›
›
›

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 12: Dãy số, giới hạn - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

docx 35 trang nhungbui22 11/08/2022 2720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 12: Dãy số, giới hạn - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtong_hop_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_thpt_vong_1_chuyen_de.docx

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 12: Dãy số, giới hạn - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

  1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 12 Dãy số, giới hạn Câu 1. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi u1 2851 . Số hạng thứ 2020 của dãy số u là: 2 2 n un 1 un n , n 1 A. 1427 . B. 1429 . C. 2019 . D. 1428. Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Hữu; Fb: Nguyễn Trần Hữu Chọn B 2 2 2 2 2 2 Ta có: un 1 un n un 1 n 1 un n 3n 1 vn 1 vn 3n 1 2 2 với vn un n ,n 1(1). 2 2 v1 u1 1 2852 Xét dãy số vn xác định bởi (2). vn 1 vn 3n 1,n 1 Ta có: v2 v1 4 ; v3 v2 7 ;.; vn 1 vn 3n 1,n 1. 4 3n 1 n Suy ra: v v 4 7 3n 1,n 1 v v ,n 1 n 1 1 n 1 1 2 3n2 5n v v ,n 1(3). n 1 1 2 2 2 2 2 3n 5n 2 n n 2 Từ (1), (2), (3) ta suy ra: u v n 1 v n 1 v ,n 1. n 1 n 1 1 2 1 2 2 2 2019 2019 2 Suy ra: u 2852 2042041 u 1429( dou 0,n 1). 2020 2 2020 n u4 u2 54 Câu 2. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho cấp số nhân un biết . Tìm số u5 u3 108 hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên. A. u1 9 ; q 2 . B. u1 9 ; q 2 . C. u1 9 ; q 2 . D. u1 9 ; q 2 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Nguyễn Dung Chọn C Ta có: 3 u .q3 u .q 54 u4 u2 54 u1.q u1.q 54 1 1 u u 108 4 2 3 5 3 u1.q u1.q 108 q u1.q u1.q 108 . 3 3 u .q u .q 54 u .2 u .2 54 u1 9 1 1 1 1 q.54 108 q 2 q 2  Trang 229 
  2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Vậy u1 9 , q 2. Câu 3. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 2;un 2un 1 3n 1. Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng a.2n bn c, với a,b,c là các số nguyên, n 2;n N . Khi đó tổng a b c có giá trị bằng? A. 3 . B. 4 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Phương ; Fb: Phương Nguyễn Chọn D u2 9 Từ công thức truy hồi u1 2;un 2un 1 3n 1 ta suy ra: u3 26 . u4 63 n Mà un a.2 bn c, n 2 nên ta có hệ phương trình: 4a 2b c 9 a 5 8a 3b c 26 b 3 . 16a 4b c 63 c 5 Do đó a b c 3 . Câu 4. (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Cho các số x 5y;5x 2y;8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số (y 1)2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x, y . Lời giải + x 5y;5x 2y;8x y theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: x 5y 8x y 2 5x 2y x 2y 1 + y 1 2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tự lập thành CSN nên ta có: y 1 2 x 2 2 xy 1 2 2 2 +Thay (1) vào (2) ta được: y 1 2 2y 2 2 2y2 1 4 y4 2y2 1 4y4 4y2 1 3 y x 3 2 3 2 y . 4 3 y x 3 2 : Câu 5. (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Cho các số x 5 y;5x 2 y;8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số (y 1)2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x, y . Lời giải  Trang 230 
  3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 5 y;5x 2 y;8x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: x 5y 8x y 2 5x 2y x 2y 1 y 1 2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: y 1 2 x 2 2 xy 1 2 2 Thay (1) vào (2) ta được: 2 y 1 2 2y 2 2 2y2 1 4 y4 2y2 1 4y4 4y2 1 3 y x 3 2 3 2 y . 4 3 y x 3 2 3 3 Vậy x; y 3; , x; y 3; . 2 2 Câu 6. (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Xét sự hội tụ của dãy số xn biết x0 2 , 2 3 xn 1 2 ,n ¥ . xn xn Lời giải Tác giả: Phan Thị Hiền; Fb: Phan Hiền Cách 1: +) Ta thấy xn 0,n ¥ . 2 3 3 2 3 x 2 ; x 1 1,433; x 2,239 . 0 1 2 4 4 2 3 2 1 3 4 1 4 2 3 2 2 3 +) Xét f x trên 0; có f x 0, x 0; nên y f x nghịch x x2 x2 x3 biến trên 0; . +) Xét dãy số x2n là một dãy con của dãy số xn . Dãy số x2n là một dãy số tăng. Thật vậy: -) x0 x2 . -) Giả sử x2k 2 x2k ,k ¥ . Vì y f x nghịch biến trên 0; nên x2k 1 f x2k f x2k 2 x2k 1 x2k 2 f x2k 1 f x2k 1 x2k . Vậy x2k x2k 2 .  Trang 231 
  4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Theo nguyên lí quy nạp, x2n ,n ¥ là một dãy số tăng và ngoài ra x2n 2,n ¥ . +) Giả sử  lim xn a lim x2n a và a 2 . 2 3 2 3 2 3 Do x ,n ¥ nên lim x lim a n 1 2 n 1 2 2 xn xn xn xn a a a 3 a2 a 3 1 0 a 3 (mâu thuẫn với a 2 ). Vậy giả sử sai. Dãy số xn là dãy số phân kì. Cách 2: +) Ta thấy xn 0,n ¥ . 2 3 3 2 3 x 2 ; x 1 1,433; x 2,239 . 0 1 2 4 4 2 3 2 1 3 4 1 4 +) Ta chứng minh x2n 2,n ¥ , 1 Thật vậy: Với n 0 thì x0 2 3 nên 1 đúng với n 0 . Giả sử 1 đúng n k,k ¥ tức là x2k 2 ta chứng minh 1 cũng đúng với n k 1. 2 3 3 2 3 Ta có: x 2 0 x 1 x 2 . 2k 2k 1 2 4 4 2k 2 3 2 1 3 4 1 4 Theo nguyên lí quy nạp ta có x2n 2,n ¥ . +) Xét dãy số x2n là một dãy con của dãy số xn . Giả sử  lim xn a lim x2n a và a 2 . 2 3 2 3 2 3 Do x ,n ¥ nên lim x lim a n 1 2 n 1 2 2 xn xn xn xn a a a 3 a2 a 3 1 0 a 3 (mâu thuẫn với a 2 ). Vậy giả sử sai. Dãy số xn là dãy số phân kì. Câu 7. (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết * u1 2 và un 1 2un 5, n ¥ . Lời giải Tác giả: Phạm Thị Thanh Thủy ; Fb: Phạm Thủy * n ¥ , ta có un 1 2un 5 un 1 5 2 un 5 .  Trang 232 
