Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 15: Mũ, Logarit - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 15: Mũ, Logarit - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 15 Mũ, logarit Câu 1. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho a 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 3 a2 1 1 A. . B. 1. C. a 3 a . D. a 3 . a2016 a2017 a a 5 Lời giải Tác giả: Nguyễn Chí Thành; Fb: Nguyễn Chí Thành Chọn D 1 Vì a 1 nên a 3 a 5 a 3 . a 5 Câu 2. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho x , y là hai số thực dương khác 1 và ,  là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây SAI?  x x x x   A. . B. x .x x . C. x .y xy . D.  . y y y y Lời giải Tác giả: Đặng Thị Ngọc Bích; Fb:Cô Bích Toán ĐHT Chọn D Dễ thấy câu D. Câu 3. (HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Cho a log5 6 và b log6 12 . Tính log3 60 theo a và b . Lời giải Tác giả:Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham Ta có log5 6 a log5 6 a log6 2 b 1 . log 12 a.b log6 12 b 5 log5 2 a b 1 log5 60 1 log5 12 1 ab 1 ab log3 60 . log5 3 log5 6 log5 2 a a b 1 a 2 b Câu 4. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Anh Đua muốn tiết kiệm tiền để sắm Iphone - X nên mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền a đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7% mỗi tháng. Biết rằng sau 2 năm anh Đua có số tiền trong ngân hàng là 40 triệu đồng. Hỏi số tiền a gần với số tiền nào nhất trong các số sau? A. 1.500.000 đồng. B. 1.525.717 đồng. C. 1.525.718 đồng D. 1.525.500 đồng. Lời giải  Trang 343 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Lê Quốc Trọng; Fb: Đẹp Trai Bẩm Sinh Chọn B Ta có thiết lập công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng một khoản tiền a đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất r% mỗi tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (nhận cuối tháng khi ngân hàng đã tính lãi suất) là Sn . + Cuối tháng thứ nhất, số tiền nhận được: S1 a 1 r 2 + Cuối tháng thứ hai, số tiền nhận được: S2 a 1 r a 1 r a 1 r a 1 r . a n + Cuối tháng thứ n, số tiền nhận được: S 1 r 1 1 r .(1) n r Với S a 1 r n a 1 r n 1 a 1 r a 1 r 1 r n 1 1 r n 2 1 . n Thay vào công thức (1) với n 24 ta được: a 24 40.000.000 1 0,7% 1 1 0,7% ( đồng) 0,7% 40.000.000.0,7% Suy ra a 1.525.717 ( đồng). 1 0,7% 24 1 1 0,7% Vậy a 1.525.717 ( đồng). Câu 5. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Ông B gửi ngân hàng 100 triệu đồng (kỳ hạn tháng) với lãi suất không đổi 0,5% một tháng. Hỏi sau ít nhất mấy tháng thì ông B rút cả vốn và lãi đủ tiền để mua một chiếc xe máy trị giá 130 triệu đồng? A. 52 . B. 53 . C. 60 D. 61 Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Hữu; Fb:Nguyễn Trần Hữu Chọn B Gọi Tk là số tiền ông B có được cả vốn lẫn lãi sau k tháng gửi ngân hàngvới lãi suất không đổi r 0,5% / tháng. Ta có: Sau 1 tháng k 1 thì có số tiền là:T1 A A.r A(1 r) . 