Tài liệu Toán Lớp 10 - Trường THPT Marie Curie

264 trang nhungbui22 11/08/2022 2890

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Toán Lớp 10 - Trường THPT Marie Curie", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_toan_lop_10_truong_thpt_marie_curie.pdf

Nội dung text: Tài liệu Toán Lớp 10 - Trường THPT Marie Curie

MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ 3 CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 5 1 MỆNH ĐỀ 5 A Tóm tắt lý thuyết 5 B Các dạng toán và ví dụ 7 Dạng 1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề 7 Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề 8 Dạng 3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ 9 C Bài tập tự luận 9 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 18 2 TẬP HỢP 23 A Tóm tắt lý thuyết 23 B Các dạng toán và ví dụ 23 Dạng 1. Cách biểu diễn tập hợp 23 Dạng 2. Tập con - hai tập bằng nhau 25 C Bài tập tự luận 26 Dạng 1. Các phép toán trên tập hợp 27 Dạng 2. Tập con của tập số thực 32 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 37 CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 49 1 HÀM SỐ 49 A Tóm tắt lý thuyết 49 B Các dạng toán và ví dụ 50 Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm 50 Dạng 2. Đồ thị hàm số 50 Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số 52 Dạng 4. Sự biến thiên của hàm số 57 Dạng 5. Hàm số chẵn - Hàm số lẻ 60 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 64 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 84 A Tóm tắt lý thuyết 84 B Các dạng toán và ví dụ 85 Dạng 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến 85 Dạng 2. Đồ thị hàm số y = ax + b 86 Dạng 3. Đồ thị hàm số y = |ax + b| 87 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 88 3 HÀM SỐ BẬC HAI 97 A Tóm tắt lý thuyết 97 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 100 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 115 1
2 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 115 HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | A Tóm tắt lý thuyết 115 B Phương pháp giải 116 C Bài Tập Tự Luyện 117 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 125 2 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 139 A Các dạng toán thường gặp - Ví dụ - Bài tập rèn luyện 139 Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn 139 Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn 143 Dạng 3. Định lí Vi-ét 146 Dạng 4. Phương trình vô tỷ 150 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 161 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 181 A Các dạng toán và ví dụ 181 Dạng 1. Phương pháp thế 181 Dạng 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 183 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 193 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH 207 1 MỆNH ĐỀ 207 A Tóm tắt lý thuyết 207 B Bài tập tự luyện 207 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 210 PHẦN II HÌNH HỌC 219 CHƯƠNG I VEC-TƠ 221 1 VEC-TƠ 221 A Bài tập tự luận 221 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 224 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 232 A Tóm tắt lý thuyết 232 B Các dạng toán và ví dụ 232 E Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ 232 Curie Marie - 10 Toán ĐC X Dạng 2. Tính độ dài của vectơ tổng 234 C Bài tập tự luận 234 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 240 3 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 248 A Tóm tắt lý thuyết 248 B Các dạng toán và ví dụ 248 Dạng 1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ 248 Dạng 2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 249 Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 249 C Bài tập tự luận 251 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 264
PHẦN I ĐẠI SỐ 3
Ƅ CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 MỆNH ĐỀ Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai. Ƙ Ví dụ 1. 2 MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được một mệnh đề. Ƙ Ví dụ 1. 3 PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thỏa mãn tính chất P P Đúng Sai Sai Đúng Ƙ Ví dụ 1. Để phủ định mệnh đề P , thông thường ta thêm “không phải” hoặc “không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý. Ƙ Ví dụ 2. 5
6 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h 4 MỆNH ĐỀ KÉO THEO HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Mệnh đề “Nếu P thì Q ”gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai. Tóm tắt: P Q P ⇒ Q Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Đúng Đúng Ƙ Ví dụ 1. Ì Mệnh đề “−10 < −1 ⇒ (−10)2 < (−1)2” là mệnh đề sai. √ Ì Mệnh đề “ 3 < 2 ⇒ 3 < 4” là mệnh đề đúng. Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạng P ⇒ Q. ! Ì P : gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q). Ì Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P ). Ƙ Ví dụ 2. 5 MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P . ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng. Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ký hiệu P ⇔ Q. E Tóm tắt: Curie Marie - 10 Toán ĐC X P Q P ⇒ Q Đúng Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Sai Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q. + P là điều kiện cần và đủ để có Q. + Q là điều kiện cần và đủ để có P . Ƙ Ví dụ 1. Tam giác ABC cân có một góc 60◦ là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều. Ƙ Ví dụ 2. Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại. Ƙ Ví dụ 3.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 7 6 KÝ HIỆU ∀, ∃, ∃! Ký hiệu ∀: đọc là với mọi; ký hiệu ∃: đọc là tồn tại; ký hiệu ∃!: đọc là tồn tại duy nhất. Xét câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Ta viết: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0 hay x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. Ƙ Ví dụ 1. Câu Mệnh đề Đọc là Mệnh đề đúng Mệnh đề sai 1 ∀n ∈ N : n2 > 1 2 Có một số nguyên nhỏ hơn 0 3 ∃x ∈ Z : x2 = x 4 Có một số tự nhiên n mà 2n + 1 = 0 5 ∃!x ∈ Z : |x| b” là “a ≤ b”. Ì Phủ định của “a chia hết cho b” là “a không chỉa hết cho b”. Ƙ Ví dụ 1. P : ∃n ∈ Z, n < 0 phủ định của P là P : ∀n ∈ Z, n ≥ 0. Ƙ Ví dụ 2. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ ǥ Dạng 1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: Ì P, P không cùng tính đúng sai. Ì P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng, Q sai. Ì P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai. Ì ∀x ∈ X, P (x) đúng khi P (x0) đúng với mọi x0 ∈ X. Ì | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T ∃x ∈ X, P (x) đúng khi có x0 ∈ X sao cho P (x0) đúng. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
8 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ƙ Ví dụ 1. Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh T đề ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | đúng hay sai? 1 Số 1 là số nguyên tố. 2 Hà Nội là thủ đô nước nào? 3 Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm. 4 Hình học là môn học khó thật! 5 x + 4 là một số âm. 6 Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4. 7 Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn. 8 n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4. 9 ∃n ∈ N, n3 − n không là bội của 3. 10 ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0. ý Lời giải. a) “Số 1 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai vì số nguyên tố là số lớn hơn 1. b) “Hà Nội là thủ đô nước nào?” không phải là mệnh đề đây là câu hỏi. c) “Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm.” là mệnh đề đúng. d) “Hình học là môn học khó thật!” không phải là mệnh đề vì đây là câu cảm thán. e)“ x + 4 là một số âm.” là mệnh đề chứa biến. f) “Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4.” là mệnh đề sai vì n = 2 là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. g) “Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.” là mệnh đề đúng. h)“ n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4.” là mệnh đề đúng. i)“ ∃n ∈ N, n3 − n không là bội của 3.” là mệnh đề sai vì ∀n ∈ N, n3 − n = (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3. Å 1ã2 3 j)“ ∀x ∈ , x2 − x + 1 > 0.” là mệnh đề đúng vì x2 − x + 1 = x − + > 0. R 2 4 ǥ Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề Ì Mệnh đề phủ định của P là “không phải P ”. Ì Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, P (x)”. Ì Mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là “∀x ∈ X, P (x)”. Ì Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X Ƙ Ví dụ 1. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. ý Lời giải. Mệnh đề đã cho có dạng P ⇒ Q trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai. Ƙ Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai? a) P :“∀x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0”. b) Q: “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn 60◦”. ý Lời giải. a) Mệnh đề phủ định của P là P :“∃x ∈ R, (x − 1)2 < 0”. Đây là mệnh đề sai. b) Mệnh đề phủ định của Q là Q: “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn 60◦”. Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn 60◦”.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 9 Ƙ Ví dụ 3. Phát biểu thành lời và phủ định các mệnh đề sau. 1 ∀x ∈ R, x2 > 0. 2 ∃!n ∈ N, n2 + n = 0. ý Lời giải. a) Bình phương của một số thực là số dương. Mệnh đề phủ định là “Tồn tại bình phương của một số thực là số không dương”. b) Có một số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó bằng 0. Mệnh đề phủ định là “Với mọi số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó khác 0”. ǥ Dạng 3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Ì Một định lí thường có dạng “∀x ∈ X, P (x) ⇒ Q(x)”. Xác định P (x), Q(x). Ì Lấy x ∈ X sao cho P (x) đúng, chứng minh Q(x) đúng. Ì P (x) là điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) là điều kiện cần để có P (x). X ĐC Toán 10 - Marie Curie E Ƙ Ví dụ 1. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếu a + b > 0 thì ít nhất có một số a hay b dương. ý Lời giải. a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiền cần để chúng bằng nhau. b) a + b > 0 là điều kiện đủ để ít nhất có một số a hay b dương. Ít nhất có một số a hay b dương là điều kiện cần để a + b > 0. Ƙ Ví dụ 2. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Một số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. ý Lời giải. a) Một số có tổng chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 9. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để hình đó là một hình thoi. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương. C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Phát biểu nào là mệnh đề chứa biến? a. 2009 + 1 > 2020. b. 2x + 3 = 0. c. x2 + 1 > 0. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T d. Mọi tam giác đều đều là tam giác cân. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