  5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 * Đặt wn un 5, n ¥ . * Khi đó wn 1 2wn , n ¥ . Do đó wn là cấp số nhân có w1 u1 5 7, công bội q 2. n 1 n 1 * Suy ra wn w1.q 7.2 , n ¥ . n 1 * Vậy un 7.2 5, n ¥ . u2 u3 u5 10 Câu 8. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho cấp số cộng un với . u3 u4 17 Số hạng đầu và công sai lần lượt là A. u1 3 ; d 1 . B. u1 3 ; d 2 . C. u1 2 ; d 3 . D. u1 1 ; d 3 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang Chọn D u2 u3 u5 10 u1 d u1 2d u1 4d 10 Ta có: u u 17 3 4 u1 2d u1 3d 17 u1 3d 10 u1 1 . 2u1 5d 17 d 3 Câu 9. (HSG11 Thị Xã Quảng Trị năm 2018-2019)Cho dãy số un được xác định bởi: sin n u sin1; u u , với mọi n ¥ , n 2 . 1 n n 1 n2 Chứng minh rằng dãy số un xác định như trên là một dãy số bị chặn. Lời giải Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam 1 1 1 Ta có: 2,n N * , 12 22 n2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vì 1 1 1 2 2 12 22 n2 1.2 2.3 n.(n 1) 2 2 3 n 1 n n sin1 sin 2 sin n Bằng qui nạp ta chứng minh được:u n 12 22 n2 1 1 1 1 1 1 * Suy ra : 2 2 2 2 un 2 2 2 2,n N 1 2 n 1 2 n Vậy dãy số un xác định như trên là một dãy số bị chặn. Câu 10. (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Cho dãy số vn thỏa mãn  Trang 233 
  6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 2vn * v1 , vn 1 2 , n ¥ . 2018 1 2018vn * Chứng minh rằng vn 1 vn, n ¥ . Lời giải Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng * Chứng minh được vn 0, n ¥ . 2vn 2vn 1 * Khi đó vn 1 2 , n ¥ . 1 2108vn 2 2018.vn 2018 Mặt khác, n ¥ *, ta có 3 v 1 2018v2 2vn vn 2018vn n n vn 1 vn 2 vn 2 2 0 1 2018vn 1 2018vn 1 2018vn * Vậy vn 1 vn, n ¥ . Câu 11. (HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h 18m . Sau 3 mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả 4 bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng. Tính tổng độ dài quãng đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc không nảy nữa. Lời giải 3 Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao h h . Tiếp theo quả bóng rơi xuống trên 1 4 3 quãng đường đúng bằng h . Lần chạm đất thứ hai quả bóng nảy lên h h và cũng rơi xuống trên 1 2 4 1 quảng đường đúng bằng h2 Cứ như thế đến lần chạm đất thứ n thì quả bóng nảy lên đến độ cao 3 h h và cũng rơi xuống trên quãng đường đúng bằng h . n 4 n 1 n 3 Ta thấy dãy h,h ,h , ,h là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q . 1 2 n 4 Tổng quãng đường quả bóng đi được là: h h s h h h h h h h 1 126m . 1 2 n 1 2 n 1 q 1 q Câu 12. (HSG12 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi 2 1 un 1 u1 1,un 1 ,n 1. X un ét tính đơn điệu và bị chặn của un . Lời giải  Trang 234 
  7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 1 un 1 1) Cho dãy số un xác định bởi u1 1,un 1 ,n 1. Xét tính đơn điệu và bị chặn của un . un 2 2 1 un 1 un un Ta có un 1 ;n ¥ . 2 2 un u 1 u 1 1 u 1 n n n u Mà u 1 0 ; giả sử với n k 1 ta có u k 1 0;k ¥ . 1 k 2 1 uk 1 1 u Khi đó ta có u k 0;k ¥ . k 1 2 1 uk 1 2 2 u 1 u 1 u 1 n n + Xét u u n u 0,n ¥ u u ,n ¥ . n 1 n u n 2 n 1 n n 1 un 1 * * * Do dãy số un giảm nên un u1,n ¥ un 1,n ¥ 0 un 1,n ¥ dãy số un bị chặn. Câu 13. (HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi công thức: u1 1;u2 4 . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un . Lời giải Tác giả: Nguyễn Quang Thái ; Fb: Nguyễn Quang Thái n 1 n 1 Cách 1: Dự đoán un 3 2 1. Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp. - Kiểm tra dễ có mệnh đề đúng với n 1; n 2 . Giả sử mệnh đề đúng với mọi n k , nghĩa là ta có được k 1 k 1 k 2 k 2 uk 3 2 1 và uk 1 3 2 1 (*). Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. Theo giả thiết ta có: k 1 k 1 k 2 k 2 k 1 k 1 k 1 k 1 k k uk 1 5uk 6uk 1 2 5 3 2 1 6 3 2 1 5.3 5.2 2.3 3.2 1 3 2 1. Vậy mệnh đề đúng với mọi n ¥ * . u1 1;u2 4 Cách 2: Cho dãy số un xác định bởi công thức: . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un .Lời giải Tác giả: Ngô Mạnh Cường ; Fb: Cuong Ngo Manh Theo bài ra, un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ , ta có  Trang 235 
  8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 un 2 2un 1 3(un 1 2un ) 2 n 1, n ¥ . Đặt vn un 1 2un n 1, n ¥ ta có v1 u2 2u1 2 vn 1 3vn 2 vn 1 1 3(vn 1) n 1, n ¥ w1 1 Đặt wn vn 1 n 1, n ¥ thì wn 1 3wn n 1, n ¥ n 1 n 1 Nhận thấy (wn ) là cấp số nhân với công bội q 3 và w1 1. Do đó wn 3 . Suy ra vn 3 1 và n 1 un 1 2un 3 1 n 1, n ¥ . n 1 n n 1 Từ đó ta có un 1 2un 3 1 un 1 3 1 2(un 3 1) 0 n 1 t1 u1 3 1 1 Đặt tn un 3 1 thì . Nhận thấy (t n ) là cấp số nhân với công bội bằng 2 và tn 1 2tn n 1 t1 1 nên tn 2 . n 1 n 1 Vậy un 2 3 1 n 1, n ¥ . u1 1;u2 4 Cách 3: Cho dãy số un xác định bởi công thức: . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un .Lời giải Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb: HueDinh un 2 5un 1 6un 2 un 2 2un 1 3(un 1 2un ) 2 v1 u2 2u1 2 Đặt vn un 1 2un thì . vn 1 3vn 2 kwn 1 l 3(kwn l) 2 kwn 1 3kwn 2l 2 Đặt vn kwn l , k,l là hằng số, k 0 thì 2l 2 w 3w n 1 n k w1 1 Chọn k 1, l 1 thì vn wn 1 và . Nhận thấy (wn ) là cấp số nhận công bội q 3 và wn 1 3wn n 1 n 1 n 1 w1 1. Do đó wn 3 , vn 3 1 và un 1 2un 3 1. n 1 Đặt un tn a3 b , a, b là các hằng số. Khi đó n n 1 n 1 tn 1 a3 b 2(tn a3 b) 3 1 n 1 tn 1 2tn (1 a)3 b 1 n 1 Chọn a 1, b 1 khi đó un tn 3 1, t1 u1 1 và tn 1 2tn . Nhận thấy (tn ) là cấp số nhận với n 1 n 1 n 1 công bội q 2 và t1 1 . Do đó tn 2 . Suy ra un 2 3 1.  Trang 236 
