Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 4 (Có đáp án)

1. 2 n x x Câu 1: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f x x 1 1 1 , 2 n với n N* . Giá trị f 0 bằng? 1 A. 0 .B. 1.C. n .D. . n Lời giải Chọn C Xét với x 0 . Ta có: f 0 1 0 1 0 2 1 0 n 1. 2 n 2 n x x x x Ta có: f x x 1 1 1 ln f x ln x 1 1 1 2 n 2 n x x ln f x ln x 1 2ln 1 nln 1 . 2 n Lấy đạo hàm hai vế ta được: f x 1 1 1 f 0 1 1 1 . f 0 n . f x x 1 x x  1 1 n 2 n Vậy f 0 n . Câu 2: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số x2 ax b khi x 2 y . Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x 2 . Giá trị của a2 b2 3 2 x x 8x 10 khi x 2 bằng A. 20 .B. 17 .C. 18.D. 25 . Lời giải Chọn A x2 ax b khi x 2 Ta có y 3 2 x x 8x 10 khi x 2 2x a khi x 2 y 2 3x 2x 8 khi x 2 Hàm số có đạo hàm tại điểm x 2 4 a 0 a 4 . Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x 2 thì hàm số liên tục tại điểm x 2 . Suy ra lim f x lim f x f 2 x 2 x 2 4 2a b 2 b 2 . Vậy a2 b2 20 . 1 2 3 4 n Câu 3: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho S Cn 2Cn 3Cn 4Cn nCn . Biết S5 . Hỏi có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn biết 40 n 100 . A. 11. B. 10 . C. 12 . D. 13 . Lời giải Chọn A
2. n 0 1 2 2 3 3 4 4 n n Ta có 1 x Cn Cn x Cn x Cn x Cn x Cn x . n 1 1 2 3 2 4 3 n n 1 Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n 1 x Cn 2Cn x 3Cn x 4Cn x nCn x . n 1 1 2 3 4 n Cho x 1 ta có n.2 Cn 2Cn 3Cn 4Cn nCn . n 1 Suy ra S n.2 . Theo giả thiết S5 nên n5 Giả sử n 5k , mà 40 n 100 suy ra 8 k 20 . Vậy có 11 giá trị n thỏa mãn. Câu 4: Cho hàm số f x 2018 x 2017 2x 2016 3x 1 2018x . Tính f 1 . A. 2019.20181009 . B. 2018.10092019 .C. 1009.20192018 . D. 2018.20191009 . Lời giải Chọn C f x 2017 2x 2016 3x 1 2018x 2018 x 2017 2x 2016 3x 2018 2018 x .2. 2016 3x 1 2018x . Suy ra f 1 20192017 2.20192017 3.20192017 2018.20192017 20192017 1 2 3 2018 2018.2019 20192017. 1009.20192018 . 2 3 2 Câu 5: Cho hàm số y x 2x m 1 x 2m Cm . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1;2 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với Cm . Tổng tất cả các phần tử của tập S là 4 81 y A. .B. . 3 109 3 217 C. . D. . x 4 81 O 2 4 3 2 Câu 6: Cho hàm số y x 2x m 1 x 2m Cm . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1;2 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với Cm . Tổng tất cả các phần tử của tập S là 4 81 3 217 A. .B. .C. .D. . 3 109 4 81 Lời giải Chọn D Ta có: y 3x2 4x m 1 . Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M 1;2 là y kx k 2 . 3 2 x 2x m 1 x 2m kx k 2 1 Điều kiện tiếp xúc của C và tiếp tuyến là . m 2 3x 4x m 1 k 2 Thay 2 vào 1 ta có: x3 2x2 m 1 x 2m 3x3 4x2 m 1 x 3x2 4x m 1 2. 2x3 5x2 4x 3 m 1 0 * .
