24. (HSG12 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 2 3x 1 4 y y2 4 3x 1(1) . 3xy 4x 4 2 x 3(2) Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Nga; Fb: Con Meo Cách 1: y 0 Điều kiện: 1 . x 3 2 1 3x 1 4 3x 1 y2 4 y * . Xét hàm số f t t4 4t t 0; ; từ * ta có f 3x 1 f y . f t 4t3 4 ; f t 0 t 1. Bảng biến thiên  Trang 77 
  23. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số nghịch biến trên 0;1; đồng biến trên 1; . + Nếu 3x 1 và y cùng thuộc 0;1 hoặc 1; thì ta có : 3x 1 y y 3x 1 thay vào 2 ta có : 2 3x 3x 1 4x 4 2 x 3 9x2 x 4 2 x 3 9x2 1 x 3 1 x 3 3x x 3 1 3x 1 0 3x x 3 1 2 x 1 x 1 y 4 3x x 3 1 9x 7x 2 0 2 x 9 (thỏa mãn). + Nếu 3x 1 và y không cùng thuộc 0;1 hoặc 1; thì 3x y 1 3x 1 1 y 1 0 . 0 x y 1 0 . 3x 1 1 y 1 2 Từ 2 3x y 1 x 3 1 0 vô lý. Vậy hệ có nghiệm x; y là 1;4 . Cách 2: y 0 Điều kiện: 1 . x 3 2 1 4 3x 1 4 y 3x 1 y2 . 3x 1 y 3x 1 y 3x 1 y 4. . 3x 1 y 4 3x 1 y 3x 1 y 0 * . 3x 1 y 1 Vì x VP 2 0 3xy 0 x 0 . 3  Trang 78 
  24. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 4 4 2 1 3 Từ 2 y 1. 3 3x 3x x x2 4 3x 1 y 0 . 3x 1 y Từ * 3x 1 y 0 y 3x 1thay vào 2 ta có: 2 9x2 x 4 2 x 3 9x2 x 3 1 . 3x x 3 1 3x x 3 1 . 3x x 3 1 1 x 3 3x 1 0 2 x 1 x 1 y 4 . 9x 7x 2 0 2 x 9 Vậy hệ có nghiệm x; y là 1;4 . Cách 3: y 0 Điều kiện: 1 . x 3 1 Vì y 0; x nên 4x 4 2 x 3 0 3xy 0 x 0 3x 1 1. 3 4 Mặt khác, 3xy 4x 4 2 x 3 4x y y 1. 3 Đặt a y ; b 3x 1 , a ,b 1 . 4 4 2 2 1 a 4a b 4b a b a b a b 4 0 * . a b 2 2 2 Vì a ,b 1 nên 2 2 a b a b 4 . a b 2 Từ * a b hay y 3x 1 y 3x 1. khi đó ta có: 3x 3x 1 4x 4 2 x 3 9x2 x 4 2 x 3 . 2 9x2 1 x 3 . 3x 1 x 3 (vì x 0 ). 1 3x 1 0 x 2 3 . 3x 1 x 3 2 9x 7x 2 0  Trang 79 
  25. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 x 3 x 1 x 1 y 4 . 2 x 9 Vậy hệ có nghiệm x; y là 1;4 . Câu 25. (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 2 2 y 4y 4y x 1 y 5y 4 x 1 x; y R 2 2 2 2 2 x 3x 3 6x 7 y x 1 y 1 3x 2 Lời giải Tác giả: Trần Thị Hà ; Fb: Ha Tran 2 Điều kiện: x 3 Phương trình đầu y3 4y2 4y x 1 y2 5y 4 x 1 y y2 4y 4 x 1 y2 4y 4 y x 1 y y 2 2 y 2 2 x 1 y x 1 x 1 y x 1 y 2 2 x 1 0 y 2 2 x 1 0 1 y x 1 0 2 2 y 2 0 y 2 Giải ( 1): y 2 x 1 0 x 1 0 x 1 (Loai) y2 x 1 Giải ( 2): y x 1 0 y 1 Thế y2 x 1 vào phương trình thứ hai ta được: 2 x2 3x 3 6x 7 x 1 x 1 2 x 3x 2  Trang 80 
  26. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 x2 3x 3 2 3x 2 x 3x 2 x 1 x 1 2 3x 3 0 2 x2 3x 3 1 3x 2 3x 2 x x 1 x2 4 0 2 2 x 3x 2 x2 3x 2 3x 2 x 2 x2 3x 2 0 x2 3x 3 1 x 3x 2 2 2 3x 2 x 3x 2 x 2 0 x2 3x 3 1 x 3x 2 x2 3x 2 0 3 2 3x 2 x 2 0 4 x2 3x 3 1 x 3x 2 x 1 tm Giải (3): x2 3x 2 0 hệ có nghiệm x; y 1; 2 ; 2; 3 x 2 tm 2 3x 2 2 3x 2 Giải (4) : x 2 0 x 2 x2 3x 3 1 x 3x 2 x2 3x 3 1 x 3x 2 2 Ta thấy với mọi x thì VT 4 2 VP 4 do đó phương trình (4) vô nghiệm. 