  9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 u1 1 Câu 14. (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho dãy số u thỏa mãn 2u . n u n ,n 1 n 1 un 4 Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số đã cho. Lời giải Tác giả: Đinh Mạnh Thắng ; Fb: Dinh Thang Nhận xét: un 0 với mọi n ¥ *. 1 u 4 1 2 Ta có: n . un 1 2un 2 un 1 1 1 1 Đặt vn 1 ta được : vn 1 2vn , v1 1 vn 1 1 2vn 2 vn . un 1 2 2 2 1 1 2 1 n 1 Do đó vn 1 2 vn 2 vn 1  2 v1 . 2 2 2 2 3 1 3 1 Suy ra v .2n hay v .2n 1 . n 1 2 2 n 2 2 2 Vậy u . n 3.2n 1 1 Câu 15. (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác đó có 2 góc trong mà số đo không vượt quá 60 . Lời giải Tác giả: Lê Thị Hồng Vân ; Fb: Hồng Vân Phản biện : Trần Đại Lộ, Fb : Trần Đại Lộ Gọi a;b;c lần lượt là độ dài 3 cạnh BC,CA, AB của tam giác ABC . Không mất tổng quát giả sử 3 số a;b;c theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi đó b 2 ac a2 c2 b2 a2 c2 ac Mà theo định lý cosin ta có cos B nên cos B 2ac 2ac 2ac ac 1 Mặt khác theo bất đẳng thức cauchy thì a 2 c 2 2ca nên cos B 2ac 2 1 Do B là góc trong của một tam giác và cos B nên 0 B 60 2 2 a b c A B C Hơn nữa từ b ac ta suy ra c b a C B A A B 60 Vậy hay ta có điều cần chứng minh. C B 60 Câu 16. (HSG12 tỉnh TỈNH VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho dãy số un có số hạng tổng quát  Trang 237 
  10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 un ln 1 2 , n ¥ . n 1 Tìm giá trị của biểu thức H 2019.eu1 .eu2 eu2018 Lời giải Tác giả: Lê Ngọc Hùng ; Fb: Hung Le 1 n n 2 Ta có: un ln 1 2 ln 2 . n 1 n 1 n n k k 2 1.2.3 n. 1 2 . 2 2 n 2 n! n 2 ! n 2 Do đó u ln ln ln ln .  k  2 2 2 2 2 2 n 1 i 1 k 1 k 1 2 .3 n 1 n 1 ! .2! 2018 2018 2  uk ln u u u 2 2018 1 2020 Suy ra H 2019.e 1 .e 2 e 2018 2019.e k 1 2019.e 2019. 1010 . 2.2019 Câu 17. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Cho dãy số un thỏa mãn: log u .log u 2log u 2log u 20 và u 2u ;u 1với mọi n 2 . 2 1 2 5 2 1 2 5 n n 1 1 29 30 Tính tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn 2018 un 2018 . A. 3542 . B. 3553 . C. 3870 . D. 4199 . Lời giải Tác giả:Phan Thị Quyên ; Fb:Quyen Phan Chọn B Dãy un có un 2un 1 ; n 2 là cấp số nhân có công bội q 2 . Khi đó: log u .log u 2log u 2log u 20 . 2 1 2 5 2 1 2 5 4 4 log2 u1.log2 (u1.2 ) 2log2 u1 2log2 (u1.2 ) 20. log2 u1.(log2 u1 4) 2log2 u1 2(log2 u1 4) 20. 2 log2 u1 4log2 u1 12 0. log u 2 u 4 2 1 1 . 6 log2 u1 6 u1 2 n 1 Do u1 1 nên u1 4 thỏa mãn. Suy ra: un 4.2 ,n 2. 29 30 29 n 1 30 29 n 1 30 Khi đó: 2018 un 2018 2018 4.2 2018 2018 2 2018 . 29.log2 2018 n 1 30.log2 2018. n 318; ;328. Vậy tổng tất cả các giá trị của n là 318 328 3553 . Câu 18. (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho dãy số thực x thỏa mãn điều kiện n  Trang 238 
  11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 0 x 1 n 1 ,n 1,2,3, x 1 x n 1 n 4 1 1 a) Chứng minh rằng x ,n 1,2,3, n 2 2n b) Tìm giới hạn của dãy xn . Lời giải a) Với n = 1, bất đẳng thức đã cho đúng. 1 1 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (với k ¥ ,k 1), ta có x . k 2 2k 1 1 1 1 k 1 Vì x 1 x  k 2 2k k 2 2k 2k 1 2k k 1 1 Lại có: x 1 x suy ra x  k 1 k 4 k 1 4 k 1 2 k 1 2 2 k 1 Vậy bất đẳng đúng với n = k +1. Vậy bất đẳng thức đúng với n ¥ * . * b) Vì 0 xn 1, x ¥ nên dãy xn bị chặn. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương xn 1 và 1 xn ta được: xn 1 1 xn 2 xn 1 1 xn 1 xn 1 xn . xn là dãy tăng. Theo định lý Weierstrass thì dãy xn có giới hạn hữu hạn, giả sử lim xn a. 1 1 1 Từ bất đẳng thức x 1 x cho n ta được a 1 a a . n 1 n 4 4 2 1 Vậy lim x . n 2 Câu 19. (HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019)Cho dãy số được xác định như sau: u1 1 * un 1 1 2unun 1 ,n ¥ 1. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. 2. Chứng minh rằng u2019 là số vô tỷ. Lời giải * 1. Từ giả thiết dễ thấy un 1,n ¥ . 2 2 2 Khi đó un 1 1 2unun 1 u n 1 1 2unun 1 u n 1 2unun 1 1 0 un 1 un 1 u n * Đặt un cot , 0; (do un 1,n ¥ ), khi đó 4  Trang 239 
  12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2cos2 1 1 cos u cot 1 cot2 cot 2 cot . n 1 sin sin 2sin .cos 2 2 2 Ta thấy u 1 cot nên u cot cot ,u cot , từ đó ta tìm được công thức tổng quát 1 4 2 8 23 3 24 của dãy số là: u cot . n 2n 1 Vậy u cot . 10 211 2 u n 1 1 2. Từ giả thiết ta viết lại un , nên nếu un 1 hữu tỷ thì un hữu tỷ. 2un 1 Do đó u cot số hữu tỷ thì u hữu tỷ .và u cot 1 2 hữu tỷ, vô lý. 2019 22020 2018 2 8 Vậy u cot vô tỷ. 2019 22020 Câu 20. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho dãy số un thỏa mãn u 1 1 n 1 3 n ¥ * . u u n 1 n 2 n n 2 Tính u2018 . 2019 6053 2018 3029 A. u . B. u . C. u . D. u . 2018 2018 2018 2019 2018 2019 2018 6053 Lời giải Tác giả: Cao Xuân Hùng; FB: Cao Hùng Chọn B n 1 3 Ta có u u n 2 u n 1 u 3 n 1 n 2 n n 2 n 1 n n 2 un 1 n 1 un 3 n 2 3 n 1 n 2 un 1 3 n 2 n 1 un 3 n 1 . Đặt vn n 1 un 3 n 1 . Khi đó v1 2u1 6 2.1 6 4 và vn 1 vn nên suy ra 3n 1 v v v v 4 n 1 u 3 n 1 4 u . n n 1 n 2 1 n n n 1 3.2018 1 6053 Vậy u . 2018 2018 1 2019 Câu 21. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho dãy số un thỏa mãn: * u1 1,u2 11,u3 111, ,un 11 1 ( n chữ số 1, n ¥ ). Đặt Sn u1 u2 un . Giá trị của S2019 bằng 2012 1 10 10 10 2019 A. 2019 . B. 10 1 2019 . 9 9 9  Trang 240 
