Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 4: Bất phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 4: Bất phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 4 Bất phương trình mx3 mx2 Câu 1. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số f x 3 m x 2 . Tìm 3 2 tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để f x 0 với mọi x . 12 12 12 12 A. 0; . B. 0; . C. 0; . D. 0; . 5 5 5 5 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn D mx3 mx2 Ta có f x 3 m x 2 . 3 2 Hàm số có tập xác định: D ¡ . f x mx2 mx 3 m . TH1: m 0 f x 3 0 (thỏa). TH2: m 0 2 a m 0 m 0 f x 0 , x mx mx 3 m 0, x m2 4m m 3 0 5m2 12m 0 m 0 m 0 12 12 0 m . 5m 12 0 m 5 5 12 Vậy m 0; . 5 Câu 2. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số thực m để x2 mx 1 2 x ¡ là đoạn a;b . Tính S a.b x2 2x 3 A. S 12 . B. S 2 .C. S 8.D. S 12 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Anh; Fb: Anh Nguyễn Chọn A x2 mx 1 Ta có: 2 x ¡ x2 2x 3 x2 mx 1 2 x2 2x 3 x2 4 m x 7 0 x ¡ 4 m 2 28 0 m2 8m 12 0 4 2 7 m 4 2 7 Do đó : 4 2 7 m 4 2 7 hay a 4 2 7;b 4 2 7 . Vậy S a.b 12 . Câu 3. (HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019)Tìm tất cả giá trị của tham số m để  Trang 46 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x2 4x 4 2 2 với mọi giá trị x ¡ . x 2(m 1)x 16 Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Thư; Fb: nguyen minh thu x2 4x 4 Để 2 2 với mọi giá trị x ¡ trước hết cần điều kiện: x 2(m 1)x 16 x2 2(m 1)x 16 0,x ¡ ' 0 (m 1)2 16 0 3 m 5 (1) Khi đó x2 2(m 1)x 16 0,x ¡ nên 2 2 yêu cầu bài toán x 4x 4 2x 4(m 1)x 32 với mọi giá trị x ¡ x2 4(m 2)x 36 0 với mọi giá trị x ¡ ' 0 4(m 2)2 36 0 1 m 5 (2) . Từ (1) và (2) suy ra 1 m 5 là tất cả giá trị cần tìm. Câu 4. (HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Tìm m để bất phương trình x2 4x m 2 3 nghiệm đúng x ¡ ? x2 2x 3 Lời giải Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu 2 +/ Ta có x2 2x 3 x 1 2 0 x ¡ nên : x2 4x m 2x2 4x 6 x2 4x m 3x2 8x m 6 0 (1) 2 3 . 2 2 2 2 x 2x 3 x 4x m 3x 6x 9 2x 2x 9 m 0 ( 2) +/ Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để mỗi bất phương trình 1 và 2 nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . 2 Ta thấy : 1 nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ 42 3 m 6 0 m . 1 3 17 2 nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ 12 2 9 m 0 m . 2 2 2 17 Vậy m ; . 3 2 Câu 5. (HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho bất phương trình x2 2x 2 2m 1 2x2 4x , m là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m  5;50 để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định của nó. Lời giải Tác giả: Trần Thị Kim Thu ; Fb: Thu Tran Bất phương trình x2 2x 2 2m 1 2x2 4x 1 xác định x ¡ . Ta được 1 2 x2 2x 2 x2 2x 2 2m 5  Trang 47 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Đặt t x2 2x 2 x 1 2 1 1. Ta được g t 2t 2 t 2m 5 2 . Bảng biến thiên của g t : Do đó, 1 nghiệm đúng với mọi x ¡ khi và chỉ khi 2 nghiệm đúng với mọi t 1; 2m 5 min g t 1; 2m 5 g 1 3 (Vì g t đồng biến trên 1; ). m 1 Kết hợp với điều kiện m nguyên và m  5;50 nên có 5 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán là 5; 4; 3; 2; 1. Vậy, tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m là 15 . Câu 6. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Biết m a;b thì bất phương trình x2 2mx 2m 3 0 có tập nghiệm chứa  1;4. Tính S a 6b . 13 A. S 17 . B. S 3. C. S . D. S 20 . 