Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 11: Nhị thức NewTon - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 11: Nhị thức NewTon - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyờn đề 11 Nhị thức NewTon 20 22 3 1 1 Cõu 1. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho T x x x 2 x 0 . Sau khi khai x x triển và rỳt gọn T x cú bao nhiờu số hạng? A. 36 . B. 39 . C. 44 . D. 38 . Lời giải Tỏc giả: Bựi Đức Thắng; Fb: Đức Thắng Chọn D 20 22 20 22 k 3 1 1 20 k 1 1 T x x x C k x3 . C k x22 k . 2  20 k  22 2 x x k 0 x k 0 x 20 22 k 60 4k k 22 3k C20 x C22 x T1 T2 k 0 k 0 Số cỏc số hạng của T x chớnh là số cỏc số mũ khỏc nhau của x . Trong T1 số mũ của x là cỏc bội của 4 trong đoạn  20,60. Trong T2 dễ thấy số mũ của x là cỏc số: 22;19;16;13;10;7;4;1; 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; Dễ thấy cú 4 số mũ trựng nhau của T1 và T2 là 16;4; 8; 20 . Vậy số số hạng trong T x là 20 22 4 38. Chọn D Cõu 2. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phỳc năm 2018-2019) Cho khai triển nhị thức Newton 2 n 2 2n * n 1 n 2 (x x) a0 a1x a2 x a2n x , (n N ) . Tỡm hệ số a10 .Biết rằng Cn Cn 21 Lời giải Tỏc giả:Vừ Văn Trung; Fb: Van Trung Giải phương trỡnh tỡm n: n 1 n 2 * Cn Cn 21(n N ,n 2) n! n! n(n 1) 2 n 6(nh) 21 n 21 n n 42 0 . (n 1)! 2!(n 2)! 2 n 7(l) 6 6 2 6 k 2 6 k k k k 12 k Ta cú: (x x) C6 (x ) .( x) C6 ( 1) x k 0 k 0 2 6 2 12 10 Mà (x x) a0 a1x a2 x a12 x nờn a10 là hệ số của x Suy ra: x10 x12 k k 2 2 2 Vậy hệ số a10 là: C6 ( 1) 15  Trang 218 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 15 2 15 Cõu 3. (HSG11 Nho Quan Ninh Bỡnh 2018-2019) Cho khai triển 3x 2 a0 a1x a2 x a15 x . Hệ số lớn nhất trong khai triển đú là A. a15 . B. a12 C. a9 . D. a8 . Lời giải Tỏc giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien Chọn C k T C k 215 k 3x C k 215 k3k xk k Ơ ;0 k 15 Số hạng tổng quỏt k 1 trong khai triển đó cho là: 15 15 . T a C k 215 k3k Hệ số của số hạng tổng quỏt k 1 là k 15 . a C 0 21530 - Với k 0 : Ta cú 0 15 . a C15 20315 - Với k 15 : Ta cú 15 15 . a - Với 0 k 15 : k lớn nhất khi và chỉ khi: k 15 k k k 1 14 k k 1 ak ak 1 C15 2 3 C15 2 3 a a k 15 k k k 1 16 k k 1 k k 1 C15 2 3 C15 2 3 15! 15 k k 15! 14 k k 1 2 3 2 3 k! 15 k ! k 1 ! 14 k ! 15! 15! 215 k3k 216 k3k 1 k! 15 k ! k 1 ! 16 k ! 2 3 43 k 15 k k 1 5k 43 5 3 2 5k 48 48 k k 16 k 5 9 6 9 Mà k Ơ nờn suy ra k 9 . Suy ra hệ số lớn nhất là a9 C15 2 3 . So sỏnh cỏc hệ số a0 , a9 và a15 ta thấy a9 lớn nhất. Vậy a9 là hệ số lớn nhất trong khai triển đó cho. Cõu 4. (HSG11 Cụm Hà Đụng Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Tỡm số hạng chứa x5 trong khai triển: 10 2 2 3x x 0 . x Lời giải Tỏc giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến Hướng 1: Trỡnh bày theo lớp 12 như sau: 10 10 10 k 10 2 2 k 2 2 k k 10 k k 3k 10 Ta cú: 3x C10. . 