Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Mức độ 3 phần 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Mức độ 3 phần 1 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Tính tổng S các nghiệm của phương trình 2cos 2x 5 sin4 x cos4 x 3 0 trong khoảng 0;2 . 11 7 A. S .B. S 4 .C. S 5 .D. S . 6 6 Lời giải Chọn B Ta có: 2cos 2x 5 sin4 x cos4 x 3 0 2cos 2x 5 sin2 x cos2 x 3 0 1 2cos 2x 5 cos 2x 3 0 2cos2 (2x) 5cos 2x 3 0 cos 2x . 2 1 5 7 11  cos 2x x k k ¢ x ; ; ;  . 2 6 6 6 6 6  5 7 11 Do đó: S 4 . 6 6 6 6 Câu 2: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Nghiệm của phương trình cos 2x 3sin x 2 0 là: cos x x k2 2 x k 6 A. x k k ¢ .B. k ¢ . 6 5 x k 5 6 x k 6 x k2 2 x k2 6 C. x k2 k ¢ .D. k ¢ . 6 5 x k2 5 6 x k2 6 Lời giải Chọn D Cách 1: Điều kiện xác định: cos x 0 x l với l ¢ . 2 Khi đó phương trình trở thành sin x 1 (1) 2 cos 2x 3sin x 2 0 2sin x 3sin x 1 0 1 sin x (2) 2 x k2 6 Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được 5 x k2 6 với k ¢ . Cách 2: Dùng máy tính
2. Bước 1: nhập vế trái của phương trình. Bước 2: nhấn CALC thay X bằng các kết quả trong mỗi phương án. Bước 3: chọn đáp án nào đều trả về kết quả bằng hoặc rất “gần” 0 . (chú ý đơn vị ra-đi-an). Câu 3: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Tập giá trị của hàm số y sin 2x 3 cos 2x 1 là đoạn a; b. Tính tổng T a b. A. T 1. B. T 2. C. T 0. D. T 1. Lời giải Chọn B Cách 1: y sin 2x 3 cos 2x 1 sin 2x 3 cos 2x y 1 2 Để phương trình trên có nghiệm thì 12 3 y 1 2 y2 2y 3 0 1 y 3 . Suy ra y  1;3 . Vậy T 1 3 2. Cách 2: Ta có y 1 sin 2x 3 cos 2x. Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopskii ta có 2 y 1 2 sin 2x 3cos2x 1 3 sin2 2x cos2 2x 4 2 y 1 2 1 y 3. Vậy T 1 3 2. Cách 3: y sin 2x 3 cos 2x 1 2sin 2x 1 3 Do sin 2x  1;1 nên 2sin 2x 1  1;3. 3 3 Vậy 1 y 3.( Ta thấy y 1 khi sin 2x 1, y 3 khi sin 2x 1).sss 3 3 Câu 4: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Gọi K là tập hợp tất cả các giá trị của tham số 3 m để phương trình sin 2x 2 sin x 2 m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; . 4 4 Hỏi K là tập con của tập hợp nào dưới đây? 2 2 2 2 A. ; .B. 1 2; 2 .C. 2; .D. ; 2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Cách 1: Đặt t 2 sin x sinx cos x , t 2; 2 . 4 Suy ra t 2 1 sin 2x t 2 t 3 m 2 Xét hàm số y f t t t 3 ,t 2; 2 f t 2t 1 1 f t 0 t 2; 2 2 3 Phương trình sin 2x 2 sin x 2 m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; 4 4 Phương trình t 2 t 3 m có đúng một nghiệm t 1; 2
3. t 1 2 f t 2 1 f t 1 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy K 1; 2 1  2; 2 3 Cách 2 : Xét hàm số f x sin 2x 2 sin x 2 với x 0; . 4 4 Ta có f x 2cos 2x 2 cos x , vậy 4 f x 0 2cos 2x 2 cos x 0 4 2 cos2 x sin2 x cos x sin x 0 cos x sin x 0 2 cos x sin x 1 0 3 x 0; 4 4 2 2 sin x 1 0 * 4 3 3 Vì trong khoảng 0; thì sin x 0 nên phương trình * vô nghiệm trên 0; . 4 4 4 Lập bảng biến thiên 3 x 0 4 4 f x 0 2 1 f x 1 3 3 Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trên khoảng 0; thì 4 2 m 1; 2 1  2; . 2 Câu 5: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h m của mực nước trong kênh tính theo thời gian t h được t cho bởi công thức h 3cos 12 6 3 . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất? A. t 22 h .B. t 15 h . C. t 14 h .D. t 10 h . Lời giải Chọn D