10 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h e. Số π có lớn hơn 3 hay không? HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | f. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. g. 3 là một số nguyên tố. ý Lời giải. Ì Trong các phát biểu trên, phát biểu a., d., f., g. là mệnh đề Ì Phát biểu b., c. là mệnh đề chứa biến. Ì Phát biểu e. không phải là mệnh đề (câu hỏi) Bài 2. Phát biểu thành lời, xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề dưới đây: a. ∃x ∈ R : x2 = −10. c. ∀x ∈ R : x2 ≤ 0. e. ∃x ∈ R : x2 + x + 5 > 0. b. ∀x ∈ R : x2 + x + 12 6= −10. d. ∃x ∈ R : x2 ≤ 0. f. ∀x ∈ R : x2 + x + 5 > 0. ý Lời giải. a. Có một số thực bình phương của nó bằng −10. Đây là mệnh đề sai, vì bình phương của một số thực bất kỳ là một số không âm. Mệnh đề phủ định là: Mọi số thực, bình phương của nó khác −10. Å 1ã2 47 47 b. Đây là một mệnh đề đúng, vì x2 + x + 12 = x + + ≥ 6= −10 ∀x 2 4 4 Mệnh đề phủ định là: Có một số thực mà tích của số đó với số đó cộng một bằng −22. c. Đây là mệnh đề sai, vì x = 1 thì x2 = 1 > 0. Mệnh đề chứa ký hiệu “với mọi” có 1 phần tử làm cho nó sai thì mệnh đề ấy sai. Phủ định của mệnh đề là: Tồn tại một số thực mà bình phương của nó là số dương. d. Đây là mệnh đề đúng, vì có phần tử x = 0 làm cho mệnh đề đó đúng. Phủ định của mệnh đề là: Mọi số thực, bình phương của nó là số dương. e. Đây là mệnh đề đúng. Vì với x = 1 thì 12 + 1 + 5 > 0 là mệnh đề đúng. Phủ định của mệnh đề là: Mọi số thực, tích của số đó với số đó cộng số một thì bé hơn hoặc bằng âm năm. Å 1ã2 19 19 f. Đây là mệnh đề đúng. Vì x2 + x + 5 = x + + ≥ > 0 ∀x 2 4 4 E Phủ định của mệnh đề là: Tồn tại số thực, tích của số đó với số đó cộng số một thì bé hơn hoặc bằng âm năm. Curie Marie - 10 Toán ĐC X Bài 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? √ a. 10 x + 1. c. x − y = 1. d. 2 là số vô tỉ. ý Lời giải. Câu a. câu d. là mệnh đề. Câu b. câu c. là mệnh đề chứa biến. Bài 4. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. √ a. Không được đi lối này. b. Bây giờ là mấy giờ? c. 7 không là số nguyên tố. d. 5 là số vô tỉ. ý Lời giải. a. Không được đi lối này. Câu này không phải là mệnh đề vì là câu mệnh lệnh. b. Bây giờ là mấy giờ? Câu này không phải là mệnh đề vì là câu hỏi.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 11 c. 7 không là số nguyên tố. Câu này là mệnh đề sai. √ d. 5 là số vô tỉ. Câu này là mệnh đề đúng. Bài 5. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Số π có lớn hơn 3 hay không? b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. d. Phương trình x2 + 2020x − 2021 = 0 vô nghiệm. ý Lời giải. a. Số π có lớn hơn 3 hay không? Đây là câu hỏi không phải mệnh đề. X ĐC Toán 10b. - Marie Curie Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. E Đây là mệnh đề sai, vì “Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau” là sai. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. Đây là mệnh đề sai, vì “Mọi tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình thoi” là sai. d. Phương trình x2 + 2020x − 2021 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai, vì phương trình bậc hai có a, c trái dấu luôn có 2 nghiệm trái dấu. Bài 6. Tìm hai giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. 2 2 1 a. x 0. d. x > . x ý Lời giải. 1 Å1ã2 1 a. Với x = thì 0 là mệnh đề đúng. Với x = 0 thì 02 > 0 là mệnh đề sai. 1 1 d. Với x = 2 thì 2 > là mệnh đề đúng. Với x = −1 thì −1 > là mệnh đề sai. 2 −3 Bài 7. Cho mệnh đề chứa biến “P (x): x > x3 ”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau Å1ã a. P (1). b. P . c. ∀x ∈ N,P (x). d. ∃x ∈ N,P (x). 3 ý Lời giải. a. P (1) : 1 > 13 là mệnh đề sai. c. ∀x ∈ N,P (x) là mệnh đề sai. Å1ã 1 1 b. P : > là mệnh đề đúng. 3 3 27 d. ∃x ∈ N,P (x) là mệnh đề sai. Bài 8. Dùng các ký hiệu ∀, ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
12 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h a. x + 2 > 3. e. x + y > 1. i. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | b. a + 3 = 3 + a. f. (a − b)(a + b) = a2 − b2. j. (x − 2)2 = 1. c. 15 là bội của x. g. (a − b)2 = a2 − b2. k. x2 − 5x + 6 = 0. d. (x − 2)2 > −1. h. x2 > 0. l. (x + y)z = xz + yz. ý Lời giải. 2 a. ∃x ∈ R : x + 2 > 3. g. ∃a, b ∈ R :(a − b) = a2 − b2. 2 b. ∀a ∈ R : a + 3 = 3 + a. h. ∃x ∈ R : x > 0. 2 2 2 c. ∃x ∈ R : 15 là bội của x. i. ∀x, y ∈ R :(x + y) = x + 2xy + y . 2 2 d. ∀x ∈ R :(x − 2) > −1. j. ∃x ∈ R :(x − 2) = 1. e. ∃x, y ∈ R : x + y > 1. k. ∃x ∈ R : x2 − 5x + 6 = 0. f. ∀a, b ∈ R :(a − b)(a + b) = a2 − b2. l. ∀x, y, z ∈ R :(x + y)z = xz + yz. Bài 9. Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng. 2 a. ∃x ∈ Q : 9x2 − 3 = 0. c. ∀x ∈ R :(x − 1) 6= x − 1. b. ∃n ∈ N : n2 + 1 chia hết cho 8. d. ∀n ∈ N : n > n2. ý Lời giải. a. Phủ định của mệnh đề là: ∀x ∈ Q : 9x2 − 3 6= 0. Đây là mệnh đề đúng. b. Phủ định của mệnh đề là: ∀n ∈ N : n2 + 1 không chia hết cho 8. Đây là mệnh đề đúng. Vì n = 8k, n = 8k ± 1, n = 8k ± 2, n = 8k ± 3 và n = 8k + 4 với k ∈ N thì n2 + 1 đều không chia hết cho 8. 2 c. Phủ định của mệnh đề là: ∃x ∈ R :(x − 1) = x − 1. Đây là mệnh đề đúng. Vì với x = 1 thì (1 − 1)2 = 1 − 1 là mệnh đề đúng. d. Phủ định của mệnh đề là: ∃n ∈ N : n ≤ n2. Đây là mệnh đề đúng. Vì với n = 0 thì 0 ≤ 02 là mệnh đề đúng. E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X Bài 10. Cho số thực x. Xét các mệnh đề P :“x2 = 1 ”và Q :“x = 1 ” a. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó. b. Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên. c. Chỉ ra một giá trị của x để mệnh đề P ⇒ Q sai. ý Lời giải. a. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q: Nếu bình phương của một số bằng 1 thì số đó bằng 1. Phát biểu mệnh đề Q ⇒ P : Nếu một số bằng 1 thì bình phương số đó bằng 1. b. Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai. Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng. c. Với x = −1 thì mệnh đề P ⇒ Q sai. Bài 11. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a. P : “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q : “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 13 √ b. P : “Bất phương trình x2 − 3x > 1 có nghiệm ”và Q :“p(−1)2 − 3(−1) > 1”. ý Lời giải. a. “Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. “Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. Đây là mệnh đề đúng. √ 2 p 2 b. “Bất phương trình √x − 3x > 1 có nghiệm khi và chỉ khi (−1) − 3(−1) > 1”. “Bất phương trình x2 − 3x > 1 có nghiệm nếu và chỉ nếu p(−1)2 − 3(−1) > 1”. Đây là mệnh đề sai. Vì với x = 3 thì mệnh đề sai. Bài 12. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng. Biết: P : “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy”. Q : “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy ”. ý Lời giải. Ì Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu một điểm bất kỳ nằm trên đường phân giác của góc Oxy thì nó cách đều hai cạnh Ox và Oy”. Đây là mệnh đề đúng. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E Ì Mệnh đề P ⇔ Q là: “Mọi điểm nằm trên đường phân giác của góc Oxy khi và chỉ khi chúng cách đều hai cạnh Ox và Oy”. Đây là mệnh đề đúng. Bài 13. Dùng các ký hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau: a. Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b. Mọi số thực cộng với số 0 bằng chính nó. c. Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. ý Lời giải. . a. ∃x ∈ Z : x 6 . x. b. ∀x ∈ R : x + 0 = x. 1 c. ∃x ∈ : x 0 thì trong hai số a và b lớn hơn 0. ý Lời giải. a. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 5. Số tự nhiên chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó có tận cùng là chữ số 5 c. Bình phương của hai số bằng nhau là điều kiện cần để hai số đó bằng nhau. Hai số bằng nhau là điều kiện đủ để bình phương của chúng bằng nhau. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆTd. NAM -Hai DỰ ÁN T số a và b lớn hơn 0 là điều kiện đủ để tổng của chúng lớn hơn 0. Tổng của hai số lớn hơn 0 là điều kiện cần để hai số đó đều lớn hơn 0. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
14 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Bài 15. Phát biểu một “điều kiện đủ” a. Để tứ giác ABCD là hình bình hành. b. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật. ý Lời giải. a. Để tứ giác ABCD là hình bình hành, điều kiện đủ là tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật, điều kiện đủ là hình bình hành ABCD có một góc vuông. Bài 16. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau: a. ∀x ∈ R : x > −2 ⇒ x2 > 4. c. ∀m, n ∈ N : m và n là các số lẻ ⇔ m2 + n2 là số chẵn. b. ∀x ∈ R : x > 2 ⇒ x2 > 4. d. ∀x ∈ R : x2 > 4 ⇒ x > 2. ý Lời giải. a. ∀x ∈ R : x > −2 ⇒ x2 > 4. Đây là mệnh đề sai, vì x = −1 thì “−1 > −2 ⇒ (−1)2 > 4” là mệnh đề sai. b. ∀x ∈ R : x > 2 ⇒ x2 > 4. Đây là mệnh đề đúng, vì với mọi số thực lớn hơn 2 thì bình phương của nó luôn lớn hơn 4. c. ∀m, n ∈ N : m và n là các số lẻ ⇔ m2 + n2 là số chẵn. Đây là mệnh đề sai, vì “m = 2k + 1, n = 2l + 1 với k, l ∈ N thì m2 + n2 là số chẵn” là đúng. Tuy nhiên “m2 + n2 là số chẵn thì m, n là số lẻ” là sai. Do đó mệnh đề tương đương này sai. d. ∀x ∈ R : x2 > 4 ⇒ x > 2. Đây là mệnh đề sai, vì x = −3 thì “(−3)2 > 4 ⇒ −3 > 2” là mệnh đề sai. Bài 17. Xét tính đúng- sai của các mệnh đề sau 1 ∃a ∈ Q, a2 = 2. 2 ∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3. 3 ∀x ∈ , ∃y ∈ : x > y ⇔ x3 > y3 E R R . Curie Marie - 10 Toán ĐC X √ 4 ∀x ∈ R, ∀y ∈ R : x + y ≥ 2 xy. ý Lời giải. 1 Sai. 2 Đúng. 3 Đúng. 4 Sai. Bài 18. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “6 là số nguyên tố ”. √ 2 B : “( 3 − 1)2 là số nguyên ”; 3 C : “∃n ∈ N, n(n + 1) là số chính phương ”; 4 D : “∀n ∈ N, 2n + 1 là số lẻ ”. ý Lời giải.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 15 1 A : “6 là hợp số”- Đúng. √ 2 B : “( 3 − 1)2 không phải là số nguyên ”- Đúng; 3 C : “∀n ∈ N, n(n + 1) không phải là số chính phương ”- Sai; 4 D : “∃n ∈ N, 2n + 1 là số chẵn ”- Sai. Bài 19. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó. A :“∃x ∈ N, n2 + 3 chia hết cho 4 ”và B :“∃x ∈ N, x chia hết cho x + 1 ”. ý Lời giải. 1 A :“∀x ∈ N, n2 + 3 không chia hết cho 4 ”- Sai. 2 B :“∀x ∈ N, x không chia hết cho x + 1 ”- Sai. Bài 20. Nêu mệnh đề phủ định cúa các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A : “Phương trình x4 − 2x2 + 2 = 0 có nghiệm”; X ĐC Toán 10 - Marie Curie 2013 E 2 B : “Bất phương trình x > 2030 vô nghiệm ”; Ä √ ä Ä √ ä 3 C : “∀x ∈ R, x4 − x2 + 1 = x2 + 3x + 1 x2 − 3x + 1 ”; 4 D : “∃q ∈ Q, 2q2 − 1 = 0 ”. ý Lời giải. 1 A : “Phương trình x4 − 2x2 + 2 = 0 vô nghiệm”- Đúng; 2 B : “Bất phương trình x2013 > 2030 có nghiệm ”- Đúng; Ä √ ä Ä √ ä 3 C : “∃x ∈ R, x4 − x2 + 1 6= x2 + 3x + 1 x2 − 3x + 1 ”- Sai ; 4 D : “∀q ∈ Q, 2q2 − 1 6= 0 ”- Đúng. Bài 21. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. 1 A :“∀x ∈ R, x3 − x2 + 1 > 0 ”; 1 2 B : “Tồn tại số thực a sao cho a + ≤ 2 ”. a ý Lời giải. 1 A :“∃x ∈ R, x3 − x2 + 1 ≤ 0 ”- Đúng; 1 2 B : “Với mọi số thực a sao cho a + > 2 ”- Sai. a Bài 22. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó 1 P (x):“∃x ∈ Z, x2 = 3 ”. 2 P (n):“∀n ∈ N∗ : 2n + 3 là một số nguyên tố ”. 3 P (x):“∀x ∈ R, x2 + 4x + 5 > 0 ”. 4 P (x):“∀x ∈ R, x4 − x2 + 2x + 2 ≥ 0 ”. ý Lời giải. 1 Sai và P (x):“∀x ∈ , x2 6= 3 ”. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T Z 2 Sai và P (n):“∃n ∈ N∗ : 2n + 3 là một hợp số ”. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
16 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h 3 Đúng và P (x):“∃x ∈ R, x2 + 4x + 5 ≤ 0 ”. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | 4 Đúng và P (x) :: “∃x ∈ R, x4 − x2 + 2x + 2 −1" và Q : ”( 2 − 3)2 > (−1)2". ý Lời giải. 1 P ⇒ Q: " Nếu tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180◦ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn" - Đúng. Q ⇒ P : "Nếu tứ giác không nội tiếp được đường tròn thì tổng hai góc đối của tứ giác lồi bằng 180◦" - Sai. √ √ √ √ 2 2 2 P ⇒ Q: "Nếu √2 − √3 > −1 thì ( 2 −√ 3) √> (−1) " - Sai. Q ⇒ P : "Nếu ( 2 − 3)2 ≤ (−1)2 thì 2 − 3 > −1 - Đúng. Bài 24. Sử dụng khái niệm "điều kiện cần " đề phát biều các định lí sau 1 Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5. 2 Nếu a = b thì a2 = b2. 3 Trong mặt phằng, nếu hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5. 2 Điều kiện cần để a = b là a2 = b2. 3 Trong mặt phằng, điều kiện cần để hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba là hai đường thằng ấy song song với nhau. Bài 25. Dùng khái niệm " điều kiện cần " để phát biểu các định lí sau 1 Nếu MA ⊥ MB thì M thuộc đường tròn đường kính AB. 2 a 6= 0 b 6= 0 a2 + b2 > 0 E hoặc là điều kiện đủ để . Curie Marie - 10 Toán ĐC X ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để MA ⊥ MB là M thuộc đường tròn đường kính AB. 2 Điều kiện cần để a2 + b2 > 0 là a 6= 0 hoặc b 6= 0. Bài 26. Sừ dụng khái niệm "điều kiện đủ " đề phát biểu các định lí sau 1 Nếu a và b là hai số hũu tỉ thì tổng a + b là số hũu tỉ. 2 Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 3 Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. ý Lời giải. 1 a và b là hai số hũu tỉ là điều kiện đủ để có tổng a + b là số hũu tỉ. 2 Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. 3 Một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 5.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 17 Bài 27. Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Đinh lí này được viết dưới dạng P ⇒ Q. 1 Hãy xác định các mệnh đề P và Q. 2 Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”. 3 Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”. 4 Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" phát biều gộp cả hai định lí thuận và đảo. ý Lời giải. 1 P : n5 chia hết cho 5 và Q : n chia hết cho 5. 2 Cho số tự nhiên n, điều kiện cần để có n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5 3 Cho số tự nhiên n, n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5 4 Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì n5 chia hết cho 5. Cho số tự nhiên n, điều kiện cần và đủ để n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E Bài 28. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”đề phát biều định lí sau 1 Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? 2 Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để một tứ giác là hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau. Điều kiện đủ để tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là tứ giác đó là hình vuông. Không tồn tại định lí đảo của định lí đã cho. Vì mệnh đề đảo của mệnh đề trên là một mệnh đề sai. 2 Điều kiện cần để một tứ giác là hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc. Điều kiện đủ để một tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tứ giác đó là hình thoi. Không tồn tại định lí đảo của định lí đã cho. Vì mệnh đề đảo của mệnh đề trên là một mệnh đề sai. Bài 29. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngũ “điều kiện cần ”, “điều kiện đủ” 1 Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 2 Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3. 3 Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 4 Nếu tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao thì AB2 = BC · BH. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có diện tích bằng nhau. Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. 2 Điều kiện cần để số nguyên dương chia hết cho 6 là chia hết cho 3. Điều kiện đủ để số nguyên dương chia hết cho 3 là nó chia hết cho 6. 3 Điều kiện cần hình thang có hai đường chéo bằng nhau là nó là hình thang cân. Điều kiện đủ để hình thang là hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau. 4 Điều kiện cần để tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao là AB2 = BC · BH. Điều kiện đủ để tam giác ABC có AB2 = BC · BH là tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao. Bài 30. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ”để phát biểu các định lí sau | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T 1 Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180◦. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
18 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h 2 Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | ý Lời giải. 1 Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng 180◦. 2 Điều kiện cần và đủ để tam giác cân là có trung tuyến bằng nhau. Bài 31. Dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ " đề phát biều định lí sau 1 Một tam giác là tam giác cân nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau. 2 Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần và đủ để một tam giác là tam giác cân là nó có hai góc bằng nhau. 2 Điều kiện cần và đủ để rt giác là hình bình hành là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài 32. Dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ " đề phát biều định lí sau 1 Tam giác ABC vuông khi và chi khi AB2 + AC2 = BC2. 2 Tứ giác là hình chũ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 3 Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. 4 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn. ý Lời giải. 1 Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là AB2 + AC2 = BC2. 2 Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình chũ nhật là nó có ba góc vuông. 3 Điều kiện cần và đủ để tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn là nó có hai góc đối bù nhau. 4 Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 2 là nó có chữ số tận cùng là số chẵn. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A Số π có phải là số nguyên không?. B Số 4 là một số nguyên tố. C Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60◦ phải không?. D a2 + b2 = c2. ý Lời giải. “Số 4 là một số nguyên tố” là một mệnh đề. ¤ Chọn đáp án B Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây sai? A 10 chia hết cho 2. B 2 là một ước số của 10. C 2 chia hết cho 10. D 2 và 10 là hai số chẵn. ý Lời giải. “2 chia hết cho 10” là mệnh đề sai vì 2 chia hết 10. ¤ Chọn đáp án C Câu 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A 15 là số nguyên tố. B a = b + c. C x2 + x = 0. D 2n + 1 chia hết cho 3. ý Lời giải. “15 là số nguyên tố” là mệnh đề. ¤ Chọn đáp án A
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 19 Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề A 14 là số nguyên tố. B 14 chia hết cho 2. C 14 không phải là hợp số. D 14 chia hết cho 7. ý Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề “14 không phải là hợp số”. ¤ Chọn đáp án C Câu 5. Mênh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A 20 chia hết cho 5. B 5 chia hết cho 20. C 20 là bội số của 5. D 5 chia hết 20. ý Lời giải. “5 chia hết cho 20” là mệnh đề sai vì “5 chia hết 20”. ¤ Chọn đáp án B Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A 5 + 4 10. C 2 − 1 0. 5 + x = 2. X ĐC Toán 10 - Marie Curie A B C D E ý Lời giải. “5 + x = 2” không phải là mệnh đề. ¤ Chọn đáp án D Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu “33 là hợp số” thì “15 chia hết cho 25”. B Nếu “7 là số nguyên tố” thì “8 là bội số của 3”. C Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6”. D Nếu “3 + 9 = 12” thì “4 > 7”. ý Lời giải. Mệnh đề A ⇒ B chỉ sai khi A đúng và B sai. Do đó phương án: Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án C Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. B Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. C Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. D Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. ý Lời giải. Mệnh đề: “Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9” có mệnh đề đảo là “Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3” đúng. ¤ Chọn đáp án C Câu 10. Trong các mệnh đề tương đương sau đây, mệnh đề nào sai? A n là số nguyên lẻ khi và khi n2 là số lẻ. B n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của n chia hết cho 3. C ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC = BD. D ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC và Ab = 60◦. ý Lời giải. Mệnh đề “ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC = BD” sai vì khi AC = BD thì ABCD chưa phải là hình chữ nhật. ¤ Chọn đáp án C Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? −π (−2) · 5. ý Lời giải. Ta có π2 < 4 ⇔ |π| < 2 ⇔ −2 < π < 2. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆTVậy NAM - DỰ phương ÁN T án −π < −2 ⇔ π2 < 4 sai. ¤ Chọn đáp án A h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
20 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Câu 12. Xét câu P (n):“n chia hết cho 12”. Với giá trị nào của n thì P (n) là mệnh đề đúng? HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | A 48. B 4. C 3. D 88. ý Lời giải. Vì 48 ÷ 12 = 4 nên khi n = 48 thì P (n):“n chia hết cho 12” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án A Câu 13. Với giá trị nào của biến số x sau đây thì mệnh đề chứa biến P (x):“x2 − 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng? A 0. B 1. C −1. D −2. ý Lời giải. Vì x = 1 thì P (1) = 0 nên khi x = 1 thì mệnh đề chứa biến P (x):“x2 − 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án B Câu 14. Mệnh đề chứa biến: “x3 − 3x2 + 2x = 0” đúng với giá trị nào của x? A x = 0; x = 2. B x = 0; x = 3. C x = 0; x = 2; x = 3. D x = 0; x = 1; x = 2. ý Lời giải. Ta có x3 − 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 − 3x + 2) = 0 x = 0  ⇔ x = 1 x = 2. Vậy mệnh đề chứa biến: “x3 − 3x2 + 2x = 0” đúng khi x = 0; x = 1; x = 2. ¤ Chọn đáp án D Câu 15. Cho mệnh đề P :“∀x ∈ R, x2 − 1 6= 0”, Q:“∃n ∈ Z, n = n2”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đề P, Q. A P đúng và Q sai. B P sai và Q đúng. C P, Q đều đúng. D P, Q đều sai. ý Lời giải. Khi x = 1 thì x2 − 1 = 0, do đó mệnh đề P sai. Khi n = 1 thì n = n2, do đó mệnh đề Q đúng. Vậy P sai và Q đúng. ¤ Chọn đáp án B Câu 16. Với số thực x bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ x ≤ ±4. B ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4. C ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ x ≤ −4, x ≥ 4. D ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ −4 5 ⇒ x > 5 hoặc x 5 ⇒ − 5 5 ⇒ x > ± 5. D ∀x, x2 > 5 ⇒ x ≥ 5 hoặc x ≤ − 5. ý Lời giải. √ √ Ta có ∀x, x2 > 5 ⇒ x > 5 hoặc x 3. Ì Mệnh đề ∀n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3 sai, vì chẳng hạn chọn n = 1 ∈ N thì 2 không chia hết cho 3. 2 Ì Xét mệnh đề ∃a ∈ Q, a = 2. Ta có √ 2 a = 2 ⇔ a = ± 2 ∈ I. Do đó mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề đúng là ∀x ∈ R, x ≤ x2. ¤ Chọn đáp án A
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 21 Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến P (x):“2x2 − 1 0. B ∀x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. C ∀x∈ / R, x2 − x + 7 > 0. D ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. ý Lời giải. Phủ định của mệnh đề P (x) là P (x): ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. ¤ Chọn đáp án D Câu 21. Trong các câu sau, câu nào đúng? A Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q, 4x2 − 1 = 0” là mệnh đề “∀x ∈ Q, 4x2 − 1 > 0”. B Phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4”. C Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 6= x − 1” là mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 = x − 1”. D Phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n2 > n” là mệnh đề “∃n ∈ N, n2 n” là mệnh đề “∃n ∈ N, n2 ≤ n”. Vậy phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4 ” là khẳng định đúng. ¤ Chọn đáp án B Câu 22. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x):“x2 + 3x + 1 > 0 với mọi x” là A Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 > 0. B Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0. C Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 = 0. D Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 −2 ⇒ x2 > 4. B ∀x ∈ R, x > 2 ⇒ x2 > 4. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM -C DỰ ÁN T ∀x ∈ R, x2 > 4 ⇒ x > 2. D Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3. ý Lời giải. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