3x C10.2 . 3 .x .( x 0 ) với k 0,1,2, ,10 . x k 0 x k 0 5 5 5 5 5 5 Khi 3k 10 5 k 5 thỡ số hạng chứa x trong khai triển là: C10.2 . 3 .x 1959552.x . Hướng 2: Trỡnh bày theo lớp 11 như sau:  Trang 219 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 10 10 10 k 10 2k 2 2 k k x Ta cú 3x2 Ck . . 3x2 Ck .210 k. 3 . , ( x 0 ) với k 0,1,2, ,10 .  10  10 10 k x k 0 x k 0 x x2k Số hạng chứa x5 ứng với số k thỏa món x5 x2k x15 k 2k 15 k k 5 . x10 k 5 5 10 5 5 5 5 Vậy số hạng chứa x trong khai triển là C10.2 . 3 .x 1959552.x . 1 2 3 Cõu 5. (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho n là số nguyờn dương thỏa món Cn ; Cn ; Cn lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ 5 và thứ 15 của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: 0 2 2 2 4 2 2n 2 1 23 C2n 1 C2n 1 C2n 1 . C2n 1 C46 2 Lời giải Tỏc giả: Nguyễn Cụng Hạnh, Fb: Nguyễn Cụng Hạnh C 2 C1 C3 C1 a. Theo giả thiết ta cú C 2 C1 4d ; C3 C1 14d n n n n n n n n 4 14 2 1 3 1 3 2 1 n(n 1)(n 2) n(n 1) 7 Cn Cn 2 Cn Cn 2Cn 7Cn 5Cn 0 2 7 5n 0 6 2 n 11 2n2 27n 55 0 5 . n (L) 2 Với n 11, thử lại thỏa món cấp số cộng. 0 2 2 2 4 2 22 2 1 23 Ta cần chứng minh C23 C23 C23 C23 C46 . 2 0 2 2 2 4 2 n 1 2 1 n Ta sẽ chứng minh tổng quỏt Cn Cn Cn Cn C2n với n lẻ. 2 2n n n 0 1 n n 0 n 1 n 1 n Xột khai triển (1 x) (1 x) (x 1) Cn Cn x  Cn x Cn x Cn x  Cn . 2 2 2 2 2 n 0 1 2 3 n n Đồng nhất hệ số của x của đẳng thức trờn ta cú Cn Cn Cn Cn  Cn C2n (1) n 1 n 1 0 n 1 n 1 2 2 Do n lẻ và Cn Cn ;Cn Cn ; ;Cn Cn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Nờn C 0 C1 C 2 C3  C n 2 C 0 C 2 C 4 . C n 1 . n n n n n n n n n 0 2 2 2 4 2 n 1 2 1 n Thay vào (1) ta cú Cn Cn Cn . Cn C2n (đpcm). 2 2 3 4 n Cõu 6. (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Tớnh tổng S 21Cn 32Cn 43Cn  n(n 1)Cn . Lời giải  Trang 220 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta cú: S 21C 2 32C3 43C 4  n(n 1)C n với số hạng tổng quỏt là n n n n n! u k k 1 C k k k 1 k n k! n k ! n n 1 n 2 ! k 2 ! n 2 ! k 2 ! k 2 n n 1 Cn 2 2 k n . Từ đú: 0 1 n 2 S n n 1 Cn 2 Cn 2  Cn 2 n n 1 2n 2. Cõu 7. (HSG11 Thị Xó Quảng Trị năm 2018-2019) Cho k là số tự nhiờn thỏa món: 5 k 2014 . Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 5 k 5 k C5 .C2014 C5 .C2014 C5 .C2014 C2019 Lời giải Tỏc giả: Đinh Thị Phương Trõm, Facebook: trõm đinh Ta cú: (x 1)5.