2 Sau 2 tháng k 2 thì có số tiền là: T2 T1 T1.r A(1 r) A(1 r)r A 1 r . . n 1 n 1 n Sau n tháng k n thì có số tiền là: Tn Tn 1 Tn 1.r A(1 r) A(1 r) r A 1 r . Do đó, để ông Brút cả vốn và lãi đủ tiền để mua một chiếc xe máy trị giá 130 triệu đồng thì 6 6 n 6 n Tn 130.10 100.10 (1 0,5%) 130.10 (1 0,5%) 1,3 (1) Do n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn (1) nên ta thử từng đáp án bằng MTCT ta được n 53 thỏa mãn yêu cầu  Trang 344 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 (Do h/s khối 11 chưa học bpt lôgarit nên ta chưa dùng công thức nghiệm được). Câu 6. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Vào ngày 15 hàng tháng ông An đều đến gửi tiết kiệm tại ngân hàng SHB số tiền 5 triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn một tháng, lãi suất tiết kiệm không đổi trong suốt quá trình gửi là 7,2%/ năm. Hỏi sau đúng 3 năm kể từ ngày bắt đầu gửi ông An thu được số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng)? A. 195251000 (đồng). B. 201 453 000 (đồng). C. 195 252 000 (đồng). D. 201 452 000 (đồng). Lời giải Tác giả: Trần Phạm Vân Hiển; Fb: Trần Hiển. Chọn B 7,2% Lãi suất hàng tháng r 0,6% và ông An gởi tổng cộng n 36 tháng. 12 a n 1 Áp dụng công thức lãi kép tích lũy: T 1 r 1 a ; 201 453 000 (đồng). n r Chú ý: Bài toán lãi kép tích lũy Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng. Biết lãi suất hàng tháng không đổi là r . Hỏi sau n tháng, người ấy thu được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?Lời giải Sau tháng thứ nhất, số tiền cả gốc lẫn lãi là: a a.r a r 1 . Tiếp tục gửi vào a đồng nên tổng số a 2 tiền là: T a r 1 a a r 1 1 r 1 1 . 1 r 2 a 3 Tổng số tiền sau tháng thứ hai: T a 1 r 1 r 1 r 1 1 . 1 r . a n 1 Sau n tháng, tổng số tiền là: T 1 r 1 (Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp). n r Tuy nhiên, sau n tháng, người đó quyết định rút hết tiền ra (tức là không gửi thêm a đồng vào tháng thứ n 1 nữa) thì số tiền thực nhận được là: Tn a (đồng). Câu 7. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Gọi x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện log 3x 1 log y 2 3x 1 a b 2 3 4 log2 3x y 1 và , với a , b là hai số nguyên dương. 2log2 3 2log3 2 1 y 2 2 Tính P a.b A. P 6 . B. P 5. C. P 8 . D. P 4 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phương; Fb: Phuong Nguyen Chọn B Giả sử  Trang 345 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 log 3x 1 log y 2 2 3 4 log2 3x y 1 t 2log2 3 2log3 2 1 log 3x 1 2t log 3 3x 1 9t 2 2 t t 3x y 1 9 12 log y 2 2log 2 1 t y 2 4t.3t 3 3 t 4 3x y 1 16 log 4 3x y 1 t t 2 3x y 1 2 Từ đó ta có phương trình: 9t 12t 16t t t 2t t 9 12 3 3 1 1 16 16 4 4 1 5 t X (tm) 3 2 2 Đặt X (X 0) , phương trình trên trở thành X X 1 0 4 1 5 X (loai) 2 t t 3 1 5 3x 1 3 1 5 a b a 1 Suy ra . Do đó 4 2 y 2 4 2 2 b 5 Vậy P a.b 5 Câu 8. (HSG12 HCM năm 2018-2019) Giải phương trình: log5 x 2 log3 x log2018 x 2015 log2019 x 2016 . (1) Lời giải Tác giả: Tú Tam Tạng Fb:Tú Tam Tạng Điều kiện: x 0 . Với điều kiện trên phương trình (1) trở thành: log5 x 2 log3 x log2018 x 2015 log2019 x 2016 0 . Đặt f x log5 x 2 log3 x log2018 x 2015 log2019 x 2016 với x 0 . 