›
›
›

Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

doc 39 trang nhungbui22 12/08/2022 1681
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_cau_hoi_hinh_hoc_lop_11_duoc_tach_tu_de_luyen_thi_t.doc

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

  1. Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và ABCD bằng 60 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng SBD bằng: 41 5 2 5 2 41 A. .B. .C. . D. . 41 5 5 41 Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi E , F lần lượt là trung điểm SO ,OB thì EF là hình chiếu của MN trên SBD . Gọi P là trung điểm OA thì PN là hình chiếu của MN trên ABCD . Theo bài ra: M· NP 60 . Áp dụng định lý cos trong tam giác CNP ta được: 2 2 2 2 2 2  3a 2 a 3a 2 a 2 5a NP CP CN 2CP.CN.cos 45 2. . . . 4 4 4 2 2 8 a 10 a 30 a 30 Suy ra: NP , MP NP.tan 60 ; SO 2MP . 4 4 2 SB SO2 OB2 2a 2 EF a 2 . 1 Ta lại có: MENF là hình bình hành ( vì ME và NF song song và cùng bằng OA). 2 Gọi I là giao điểm của MN và EF , khi đó góc giữa MN và mặt phẳng SBD là N· IF . IK a 2 4 2 5 cos N· IF . . IN 2 a 10 5 Cách 2: Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ sao cho: a 2 a 2 a 2 a 2 O 0;0;0 S 0;0; x , A ;0;0 ,C ;0;0 , B 0; ;0 , D 0; ;0 , , x 0 . 2 2 2 2
  2. a 2 x M là trung điểm của SA : M ;0; 4 2 a 2 a 2 N là trung điểm của BC : N ; ;0 4 4  a 2 a 2 x MN ; ; , k 0;0;1 . 4 4 2  x MN.k Ta có :sin 60o  2 x a 30 MN . k 2a2 a2 x2 8 8 4  a 2 a 2 a 30 Khi đó MN ; ; 4 4 4 VTCP của SBD là i 1;0;0 Gọi là góc giữa SBD và MN  MN.i 1 2 Ta có :sin  cos . MN i 5 5 Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Hình hộp ABCD.A B C D có AB AA AD a và ·A AB ·A AD B· AD 60 . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD bằng: a 2 a 3 A. .B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Lời giải Chọn A
  3. Theo bài ra thì A ABD là tứ diện đều cạnh bằng a . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD là EF . 2 2 2 2 a 3 a a 2 Ta có: EF EB BF . 2 4 2 Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng B C và AA biết góc giữa hai mặt phẳng ABB A và A B C bằng 60 . 3a 7 a 21 3a a 3 A. d .B. d . C. d .D. d . 14 14 4 4 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm BC , theo giả thiết A H  ABC . Vì ABC là tam giác đều nên AH  BC . Vậy BC  A AH BC  AA . Gọi M là trung điểm AB , N là trung điểm MB . Ta có CM  AB , NH là đường trung bình BCM nên HN //CM HN  AB . Mà góc giữa hai mặt phẳng ABB A và A B C bằng góc giữa hai mặt phẳng ABB A và ABC là góc ·A NH 60 . Vì AA //BB nên d AA ; B C d AA ; BCC B
  4. Trong mặt phẳng A AH , kẻ HK  AA tại K . Ta thấy HK  AA mà AA //BB HK  BB , HK  BC nên HK  BCC B . Vì AA //BB nên d AA ; B C d AA ; BCC B d K; BCC B HK . 1 a 3 3a Ta có HN CM A H NH.tan 60 . 2 4 4 a 3 3a 1 1 1 16 4 28 Trong A AH có AH ; A H nên 2 4 HK 2 A H 2 AH 2 9a2 3a2 9a2 3a 7 HK . 14 Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), SA 2a. Tam giác ABC vuông tại B AB a , BC a 3 . Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 3 1 2 1 A. cos .B. cos . C. cos . D. cos . 5 5 3 3 Lời giải Chọn A Cách 1: S H A C B Kẻ BH  AC BH  (SAC) . Áp dụng công thức S' S cos trong đó S' dt SHC , S dt SBC , là góc hợp bởi hai mặt phẳng SBC và SAC a2 15 Dễ thấy tam giác SBC vuông tại B và SB a 5 . dt SBC 2 BC2 3 3 15 CH a , dt SHC a2 . Vậy cos AC 2 2 5 Cách 2: Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A a;0;0 , B 0;0;0 , S a;0;2a ,C 0;a 3;0 .
  5.    SA 0;0; 2a Chọn u1 0;0;1 cùng phương với SA    SC a;a 3; 2a Chọn u2 1; 3; 2 cùng phương với SC    SB a;0; 2a Chọn u3 1;0;2 cùng phương với SB   n u ;u 3; 1;0 SAC 1 2   n u ;u 2 3;0; 3 SBC 2 3 n SAC .n SBC 6 3 cos n SAC n SBC 2 15 5 Câu 5: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a. Biết SA 3a và SA  (ABCD) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng (SCD). 3 15a 3 30a 3 10a 3 50a A. d . B. d . C. d . D. d . 60 40 20 80 Lời giải Chọn B S K H A D B C I HS HS BI Cách 1: Kẻ AH  (SBC) AH  SB . Ta có d d(B,(SCD)) . d(A,(SBC)) BS BS AI SH SH.SB SA2 3a2 3 mà ; SB SB2 SB2 4a2 4 BI 1 Tam giác ADI có BC là đường trung bình nên AI 2 3 3 3 SA.SC 3 a 3.a 2 3a 30 Vậy d d(A,(SCD)) d A,SC 8 8 8 SA2 SC 2 8 3a2 2a2 40 Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:
  6. 3V V SH 3 d H .SCD ; S.HCD dt(SCD) VS.BCD SB 4 3 1 3 1 a2 10 3a 30 V V SA.AB.BC a3 ; dt SCD SC.CD d . S.HCD 4 S.BCD 8 8 2 2 40 Câu 6: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác SAB đều, M là trung điểm của SA . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCD . a 21 a 21 a 3 a 3 A. .B. . C. .D. . 14 7 14 7 Lời giải Chọn A S I M A D H K B C * Gọi H là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD . Ta có SH  ABCD và a 3 SH . Hạ HI  SK . 2 1 1 1 * Khi đó d M ; SCD d A; SCD d H; SCD HI . 2 2 2 1 1 1 1 1 7 * Lại có 2 2 2 2 2 2 . HI HS HK a 3 a 3a 2 a 3 a 21 * Suy ra HI . Vậy d M ; SCD . 7 14 Câu 7: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , BB . côsin của góc hợp bởi MN và AC là: 2 3 5 2 A. .B. . C. .D. . 3 3 3 4 Lời giải Chọn A Cách 1:
  7.    Chọn hệ véc tơ cơ sở là AB , AD , AA .Giả sử độ dài cạnh của hình lập phương là a . Ta có:     AC AB AD AA , AC a 3   1  1  a 6 MN AB AA AD , MN 2 2 2     1  1    AB AD AA AB AA AD   AC .MN 2 2 2 cos AC , MN   AC MN a 6 3 a 3. 2 2 Vậy côsin của góc hợp bởi MN và AC là 3 Cách 2: Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A B C D là a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A, B Ox , D Oy , A Oz . Khi đó, tọa độ các đỉnh: A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , A 0;0;a , B a;0;a , C a;a;a . a M là trung điểm của AD M 0; ;0 2 a N là trung điểm của BB N a;0; 2  a a  Do đó MN a; ; ; AC a;a;a 2 2   Cosin góc giữa AC và MN là     MN.AC a2 2 cos MN, AC cos MN, AC   . MN . AC 6 3 a 3.a 2 Câu 8: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD 8, đáy nhỏ BC 6 , SA vuông góc với đáy, SA 6 . Gọi M là trung điểm AB , P là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng P có diện tích bằng: A. 20 .B. 16. C. 30 .D. 15. Lời giải Chọn D
  8. S 6 Q P 8 A D M N B 6 C Gọi N , P và Q lần lượt là trung điểm của CD , SC và SB . Ta có: P  SAB MQ , P  ABCD MN , P  SCD NP . Do đó, thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng P là tứ giác MNPQ . Dễ thấy MNPQ là hình thang vuông tại M , Q và MQ PQ 3 , MN 7 . MQ. MN PQ 3. 7 3 Vậy diện tích hình thang MNPQ là: S 15 . MNPQ 2 2 Câu 9: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng: 3a 3 a a 3 a 3 A. .B. .C. .D. . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B S N A D H M I O B C Gọi O AC  BD , I là trọng tâm của tam giác ABD ; gọi M , N lần lượt là trung điểm của AI và SA ; gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên NO . 3 3 Khi đó, ta có: d SC, BD d SC, NBD d C, NBD d M , NBD MH . 2 2 Do SI  ABCD , suy ra SIA vuông tại I .
  9. 2 2 2 2 2 a 3 a 6 a 6 Khi đó, ta có: SI SA AI a . MN . 3 2 3 6 a 3 Trong tam giác vuông NMO vuông tại M , có: OM ; 3 1 1 1 6 3 9 a 3 a a Suy ra MH d SC, BD . . MH 2 MN 2 MO2 a2 a2 a2 3 2 3 2 Câu 10: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a và SA  ABC . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60° . Gọi M là trung điểm của cạnh AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng 5a 5 3a 10 3a A. 5 3a .B. .C. .D. . 2 79 79 Lời giải Chọn D S H K ° A 60 C M N 3a 4a B Trong mặt phẳng ABC , kẻ MN // AB cắt BC tại N AB // SMN . Ta có d AB, SM d AB, SMN d A, SMN . Hạ đường cao từ A xuống MN tại K . Kẻ AH  SK H . Khi đó AH  SMN AH d A, SMN . Ta có AC BC 2 BA2 5a . Ta lại có SA AC.tan 60 5 3a . Do MN // AB BN  MN , tứ giác ABNK có: Bµ Nµ Kµ 90 suy ra ABNK là hình chữ nhật.
