Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 4 phần 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 4 phần 3 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi u1 1, 1 n 1 * un 1 2un 2 ; n ¥ . Khi đó u2018 bằng 3 n 3n 2 22016 1 22018 1 A. u .B. u . 2018 32017 2019 2018 32017 2019 22017 1 22017 1 C. u .D. u . 2018 32018 2019 2018 32018 2019 Lời giải Chọn A 1 n 1 1 3 2 2 1 2 1 Ta có: un 1 2un 2 2un un . . 3 n 3n 2 3 n 2 n 1 3 n 2 3 n 1 1 2 1 un 1 un 1 n 2 3 n 1 1 2 Đặt v u , từ 1 ta suy ra: v v . n n n 1 n 1 3 n 1 1 2 Do đó v là cấp số nhân với v u , công bội q . n 1 1 2 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 Suy ra: vn v1.q . un . un . . 2 3 n 1 2 3 2 3 n 1 2017 1 2 1 22016 1 Vậy u2018 . 2017 . 2 3 2019 3 2019 Câu 2: HẾT (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số un được xác định bởi u1 2 ; un 2un 1 3n 1. Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng a.2n bn c , với a , b , c là các số nguyên, n 2 ; n ¥ . Khi đó tổng a b c có giá trị bằng A. 4 .B. 4 .C. 3 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có un 2un 1 3n 1 un 3n 5 2 un 1 3 n 1 5 , với n 2 ; n ¥ . Đặt vn un 3n 5, ta có vn 2vn 1 với n 2 ; n ¥ . n 1 n Như vậy, vn là cấp số nhân với công bội q 2 và v1 10 , do đó vn 10.2 5.2 . n n Do đó un 3n 5 5.2 , hay un 5.2 3n 5 với n 2 ; n ¥ . Suy ra a 5 , b 3 , c 5 . Nên a b c 5 3 5 3 . Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số un như sau: n un ,n 1, 2 , Tính giới hạn lim u1 u2 un . 1 n2 n4 x 1 1 1 A. .B. 1.C. .D. . 4 2 3 Lời giải Chọn C
2. n n 1 1 1 Ta có u n 2 2 2 2 2 1 n2 n2 n n 1 n n 1 2 n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có u1 u2 un 1 2 2 2 3 3 7 7 13 13 21 n n 1 n n 1 1 1 1 n2 n 1 2 2 2 n n 1 2 n n 1 1 1 1 1 Suy ra lim u u u lim n . 1 2 n 1 1 2 1 2 n n2 Câu 4: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe? A. 11.B. 12. C. 13. D. 10. Lời giải Chọn C Số tiền anh A cần tiết kiệm là 500 500.0,12 340 (triệu). Gọi số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm đầu tiên là u1 10 (triệu). Thì số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ hai là u2 u1. 1 0,12 u1.1,12 (triệu). Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ ba là 2 2 u3 u1. 1 0,12 u1. 1,12 (triệu). Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ n là n 1 n 1 un u1. 1 0,12 u1. 1,12 (triệu). Vậy số tiền mà anh A tiết kiệm được sau n năm là 12. u u u u  u u u u 12. u u 12. u . 1,12 n 1 u . 2 1 3 2 n 1 n 2 n n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 23 23 Cho 12. u . 1,12 u 340 1,12 n log 1 n 13. 1 1 6 1,12 6 Vậy sau ít nhất 13 năm thì anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền để mua ô tô. Câu 5: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a . M là một điểm di động trên đoạn AB . Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng CM . Tính độ dài đoạn thẳng BH khi tam giác AHC có diện tích lớn nhất. a 3 a a 3 1 3 A. .B. .C. .D. a 1 . 3 2 2 2 Lời giải Chọn C
3. A M B H C A' B' C' Ta có AA  ABC nên AA  CM . Mặt khác A H  CM . Do đó CM  AA H . Suy ra CM  AH . Vậy H còn là hình chiếu của A trên CM . 2 2 1 1 1 2 2 AC a Ta có SAHC AH.HC . AH HC . Dấu bằng xảy ra khi AH HC , tức 2 2 2 4 4 là khi ·ACM 45 . Vậy tam giác AHC có diện tích lớn nhất khi M ở vị trí sao cho a 2 ·ACM 45 . Khi đó HC và H· CB 15 . 2 Trong tam giác HBC : BH 2 HC 2 BC 2 2HC.BC.cos H· CB 2 a2 a 2 2 6 4 2 3 a a 3 1 a2 2. .a. BH . 2 2 4 4 2 Câu 6: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho dãy số un thỏa mãn 2 2 ln u1 u2 10 ln 2u1 6u2 và un 2 un 2un 1 1 với mọi n 1. Giá trị nhỏ nhất của n để un 5050 bằng. A. 100.B. 99 .C. 101.D. 102. Lời giải Chọn D 2 2 2 2 Ta có: ln u1 u2 10 ln 2u1 6u2 u1 u2 10 2u1 6u2 2 2 u1 1 u1 1 u2 3 0 . u2 3 Đặt vn un 1 un với n 1 v1 u2 u1 2 . Theo giả thiết: un 2 un 2un 1 1 un 2 un 1 un 1 un 1 vn 1 vn 1, n 1. Suy ra vn là cấp số cộng có công sai d 1 vn v1 n 1 d n 3 . Ta có: u u u u u u u u u u S u . n 1 n 1 n n n 1 32 21 1 n 1 vn vn 1 v2 v1 n n n 1 Với S v v v v v . n 1 2 n 2 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 Suy ra: u 1 u 1. n 1 2 n 2 n 1 n 2 Ta có: u 5050 1 5050 n2 3n 10096 0 n 101,99 . n 2 Vậy số n nhỏ nhất thỏa yêu cầu là 102.