Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Gọi C là đồ thị của hàm số y x2 2x 1, M là điểm di động trên C ; Mt, Mz là các đường thẳng đi qua M sao cho Mt song song với trục tung đồng thời tiếp tuyến tại M là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Mt, Mz . Khi M di chuyển trên C thì Mz luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? 1 1 A. M 0 1; .B. M 0 1; .C. M 0 1;1 .D. M 0 1;0 . 4 2 Lời giải Chọn A Gọi tọa độ điểm M là: M x ; x 1 2 . 0 0 2 2 Phương trình đường thẳng Mz có dạng: y k x x0 x0 1 kx y kx0 x0 1 0 . Phương trình đường thẳng Mt là: x x0 x x0 0 . Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Mt, Mz là: 2 2 x x kx y kx x 1 x x kx y kx x 1 0 0 0 0 hoặc 0 0 0 0 1 k 2 1 1 k 2 1 y k k 2 1 x kx x k 2 1 x 1 2 0 0 0 hoặc y k k 2 1 x kx x k 2 1 x 1 2 . 0 0 0 Mặt khác tiếp tuyến tại M là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Mt, Mz nên: 1 2 2 2 x 1 k k 1 y x k k 1 0 0 2x0 2 k k 1 2 (*). 2 2 1 2 y x0 k k 1 2x0 2 k k 1 x 1 k k 1 0 2 Thay (*) vào phương trình đường thẳng Mz ta có: 1 +) Với x 1 k k 2 1 ta có: 0 2 2 2 Mz : kx y kx0 x0 1 0 y kx k k x0 1 x0 1 2 1 1 1 y kx k k. k k 2 1 k k 2 1 y kx k . 2 2 4 1 +) Với x 1 k k 2 1 ta có: 0 2 2 2 Mz : kx y kx0 x0 1 0 y kx k k x0 1 x0 1 2 1 1 1 y kx k k. k k 2 1 k k 2 1 y kx k . 2 2 4 1 Do đó phương trình đường thẳng Mz : y kx k . 4 1 Gọi M x ; y là tọa độ điểm cố định mà Mz luôn đi qua ta có: y kx k k ¡ . 0 0 0 0 0 4
2. x 1 0 x 1 1 0 0 1 k x0 1 y0 0k ¡ 1 1 M 0 1; . 4 y 0 y 4 4 0 0 4 1 Vậy Mz luôn đi qua điểm cố định M 0 1; . 4 Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho hàm số 1 cos3x cos5x cos7x y f x . Tính lim f x . sin2 7x x 0 83 105 15 83 A. .B. .C. .D. . 49 49 49 98 Hướng dẫn giải Chọn D 1 cos3x cos5x cos7x Ta có lim f x lim x 0 x 0 sin2 7x 1 cos3x cos3x cos3x cos5x cos3x cos5x cos3x cos5x cos7x lim x 0 sin2 7x 1 cos3x cos3x 1 cos5x cos3x cos5x 1 cos7x lim lim lim x 0 sin2 7x x 0 sin2 7x x 0 sin2 7x 3x 5x 7x 2sin2 2sin2 2sin2 lim 2 lim 2 lim 2 x 0 sin2 7x x 0 sin2 7x x 0 sin2 7x 9 25 49 2 4 4 4 83 . 49 98 2x 1 Câu 3: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số: y C . Số tiếp tuyến x 1 của đồ thị C song song với đường thẳng : y x 1 là: A. 3 .B. 0 .C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn C 2x 1 1 Hàm số: y C có tập xác định D ¡ \ 1 và y . x 1 x 1 2 Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến của C , điều kiện x0 1. Vì tiếp tuyến của đồ thị C song song với đường thẳng : y x 1 nên tiếp tuyến có hệ số góc k 1. 1 2 x 0 Ta có: 1 x 1 1 0 . 2 0 x 2 x0 1 0 Với x0 0 có M 0;1 , phương trình tiếp tuyến của C tại M 0;1 là: y 1 x 0 1 x 1.
3. Với x0 2 có M 2;3 , phương trình tiếp tuyến của C tại M 2;3 là: y 1 x 2 3 x 5. Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị C song song với đường thẳng : y x 1. Câu 4: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn  f (1 2x)2 x  f (1 x)3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f (x) tại điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 8 6 A. y x .B. y x .C. y x .D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải Chọn A Từ giả thiết  f (1 2x)2 x  f (1 x)3 , đặt f 1 a và f 1 b . 2 3 a 0 Ta cho x 0 a a . a 1 2 Đạo hàm 2 vế ta được 4 f 1 2x . f 1 2x 1 3 f 1 x f 1 x . Cho x 0 ta có 4ab 1 3a2b .  Xét a 0 thay vào 4ab 1 3a2b vô lý. 1  Xét a 1 thay vào 4b 1 3b b . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 7 1 1 6 y x 1 1 x . 7 7 7 Câu 5: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x thỏa mãn f 2 1 2x x f 3 1 x tại điểm có hoành độ x 1? 1 6 1 6 1 6 1 6 A. y x .B. y x .C. y x .D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f 2 (1 2x) x f 3 1 x . Suy ra 4. f 1 2x . f 1 2x 1 3 f 2 1 x f 1 x . Cho x 0 ta được f 2 1 f 3 1 , 1 và 4. f 1 . f 1 1 3 f 2 1 f 1 , 2 . Từ 1 suy ra f 1 1 vì f 1 0 không thỏa mãn 2 . 1 Thay vào 2 ta được f 1 . 7 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 1 là: 1 6 y f 1 x 1 f 1 hay y x . 7 7
4. Câu 6: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x 1. Gọi d1 , d2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x và y g x xf 2x 1 tại điểm có hoành độ x 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d2 vuông góc với nhau, khẳng định nào sau đây đúng A. 2 f 1 2 .B. f 1 2 .C. f 1 2 2 .D. 2 f 1 2 2 . Lời giải Chọn C Ta có: g x f 2x 1 2x. f 2x 1 g 1 f 1 2 f 1 . d1 có hệ số góc là f 1 . d2 có hệ số góc là g 1 f 1 2 f 1 . 2 2 f 1 1 Mà d  d f 1 .g 1 1 f 1 . f 1 2 f 1 1 f 1 (do 1 2 f 1 2 2 f 1 1 f 1 0 ) f 1 . f 1 2t 2 1 Xét hàm số h t t BBT: 1 1 t 0 2 2 h t 0 || 0 h t 2 2 2 2 Vậy h t 2 2 t 0 f 1 2 2 . 2t 2 1 Cách khác: Xét h t t 2t 2 1 2t 2 1 1 1 Với t 0 ta có: 2t 2 2t. 2 2 . t t t t 2t 2 1 2t 2 1 1 1 Với t 0 ta có: 2t 2 2t . 2 2 . t t t t Vậy h t 2 2 t 0 f 1 2 2 .