6 Lời giải Tác giả:Phạm Thị Phương; Fb:Phương Phạm Chọn A Xét f (x) x2 2mx 2m 3 có ' m2 2m 3 +) TH1: ' 0 1 m 3 : Bất phương trình f (x) 0 có tập nghiệm là ¡ ( thỏa mãn yêu cầu bài toán) ' m 1 +) TH2: 0 : Khi đó f (x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 x2 ) , bất phương trình m 3 f (x) 0 có tập nghiệm là S ( ; x1  x2 ; ) 4 x1 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:  1;4  S x2 1 f (4) 0 x x 6m 9 0 1 2 4 2 m 4 m  f ( 1) 0 4m 4 0 x1 x2 m 1 1 2 Vậy bất phương trình x2 2mx 2m 3 0 có tập nghiệm chứa  1;4 khi 1 m 3  Trang 48 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Suy ra S 17 Câu 7. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ: x 1 Bất phương trình f x m có nghiệm thuộc nữa đoạn  1; khi và chỉ khi: 2 1 A. m f 1 . B. m f 1 2 . 2 C. m f 1 2 . D. m f 1 2 Lời giải Tác giả: Phan Tự Mạnh ; Fb: Phan Tự Mạnh Chọn C x x 1 1 Ta có f x m m f x 2 2 x 1 Xét hàm số g x f x trên  1; 2 x ' ' 1 1 Có g x f x .ln 0 x  1; (Dựa vào đồ thị) 2 2 Bảng biến thiên Yêu cầu bài toán m g 1 m f 1 2 Câu 8. (HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Giải bất phương trình 3x 2x x2 3 2 1 x4 .  Trang 49 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hường; Fb: Nguyen Huong 3x 2x x2 3 2 1 x4 6x2 3x x2 3 2 2x4 2x2 x2 3 3x x2 3 2 0 x x2 3 2 2x x2 3 1 0 x x2 3 2 1 1 x x2 3 2 2 Giải 1 : x 0 x 0 1 2 2 4 2 x x 3 4 x 3x 4 0 x 0 2 2 x 1 x 1 x 4 0 Giải 2 : x 0 x 0 2 1 1 x2 x2 3 x4 3x2 0 4 4 x 0 2 3 10 2 3 10 x x 0 2 2 3 10 x 2 3 10 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S ; 1; 2 Câu 9. (HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Giải bất phương trình sau: x2 4x 2x2 5x 3 0 . Lời giải Tác giả:Thu Hương; Fb: HươngMùa Thu x2 4x 2x2 5x 3 0 * x 3 2 ĐKXĐ: 2x 5x 3 0 1 x 2  Trang 50 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 4 x2 4x 0 x 0 * x 3 2x2 5x 3 0 1 x 2 1 So sánh điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S ; 4 ;  3 . 2 Câu 10. (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải bất phương trình ( x 3 x 1)(1 x2 2x 3) 4 . Lời giải Tác giả: Hồ Xuân Dũng ; Fb:Dũng Hồ Xuân Giải bất phương trình ( x 3 x 1)(1 x2 2x 3) 4 ( ) Điều kiện: x 1. Suy ra: x 3 x 1 0. 4 (1 x2 2x 3) ( ) 4 1 x2 2x 3 x 3 x 1 . x 3 x 1 1 x2 2x 3 2 x2 2x 3 x 3 x 1 2 (x 3)(x 1) . x2 4 0 x 2 hoặc x 2. Kết luận: Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S 2;  Câu 11. (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) G1ả1 bất phương trình ( x 3 x 1)(1 x2 2x 3) 4 . Lờ1 g1ả1 Xét bất phương trình ( x 3 x 1)(1 x2 2x 3) 4 1 . Đ1ều k1ện x 1 (2). Nhận thấy x 3 x 1 0,x 1. Do đó, vớ1 mọ1 x thỏa mãn (2) ta có 4(1 x2 2x 3) 1 4 x 3 x 1 1 x2 2x 3 x 3 x 1 1 x2 2x 3 2 x2 2x 3 x 3 x 1 2 (x 3)(x 1) 2 x 2 x 4 0 . x 2 Kết hợp vớ1 đ1ều k1ện (2) suy ra tập ngh1ệm của bất phương trình (1) là S 2;  Câu 12. (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải bất phương trình ( x 3 x 1)(1 x2 2x 3) 4 . Lời giải Điều kiện:  Trang 51 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 3 0 x 3 0 x 1 0 x 1 * x 1 0 2 x 2x 3 0 2 2 Để ý thấy rằng x 3 x 1 4 với mọi x 1 nên bất phương trình viết lại là: 2 2 x 3 x 1 . 1 x2 2x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 . 1 x2 2x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 1 Vì x 3 x 1 0 với mọi x 1 nên x 3 x 1 0 với mọi x 1. Do đó 1 1 x2 2x 3 x 3 x 1 1 x 3 x2 2x 3 x 1 0 1 x 3 x 1. 1 x 3 0 1 x 3 1 x 1 0 2 Lại có x 1 x 3 2 1 x 3 1 0 . Khi đó 2 1 x 1 0 x 1 1 x 2 . Kết hợp * ta được tập nghiệm của bất phương trình là S 2; . Câu 13. (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Giải bất phương trình 2x 5 x2 x 25 x2 5x 6 0. Lời giải Tác giả:Nguyễn Dương Long ; Fb: Long Nguyễn 2 x 3 Điều kiện x 5x 6 0 x 2 Trường hợp 1: Nếu x 3 hoặc x 2 thì bất phương trình nghiệm đúng (*) x 3 Trường hợp 2: Nếu x 2 2 2 Bất phương trình đã cho 2x 5 x x 25 0 x x 25 2x 5 (1) 5 x 2 2x 5 0 5 19 Bất phương trình (1) 2x 5 0 x x . 2 2 3 x2 x 25 2x 5 19 0 x 3 19 x 3 3 x Kết hợp với điều kiện của trường hợp 2 có 3 ( ) x 2 x 2  Trang 52 