4. Ta có: 1 cos t 1 9 h 15. Do đó mực nước cao nhất của kênh là 15m đạt 6 3 được khi cos t 1 t k2 t 2 12k 6 3 6 3 1 Vì t 0 2 12k 0 k 6 1 Chọn số k nguyên dương nhỏ nhất thoả k là k 1 t 10 . 6 Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h m của mực nước trong kênh tính theo thời gian t h được t cho bởi công thức h 3cos 12 6 3 . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất? A. t 22 h .B. t 15 h . C. t 14 h .D. t 10 h . Lời giải Chọn D Ta có: 1 cos t 1 9 h 15. Do đó mực nước cao nhất của kênh là 15m đạt 6 3 được khi cos t 1 t k2 t 2 12k 6 3 6 3 1 Vì t 0 2 12k 0 k 6 1 Chọn số k nguyên dương nhỏ nhất thoả k là k 1 t 10 . 6 Câu 7: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho phương trình cos5x 3m 5 . Gọi đoạn a;b là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Tính 3a b . 19 A. 5 . B. 2 .C. .D. 6 . 3 Giải: Chọn D 4 Phương trình đã cho có nghiệm khi 1 3m 5 1 4 3m 6 m 2 . 3 4 Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm là ;2 . 3 4 Ta được a ; b 2 . Suy ra 3a b 6 . 3 Câu 8: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên khoảng ; ? 2 2 A. y cot x .B. y tan x . C. y cos x .D. y sin x . Lời giải Chọn D [Phương pháp tự luận]
5. Hàm số y sin x đồng biến trên các khoảng k2 ; k2 với mọi k ¢ . Chọn 2 2 k 0 , ta được hàm số y sin x đồng biến trên khoảng ; . 2 2 Xét A: Hàm số y cot x không xác định tại x 0 ; nên không thể đồng biến trên 2 2 khoảng ; 2 2 4 3 Xét B:Ta thấy Hàm số y tan x không thể đồng biến trên ; 2 2 tan tan 4 3 4 3 Xét C: Ta thấy Hàm số y cos x không thể đồng biến trên ; 2 2 cos cos 4 3 [Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện chuyển đơn vị: Shift mode 4.Rad. Vào mode 7, nhập hàm y cot x , START , END , STEP . Nhìn bảng thấy giá trị 2 2 19 hàm số luôn giảm nên sai. Tương tự với các hàm còn lại, chọn kết quả y sin x có giá trị hàm số luôn tăng. Câu 9: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Phương trình 2cos2 x 1 có số nghiệm trên đoạn  2 ;2  là A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn D k Ta có 2cos2 x 1 2cos2 x 1 0 cos2x 0 x ; k ¢ . 4 2 k 9 7 Vì x  2 ;2  nên ta có 2 2 k . 4 2 2 2 Mặt khác k ¢ nên k nhận các giá trị 4; 3; 2; 1;0;1;2;3. Vậy phương trình đã cho có tám nghiệm trên  2 ;2 . Câu 10: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng như hình vẽ sau y 2 O 2 x Khẳng định nào sau đây SAI?
6. A. Đồ thị hàm số y f x có ba điểm cực trị. B. Đồ thị hàm số y f x nhận trục tung làm trục đối xứng. C. Đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 4 điểm. D. Đồ thị hàm số y f x có hai điểm uốn. Lời giải Chọn C Ta có dựa vào đồ thị thì y ' là hàm số bậc 3 . Do y f x là hàm số lẻ và f x 0 có 3 nghiệm phân biệt nên nó có dạng y ax3 cx a 0,c 0 . Do đó x4 x2 x2 y a c ax2 2c m . 4 2 4 Dễ thấy f x đổi dấu qua 3 nghiệm nên hàm số có 3 cực trị nên đáp án A. đúng. x4 x2 x2 Hàm số y a c ax2 2c m là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục 4 2 4 đối xứng, nên đáp án B. đúng. Ta có y 3ax2 c vì a 0,c 0 nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai điểm uốn, do đó đáp án D. đúng. Câu 11: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Để giải phương trình: tan x tan 2x 1 có ba bạn An, Lộc, Sơn giải tóm tắt ba cách khác nhau như sau: x k 2 + An: Điều kiện ,k Z . x k 4 2 k Phương trình tan x tan 2x 1 tan 2x cot x tan x x 2 6 3 k Nên nghiệm phương trình là x ,k Z . 6 3 + Lộc: Điều kiện tan x 1. Phương trình I 1 tan x x k ,k Z là nghiệm. 3 6 cos x 0 cos x 0 + Sơn: Điều kiện 2 1 . cos 2x 0 sin x 2 sin x sin 2x Ta có tan x tan 2x 1 . 1 2sin2 x.cos x cos x cos 2x cos x cos 2x 1 2sin2 x cos 2x 1 2sin2 x sin2 x sin2 x k2 ,k Z là nghiệm. 4 6 6 Hỏi, bạn nào sau đây giải đúng? A. An.B. Lộc.C. Sơn. D. An, Lộc, Sơn. Lời giải Chọn B