  13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2020 1 2019 1 10 10 C. 10 1 . D. 2019 . 9 9 9 Lời giải Tác giả: Trịnh Thị Ánh Ngọc; Fb: Ngọc Trịnh Chọn D Nhận xét: u1 1 10.0 1;u2 11 10.1 1 10.u1 1;u3 111 10.11 1 10.u2 1 un 1 11 1 10.un 1 1 10 1 un 1 10.un 10. un . 9 9 9 10 1 v1 10 Khi đó ta đặt: vn un ta được dãy số vn : 9 là CSN có số hạng đầu: v1 , công bội: 9 9 vn 1 10.vn q 10 qn 1 10 10n 1 Tổng n số hạng đầu của dãy v là: S u . . . n n 1 q 1 9 9 10 10n 1 1 1 10n 10 Suy ra tổng n số hạng đầu của dãy un là: Sn . n. . n 9 9 9 9 9 1 102020 10 Khi đó, S2019 . 2019 . 9 9 Cách 2: Tác giả: Nguyễn Trung Kiên; Fb: Nguyễn Trung Kiên. 2 2019 9S2019 9 99 99 9 (2019 chữ số 9) 10 1 10 1 10 1 1 102019 102020 10 10 102 102019 2019 10 2019 2019 . 1 10 9 1 102020 10 Do đó, S2019 2019 . 9 9 3n 1 n 1 .22n Câu 22. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Giá trị của lim là 5 4 n 1 1 A. . B. . C. 4 . D. 0 . 4 Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Quân; Fb: Nguyễn Minh Quân Chọn A  Trang 241 
  14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 n 3 n n n n 1 2n n n n 1 . 1 3 1 .2 3 1 .4 4 Ta có: lim lim lim n 1 n 5 5 4 5 4. 4 4 4 n n 3 1 4 0 1 1 lim . 5 0 4 4 4 4 n n 1 3n 1 .22n 1 Vậy lim . 5 4 n 1 4 Câu 23. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Với m là hằng số dương. Tính giới hạn lim ( x2 4mx 2019 x) x ta được kết quả bằng 1 1 A. 2m . B. . C. 2m . D. . 2m 2m Lời giải Tác giả: Hoa Mùi; Fb: Hoa Mùi Chọn C Ta có: 2019 4mx 2019 4m lim x2 4mx 2019 x lim lim x 2m . x x 2 x 4m 2019 x 4mx 2019 x 1 1 x x2 Câu 24. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho lim x2 ax 5 x 5 . Khi đó giá trị a là x A. 10. B. 10 . C. 6 . D. 6 . Lời giải Tác giả: Trần Vinh; Fb: Vinh Trần Chọn B Đặt t x , ta có 5 a at 5 a lim x2 ax 5 x lim t 2 at 5 t lim lim t x t t t 2 at 5 t t a 5 2 1 1 t t 2 a Theo giả thiết lim x2 ax 5 x 5 5 a 10 . x 2 3 2x 1 1 Câu 25. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Tìm giới hạn sau A lim . x 1 1 2 x2  Trang 242 
  15. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 2 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 3 Lời giải Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm Chọn D 2 3 2x 1 1 2x 2 1 2 x A lim lim x 1 2 x 1 1 2 x x2 1 3 2x 1 2 3 2x 1 1 2 2 1 2 x 2 lim . x 1 x 1 3 2x 1 2 3 2x 1 1 3 Câu 26. (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho dãy số u + ¥ bị chặn ( n )n= 1 2 3 trên và thỏa mãn điều kiện u ³ .u + .u , " n = 1,2,3, Chứng minh rằng dãy (u ) có giới hạn n+ 2 5 n+1 5 n n hữu hạn. Lời giải + ¥ 2 3 Cho dãy số (u ) bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện u ³ .u + .u , " n = 1,2,3, n n= 1 n+ 2 5 n+1 5 n Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn. 2 3 3 3 Ta có u ³ .u + .u Û u + .u ³ u + .u , " n = 1,2,3, (1) n+ 2 5 n+1 5 n n+ 2 5 n+1 n+1 5 n 3 Đặt v = u + .u , " n = 1,2,3, n n+1 5 n Từ (1) ta có vn+1 ³ vn , " n = 1,2,3, (2) Vì dãy số u + ¥ bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho u £ M , " n = 1,2,3, ( n )n= 1 n 3 8 suy ra v £ M + M = M , " n = 1,2,3, (3) n 5 5 Từ (2) và (3)ta thấy dãy (vn )không giảm và bị chặn trên. Do đó, dãy (vn )là dãy hội tụ. 5 Đặt limv = a và b = a . Ta sẽ chứng minh limu = b . n 8 n e Thật vậy, vì limv = a nên " e> 0 nhỏ tùy ý, $n Î ¥ * sao cho v - a < , " n ³ n n 0 n 5 0 3 3 3 8b e Mặt khác u - b - u - b < (u - b)+ (u - b) = u + u - < , n+1 5 n n+1 5 n n+1 5 n 5 5 3 e nên ta có u - b < u - b + , " n ³ n . n+1 5 n 5 0  Trang 243 
  16. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 e Suy ra u - b 0 nhỏ tùy ý. Hay ta n0 + k n chứng minh được limun = b . Vậy, dãy (un ) có giới hạn hữu hạn (đpcm). Câu 27. (HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Xét dãy số an xác định bởi a1 3, a2 7 và an 2 3an 1 an với n 1,2,3, a2 a2 a2 142 a) Chứng minh rằng 1 2 n , n 1,2,3, 7 72 7n 3 1 1 1 b) Với mỗi n 1, đặt bn . Chứng minh rằng dãy số bn có giới hạn hữu hạn a1a2 a2a3 anan 1 khi n và tìm giới hạn đó. Lời giải Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng: u1 , * u2  , aun 1 bun cun 1 f n với n ¥ . Nếu 1,2 là hai nghiệm thực khác nhau thì n n un A1 B2 , trong đó A, B được xác định khi biết u1,u2 . Ta có: an 2 3an 1 an an 2 3an 1 an 0 . 3 5 Xét phương trình đặc trưng của dãy a là x2 3x 1 0 với hai nghiệm x  , n 1 2 3 5 x  thỏa mãn   3,   1. 2 2 1 2 1 2 n n Khi đó ta có an A1 B2 . Với n 1 ta có a1 A1 B2 A1 B2 3 1 . 2 2 2 2 Với n 2 ta có a2 A1 B2 A1 B2 7 2 .  Trang 244 