8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 19 Từ (*) và ( ) ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ( ;2] 3; 3 Câu 14. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải bất phương trình: x 1 x 4 5 x2 5x 28 x ¡ . Lời giải Tác giả: Mai Vĩnh Phú; Fb: Mai Vĩnh Phú Vì x2 5x 28 0,x ¡ nên tập xác định của bất phương trình đã cho là ¡ . Ta có x 1 x 4 5 x2 5x 28 x2 5x 4 5 x2 5x 28 x2 5x 28 24 5 x2 5x 28 * Đặt a x2 5x 28,a 0 a2 x2 5x 28 . Bất phương trình * trở thành a2 24 5a a2 5a 24 0 3 a 8 kết hợp với a 0 suy ra 0 a 8 0 x2 5x 28 8 x2 5x 28 64 x2 5x 36 0 9 x 4 . Vậy tập nghiệm bất phương trình là S  9;4 . Câu 15. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Bất phương trình 2 32x 34x 4 34x 7 32x 2 2x 2 32x 2 32x 3 4 34x 2 32x có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 2. C. Vô số. D. 1. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb: Uyen Nguyen Chọn D 2 32x 0 4x Điều kiện: 4 3 0 . 4x 2x 4 3 2 3 0 a2 b2 2.32x 0 2x a 2 3 2 2 Đặt , a 2 , 0 b 2 . Khi đó a b 4 . 2x b 2 3 4x ab 4 3 a 4 a2b2 ab 7 b2 Bất phương trình trở thành: a b a2 b2 ab b2 2 2 2 2 2 a 2 a b ab 3 b a b 2 a b ab 3 0 a b a2 b2 a b a b a2 b2 a b 2 2 a2b2 ab 3 0 2a2b2 4ab 6 a2 b2 0  Trang 53 
9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2a2b2 4ab 2 0 2 ab 1 2 0 ab 1. 1 Với ab 1 4 34x 1 34x 3 x (tmđk). 4 1 Vậy bất phương trình có 1 nghiệm x . 4 Câu 16. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Bất phương trình x2 4 x 3 có nghiệm 13 13 A. x 3 . B. x . C. 3 x 2. D. 3 x . 6 6 Lời giải Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc Chọn B Bất phương trình đã cho tương đương x 3 x 3 0 x 2 x2 4 0 x 3 x 2 13 13 x . x 3 0 x 3 3 x 6 6 2 2 x 4 x 3 13 x 6 Câu 17. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải bất phương trình 1 x 1 x x . Lời giải Tác giả: Mai Vĩnh Phú ; Fb: Mai Vĩnh Phú Điều kiện: 1 x 1. Khi đó 2x 2 1 x 1 x x x x 1 0 .(1) 1 x 1 x 1 x 1 x Ta thấy x 0 là nghiệm. Với x 0 , ta có ( 1 x 1 x)2 2 2 1 x2 4 0 1 x 1 x 2 2 1 0 . Do đó (1) x 0 . 1 x 1 x Suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 x 1. Câu 18. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Giải bất phương trình x 1 2 x 1 2x 3 Tác giả: Mai Vĩnh Phú; Fb: Mai Vĩnh Phú Lời giải x 1 2 x 1 2x 3 x 1 2 2x 3 2x 2 1 Điều kiện x 1, đặt t x 1 t2 1 x, t 0  Trang 54 
10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 t 0 2 2t t 0 1 Thay 1 2 2t2 1 2t2 1 t 4 3 2 2 4t 4t 7t 4 0 t 2 4t3 4t2 t 2 0 2 Th1: t 0 t 0 suy ra 2 vô nghiệm. 1 Th2: t khi đó 2 t 2 4t3 4t2 t 2 0 t 2 x 1 2 x 3 2 Vậy tập nghiệm S 3; . Câu 19. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 log 2x 5 là 4 4 5 A. ;6 . B. ;6 . C. 6; . D. 1;6 . 2 Lời giải Tác giả: Minh Anh; Fb: Nguyễn Thị Minh Anh. Chọn C 5 Điều kiện: x . 2 Bất phương trình log x 1 log 2x 5 x 1 2x 5 x 6 . 4 4 Kết hợp điều kiện x 6; . Câu 20. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: 1 3x 2 25 . 5 4 1 1 A. S ;1 . B. S ; .C. S ; .D. S 1; . 3 3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Trúc Ly; Fb: Nguyễn T. Trúc Ly Chọn D 1 3x 3x 1 2 2 25 5 5 Ta có: 3x 1 2 x 1. 5 4 2 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 1; .  Trang 55 