3 Câu 26. (HSG12 Hà Nội năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 2 2 x 3y 2xy 6x 2y 3 0 1 . 2 x y 5 2x y 3 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh Điều kiện: y 3 .  Từ 1 ta có: x2 3y2 2xy 6x 2y 3 0 x2 2 y 3 x y 3 2 2y2 4y 6 0 x y 3 2 2y2 4y 6 0 2y2 4y 6 0 3 y 1 3  Từ 2 ta lại có: x2 y 5 2x y 3 x2 2x y 3 y 3 2 1 y 0 2 x y 3 2 1 y 0 2 1 y 0 y 1 4 Từ 3 và 4 y 1. Thay y 1 vào hệ được x 2 .  Trang 81 
  27. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 2 Vậy hệ có nghiệm là (thỏa mãn điều kiện). y 1 Câu 27. (HSG12 tỉnh QUẢNG NINH 2018-2019) Giải hệ phương trình 1 100x x 2 log 1 2 2 2 y y y 3 xy 2 x 1 y Lời giải Điều kiện x 0 và xy 2 1 100x x 2 Từ phương trình log 1 log100x log y2 y2 x 2 x log x y2 log y2 * y2 y2 y2 1 Xét hàm số f t t logt, t 0 có f ' t 1 0,t 0 nên hàm số đồng biến trên 0; . t ln10 Vậy * f x f y2 x y2 Thay x y2 vào phương trình xy 2 3 x 1 y được y3 2 3 y2 1 y Thấy y 3 là nghiệm nên biến đổi thành y3 2 5 3 y2 1 2 y 3 rồi liên hợp được y3 27 y2 9 y 3 3 2 y 2 5 3 y2 1 2 3 y2 1 4 y2 3y 9 y 3 y 3 1 0 3 2 y 2 5 3 y2 1 2 3 y2 1 4 y2 3y 9 y2 3y 9 y2 3y 9 2y2 6y 18 4y 2 Do 2 2, y 2 2 3 3 y2 y y2 y 10 y2 y 10 y 2 5 y 5 5 2 2 2 2 3 Và 3 y2 1 2 3 y2 1 4 3 y 1 y 1 2 3 y2 1 4 3 y 1 4 y 3,y 3 2 nên y 3 1 1 1 2 2 3 y2 1 2 3 y2 1 4 y2 3y 9 y 3 1 0,y 3 2 3 2 y 2 5 3 y2 1 2 3 y2 1 4 Nên y 3 Vậy hệ só nghiệm duy nhất x; y 9;3 . Câu 28. (HSG10 HÀ NAM 2018-2019) Giải hệ phương trình  Trang 82 
  28. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 3 2 x y 3x 6x 3y 4 0 2 (x 1) y 1 (x 6) y 6 x 5x 12y Lời giải Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ. Điều kiện: y 1. Ta có x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 (x 1)3 3(x 1) y3 3y (1). Xét hàm số f (t) t3 3t , f (t) 3t 2 3 0,t ¡ . Do đó hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Mà phương trình (1) có dạng f (x 1) f (y) nên x 1 y . Do y 1 nên x 2 . Thế x 1 y vào phương trình (x 1) y 1 (x 6) y 6 x2 5x 12y ta có (x 1) x 2 (x 6) x 7 x2 7x 12 (x 1)( x 2 2) (x 6)( x 7 3) x2 2x 8 x 2(TM ) (x 1)(x 2) (x 6)(x 2) (x 2)(x 4) x 1 x 6 . x 2 2 x 7 3 x 4 (*) x 2 2 x 7 3 Giải phương trình (*): x 1 x 6 2(x 2) 2 2(x 6) x 4 (x 2) (x 6) 0 x 2 2 x 7 3 x 2 2 x 2 2 x 7 3 x 2 2 x 7 1 (x 2) (x 6) 0 ( ) x 2 2 x 2 2 x 7 3 Dễ thấy vế trái của phương trình ( ) luôn âm với mọi x 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (2;3) . Bổ sung: Để đánh giá (*) vô nghiệm cũng có thể xét riêng x 1 x 6 7 Trường hợp 1: x 1 VT x x 4 2 2 2 Trường hợp 2: x 1 x 6 1 x 2 VP VT x 4 x 2 2 x 7 3 x 6 x 6 2x x 1 2 0. 3 x 7 3 3 x 2 2 Câu 29. (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 2x y x 2y 1 5 2 x 2y 1 5x 10y 9 Lời giải Tác giả:Nguyễn Dương Long ; Fb:Long Nguyễn 2x y 0 Điều kiện x 2y 1 0  Trang 83 