  10. 1 AK BN BC 2a . 2 1 1 1 SA.AK Ta có 2 2 2 AH . AH SA AK SA2 AK 2 5 3a.2a 10a 3 AH . 75a2 4a2 79 Câu 11: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA 2a 3 . Gọi I là trung điểm của AD , mặt phẳng P qua I và vuông góc với SD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P . 3 5a2 3 15a2 15 3a2 5 3a2 A. . B. .C. .D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn C S H A K B I M D C Kẻ IM //CD với M BC . IM  SA  Ta có  IM  SAD IM  SD P  ABCD IM . IM  AD Kẻ IH  SD với H SD P  SAD IH . IM //CD  Vì IM  P  P  SCD HK với HK //IM //CD và K SC . CD  SCD  P  SBC KM . Vì IM  SAD nên IM  IH . Do đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là hình thang IHKM vuông tại I và H . Ta có IM AB 2a . SA 2 3a Xét SAD có: tan S· AD 3 S· DA 60. AD 2a HI 3 Xét DHI có: sin H· DI HI ID.sin 60 a. . ID 2 Xét SAD có: SD SA2 AD2 12a2 4a2 4a . 3a2 a a 7a Xét DHI có: HD ID2 IH 2 a2 SH SD HD 4a . 4 2 2 2
  11. 7a HK SH 7 7 7 7a Vì HK //CD nên theo Talet ta có 2 HK CD .2a . CD SD 4a 8 8 8 4 7a a 3 2a . 2 IM HK .IH 4 2 15 3a Do đó diện tích thiết diện là S . IHKM 2 2 16 Câu 12: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi a 6 tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AB SB a , SO . 3 Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD . A. 30 .B. 45.C. 90 .D. 60 . Lời giải Chọn C S M C D O B A Gọi M là trung điểm của SA . SAB  SAD SA · Ta có SAB , SAD BM , DM . BM  SA; DM  SA 6a2 a 3 Trong SBO vuông tại O , có OB SB2 SO2 a2 . 9 3 a 6 2a 3 a 3 Trong SAO vuông tại O , ta có OA SO SA OA 2 AM . 3 3 3 3a2 a 6 Mặt khác, có DM BM AB2 AM 2 a2 . 9 3 OB a 3 3 2 Xét tam giác vuông BOM vuông tại O , có sin B· MO . B· MO 45 . BM 3 a 6 2 Vậy góc ·SAB , SAD 90 . Câu 13: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA a , SB b , SC c . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng
  12. a2 b2 c2 a b c A. . B. . 3 3 abc abc C. . D. . b2c2 c2a2 a2b2 bc ca ab Lời giải Chọn C A N I C S M B Gọi I là hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng ABC suy ra SI  ABC . Gọi M AI  BC , N CI  AB . BC  SA Ta có BC  AM . BC  SI Mặt khác SC  AB , mà hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABC là CI nên AB  CI (định lí ba đường vuông góc) hay AB  CN . Do đó I là trực tâm của tam giác ABC . 1 1 1 Ta có SM 2 SB2 SC 2 1 1 1 1 1 1 SB2.SC 2 SC 2.SA2 SA2.SB2 và . SI 2 SA2 SM 2 SA2 SB2 SC 2 SA2.SB2.SC 2 abc Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng . b2c2 c2a2 a2b2 Câu 14: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi a 6 tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AB SA a , SO . 3 Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD . (Câu này là phiên bản 2 của câu 16, do GV dùng sai giả thiết dẫn đến đáp án D, do thấy lời giải hay nên giữ lại để ae dùng) A. 30 .B. 45.C. 90 .D. 60 . Lời giải Chọn D
  13. S M A C D a O B S I A B a M Gọi M là hình chiếu của B lên SA . SAB  SAD SA · Ta có SAB , SAD BM , DM . BM  SA; DM  SA 6a2 a 3 Trong SAO vuông tại O , có OA SA2 SO2 a2 . 9 3 a 6 2a 3 Trong SOB vuông tạo O , ta có OB SO SB OB 2 . 3 3 3a2 a 6 Gọi I là trung điểm SB , suy ra AI AB2 BI 2 a2 . 9 3 Cách 1: 2a 3 a 6 . SB BM SB.AI 2a 2 Mặt khác, ta có SBM ∽ SAI nên BM 3 3 . SA AI SA a 3 OB a 6 3 3 Trong tam giác vuông OBM , có sin B· MO . B· MO 60 . MB 3 2a 2 2 Suy ra B· MD 120 . Vậy góc ·SAB , SAD 60 . Cách 2: Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ sao cho: a 3 a 6 a 6 a 6 A ;0;0 , B 0; ;0 , D 0; ;0 , S 0;0; . 3 3 3 3  a 3 a 6   SA ;0; ,chọn u 3;0; 6 cùng phương với SA 1 3 3  a 6 a 6   SB 0; ; ,chọn u 0; 6; 6 cùng phương với SB 2 3 3  a 6 a 6   SD 0; ; ,chọn u 0; 6; 6 cùng phương với SC 3 3 3    n u ;u 6; 18 18 là vtpt của mp SAB 1 1 2    n u ;u 6; 18 18 là vtpt của mp SAD 2 1 3
  14. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD   n1.n2 36 1 cos   60o . 72 2 n1 n2 Câu 15: HẾT (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có các cạnh AB 2 , AD 3, AA 4 . Góc giữa hai mặt phẳng AB D và A C D là . Tính giá trị gần đúng của góc ? A. 61,6.B. 38,1 . C. 45,2 . D. 53,4 . Lời giải Chọn A  Cách 1: z A D C B 4 A 3 D 2 y B C x Chọn hệ trục A xyz như hình vẽ Ta có A 0;0;0 , B 2;0;0 , D 0;3;0 , C 2;3;0 , A 0;0;4 , D 0;3;4   1   AB 2;0; 4 ; AD 0;3; 4 VTPT của mp AB D là n AB  AD 6;4;3 . 1 2   1   A D 0;3;4 ; A C 2;3;0 VTPT của mp A C D là n A C  A D 6; 4;3 . 2 2 Khi đó góc giữa hai mặt phẳng phẳng AB D và A C D là n .n 9 cos 1 2 61,6 . n1 . n2 61  Cách 2: A D C B I 4 H A 3 D 2 O B C Gọi O, I lần lượt là tâm các hình chữ nhật A B C D và ADD A . Ta có AB D  A C D OI OIA OID các đường cao HA và HD bằng nhau