(x 1)2014 (x 1)2019 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Đặt M (x 1) C5 C5 x C5 x C5 x C5 x C5 x 2014 0 1 2 2 k k 2014 2014 N (x 1) C2014 C2014 x C2014 x C2014 x C2014 x 2019 0 1 2 2 k k 2019 2019 P (x 1) C2019 C2019 x C2019 x C2019 x C2019 x Vỡ P M.N nờn số hạng chứa xk trong P cú dạng: k k 0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 5 5 k 5 k 5 C2019 x C5 .C2014 x C5 x.C2014 x C5 x .C2014 x C5 x .C2014 x 0 k k 1 k 1 k 2 k 2 k 5 k 5 k C5 .C2014 x C5.C2014 x C5 .C2014 x C5 .C2014 x (*) 0 k 1 k 1 5 k 5 k Thay x 1 vào (*) ta cú: C5 .C2014 C5 .C2014 C5 .C2014 C2019 Cõu 8. (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Tớnh tổng 2 3 4 n S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn . Lời giải 2 3 4 n S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn k n! n n 1 n 2 ! Số hạng tổng quỏt: uk k k 1 Cn k k 1 k! n k ! k 2 ! n 2 ! k 2 ! k 2 n n 1 Cn 2 2 k n 0 1 n 2 n 2 S n n 1 Cn 2 Cn 2 Cn 2 n n 1 2 n Cõu 9. (HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) Tỡm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1+ x + x2 ) 0 2 2n , biết n là số tự nhiờn thỏa món hệ thức C2n + C2n + + C2n = 512.  Trang 221 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Giải: 2n 0 1 2 2n- 1 2n *) Ta cú 0 = (1- 1) = C2n - C2n + C2n - - C2n + C2n . 0 2 2n 1 3 2n- 1 Suy ra: C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 2n 2n 0 1 2n Mà 2 = (1+ 1) = C2n + C2n + + C2n 0 2 2n 1 3 2n- 1 = (C2n + C2n + + C2n ) + (C2n + C2n + + C2n ) 0 2 2n = 2(C2n + C2n + + C2n ) 10 0 2 2n = 2.512 = 2 (do C2n + C2n + + C2n = 512 ). ị 2n = 10 Û n = 5 *) Xột khai triển 5 5 5 1+ x + x2 = ộ1+ x 1+ x ự = C k xk 1+ x k ( ) ở ( )ỷ ồ 5 ( ) k= 0 5 ổk ử 5 ổk ử = C k xk ỗ Ci xi ữ = ỗ C kCi xk+ i ữ (với i, k ẻ Ơ ,0 Ê i Ê k Ê 5 * ). ồ 5 ỗồ k ữ ồ ỗồ 5 k ữ ( ) k= 0 ối= 0 ứ k= 0 ối= 0 ứ *) Vỡ số hạng chứa x5 nờn k + i = 5. Kết hợp với điều kiện (*) ta được cỏc trường hợp sau: ùỡ i = 0 ùỡ i = 1 ùỡ i = 2 ớù ; ớù ; ớù . ợù k = 5 ợù k = 4 ợù k = 3 5 0 1 4 2 3 *) Hệ số cần tỡm là: C5 .C5 + C4.C5 + C3 .C5 = 51 . Cõu 10. (HSG 12 Yờn Lạc 2 Vĩnh Phỳc năm 2018-2019) Cho n là một số nguyờn dương. Gọi a3n 3 là 3n 3 2 n n hệ số của x trong khai triển thành đa thức của x 1 x 2 . Tỡm n sao cho a3n 3 26n ?. Lời giải Tỏc giả: Nguyễn Đức Hoạch, Fb: Hoạch Nguyễn Phản biện: Nguyễn Văn Mộng, FB: Nguyễn Văn Mộng n n n n 2 n n k 2 n k m n m m k 2n 2k m n m m Ta cú: x 1 x 2 Cn x . Cn x .2 Cn x . Cn x .2 k 0 m 0 k 0 m 0 m,n,k Ơ ; 0 m,k n . Xột số hạng chứa x3n 3 thỡ ta suy ra 2n 2k n m 3n 3 2k m 3 . Do k,m Ơ nờn suy ra k,m 0;3 , 1;1  . 3n 3 0 3 3 1 1 ⇒ Hệ số của số hạng chứa x là a3n 3 Cn .Cn .2 Cn .Cn .2 .  Trang 222 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 n! n! n! Theo giả thiết a 26n nờn C 0.C3.23 C1.C1.2 26n .8 . .2 26n 3n 3 n n n n 3! n 3 ! n 1 ! n 1 ! 4n n 1 n 2 2 2n2 26n 2n 3n 35 0 n 5 (Do n Ơ ) . 3 Vậy n 5 thỏa món yờu cầu bài toỏn. Cõu 11. (HSG12 Cụm Thanh Xuõn năm 2018-2019) Tỡm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển Newton của biểu thức 2 3x n biết n là số nguyờn dương thỏa món hệ thức 1 2 n 20 C2n 1 C2n 1  C2n 1 2 1. Lời giải Tỏc giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc Phản biện: Nguyễn Văn Mến;FB: Nguyễn Văn Mến 1 2 n 20 0 2 n 20 Ta cú C2n 1 C2n 1  C2n 1 2 1 C2n 1 C2n 1  C2n 1 2 . 0 1 2 n n 1 n 3 n 3 2n 1 Do C2n 1 C2n 1 C2n 1  C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1  C2n 1 . 2n 1 0 1 2 n n 1 n 2 n 3 2n 1 Suy ra (1 1) C2n 1 C2n 1 C2n 1  C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1  C2n 1 . 22n 1 2  220 22n 1 221 2n 1 21 n 10 . k 10 k k k 10 k k k Số hạng thứ k 1 trong khai triển là Tk 1 C10 2 3x C10 2 3 x . 10 10 10 Theo yờu cầu đề bài suy ra k 10 . Vậy hệ số của x trong khai triển là C10 3 59049 . n 1 n Cõu 12. (HSG12 Quảng Ngói 2018-2019) Cho n là số nguyờn dương thỏa món Cn 4 Cn 3 7 n 3 . Tỡm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức Niu-tơn n 2 3 P 2x 3 , x 0 . x Lời giải Tỏc giả:Trần Văn Đức ; Fb: Đức trần văn Ta cú: n 4 ! n 3 ! C n 1 C n 7 n 3 7 n 3 n 4 n 3 n 1 !.3! n!.3! n 3 n 2 7 n 3 n 2 14 n 12 (tm) 2 12 3 12 n 12, P 2x2 C k 212 k ( 3)k x24 5k Với 3  12 . x k 0 Số hạng chứa x4 ứng với 24 5k 4 k 4 4 4 8 4 Vậy hệ số chứa x là C12 .2 .3 Cõu 13. (HSG11 Nho Quan Ninh Bỡnh 2018-2019) Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển  Trang 223 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 10 2 1 x 3 , x 0 . x 3 10 5 6 A. C10 . B. C10 . C. C10 . D. C10 . Lời giải Tỏc giả: Giỏp Văn Khương; Fb: Giỏp Văn Khương Chọn D 10 10 k 10 1 10 k 1 Ta cú x2 C k x2 C k x20 5k . 3  10 3  10 x k 0 x k 0 Số hạng khụng chứa x ứng với k Ơ thỏa món x20 5k x0 1 20 5k 0 k 4. 4 4 6 6 Vậy số hạng khụng chứa x là C10 . Mà ta cú C10 C10 , nờn số hạng khụng chứa x là C10 . Cõu 14. (HSG11 Nho Quan Ninh Bỡnh 2018-2019) Cho khai triển 2 3 8 2 14 3x 2 2x 3 a0 a1x a2 x a14 x . Tỡm a11 Lời giải Tỏc giả: Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần 3 Xột khai triển: 3x2 2 cú số hạng tổng quỏt: k 2 3 k k T1 C3 3x 2 k 0;1;2;3 . Khai triển 2x 3 8 cú số hạng tổng quỏt: i 8 i i T2 C8 2x 3 i 0;1;2; ;8 . 3 Khi đú số hạng tổng quỏt của khai triển 3x2 2 2x 3 8 là: k 2 3 k k i 8 i i k i 3 k i 8 i k 2k i 14 T C3 3x 2 .C8 2x 3 C3 .C8 3 3 2 2 x . 11 a11 là hệ số đứng trước x , khi đú ta cú: 2k i 14 11 k 0 i 3 k 1 i 1 0 3 0 3 5 3 1 2 1 7 a11 C3 .3 . 2 .C8 .2 . 3 C3.3 . 2 .C8.2 . 3 1140480 . Cõu 15. (HSG11 Nho Quan Ninh Bỡnh 2018-2019) Cú bao nhiờu số tự nhiờn x thỏa món 2 2 3Ax A2 x 42 0 ? A. 2 . B. 0 . C. 7 . D. 5 . Lời giải  Trang 224 