  29. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 2x y x 2y 1 5 Ta có hệ phương trình đã cho 2 x 2y 1 5x 10y 9 Đặt u 2x y, u 0 và v x 2y 1, v 0 2x y u2 2x y u2 Suy ra 2 2 x 2y 1 v x 2y v 1 2m n 5 m 4 Ta có 5x 10y m 2x y n x 2y , suy ra m 2n 10 n 3 Vậy 5x 10y 4 2x y 3 x 2y 4u2 3 v2 1 . Vậy ta có hệ phương trình u 1 v 2 3u v 5 v 5 3u v 5 3u 73 2 2 2 2 2 u Trường 2v 4u 3v 3 9 4u 3v 2v 12 0 23u 96u 73 0 23 104 v 23 u 1 2x y 1 x 1 hợp 1: (thỏa mãn điều kiện) v 2 x 2y 3 y 1 73 u 23 Trường hợp 2: ( không thỏa mãn điều kiện v 0 ) 104 v 23 x 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm . y 1 Câu 30. (HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 2 3 x 3x 4x 2 y y . 4x 6 x 1 7 4x 1 y Lời giải Tác giả: Quốc Vương; Fb: Quốc Vương 3 2 3 x 3x 4x 2 y y 1 b) Giải hệ phương trình . 4x 6 x 1 7 4x 1 y 2 3 Phương trình 1 x 1 x 1 y3 y x 1 y x 1 2 x 1 y y2 1 0 2 2 2 2 y 3y y x 1 (vì x 1 x 1 y y 1 x 1 1 0 x, y ). 2 4 Thay y x 1 vào phương trình 2 , ta được: 4x 6 x 1 7 4x 1 x 1  Trang 84 
  30. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 1 3 x 1 x 2 2 2 x 2 y 3 . x 1 3 4x x 1 3 2x 2 x 1 2x 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm: x; y 2;3 . Câu 31. (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình x 1 y 1 4 x 5y x, y ¡ 2 x y 2 5 2x y 1 3x 2 Lời giải Tác giả:Nguyễn Thu Hằng ; Fb: Nguyễn Thu Hằng 2 x 3 Điều kiện: y 1 4 x 5y 0 2x y 1 0 Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có: x 1 y 1 4 x 5y x y 2 2 x 1 y 1 4 x 5y 2x 4y 2 2 x 1 y 1 0 x 2y 1 x 1 y 1 0 x 1 x 1 y 1 2 y 1 0 x 1 y 1 x 1 2 y 1 0 x 1 y 1 x y Thay x y vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình: x2 x 2 5 x 1 3x 2 x2 x 1 x 2 5x 5 x 1 3x 2 0 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 0 x 2 5x 5 x 1 3x 2 2 1 1 x x 1 1 0 x 2 5x 5 x 1 3x 2 1 5 1 5 x TM y TM 2 2 2 x x 1 0 1 5 1 5 x TM y TM 2 2 1 1 2 Vì 1 0, x x 2 5x 5 x 1 3x 2 3 1 5 1 5 1 5 1 5  Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S ; ; ;  . 2 2 2 2   Trang 85 
  31. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 32. (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải hệ phương trình x 1 y 1 4 x 5y x, y ¡ . 2 x y 2 5 2x y 1 3x 2 Lời giải 2 x , y 1 3 4 x 5y 0 Điều kiện : . 2x y 1 0 Từ phương trình (1 )ta có : x 1 y 1 4 x 5y x y 2 2 x 1 y 1 4 x 5y x 2y 1 x 1 y 1 0 x 1 x 1 y 1 2 y 1 0 x 1 y 1 x 1 2 y 1 0 x 1 y 1 x y . Thay x y vào phương trình (2) ta có phương trình : x2 x 2 5x 5 3x 2 x2 x 1 x 2 5x 5 x 1 3x 2 0 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 0 5x 5 x 2 3x 2 x 1 2 1 1 x x 1 1 0 5x 5 x 1 3x 2 x 2 1 5 1 5 x y 2 2 2 x x 1 0 1 5 1 5 x y 2 2 1 1 2 Vì 1 0 , x . 5x 5 x 1 3x 2 x 2 3 1 5 1 5 1 5 1 5  Đối chiều điều kiện ta có nghiệm của hệ : x, y ; ; ;  . 2 2 2 2  Câu 33. (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 x y 3 2x y 2y 15x 10 0 x; y ¡ 2 y 3 x 2x 2 Lời giải x 3 Điều kiện: . y 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x 2 3 3 x 2 y 1 3 3 y 1 1  Trang 86 
  32. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Xét hàm số f (t) t3 3t, t ¡ . Khi đó ta có f ' t 3t 2 3 0,t ¡ . Do đó f (t) là hàm đồng biến trên ¡ . Nên phương trình 1 trở thành f x 2 f y 1 x 2 y 1 y x 1. Thay y x 1 vào phương trình thứ hai ta được: 2 3 x 2x 2 3 x x 1 x 1 x 1 2 x 2 x 2 . 3 x x 2x 1 x 1 Với x 2 thì y 1 (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 2;1 . Câu 34. (HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 3 2 x y 3x 4x y 2 0 x, y ¡ 3 2 2x y 5 3 x y x 3x 10y 10 Lời giải 2x y 5 0 a) Điều kiện 3 x y 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương: x 1 3 x 1 y3 y x y 1 x 1 2 y x 1 y2 1 0 y x 1 Thay y x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình: 3x 4 4 2x x3 3x2 10x 5x x x 5 x 2 3x 4 4 2x x 0 x 5 x 2 3x 4 4 2x 5 * Với x 0 y 1. 4 Do x 2 nên VT * 0 nên phương trình * vô nghiệm. 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y là 0; 1 . Câu 35. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Giải hệ phương trình  Trang 87 
  33. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 x y 1 2 xy x y 1 x, y ¡ . 3 2 x 3y 5x 12 12 y 3 x 2 Lời giải Tác giả: Lưu Trung Tín; Fb: Lưu Trung Tín Điều kiện: x 3 . 1 x y 1 2 0 y x 1. Thay y x 1 vào 2 ta được phương trình x3 3x2 11x 9 11 x 3 x 3 . 3 2 3 x3 3x2 8x 3 x 3 3 x 8 3 x 2 x 3 x x2 x 3 x 3 x 3x 3 3 x 8 0 1 2 2 x 3 x x 3 x 3 x2 3 x 7 0 2 x 3 x 0 3 x x x 0 2 3 x x 1 13 x . 2 1 13 1 13 Thử lại, ta nhận nghiệm x , suy ra y . 2 2 1 13 1 13  Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S ;  . 2 2  Câu 36. (HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Giải hệ phương trình: 2 2 8xy x y 16 x y . 2 2x 5x 2 x y 3x 2 0 Lời giải Tác giả: Phùng Hằng - Đỗ Quốc Trưởng ; Fb: Phùng Hằng - Đỗ Quốc Trưởng x y 0 x y 0 Điều kiện: 2 . 3x 2 0 x 3 2 2 8xy x y 16 1 Ta có: x y . 2 2x 5x 2 x y 3x 2 0 2 2 8xy 4 Với điều kiện xác định: 1 x y 2xy 16 x y 4 x y 4 2xy 1 0 . x y x y  Trang 88 
  34. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x y 4 2xy x y 4 x y 4 2xy 0 x y 4 x y 4 0 . x y x y x y 4 0 x y 4 2xy . 2 2 x y 4 0 x y 4 x y 0 x y +) TH1: x y 4 thay vào 2 ta được: 2 2x2 5x 4 3x 2 0 2x2 x 2 3x 2 3x 2 . x2 3x 2 2 x2 3x 2 x 3x 2 0 2 x2 3x 2 0 . x 3x 2 x2 3x 2 0 2 1 x 3x 2 2 0 1 . x 3x 2 2 0 VN x 3x 2 x 1 y 3 . x 2 y 2 2 +) TH2: x2 y2 4 x y 0 vô nghiệm vì x y 0 và x nên x2 y2 4 x y 0 . 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1;3 và 2;2 . Câu 37. (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Giải hệ phương trình ì 2 2 ï x + 4+ x + 8x + 17 = y + y + 1 íï . ï îï x + y + y + 21+ 1= 2 4y - 3x Lời giải ì 2 2 ï x + 4+ x + 8x + 17 = y + y + 1 (1) íï ï îï x + y + y + 21+ 1= 2 4y - 3x (2) Điều kiện: y ³ 0 . (1)Û (x- y + 4) + x2 + 8x + 17 - y2 + 1 = 0 (x + 4)2 - y2 Û (x- y + 4)+ = 0 x2 + 8x + 17 + y2 + 1 (x + 4+ y)(x + 4- y) Û (x- y + 4)+ = 0 x2 + 8x + 17 + y2 + 1 (x + 4+ y) Û (x- y + 4)(1+ ) = 0 x2 + 8x + 17 + y2 + 1 Û y = x + 4  Trang 89 
  35. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 (x + 4+ y) (x + 4) + 1+ (x + 4)+ y2 + 1+ y Vì: 1+ = > 0" x, y Î ¡ . x2 + 8x + 17 + y2 + 1 x2 + 8x + 17 + y2 + 1 Thay y = x+ 4 vào 2 ta đuợc : (2)Û x + x + 4 + x + 25 + 1= 2 x + 16 Û ( x + 4 - 2)+ ( x + 25 - 5)+ (x + 8- 2 x + 16 = 0) æ ö ç 1 1 x + 12 ÷ Û xç + + ÷= 0 èç x + 4 + 2 x + 25 + 5 x + 8+ 2 x + 16 ø÷ éx = 0 Þ y = 4 ê Û ê 1 1 x + 12 ê + + = 0(vn) . ëê x + 4 + 2 x + 25 + 5 x + 8+ 2 x + 16 Câu 38. (HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau y 1 log4 x 1 y 1 16 x 1 y 1 . 2 2 4x 7xy 3x y 99 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb:Chuc Nguyen Ta có y 1 log4 x 1 y 1 16 x 1 y 1 16 log x 1 log y 1 x 1 (vì x, y dương) 4 4 y 1 16 log x 1 x 1 2 log y 1 4 y 1 4 16 16 log x 1 x 1 2 log 2 1 . 4 4 y 1 y 1 Xét hàm số f t t log4 t 2 liên tục trên 0; . 1 Ta có f ' t 1 0 t 0 . t ln 4 Suy ra hàm số y f t liên tục và đồng biến trên 0; . 16 Phương trình 1 có dạng f x 1 f y 1 16 x 1 x 1 y 1 16 xy x y 15 y 1 2x y x y 1 15 2 . Ta có 4x2 7xy 3x y2 99 2x y 2 3x y 1 99 3 .  Trang 90 
  36. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Từ 2 , 3 ta có hệ phương trình 2 2x y x y 1 15 2x y 3 2x y 54 2 2x y 3x y 1 99 2x y x y 1 15 2x y 9 2x y 9 2x y 6 (vì x, y dương nên 2x y 0 ) x y 1 6 2x y x y 1 15 x 1 x 8 2x 6 y 7 (thỏa mãn điều kiện x, y 0 ). y 9 2x x 3 y 3 Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S 1;7 ; 3;3 . Câu 39. (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019)Giải hệ phương trình 2 2 2 xy x y 1 x y 1 . 2 2 2 2 x y y 1 x 1 x y x 2 Lời giải Điều kiện xy 0 . Ta có x2 1 x 0 , x ¡ nên y 0 không thõa mãn 2 . Do vậy y 0 . Suy ra x 0 không thõa mãn 1 . Nếu x, y cùng âm thì 1 vô lí. Do đó x, y cùng dương. 1 1 1 1 Khi đó 2 x2 1 x y y2 1 1 1 y y2 1 y 3 . x2 x x2 x Xét hàm số f t t 1 t 2 t trên khoảng 0; . t 2 Ta có f ' t t 2 1 1 0, t 0 . Suy ra hàm số f t đồng biến trên 0; . t 2 1 1 1 Khi đó 3 f f y y xy 1. x x Thay xy 1 vào 1 ta được: 2 x y 1 x2 y2 x 1 2 y 1 2 0 x y 1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1;1 . Câu 40. (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Giải hệ phương trình  Trang 91 
  37. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 4 x2 8x 17 y y2 1 . x y y 21 1 2 4y 3x Lời giải 2 2 x 4 x 8x 17 y y 1 1 x y y 21 1 2 4y 3x 2 Điều kiện: y 0, 4 y 3x 0 . x 4 2 y2 1 x y 4 x2 8x 17 y2 1 0 x y 4 0 x2 8x 17 y2 1 x 4 y x 4 y x 4 y x y 4 0 x y 4 1 0 2 2 2 2 x 8x 17 y 1 x 8x 17 y 1 y x 4 . 2 x 4 y x 4 1 x 4 y2 1 y (Vì: 1 0 x, y ) x2 8x 17 y2 1 x2 8x 17 y2 1 Thay y x 4 vào (2) ta được: 2 x x 4 x 25 1 2 x 16 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 0 1 1 x 12 x 0 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 x 0 y 4 ( t/m) 1 1 x 12 . 0 3 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 Do x 4 y 0 x 4 x 8 0 nên (3) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 0;4 . Chú ý: Ta có thể giải (1) như sau: 1 x 4 x 4 1 y y2 1 t t 2 1 t Xét hàm số f t t t 2 1 có f t 1 0,t ¡ . t 2 1 t 2 1 Do đó f t đồng biến trên ¡ nên 1 f x 4 f y x 4 y . Câu 41. (HSG12 YÊN LẠC 2 năm 2018-2019) Giải hệ phương trình 3x2 2x 5 2x x2 1 2 y 1 y2 2y 2 x, y ¡ 2 2 x 2y 2x 4y 3  Trang 92 
  38. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải 3x2 2x 5 2x x2 1 2 y 1 y2 2y 2 1 Hệ đã cho trở thành 2 2 x 2y 2x 4y 3 0 2 3x2 2x 5 2x x2 1 2 y 1 y2 2y 2 x2 2y2 2x 4y 3 x2 x x2 1 y 1 2 y 1 y 1 2 1 * Xét f t t 2 t t 2 1 t ¡ 2 t 2 t 2 1 2t t 2 1 t 2 t 1 t f t 2t t 2 1 0 t 2 1 t 2 1 t 2 1 Do t 2 1 | t | t Suy ra f t là hàm số đồng biến trên ¡ . Do đó từ phương trình (*) ta có: x y 1 thế vào phương trình (2) ta được: y 1 2 2y2 2 y 1 4y 3 0 2 y 3y2 4y 4 0 3 y 2 +) Với y 2 . Suy ra x 1 2 5 +) Với y . Suy ra x 3 3 5 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là: 1; 2 ; ; . 3 3 Câu 42. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019)Giải hệ phương trình 2 2 x y 2y 6 2 2y 3 0 x, y ¡ 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 Lời giải Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc; Fb: Nguyen Phuc 3 Điều kiện: y 2 Phương trình thứ hai của hệ x3 y3 3(x y) 3x2 3y2 2 x 1 3 y 1 3 y x 2 . Thay y x 2 vào phương trình đầu của hệ ta được x 2 x 2 2 2 x 2 6 2 2 x 2 3 0  Trang 93 
  39. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2x2 6x 2 2 2x 1 0 (*) 1 1 x2 x 2x 1 2x 1 4 4 1 1 x 2x 1 2 2 1 1 x 2x 1 2 2 x 2x 1 (a) 1 x 2x 1 (b) x 0 (a) (a) x 1 Giải : 2 . x 2x 1 0 x 1 (b) (b) x 2 2 Giải : 2 . x 4x 2 0 x 1 x 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm và . y 1 y 2 Chú ý: Có thể giải phương trình (*) bằng cách khác như sau: (*) x2 3x 1 2x 1 2 x2 3x 1 2x 1 x4 6x3 11x2 8x 2 0 x 1 2 x2 4x 2 0 x 1 x 2 2 x 2 2 Thử lại, ta thấy x 1; x 2 2 thỏa mãn phương trình (*). Câu 43. (HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Giải hệ phương trình: ïì x2 + x3 y - xy2 + xy - y = 1 íï ï 4 2 îï x + y - xy(2x- 1)= 1 Lời giải ì 2 2 ì 2 3 2 ï (x - y)+ xy(x - y)+ xy = 1 ï x + x y - xy + xy - y = 1 (1) ï + Ta có: í 4 2 (*) Û í 2 ï x + y - xy(2x- 1)= 1 (2) ï x2 - y + xy = 1 îï îï ( ) ì 2 ï a = x - y ïì a + ab + b = 1 + Đặt í . Hệ trở thành í 2 ( ) îï b = xy îï a + b = 1  Trang 94 