3. Để qua M 1;2 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với Cm thì phương trình * có đúng 2 nghiệm phân biệt. 3 2 y 2x 5x 4x * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y 3 m 1 Xét y 2x3 5x2 4x : y 6x2 10x 4 . x 1 y 0 2 . x 3 Bảng biến thiên: 2 x 1 3 y 0 0 1 y 28 27 4 3 m 1 1 m 3 Dựa vào bảng biến thiên: để * có đúng 2 nghiệm phân biệt thì: 28 . 3 m 1 109 27 m 81 4 109 Do đó: S ;  . 3 81  217 Vậy tổng các phần tử của S là . 81 1 2 2 3 2017 2018 Câu 7: Tổng C2018 2.5C2018 3.5 C2018 2018.5 C2018 bằng A. 1009.24034 .B. 1009.24035 . C. 1009.24035 .D. 1009.24034 . 1 2 2 3 2017 2018 Câu 8: Tổng C2018 2.5C2018 3.5 C2018 2018.5 C2018 bằng A. 1009.24034 .B. 1009.24035 .C. 1009.24035 . D. 1009.24034 . Lời giải Chọn B 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 Ta có: 1 x C2018 xC2018 x C2018 x C2018 x C2018 . 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 Suy ra: 1 x C2018 xC2018 x C2018 x C2018 x C2018 . Lấy đạo hàm hai vế, ta được: 2017 1 2 2 3 2017 2018 2018 1 x C2018 2xC2018 3x C2018 2018x C2018 . Cho x 5. Khi đó: 1 2 2 3 2017 2018 2017 2017 4035 C2018 2.5C2018 3.5 C2018 2018.5 C2018 2018. 1 5 2018. 4 1009.2 . Câu 9: Trên đồ thị C của hàm số y x3 3x có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với C tại M cắt C tai điểm thứ hai N thỏa mãn MN 333 . A. 0 .B. 4 .C. 1.D. 2 .
4. Câu 10: Trên đồ thị C của hàm số y x3 3x có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với C tại M cắt C tai điểm thứ hai N thỏa mãn MN 333 . A. 0 .B. 4 .C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có y 3x2 3 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M m;m3 3m là: d : y 3m2 3 x m m3 3m . Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là: 3m2 3 x m m3 3m x3 3x 2 x m x m x 2m 0 . x 2m Suy ra N 2m; 8m3 6m . Ta có 2 MN 333 MN 2 333 3m 2 9m3 9m 333 9m6 18m4 10m2 37 0 . Đặt m2 t , t 0 ta được 9t3 18t 2 10t 37 0 2 . Do phương trình 2 có duy nhất một nghiệm t dương nên sẽ có 2 giá trị của m thỏa mãn. 2 1 0 2 2 1 2 3 2 2 2018 2017 a Câu 11: Tổng S 1 C2018.2 2 C2018.2 3 C2018.2 2018 C2018 .2 2018.3 2b 1 với a , b là các số nguyên dương và 2b 1 không chia hết cho 3. Tính a b . A. .2B.01 .7C. 4035 4034 .D. . 2018 2 1 0 2 2 1 2 3 2 2 2018 2017 a Câu 12: Tổng S 1 C2018.2 2 C2018.2 3 C2018.2 2018 C2018 .2 2018.3 2b 1 với a , b là các số nguyên dương và 2b 1 không chia hết cho 3. Tính a b . A. 2017 .B. 4035 .C. 4034 .D. 2018 . Hướng dẫn giải Chọn C 0 1 2 2 2018 2018 2018 Ta có: C2018 C2018.x C2018.x C2018 .x 1 x 1 2 2018 2017 2017 C2018 2C2018.x 2018C2018 .x 2018. 