›
›
›

Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 7: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

doc 43 trang nhungbui22 11/08/2022 4730
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 7: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_toan_lop_10_chu_de_7_tich_vo_huong_cua_hai_vecto_va.doc

Nội dung text: Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 7: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

  1. CHUÛ ÑEÀ TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 7. VAØ ÖÙNG DUÏNG  Baøi 01 GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ TÖØ 00 ÑEÁN 1800 1. Định nghĩa Với mỗi góc a (00 £ a £ 1800 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao · cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M (x0 ; y0 ). Khi đó ta có định nghĩa: · sin của góc a là y0 , kí hiệu sin a = y0 ; y · cosin của góc a là x0 , kí hiệu cosa = x0 ; y0 y0 1 · tang của góc a là (x0 ¹ 0), kí hiệu tan a = ; x0 x0 M y0 x0 x0 · cotang của góc a là (y0 ¹ 0), kí hiệu cot a = . y0 y0 a x - 1 x0 O 1 2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu x·OM = a thì · 0 xON = 180 - a. Ta có yM = yN = y0 , x M = - xN = x0 . Do đó 0 sin a = sin(180 - a) y cosa = - cos(1800 - a) tan a = - tan(1800 - a) 0 y0 M cot a = - cot(180 - a). N a x - x0 O x0 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị a 00 300 450 600 900 1800 lượng giác 1 2 3 sin a 0 1 0 2 2 2 3 2 1 cosa 1 0 - 1 2 2 2 1 tan a 0 1 3 P 0 3 1 cot a P 3 1 0 P 3 Trong bảng kí hiệu "P" để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn
  2. 3 sin1200 = sin(1800 - 600 )= sin 600 = 2 2 cos1350 = cos(1800 - 450 )= - cos 450 = - . 2 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r uur r Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b. r r Góc A·OB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu r r r r r r r r góc giữa hai vectơ a và b là (a,b). Nếu (a,b)= 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với r r r r nhau, kí hiệu là a ^ b hoặc b ^ a. r A b r a r B r a b O r r r r b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có (a,b)= (b,a). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 450 + sin 450 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 2. Giá trị của tan 300 + cot 300 bằng bao nhiêu? 4 1+ 3 2 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? 3 3 A. sin150O = - . B. cos150O = . 2 2 1 C. tan150O = - . D. cot150O = 3. 3 Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30o cos 60o - sin 30o sin 60o. 3 A. P = 3. B. P = . C. P = 1. D. P = 0. 2 Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin 30o cos 60o + sin 60o cos30o. A. P = 1. B. P = 0. C. P = 3. D. P = - 3. Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 45O + cos 45O = 2. B. sin 30O + cos 60O = 1. C. sin 60O + cos150O = 0. D. sin120O + cos30O = 0. Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0O + cos 0O = 0. B. sin 90O + cos 90O = 1. 3 + 1 C. sin180O + cos180O = - 1. D. sin 60O + cos 60O = . 2 Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
  3. A. cos 45O = sin 45O. B. cos 45O = sin135O. C. cos30O = sin120O. D. sin 60O = cos120O. Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc Bµ= 300. Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cos B = . B. sinC = . C. cosC = . D. sin B = . 3 2 2 2 Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. sin B·AH = . B. cos B·AH = . C. sin A·BC = . D. sin A·HC = . 2 3 2 2 Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin(180°- a)= - cosa. B. sin(180°- a)= - sin a. C. sin(180°- a)= sin a. D. sin(180°- a)= cosa. Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin a = sin b. B. cosa = - cos b. C. tan a = - tan b. D. cot a = cot b. Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin 30°cos15°+ sin150°cos165°. 3 1 A. P = - . B. P = 0. C. P = . D. P = 1. 4 2 Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính P = sin A.cos(B + C )+ cos A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính P = cos A.cos(B + C )- sin A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 17. