Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 16: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 16: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 16 Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng Câu 1. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ 1; 5 và có đạo 1 1 hàm f x , f 1 1 và f 7 ln 2 . Giá trị của biểu thức f 0 f 3 bằng x2 4x 5 3 1 1 2 3 A. ln10 + 1. B. ln10 + 1. C. ln10 + 1. D. ln10 ln 2018 2 . 6 6 3 Lời giải Tác giả: Phạm Huy ; Fb: Huypham01 Chọn A 1 1 1 1 1 x 5 Ta có : f x f ' x dx 2 dx dx ln C x 4x 5 6 x 5 x 1 6 x 1 1 x 5 ln C khi x 1; x 5 6 x 1 1 Suy ra f x trong đó C1, C2 là các hằng số cần tìm. 1 5 x ln C khi 1 < x 5 6 x 1 2 1 1 1 1 + Xét x ; 1  5 ; . Ta có f 7 ln 2 ln C ln 4 C 0. 3 6 4 1 6 1 1 Suy ra f 3 ln 4 1 . 6 1 1 + Xét x 1; 5 . Ta có f 1 1 ln 2 C 1 C 1 ln 2 . 6 1 1 6 1 1 1 5 Suy ra f 0 ln 5 1 ln 2 f 0 1 ln 2 . 6 6 6 2 1 5 1 1 + Từ 1 và 2 ta có: f 0 f 3 1 ln ln 4 1 ln10. 6 2 6 6 1 + Vậy f 0 f 3 ln10 + 1. 6 Câu 2. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 là 1 2 A. 2x 1 2x 1 C .B. 2x 1 2x 1 C . 3 3 1 1 C. 2x 1 2x 1 C .D. 2x 1 C . 3 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Hải; Fb: Nguyễn Hoàng Hải Chọn C Ta đặt I 2x 1dx ; đặt t 2x 1 t 2 2x 1 2tdt 2dx  Trang 353 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 t3 Nên I t 2dt C 3 1 Vậy I 2x 1 2x 1 C . 3 Câu 3. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 thỏa mãn f 1 4 và f x xf ' x 2x3 3x2 . Tính giá trị f 2 . A. 5 . B. 20 . C. 10 D. 15. Lời giải Tác giả: NAT ; Fb: NAT Chọn B Xét x 1;2, ta có ' xf ' x f x f x f x 2x 3 2x 3 2x 3 dx f x x3 3x2 Cx . 2 x x x Vì f 1 4 nên C 0 hay là f x x3 3x2 . Vậy f 2 23 3.22 20 . 2 x3dx Câu 4. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Biết a 5 b 2 c , với a,b,c là các số 2 1 x 1 1 hữu tỷ. Tính P a b c . 5 7 5 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 2 Lời giải Tác giả: Lưu Công Chinh ; Fb: Chinh Công Lưu Chọn A 2 x3dx 2 x3 ( x2 1 1)dx 2 2 2 +) Ta có x( x2 1 1)dx x x2 1dx xdx . 2 2 1 x 1 1 1 x 1 1 1 2 3 +) Tính xdx . 1 2 2 2 2 2 2 +) Tính x x 1dx . Đặt t = x 1 t x 1 suy ra xdx tdt . 1 2 5 5 5 2 2 Khi đó: x x2 1dx = t 2dt = . 1 2 3 3 5 2 3 Vậy a = , b = , c = . 3 3 2 5 Suy ra P a b c . 2  Trang 354 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 5. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho hàm số y f x xác định trên tập ¡ và thỏa 2 x f x 2 f x với mọi số thực x. Giả sử f 2 m, f 3 n. Tính giá trị biểu thức x6 x2 1 T f 2 f 3 . A. T m n . B. T n m . C. T m n . D. T m n . Lời giải Tác giả: Ngô Ngọc Hà ; Fb: Hà Ngọc Ngô Phản biện: Nguyễn Thắng. Chọn B 2 x Ta có f x 2 f x 1 x ¡ . x6 x2 1 2 x f x 2 f x 2 x6 x2 1 2 x 2 x Lấy 2. 2 1 ta được: 3 f x f x . x6 x2 1 3 x6 x2 1 f x f x x ¡ . 2 Vì f x dx f 2 f 3 m n 3 3 3 Ta có f x dx f 3 f 2 f x dx f 2 f 3 2 2 3 Xét f x dx 2 Đặt x t dx dt . Đổi cận: x 2 t 2 ; x 3 t 3 . 3 2 2 f t dt f t dt f t dt m n n m. 2 3 3 Hay: f 2 f 3 n m. Câu 6. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hai hàm số f x , g x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Xét các mệnh đề sau 1) k. f x dx = k. f x dx với k là hằng số bất kì. 2) f x g x dx = f x dx + g x dx . 