  15. ·AB D , A C D ·A HD Mặt khác 1 1 5 1 13 OI AB 5 ; ID AD ; OD B D . 2 2 2 2 2 OI ID OD Diện tích tam giác OID là S p p OI p ID p OD , với p OID 2 61 S OID 4 1 2S 305 Mà S HD .OI HD OID OID 2 OI 10 29 Áp dụng định lí cosin trong tam giác HA D ta có cos ·A HD ·A HD 118,4 61 Mà góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn nên 180 ·A HD 61,6. Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tất cả các cạnh bằng 2 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng AB D và BC D bằng: 3 2 3 A. .B. .C. .D. 3 . 3 3 2 Lời giải Chọn B Ta có AB D ∥ BDC . Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng AB D và BC D bằng khoảng cách từ D đến BC D . 1 1 1 4 Ta có: V V BC.S BC.S 2.22 . D .BDC B.D DC 3 D DC 6 DCC D 6 3 2 2 2 3 BDC đều cạnh 2 2 nên S 2 3 BDC 4 4 3. 1 3V 3 2 Mặt khác: VD BDC d D , BC D .S BDC d D , BDC . 3 S BDC 2 3 3
  16. Câu 17: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3 . Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng: 2a 39 a 39 2a 3 2a A. .B. .C. .D. . 13 13 13 13 Lởi giải Chọn A S A K H M A B K M B C C Từ M dựng Mx //AB . Ta có AB// SMx vậy d AB, SM d AB, SMx d A, SMx . Dựng AK  Mx , AH  AK . Dễ thấy AH  AKM d A, SMx d A, SMK AH . 1 AK BC a , SK a 13 . 2 SA.AK 2a 3.a 2a 39 Vậy AH.SK SA.AK AH AH . SK a 13 13 HẾT
  17. Câu 18: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình hộp xiên ABCD.A B C D có các cạnh bằng nhau và bằng a , B· AD B· AA D· AA 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng a a a 3 A. a .B. .C. .D. . 2 3 3 2 Lời giải Chọn B A D I B C G D A B C Gọi G là trọng tâm tam giác A BD , I là trung điểm BD . Ta có tứ diện ABDA là tứ diện đều cạnh a nên AG  AB D Suy ra AC  A BD AC  GI AC  BD (do ABCD là hình thoi) BD  AG  BD  ACA BD  GI BD  AC  1 a 3 Vậy d AC , BD GI A I . 3 6 Câu 19: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 4 2 cm , cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC 2cm . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30 .B. 60 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn C
  18. Gọi I là trung điểm của BM , ta có NI //CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và 1 1 3 NI . Xét tam giác SNI có SN SC 2 CN 2 4 8 2 3 ; NI CM 4 2. 6 ; 2 2 2 CI CM 2 MI 2 24 2 26 SI SC 2 CI 2 4 26 30 . SN 2 NI 2 SI 2 12 6 30 12 2 Vậy cos S· NI S· NI 135 . 2SN.NI 2.2 3. 6 3 2.4 2 Vậy góc giữa SN và CM bằng 45. Câu 20: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB 2a , B· AC 60 và SA a 2 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng ABC kẻ BH  AC Mà BH  SA BH  SAC
  19. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng B· SH . 3 Xét tam giác ABH vuông tại H , BH AB.sin 60 2a. a 3 2 1 AH AB.cos60 2a. a . 2 2 Xét tam giác SAH vuông tại S , SH SA2 AH 2 a 2 a2 a 3 . Xét tam giác SBH vuông tại H có SH HB a 3 suy ra tam giác SBH vuông tại H . Vậy B· SH 45. Câu 21: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB AD 2a , DC a . Điểm I là trung điểm đoạn AD , mặt phẳng SIB và SIC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 . Tính khoảng cách từ D đến SBC theo a . 2a 15 9a 15 9a 15 a 15 A. .B. .C. .D. . 5 10 20 5 Lời giải Chọn D Cách 1: S A E A B B I 60 H D D C C SIB  ABCD Ta có SIC  ABCD SI  ABCD . SIB  SIC SI Trong mp ABCD , kẻ IH  BC thì BC  SIH ·SBC , ABCD S· HI . Mặt khác 1 1 1 3a2 S S S S S AD AB CD ID.DC IA.AB S . IBC ABCD ICD IAB IBC 2 2 2 IBC 2 1 2SIBC 2SIBC 3a Lại có SIBC IH.BC IH IH IH . 2 BC AB2 DE 2 5 3a 3 6a Tam giác SHI vuông tại I có SI IH.tan 60 và SH 5 5 Khi đó
  20. SI.SBCD VS.DBC VD.SBC d D, SBC SSBC 1 Mà S S S a2 ; S SH.BC 3a2 BCD ABCD ABD SBC 2 a 15 d D, SBC . 5 Cách 2: S A E B K I 60 F H D C SIB  ABCD Ta có SIC  ABCD SI  ABCD . SIB  SIC SI Trong mp ABCD , kẻ IH  BC thì BC  SIH ·SBC , ABCD S· HI . Mặt khác: 1 1 1 3a2 S S S S S AD AB CD ID.DC IA.AB S . IBC ABCD ICD IAB IBC 2 2 2 IBC 2 1 2SIBC 2SIBC 3a Lại có SIBC IH.BC IH IH IH . 2 BC AB2 DE 2 5 3a 3 6a Tam giác SHI vuông tại I có SI IH.tan 60 và SH . 5 5 Gọi E là trung điểm cạnh AB và F là giao điểm của DF và IH Vì BCDF là hình bình hành nên DF // BC d D, SBC d F, SBC KF . DI.AE a 2a Hai tam giác DFI và DAE đồng dạng nên IF FH . DE 5 5 SI.HF a 15 Hai tam giác HKF và HIS đồng dạng nên KF . SH 5 a 15 Vậy d D, SBC . 5 Câu 22: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SA 2a . Gọi M là trung điểm cạnh SC , là mặt phẳng đi qua A , M và song song với đường thẳng BD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng .
  21. 4a2 4a2 2 2a2 2 A. a2 2 .B. .C. .D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D S M F E I A D B O C Gọi O AC  BD , I SO  AM . Trong mặt phẳng SBD qua I kẻ EF / /BD , khi đó ta có AEMF  là mặt phẳng chứa AM và song song với BD . Do đó thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng là tứ giác AEMF . FE // BD Ta có: FE  SAC FE  AM . BD  SAC Mặt khác ta có: * AC 2a SA nên tam giác SAC vuông cân tại A , suy ra AM a 2 . 2 4a * I là trọng tâm tam giác SAC , mà EF // BD nên tính được EF BD . 3 3 1 2a2 2 Tứ giác AEMF có hai đường chéo FE  AM nên S FE.AM . AEMF 2 3 Câu 23: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A C . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B N bằng A. 2a .B. a 3 .C. a .D. a 2 . Lời giải Chọn A A B M C A' B' N C'
  22. Do mặt phẳng ABC // A B C mà AM  ABC , B N  A B C Nên d AM , B N d ABC , A B C 2a . Câu 24: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 3a a 3a A. .B. .C. .D. . 2 2 2 4 Lời giải Chọn D S C 60 E D K H O I A B Ta có SAD  ABCD , SAD  ABCD AD ; trong mp SAD , kẻ SH  AD thì SH  ABCD Mặt khác Gọi I là trung điểm OA , vì tam giác ASO cân tại S nên AO  SI , AO  SH HI  OA DC 1 Tam giác ADC vuông tại D có AC AD2 DC 2 2a và tan D· AC AD 3 D· AC 30 AI a 3 2a 3 Tam giác AHI vuông tại I có AH HD . cos30 3 3 2a a 3 Tam giác ABH vuông tại A có HB AH 2 AB2 , AB2 IB.HB IB 3 2 Trong mặt phẳng ABCD , dựng hình bình hành ABEC thì BE // AC , BE  SBE AC // SBE d SB, AC d AC, SBE d I, SBE IB 3 3 Mà nên d I, SBE d H, SBE HB 4 4 Lại có tam giác OAB là tam giác đều cạnh a nên BI  AC BI  BE , BE  SH BE  SBH SBE  SBH và SBE  SBH SB
  23. Trong mặt phẳng SBH , kẻ HK  SB thì HK  SBE HK d H, SBE 1 1 1 Tam giác SBH vuông tại H có HK a . HK 2 SH 2 HB2 3 3a Vậy d H, SBE HK a và d I, SBE d H, SBE . 4 4 Câu 25: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 60 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng SAB và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng 21a 21a 3 7a 3 7a A. .B. .C. . D. . 14 7 14 7 Lời giải Chọn C S B I K C M H 60 N A D Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , M là trung điểm AB a 3 Ta có tam giác ABD là tam giác đều DM và BD a 2 HK BH BH 1 a 3 Kẻ HK  AB HK // DM HK DM. DM DM BD BD 3 6 SAB  ABCD AB , AB  HK , AB  SK (định lí ba đường vuông góc) ·SAB , ABCD S· KH a Tam giác SHK vuông tại H có SH HK.tan 60 . 2 Gọi N là giao điểm của HK và CD HN  CD Ta có CD  SHN ; CD  SCD SCD  SHN và SH  CD SHN  SCD SN Trong mặt phẳng SHN kẻ HI  SN thì HI  SCD HI d H, SCD 1 1 1 2 a Tam giác SHN vuông tại H có , với HN DM HI 2 SH 2 HN 2 3 3 a 7 HI 7
  24. BD 3 3 Lại có d B, SCD d H, SCD HD 2 2 a 7 Vậy d B, SCD . 14 Câu 26: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a , mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2 3a , S· BC 30. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC . 6 7a 3 7a A. 6 7a .B. . C. . D. a 7 . 7 14 Lời giải Chọn B S I 30 H B C K A Trong SBC , kẻ SH  BC tại H . Ta có SBC  ABC nên SH  ABC . Ta có SBH vuông tại H có SH SB.sin 30 a 3 ; BH SB.cos30 3a ; HC BC BH a . Khi đó BH 4HC nên d B, SAC 4d H, SAC Trong ABC , kẻ HK  AC ; trong SHK , kẻ HI  SK . Ta có SH  AC nên AC  SHK suy ra AC  HI hay HI d H, SAC . HK CH CH.AB 3a CKH ∽ CBA nên HK . AB CA AB2 BC 2 5 1 1 1 SH.HK 3 7a Tam giác SHK vuông tại H có 2 2 2 HI . HI SH HK SH 2 HK 2 14 6 7a Vậy d B, SAC . 7 Câu 27: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật AM ABCD.A B C D có AB a , AD 2a , AA a . Gọi M là điểm trên đoạn AD với 3. MD Gọi x là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AD , B C và y là độ dài khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C . Tính giá trị xy . 5a5 a2 3a2 3a2 A. .B. .C. .D. . 3 2 4 2 Lời giải
  25. Chọn B A D B C H M D A I O B C Ta có B C // A D B C // ADD A  AD d B C, AD d C, ADD A CD a . Suy ra x a . MA 3 3 3 Lại có: d M , AB C d D, AB C d B; AB C . DA 4 4 4 AC  BI Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên AC ta có: AC  BB I . AC  BB Gọi H là hình chiếu của B lên B I ta có: BH  B I BH  B AC d B, AB C BH . BH  AC AB.BC a.2a 2a 5 Trong tam giác ABC , ta có: AB.BC AC.BI BI . AC a 5 5 1 1 1 BI.BB 2a Trong tam giác BB I , ta có: 2 2 2 BH BH BI BB BI 2 BB 2 3 3 2a a a d B, AB C . . Suy ra y 4 3 2 2 a2 Vậy x.y . 2 HẾT Câu 28: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Đường thẳng AM tạo với mặt phẳng chứa tam giác đều ABC một góc 60 . Biết rằng cạnh của tam giác đều ABC bằng a và M· AB M· AC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC . 3a a 2 a 3 A. .B. .C. a .D. . 4 2 2 Lời giải Chọn A