22 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ì Xét mệnh đề ∀x ∈ R, x > −2 ⇒ x2 > 4: Với x = 1 > −2 nhưng (−1)2 = 1 4 ⇒ x > 2, ta có x2 > 4 ⇒ |x| > 2 ⇒ x 2. Do đó mệnh đề này sai. Ì Xét mệnh đề “Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3”, ta chọn a = 5, b = 1 thì a + b = 6 chia hết cho 3 nhưng a và b đều không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề ∀x ∈ R, x > 2 ⇒ x2 > 4 là định lí. ¤ Chọn đáp án B E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 23 §2 TẬP HỢP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tập hợp (hay còn gọi là 1 tập) là một khái niệm nguyên thuỷ, không định nghĩa. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ sau Ƙ Ví dụ 1. Ì X là tập hợp các chữ cái của chữ MARIE CURIE. Ì Y là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7. Hai tập hợp X và Y trong ví dụ trên được minh hoạ bởi một đường cong khép kín mà ta gọi là Biểu đồ Venn. (Do nhà toán học Jonh Venn người Anh xây dựng năm 1881) X Y M R 0 1 X ĐC Toán 10 - Marie Curie A C E 2 3 4 E I U 5 6 Mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất nào đó. Phần tử a của tập hợp X được kí hiệu a ∈ X, còn được gọi là a thuộc tập hợp X. Phần tử b không của tập hợp X được kí hiệu b∈ / X, còn được gọi là b không thuộc X. Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận tập hợp không chứa một phần tử nào cả, tập hợp đó được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là ∅. Ƙ Ví dụ 2. Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là tập hợp rỗng. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ ǥ Dạng 1. Cách biểu diễn tập hợp Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp. Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng ở giữa dấu {}. Ví dụ: X = {0; 5; 10; 15} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5. Y = {1; 2} là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 − 3x + 2 = 0. Z = {0; 1; 2; 3; 4; , 99} là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên. Cách 2. Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. Không phải mọi tập hợp đều liệt kê rành mạch được các phần tử theo thứ tự nào đó. Chẳng hạn, tập hợp các số tự từ 1 đến 2 là không liệt kê được. (Số thực đứng sau 1 là số nào ? Không biết được). Khi đó, chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng ở giữa dấu {}, mà nhờ chúng ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không Ví dụ: A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tả A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}. Chú ý 1. Ì N là tập hợp các số tự nhiên. ! Ì Q là tập hợp các số hữu tỉ. Ì Z là tập hợp các số nguyên. Ì là tập hợp các số thực. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T R h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
24 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | ! Chú ý 2. Tập hợp {∅} là tập hợp không rỗng. A = {x ∈ N | (2x + 4)(2x2 − 5x) = 0}. B = {x ∈ Z | 4 < x2 ≤ 25}. D = {x ∈ Z | 5 < |x| ≤ 6}. C = {x ∈ R | x = 2n2 − n − 3 với n ∈ E = {x ∈ R | |x − 1| = 1}. Ƙ Ví dụ 1. N, n < 3}. ý Lời giải. x = −2 x = 0 Ì Ta có (2x + 4)(2x2 − 5x) = 0 ⇔  ; do đó A = {0}.  5 x = 2 Ì B = {3; 4; 5}. Ì n là số tự nhiên và n < 3 nên n = 0, n = 1, n = 2, do đó C = {−3; −2; 3}. Ì D = {−6; 6}. ñx = 0 Ì |x − 1| = 1 ⇔ , do đó E = {0; 2}. x = 2 Ƙ Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc√ trưng√ của các phần tử của nó A = {0; 2; 4; 6; 8}. B = {− 2; 2}. ý Lời giải. A = {x | x = 2n với n ∈ N, n < 5}. B = {x ∈ R | x2 − 2 = 0}. Bài tập rèn luyện Bài 1. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó. A = {x ∈ N | 2 < x < 15 và x là số chẵn}. E = {x ∈ N | 2x − 1 = 0}. 2 B = {x ∈ Z | 3x − 10x + 3 = 0}. F = {x ∈ Z | |x| < 4}. E C = {x ∈ N | (x2 − 3)(x2 − 5x + 6) = 0}. G = {x ∈ R | x3 − 4x = 0 và x < 1}. Curie Marie - 10 Toán ĐC X D = {x ∈ Z | (x2 − 8)(4x − 5) = 0}. H = {x ∈ R | x = 2n2 − 3, x ∈ N và x < 10}. ý Lời giải. Ì A = {4; 6; 8; 10; 12; 14}. x = 3 Ì 3x2 − 10x + 3 = 0 ⇔  1 , do đó B = {3}. x = 3 √ x = ± 3 Ì 2 2  (x − 3)(x − 5x + 6) = 0 ⇔ x = 2 , do đó C = {2; 3}. x = 3 √ x = ±2 2 2 Ì (x − 8)(4x − 5) = 0 ⇔  5 , do đó E = ∅. x = 4 1 Ì 2x − 1 = 0 ⇔ x = nên E = . 2 ∅ Ì F = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 25 x = 0 Ì 3  x − 4x = 0 ⇔ x = 2 , do đó G = {0; −2}. x = −2 Ì x < 10 ⇔ 2n2 − 3 < 10 ⇔ n = 0; n = 1; n = 2. Khi đó H = {−3; −1; 5}. Bài 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của nó A = {1; 3; 5; 7; 9}. D = {−3; −2; −1; 1; 2; 3}. B = {0; 1; 4; 9; 16; 25} E = ∅. . ß1 3 5 7 9 ™ C = {1; 7; −3; 6}. F = ; ; ; ; . 2 4 8 16 32 ý Lời giải. Ì A = {x ∈ N | x = 2n + 1 với n ∈ N, n < 5}. Ì B = {x ∈ R | x = n2 với n ∈ N, n <= 5}. Ì C = x ∈ R | (x2 − 8x + 7)(x2 − 3x − 18) = 0. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E Ì D = {x ∈ Z | 0 < |x| ≤ 3}. Ì E = {x ∈ R | x2 + 1 = 0}. 2n − 1 Ì F = {x ∈ | x = với n ∈ ∗, n < 5}. Q 2n N ǥ Dạng 2. Tập con - hai tập bằng nhau Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B và kí hiệu A ⊂ B. ! A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) Các cách gọi: B Ì A là tập con của tập B. A Ì Tập A bị chứa trong tập B. Ì Tập B chứa tập A và được kí hiệu B ⊃ A. Chú ý 1 Ì Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C (Tính bắc cầu). ! Ì Với mọi tập A ta đều có A ⊂ A. Ì Với mọi tập A ta đều có ∅ ⊂ A. ! Chú ý 2. N∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Cho hai tập hợp A và B. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta gọi hai tập A và B bằng nhau, kí hiệu A = B. A B A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B) | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
26 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h C BÀI TẬP TỰ LUẬN T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Bài 1. Xác định các tập hợp con của tập hợp A = {x ∈ R| (x2 − 2)(x−x) = 0} ý Lời giải. √ x = ± 2 2 2  Ta có (x − 2)(x − x) = 0 ⇔ x = 0 x = 1 √ √ Như vậy A = { 2; − 2; 0; 1} √ √ √ √ √ √ √ √ Do√ đó các tập con√ của tập√A là ∅√, {0},{√1},{ √2}, {− 2}{0; 1}, {0; 2}, {0; − 2}, {1; 2}, {1; − 2}, { 2; − 2}, {0; 1; 2}, {0; 1; − 2}, {1; 2; − 2},{ 2; − 2; 0; 1}. Bài 2. Cho các tâp hợp A = {x ∈ R| x3 − x = 0}, B = {x ∈ Z| x2 ≤ 1}, C = {x ∈ N| 2x + 10 < 0}, D = {x ∈ N| x3 = x}. Tập nào là con tập nào ? Các tập nào bằng nhau? ý Lời giải. Ta có A = {0; 1; −1}, B = {−1; 0; 1}; C = ∅; D = {0; 1}. Như vậy A = B và C ⊂ D ⊂ A = B. Bài 3. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho {1; 3} ⊂ X và X ⊂ {1; 2; 3; 4; 5}. ý Lời giải. Yêu cầu bài toán cho ta các tập X như sau: X = {1; 3}, X = {1; 2; 3}, X = {1; 3; 4}, X = {1; 3; 5}, X = {1; 2; 3; 4}, X = {1; 2; 3; 5}, X = {1; 3; 4; 5}, X = {1; 2; 3; 4; 5}. Bài 4. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho X ⊂ {−3; −2; 0; 1; 3} và X ⊂ {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. ý Lời giải. Yêu cầu bài toán cho ta các tập X như sau: X = ∅, X = {0}, X = {1}, X = {3}, X = {1; 3}, X = {0; 1}, X = {0; 3}, X = {0; 1; 3}. Bài 5. Cho các tập hợp A = {x ∈ R | x3 − x = 0}, B = {x ∈ Z | (x2 − x)(x2 − 3x + 2) = 0}, C = {x ∈ R | x2 + 10 = 0}, D = {x ∈ Z| x2 < 5}.Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ý Lời giải. Ta có A = {0; 1; −1}, B = {0; 1; 2}, C = ∅, D = {−2; −1; 0; 1; 2}. Như vậy A, B, C là các tập con của D. Không có hai tập nào bằng nhau. Bài 6. Cho ba tập hợp A = {1; 2; −1}, B = {2; −1}, C = {x ∈ R| x2 − 1 = 0} Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ý Lời giải. C = {−1; 1}. Do đó các tập B, C là tập con của tập A. Bài 7. Tìm tất cả các tập con của tập A = {x ∈ N| x < 6} mà có hai phần tử. ý Lời giải. E Ta có A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Do đó các tập con có hai phần tử của tập hợp A là: {0; 1}, {0; 2}, {0; 3}, {0; 4}, {0;5 Curie } Marie , - 10 Toán ĐC X {1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}. Bài 8. Tìm tất cả các tập con của tập X = {a; b; c; d} thoả a. Có trên hai phần tử b. Có đúng hai phần tử c. Có ít hơn hai phần tử d. Không có phần tử c ý Lời giải. a. Các tập hợp con có trên hai phần tử là {a; b; c}, {a; b; d}, {b; c; d}, {a; b; c; d}. b. Các tập con có đúng hai phần tử là {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}. c. Các tập hợp con có ít hơn hai phần tử là ∅, {a}, {b}, {c}, {d}. d. Các tập hợp con Không có phần tử c là {a}, {b}, {d}, {a; b}, {a; d}, {b; d}, {a; b; d}.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 27 ǥ Dạng 1. Các phép toán trên tập hợp 1 Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Kí hiệu A ∪ B. A B x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. A ∪ B là phần gạch chéo 2 Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Kí hiệu A ∩ B. A B x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E A ∩ B là phần gạch chéo 3 Phép lấy bù Cho A là tập con của tập E. Phần bù của A trong E là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của E mà không là phần tử của A. Kí hiệu CEA. E A A ⊂ E, x ∈ CEA ⇔ x ∈ E và x∈ / A. CEA là phần gạch chéo 4 Phép hiệu Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Kí hiệu A \ B. A B x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x∈ / B. Nếu A ⊂ B thì A \ B = CAB. ! A \ B là phần gạch chéo Ƙ Ví dụ 1. Cho hai tập hợp A và B. Tìm các tập hợp A∪B, A∩B, A\B và B\A với A = {x ∈ N | 3 ≤ x < 7} và B = {x ∈ Z | −1 ≤ x < 5}. ý Lời giải. Ta có A = {3; 4; 5; 6} và B = {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. Do đó Ì A ∪ B = {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Ì A ∩ B = {3; 4}. Ì A \ B = {5; 6}. Ì B \ A = {−1; 0; 1; 2}. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
28 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ƙ Ví dụ 2. Cho hai tập hợp A và B. Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A \ B và B \ A với A = {−1; 2; 3; 7} T và ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | B = {x ∈ R | (x − 2)(x − 3) = 0}. ý Lời giải. Ta có A = {−1; 2; 3; 7} và B = {2; 3}. Do đó Ì A ∪ B = {−1; 2; 3; 7}. Ì A ∩ B = {2; 3}. Ì A \ B = {−1; 7}. Ì B \ A = ∅. Bài tập tự rèn luyện Bài 1. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 3; 5} và B = {−1; 0; 2; 3}. Chứng minh (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A). ý Lời giải. Ta có A ∪ B = {−1; 0; 1; 2; 3; 5} và A ∩ B = {0; 3} nên (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {−1; 1; 2; 5}. Mặt khác, A \ B = {1; 5} và B \ A = {−1; 2} nên (A \ B) ∪ (B \ A) = {−1; 1; 2; 5}. Vậy (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A) (điều phải chứng minh). 3 2 Bài 2. Cho hai tập hợp A = x ∈ R | x − 8 2x − x − 3 = 0 và B = {x ∈ Z | 2|x| − 5 ≤ 0}. Tìm tập hợp (A ∪ B) \ (A ∩ B). ý Lời giải. Ta có x = 2 ñx3 − 8 = 0 3 2 x = −1 x − 8 2x − x − 3 = 0 ⇔ ⇔  2x2 − x − 3 = 0  3 x = . 2 ß 3 ™ Cho nên A = −1; ; 2 . 2 Mặt khác 5 5 5 2|x| − 5 ≤ 0 ⇔ 2|x| ≤ 5 ⇔ |x| ≤ ⇔ − ≤ x ≤ . 2 2 2 Cho nên B = {−2; −1; 0; 1; 2}. ß 3 ™ ß 3™ Khi đó A ∪ B = −2; −1; 0; 1; ; 2 và A ∩ B = {−1; 2}. Do đó (A ∪ B) \ (A ∩ B) = −2; 0; 1; . 2 2 ß ™ 2 2k + 12 Bài 3. Cho ba tập hợp A = {n ∈ N | n ≥ 2}, B = x ∈ N | (x − 5) x + 1 0 với mọi x ∈ R nên (x − 5) x2 + 1 < 0 ⇔ x − 5 < 0 ⇔ x < 5. Suy ra B = {0; 1; 2; 3; 4}. Vì vậy A ∩ B = {2; 3; 4}. 2k + 12 Mặt khác, giả sử k ∈ A ∩ B ∩ C thì k ∈ A, k ∈ B và k ∈ C. Do đó, ta thử k = 2, k = 3, k = 4 vào biểu thức . k2 + k 2 · 2 + 12 8 Ì Với k = 2 ta được = không nguyên. 22 + 2 3 2 · 3 + 12 3 Ì Với k = 3 ta được = không nguyên. 32 + 3 2 2 · 4 + 12 Ì Với k = 4 ta được = 1 nguyên. 42 + 4 Vậy A ∩ B ∩ C = {4}. Bài 4. Tìm tất cả các tập X thỏa mãn {1; 3} ∪ X = {0; 1; 2; 3}. ý Lời giải. Ta có {0; 1; 2; 3}\{1; 3} = {0; 2} cho nên tất cả các tập X cần tìm là {0; 2}, {0; 1; 2}, {0; 2; 3}, {0; 1; 2; 3}.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 29 Bài 5. Xác định hai tập hợp A và B biết rằng A \ B = {1; 5; 7; 8}, B \ A = {2; 10} và A ∩ B = {3; 6; 9}. ý Lời giải. Vì A \ B = {1; 5; 7; 8} nên {1; 5; 7; 8} ⊂ A và 1 ∈/ B, 5 ∈/ B, 7 ∈/ B, 8 ∈/ B. (1) Vì B \ A = {2; 10} nên 2 ∈/ A, 10 ∈/ A và {2; 10} ⊂ B. (2) Vì A ∩ B = {3; 6; 9} nên {3; 6; 9} ⊂ A và {3; 6; 9} ⊂ B. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra A = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, B = {2; 3; 6; 9; 10}. Bài 6. Cho tập hợp A = {1; 3; 6}. Tìm tất cả các tập X thỏa mãn A ∪ X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} và A ∩ X = {3}. ý Lời giải. Ta có {1; 2; 3; 4; 5; 6}\ A = {2; 4; 5}. Vì A ∩ X = {3} nên 3 ∈ X. Vậy tất cả các tập X cần tìm là {2; 3; 4; 5}, {1; 2; 3; 4; 5}, {2; 3; 4; 5; 6}, {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Bài đọc thêm Ƙ Ví dụ 1. Câu lạc bộ ngoại ngữ của trường Marie Curie có 30 học sinh nói được tiếng Anh, 25 học sinh nói được tiếng Pháp, trong đó có 12 học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi câu lạc bộ ngoại ngữ có bao nhiêu học sinh, trong đó có bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Anh, bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Pháp? ý Lời giải. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh” thì số phần tử của A là 12 Anh-Pháp 30. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 30 Anh 25 Pháp 25. Dựa vào bổ đồ Venn ta có A B Ì A ∩ B là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Suy ra A ∩ B có 12 phần tử. Ì A \ B là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy ra A \ B có A ∩ B 30 − 12 = 18 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Anh). A \ B B \ A Biểu đồ Venn Ì B \ A là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Pháp. Suy ra B \ A có 25 − 12 = 13 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Pháp). Ì A ∪ B là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ. Ta có A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A). Suy ra A ∪ B có 18 + 12 + 13 = 43 phần tử (là số học sinh trong câu lạc bộ). Ƙ Ví dụ 2. Lớp 10X có 30 học sinh trong đó có 25 học sinh nói được tiếng Anh và 18 học sinh nói được tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp? ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh” thì số phần tử của A là Anh-Pháp 25. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 25 Anh 18 Pháp 18. Dựa vào bổ đồ Venn ta có A B Ì A ∪ B là tập hợp các học sinh lớp 10X. Suy ra A ∪ B có 30 phần tử. Ì A \ B là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Ta có A \ B = (A ∪ B) \ B. A ∩ B Suy ra A \ B có 30 − 18 = 12 phần tử (là số học sinh chỉ nói được A \ B B \ A tiếng Anh). Biểu đồ Venn Ì B \ A là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Pháp. Ta có B \ A = (A ∪ B) \ A. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T Suy ra B \ A có 30 − 25 = 5 phần tử (là số học sinh chỉ nói được tiếng Pháp). h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