  17. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 n n Từ (1) và (2) suy ra A 1, B 1 và an 1 2 n 1. 2 2  n  n 2 n 2 n an 1 2 1 2 2 Ta có n n n ,n 1 7 7 7 7 7  2  2 1 a2 2 Đặt 1 , 2 . Có , 0;1 và 1, , n n n ,n 1 1 7 2 7 1 2 1 2 1 2 49 7n 1 2 7n 2 2 2 a1 a2 an 2 n 2 n 2 2 2 Ta có 2 n 1 1 1 2 2 2 2 n 7 7 7 7 7 7 1 1 142 1 2 2. 7 1 2 n 1 (đpcm). 1 1 1 1 1 3 3 1 2 1 1 2 7 2 b) Trước hết ta chứng minh anan 2 an 1 5 với mọi n 1 (bằng phương pháp quy nạp). Với n 1 mệnh đề đúng. 2 Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n k k ¥ , k 1 , ta có ak ak 2 ak 1 5 . Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. Thật vậy: 2 2 2 2 ak 1ak 3 ak 2 ak 1 3ak 2 ak 1 ak 2 ak 2 3ak 1 ak 2 ak 1 ak 2.ak ak 1 5 (đpcm). 1 1 a a a2 1 a a Ta có . i i 2 i 1 i i 1 ,i 1. ai 1ai 2 5 ai 1ai 2 5 ai 1 ai 2 Ta có thể định nghĩa thêm a0 2 thì dãy số vẫn thỏa mãn hệ thức truy hồi. n 1 n 1 1 1 ai ai 1 1 a0 an Từ đó bn   ,n 1. i 0 ai 1ai 2 5 i 0 ai 1 ai 2 5 a1 an 1 n n an 2 3 5 Theo câu a) ta có an 1 2 ,n . Suy ra lim . n an 1 3 5 2 1 2 3 5 5 3 5 Vậy lim bn (đpcm). n 5 3 2 30 x2 4 cosx 3 Câu 28. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Tính giới hạn : lim x 0 x2 Lời giải Tác giả: Đỗ Văn Dương ; Fb: Dương Đỗ Văn x2 4 cosx 3 x2 4 2 cos x 1 x2 4 2 cos x 1 Ta có: lim lim lim lim . x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 2 2 x2 4 2 x 4 2 x 4 2 1 1 lim 2 lim lim x 0 x x 0 x2 x2 4 2 x 0 x2 4 2 4  Trang 245 
  18. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 2sin2 cos x 1 sin x lim lim 2 , ta có lim 1 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x x x x x x x x 2sin2 sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 1 lim 2 2lim 2 . 2 2lim . lim . x 0 x2 x 0 x x x 0 x x 4 x 0 x x 2 .2 .2 2 2 2 2 x2 4 cosx 3 1 1 1 lim . x 0 x2 4 2 4 Câu 29. (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx . x Lời giải lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx Tính x . .Nếu m 3 thì lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 3x x lim 3 x3 2x2 1 x 4x2 2x 3 2x x 3 2 3 3 2 3 2 2 x 2x 1 x 4x 2x 3 2x lim x 2 2 3 x3 2x2 1 x  3 x3 2x2 1 x2 4x 2x 3 2x x3 2x2 1 x3 4x2 2x 3 4x2 lim 2 x 3 3 2 3 3 2 2 2 3 x 2x 1 x  x 2x 1 x x  4 2 2x x x x2 2 1 3 2 x 2 lim x x x 2 2 2 3 x 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 1 x 4 2 2 x 3 x 3 x x x x 2 1 3 2 7 . 6 .Nếu m 3 thì lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx x lim 3 x3 2x2 1 x 4x2 2x 3 2x (m 3)x x . .Nếu m 3 thì lim 3 x3 2x2 1 4x2 2x 3 mx x lim 3 x3 2x2 1 x 4x2 2x 3 2x (m 3)x x  Trang 246 
  19. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 . Câu 30. (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Cho dãy số un được xác định bởi u1 1, u2 3 * . un 2 un 2 un 1 1 ,n ¥ u Tính lim n . n n2 Lời giải Tác giả: Ngọc Thanh; Fb: Ngọc Thanh u1 1, u2 3 1 n 1 . un 2 un 2 un 1 1 2 Đặt vn un 1 un . Ta có 2 un 2 un 1 un 1 un 2 vn 1 vn 2 . Suy ra vn lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v1 2 và công sai d 2 . Nên vn 2 n 1 .2 2n . Khi đó: un un un 1 un 1 un 2  u2 u1 u1 n n 1 vn 1 vn 2 . v1 u1 2 n 1 n 2  1 1 2 1 n n 1 1. 2 u n(n 1) 1 n2 n 1 u Do đó: lim n lim lim 1. Vậy lim n 1. n n2 n n2 n n2 n n2 log 2 cos 2x Câu 31. (HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019) Tính lim 2018 . x 0 x2 Lời giải Ta có log 2 cos 2x log eln 2 cos2x lim 2018 lim 2018 x 0 x2 x 0 x2 2 2 ln 1 2sin x sin x 2log2018 e.lim 2 . x 0 2sin x x 2log2018 e Câu 32. (HSG12 tỉnh Thái Nguyên năm 2018-2019) Cho dãy số u thỏa mãn n n 1 u1 2 2 . u1 u2  un 1 un n un , n 1 2 Tìm giới hạn lim n un . Lời giải Tác giả: HoàngQuyên ; Fb: HoàngQuyên  Trang 247 
  20. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Theo giả thiết ta có : 2 2 n 1 un 1 u1 u2  un un 1 n un un 1 2 2 n 2n un 1 n un n 2 un 1 nun n n n 1 n n 1 n 2 u u . u . . u n 1 n 2 n n 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n n 2 n n 1 n 2 3 2 1 4  . .  . . u n 2 n 1 n 5 4 3 1 n 2 n 1 4 2 4n 2 4n un n un lim n un lim 4 n n 1 n 1 n 1 f x 10 Câu 33. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho lim 5 . x 1 x 1 f x 10 Giới hạn lim bằng x 1 x 1 4 f x 9 3 5 A. 10. B. . C. 1. D. 2 . 3 Lời giải Tác giả: Trịnh Văn Điệp; Fb: Trịnh Văn Điệp Chọn C f x 10 Ta có: lim 5 suy ra được giới hạn có dạng vô định 0/0. x 1 x 1 Khi đó ta có lim f x 10 0 f 1 10 . x 1 f x 10 f x 10 x 1 Khi đó lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 4 f x 9 3 4 f x 9 3 f x 10 x 1 2 lim .lim 5. 1. x 1 x 1 x 1 4 f x 9 3 4 f 1 9 3 4x2 7x 12 2 Câu 34. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Cho biết lim . Giá trị của a x a x 17 3 thuộc khoảng nào sau đây: A. 4; 1 . B. 7; 4 . C. 1;4 . D. 3;5 . Lời giải Tác giả: Giáp Văn Khương; Fb: Giáp Văn Khương Chọn C  Trang 248 
  21. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 7 12 7 12 x 4 4 4x2 7x 12 2 2 2 Ta có lim lim x x lim x x . x a x 17 x 17 x 17 a x a a x x 2 2 Vậy ta có a 3 . Vậy a 1;4 . a 3 Câu 35. (HSG11 Bắc Ninh 2018-2019) Cho dãy số (un ) xác định bởi 2u + u u = 2019;u = 2020;u = n n- 1 ,n ³ 2,n Î ¥ . 1 2 n+ 1 3 Tính limun . Lời giải Tác giả:Đinh Công Huấn ; Fb: Đinh Công Huấn 2u u Ta có: u n n 1 3 u u u u * n 1 3 n 1 n n n 1 Đặt vn un 1 un , n 1. khi đó v1 u2 u1 1 1 * 3v v v là cấp số nhân công bội q . n n 1 n 3 Ta có: v1 u2 u1 v2 u3 u2 v3 u4 u3 vn un 1 un cộng vế với vế ta được n 1 1 n 3 3 1 v v v v u u v u 2019 u 1 2019 1 2 3 n n 1 1 1 4 n 1 n 1 4 3 3 n 1 n 1 3 1 3 1 8079 un 1 2019 limun lim 1 2019 . 4 3 4 3 4 8079 Vậy limu . n 4 Câu 36. (HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Tính C 0 C 2 x2 C 4 x4 C 2018 x2018 22017 lim 2018 2018 2018 2018 . x 1 x 1 Lời giải Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh  Trang 249 
  22. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 0 1 2 2 2018 2018 2018 S1 C2018 C2018 x C2018 x  C2018 x 1 x 0 1 2 2 2018 2018 2018 S2 C2018 C2018 x C2018 x  C2018 x 1 x 1 2018 2018 S C 0 C 2 C 4 C 2018 x2018 1 x 1 x 2018 2018 2018 2018 2 C 0 C 2 C 4 C 2018 x2018 22017 lim 2018 2018 2018 2018 x 1 x 1 1 x 2018 1 x 2018 22018 lim x 1 2 x 1 1 x 2018 22018 x 1 2017 lim x 1 2 x 1 2 2017 2016 2015 2 2017 2017 x 1 1 x 1 x .2 1 x .2  2 x 1 lim x 1 2 x 1 2 1 x 2017 1 x 2016 .2 1 x 2015 .22  22017 x 1 2017 lim x 1 2 2 2018.22016 n2 + n - n Câu 37. (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Tìm lim ? 4n2 + 3n - 2n Lời giải 2 n2 + n - n n( 4n + 3n + 2n) Ta có lim = lim 4n2 + 3n - 2n 3n( n2 + n + n) 3 4+ + 2 4n2 + 3n + 2n 2 = lim = lim n = . 2 æ ö 3 n + n + n ç 1 ÷ 3 ( ) 3ç 1+ + 1÷ èç n ø÷ 3 x 7 5 x2 Câu 38. (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) Tính giới hạn sau lim . x 1 x 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến. Phản biện: Hồng Vân. 3 x 7 5 x2 3 x 7 2 2 5 x2 Ta có lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  Trang 250 
  23. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 1 x2 1 lim 2 x 1 3 3 2 x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 2 5 x 1 x 1 1 1 7 lim x 1 2 2 3 x 7 2.3 x 7 4 2 5 x 12 2 12 Câu 39. (HSG12 Hà Nội năm 2018-2019) Cho dãy số an xác định bởi 2 1 an * a1 ,an 1 2 ;n ¥ 2 an an 1 a) Chứng minh dãy số an là dãy số giảm. b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt bn a1 a2 an . Tính lim bn . x Lời giải Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương 2 2 an an an 1 a) Xét hiệu an 1 an 2 an 2 . an an 1 an an 1 * 2 * Từ cách xác định dãy số ta có an 0,n ¥ và an an 1 0 an 1 an 0,n  Vậy an là dãy số giảm. 2 an an 1 an 1 an 1 b) Ta có an 1 2 1 2 . an an 1 an an 1 2 an 1 1 an an 1 1 an 1 1 2 an an an 1 an 1 1 an 1 an 1 1 1 an an 1 1 an 1 1 1 1 Suy ra bn a1 a2 an 2. 1 an 1 1 a1 1 an 1 1 Lại có: Dãy số an là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn a2 Giả sử lim an a lim an 1 a a a 0 hay lim an 0 2 . x x a2 a 1 x Từ 1 và 2 ta có lim bn 1. x Câu 40. (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho dãy xn xác định bởi 2 n 1 x1 x2 1, xn .xn 2 xn 1 3. 1 . 1) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy xn đều là số nguyên x 2) Tính lim n 1 . x1 x2 xn  Trang 251 
  24. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải 2 n 1 2 n 2 1) Ta có từ giả thiết xn .xn 2 xn 1 3. 1 , xn 1.xn 1 xn 3. 1 từ đây suy ra 2 2 xn .xn 2 xn 1 xn xn 1.xn 1,n 2,3, x x x x x x x x Hay suy ra n 2 n n 1 n 1 n n 2 3 1 3 xn 1 xn xn 1 x2 Từ đó ta có: xn 2 3xn 1 xn ,n 1,2,3, Mà x1 1, x2 1 nên ta có xn ¢ ,n 1,2,3, 2) Dãy đã cho là dãy sai phân thuần nhất cấp hai nên có phương trình đặc trưng là x2 3x 1 0 với n n hai nghiệm t1 0 t2 1 nên có công thức tổng quát là xn At1 Bt2 . n 1 n 1 t1 1 t2 1 Khi đó, x1 x2 xn A. B . t1 1 t2 1 x At n 1 Bt n 1 1 13 Từ đó ta có lim n 1 lim 1 2 t 1 . x x x t n 1 1 t n 1 1 1 2 1 2 n A. 1 B 2 t1 1 t2 1 n2 n n Câu 41. (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Tìm lim . 4n2 3n 2n Lời giải 3 2 4 2 n2 n n n 4n 3n 2n 4n2 3n 2n 2 lim lim lim lim n . 4n2 3n 2n 3n n2 n n 3 n2 n n 1 3 3 1 1 n Câu 42. (HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định như sau 1 u ;u 3 1 2 2 . u u 1 n 1 n un 2 ,n 1 un 1 un Chứng minh rằng dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó Lời giải Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyetle un 1un 1 un 1 1 un 1 un 1 1 un 1 Từ un 2 được un 2 1 và un 2 1 . un 1 un un 1 un un 1 un u 1 u 1 u 1 Suy ra n 2 n 1 n . un 2 1 un 1 1 un 1 un 1 Đặt vn ta có vn 2 vn .vn 1 nên vn 2 vn . vn 1 . un 1  Trang 252 
  25. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Đặt xn ln vn ta được xn 2 xn 1 xn . 1 5 1 5 Phương trình đặc trưng t 2 t 1 0 có nghiệm t ;t 1 2 2 2 n n 1 5 1 5 Vậy x  . n 2 2 1 1 5 1 5 1 v1  ln 3 u1 3 x1 ln 3 2 2 0.38 Từ 2 . 1 x2 ln 2 3 5 3 5  0.78 u2 3 v2  ln 2 2 2 2 n n 1 5 1 5 1 5 1 5 Vì 1; 1 nên lim x lim  2 2 n 2 2 un 1 Suy ra lim vn lim 0 . Vậy dãy un có giới hạn là 1. un 1 Câu 43. (HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho dãy số un thỏa mãn: u1 2019 1 . n 1 n un 1 un n 2019 Tìm công thức số hạng tổng quát và tính limun . Lời giải Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải 1 1 Ta có un 1 un un 1 un do đó n 1 n 2019n n 1 n 2019n 1 u2 u1 2 1 20191 1 u3 u2 3 2 20192 .  1 un un 1 n n 1 2019n 1 n 1 1 1 1 1 1 2019 Suy ra: un u1  . n 1 20191 20192 2019n 1 2018 n 1 1 1 n 2019 Vậy u 2019 . n 2018  Trang 253 