1 x 1 2 2 2018 2018 2017 C2018.x 2.C2018.x 2018C2018 .x 2018x. 1 x 1 2 2 2 2018 2018 2017 2016 C2018 2 .C2018.x 2018 C2018 .x 2018 1 x 2018.2017.x 1 x . Thay x 2 S 2018.32017 2018.2017.2.32016 2018.32016 2.2017 3 2018.32016 2.2018 1 . Vậy a 2016 , b 2018 a b 4034 . Câu 13: Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị C và điểm A m;2 . Tìm tập hợp S là tập tất cả các giá trị thực của m để có ba tiếp tuyến của C đi qua A . 4 5 A. S ; 1  ;2  2; .B. S ; 2  ;2  2; . 3 3 5 5 C. S ; 1  ;2  2; .D. S ; 1  ;3  3; . 3 3
5. Câu 14: Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị C và điểm A m;2 . Tìm tập hợp S là tập tất cả các giá trị thực của m để có ba tiếp tuyến của C đi qua A . 4 5 A. S ; 1  ;2  2; .B. S ; 2  ;2  2; . 3 3 5 5 C. S ; 1  ;2  2; .D. S ; 1  ;3  3; . 3 3 Lời giải Chọn C * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x0 ; y0 là 2 3 2 y 3x0 6x0 x x0 x0 3x0 2 . 2 3 2 * Để tiếp tuyến đi qua A m;2 điều kiện là 2 3x0 6x0 m x0 x0 3x0 2 x 2 2 3 2 0 3x0 6x0 m 2x0 3x0 4 1 2 2x0 1 3m x0 2 0 2 Để có ba tiếp tuyến của C đi qua A điều kiện là phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt 9m2 6m 15 0 phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt đều khác 2 m 2 5 m S ; 1  ;2  2; . 3 3 2 Câu 15: Cho hàm số Cm : y x 2x m 1 x 2m , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1;2 có thể vẽ đến Cm đúng hai tiếp tuyến. 4 4 109 A. m .B. m . 3 3 81 109 4 109 C. m .D. m hoặc m . 81 3 81 3 2 Câu 16: Cho hàm số Cm : y x 2x m 1 x 2m , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1;2 có thể vẽ đến Cm đúng hai tiếp tuyến. 4 4 109 A. m .B. m . 3 3 81 109 4 109 C. m .D. m hoặc m . 81 3 81 Lời giải Chọn D Ta có: y 3x2 4x m 1. Giả sử A a;a3 2a2 m 1 a 2m là tiếp điểm của tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến tại A là y 3a2 4a m 1 x a a3 2a2 m 1 a 2m . Do tiếp tuyến qua M 1;2 nên: 2 3a2 4a m 1 1 a a3 2a2 m 1 a 2m 2a3 5a2 4a 3m 3 0 (*). Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị Cm thì (*) có đúng hai nghiệm.
6. a 1 Xét hàm số g a 2a3 5a2 4a 3m 3 , g a 6a2 10a 4 , g a 0 2 . a 3 109 Do đó y 3m , y 3m 4 . CT 27 CĐ 4 m yCT 0 3 Để (*) có đúng hai nghiệm thì . y 0 109 CĐ m 81 f x Câu 17: Cho hàm số f x , g x có đồ thị như hình vẽ. Đặt h(x) . Tính h' 2 (đạo hàm của g(x) hàm số h(x) tại x 2 ). 4 4 2 2 A. h' 2 .B. h' 2 .C. h' 2 . D. h' 2 . 49 49 7 7 3 2 Câu 18: Cho đồ thị C : y x 3x 1. Gọi A1 1;5 là điểm thuộc C . Tiếp tuyến của C tại A1 cắt C tại A2 , tiếp tuyến của C tại A2 cắt C tại A3 , tiếp tuyến của C tại An cắt C tại 2018 An 1 . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho An có hoành độ lớn hơn 2 . A. 22017 .B. 2019 .C. 22018 .D. 2018 . f x Câu 19: Cho hàm số f x , g x có đồ thị như hình vẽ. Đặt h(x) . Tính h' 2 (đạo hàm của g(x) hàm số h(x) tại x 2 ).
7. 4 4 2 2 A. h' 2 .B. h' 2 .C. h' 2 . D. h' 2 . 49 49 7 7 Lời giải Chọn B Xét x ;4 . Ta có đồ thị y g x là đường thẳng nên g x có dạng g x ax b và đồ thị y g x đi qua hai điểm (0;3) và (2;7) nên g x 2x 3. Ta có đồ thị y f x là Parabol nên f x có dạng f x cx2 dx e và đồ thị y f x đi qua điểm (0;6) và có đỉnh là (2;2) nên f x x2 4x 6 . f x x2 4x 6 Suy ra h(x) khi x ;4 , g(x) 2x 3 2 2x 4 2x 3 2 x 4x 6 4 Ta có h'(x) mà 2 ;4 nên h' 2 . 2x 3 2 49 3 2 Câu 20: Cho đồ thị C : y x 3x 1. Gọi A1 1;5 là điểm thuộc C . Tiếp tuyến của C tại A1 cắt C tại A2 , tiếp tuyến của C tại A2 cắt C tại A3 , tiếp tuyến của C tại An cắt C tại 2018 An 1 . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho An có hoành độ lớn hơn 2 . A. 22017 . B. 2019 .C. 22018 .D. 2018 . Lời giải Chọn B 3 2 Gọi Ak xk ; xk 3xk 1 C . Phương trình tiếp tuyến tại Ak là: 2 3 2 k ; y 3xk 6xk x xk xk 3xk 1. Ak 1 C  k , xk 1 xk 3 2 2 3 2 Suy ra x 3x 3xk 6xk x xk xk 3xk x xk 2 2 2 x xxk xk 3 x xk 3xk 6xk x 2xk 3 hay xk 1 2xk 3 xk 1 1 2 xk 1 yk 1 2yk là một cấp số nhân với y1 2,q 2 . n 1 n 1 yn y1 2 2. 2 . n 1 n 1 xn 1 2. 2 xn 1 2. 2 . 2018 xn 2 n 2019 .
8. Câu 21: Biết hàm số f x f 2x có đạo hàm bằng 18 tại x 1 và đạo hàm bằng 1000 tại x 2 . Tính đạo hàm của hàm số f x f 4x tại x 1. A. 2018 .B. 1982.C. 2018 .D. 1018. Câu 22: Biết hàm số f x f 2x có đạo hàm bằng 18 tại x 1 và đạo hàm bằng 1000 tại x 2 . Tính đạo hàm của hàm số f x f 4x tại x 1. A. 2018 .B. 1982.C. 2018 .D. 1018. Lời giải Chọn A - Ta có: f x f 2x f x 2 f 2x f 1 2 f 2 18 Theo giả thiết ta được: f 1 4 f 4 2018 f 2 2 f 4 1000 Vậy f x f 4x f 1 4 f 4 2018. x 1 x 1 Câu 23: Cho hàm số y có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C tạo với hai trục tọa một 2x 2 tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng y x . A. 3.B. 4 . C. 2 .D. 1. x 1 Câu 24: Cho hàm số y có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C tạo với hai trục tọa một 2x 2 tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng y x . A. 3.B. 4 . C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn C Tập xác định D ¡ \ 1 . 4 Ta có y . 2x 2 2 m 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M m; , m 1 là: 2m 2 4 m 1 y x m . 2m 2 2 2m 2 1 1 m2 2m 1 Tiếp tuyến này cắt Ox và Oy lần lượt tại A m2 m ;0 và B 0; với 2 2 2 2 m 1 m 1 2;1 2 . 1 1 1 1 m2 2m 1 Trong tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng y x m2 m 2 3 2 2 3 2 m 1 m 1 2 2 m2 2m 1 0 2 m 2m 1 m 1 2 m 2m 1 . m 1 2 m 1 2 1 m 2 m 0 So với điều kiện ta được m 2 hoặc m 0 .
9. 1 1 1 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là y x ; y x . 9 18 2