7. + An: Giải sai do không kiểm tra lại điều kiện để loại nghiệm x k ,k Z . 2 1 + Sơn: Giải sai ở bước biến đổi: sin2 x sin2 x k2 ,k Z . 4 6 6 Do đó chọn đáp án B. Câu 12: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Tập nghiệm S của phương trình cos 2x 5cos5x 3 10cos 2x cos3x là   A. S k2 ,k ¢ .B. S k2 ,k ¢  . 3  6    C. S k ,k ¢ .D. S k2 ,k ¢  . 3  3  Lời giải Chọn D Ta có cos 2x 5cos5x 3 10cos 2x cos3x 1 cos 2x 5cos5x 3 10 cos5x cos x 2 2cos2 x 1 5cos5x 3 5cos5x 5cos x 2cos2 x 5cos x 2 0 cos x 2 1 (L) 1 1 cos x x k2 , k ¢ . cos x 2 3 2 Câu 13: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Số nghiệm của phương trình cos2 x 2cos3x.sin x 2 0 trong khoảng 0; là A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 3 . Lời giải Chọn A Ta có cos2 x 2cos3x.sin x 2 0, x 0; . 1 2cos3x.sin x 1 sin2 x 2cos3x sin x 1 sin x 1 Do x 0; nên sin x 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương sin x và ta sin x 1 1 có sin x 2 sin x  2 . sin x sin x Mặt khác, ta có 2cos3x 2 với mọi x . cos3x 1 Vậy 1 xảy ra sin x 1 3 Từ sin x 1 x (do x 0; ); lúc đó cos3x cos 0 . Hệ trên vô nghiệm. 2 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thuộc khoảng 0; .
8. Câu 14: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để cos x asin x 1 hàm số y có giá trị lớn nhất y 1. cos x 2 A. 0 .B. 1.C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Do 1 cos x 1 nên cos x 2 1 với mọi giá trị thực của x , vậy hàm số xác định với mọi x ¡ . cos x asin x 1 Ta có y asin x 1 y cos x 2y 1 1 . cos x 2 Điều kiện để 1 có nghiệm là 2 2 2 2 1 1 3a 1 1 3a a2 1 y 2y 1 3y2 2y a2 0 y . 3 3 1 1 3a2 Vậy giá trị lớn nhất của y bằng . Theo giả thiết, ta có 3 2 1 1 3a 2 2 2 a 1 1 1 3a 2 3a 1 4 a 1 . 3 a 1 Vậy có hai giá trị thực của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 2x 4sin x 2cos x 4 0 trong đoạn 0;100  của phương trình. A. 100 .B. 2476 .C. 25 .D. 2475 . Lời giải Chọn D Ta có sin 2x 4sin x 2cos x 4 0 2sin x cos x 4sin x 2cos x 4 0 2sin x cos x 2 2 cos x 2 0 cos x 2 sin x 1 0 sin x 1 x k2 k ¢ . cos x 2 VN 2 Cách 1: Trong đoạn 0;100 , phương trình có các nghiệm ; 2 ; 4 ; 6 ; ; 98 2 2 2 2 2 Tổng các nghiệm bằng S 2 4 6 98 50. 2 4 6 98 . 2 2 2 2 2 2 2 98 .49 S 25 . 2475 . 2 Cách 2: Tìm k thỏa mãn 0 k2 100 0 k 49 2 49 Bấm máy S  k2 2475 . k 0 2
9. Câu 16: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm số y 1 2sin x cos x cos2 2x là: 5 1 A. .B. .C. 1.D. 0 . 4 4 Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ . y 1 2sin x cos x cos2 2x 1 sin 2x cos2 2x sin 2x sin2 2x 2 x k 1 1 1 1 12 y sin 2x . Dấu " " xảy ra khi sin 2x ,k Z . 2 4 4 2 7 x k 12 1 7 Vậy giá trị nhỏ nhất bằng đạt được khi x k ; x k ,k Z . 4 12 12 Câu 17: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Tìm m để hàm số 3 2 y 3msin x sin x sin x m 2 đồng biến trên khoảng ;0 ? 2 1 1 A. m 3 .B. m 0 .C. m .D. m . 3 3 Lời giải Chọn D Tập xác định D ¡ . Đặt t sin x , vì x ;0 nên t 1;0 . 2 Khi đó hàm số trở thành y 3mt3 t 2 t m 2, t 1;0 1 y 9mt 2 2t 1 Để hàm số 1 đồng biến thì y 0 t 1;0 9mt 2 2t 1 0 t 1;0 2 2t 1 2t 1 m đặt f t 9t 2 9t 2 2t 2 Ta có f t 0 t 1;0 9t3 1 Do đó m f 1 3 1 Vậy m . 3 Câu 18: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Phương trình sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x tương đương với phương trình nào sau đây:
10. A. sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x 0 .B. sin x sin 3x sin x 0 . C. sin x sin 2x sin 3x sin x sin 2x 0 .D. sin x sin 3x sin 3x 0 . Lời giải Chọn D Ta có sin x sin 2x sin x sin 2x sin2 3x sin2 x sin2 2x sin2 3x 1 cos 2x 1 cos 4x 1 sin2 3x cos 4x cos 2x sin2 3x 2 2 2 sin 3x.sin x sin2 3x sin 3x sin x sin 3x 0 . Câu 19: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x4 2x2 tại bốn điểm M , N , P , Q . Biết hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là 0 và 1. Tính S xP xQ với xP , xQ là hoành độ điểm P và điểm Q . A. S 1.B. S 1.C. S 2 .D. S 1. Lời giải Chọn C Giả sử d : y ax b là đường thẳng cắt đồ thị hàm số nói trên tại bốn điểm M , N, P,Q . Ta có phương trình hoành độ giao điểm x4 2x2 ax b 1 . Vì x 0 là nghiệm của 1 nên b 0 . Lại vì x 1 là nghiệm của 1 nên a 1. Do đó, phương trình 1 x4 2x2 x 0 x x 1 x2 x 1 0 . 2 Suy ra xp , xQ là nghiệm của phương trình x x 1 0 . Từ đó ta có S xP xQ 1. Câu 20: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Số nghiệm của phương trình 4 x2 .cos3x 0 là A. 7 .B. 2 .C. 4 .D. 6 . Lời giải Chọn D Điều kiện 4 x2 0 2 x 2 . x 2 2 2 4 x 0 Khi đó 4 x .cos3x 0 . cos3x 0 x k , k ¢ 6 3 So với điều kiện, ta thấy x 2 (thỏa điều kiện). Với x k , k ¢ , ta có 2 k 2 , vì k ¢ nên k 2 ; k 1; k 0 ; k 1. 6 3 6 3 Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm. Câu 21: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 2cos x 2 3 sin x cos x trên ¡ . Biểu thức M N 2 có giá trị bằng A. 0 .B. 4 2 3 .C. 2 .D. 2 3 2. Lời giải Chọn C
11. Ta có y 1 2cos x 2 3 sin x cos x 1 2 2 3 sin x cos x 2cos2 x 2 3 sin 2x 2cos2 x 1 2 3 sin 2x cos 2x 6 2 1 6 2 sin 2x cos 2x 6 2 sin 2x 4 6 2 6 2 1 (với cos ; sin ) 4 6 2 Suy ra 6 2 y 6 2 . Do đó max y 6 2 M ; min y 6 2 N . ¡ ¡ Vậy M N 2 2 . Câu 22: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương 2 2 trình cos 4x cos 3x msin x có nghiệm x 0; . 12 1 1 1 A. m 0; .B. m ;2 .C. m 0;1 .D. m 1; . 2 2 4 Lời giải Chọn C Ta có cos 4x cos2 3x msin2 x 2 2cos2 2x 1 1 cos6x m mcos 2x 4cos2 2x 2 1 4cos3 2x 3cos 2x m mcos 2x 4cos3 2x 4cos2 2x m 3 cos 2x m 3 0 4cos2 2x cos 2x 1 m 3 cos 2x 1 0 cos 2x 1 cos 2x 1 4cos2 2x m 3 0 . 2 4cos 2x m 3 Với cos 2x 1 x k không thỏa yêu cầu bài toán. 3 Phương trình có nghiệm x 0; suy ra cos 2x 1 12 2 3 m 3 1 3 m 3 4 0 m 1. 4 4 3 Câu 23: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tìm số nghiệm thuộc ; của phương trình 2 3 3 sin x cos 2x . 2 A. 0 .B. 1. C. 2 .D. 3 . Lời giải Chọn B 3 3 3 Ta có 3 sin x cos 2x cos cos 2x sin sin 2x 3 sin x 0 2 2 2
12. sin x 0 x k sin x 2cos x 3 0 3 5 với k ¢ . cos x x k2 2 6 3 5 7 Trên ; ta nhận được nghiệm duy nhất x 2 . 2 6 6 Câu 24: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị lớn nhất của hàm số sin x cos x 1 y bằng? sin x cos x 3 1 1 A. 3 .B. 1.C. .D. . 7 7 Lời giải Chọn D Tập xác định D ¡ . sin x cos x 1 Ta có y sin x cos x 3 y sin x cos x 3 sin x cos x 1 y 1 sin x y 1 cos x 1 3y Để có nghiệm y 1 2 y 1 2 1 3y 2 2y2 2 1 6y 9y2 7y2 6y 1 0 1 1 y . 7 1 Vậy max y . ¡ 7