  26. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có n 1 1 1 n 2019 1 1  1 2020 2019 1 u 2019 n 2020 n 1.11.2020 1 n 2018 n n (AM-GM cho n 1 số 1 và số 2020 ). 2019 Mặt khác lim 1 1. Vậy limun 1. n u1 1 Câu 44. (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho dãy số u thỏa mãn 2u . n u n ,n 1,n ¥ n 1 5un 1 1 2 2 2 2 Đặt Sn u1 u2 u3 un . Chứng minh dãy Sn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh đượcun 0,n ¥ 2 5un 1 1 2un Ta có: un 1 5un 1 2 2 5un 1 5un 1 1 5 4 25u2 20u 4 20u 4 u2 u u n 1 n 1 n n 1 5 n n 1 4 9 4 Do đó: S u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u u u . n 1 2 3 n 1 5 1 n 5 5 n Chứng minh un là dãy giảm. 2 6 1 Thật vậy: u u . Giả sử u u . Ta sẽ chứng minh u u 2 5 1 k k 1 k 1 k 2 2 5uk 1 1 2 5uk 1 1 1 u và u u u . k 1 5 k 2 5 k 1 k 2 Vì un là dãy giảm mà un 0,n ¥ nên tồn tại limun l (l 0 và l hữu hạn). Do đó dãy Sn có giới hạn hữu hạn. Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức 5un 1 2 2 5un 1 ta có: 5l 2 2 5l 1 l 0 . 9 Vậy lim S . n 5 Câu 45. (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 2018 . 3n2 9n u n2 5n 4 u , n 1 n 1 n  Trang 254 
  27. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3n Tính g1ớ1 hạn lim 2 .un . n Lời giải 1 (n 1)2 3(n 1) u 1 u Ta có u u n 1 n . n 1 3 n2 3n n (n 1)2 3(n 1) 3 n2 3n un 1 1 Đặt v v v (vn) là cấp số nhân có công bộ1 q và số hạng đầu n n2 3n n 1 3 n 3 n 1 n 1 u1 2018 1009 1009 1 1009 1 2 v1 vn . un . n 3n . 4 4 2 2 3 2 3 n 1 3n 3n 1009 1 3n Kh1 đó lim .u lim .u lim . n2 3n . 2 n 2 n 2 n n 2 3 n 3027 n2 3n 3027 3 3027 lim . 2 lim 1 . 2 n 2 n 2 Câu 46. (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số xác định bởi: u1 2 n * . un 1 4un 3.4 ,n ¥ 2n2 3n 1 Tìm số hạng tổng quát un và tính giới hạn lim un Lời giải n * Số hạng tổng quát có dạng un 4 (an b), n ¥ thật vậy 3 1 Ta có u 2,u 20 a ;b u 4n 1 (3n 1) u u 4n (3n 2) thay vào công thức 1 2 4 4 n n 1 n n un 1 4un 3.4 thấy thỏa mãn. 2n2 3n 1 2n2 3n 1 (2n 1)(n 1) n 1 n 1 Do đó: lim lim n 1 4lim n 4lim n n 0 un 4 (3n 1) 4 (3n 1) 4 4 3n 1 Câu 47. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi u1 2019 u3 20182 . u n ,n * n 1 2 ¥ un un 4036 n 1 v , n * Đặt n  2  ¥ . Tính limvn . k 1 uk 2018 Lời giải Tác giả:Vũ Thị Thuần; Fb:Xu Xu * Ta chứng minh bằng quy nạp un 2019,n ¥ . Thật vậy, với n 1 thì u1 2019 .  Trang 255 
  28. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 2 3 2 u1 2018 2019 2018 Với n 2 thì u2 2 2 2019. u1 u1 4036 2019 2019 4036 Giả sử khẳng định đúng với n k k 2,k ¥ tức là uk 2019 . Khi đó 3 2 3 2 uk 2018 2019 2018 uk 1 2 2 2019. uk uk 4036 2019 2019 4036 * Vậy un 2019,n ¥ . n 1 n v , n * Khi đó n  2 2  ¥ k 1 uk 2018 2019 2018 n 1 1 Vậy limv lim , vì limn ;lim . n 20192 2018 20192 2018 20192 2018 vietanhhda1983@gmail.com Câu 48. (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số un được xác định bởi u1 2018 . 3n2 9n u n2 5n 4 u , n 1 n 1 n 3n Tính giới hạn lim 2 .un . n Lời giải 1 3 n 1 un 1 1 un Ta có un 1 un 3 n2 3n n 1 2 3 n 1 3 n2 3n u 1 1 Đặt v n v v v là cấp số nhân có công bội q và số hạng đầu n n2 3n n 1 3 n n 3 n 1 n 1 u1 2018 1009 1009 1 1009 1 2 v1 vn . un . n 3n 4 4 2 2 3 2 3 n 1 3n 3n 1009 1 3n Khi đó lim .u lim .u lim . n2 3n . 2 n 2 n 2 n n 2 3 n 3027 n2 3n 3027 3 3027 lim . 2 lim 1 . 2 n 2 n 2 Câu 49. (HSG11 Nghệ An 2018-2019) Cho dãy số un , biết 2u u n2 n 2 u 12 , n 1 n với n 1. 1 n2 5n 6 n2 n u Tìm lim n . 2n2 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Quyền; Fb: Nguyễn Trần Quyền Ta có:  Trang 256 
  29. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2u u n2 n 2 2u u n 1 n 2 n 1 n n 1 n n2 5n 6 n2 n n 2 n 3 n n 1 n n 1 2u u n 2 n 1 n n 1 n 2 2 n 3 n n 1 2 n 2 n n 1 n 2 2u u 2 1 n 1 n n 1 n 2 2 n 3 n n 1 2 n 2 n 1 n 2 n n 1 un 1 2 1 un 1 2 2 * n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 2 n n 1 n 2 n n 1 un 1 1 1 Đặt vn , từ * ta có vn 1 vn nên vn là cấp số nhân có công bội q , n n 1 2 n 2 n n 1 2 2 1 v suy ra 1 2 2 n 1 1 un 1 1 n n 1 n 2 2 vn v1q un n 3n 2 2n n n 1 2 n 2 n n 1 2n 2n Khi đó 2 u n n 1 n 2 n2 3n 2 lim n lim 2n2 1 n 2 2n2 1 2 2n 1 n n 1 n 2 Ta có 2n C0 C1 C2 C3  Cn C3 n 3 n n n n n n 6 Do đó ta có bất đẳng thức sau n n 1 2 n 2 6n n 1 2 n 2 0 n 3 2n 2n2 1 n n 1 n 2 2n2 1 6n n 1 2 n 2 n n 1 2 n 2 Vì lim 0 nên lim 0 n n 1 n 2 2n2 1 2n 2n2 1 n2 3n 2 1 u 1 hơn nữa lim nên lim n 2n2 1 2 2n2 1 2 u 1 Vậy lim n . 2n2 1 2 Câu 50. (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 2018 . 3n2 9n u n2 5n 4 u , n 1 n 1 n 3n Tính giới hạn lim 2 .un . n Lời giải Ta có:  Trang 257 
  30. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 un 1 1 un 3n 9n un 1 n 5n 4 un . . n 1 n 4 3 n n 3 u u 1 Đặt v n 1 , v n , suy ra v v . n 1 n 1 n 4 n n n 3 n 1 3 n u1 1009 v1 n 1 1 1 3 2 1009 1 3027 Dễ thấy vn là cấp số nhân với vn . n . 1 2 3 2.3 q 3 2 u 3027 n 3n Mặt khác v n u . n n n 3 n 2.3n Như vậy ta có: 2 3 n n 2 3027n 1 3 3 3027 n 3n n 3027 lim 2 .un lim 2 . n lim 2 . n n 2.3 2n 2 Câu 51. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019)Cho dãy số un được xác định như sau u 2019 1 . * un 1 2un n 1 n ¥ un Tìm số hạng tổng quát của dãy số un . Tính lim . n 3n Lời giải Tác giả: Nguyễn xuân Giao; FB: giaonguyen Phản biện: Vũ Ngọc Tân; FB: Vũ Ngọc Tân * Ta có un 1 2un n 1 un 1 n 1 2 un n n ¥ v 2018 Đặt v u n với n * . Khi đó ta có dãy v thỏa mãn 1 n n ¥ n * vn 1 2vn n ¥ n 1 n 1 n 1 là một cấp số nhân có công bội q 2 vn v1.q 2018.2 un 2018.2 n . n 1 Vậy un 2018.2 n . n u 2018.2n 1 n 2 n Ta có lim n lim lim 1009. 0 n n n n n n 3 3 3 3 n 2 n (Vì lim 0 ; lim n 0 ). n 3 n 3 Câu 52. (HSG11 Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định  Trang 258 
