Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 3 phần 1 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Đạo hàm bậc 21 của hàm số f x cos x a là 21 21 A. f x cos x a .B. f x sin x a . 2 2 21 21 C. f x cos x a .D. f x sin x a . 2 2 Lời giải Chọn C f x sin x a cos x a 2 2 f x sin x a cos x a 2 2 21 21 f x cos x a cos x a 2 2 Câu 2: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3x 2 y C đi qua điểm A 9;0 . Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng x 1 3 3 9 9 A. . B. . C. . D. . 8 8 64 64 Lời giải Chọn C 1 TXĐ ¡ \ 1. y x 1 2 Đường thẳng d đi qua điểm A 9;0 với hệ số góc k có phương trình y k x 9 . Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 3x 2 k x 9 1 x 1 1 2 k 2 x 1 Thế 2 vào 1 , ta có 3x 2 1 . x 9 3x 2 x 1 9 x x 1 x 1 2 x 1 3x2 4x 7 0 7 x 3
2. 7 1 1 9 Do đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng y 1 .y 2 . 2 . 3 1 1 7 64 1 3 1 Cách 2. y . x 1 2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A x0 1 . 1 3x 2 Phương trình tiếp tuyến là: y x x 0 . 2 0 x 1 x0 1 0 x 1 x 9 3x 2 0 Tiếp tuyến qua A 0 0 0 x 9 3x 2 x 1 0 . 2 0 0 0 7 x 1 x0 1 x0 0 3 7 9 Hai hệ số góc của hai tiếp tuyến kẻ từ A là y 1 .y . 3 64 Câu 3: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Trên đường thẳng y 2x 1 có bao x 3 nhiêu điểm kẻ được đến đồ thị  của hàm số y đúng một tiếp tuyến? x 1 A. 4 .B. 3.C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ \ 1 . Gọi A a;2a 1 d : y 2x 1. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua A a;2a 1 . Suy ra phương trình d : y k x a 2a 1 x 3 k x a 2a 1 x 1 Xét hệ phương trình: 1 x 1 4 2 k x 1 x 3 4 x 1 2 x a 2a 1 2 x 1 x 1 2ax 2 2a 4 x 6a 4 0 2 Để từ A a;2a 1 chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến  thì pt 1 có một nghiệm pt 2 có một nghiệm khác 1. Có các khả năng sau: KN1: pt 2 là phương trình bậc nhất có nghiệm x 1 a 0 1 ĐK: x :T/m. Vậy a 0 là một giá trị cần tìm 8x 4 0 2
3. KN2: pt 2 là phương trình bậc hai có nghiệm kép x 1 a 0 2 a 0 a 1 ĐK: 2a 4 2a 6a 4 0 . 2 8a 8a 16 0 a 2 2a 4 x x 1 1 2 2a KN3: pt 2 là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 1 a 0 2 ĐK: 2a 4 2a 6a 4 0 a 1 2a 2 2a 4 6a 4 0 KL: Có 4 giá trị a ,tương ứng với 4 điểm thỏa mãn ycbt. Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị C . Gọi A xA; yA , B xB ; yB với xA xB là các điểm thuộc C sao cho các tiếp tuyến tại A , B song song với nhau và AB 6 37 . Tính S 2xA 3xB . A. S 9 .B. S 15 .C. S 90 .D. S 45. Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ . y 3x2 3. Tiếp tuyến của C tại A , B song song với nhau 2 2 y xA y xB 3xA 3 3xB 3 xA xB , vì xA xB 3 3 Suy ra A xA; xA 3xA 1 , B xA; xA 3xA 1 , với xA 0 xB 2 2 3 2 Ta lại có: AB 4xA 2xA 6xA 1332 2 2 4 2 6 4 2 xA xA xA 6xA 9 333 xA 6xA 10xA 333 0 xA 3 xB 3 . Vậy S 2xA 3xB 15. sin2 x cos2 x Câu 5: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Đạo hàm của hàm số y tại sin x.cos x điểm x là: 6 8 8 16 16 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C sin2 x cos2 x cos 2x Ta có y 2cot 2x . 1 sin x.cos x sin 2x 2 2 4 16 Do đó y 2 2 2 y . sin 2x sin 2x 6 3