1 1 1 1 f x x 2 ln5 x ln 3 x 2015 ln 2018 x 2016 ln 2019 1 1 1 1 . x 2 ln5 x 2015 ln 2018 x ln 3 x 2016 ln 2019 (ln 2018 ln5).x 2015.ln 2018 2ln5 ln 2019 ln 3 .x 2016.ln 2019 x 2 x 2015 ln5.ln 2018 x x 2016 ln 3.ln 2019 f x 0 x 0; . Suy ra f x đồng biến trên 0; . Ta có: f 3 0 x 3 là nghiệm duy nhất. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3.  Trang 346 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 9. (HSG12 HCM năm 2018-2019) Cho hàm số f (x) x3 3x và hai số thực a , b thỏa mãn các log2019 b điều kiện: a 2018 1; f (log2018 a) 2 f (log2019 b) . Tính log2019 (a b) . Câu 1.Lời giải Tác giả: Tạ Thị Huyền Trang ; Fb:Tạ Thị Huyền Trang log2018 a a1 Đặt . log2019 b b1 Ta có a 2018log2019 b 1 2018log2018 a 2018log2019 b 20180 Câu 2. log2018 a log2019 b 0 a1 b1 0. Xét hàm: f (x) x3 3x f (x) 3x2 3. f (x) 0 x 1. BBT: Đặt a1 b1 m,(m 0) . Ta có f (log2018 a) 2 f (log2019 b) f (a1) 2 f (b1) 3 3 3 3 Câu 3. a1 3a1 2 b1 3b1 (b1 m) 3(b1 m) 2 b1 3b1 0 2 2 3 Câu 4. 3b1 m 3b1m m1 3m 2 0 . 2 2 3b1 m 3b1m 0,b1 0;m 0 b1 0 b1 0 Ta có 3 m 1 a b 1 1 m1 3m 2 0,m 1 1 log2019 b 0 b 1 Câu 5. . log2018 a 1 a 2018 Vậy log2019 (a b) log2019 2019 1. HƯỚNG GIẢI 2 Đặt u log2018 a,v log2019 b log2019 b Ta có : a 2018 log2018 a log2019 b 0 u v 0 . Lại có : f log2018 a 2 f log2019 b f u 2 f v f v f u với mọi u v 0 .  Trang 347 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 u 1 Do đó : u,v 0;1 . Khi đó từ f v f u 2 v 0 Suy ra a 2018 và b 1 . Vậy log2019 a b 1 Câu 10. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Giải phương trình 2 2 log3 x x 1 log 1 (1 2x) 2x 1 x x 1 3 Lời giải 1 Điều kiện: x 2 2 2 Ta có log3 x x 1 log 1 (1 2x) 2x 1 x x 1 3 2 2 log3 x x 1 log3 (1 2x) 2x 1 x x 1 2 2 log3 x x 1 x x 1 log3 (1 2x) 1 2x (*) 1 Xét hàm số f (t) log t t,t 0 . Dễ thấy f (t) 1 0 t 0 . Suy ra hàm số đồng biến với t 0 . 3 t ln 3 Ta có 1 2x 0 f x2 x 1 f (1 2x) x2 x 1 1 2x x2 x 1 1 2x . 2 2 x x 1 (1 2x) 1 x 2 x 0 . 2 x x 0 Vậy nghiệm của phương trình là x 0 . Câu 11. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Giải các phương trình sau 2 2 log3 x x 1 log1 1 2x 2x 1 x x 1 3 Lời giải 1 a)Điều kiện x 2 2 2 log3 x x 1 log1 1 2x 2x 1 x x 1 3 2 2 log3 x x 1 x x 1 log3 1 2x 1 2x Xét hàm số f t log3 t t,t 0 1 Ta có f ' t 1 0,t 0 t ln 3 Suy ra hàm số đồng biến trên 0; Do đó phương trình f x2 x 1 f 1 2x x2 x 1 1 2x  Trang 348 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 2x 0 x x 0 2 2 2 x x 1 1 2x 2 x x 0 Vậy phương trình có nghiệm x 0 . Câu 12. (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho phương trình sau với m là tham số thực 2 2 2 2 x 2x 2 1 x 2x log 2019 x 2x 2011 1 m log2019 (x 2x 2011) 8 4 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn 1 x 1 3 . Lời giải x2 2x 0 ĐK. x ;0  2; 2   x 2x 2011 0 Ta có 1 x 1 3 x  2;02;4 (*) 1 2 2 2 1 2 2 1 PT x 2x log 2019 (x 2x 2011) 1 m x 2x log2019 (x 2x 2011) 4 2 2 4 x2 2x log2 (x2 2x 2011) 4 m 2. x2 2x log (x2 2x 2011) 1 2019 2019 2 2 Đặt t x 2x log2019 (x 2x 2011) 2 x 1 2 (2x 2) x 2x t ' log2019 (x 2x 2011) 2 x2 2x (x 2x 2011).ln 2019 log (x2 2x 2011) 2 x2 2x (x 1) 2019 2 2 x 2x (x 2x 2011)ln 2019 Do đó với x  2;0 thì t ' 0 , với x 2;4 thì t ' 0 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, với mỗi một t 0; 8 sẽ cho ta hai giá trị của x  2;0 2;4 Như vậy bài toán trở thành tìm m để phương trình sau có một nghiệm t 0; 8  Trang 349 
8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 t 2 4 m 2.t 1 t 2 4 1 Ta có t 2 4 m 2.t 1 m (do t không là nghiệm của pt) 2.t 1 2 2t 2 2t 4 2 m' , m' 0 t 2 2 ( 2.t 1)2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy khi m ( ; 4][4; ) thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn. Câu 13. (HSG12 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2019x y x2 1 x y2 1 y 1 18y2 2 2 25x 9x 9x 4 2 2 2 y 1 Lời giải Tác giả:Trần Ngọc Quang ; Fb:Quang Tran 2 Điều kiện x 3 x 2 y 2 (1) 2019 x 1 x 2019 y 1 y 2 2 x ln 2019 ln x 1 x y ln 2019 ln y 1 y (*) Xét hàm số f t t ln 2019 ln t 2 1 t ,t ¡ 1 f '(t) ln 2019 0,t ¡ . Suy ra hàm số đồng biến trên ¡ . t 2 1 Do đó phương trình (*) x y . 18x2 Thay x y vào (2) ta có 25x2 9x 9x2 4 2 (3) x2 1 2 18x2 Nếu x thì 18x2 ,7x2 2 , suy ra pt (3) vô nghiệm. 3 x2 1  Trang 350 
9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 4 2 18 Nếu x thì (3) 25 9 9 ( ) 3 x2 x2 x2 1 1 9 Đặt u ,0 u , Pt ( ) trở thành x2 4 18u 18u 25 9 9 4u 2u 12 2u 4 9 9 4u 9 0 u 1 u 1 6 u 2 36 u 2 2 u 2 0 u 1 9 4u 1 u 2 6 36 2 0(4) u 1 9 4u 1 36 6 Vì 0 9 4u 3 9 36 , 2 8 , suy ra phương trình (4) vô nghiệm 9u 4 1 u 1 1 x 1 2 Với u 2 2 x2 1 x 2 2 1 1 Vì x x y 3 2 2 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ; . 2 2 2 Câu 14. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho phương trình log2 x 2log2 x m log2 x m (*) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 2019;2019] để phương trình (*) có nghiệm? A. 2020. B. 2019. C. 2021. D. 4038. Lời giải Tác giả: Phạm Thị Thu Hà; Fb: Phạm Thị Thu Hà Chọn C x 0 Điều kiện: . log2 x m 0 2 Phương trình log2 x 2log2 x m log2 x m (*) 2 log2 x log2 x m log2 x m log2 x 2 2 1 1 log2 x m log2 x 2 2  Trang 351 
10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 log2 x m log2 x 2 2 log2 x 1 m log2 x 1 1 1 log x m log x 2 log x m log x 2 2 2 2 2 2 a)Trường hợp (1): Điều kiện: log2 x 1. Khi đó 2 2 1 log2 x 1 m log2 x m log2 x 3log2 x 1. 2 Đặt t log2 x,t 1. Ta có: m f t t 3t 1,t 0 . 3 f t 2t 3 nên f t 0 t . 2 Bảng biến thiên 5 Trường hợp này để có nghiệm thì m 1. 4 b)Trường hợp (2): Điều kiện log2 x 0 0 x 1. 2 Khi đó 2 m log2 x log2 x Đặt u log2 x,u 0 Phương trình (1) có dạng: m u2 u Xét hàm g(u) u2 u trên ;0  g (u) 2u 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số g(u) u2 u trên ;0  Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra điều kiện để pt (1) có nghiệm trên ;0  là m 0. Kết hợp điều kiện m nguyên thuộc [ 2019;2019] ta có m 1 hoặc 0 m 2019 . Vậy có 2021 giá trị m nguyên thỏa mãn. Đáp án đúng là đáp án C.  Trang 352 