3) f x .g x dx= f x dx. g x dx . 4) f x g x dx + f x g x dx = f x .g x .  Trang 355 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tổng số mệnh đề đúng là: A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Tác giả: Phạm Văn Mạnh; Fb: Phạm Văn Mạnh Chọn D Ta có mệnh đề đúng là mệnh đề số 2. Mệnh đề này đúng theo tính chất cơ bản của nguyên hàm. Mệnh đề số 1 sai khi k 0 . Mệnh đề số 3 sai về tính chất của nguyên hàm. Mệnh đề số 4 sai vì f x g x dx + f x g x dx = f x .g x C . Câu 7. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm không âm trên 8 2 2 5 [0;1] thỏa mãn f x f ' x x 2x 3 1 f x và f x 0 với x [0;1], biết f 0 2. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 5 5 A. 2 f 1 `. B. f 1 3. 2 2 7 7 C. f 1 4 `. D. 3 f 1 . 2 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thuyên; Fb: Thuyên Nguyễn. Chọn A 8 2 2 5 Ta có: f x f ' x x 2x 3 1 f x 4 4 5 f '(x) f (x) 5 1 5 f '(x) f (x) 1 5 x 0;1 dx dx 1 . 5 2   5 2 1  f (x) x 2x 3 0 1  f (x) 0 x 2x 3 5 5 4 Đặt t 1  f (x) t 2 1  f (x) 2t dt 5 f '(x) f (x) dx . 5 1 f 1 1 5 1 2tdt 5d x 1 1 f 1 Thay vào 1 ta có: 2t 5ln x 1 (x 1)2 2 2 33 t 0 33 0 x 1 2 5 5 5 2 6 2 1 f 1 33 5 ln 2 6 ln 1 3 1 f 1 33 ln 2 1 3 2 2 5 5 2 6 5 2 6 5 1 f 1 33 ln f 1 5 33 ln 1 2; . 2 1 3 2 1 3 2 Câu 8. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa 1 2 mãn f x dx 9 . Tính tích phân f 1 3x +9 dx 5 0  Trang 356 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 A. 75. B. 27 . C. 21. D. 15. Lời giải Tác giả: Võ Thị Thanh Thùy; Fb: Thuy Lymuc Chọn C 2 2 2 2 Ta có I f 1 3x 9 dx f 1 3x dx 9dx f 1 3x dx 18. 0 0 0 0 1 Đặt t 1 3x dt 3dx dx dt . 3 Đổi cận: x 0 t 1. x 2 t 5 1 5 1 1 1 1 1 Suy ra I f t dt 18 f t dt 18 f x dx 18 .9 18 21. 3 1 3 5 3 5 3 Câu 9. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0;1 thoả 1 1 1 2 1 1 mãn f (0) 1,  f '(x) dx , 2x 1 f (x)dx . Tích phân f (x)dx bằng 0 30 0 30 0 1 11 11 11 A. .B. . C. .D. . 30 30 4 12 Lời giải Tác giả: Phạm Thái Ly; Fb: Thai Ly Pham Chọn D 1 Xét 2x 1 f (x)dx . 0 u f (x) du f '(x)dx Đặt 2 . dv (2x 1)dx v x x 1 1 1 1 1 1 2x 1 f (x)dx (x2 x) f (x) (x2 x) f '(x)dx (x2 x) f '(x)dx . 0 0 0 30 0 30 1 2 2 Ta tìm hằng số k để f '(x) k(x x) dx 0 . (1) 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 (1)  f '(x) dx 2k f '(x)(x x)dx k(x x) dx 0 2k. k . 0 0 0 0 30 30 30 1 2k k 2 0 k 1 . 1 2 2 2 2 Ta có f '(x) (x x) dx 0 f '(x) (x x) 0 f '(x) x x 0 x3 x2 f (x) C . 3 2  Trang 357 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x3 x2 Theo giả thiết f (0) 1 nên C 1 f (x) 1. 3 2 1 1 x3 x2 11 Vậy f (x)dx 1 dx . 0 0 3 2 12 2 Câu 10. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2 và 9 2 f ' x 2x f x với mọi x ¡ . Giá trị của f 1 bằng: 2 19 2 35 A. . B. . C. . D. . 15 36 3 36 Lời giải Tác giả: Trần Minh Lộc ; Fb: Trần Lộc Chọn C 2 f '(x) Ta có f ' x 2x f x 2 2x f x f '(x) 1 1 Do đó ta có dx C và 2xdx x 2 C . Suy ra x2 C 2 f (x) 1 2 f (x) f x 2 1 Mặt khác f (2) nên ta có C . 9 2 1 2 2 Vậy f (x) , do đó f (1) . 1 2 x2 2x 1 3 2 4 ln sin x cos x a Câu 11. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Biết dx ln 2 với a , b , c là các 2 0 cos x b c bc số nguyên. Khi đó, bằng a 8 8 A. . B. 6 . C. 6 . D. . 3 3 Lời giải Tác giả: Đào Hải Nam; Fb: Dao Nam Chọn D Đặt: u ln sin x cos x cos x sin x du 1 sin x cos x dv 2 cos x v tan x 1  Trang 358 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 4 ln sin x cos x 4 cos x sin x Ta có: dx tan x 1 .ln sin x cos x 4 tan x 1 dx 2 0 0 cos x 0 sin x cos x 4 sin x cos x 4 sin x cos x tan x 1 .ln sin x cos x 4 dx tan x 1 .ln sin x cos x 4 dx 0 0 0 cos x 0 cos x tan x 1 .ln sin x cos x 4 ln cos x x 4 0 0 2 3 2ln 2 ln 1.ln1 ln1 0 ln 2 . 2 4 2 4 bc 8 Do đó: a 3;b 2 ; c 4 , suy ra: . a 3 2 4 f x Câu 12. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho f x dx 2 , khi đó I dx bằng 1 1 x 1 A. 2 .B. 4 . C. 1. D. . 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Liêu; Fb: Nguyen Lieu Chọn B 1 Đặt t x dt dx . 2 x Đổi cận: Với x 1 t 1; với x 4 t 2 . 2 2 Khi đó, I 2 f t dt 2 f x dx 4 . 1 1 Câu 13. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc v0 m/s thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 4t v0 m/s , trong đó t (tính bằng giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái đạp phanh. Tính vận tốc v0 m/s , biết rằng từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét. Lời giải v Với vận tốc chuyển động chậm dần đều v t 4t v , thì sau thời gian 0 ô tô mới dừng hẳn. Khi 0 4 v v0 0 v 2 đó ô tô đã đi được quãng đường s 4 4t v dt 2t v t | 4 0 m . 0 0 0 8 0 Theo yêu cầu bài toán, ô tô chạy thêm được quãng đường 8 m , ta có phương trình : 2 v 8 v0 0 8 . 8 v0 8  Trang 359 
8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Vì ban đầu vật chuyển động có vận tốc, sau đó mới hãm phanh nên v0 8 m/s . b) 2 dx Câu 14. (HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019) Tính tích phân I . 1 x x 1 x 1 x. Lời giải 2 dx 2 dx I 1 x x 1 x 1 x 1 x. x 1 . x x 1 2 x 1 x dx 2 1 1 2 1 2 1 dx dx dx 1 x. x 1 1 x x 1 1 x 1 x 1 2 2 x 2 x 1 4 2 2 3 2. 1 t Câu 15. (HSG12 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Cho tích phân I t xsin x 2 dx . 0 a. Tính I t khi t . Lời giải Tác giả: Trần Quốc Khang, Hà Lê; Fb: Bi Trần, Ha Le a. Khi t , ta có: 1 1 x3 1 3 1 + I x2 sin2 x dx x2 1 cos 2x dx . x2 cos 2x dx .J . 0 2 0 2 3 0 2 0 6 2 du 2xdx u x2 + Với J x2 cos 2x dx . Đặt 1 . 0 dv cos 2x dx v sin 2x 2 2 du1 dx x u1 x + Ta có J sin 2x xsin 2x dx xsin 2x dx . Đặt 1 2 0 0 dv1 sin 2x dx v1 cos 2x 0 2 x 1 x 1 J cos 2x cos 2x dx cos 2x sin 2x . 2 2 2 4 2 0 0  3 1 3 1 3 + Vậy I J . . 6 2 6 2 2 6 4 b. Chứng minh rằng: I t I t 0 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Bình; Fb:Nguyễn Bình t + Xét I( t) (xsin x)2 dx . Đặt x u , suy ra dx du . 0  Trang 360 