8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tỏc giả: Phạm Trần Luõn; Fb: Phạm Trần Luõn Chọn D x 2 Điều kiện: . x Ơ 3.x! 2x ! Ta cú: 3A2 A2 42 0 42 0 3x x 1 2x 2x 1 42 0 x 2 x x 2 ! 2x 2 ! x 2 x 42 0 7 x 6 x 2;3;4;5;6. Vậy cú 5 số tự nhiờn thỏa yờu cầu bài toỏn. Cõu 16. (HSG12 tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Tỡm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị n 1 thức x biết rằng n là số nguyờn dương thỏa món: 2 4 x 1 2 3 n 1 n Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn nCn 64n . Lời giải n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n * Xột khai triển 1 x Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Cn x (1) (n N ) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta cú: n 1 1 2 3 2 n 1 n 2 n n 1 n 1 x Cn 2Cn x 3Cn x (n 1)Cn x nCn x (2) Thay x 1 vào (2) ta được: n 1 1 2 3 n 1 n n.2 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn nCn . Từ giả thiết 1 2 3 n 1 n Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn nCn 64n Ta cú: 64n n.2n 1 26 2n 1 6 n 1 n 7 (thỏa món n N * ). 7 1 Số hạng tổng quỏt của khai triển x là: 2 4 x k 7 k k 14 3k 7 k 1 1 1 T C k x . C k .x 2 .x 4 C k .x 4 ;0 k 7, k N 7 k 7 k 7 2 4 x 2 2 14 3k Để T chứa x2 ta cần tỡm số k sao cho 0 k 7, k N và 2 k 2 (thỏa món). 4 1 21 Vậy hệ số của số hạng chứa x2 là: .C 2 . 22. 7 4 n 1 Cõu 17. (HSG12 Tõn Yờn – Bắc Giang Năm 2019) Cho nhị thức x trong đú tổng 3 hệ số đầu x tiờn của khai triển của nhị thức đú là 36. Khi đú số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức đó cho bằng: A. 525 . B. 252 . C. 252 . D. 525 . Lời giải  Trang 225 
9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tỏc giả: Phan Thị Quyờn ; Fb: Quyen Phan Chọn C n n k n 1 k n k 1 k k n 2k Ta cú x Cn .x .  1 .Cn .x . x k 0 x k 0 Do tổng 3 hệ số đầu tiờn của khai triển là 36 nờn ta cú phương trỡnh: 0 1 2 Cn Cn Cn 36, n 2,n N. n n 1 1 n 36. 2 n2 3n 70 0. n 10 n 7(l). 10 1 k k 10 2k Khi đú nhị thức x cú số hạng tổng quỏt trong khai triển là 1 .C10.x . x 5 5 Ta tỡm k sao cho 10 2k 0 k 5 . Vậy số hạng cần tỡm là 1 C10 252 . Cõu 18. (HSG12 tỉnh Lõm Đồng năm 2018-2019) Tớnh tổng 2 2 2 3 k 2 k 2 2019 S 2 C2019 3 C2019 1 k C2019 2019 C2019 . Lời giải Tỏc giả: Nhúm 2 - Tổ 8 nhúm toỏn team toỏn vd - vdc 2 k k 2 k 1 * Trước hết ta chứng minh đẳng thức: k Cn n n 1 Cn 2 nCn 1 1 2 k n, k,n Ơ . 2 k k k Thật vậy: do k Cn k k 1 Cn kCn 2 . Mà: n! n 1 ! n 1 ! kC k k. n. n. nC k 1 3 n k!. n k ! k 1 !. n k ! k 1 !. n 1 k 1 ! n 1 k k 1 k 1 k 2 Áp dụng 3 hai lần ta được: k 1 .k.Cn k 1 .n.Cn 1 n. k 1 .Cn 1 n n 1 Cn 2 4 Từ 2 , 3 , 4 ta được 1 . Áp dụng 1 ta được: 2019 2019 k 2 k k k 2 k 1 S  1 .k .C2019  1 . 2019.2018.C2017 2019.C2018 k 2 k 2 2017 2018 k k k k 2018.2019. C2017 . 1 2019. C2018 . 1 k 0 k 1 2018.2019. 1 1 2017 2019. 1 1 2018 1 2019. Vậy S 2019 .  Trang 226 