  40. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 ïì 3 2 ì 2 ï a + a - 2a = 0 ï a(a + a- 2)= 0 + Hệ ( ) Û íï Û í ï b = 1- a2 ï 2 îï îï b = 1- a Từ đó ta tìm ra (a; b)Î {(0; 1);(1; 0);(- 2;- 3)} ïì x2 - y = 0  Với (a; b)= (0; 1) ta có hệ íï Û x = y = 1 îï xy = 1 ïì x2 - y = 1  Với (a; b)= (1; 0) ta có hệ íï Û (x; y)= (0;- 1);(1; 0);(- 1; 0) îï xy = 0  Với (a; b)= (- 2;- 3) ta có hệ ïì ïì ïì 3 ï 2 ï 3 ï x - y = - 2 ï y = - ï y = - íï Û íï x Û íï x Û x = - 1; y = 3. ï xy = - 3 ï 3 ï 2 ï ï x + 2x + 3 = 0 ï (x + 1)(x - x + 3)= 0 îï îï îï Vậy hệ có 5 nghiệm (x; y)Î {(1; 1);(0;- 1);(1; 0):(- 1; 0);(- 1; 3)}. Câu 44. (HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 2 2 x x y y 2x 1 0 1 2 x x 2 3y 2 2y 2 Lời giải Tác giả: Trịnh Văn Điệp; Fb: Trịnh Văn Điệp 2 Điều kiện: x 0 , y . 3 1 x3 x2 y x2 x2 xy x xy x 1 y2 0 . x2 x y 1 x x y 1 x y 1 y 1 y 1 0 . x2 x y 1 x x y 1 y 1 x y 1 0 . x y 1 x2 x y 1 0. x y 1 2 . x x y 1 0 +) Với x y 1 thay vào 2 ta được: y 1 y 3 3y 2 2y2 3y 2 y 1 2y2 y 3 0 . 3 5 y x 2y 3 2 2 2y 3 y 1 0 1 3y 2 y 1 y 1 * 3y 2 y 1 1 2 Phương trình * vô nghiệm vì 1 và y 1 1, y . 3y 2 y 1 3  Trang 95 
  41. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 5 3 Trường hợp này có nghiệm ; . 2 2 +) Với x2 x y 1 0 1 x x2 y , vì x 0 1 x x2 1 y 1. 2 Kết hợp với điều kiện ta được y 1. 3 2 3x2 3x 1 0 3 21 Ta có x2 x 1 y x2 x 1 1 0 x 0,3 2 3 x x 0 6 3 21 7 Xét vế trái của 2 : f x x x 2 với 0 x f x 2 . 6 4 2 Xét vế phải ta có f y 3y 2 2y2 với y 1. 3 3 3 Ta có f y 4y 0 8y 3y 2 3 192y3 128y 9 0 y 2 3y 2 4 5 Suy ra 1 f y nên phương trình vô nghiệm. 8 5 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; . 2 2 Câu 45. (HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019)Giải hệ phương trình y3 x 5 2 x 1 3y2 1 2 x2 2x 4 x2 6x 12 y2 3 x2 2x 4 5 x2 6x 12 8 2 Lời giải ĐK: x 2 Ta thấy với y 0 phương trình 1 vô nghiệm. Với y 0 ta có 1 3 1 y3 x 5 2 x 1 3y2 x 5 2 x y3 y 3 1 3 3 1 3 x 2 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 3 y y y y 1 1 2 x y2 3 (vì hàm số f t t3 3t có f t 3t 2 3 0,t 0; ) y 2 x Thế 3 vào 2 ta có 1 2 x2 2x 4 x2 6x 12 3 x2 2x 4 5 x2 6x 12 8 2 x 2 x 2 x2 2x 4 x2 6x 12 3 x2 2x 4 5 x2 6x 12 8  Trang 96 