9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Đổi cận: x 0 u 0 ; x t u t . t t Khi đó: I( t)  u sin( u)2 du xsin x 2 dx . 0 0 t t Vậy I(t) I( t) (xsin x)2 dx (xsin x)2 dx 0 (đpcm). 0 0 Nhận xét: Nếu làm trắc nghiệm thì có thể làm nhanh hơn. 0 t Do hàm số y (xsin x)2 là hàm chẵn nên ta có tính chất: (xsin x)2 dx (xsin x)2 dx . t 0 t t t 0 Khi đó: I(t) I( t) (xsin x)2 dx (xsin x)2 dx (xsin x)2 dx (xsin x)2 dx 0 0 0 0 t Câu 16. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc v0 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 4t v0 (m/s), trong đó t (tính bằng giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh. Tính vận tốc v0 , biết rằng từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét. Lời giải v Ô tô dừng hẳn khi v t 0 t 0 4 v0 v0 2 4 2 4 v0 Khi đó ô tô đã đi được quảng đường: s 4t v0 dt 2t v0t m . 0 0 8 Theo yêu cầu bài toán, ô tô chạy thêm được quãng đường 8 m , 2 v 8 v0 0 nên ta có phương trình: 8 . 8 v0 8 Vì ban đầu vận chuyển động có vận tốc, sau đó mới hãm phanh, ta chọn v0 8 m/s . 4 cos x sin x sin x 2x cos x Câu 17. (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Tính tích phân I dx x 0 1 sin 2x e 1 sin 2x Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Việt ; Fb: Nguyễn Thanh Việt 4 cos x sin x sin x 2x cos x 4 cos x sin x 4 sin x 2x cos x Ta có: I dx dx dx I I x x 1 2 0 1 sin 2x e 1 sin 2x 0 1 sin 2x 0 e 1 sin 2x 4 cos x sin x +) Tính I dx 1 0 1 sin 2x 2 Ta có: 1 sin 2x cos x sin x cos x sin x cos x sin x (x 0; ) 4  Trang 361 
10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 4 cos x sin x 4 cos x sin x 4 d cos x sin x I dx dx ln cos x sin x 4 ln 2 1 0 0 1 sin 2x 0 cos x sin x 0 cos x sin x 4 sin x 2x cos x +) Tính I dx 2 x 0 e 1 sin 2x sin x 2x cos x u ex Đặt dx dx dx dv 2 1 sin 2x sin x cos x 2 2cos x 4 2x 1 sin x cos x du x dx e Suy ra: 1 1 cos x sin x v tan x . 2 4 2 sin x cos x sin x 2x cos x 1 4 1 4 cos x sin x 2x 1 sin x cos x I2 x . .tan x . x dx e 2 4 2 sin x cos x e 0 0 1 4 2x 1 cos x sin x dx x 2 0 e 1 4 ex 2 x cos x 2xsin x cos x sin x dx 2x 2 0 e 1 4 2sin x 2x cos x sin x ex ex 2xsin x cos x dx 2x 2 0 e / 1 4 2xsin x cos x dx x 2 0 e 1 2xsin x cos x 4 2 2 2 1 . 2 ex 2 0 8e 4 2 2 2 1 Vậy I I I ln 2 1 2 2 8e 4 1 1 Câu 18. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ; 2 2 thỏa mãn  Trang 362 
11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 2 109 2 f x f 2 x 2 f x 3 x dx . Tính dx . 2 1 12 x 1 0 2 7 2 5 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 Lời giải Tác giả: Lê Phương; Fb: lephuongtt1 Chọn B 1 2 3 1 2 3 x 2 109 Ta có 3 x dx 1 . 1 3 2 12 2 1 2 2 Do đó f 2 x 2 f x 3 x 3 x dx 0 . 1 2 1 2 2 Hay f x 3 x dx 0 . 1 2 1 1 Suy ra f x 3 x x ; . 2 2 1 1 1 1 2 f x 2 3 x 2 1 2 2 2 Khi đó dx dx dx dx ln . 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 9 Câu 19. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2 5 f (x) 5 f x2 + 5 - x dx = 1, dx = 3 . Tính f x dx . ò ( ) ò 2 ò ( ) - 2 1 x 1 A. - 15 . B. - 2 . C. - 13 . D. 0 . Lời giải Tác giả: Lê Mai Hương; Fb:Le Mai Huong Phản biện: Dương Chiến; Fb: Dương Chiến Chọn C 2 Ta có ò f ( x2 + 5 - x)dx = 1. - 2 Đặt t = x2 + 5 - x(*) Từ (*) dễ thấy t > 0 và t Î [1;5], với " x Î [- 2;2]. 2 5 t æ5 1ö Khi đó (*)Û t + x = x 2 + 5 Û t + 2tx = 5 Û x = - Û dx = - ç + ÷dt . 2t 2 èç2t 2 2ø÷  Trang 363 