  26. M P 60 A C H N B Gọi N là trung điểm BC . Ta có M· AB M· AC , AB AC . MAB MAC MB MC MBC cân tại M BC  MN BC  AMN . BC  AN Trong mặt phẳng AMN , dựng NP  MA thì NP  BC NP d AM , BC . Trong mặt phẳng AMN , dựng MH  AN thì MH  ABC AM , ABC M· AN 60 . 3a a 3 Mặt khác tam giác ANP vuông tại P có NP AN.sin 60 vì AN . 4 2 Câu 29: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là A. 45.B. 60 .C. 30 .D. 90 . Hướng dẫn giải Chọn D S N A M D a P B a C Gọi P là trung điểm của CD . Ta có: NP // SC MN, SC MN, NP . a a a 2 Xét tam giác MNP ta có: MN , NP , MP 2 2 2
  27. a2 a2 a2 MN 2 NP2 MP2 MNP vuông tại N 4 4 2 M· NP 90 MN, SC MN, NP 90. Câu 30: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD ; M , N hai điểm nằm trên hai cạnh BC , CD . Đặt BM x , DN y 0 x, y a . Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng SAM và SMN vuông góc với nhau là: A. x2 a2 a x 2y .B. x2 a2 a x y . C. x2 2a2 a x y . D. 2x2 a2 a x y . Hướng dẫn giải Chọn B S A D N B M C Tọa độ hóa với O  A, Ox  AD , Oy  AB , Oz  AS . Đặt SA z 0 , ta có S 0;0; z , M x;a;0 , N a; y;0 .  AS 0;0; z   Do đó  AS; AM az; xz;0 . AM x;a;0  SM x;a; z   2  SM ;SN yz az; xz az; xy a . SN a; y; z   Mặt phẳng SAM nhận AS; AM az; xz;0 là một VTPT.   2 Mặt phẳng SMN nhận SM ;SN yz az; xz az; xy a là một VTPT.     Ta có SAM  SMN AS; AM . SM ;SN 0 az az yz xz xz az 0 a a y x x a 0 x2 a2 a x y . Câu 31: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn A
  28. S a B a C O I A D + Gọi O là tâm của hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Ta có SO  ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và các mặt bên là các tam giác đều cạnh a . + Gọi I là trung điểm cạnh CD . SCD  ABCD CD Theo giả thiết ta có: OI  CD SI  CD nên góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng OI và SI a OI 1 bằng góc S· IO . Khi đó: cos S· IO 2 cos S· IO . SI a 3 3 2 Câu 32: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AD . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SCN theo a . a 3 a 3 a 2 4a 3 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải Chọn C a 3 M là trung điểm của AB thì SM  ABCD . Ta có SM . 2
  29. ID Gọi I là giao điểm của NC và MD . Ta có d D; SCN d M ; SCN . IM Vì ABCD là hình vuông nên NC  DM tại I . ID.CN DN.DC a .a DN.DC a 5 a 5 a 5 3a 5 ID 2 ID 2 IM DM ID . CN a 5 5 2 5 10 IM 3 2 IM  CN Do CN  SMI . Kẻ MH  SI , vì CN  MH nên MH  SCN CN  SM MH d M ; SCN . 1 1 1 4 20 32 Trong tam giác SMI có . MH 2 SM 2 MI 2 3a2 9a2 9a2 3a 2 a 2 Vậy MH d D; SCN . 8 4 Câu 33: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC . a 2 a 3 a 3 a 2 A. .B. .C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A D C A B H D C Trong mặt phẳng AAA B B , dựng AH vuông gócB với A B tại H . ABCD.A B C D là hình lập phương nên BC  AA B B , suy ra BC  AH . AH  A B  A BC  Ta có:  AH  A BC tại H . AH  BC  A BC  AB a 2 Do đó: d A; A BC AH . 2 2 Câu 34: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với mặt đáy. y 3x2 6mx , AK lần x 0 lượt là đường cao của tam giác SAB , y 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai ? x 2m
  30. A. AK  BD .B. BC  AH .C. HK  SC . D. SA  AC . Lời giải Chọn A S K H D A B C + Vì hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với mặt đáy nên SA  ABCD SA  AC (D đúng). BC  SA + Vì BC  SAB , AH  SAB BC  AH (B đúng). BC  AB AH  BC + Vì AH  SC , tương tự ta có AK  SC nên HK  SC (C đúng). AH  SC + Giả sử AK  BD mà BD  SA suy ra BD  SAD BD  AD vô lý nên A sai. Câu 35: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AB SB a , a 6 SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD . 3 A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn D S M D A O C B Do SO  BD SD SB a ; Gọi M là trung điểm của SA .