  42. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 x x2 2x 4 2 x x2 6x 12 3 x2 2x 4 5 x2 6x 12 2x 4 0 x 2 x2 2x 4 x 2 x2 6x 12 x2 2x 4 x2 6x 12 2 x 2 0 4x 8 x 2 x2 2x 4 x 2 x2 6x 12 2 x 2 0 x2 2x 4 x2 6x 12 2 2 4 x 2 x 2x 4 x 6x 12 2 0 x2 2x 4 x2 6x 12 x 2 1 x2 2x 4 x2 6x 12 2 0 PTVN x2 2x 4 x2 6x 12 1 Với x 2 ta có y (thỏa điều kiện đề bài). 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2; . 2 Câu 46. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải hệ phương trình 2 2 x y x y 2xy x y . 2 x 11x 6 2 9x 5 x y Lời giải Tác giả: Lê Văn Quý; Fb: Lê Văn Quý 5 x Điều kiện: 9 . x y 0 Phương trình đầu x2 y2 x y 2xy x y 2 x y 2xy x y 2xy x y x y 3 x y 2xy x y 2xy 0 2 x y x y 1 2xy x y 1 0 2 x y 1 x y x y 2xy 0 x y 1 x2 y2 x y 0 . 5 Từ đó tìm được y 1 x (do x y 0 và x ) 9 2 Thay y 1 x vào phương trình thứ 2 của hệ ta được: x 11x 5 2 9x 5 0 x2 2x 1 9x 5 2 9x 5 1 2 2 13 133 11 133 x 1 9x 5 1 x y . 2 2  Trang 97 
  43. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 47. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải hệ phương trình 3 2 2 3 7x 3(y 4)x 3(2 y )x y 1 . 2 2 y 4 9x x 4 Lời giải Tác giả: Lê Văn Quý; Fb: Lê Văn Quý Điều kiện y 4. Phương trình đầu của hệ 7x3 3(y 4)x2 3(2 y2 )x y3 1 x3 y3 3x2 y 3xy2 8x3 12x2 6x 1 (x y)3 (2x 1)3 x y 2x 1 y x 1. Thay y x 1vào phương trình thứ hai của hệ ta được 2 x 3 9x2 x 4 x 1 y 0 2 2 x 3 1 3x 1 3 x 9x 5 97 23 97 . x 3 1 3x x y 18 18 Câu 48. (HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 y y 2y 1 ln x 1 x ln y 1 y . 3 2 x x y y 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Trường An; Fb: Trường An Nguyễn 3 2 2 2 y y 2y 1 ln x 1 x ln y 1 y 1 3 2 x x y y 1 2 Cộng vế 1 và 2 ta có: y3 y ln x2 1 x ln y2 1 y x3 x y3 y ln y2 1 y x3 x ln x2 1 x y3 y ln y2 1 y x3 x ln x2 1 x 3 (do y2 1 y y2 1 y 1 nên ln y2 1 y ln y2 1 y ) Xét hàm số f t t3 t ln t 2 1 t trên ¡ . t 1 2 1 f t 3t 2 1 t 1 3t 2 1 t 2 1 t t 2 1  Trang 98 
  44. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 t f t 6t 3 t 2 1 t 0 f t 0 3 6 t 2 1 1 3 3 (phương trình 6 t 2 1 1 vô nghiệm vì 6 t 2 1 6 1,t ¡ ) Bảng biến thiên: t 0 f t 0 f t 0 Từ bảng biến thiên ta có f t 0,t ¡ Hàm số f t đồng biến trên ¡ . Ta có: 3 f x f y y x . Thay y x vào 2 ta có: x3 x x2 x 1 x3 x2 2x 1 0 4 3 2 1 1 1 1 Đặt t x . Phương trình 4 trở thành: t t 2 t 1 0 3 3 3 3 7 7 t3 t 0 5 . 3 27 2 7 3t 3t 2 7 cos Với t thì 1, do đó tồn tại 0;  sao cho cos hay t 3 2 7 2 7 3 2 7 cos Thay t vào 5 ta có: 3 56 7 14 7 7 cos3 cos 0 27 9 27 56 7 cos3 3cos 14 7 7 7 . cos 0 cos3 27 4 9 27 14 1 7 k2 arccos 3 14 3 k ¢ 1 7 k2 arccos 3 14 3 Do 0;  nên suy ra  Trang 99 
  45. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 7 arccos 14 2 7 1 7 1 x y cos arccos 3 3 3 14 3 7 arccos 14 2 2 7 1 7 2 1 x y cos arccos 3 3 3 3 14 3 3 7 arccos 14 2 2 7 1 7 2 1 x y cos arccos 3 3 3 3 14 3 3 2 7 (Phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên ta không cần xét trường hợp t ) 3  Trang 100 