4. Câu 6: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm trên khoảng a;b . Trong các khẳng định f b f a I : Tồn tại một số c a;b sao cho f c . b a II : Nếu f a f b thì luôn tồn tại c a;b sao cho f c 0 . III : Nếu f x có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng a;b thì giữa hai nghiệm đó luôn tồn tại một nghiệm của f x . Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là A. 0 .B. 2 .C. 3 .D. 1. Lời giải Chọn C I đúng (theo định lý Lagrange). II đúng vì với f a f b , f b f a theo I suy ra tồn tại c a;b sao cho f c 0 . b a III đúng vì với ,  a;b sao cho f f  0 . Ta có f x liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm trên khoảng a;b nên f x liên tục trên đoạn  ;  và có đạo hàm trên khoảng ; . Theo II suy ra luôn tồn tại một số c ; sao cho f c 0 . x3 Câu 7: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 27 song song x 2 với trục hoành là A. 0 .B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Tập xác định ¡ \ 2 . Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song trục hoành nên tiếp tuyến có hệ số góc y x0 0 và y x0 0 . 2x3 6x2 x 0 2 0 Ta có y 2 . Do đó y x0 0 2x0 x0 3 0 . x 2 x0 3 Ta có y 0 27 0 (nhận) và y 3 0 (loại vì khi đó tiếp tuyến trùng trục hoành). Vậy chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài. Câu 8: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị C của hàm số y x x2 3 sao cho tiếp tuyến tại M của C cắt C và trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt A (khác M ) và B sao cho M là trung điểm của AB ? A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 3 . Lời giải Chọn C
5. Tập xác định: y . y x x2 3 x3 3x y 3x2 3. 3 Phương trình tiếp tuyến d tại M x0 ; x0 3x0 của C là 2 3 2 3 y 3x0 3 x x0 x0 3x0 y 3x0 3 x 2x0 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và C : 2 3 3 3 2 3 2 x x0 3x0 3 x 2x0 x 3x x 3x0 x 2x0 0 x x0 x 2x0 0 x 2x0 xA 2x0 , vì A khác M nên x0 0 . Phương trình hoành độ giao điểm của d và trục hoành: 3 2 3 2x0 3x0 3 x 2x0 0 x 2 x0 1, x0 1 . 3x0 3 3 2x0 Khi đó xA 2x0 , xB 2 , xM x0 , x0 ¡ \ 1;0;1 . 3x0 3 Do A, B và M thẳng hàng nên để M là trung điểm của AB thì 3 2x0 2 6 xA xB 2xM 2x0 2 2x0 10x0 12 0 x0 . 3x0 3 5 Vậy có 2 điểm M thỏa mãn bài toán. Câu 9: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho khai triển 80 2 80 x 2 a0 a1x a2 x a80 x . Tổng S 1.a1 2.a2 3.a3 80a80 có giá trị là: A. 70 . B. 80 .C. 70 .D. 80 . Lời giải Chọn D 80 80 Đặt f x x 2 a0 a1x a80 x . 79 2 79 Ta có f x 80 x 2 a1 2a2 x 3a3 x 80a80 x . 79 Thay x 1, ta được 1.a1 2.a2 80a80 f 1 80. 1 2 80 . x 2 Câu 10: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho đồ thị C : y , tiếp tuyến với đồ x 1 thị C tại một điểm bất kì thuộc C luôn tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có diện tích không đổi. Diện tích đó bằng A. 8 .B. 4 .C. 10.D. 6 . Lời giải Chọn D
6. 3 Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm; y0 1 . x0 1 3 3 Ta có y 2 suy ra y x0 2 . x 1 x0 1 3 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M x ; y là y x x 1 . 0 0 2 0 x 1 x0 1 0 Phương trình tiệm cận đứng: x 1 0 . Phương trình tiệm cận ngang: y 1 0 . Gọi I 1;1 là giao điểm của hai đường tiệm cận. 6 A 1;1 là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng. x0 1 B 2x0 1;1 là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang. 1 1 6 Diện tích tam giác IAB : S .IA.IB . 2 x0 1 6 . 2 2 x0 1