Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 3 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C và điểm M m;0 sao cho từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng. 1 1 1 1 A. m ;1 .B. m ;0 .C. m 0; .D. m 1; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Ta có y 3x2 6x . Gọi A a;a3 3a2 thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại A là y 3a2 6a x a a3 3a2 . M m;0 d 3a2 6a m a a3 3a2 0 2a3 3 m 1 a2 6ma 0 a 0 2 . 2a 3 m 1 a 6m 0 1 Khi a 0 ta có phương trình tiếp tuyến y 0. Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với y 0 nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình 1 có hai nghiệm a1 và a2 khác 0 thỏa y a1 .y a2 1 2 2 3a1 6a1 3a2 6a2 1 9a1.a2 a1.a2 2 a1 a2 4 1 0 1 9 3m 3m 3 m 1 4 1 0 27m 1 0 m . 27 1 Thay m vào 1 thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0 . 27 Câu 2: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f x xác định và có 2 3 đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 2x 1 f 1 x x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. Câu này gõ sai đáp án nên không có đáp án nào đúng,em dã sửa lại đáp án B 1 6 1 6 1 5 1 6 A. y x .B. y x .C. y x .D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải Chọn B 2 3 2 3 f 1 0 Từ f 2x 1 f 1 x x (*), cho x 0 ta có f 1 f 1 0 f 1 1 2 Đạo hàm hai vế của (*) ta được 4. f 2x 1 . f 2x 1 3 f 1 x . f 1 x 1. 2 Cho x 0 ta được 4 f 1 . f 1 3. f 1 . f 1 1 f 1 . f 1 . 4 3 f 1 1 ( ). Nếu f 1 0 thì ( ) vô lý, do đó f 1 1, khi đó ( ) trở thành
2. 1 f 1 .4 3 1 f 1 7 1 1 6 Phương trình tiếp tuyến y x 1 1 y x . 7 7 7 Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số 10 y sin 3x.cos x sin 2x . Giá trị của y gần nhất với số nào dưới đây? 3 A. 454492 .B. 2454493.C. 454491.D. 454490 . Lời giải Chọn D 1 1 Ta có y sin 3x.cos x sin 2x sin 4x sin 2x sin 2x sin 4x sin 2x 2 2 n n 1 n n Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được sin ax 1 a sin ax 2 1 9 9 Do đó y 10 x 1 410.sin 5 4x 1 .210.sin 5 2x 2 1 410.sin 4x 210 sin 2x 2 10 y 454490.13 3 Câu 4: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số y 1 3x x2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. y 2 y.y 1.B. y 2 2y.y 1.C. y.y y 2 1.D. y 2 y.y 1. Lời giải Chọn A y 1 3x x2 y2 1 3x x2 2y.y 3 2x 2. y 2 2y.y 2 y 2 y.y 1 a x khi 0 x x Câu 5: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số f x 0 . Biết rằng ta 2 x 12 khi x x0 luôn tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; . Tính giá trị S x0 a . A. S 2 3 2 2 .B. S 2 1 4 2 .C. S 2 3 4 2 . D. S 2 3 2 2 . Lời giải Chọn B a + Khi 0 x x : f x a x f x . Ta có f x xác định trên 0; x nên liên 0 2 x 0 tục trên khoảng 0; x0 . 2 + Khi x x0 : f x x 12 f x 2x . Ta có f x xác định trên x0 ; nên liên tục trên khoảng x0 ; .
3. + Tại x x0 : f x f x a x a x a x x0 a a lim 0 lim 0 lim lim . x x x x x x x x 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 2 x0 x2 12 x2 12 2 2 f x f x0 0 x x0 lim lim lim lim x x0 2x0 . x x x x x x x x 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 Hàm số f có đạo hàm trên khoảng 0; khi và chỉ khi f x f x0 f x f x0 a lim lim 2x0 . x x x x 0 x x0 0 x x0 2 x0 a a khi 0 x x0 Khi đó f x0 2x0 và f x 2 x nên hàm số f có đạo hàm liên 2 x0 2x khi x x0 tục trên khoảng 0; . a Ta có 2x0 a 4x0 x0 1 2 x0 2 Mặt khác: Hàm số f liên tục tại x0 nên x0 12 a x0 2 Từ 1 và 2 suy ra x0 2 và a 8 2 Vậy S a x0 2 1 4 2 . Câu 6: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số 3 2 y x 3mx m 1 x 1 có đồ thị C . Biết rằng khi m m0 thì tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng x0 1 đi qua A 1;3 . Khẳng định nào sâu đây đúng? A. 1 m0 0 .B. 0 m0 1. C. 1 m0 2 . D. 2 m0 1. Lời giải Chọn B Ta có: y 3x2 6mx m 1.  Với x0 1 thì y0 2m 1, gọi B 1;2m 1 AB 2;2m 4 . Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k m 2 . Mặt khác: hệ số góc của tiếp tuyến là k y x0 . 2 Do đó ta có: 3 x0 6m0 x0 m0 1 m0 2 1 3 6m m 1 m 2 4m 2 m . 0 0 0 0 0 2 Câu 7: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số ax2 bx 1 khi x 0 f x . Khi hàm số f x có đạo hàm tại x0 0 . Hãy tính ax b 1 khi x 0 T a 2b . A. T 4 .B. T 0 .C. T 6 .D. T 4 .
4. Lời giải Chọn C Ta có f 0 1. lim f x lim ax2 bx 1 1. x 0 x 0 lim f x lim ax b 1 b 1. x 0 x 0 Để hàm số có đạo hàm tại x0 0 thì hàm số phải liên tục tại x0 0 nên f 0 lim f x lim f x . Suy ra b 1 1 b 2 . x 0 x 0 ax2 2x 1, x 0 Khi đó f x . ax 1, x 0 Xét: f x f 0 ax2 2x 1 1 +) lim lim lim ax 2 2 . x 0 x x 0 x x 0 f x f 0 ax 1 1 +) lim lim lim a a . x 0 x x 0 x x 0 Hàm số có đạo hàm tại x0 0 thì a 2 . Vậy với a 2 ,b 2 thì hàm số có đạo hàm tại x0 0 khi đó T 6 . Câu 8: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số y sin2 x . Tính y 2018 . A. y 2018 22017 .B. y 2018 22018 .C. y 2018 22017 .D. y 2018 22018 . Lời giải Chọn A 1 cos2x Ta có y sin2 x . 2 2 2 Khi đó y sin 2x ; y 2.cos2x 2.sin 2x ; y 2 .sin2x 2 .sin 2x 2 n n 1 n 1 y 2 sin 2x . 2 2018 2017 2017 2017 2017 Vậy y 2 .sin 2. 2 .sin 1010 2 . 2 2 x 2 Câu 9: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số y có đồ thị C và x 1 điểm A 0;a . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a trong đoạn  2018;2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? A. 2017 .B. 2020 .C. 2018 .D. 2019 . Lời giải Chọn C Đường thẳng d đi qua điểm A 0;a , hệ số góc k có phương trình: y kx a .
5. x 2 kx a * x 1 Để d là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình có nghiệm. 3 2 k x 1 x 2 3x Thay ( ) vào (*) ta được: a x 1 x 1 2 a 1 x2 2 a 2 x a 2 0 với x 1. 1 Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1. a 1 a 2 3 a 2 0 . 2 a 1 a 1 2 a 2 a 2 0 x1 2 x2 2 Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là M x1; và N x2 ; với x1 , x2 là nghiệm của 1 x1 1 x2 1 2 a 2 a 2 do đó x x , x x . 1 2 a 1 1 2 a 1 Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi x 2 x 2 x x 2 x x 4 9a 6 2 1 . 2 0 1 2 1 2 0 0 a . x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 3 3 2 a Kết hợp điều kiện 2 suy ra 3 nên trên đoạn  2018;2018 số giá trị nguyên của a a 1 thỏa yêu cầu bài toán là 2018 . Câu 10: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y 2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt x2 tới đồ thị hàm số y đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Tính tổng hoành độ x 1 T của tất cả các điểm thuộc S . A. T 2 3 .B. T 3.C. T 1.D. T 2. Lời giải Chọn D x2 1 y x 1 x 1 x 1 Gọi điểm A a;2 d : y 2 . Đường thẳng đi qua A có dạng y k x a 2 x2 k x a 2 x 1 2 2 Điều kiện tiếp xúc: 2 1 a k 4k 4 0 x 2x 2 k x 1 4 a 3 Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau 2 1 1 a a 1 Vậy tổng hai hoành độ là 2 .