30 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ì A ∩ B là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Ta có A ∩ B = (A ∪ B) \ ((A \ B) ∪ (B \ A)). Suy ra A ∩ B có 30 − (12 + 5) = 13 phần tử (là số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp). Ƙ Ví dụ 3. Có 200 học sinh trường Marie Curie tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường, trong đó có 60 học sinh chỉ nói được tiếng Anh, 80 học sinh nói được tiếng Pháp và 90 học sinh nói được tiếng Nhật. Hỏi có bao nhiêu học sinh nói được ba thứ tiếng Anh, Pháp và Nhật? Biết trong 200 học sinh đó có 20 học sinh chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp và Nhật. ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh”. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 80. Gọi C là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Nhật” thì số phần tử của C là 90. A 60 chỉ nói được Anh X Nói được ba thứ tiếng 20 chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp-Nhật Y B C 80 Pháp 90 Nhật Biểu đồ Venn Dựa vào biểu đồ Ven ta có Ì Đặt Ω = A ∪ B ∪ C là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường. Suy ra Ω có 200 phần tử. Ì Đặt X = A \ (B ∪ C) là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. Suy ra X có 60 phần tử. Ì Đặt Y = (B ∩ C) \ A là tập hợp các học sinh chỉ nói được hai thứ tiếng Pháp và Nhật. Suy ra Y có 20 phần tử. E Ì Ta có B ∪ C = Ω \ X. Curie Marie - 10 Toán ĐC X Suy ra B ∪ C có 200 − 60 = 140 phần tử. Ta có |B ∪ C| = |B| + |C| − |B ∩ C|. Suy ra B ∩ C có (80 + 90) − 140 = 30 phần tử. Ì Ta có A ∩ B ∩ C = (B ∩ C) \ Y là tập hợp các học sinh nói được ba thứ tiếng. Suy ra A ∩ B ∩ C có 30 − 20 = 10 phần tử. Vậy số học sinh nói được ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật là 10 học sinh. Ƙ Ví dụ 4. Có 100 học sinh trường Marie Curie tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường, mỗi học sinh nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật. Có 39 học sinh chỉ nói được tiếng Anh, 35 học sinh nói được tiếng Pháp và 8 học sinh nói được cả tiếng Anh và Nhật. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ nói được tiếng Nhật? ý Lời giải. Gọi A là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Anh”. Gọi B là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Pháp” thì số phần tử của B là 35. Gọi C là tập hợp “các học sinh nói được tiếng Nhật”. Vì mỗi học sinh nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng nên A ∩ B ∩ C = ∅.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 31 8 nói được hai thứ tiếng Anh-Nhật 39 chỉ nói được Anh Chỉ nói được Nhật X Y A C B 35 Pháp Biểu đồ Venn Dựa vào biểu đồ Venn ta có Ì Đặt Ω = A ∪ B ∪ C là tập hợp các học sinh trong câu lạc bộ ngoại ngữ của nhà trường. Suy ra Ω có 100 phần tử. Ì Đặt X = A \ (B ∪ C) là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Anh. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E Suy ra X có 39 phần tử. Ì Đặt Y = A ∩ C là tập hợp các học sinh nói được cả hai thứ tiếng Anh và Nhật. Suy ra Y có 8 phần tử. Ì Ta có B ∪ C = Ω \ X. Suy ra B ∪ C có 100 − 39 = 61 phần tử. Ta có C \ B = (C ∪ B) \ B. Suy ra C \ B có 61 − 35 = 26 phần tử. Ì Ta có (C \ B) \ Y là tập hợp các học sinh chỉ nói được tiếng Nhật. Suy ra (C \ B) \ Y có 26 − 8 = 18 phần tử. Vậy số học sinh chỉ nói được tiếng Nhật là 18 học sinh. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
32 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h ǥ Dạng 2. Tập con của tập số thực HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Tên gọi Kí hiệu Tập hợp Biểu diễn trên trục số (Phần không bị gạch chéo) 0 Tập số thực (−∞; +∞) R a b h i Đoạn [a; b] {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} [a; b] a b Khoảng (a; b) {x ∈ R | a a} (a; +∞) Ƙ Ví dụ 1. Các tập sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. 1 A = {x ∈ R | −6 < x < 7}. 2 B = {x ∈ R | 5x + 1 ≥ 8}. ý Lời giải. 1 Ta có A = (−6; 7). Biểu diễn −6 7 2 Ta có 7 5x + 1 ≥ 8 ⇔ 5x ≥ 7 ⇔ x ≥ . 5
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 33 ï7 ã Vậy B = ; +∞ . Biểu diễn 5 7 5 h Ƙ Ví dụ 2. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. 1 {−4; 2} ⊂ [−4; 2]. 2 [1; +∞) = {1; 2; 3; 4; }. ý Lời giải. 1 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì −4 ∈ [−4; 2] và 2 ∈ [−4; 2] nên {−4; 2} ⊂ [−4; 2]. 2 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì 1,5 ∈ [1; +∞) nhưng 1,5 ∈/ {1; 2; 3; 4; } nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. X ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ Ví dụ 3. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. E 1 (−2; 7) ∩ (3; +∞). 2 (−3; 4) ∪ {−3; 4}. ý Lời giải. 1 Ta có (−2; 7) ∩ (3; +∞) = (3; 7). Biểu diễn 3 7 2 Ta có (−3; 4) ∪ {−3; 4} = [−3; 4]. Biểu diễn −3 4 h i Ƙ Ví dụ 4. Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A và biểu diễn bằng trục số trong các trường hợp sau. 1 A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {−3; −2; −1; 0; 1}. 2 A = {x ∈ Z | |x| ≤ 3}, B = {x ∈ N | x 0}. ý Lời giải. 1 Ta có Ì A ∩ B = {1}. Ì A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. Ì A \ B = {2; 3; 4; 5}. Ì B \ A = {−3; −2; −1; 0}. 2 Ta có A = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} và B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T Ì A ∩ B = {0; 1; 2; 3}. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
34 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ì A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Ì A \ B = {−3; −2; −1}. Ì B \ A = {4; 5; 6}. 3 Ta có Ì A ∩ B = (−1; 9]. Biểu diễn −1 9 i Ì A ∪ B = [−2019; 2018). Biểu diễn −2019 2018 h Ì A \ B = (9; 2018). Biểu diễn 9 2018 Ì B \ A = [−2019; −1]. Biểu diễn −2019 −1 h i 4 Ta có A = (−∞; 2018] và B = (0; +∞). Ì A ∩ B = (0; 2018]. Biểu diễn 0 2018 i Ì A ∪ B = (−∞; +∞). Biểu diễn 0 Ì A \ B = (−∞; 0]. Biểu diễn 0 i E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X Ì B \ A = (2018; +∞). Biểu diễn 2018 Ƙ Ví dụ 5. Cho tập hợp M = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. 1 Tìm tất cả tập hợp con có 1 phần tử của tập M. 2 Tìm tất cả tập hợp con có 2 phần tử của tập M. 3 Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con? 4 Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con có ít nhất 1 phần tử? 5 Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con khác M? ý Lời giải. 1 Tất cả tập con có 1 phần tử của M là {−2}, {−1}, {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 35 2 Tất cả tập con có 2 phần tử của M là {−2; −1}, {−2; 0}, {−2; 1}, {−2; 2}, {−2; 3}, {−2; 4}, {−2; 5}, {−1; 0}, {−1; 1}, {−1; 2}, {−1; 3}, {−1; 4}, {−1; 5}, {0; 1}, {0; 2}, {0; 3}, {0; 4}, {0; 5}, {1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}. 3 Tập hợp M có 8 phần tử. Số tập hợp con của M là 28 = 256. 4 Tập con không có phần tử của M là ∅. Số tập hợp con có ít nhất 1 phần tử của M là 28 − 1 = 255. 5 Số tập hợp con khác M là 28 − 1 = 255. Bài tập tự rèn luyện Bài 1. Các tập hợp sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. 1 A = {x ∈ R | −2 ≤ x + 1 ≤ 3}. 2 B = {x ∈ R | −3 4}. ý Lời giải. 1 Ta có X ĐC Toán 10 - Marie Curie E −2 ≤ x + 1 ≤ 3 ⇔ −2 − 1 ≤ x ≤ 3 − 1 ⇔ −3 ≤ x ≤ 2. Vậy A = [−3; 2]. Biểu diễn −3 2 h i 2 Ta có 1 4 −3 < 3x − 2 ≤ 2 ⇔ −3 + 2 < 3x ≤ 2 + 2 ⇔ −1 < 3x ≤ 4 ⇔ − < x ≤ . 3 3 Å 1 4ò Vậy B = − ; . Biểu diễn 3 3 1 4 − 3 3 i 3 Ta có 1 1 2 < 2x + 3 < 4 ⇔ 2 − 3 < 2x < 4 − 3 ⇔ −1 < 2x < 1 ⇔ − < x < . 2 2 Å 1 1ã Vậy C = − ; . Biểu diễn 2 2 1 1 − 2 2 4 Ta có 3 −4 ≤ 2x < 3 ⇔ −2 ≤ x < . 2 ï 3ã Vậy D = −2; . Biểu diễn 2 3 −2 2 | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T h h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
36 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h 5 Ta có 3 T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | 5x − 3 ≤ 0 ⇔ 5x ≤ 3 ⇔ x ≤ . 5 Å 3ò Vậy E = −∞; . Biểu diễn 5 3 5 i 6 Ta có 11 2x − 7 > 4 ⇔ 2x > 4 + 7 ⇔ 2x > 11 ⇔ x > . 2 Å11 ã Vậy H = ; +∞ . Biểu diễn 2 11 2 Bài 2. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. 1 (−1; 3) = {−1; 0; 1; 2; 3}. 2 (−2; 2] = [−2; 2). 3 N ⊂ [0; +∞). 4 {−3; 1}\ (−3; 1) = {−3; 1}. ý Lời giải. 1 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì −1 ∈ {−1; 0; 1; 2; 3} nhưng −1 ∈ (−1; 3] nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 2 Mệnh đề sai. Thật vậy, vì −2 ∈ [−2; 2) nhưng −2 ∈/ (−2; 2] nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau. 3 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì N = {0; 1; 2; 3; 4; } và tất cả các phần tử của N đều thuộc tập [0; +∞) nên N ⊂ [0; +∞). 4 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì −3 ∈/ (−3; 1) và 1 ∈/ (−3; 1) nên {−3; 1}\ (−3; 1) = {−3; 1}. E Bài 3. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. Curie Marie - 10 Toán ĐC X 1 [−3; 1) ∪ (0; 4]. 2 (−1; 2] ∪ [−2; 1). ý Lời giải. 1 Ta có [−3; 1) ∪ (0; 4] = [−3; 4]. Biểu diễn −3 4 h i 2 Ta có (−1; 2] ∪ [−2; 1) = [−2; 2]. Biểu diễn −2 2 h i Bài 4. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. 1 (−8; 4] ∩ [−1; 4]. 2 (−∞; 3) ∩ [−2; 6). 3 [−3; 5] \ (−2; 7). 4 [−2; +∞) \ (−4; 5].
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 37 ý Lời giải. 1 Ta có (−8; 4] ∩ [−1; 4] = [−1; 4]. Biểu diễn −1 4 h i 2 Ta có (−∞; 3) ∩ [−2; 6) = [−2; 3). Biểu diễn −2 3 h 3 Ta có [−3; 5] \ (−2; 7) = [−3; −2]. Biểu diễn −3 −2 h i 4 Ta có [−2; +∞) \ (−4; 5] = (5; +∞). Biểu diễn X ĐC Toán 10 - Marie Curie E 5 Bài 5. Cho hai tập A = [4; 7] và B = (m; 9). Tìm số thực m sao cho 1 A ∩ B = ∅. 2 A ⊂ B. 3 A \ B = ∅. ý Lời giải. 1 A ∩ B = ∅ khi m ≥ 7. 2 A ⊂ B khi m < 4. 3 A \ B = ∅ khi A ⊂ B, tức là m < 4. D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A N ⊂ Z. B Q ⊂ N. C R ⊂ Q. D R ⊂ Z. ý Lời giải. Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. ¤ Chọn đáp án A Câu 2. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A A ∩ B = C. B A ∪ B = C. C A \ B = C. D B \ A = C. ý Lời giải. Ta thấy hình vuông là hình chữ nhật. Hình vuông cũng là hình thoi. Vậy A ∩ B = C. ¤ Chọn đáp án A Câu 3. Cách viết nào sau đây không đúng? A 1 ⊂ N. B 1 ∈ N. C {1} ⊂ N. D 1 ∈ N?. ý Lời giải. Số 1 là một phần tử của tập số tự nhiên, do đó cách viết 1 ⊂ N không đúng. ¤ Chọn đáp án A Câu 4. Có bao nhiêu cách cho một tập hợp? A 1. B 2. C 3. D 4. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆTý NAM -Lời DỰ ÁN T giải. Có hai cách xác định một tập hợp h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