  31. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 u 2 1 1 2 . un 1 un un un ,n 1 2018 u u u Tính g1ớ1 hạn sau lim 1 2 n . u2 1 u3 1 un 1 1 Lời giải u u u 1. Tính g1ớ1 hạn lim 1 2 n . u2 1 u3 1 un 1 1 x x 1 *) Đặt f (x) x . Theo g1ả th1ết ta có u f (u ), n 1. (1) 2018 n 1 n Nhận thấy nếu x 2 thì f (x) 2 , mà u1 2 nên từ (1) suy ra un 2,n 1. 1 Do đó un 1 un un un 1 0,n 1, nên dãy u là dãy tăng. 2018 n G1ả sử dãy un bị chặn trên, kh1 đó dãy un có g1ớ1 hạn hữu hạn. Đặt limun L , ta có L 2 do un 2,n 1. Lấy g1ớ1 hạn ha1 vế của (1), ta được un un 1 L L 1 L 0 limun 1 lim un L L (vô lí vì L 2 ). 2018 2018 L 1 1 Như vậy dãy un không bị chặn trên, do đó limun lim 0 . un 1 2 *) Ta có:un 1 un un un un un 1 2018 un 1 un 2018 u u u 1 2018 u u 2018 un 1 1 un 1 n n n n 1 n un 1 1 un 1 1 un 1 un 1 1 un 1 un 1 1 un 1 1 1 2018. . un 1 un 1 1 u1 u2 un Đặt Sn u2 1 u3 1 un 1 1 1 1 1 Sn 2018 2018 1 lim Sn 2018 . u1 1 un 1 1 un 1 1 2x 1 3 3x 1 Câu 53. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Tính giới hạn L lim x 0 x2 Lời giải Tác giả:Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân. Phản biện: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu.  Trang 259 
  32. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2x 1 3 3x 1 2x 1 x 1 3 3x 1 x 1 Ta có : L lim lim x 0 2 x 0 2 2 x x x 2x 1 x 1 2 3x 1 x 1 3 lim x 0 2 x 2x 1 x 1 x2 3 3x 1 2 3 3x 1. x 1 x 1 2 x2 x3 3x2 lim x 0 2 x 2x 1 x 1 x2 3 3x 1 2 3 3x 1. x 1 x 1 2 1 x 3 lim . x 0 2x 1 x 1 3 3x 1 2 3 3x 1. x 1 x 1 2 1 1 1 . 2 2 1 Vậy L . 2 Câu 54. (HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định bởi u 3 1 1 u u2 5u u ,n ¥ ,n 1 n 1 2 n n n 1 1 1 Ta thành lập dãy số vn với vn 2 2  2 . Chứng minh rằng dãy số vncó giới hạn và tính u1 u2 un giới hạn đó. Lời giải Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team toán vd – vdc. * Ta dễ có un 0,n ¥ . 1 1 Ngoài ra u u2 5u u u2 u u ,n ¥ * . Do đó dãy u  tăng. n 1 2 n n n 2 n n n n Giả sử un bị chặn, khi đó limun a,a 3 u1,a ¡ . Cho qua giới hạn hệ thức 1 1 u u2 5u u a a2 5a a a 0 vô lý. n 1 2 n n n 2 1 Từ đó suy ra un không bị chặn và limun ,lim 0. un 1 Ta có u u2 5u u 2u u u2 5u 4u2 4u u 5u , (vì n 1 2 n n n n 1 n n n n 1 n 1 n n un 1 un 0 )  Trang 260 
  33. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 5 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 2 4 2 vn 2 un 1 un un 1 un 1 5 un un 1 u1 5 u1 un 1 4 1 17 Suy ra limv  . n 9 5 3 45 Câu 55. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? 3x 4 3x 4 3x 4 3x2 4 A. lim B. lim C. lim 2 . D. lim . x x 2 x 2 x 2 x 2 x 4x 4 x x 2 Lời giải Tác giả: Hồ Thanh Nhân; Fb: Nhan Ho Thanh Chọn D Ta có : 4 3 3x 4 3x 4 3x 4 lim lim x 3 . lim , lim , 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4x 4 1 x 4 3 3x2 4 2 lim lim x.lim x . x x 2 x x 2 1 x mx m 1 1 Câu 56. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Tìm giá trị của m để lim 2 . x 1 x 1 A. m 4 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 4 . Lời giải Tác giả: Lê Thị Kim Loan; FB: Kim Loan. Chọn D mx m 1 1 Theo đề ta có: lim 2 x 1 x 1 mx m lim 2 x 1 x 1 mx m 1 1 m lim 2 x 1 mx m 1 1 m 2 m 4. 2 Vậy m 4 . Câu 57. (HSG11 Hậu Lộc tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định  Trang 261 
  34. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 u 2 1 1 2 . un 1 un un un ,n 1 2018 u u u Tính lim 1 2 n . u2 1 u3 1 un 1 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Quý Thành; Fb: Thành Nguyễn u u 1 Theo giả thiết ta có: u n n u mà u 2 suy ra 2 u u u n 1 2018 n 1 1 2 3 Do đó dãy un là dãy tăng. Giả sử dãy un bị chặn trên suy ra limun L với L 2 , khi đó: n 2 2 un 2017un L 2017L L 0 limun 1 lim L (Vô lý do L 2 ). 2018 2018 L 1 1 Vậy dãy u không bị chặn trên hay limu lim 0. n n un 1 2 Ta có: un 1 un un un un un 1 2018 un 1 un 2018 u u u 1 2018 u u n n n n 1 n un 1 1 un 1 1 un 1 un 1 1 un 1 2018 un 1 1 un 1 1 1 2018. . un 1 1 un 1 un 1 un 1 1 u1 u2 un Đặt Sn  . u2 1 u3 1 un 1 1 1 1 1 Sn 2018 2018 1 lim Sn 2018. u1 1 un 1 1 un 1 1 u u u Vậy lim 1 2 n 2018 . u2 1 u3 1 un 1 1 Câu 58. (HSG11 THPT Hậu Lộc Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho dãy số un xác định u 2 1 1 2 . un 1 un un un ,n 1 2018 u u u Tính lim 1 2 n . u2 1 u3 1 un 1 1 Lời giải  Trang 262 
  35. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 (n 1)2 3(n 1) u 1 u Ta có u u n 1 n n 1 3 n2 3n n (n 1)2 3(n 1) 3 n2 3n un 1 1 Đặt v v v (vn) là cấp số nhân có công bội q và số hạng đầu n n2 3n n 1 3 n 3 n 1 n 1 u1 2018 1009 1009 1 1009 1 2 v1 vn . un . n 3n 4 4 2 2 3 2 3 n 1 3n 3n 1009 1 3n Khi đó lim .u lim .u lim . n2 3n . 2 n 2 n 2 n n 2 3 n 3027 n2 3n 3027 3 3027 lim . 2 lim 1 2 n 2 n 2  Trang 263 