12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Đổi cận x = 2Þ t = 1;x = - 2Þ t = 5. 5 æ5 1ö 5 5 f (t) 1 5 15 1 5 Do đó 1= ç + ÷f (t)dt = dt + f (t)dt = + f (x)dx . òèç 2 ø÷ ò 2 ò ò 1 2t 2 2 1 t 2 1 2 2 1 5 Vậy ò f (x)dx = - 13 . 1 Câu 20. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 và 2 2 2 2 5 2 f x 5 3 thỏa mãn f 2 0 , f x dx ln và dx ln . Tính tích phân f x dx . 2 1 12 3 1 x 1 12 2 1 3 3 2 3 2 3 2 A. 2ln . B. ln . C. 2ln . D. 2ln . 4 2 3 4 3 4 3 Lời giải Chọn D u f x 2 du f x dx f x Xét I dx . Đặt 1 . 2 dv dx 1 1 1 x 1 2 v x 1 x 1 2 2 1 1 2 1 1 I f x f x dx 1 x 1 2 1 x 1 2 2 1 1 5 3 f x dx ln (1) 1 x 1 2 12 2 2 2 2 2 2 5 3 1 1 5 3 1 1 5 3 Ta có: f x dx ln , 2 f x dx 2 ln , dx ln . 1 12 2 1 x 1 2 12 2 1 x 1 2 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f x dx 0 f x f x dx dx . 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 1 f x ln x 1 x C x 1;2 , vì f 2 0 nên C ln 3 1. 2 1 Ta có: f x ln x 1 x ln 3 1, x 1;2. 2 2 2 1 3 2 Vậy: f x dx ln x 1 x ln 3 1 dx 2ln . 1 1 2 4 3 Câu 21. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 2 y 2x 1 và nửa đường tròn có phương trình y 2 x (với 2 x 2 ) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H ) bằng  Trang 364 
13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 2 3 2 3 10 3 10 A. . B. . C. .D. . 6 6 6 3 Lời giải Tác giả: Lưu Công Chinh ; Fb: Chinh Công Lưu Chọn C 2x2 1 0 +) Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 1= 2 x2 2 2 2 (2x 1) 2 x 1 x2 2 x 1 2 2 x 1 x 1 x 1 1 x2 4 1 +) Diện tích hình phẳng cần tìm là : S = 2 2 x2 (2x2 1) dx 0 1 2 +) Tính 2 x dx . Đặt x 2 sin t với t ; , suy ra dx 2costdt . 0 2 2 1 4 4 1 Khi đó: 2 x2 dx 2cos2 tdt (1 cos2t)dt . 0 0 0 4 2 1 2 1 +) Tính (2x2 1)dx 1 . 0 3 3 3 10 Vậy S = . 6 Câu 22. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x ; y f x có diện tích bằng  Trang 365 
14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 127 107 13 127 A. .B. . C. . D. . 40 5 5 10 Lời giải Tác giả: Hồ Bình Minh; Fb: Hồ Bình Minh Chọn A Đặt f x ax4 bx3 cx2 dx e , a,b,c,d,e ¡ ,a 0 . Khi đó f x 4ax3 3bx2 2cx d . Theo hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y f x đi qua các điểm 2;0 , 1;1 , 0;1 , 1;0 và f 1 0 nên ta có hệ: 1 a 4 16a 8b 4c 2d e 0 1 b a b c d e 1 2 3 e 1 c a b c d e 0 4 d 1 4a 3b 2c d 0 e 1 Xét phương trình f x f x dễ thấy phương trình có ba nghiệm 2 ; 1; 1. Vậy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f x và f x là:  Trang 366 
15. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 1 4 1 3 9 2 1 1 4 1 3 9 2 1 127 S x x x x 2 dx x x x x 2 dx . 2 4 2 4 2 1 4 2 4 2 40 Câu 23. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đường cong y m2 x2 ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành. Khi ( H ) quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích là V . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để V 1000 . A. 19. B. 20. C. 18. D.21. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Lan Anh Chọn C 2 2 x m Xét phương trình hoành độ giao điểm: m x 0 x m TH1: m 0 m m 4 V ( m2 x2 )2 dx (m2 x2 )dx = m3 . m m 3 4 mà 0 V 1000 0 m3 1000 0 m 9,086 có 9 giá trị nguyên m . 3 TH2: m 0 m m 4 V ( m2 x2 )2 dx (m2 x2 )dx m3 . m m 3 4 mà 0 V 1000 0 m3 1000 0 m 9,086 có 9 giá trị nguyên m . 3 Vậy 18 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Trang 367 