38 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ì Liệt kê các phần tử của nó; HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Ì Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. ¤ Chọn đáp án B Câu 5. Có bao nhiêu phép toán trên tập hợp? A 5. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Các phép toán trên tập hợp gồm Ì Giao của hai tập hợp; Ì Hợp của hai tập hợp; Ì Hiệu và phần bù của hai tập hợp. ¤ Chọn đáp án C Câu 6. Cách viết nào sau đây thể hiện tập hợp A bằng B? A A = B. B A 6= B. C A < B. D A ⊂ B. ý Lời giải. Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B. ¤ Chọn đáp án A Câu 7. Số tập con của tập A = {1; 2; 3} là A 8. B 6. C 5. D 7. ý Lời giải. Số tập con của tập gồm n phần tử là 2n. Tập A có 3 phần tử, do đó có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A √ Câu 8. Viết tập M = {x ∈ N sao cho x là ước của 8} dạng liệt kê các phần tử là A M = {1; 4; 16; 64}. B M = {0; 1; 4; 16; 64}. C M = {1; 2; 4; 8}. D M = {0; 1; 2; 4; 8}. ý Lời giải. Ước tự nhiên của 8 là 1; 2; 4; 8. Do đó √ Ì x = 1 ⇒ x = 1; √ Ì x = 2 ⇒ x = 4; √ Ì x = 4 ⇒ x = 16; √ Ì x = 8 ⇒ x = 64; E ¤ Chọn đáp án A Curie Marie - 10 Toán ĐC X Câu 9. Xác định tập hợp M = {1; 3; 9; 27; 81} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của tập hợp A M = {n ∈ N sao cho 1 ≤ n ≤ 8}. B M = {x sao cho x = 3k; k ∈ N; 0 ≤ k ≤ 4}. C M = {n ∈ N sao cho n = 3k}. D M = {Có 5 số lẻ}. ý Lời giải. Ta có M = {x sao cho x = 3k; k ∈ N; 0 ≤ k ≤ 4} = {1; 3; 9; 27; 81}. ¤ Chọn đáp án B Câu 10. Cho tập M = {a; b; c; d; e}. Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau A M có 32 tập hợp con. B M có 25 tập hợp con. C M có 120 tập hợp con. D M có 5 tập hợp con. ý Lời giải. Số tập con của tập gồm n phần tử là 2n. Tập M có 5 phần tử, do đó M có 25 = 32 tập con. ¤ Chọn đáp án A . . . . 2 Câu 11. Cho ba tập hợp M = {n ∈ N | n . 5}, P = {n ∈ N | n . 10}, Q = {x ∈ R | x + 3x + 5 = 0}. Hãy chọn khẳng định đúng? A Q ⊂ P ⊂ M. B Q ⊂ M ⊂ P . C M ⊂ Q ⊂ P . D M ⊂ P ⊂ Q. ý Lời giải. Ta có M = {5; 10; 15; }, P = {10, 20, 30, }, Q = ∅. Do đó Q ⊂ P ⊂ M. ¤ Chọn đáp án A
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 39 Câu 12. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau (I): x ∈ A;(II): {x} ∈ A;(III): x ⊂ A;(IV ): {x} ⊂ A Hỏi trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A (I) và (IV ). B (I) và (III). C (I) và (II). D (II) và (IV ). ý Lời giải. Cho x là một phần tử của tập hợp A. Khi đó x ∈ A và {x} ⊂ A. ¤ Chọn đáp án A Câu 13. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = {x ∈ R | x2 + x + 1 = 0}. A X = {0}. B X = 0. C X = {∅}. D X = ∅. ý Lời giải. Phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm trên R. Vậy X = ∅. ¤ Chọn đáp án D Câu 14. Cho tập X = {2; 3; 4}. Hỏi tập hợp X có bao nhiêu tập hợp con? A 7. B 6. C 5. D 8. ý Lời giải. Số tập con của tập gồm n phần tử là 2n. Tập A có 3 phần tử, do đó có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án D X ĐC Toán 10Câu - Marie Curie 15. Tính số các tập con có 2 phần tử của M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. E A 15. B 16. C 18. D 22. ý Lời giải. k Số tập con có k phần tử của tập X gồm n phần tử là Cn. Do đó số các tập con có 2 phần tử của M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 2 là C6 = 15. ¤ Chọn đáp án A Câu 16. Tìm các phần tử của tập X = {x ∈ R | 2x2 − 5x + 3 = 0}. ß3™ ß 3™ A X = {1}. B X = . C X = 1; . D X = {0}. 2 2 ý Lời giải. 3 ß 3™ Phương trình 2x2 − 5x + 3 = 0 có hai nghiệm trên là 1 và . Vậy X = 1; . R 2 2 ¤ Chọn đáp án C Câu 17. Hỏi tập hợp nào là tập rỗng trong các tập hợp sau? A A = {x ∈ Z | 6x2 − 7x + 1 = 0}. B B = {x ∈ Q | x2 − 4x + 2 = 0}. C C = {x ∈ Z | |x| < 1}. D D = {x ∈ R | x2 − 4x + 3 = 0}. ý Lời giải. Ta có 1 Ì Phương trình 6x2 − 7x + 1 = 0 có hai nghiệm x = 1 ∈ và x = ∈ , do đó tập A 6= . Z 6 Q ∅ √ √ Ì Phương trình x2 − 4x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2 + 2 ∈/ Q và x = 2 − 2 ∈/ Q, do đó tập B = ∅. Ì Ta có |x| < 1 ⇔ −1 < x < 1, vì x ∈ Z, suy ra C = {0}, do đó tập C 6= ∅. Ì Phương trình x2 − 4x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 1 ∈ R và x = 3 ∈ R, do đó tập D 6= ∅. ¤ Chọn đáp án B Câu 18. Cho A là tập tất cả các nghiệm của phương trình x2 − 7x + 6 = 0, B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4. Hỏi kết quả nào sau đây là đúng? A B \ A = ∅. B A ∩ B = A ∪ B. C A \ B = {6}. D A ∪ B = A. ý Lời giải. Ta có phương trình x2 − 7x + 6 = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 6, suy ra A = {1; 6}, B = {x ∈ Z | |x| < 4} = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. Khi đó Ì B \ A = {−3; −2; −1; 0; 2; 3}, do đó B \ A 6= ∅; Ì A ∩ B = {1}, A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 6}, do đó A ∩ B 6= A ∪ B; | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T Ì A \ B = {6}; h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
40 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Ì A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 6}= 6 A. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | ¤ Chọn đáp án C Câu 19. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Tập hợp nào sau đây không phải là tập con của tập A? A {12; 3}. B ∅. C A. D {1; 2; 3}. ý Lời giải. Tập hợp không phải là tập con của A là {12; 3} vì 12 ∈/ A. ¤ Chọn đáp án A Câu 20. Cho tập hợp X = {0; 1; 2}. Tập X có bao nhiêu tập con? A 8. B 6. C 3. D 5. ý Lời giải. Tập X có 3 phần tử, do đó nó có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A Câu 21. Cho tập hợp X = {0; 1; 2; a; b}. Tập X có bao nhiêu phần tử? A 5. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Tập X có 5 phần tử. ¤ Chọn đáp án A Câu 22. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6; 8}. Tập hợp A ∩ B là A {5}. B {2}. C {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. D {2; 5}. ý Lời giải. Ta có A ∩ B = {2; 5}. ¤ Chọn đáp án D Câu 23. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6; 8}. Tập hợp A \ B là A {4; 6; 8}. B {1; 3; 7}. C {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. D {2; 5}. ý Lời giải. Tập hợp A \ B = {1; 3; 7}. ¤ Chọn đáp án B Câu 24. Cho A = {x ∈ R | x2 − 4 6= 0}. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A R. B {−2; 2}. C R \ {−2; 2}. D R \{2}. ý Lời giải. Ta có A = {x ∈ R | x2 − 4 6= 0} = R \ {−2; 2}. ¤ Chọn đáp án C E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X Câu 25. Cho A = {x ∈ R | x2 + 4 > 0}. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A ∅. B [2; +∞). C R. D [−2; +∞). ý Lời giải. Ta có A = {x ∈ R | x2 + 4 > 0} = R. ¤ Chọn đáp án C Câu 26. Cho tập A = {−2; 1; 2; 3; 4}, B = {x ∈ N | x2 − 4 = 0}. Mệnh đề nào sai? A A ∩ B = {2}. B A ∪ B = {2; −2}. C A \ B = {1; 3; 4}. D A ∪ B = B. ý Lời giải. Ta có B = {x ∈ N | x2 − 4 = 0} = {2}, do đó A ∩ B = {2}. ¤ Chọn đáp án A Câu 27. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; x; y}. Xét các mệnh đề sau đây (I) : “3 ∈ A”; (II): {3; 4} ∈ A;(III): {x; 3; y} ∈ A. Phát biểu nào sau đây đúng? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Ta có (I) : “3 ∈ A” là mệnh đề đúng. ¤ Chọn đáp án A
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 41 Câu 28. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau A Q ∪ R = R. B N ∩ Z = N. C Q ∩ N? = N?. D Q ∪ N? = N?. ý Lời giải. Ta có N? ⊂ N ⊂ Z ⊂ Z ⊂ Q. Do đó Ì Q ∪ R = R đúng; Ì N ∩ Z = N đúng; Ì Q ∩ N? = N? đúng; Ì Q ∪ N? = N? sai. ¤ Chọn đáp án D Câu 29. Chọn kết quả sai trong các kết quả sau A A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. B A ∪ B = A ⇔ A ⊂ B. C A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅. D B \ A = B ⇔ A ∩ B = ∅. ý Lời giải. Ta có A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A. ¤ X ĐC Toán 10 - Marie Curie Chọn đáp án B E Câu 30. Cho các mệnh đề sau. Chọn khẳng định đúng. (I): {2; 1; 3} = {1; 2; 3};(II): ∅ ⊂ ∅;(III): ∅ ∈ {∅}. A Chỉ (I) đúng. B Chỉ (I) và (II) đúng. C Chỉ (I) và (III) đúng. D Cả (I), (II) và (III) đều đúng. ý Lời giải. Ta có cả (I), (II) và (III) đều đúng. ¤ Chọn đáp án D Câu 31. Cho X = {7; 2; 8; 4; 9; 12}; Y = {1; 3; 7; 4}. Tập hợp nào sau đây bằng X ∩ Y ? A {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12}. B {2; 8; 9; 12}. C {4; 7}. D {1; 3}. ý Lời giải. Ta có X ∩ Y = {4; 7}. ¤ Chọn đáp án C Câu 32. Cho hai tập hợp A = {2; 4; 6; 9} và B = {1; 2; 3; 4}. Tập hợp A \ B bằng tập nào sau đây? A {1; 2; 3; 5}. B {1; 3; 6; 9}. C {6; 9}. D ∅. ý Lời giải. Ta có A \ B = {6; 9}. ¤ Chọn đáp án C Câu 33. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp A \ B bằng A {0}. B {0; 1}. C {1; 2}. D {1; 5}. ý Lời giải. Ta có A \ B = {0; 1}. ¤ Chọn đáp án B Câu 34. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp B \ A bằng A {5}. B {0; 1}. C {2; 3; 4}. D {5; 6}. ý Lời giải. Ta có B \ A = {5; 6}. ¤ Chọn đáp án D Câu 35. Cho hai tập hợp A = {1; 5} và B = {1; 3; 5}. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A A ∩ B = {1}. B A ∩ B = {1; 3}. C A ∩ B = {1; 5}. D A ∩ B = {1; 3; 5}. ý Lời giải. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆTTa NAM - có DỰ ÁNA T ∩ B = {1; 5}. ¤ Chọn đáp án C h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
42 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Câu 36. Cho A = {1; 2; 3}. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | A ∅ ⊂ A. B 1 ∈ A. C {1; 2} ⊂ A. D 2 = A. ý Lời giải. Ta có 2 = A là khẳng định sai. ¤ Chọn đáp án D Câu 37. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A A ∈ A. B ∅ ⊂ A. C A ⊂ A. D A 6= {A}. ý Lời giải. Ta có A ∈ A là mệnh đề sai. ¤ Chọn đáp án A 2 Câu 38. Cho tập hợp A = x ∈ R | x + x + 1 = 0 . Các phần tử của tập hợp A là A A = 0. B A = {0}. C A = ∅. D A = {∅}. ý Lời giải. Xét phương trình x2 + x + 1 = 0. Ta có ∆ = −3 < 0. Do đó phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm. Vậy A = ∅. ¤ Chọn đáp án C Câu 39. Cho tập hợp A = x ∈ | x2 − 1 x2 + 2 = 0 . Các phần tử của tập A là R √ A A = {−1; 1}. B A = {−1; 1; 2}. C A = {−1}. D A = {1}. ý Lời giải. ñx2 − 1 = 0 Xét phương trình x2 − 1 x2 + 2 = 0 ⇔ ⇔ x = ±1. x2 + 2 = 0 (vô nghiệm) Vậy A = {−1; 1}. ¤ Chọn đáp án A 2 Câu 40. Các phần tử của tập hợp A = x ∈ R | 2x − 5x + 3 = 0 là ß3™ ß 3™ A A = {0}. B A = {1}. C A = . D A = 1; . 2 2 ý Lời giải. x = 1 Xét phương trình 2x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 (nhận). x = 2 ß 3™ Vậy A = 1; . 2 ¤ Chọn đáp án D Câu 41. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? 2 2 A A = x ∈ N | x − 4 = 0 . B B = x ∈ R | x + 2x + 3 = 0 . 2 2 E C C = x ∈ R | x − 5 = 0 . D D = x ∈ Q | x + x − 12 = 0 . Curie Marie - 10 Toán ĐC X ý Lời giải. 2 2 Tập hợp B = x ∈ R | x + 2x + 3 = 0 là tập rỗng vì phương trình x + 2x + 2 = 0 vô nghiệm trên tập số thực R. ¤ Chọn đáp án B Câu 42. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng? 2 2 A A = x ∈ R | x + x + 1 = 0 . B B = x ∈ N | x − 2 = 0 . 3 2 2 C C = x ∈ Z | x − 3 x + 1 = 0 . D D = x ∈ Q | x x + 3 = 0 . ý Lời giải. 2 Xét tập hợp D = x ∈ Q | x x + 3 = 0 . Ta xét phương trình x x2 + 3 = 0 ⇔ x = 0 (nhận). Vậy D 6= ∅. ¤ Chọn đáp án D Câu 43. Trong các tập sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A ∅. B {a}. C {∅}. D {a, ∅}. ý Lời giải. Tập rỗng có duy nhất một tập hợp con là ∅. ¤ Chọn đáp án A Câu 44. Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A {x; y}. B {x}. C {∅; x}. D {∅; x; y}. ý Lời giải.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 43 Tập hợp {x} có đúng hai tập hợp con là ∅ và {x}. ¤ Chọn đáp án A Câu 45. Cho tập hợp A = {2; 5}. Tập hợp A có tất cả bao nhiêu phần tử? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. Tập hợp A có hai phần tử. ¤ Chọn đáp án B 2 Câu 46. Cho tập hợp B = x ∈ Z | x − 4 = 0 . Chọn kết quả đúng? A B = {2; 4}. B B = {−2; 4}. C B = {−4; 4}. D B = {−2; 2}. ý Lời giải. ñx = 2 Xét phương trình x2 − 4 = 0 ⇔ (nhận). x = −2 Vậy B = {−2; 2}. ¤ Chọn đáp án D Câu 47. Cho hai tập hợp A = {0; 2; 3; 5} và B = {2; 7}. Khi đó A ∩ B bằng A A ∩ B{2; 5}. B A ∩ B = {2}. C A ∩ B∅. D A ∩ B = {0; 2; 3; 5; 7}. ý Lời giải. X ĐC Toán 10A - Marie∩ Curie B = {2}. E ¤ Chọn đáp án B Câu 48. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A A ∩ B = C. B A ∪ B = C. C A \ B = C. D B \ A = C. ý Lời giải. Ta có A ∪ B = C. ¤ Chọn đáp án B Câu 49. Cách viết nào sau đây không đúng? A 1 ⊂ N. B 1 ∈ N. C {1} ⊂ N. D 1 ∈ N∗. ý Lời giải. Cách viết 1 ⊂ N không đúng. ¤ Chọn đáp án A Câu 50. Hỏi tập hợp nào là tập hợp rỗng, trong các tập hợp sau? 2 A A = x ∈ R | 6x − 7x + 1 = 0 . B B = {x ∈ Z | |x| < 1}. 2 2 C C = x ∈ Q | x − 4x + 2 = 0 . D D = x ∈ R | x − 4x + 3 = 0 . ý Lời giải. C = x ∈ | x2 − 4x + 2 = 0 Xét tập hợp Q . √ "x = 2 + 2 Ta có phương trình x2 − 4x + 2 = 0 ⇔ √ (loại vì x ∈ Q). x = 2 − 2 Vậy C = ∅ ¤ Chọn đáp án C Câu 51. Cho tập hợp X = {0; 1; 2}. Tập hợp X có bao nhiêu tập con? A 8. B 3. C 6. D 5. ý Lời giải. Tập hợp X có 23 = 8 tập con. ¤ Chọn đáp án A 3 Câu 52. Tập hợp A = x ∈ R | (x − 1)(x − 2) x + 4x = 0 có bao nhiêu phần tử? A 1. B 2. C 3. D 4. ý Lời giải. ñx = 0 Xét phương trình (x − 1)(x − 2) x3 + 4x = 0 ⇔ (nhận). x = 2 Vậy tập A có hai phần tử. ¤ Chọn đáp án B Câu 53. Cho tập hợp X = {0; 1; 2; a; b}. Số phần tử của tập X là | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM -A DỰ ÁN T 5. B 4. C 3. D 2. ý Lời giải. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