  31. Ta có ABS cân tại B nên BM  SA , ADS cân tại D nên DM  SA; Khi đó góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD là góc B· MD . a 3 2a 3 Ta có OB SB2 SO2 BD ; 3 3 2a 3 a 3 Do OM  SA SOA vuông cân tại O SA SO 2 AM ; 3 3 a 6 Khi đó DM BM AB2 MA2 . 3 4 Lại có BD2 BM 2 DM 2 MBD vuông cân tại M ; 3 Vậy góc cần tìm bằng 90 . Câu 36: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh AB 8a , SA SB SC SD 8a . Gọi N là trung điểm cạnh SD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ABN . A. 12a2 .B. 6a2 11 .C. 24a2 .D. 12a2 11 . Lời giải Chọn D S M N B C I O A D Mặt phẳng ABN chứa AB//CD nên cắt mặt phẳng SCD theo giao tuyến NM //CD và M cũng là trung điểm của SC . Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang cân ABMN . 8a 3 Hạ NI  AB . Ta có NI 2 AN 2 AI 2 với AN 4a 3 . 2 2AI AB MN 8a 4a 4a AI 2a . Từ đó suy ra NI 2a 11 . 1 1 Vậy S AB MN .NI 8a 4a 2a 11 12a2 11 . ABMN 2 2 Câu 37: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB 2AD 2CD . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AD . Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng SBD bằng 1 cm . Tính diện tích hình thang ABCD . 5 200 10 19 A. cm2 .B. cm2 .C. cm2 .D. cm2 . 3 27 3 2 Lời giải Chọn D
  32. S H B A I K D C * Gọi K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên BD, SK ta có d I; SBD IH 1, AD 3 mà tam giác SAD đều nên ta có SI , gọi J là hình chiếu vuông góc của A lên BD ta 2 1 1 1 5 2AD AJ AD có: AJ IK . AJ 2 AD2 AB2 4AD2 5 2 5 * Do tam giác SIK vuông tại I nên ta có: 1 1 1 4 5 19 19 1 AD IH 2 SI 2 IK 2 3AD2 AD2 3AD2 3 2 AD AB DC 3.AD 19 2 SABCD cm . 2 2 2 Câu 38: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  ABCD , SA a 3 , đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB bằng: 2 3.a 3.a 2 3.a 3.a A. .B. .C. .D. . 3 2 7 7 Lời giải Chọn C Dựng AK là đường cao của tam giác SAB . SA.AB SA.AB 2a.a 3 2 3.a Ta có: AK . SB SA2 AB2 4a2 3a2 7 AD  AB  AD  SA  AD  SAB AD  AK . AB  SA A
  33. AK  AD 2 3.a  d AD, SB AK . AK  SB  7 Câu 39: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , OB a , OC a 3 . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng OBC , OA a 3 , gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM . a 5 a 15 a 3 a 3 A. h .B. h . C. h .D. h . 5 5 2 15 Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng OBC dựng hình bình hành OMBN , kẻ OI  BN . A H O C M N I B Kẻ OH  AI . Nhận xét OM // ABN nên khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM bằng khoảng cách giữa đường thẳng OM và mặt phẳng ABN , bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABN . Suy ra h d O, ABN OH . a 3 Tam giác OBI có OB a , B· OM 60o nên OI . 2 1 1 1 1 1 4 a 3 Tam giác AOI vuông tại O nên OH . OH 2 OA2 OI 2 OH 2 3a2 3a2 5 Câu 40: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam a 6 a 3 giác vuông tại đỉnh A , cạnh BC a , AC các cạnh bên SA SB SC . Tính 3 2 góc tạo bởi mặt bên SAB và mặt phẳng đáy ABC . A. .B. .C. .D. arctan 3 . 6 3 4 Lời giải Chọn B a 3 Vì SA SB SC nên hình chiếu của S trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy 2 ABC . Nhận xét H là trung điểm BC .