10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Cõu 19. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thỏi Bỡnh 2018-2019) Tỡm số tự nhiờn n thỏa món: 1 2 3 n n Cn 2Cn 3Cn nCn n 304 .2 A. 608. B. 2019 . C. 305. D. 2018. Lời giải Tỏc giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen Chọn A n! n 1 ! Xột số hạng k.C k k n nC k 1 . n k! n k ! k 1 ! n k ! n 1 1 2 3 n 0 1 2 n 1 n 1 Do đú ta cú: Cn 2Cn 3Cn nCn n Cn 1 Cn 1 Cn 1 Cn 1 n.2 . Kết hợp với giả thiết ta được: n.2n 1 n 304 .2n n 2 n 304 n 608 Cõu 20. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho khai triển 2 2019 2 4038 (1 x x ) a0 a1x a2 x a4038 x . Tớnh S a0 a1 a2 a4038 . A. S 1. B. S 34038 . C. S 0 . D. S 32019 . Lời giải Tỏc giả: Nguyễn Thị Thuyờn; Fb:Thuyờn Nguyễn. Chọn D 2 2019 2 4038 Theo bài ra ta cú: (1 x x ) a0 a1x a2 x a4038 x  x R. 2019 2019 Ta thay x 1 vào thỡ được: (1 1 1) a0 a1 a2 a4038 . 3 S . Vậy S 32019 . Cõu 21. (HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Tớnh tổng 1 1 2 2 2 2 2018 2018 2 2019 2019 2 S C2019 C2019 C2019 C2019 . 2019 2018 2 1 Lời giải Tỏc giả:Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi Xột số hạng tổng quỏt : 2 k k k 2019! k 2019! k k 1 2019 k Tk . C2019 . .C2019 .C2019 C2019 .C2019 , 2020 k 2020 k 2019 k ! k ! 2020 k ! k 1 ! k 1,2, ,2019 0 2018 1 2017 2017 1 2018 0 Suy ra S C2019 .C2019 C2019 .C2019 C2019 .C2019 C2019 .C2019 Xột 2019 2019 0 1 2019 2019 0 1 2019 2019 1 x 1 x C2019 C2019 x C2019 x C2019 C2019 x C2019 x  Trang 227 
11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VềNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Hệ số của x2018 trong khai triển 1 x 2019 1 x 2019 là : 0 2018 1 2017 2017 1 2018 0 C2019 .C2019 C2019 .C2019 C2019 .C2019 C2019 .C2019 1 4038 0 1 2018 2018 4038 4038 Xột khai triển : 1 x C4038 C4038 x C4038 x C4038 x 2018 4038 2018 Hệ số của x trong khai triển 1 x là C4038 2 1 1 2 2 2 2 2018 2018 2 2019 2019 2 2018 Từ 1 và 2 ta cú S C2019 C2019 C2019 C2019 C4038 2019 2018 2 1 n Cõu 22. (HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Chứng minh rằng C3n chia hết cho 3 với mọi n nguyờn dương. Lời giải 3n ! 1.2.3 3n 1 .3n 1.2.3 3n 1 3n 1 ! Ta cú C n 3. 3. 3C n 1 . 3n n!. 2n ! 1.2.3 n. 2n ! 1.2.3 n 1 . 2n ! n 1 !. 2n ! 3n 1 n Nờn C3n chia hết cho 3 với mọi n nguyờn dương.  Trang 228 