44 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h Tập X có năm phần tử. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | ¤ Chọn đáp án A Câu 54. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A 25. B 10. C 45. D 35. ý Lời giải. Số học sinh xếp loại học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 15 + 20 − 10 = 25. Vừa giỏi, vừa tốt 20 15 HL giỏi HK Tốt ¤ Chọn đáp án A Câu 55. Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn? A 5. B 10. C 45. D 35. ý Lời giải. Số học sinh chơi cả hai môn là 35 + 15 − 45 = 5. Vừa chơi bóng đá, vừa chơi bóng chuyền 35 15 Bóng đá Bóng chuyền E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X ¤ Chọn đáp án A Câu 56. Cho A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6}. Tập hợp A \ B là A {1; 3; 7}. B {2; 5}. C {4; 6; 8}. D {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. ý Lời giải. Những phần tử thuộc A mà không thuộc B là 1; 3; 7. Vậy A \ B = {1; 3; 7}. ¤ Chọn đáp án A 2 Câu 57. Cho A = x ∈ R|x − 4 6= 0 . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A R \{2; −2}. B {2; −2}. C R. D R \{2}. ý Lời giải. Ta có x2 − 4 6= 0 ⇔ x2 6= 4 ⇔ x 6= ±2. Vậy A = R \{2; −2}. ¤ Chọn đáp án A 2 Câu 58. Cho A = x ∈ R|x + 4 > 0 . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A R. B ∅. C [−2; +∞). D [2; +∞). ý Lời giải.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 45 Vì x2 + 4 > 0 ⇔ x2 > −4 (luôn đúng với mọi x ∈ R) ¤ Chọn đáp án A Câu 59. Lớp 10A có 40 học sinh trong đó có 10 bạn giỏi Toán, 15 bạn giỏi Lý, và 22 bạn không giỏi môn học nào trong hai môn Toán, Lý. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Lý? A 7. B 25. C 10. D 18. ý Lời giải. Số học sinh giỏi một trong hai môn Toán và Lý là 40 − 22 = 18. Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý là 10 + 15 − 18 = 7. Giỏi cả 2 môn Lớp 10A có 40 học sinh 10 15 Giỏi Toán Giỏi Lý 22 X ĐC Toán 10 - Marie Curie Không giỏi Toán và Lý E ¤ Chọn đáp án A Câu 60. Một lớp học có 25 học sinh học khá các môn tự nhiên, 24 học sinh học khá các môn xã hội 10 học sinh học khá cả môn tự nhiên lẫn môn xã hội, đặc biệt vẫn còn 3 học sinh chưa học khá cả hai nhóm môn ấy. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội). A 39. B 26. C 29. D 36. ý Lời giải. Số học sinh học khá môn tự nhiên hoặc môn xã hội là 25 + 24 − 10 = 39. Số học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội) là 39 − 10 = 29. Giỏi cả 2 môn 10 24 25 Giỏi XH Giỏi TN 3 Không giỏi TN và XH ¤ Chọn đáp án C Câu 61. Cho tập A = −2; 1; 2; 3; 4; B = x ∈ N : x2 − 4 = 0. Mệnh đề nào đúng? A A ∩ B = {2}. B A ∩ B = {−2; 2}. C A \{1; 3; 4}. D A ∪ B = B. ý Lời giải. ñx = 2 (nhận) Lấy x ∈ B, ta có x2 − 4 = 0 ⇔ . Do đó B = {2}. Vậy A ∩ B = {2}. Suy ra A đúng. x = −2 (loại) B sai vì A ∩ B = {2}. C sai vì A \ {−2; 1; 3; 4}. D sai vì A ∪ B = A. ¤ Chọn đáp án A Câu 62. Số tập con của tập hợp có n (n ≥ 1; n ∈ N) phần tử là | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM -A DỰ ÁN T 2n. B 2n+1. C 2n−1. D 2n+2. ý Lời giải. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
46 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h ¤ Chọn đáp án A T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | 2 2 Câu 63. Cho hai tập A = x ∈ Z :(x + 3)(x − 3) = 0 ; B = x ∈ R : x + 6 = 0 khi đó A B \ A = B. B A ⊂ B. C A \ B = B. D A ∩ B = A. ý Lời giải. ñx + 3 = 0 ñx = −3 (nhận) Lấy x ∈ A ta có, (x + 3)(x2 − 3) = 0 ⇔ ⇔ √ . Vậy A = {−3}. x2 − 3 = 0 x = ± 3 (loại) Lấy x ∈ B ta có, x2 + 6 = 0 ⇔ x2 = −6 (vô lý). Vậy B = ∅. Khi đó, A đúng vì B \ A = ∅ \ A = ∅ = B. B sai vì B ⊂ A. C sai vì A \ B = A. D sai vì A ∩ B = B. ¤ Chọn đáp án A Câu 64. Cho hai tập A = [−1; 3); B = [a; a + 3]. Với giá trị nào của a thì A ∩ B = ∅? ña ≥ 3 ña > 3 ña ≥ 3 ña > 3 A . B . C . D . a < −4 a < −4 a ≤ −4 a ≤ −4 ý Lời giải. ña ≥ 3 ña ≥ 3 Ta có A ∩ B = ∅ nên ⇔ . a + 3 < −1 a < −4 ¤ Chọn đáp án A Câu 65. Tập hợp (−2; 3] ∩ (3; 4] là tập hợp nào sau đây? A ∅. B {3}. C {−2; 3}. D {3; 4}. ý Lời giải. Trên trục số ta có (−2; 3], (3; 4] được biểu diễn như sau − 2 3 3 4 Do đó (−2; 3] ∩ (3; 4] = ∅. ¤ Chọn đáp án A Câu 66. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A A = (A ∩ B) ∪ (A \ B). B B = (A ∩ B) ∩ (A \ B). C B = (A ∩ B) ∪ (A \ B). D A = (A ∩ B) ∩ (A \ B). ý Lời giải. Ta có (A ∩ B) ∪ (A \ B) E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X ¤ Chọn đáp án A Câu 67. Cho 3 tập hợp. A = [−3; 5); B = [−4; 1]; và C = (−4; −3]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A A ∩ B = [−3; 1]. B (A ∪ B) ∪ C = [−4; 5]. C CBC = [−3; 1). D B \ A = [−4; −3]. ý Lời giải. A đúng vì A ∩ B = [−3; 1]. B sai vì (A ∪ B) ∪ C = [−4; 5) . C sai vì CBC = C \ B = (−3; 1]. D sai vì B \ A = [−4; −3). ¤ Chọn đáp án A Câu 68. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A A ∩ (B \ A) = ∅. B B ∩ (B \ A) = ∅. C A ∪ (B \ A) = ∅. D A ∪ (B \ A) = B. ý Lời giải. B sai vì B ∩ (B \ A) = B. C,D sai vì A ∪ (B \ A) = A ∪ B. ¤ Chọn đáp án A Câu 69. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A M = {x ∈ N|2x − 1 = 0}. B M = {x ∈ Q|3x + 2 = 0}. 2 2 C M = x ∈ R|x − 6x + 9 = 0 . D M = x ∈ Z|x = 0 . ý Lời giải.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 47 1 Đáp án A có 2x − 1 = 0 ⇔ x = ∈/ . Do đó M = . 2 N ∅ −3 ß−2™ Đáp án B có 3x + 2 = 0 ⇔ x = ∈ . Do đó M = . 2 Q 3 Đáp án C có x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ (x − 3)2 = 0 ⇔ x = 3 ∈ R. Do đó M = {3}. Đáp án D có x2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ Z. Do đó M = {0}. ¤ Chọn đáp án A 2 Câu 70. Cho tập hợp A = x ∈ R|x + 3x + 4 = 0 , khẳng định nào sau đây đúng? A Tập hợp A có 1 phần tử. B Tập hợp A có 2 phần tử. C Tập hợp A = ∅. D Tập hợp A có vô số phần tử. ý Lời giải. 3 Å3ã2 7 Å 3ã2 7 Ta có x2 +3x+4 = x2 +2·x· + + = x + + > 0 với mọi x ∈ . Vậy phương trình x2 +3x+4 = 0 2 2 4 2 4 R vô nghiệm. Do đó A = ∅. ¤ Chọn đáp án C Câu 71. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A 25. B 10. C 45. D 35. X ĐC Toán 10ý - Marie Curie Lời giải. E Số học sinh xếp loại học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là 15 + 20 − 10 = 25. ¤ Chọn đáp án A Câu 72. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [−4; 3] \ [−2; 1] là hình nào sau đây? A −4 − 2 1 3 . B − 4 − 2 1 3 . C −4 − 2 1 3 . D − 4 − 2 1 3 . ý Lời giải. Trên trục số ta có [−4; 3], [−2; 1] được biểu diễn như sau − 4 3 − 2 1 Do đó [−4; 3] \ [−2; 1] được biểu diễn trên trục số là − 4 − 2 1 3 ¤ Chọn đáp án B Câu 73. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [−4; 1) ∩ (−2; 3] là hình nào sau đây? A −4 − 2 1 3 . B − 4 − 2 1 3 . C −4 − 2 1 3 . | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T D − 4 − 2 1 3 . h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
48 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h ý Lời giải. Trên trục số ta có [−4; 1), (−2; 3] được biểu diễn như sau T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | − 4 1 − 2 3 Do đó [−4; 1) ∩ (−2; 3] được biểu diễn trên trục số là −4 − 2 1 3 ¤ Chọn đáp án A Câu 74. Biểu diễn trên trục số các tập hợp (−4; 1] ∩ [−2; 3] là hình nào sau đây? A −4 − 2 1 3 . B − 4 − 2 1 3 . C −4 − 2 1 3 . D − 4 − 2 1 3 . ý Lời giải. Trên trục số ta có (−4; 1], [−2; 3] được biểu diễn như sau − 4 1 − 2 3 Do đó (−4; 1] ∩ [−2; 3] được biểu diễn trên trục số là −4 − 2 1 3 ¤ Chọn đáp án C E CTá 0-MreCurie Marie - 10 Toán ĐC X
Ƅ CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI §1 HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Ở lớp dưới ta đã làm quen với khái niệm hàm số. Ƙ Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x2 + 2x. Ì Với x = 1 thì y = f(1) = 12 + 2 · 1 = 3. Ì Với x = −2 thì y = f(−2) = (−2)2 + 2 · (−2) = 0. Ì Với x = 0 thì y = f(0) = 02 + 2 · 0 = 0. √ Ä√ ä Ä√ ä2 √ √ Ì Với x = 2 thì y = f 2 = 2 + 2 · 2 = 2 + 2 2. f D R f Tập xác định x = 1 Giá trị của hàm số tại x = 1 y = 3 x = 2 f x = 0 y = 0 Giá trị của hàm số tại x = −2 Biến số √ và x = 0 √ f y = 2 + 2 (hay đối số) x = 2 √ Giá trị của hàm số tại x = 2 Kí hiệu f : D R x y = f(x) = x2 + 2x Cho D ⊂ R, D 6= ∅. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số y ∈ R. Ì D được gọi là tập xác định của hàm số. Ì x được gọi là biến số (đối số) của hàm số f. Ì f(x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x. 49
50 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | Ì Một hàm số được cho bởi một biểu thức hoặc nhiều biểu thức Ƙ Ví dụ 2. x2 − 3x + 1 • Hàm số y = f(x) = . x − 1 ®2x − 1 nếu x ≤ 1 ! • Hàm số y = g(x) = x2 + 2 nếu x > 1. Ì Nếu hàm số y = f(x) không giải thích gì thêm thì tập xác định của nó là tập hợp các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được xác định. B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ ǥ Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm Để tính giá trị cùa hàm số y = f(x) tại x = a, ta thế x = a vào biểu thức f(x) và được giá trị f(a). ® 4x + 1 nếu x ≤ 2 Ä√ ä Ä √ ä Ƙ Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = . Tính f(3), f(2), f(−2), f 2 và f 2 2 . − x2 + 3 nếu x > 2 ý Lời giải. 2 Ta√ có f(3)√ = −3 + 3 =√ −6, f(2)√ = 4 · 2 + 1 = 9, f(−2) = 4 · (−2) + 1 = −7. f( 2) = 4 2 + 1, f(2 2) = −(2 2)2 + 3 = −5. ®8 nếu x ≥ −2 Ƙ Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = . Tính f(−3), f(2), f(−2) và f(0). x2 − 2x nếu x 1 2 ý Lời giải. Ta có Ç√ å Ç√ å2 ! √ 2 2 Ä√ ä p√ h(1) = −2(12 + 1) = −4, h(2) = 2 − 1 = 1, h = −2 + 1 = −3, h 2 = 2 − 1. 2 2 ǥ Dạng 2. Đồ thị hàm số Ì Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x; f(x)) với x ∈ D gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Ì Để biết điểm M(a; b) có thuộc đồ thị hàm số y = f(x) không, ta thế x = a vào biểu thức f(x).
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 51 • Nếu f(a) = b thì điểm M(a; b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x). • Nếu f(a) 6= b thì điểm M(a; b) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x). 1 VÍ DỤ √ Ä √ ä Ƙ Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x2 + x − 3. Trong các điểm A(2; 8), B(4; 12) và C 5; 25 + 2 , điểm nào thuộc đồ thị của hàm số đã cho? ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Tập xác định: D = [3; +∞). Ì Ta có 2 ∈/ D nên A(2; 8) không thuộc đồ thị của hàm số. √ Ì Ta có f(4) = 42 + 4 − 3 = 17 6= 12 nên B(4; 12) không thuộc đồ thị của hàm số. √ √ Ä √ ä Ì Ta có f(5) = 52 + 5 − 3 = 25 + 2 nên C 5; 25 + 2 thuộc đồ thị của hàm số. X ĐC Toán 10 - Marie Curie 2 E Ƙ Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = 2x − 5x + 5 (C). Å 1 ã a) Các điểm A(1; 2), B(−1; 5), C − ; 8 có thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho không? 2 b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. ý Lời giải. Tập xác định: D = R. a) Ta có Ì f(1) = 2 · 12 − 5 · 1 + 5 = 2 nên A(1; 2) thuộc đồ thị (C) của hàm số. Ì f(−1) = 2 · (−1)2 − 5 · (−1) + 5 = 12 6= 5 nên B(−1; 5) không thuộc đồ thị (C) của hàm số. Å 1ã Å 1ã2 Å 1ã Å 1 ã Ì f − = 2 · − − 5 · − + 5 = 8 nên C − ; 8 thuộc đồ thị (C) của hàm số. 2 2 2 2 x = 1 b) f(x) = 2 ⇔ 2x2 − 5x + 5 = 2 ⇔ 2x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 x = . 2 Å3 ã Vậy có hai điểm cần tìm là M(1; 2) và N ; 2 . 2 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN −2x Bài 1. Cho hàm số y = g(x) = . Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. x2 − 2x − 3 ý Lời giải. √ 1 + 13 −2x  2 Ta có g(x) = 2 ⇔ = 2 ⇔ −2x = 2(x2 − 2x − 3) ⇔ 2x2 − 2x − 6 = 0 ⇔  √ x2 − 2x − 3 1 − 13 . √ √ 2 Ç1 + 13 å Ç1 − 13 å Vậy có hai điểm cần tìm là M ; 2 và N ; 2 . 2 2 ®x2 − 6 nếu x ≤ 1 Bài 2. Cho hàm số y = f(x) = x2 − 3x nếu x > 1. | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆTa) NAM -Điểm DỰ ÁN T nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị của hàm số? A(3; 3),B(−1; −5),C(1; −2) và D(3; 0). h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