  34. S C A M H B Gọi M là trung điểm AB , nhận xét AB  SMH nên góc tạo bởi mặt bên SAB và mặt phẳng đáy ABC là góc S·MH . a 2 Xét tam giác SBH có SH SB2 BH 2 . 2 a 2 SH Xét tam giác SMH có tan M¶ 2 3 M¶ 60o . MH a 6 6 Câu 41: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân, với AB AC a và góc B· AC 120 , cạnh bên AA a . Gọi I là trung điểm của CC . Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I bằng 11 33 10 30 A. .B. . C. .D. . 11 11 10 10 Lời giải Chọn D B' a 3 C' A' a I B C a A 2 2 2 · 2 2 1 2 Ta có BC AB AC 2AB.AC.cos BAC a a 2.a.a. 3a BC a 3 . 2 Xét tam giác vuông B AB có AB BB 2 AB2 a2 a2 a 2 . a2 a 5 Xét tam giác vuông IAC có IA IC 2 AC 2 a2 . 4 2 a2 a 13 Xét tam giác vuông IB C có B I B C 2 C I 2 3a2 . 4 2
  35. 5a2 13a2 Xét tam giác IB A có B A2 IA2 2a2 B I 2 IB A vuông tại A 4 4 1 1 a 5 a2 10 S AB .AI .a 2. . IB A 2 2 2 4 1 1 3 a2 3 Lại có S AB.AC.sin B· AC a.a. . ABC 2 2 2 4 Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I là . Ta có ABC là hình chiếu vuông góc của AB I trên mặt phẳng ABC . a2 3 a2 10 30 Do đó S S .cos .cos cos . ABC IB A 4 4 10 Câu 42: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều S.ABCD bằng a . Gọi O là tâm đáy. Tính khoảng cách từ O tới mp SCD . a a a a A. .B. . C. . D. . 6 2 3 2 Lời giải Chọn A S H A D O M B C Tính khoảng cách từ O tới mp SCD : Gọi M là trung điểm của CD . Theo giả thiết SO  ABCD  CD . CD  SO  SOM CD  OM  SOM CD  SOM mà CD  SCD SCD  SOM . OM  SO O Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM OH  SM SCD  SOM , suy ra OH  SCD nên d O, SCD OH . 2 2 2 2 a 2 a 2 Ta có SO SC OC a . 2 2 Trong SOM vuông tại O , ta có:
  36. 1 1 1 1 1 6 a a 2 2 2 2 2 2 OH d O, SCD OH . OH OM OS a a 2 a 6 6 2 2 Câu 43: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , biết các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Giá trị lượng giác tang của góc giữa hai mặt phẳng SAC và SCD bằng 2 3 21 21 3 A. .B. .C. .D. . 3 3 7 2 Lời giải Chọn A S K B C 60 O A D Kẻ OK  SC . Do S.ABCD là hình chóp đều và ABCD là hình vuông nên SO  ABCD ; BD  SAC SC  BD . Suy ra SC  BKD KD  SC . OD Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAC và SCD là O· KD và tan O· KD (do KOD vuông OK ở O ): ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên AC 2a OA OC OD a . Trong hình chóp đều S.ABCD , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 nên S· AC 60 SO OA.tan 60 a 3 . 1 1 1 a 3 OD 2 2 3 Ta có OK tan O· KD . OK 2 SO2 OC 2 2 OK 3 3 Câu 44: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a,h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB , BC . ah ah ah ah A. .B. .C. .D. . a2 h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 5h2 Lời giải Chọn D Cách 1.
  37. Dựng hình bình hành A B C E . Khi đó EC vừa song song vừa bằng với AB A B nên ABC E là hình bình hành. Suy ra AE//BC hay BC // AB E chứa AB . Ta có: d AB , BC d BC , AB E d C , AB E . Do A C cắt AB E tại trung điểm của A C nên d C , AB E d A , AB E . Dựng A H  B E tại H và A K  AH tại K . Ta chứng minh được A K  AB E . Suy ra d AB , BC A K . 1 1 1 5 1 1 1 5 1 Ta có: 2 2 2 2 và 2 2 2 2 2 A H 1 A B a A K A H A A a h A C 2 a2h2 ah Vậy A K 2 2 . a 5h a2 5h2 Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó: A 0;0;0 , B a;0;0 , C 0;a;0 , A 0;0;h , B a;0;h , C 0;a;h .    Ta có: AB a;0; h , BC a;a; h , B C a;a;0 .   2 Suy ra: AB , BC ah;2ah;a
  38.    2 AB , BC .B C a h ah Do đó: d AB , BC   . 2 2 2 2 4 2 2 AB , BC a h 4a h a a 5h Câu 45: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a . Tính khoảng cách giữa SC và AB biết rằng SO a và vuông góc với mặt đáy của hình chóp. a 5 2a 2a A. a .B. .C. .D. . 5 5 5 Lời giải Chọn D S H B C O M A D Từ giả thiết suy ra hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Ta có AB//CD AB// SCD nên d SC; AB d AB;mp SCD d A;mp SCD . Mặt khác O là trung điểm AC nên d A;mp SCD 2d O;mp SCD . Như vậy d SC; AB 2d O;mp SCD . a Gọi M là trung điểm CD , ta có OM  CD và OM . Kẻ OH  SM , với H SM , thì 2 OH  mp SCD . 1 1 1 1 1 5 Xét tam giác SOM vuông tại O , ta có 2 2 2 2 2 2 . OH SO OM a a a 2 a Từ đó OH . 5 2a Vậy d SC; AB 2d O;mp SCD 2.OH . 5 Câu 46: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết MN a 3 . Tính góc giữa AB và CD . A. 45.B. 30 .C. 90 .D. 60 . Lời giải Chọn D
  39. A N P B D M C Kẻ MP // AB , NP // CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MP và NP . MP2 NP2 MN 2 a2 a2 3a2 1 cos M· PN M· PN 120 . 2.MP.NP 2a2 2 Vậy góc giữa AB và CD bằng 60 .