6. Câu 11: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y 2x3 6x2 3 có hệ số góc nhỏ nhất là A. 6x y 5 0 .B. 6x y 5 0.C. 6x y 3 0 .D. 6x y 7 0 . Lời giải Chọn A TXĐ: D ¡ . y 6x2 12x . Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là k y x0 . 2 2 2 k 6x0 12x0 6 x0 2x0 6 x0 1 6 6 . Hệ số góc nhỏ nhất bằng 6 khi x0 1 y0 1. Phương trình tiếp tuyến là y 6 x 1 1 6x y 5 0 . Câu 12: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Gọi 3 2 M xM ; yM là một điểm thuộc C : y x 3x 2 , biết tiếp tuyến của C tại M cắt C 2 2 tại điểm N xN ; yN (khác M ) sao cho P 5xM xN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính OM . 5 10 7 10 10 10 10 A. OM .B. OM . C. OM .D. OM . 27 27 27 27 Lời giải Chọn D Ta có y x3 3x2 2 y 3x2 6x . 3 2 Gọi M xM ; yM là một điểm thuộc C : y x 3x 2 , suy ra tiếp tuyến của C tại M có 2 3 2 phương trình là y 3xM 6xM x xM xM 3xM 2 . Tiếp tuyến của C tại M cắt C tại điểm N xN ; yN (khác M ) nên xM , xN là nghiệm của 3 2 2 3 2 phương trình: x 3x 2 3xM 6xM x xM xM 3xM 2 3 3 2 2 2 x xM 3 x xM 3xM 6xM x xM 0 2 x xM x xM x 2xM 3 0 xN = - 2xM + 3 . x 2xM 3 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó P 5xM xN 5xM 2xM 3 9xM 12xM 9 9 xM 5 . 3 æ ö 2 ç2 26÷ 10 10 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi xM = . Khi đó M ç ; ÷ OM = . 3 èç3 27ø÷ 27 2 Câu 13: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hàm số y x 2x 3 có đồ thị C và điểm A 1;a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của C đi qua A ? A. 1.B. 4 .C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A
7. Gọi M x ; x2 2x 3 là tiếp điểm. 0 0 0 x 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại M có dạng là y x2 2x 3 0 x x 0 0 2 0 x0 2x0 3 x 1 3 x y 0  x 0 . 2 2 x0 2x0 3 x0 2x0 3 Vì tiếp tuyến của C tại M đi qua điểm A 1;a nên ta có: x 1 3 x 2 a 0 0 a x2 2x 3 2 2 2 2 0 0 x0 2x0 3 x0 2x0 3 x0 2x0 3 a 0 a 0 . a2 x2 2x 3 4 a2 x2 2ax 3a2 4 0 0 0 0 0 Vì qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến C nên phải có hai nghiệm phân biệt a 0 a 0 a 0 15 0 a 4 2 2 15 15 . 3a 5a 0 3a 5 0 a 3 3 3 Vì a ¢ nên a 1. Câu 14: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho đồ thị C : y x3 3x2 9x 10 và điểm A m; 10 . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để có đúng 2 tiếp tuyến của C qua A . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 19 5 A. 3 .B. 5 .C. .D. . 4 2 Lời giải Chọn C Gọi d là đường thẳng qua A m; 10 có hệ số góc k . Suy ra d : y k x m 10 . d là tiếp tuyến của C khi hệ phương trình sau có nghiệm 3 2 x 3x 9x 10 k x m 10 1 2 3x 6x 9 k Thế k vào (1), ta được 2x3 3m 3 x2 6mx 9m 20 0 (*). Để có đúng 2 tiếp tuyến của C qua A thì phương trình (*) có 2 nghiệm. Suy ra đồ thị hàm số f x 2x3 3m 3 x2 6mx 9m 20 có 2 cực trị, trong đó có 1 cực trị thuộc trục hoành. Ta có f x 6x2 2 3m 3 x 6m . x 1 f 1 12m 21 f x 0 . 3 2 x m f m m 3m 9m 20
8. 7 m 4 12m 21 0 Khi đó m 4 . 3 2 m 3m 9m 20 0 1 21 m 2 7 1 21  7 1 21 1 21 19 Vậy S ;4;  . Suy ra T 4 . 4 2  4 2 2 4 Câu 15: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y x3 mx2 mx 2m 3 có đồ thị là C , với m là tham số thực. Gọi T là tập tất cả các giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với C đều có hệ số góc dương. Tính tổng các phần tử của T . A. 3 .B. 6 .C. 6 .D. 3 . Lời giải Chọn D 2 Ta có: y 3x 2mx m . Gọi M x0 ; y0 C suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại 2 2 2 2 m m m 3m M có hệ số góc là k y x0 3x0 2mx0 m 3 x0 m . 3 3 3 Để mọi đường thẳng tiếp xúc với C đều có hệ số góc dương thì : m2 3m m2 3m 0 0 3 m 0 . 3 3 Tập các giá trị nguyên của m là: T 2; 1. Vậy tổng các phần tử của T là: 3 .