52 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng −2. HMTÁ HTC-HTVỆ A ỰÁ T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | ý Lời giải. a) Ta có Ì f(3) = 32 − 3 · 3 = 0 6= 3, suy ra A(3; 3) không thuộc đồ thị của hàm số. Ì f(−1) = (−1)2 − 6 = −5, suy ra B(−1; −5) thuộc đồ thị của hàm số. Ì f(1) = 12 − 6 = −5 6= −2, suy ra C(1; −2) không thuộc đồ thị của hàm số. Ì f(3) = 32 − 3 · 3 = 0, suy ra D(3; 0) thuộc đồ thị của hàm số. b) Ta có f(x) = −2. ñx = −2 (nhận) Ì Với x ≤ 1, ta có x2 − 6 = −2 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 (loại). ñx = 1 (loại) Ì Với x > 1, ta có x2 − 3x = −2 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2 (nhận). Vậy có hai điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng −2 là M(−2; −2) và N(2; −2). ǥ Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức f(x) xác định. A Ì Hàm số y = xác định khi và chỉ khi f(x) 6= 0 (A là hằng số). f(x) ! Ì Hàm số y = pf(x) xác định khi và chỉ khi f(x) ≥ 0. A Ì Hàm số y = xác định khi và chỉ khi f(x) > 0. pf(x) ®P (x) 6= 0 Ì P (x) · Q(x) 6= 0 ⇔ ! Q(x) 6= 0. Ì Nếu a ≤ x ≤ b thì D = [a; b]. Ì Nếu x ≤ b thì D = (−∞; b]. E Ì Nếu a ≤ x a thì D = (a; +∞). {x0}. 1 VÍ DỤ MINH HỌA x + 3 5 Ƙ Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y = + − 2x + 1. 2x2 − 18 1 + x3 ý Lời giải. ®2x2 − 18 6= 0 ®x 6= ±3 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ 1 + x3 6= 0 x 6= −1. Vậy tập xác định D = R \ {±3; −1}. √ √ Ƙ Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 4 2x + 1 − (x − 4) 3 − x.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 53 ý Lời giải.  1 ®2x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ 2 ⇔ − ≤ x ≤ 3. 2 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 ï 1 ò Vậy tập xác định D = − ; 3 . 2 √ x3 − 7 − 3x Ƙ Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số y = √ . (x2 − 4x) 2x + 2 ý Lời giải.  7  x ≤ 7 − 3x ≥ 0  3  7    − 1 0 ⇔ x > −1 ⇔ 3  2 x 6= 0 x 6= 0. x − 4x 6= 0  x 6= 4 Å 7ò Vậy tập xác định D = −1; \{0}. 3 x3 − 3 X ĐC Toán 10 - Marie Curie Ƙ Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số y = √ √ . E x − 2 − 7 − 3x ý Lời giải.   x ≥ 2  x − 2 ≥ 0   7 7   7 2 ≤ x ≤ 2 ≤ x ≤ Hàm số xác định khi và chỉ khi 7 − 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ ⇔ 3 ⇔ 3 √ √ 3 9  √ √ x − 2 6= 7 − 3x x 6= . x − 2 − 7 − 3x 6= 0  x − 2 6= 7 − 3x 4 ï 7ò ß9™ Vậy tập xác định D = 2; \ . 3 4 3x + 5 Ƙ Ví dụ 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = có tập xác định D = . x2 + 3x + m − 1 R ý Lời giải. Hàm số có tập xác định D = R khi và chỉ khi 2 x + 3x + m − 1 6= 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 + 3x + m − 1 = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ = 13 − 4m . 4 13 Vậy m > . 4 √ Ƙ Ví dụ 6. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2+2 3x − 2m + 1 có tập xác định D = [−1; +∞). ý Lời giải. 2m − 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x − 2m + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 3 2m − 1 Vì tập xác định D = [−1; +∞) nên = −1 ⇔ m = −1. 3 Vậy m = −1. 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T x − 1 1 y = x2 − 3x + 2. 2 y = x2 + 2x − 3 h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
54 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie √ h x2 + 2x − 3 x − 1 3 y = . 4 y = . T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | (x2 − 9x)(x2 + x + 1) x2 − 4 √ x x x + 1 5 y = √ . 6 y = + . x x − 1 x − 1 x ý Lời giải. 1 y = x2 − 3x + 2. Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Vậy tập xác định D = R. x − 1 2 y = . x2 + 2x − 3 ®x 6= 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 + 2x − 3 6= 0 ⇔ x 6= −3. Vậy tập xác định D = R \{1; −3}. x2 + 2x − 3 3 y = . (x2 − 9x)(x2 + x + 1) ®x2 − 9x 6= 0 ®x 6= 0 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ x2 + x + 1 6= 0 x 6= 9. Vậy tập xác định D = R \{9; 0}. √ x − 1 4 y = . x2 − 4 x ≥ 1 ®x − 1 ≥ 0  ®x ≥ 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ x 6= 2 ⇔ x2 − 4 6= 0 x 6= 2. x 6= −2 Vậy tập xác định D = [1; +∞) \{2}. x 5 y = √ . x x − 1 ®x − 1 > 0 ®x > 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ ⇔ x > 1. x 6= 0 x 6= 0 Vậy tập xác định D = (1; +∞). √ x x + 1 6 y = + . x − 1 x x − 1 6= 0 x 6= 1   Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1   E x 6= 0 x 6= 0. Curie Marie - 10 Toán ĐC X Vậy tập xác định D = [−1; +∞) \{0; 1}. Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau √ √ √ x 2x + 5 − 3 2 − 5x 3x + 4 + x2 + 2 1 y = √ . 2 y = . 4 x2 + 4 (x2 + x + 5) (|x| + 1) √ 2x − x + 2 x2 − 4x + 3 3 y = √ . 4 y = √ . 7 − 2x (x2 + 2x + 4) 2x2 + 1 √ 2x2 + x − 3 2x − 3 √ 5 y = √ . 6 y = + 5 − x. (x2 − 5x) x − 2 3 − x √ √ √ 2x + 4 + 3 4 − x 3x + 6 − x 7 y = . 8 y = √ . x2 − 3x + 2 1 + x + 4 x2 + 2 √ 3x + 2x2 − 5 9 − 2x 2x + 10 9 y = √ . 10 y = √ . 2 − x − 2 1 − 3 − x √ √ √ √ 3 − 4x + x x x2 + 10 − 2x + 11 11 y = . 12 y = . |2x − 7| + 2 |3x − 2| − 4
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 55 ý Lời giải. √ √ x 2x + 5 − 3 2 − 5x 1 y = √ . 4 x2 + 4 2x + 5 ≥ 0  5  x ≥ − 5 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − 5x ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ − ≤ x ≤ . 2 2 5  2 x ≤ x + 4 > 0 5 ï 5 2ò Vậy tập xác định D = − ; . 2 5 √ 3x + 4 + x2 + 2 ®x − 1 > 0 ®x > 1 2 y = . Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ ⇔ x > 1. (x2 + x + 5) (|x| + 1) x 6= 0 x 6= 0 Vậy tập xác định D = (1; +∞). √ 2x − x + 2 3 y = √ . 7 − 2x x > −2 ®x + 2 ≥ 0  7 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ 7 ⇔ −2 ≤ x 0 x 0 Vậy tập xác định D = R. 2x2 + x − 3 5 y = √ . (x2 − 5x) x − 2 x > 2 ®x − 2 > 0  ®x > 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ x 6= 0 ⇔ x2 − 5x 6= 0 x 6= 5. x 6= 5 Vậy tập xác định D = (2; +∞) \{5}. √ 2x − 3 √ 6 y = + 5 − x. 3 − x   3 2x − 3 ≥ 0 x ≥ 3   2  ≤ x ≤ 5 Hàm số xác định khi và chỉ khi 3 − x 6= 0 ⇔ x 6= 3 ⇔ 2   x 6= 3. 5 − x ≥ 0 x ≤ 5 ï3 ò Vậy tập xác định D = ; 5 \{3}. 2 √ √ 2x + 4 + 3 4 − x 7 y = . x2 − 3x + 2   x ≥ −2  2x + 4 ≥ 0  − 2 ≤ x ≤ 4  x ≤ 4  Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 − x ≥ 0 ⇔ ⇔ x 6= 1  x 6= 1  x2 − 3x + 2 6= 0  x 6= 2. x 6= 2 Vậy tập xác định D = [−2; 4] \{1; 2}. √ 3x + 6 − x 8 y = √ . 1 + x + 4 6 − x ≥ 0  ®x ≤ 6 Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 4 ≥ 0 ⇔ ⇔ −4 ≤ x ≤ 6. √ x ≥ −4 | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T  1 + x + 4 6= 0 Vậy tập xác định D = [−4; 6]. h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
56 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie √ h 2x2 − 5 9 − 2x 9 y = √ . T ÁN DỰ - NAM VIỆT TH-THCS-THPT TOÁN NHÓM | 2 − x − 2 Hàm số xác định khi và chỉ khi   9 9 − 2x ≥ 0 x ≤  9  9   2 2 ≤ x ≤ 2 ≤ x ≤ 9 x − 2 ≥ 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 ≤ x ≤ . √ x ≥ 2 2  √ x − 2 6= 4 x 6= 6 2 − x − 2 6= 0  x − 2 6= 2 ï 9ò Vậy tập xác định D = 2; . 2 x2 + 2 3x + 2x + 10 10 y = √ . 1 − 3 − x  2 x + 2    ≥ 0 2x + 10 ≥ 0 x ≥ −5 2x + 10   ® − 5 ≤ x ≤ 3 x ≤ 3 Hàm số xác định khi và chỉ khi 3 − x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ≤ 3 ⇔  √  x 6= 2.  √  3 − x 6= 1 3 − x 6= 1 1 − 3 − x 6= 0 Vậy tập xác định D = [−5; 3] \{2}. √ √ 3 − 4x + x x 11 y = . |2x − 7| + 2  3 − 4x ≥ 0  3  x ≤ 3 Hàm số xác định khi và chỉ khi x ≥ 0 ⇔ 4 ⇔ 0 ≤ x ≤ . 4 |2x − 7| + 2 6= 0 x ≥ 0 ï 3ò Vậy tập xác định D = 0; . 4 √ √ x2 + 10 − 2x + 11 12 y = . |3x − 2| − 4  11  2  11 x ≥ − x + 10 ≥ 0  11 x ≥ −  2  x ≥ −  2  Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x + 11 ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ 3x − 2 6= 4 ⇔ x 6= 2     |3x − 2| − 4 6= 0 |3x − 2|= 6 4   2 3x − 2 6= −4 x 6= − . 3 ï 11 ã ß 2 ™ Vậy tập xác định D = − ; +∞ \ − ; 2 . E 2 3 Curie Marie - 10 Toán ĐC X x3 + 2 Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = có tập xác định D = . x2 − 3x + m − 5 R ý Lời giải. Hàm số có tập xác định D = R khi và chỉ khi 2 x − 4x + m − 5 6= 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 − 4x + m − 5 = 0 vô nghiệm ⇔ ∆0 = 9 − m 9. Vậy m > 9. 2x2 − 5 Bài 4. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = có tập xác định D = \{2}. 3mx − 4m + 8 R ý Lời giải. Vì hàm số có tập xác định D = R \{2} nên ta có 3m · 2 − 4m + 8 = 0 ⇔ m = −4. 2x2 − 5 Khi đó hàm số trở thành y = và có tập xác định D = \{2}. −12x + 24 R Vậy m = −4.
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 57 √ Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 − 2mx + m2 − m + 1 có tập xác định D = R. ý Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 − 2mx + m2 − m + 1 ≥ 0 ⇔ (x − m)2 + 1 − m ≥ 0. Tập xác định D = R ⇔ 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1. Vậy m ≤ 1. ǥ Dạng 4. Sự biến thiên của hàm số Hàm số f xác định trên khoảng K và x1, x2 ∈ K. Ì Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu x1 f(x2). Ì Hàm số f xác định trên khoảng K. Nếu f(x1) = f(x2) với mọi x1, x2 ∈ K, nghĩa là f(x) = c (c là hằng số) thì f gọi là hàm số hằng (còn gọi là hàm số không đổi) trên K. ! Ì Hàm số f xác định trên khoảng K. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f nghĩa là xem f đồng biến, hoặc nghịch biến, hoặc không đổi trên các khoảng nào đó trong tập xác định của nó. X ĐC Toán 10 - Marie Curie E 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG K Cho hàm số y = f(x) và hai số tùy ý x1, x2 ∈ K. CÁCH 1. Giả sử x1 0 thì f nghịch biến trên K, CÁCH 2. Giả sử x1 6= x2. f(x1) − f(x2) Ì Nếu > 0 thì f đồng biến trên K. x1 − x2 f(x1) − f(x2) Ì Nếu 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; +∞). Ƙ Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = h(x) = x2 + 2x − 3 trong khoảng (−∞; −1). ý Lời giải. Với ∀x1, x2 ∈ (−∞; −1), x1 6= x2. Ta có: f(x ) − f(x ) x2 + 2x − 3 − x2 − 2x + 3 1 2 = 1 1 2 2 x1 − x2 x1 − x2 x2 − x2 + 2(x − x ) = 1 2 1 2 x1 − x2 (x − x )(x + x ) + 2(x − x ) = 1 2 1 2 1 2 x1 − x2 | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T (x1 − x2)(x1 + x2 + 2) = = x1 + x2 + 2. x1 − x2 h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie
58 Ƙ | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h ® ® x1 ∈ (−∞; −1) x1 1 x1 − 1 > 0 −4 Vì ⇒ ⇒ ⇒ 1 x2 − 1 > 0 (x1 − 1)(x2 − 1) Vậy hàm số giảm trên (1; +∞) 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau: a. y = f(x) = (2 − x)2 − (1 − x)2 trong khoảng (−∞; +∞). b. y = f(x) = 2 − x(x − 4) trên khoảng (2; +∞). x − 5 c. y = f(x) = 1 − trên khoảng (3; +∞). x − 3 x2 − 4 d. y = k(x) = trên khoảng (−∞; −2). (x + 2)2 √ e. y = x + 1 trên khoảng (−1; +∞). 1 f. y = trên khoảng (−∞; −1). E x + 1 Curie Marie - 10 Toán ĐC X ý Lời giải. a. Ta có: y = f(x) = (2 − x)2 − (1 − x)2 = −2x + 3. Với ∀x1, x2 ∈ (−∞; +∞), x1 6= x2 thì: f(x ) − f(x ) −2x + 3 + 2x − 3 −2(x − x ) 1 2 = 1 2 = 1 2 = −2 2 Vì ⇒ ⇒ x1 + x2 > 4 ⇒ x1 + x2 − 4 > 0. x2 ∈ (2; +∞) x2 > 2 Vậy hàm số tăng trên (−∞; −1)
h | Nhóm Toán TH - THCS - THPT Việt Nam 59 x − 5 2 c. y = f(x) = 1 − = trên khoảng (3; +∞). x − 3 x − 3 Với ∀x1, x2 ∈ (3; +∞), x1 6= x2. Ta có: 2 2 f(x1) − f(x2) = − x1 − 3 x2 − 3 −2(x − x ) = 1 2 . (x1 − 3)(x2 − 3) Khi đó: f(x1) − f(x2) −2(x1 − x2) = :(x1 − x2) x1 − x2 (x1 − 3)(x2 − 3) −2 = . (x1 − 3)(x2 − 3) ® ® ® x1 ∈ (3; +∞) x1 > 3 x1 − 3 > 0 −2 Vì ⇒ ⇒ ⇒ 3 x2 − 3 > 0 (x1 − 3)(x2 − 3) Vậy hàm số giảm trên (3; +∞) x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x − 2 X ĐC Toán 10d. - Marie Curie y = k(x) = = = trên khoảng (−∞; −2). E (x + 2)2 (x + 2)2 x + 2 Với ∀x1, x2 ∈ (−∞; −2), x1 6= x2. Ta có: x1 − 2 x2 − 2 f(x1) − f(x2) = − x1 + 2 x2 + 2 2(x − x ) = 1 2 . (x1 + 2)(x2 + 2) Khi đó: f(x1) − f(x2) 2(x1 − x2) = :(x1 − x2) x1 − x2 (x1 + 2)(x2 + 2) 2 = . (x1 + 2)(x2 + 2) ® ® ® x1 ∈ (−∞; −2) x1 0. x2 ∈ (−∞; −2) x2 0, ∀x ∈ (−1; +∞). x1 + 1 + x2 + 1 Vậy hàm số tăng trên (−1; +∞) 1 f. y = trên khoảng (−∞; −1). x + 1 Với ∀x1, x2 ∈ (−∞; −1), x1 6= x2. Ta có: | NHÓM TOÁN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN T 1 1 f(x1) − f(x2) = − x1 + 1 x2 + 1 h Dü ¡n TEX ĐC To¡n 10 - Marie Curie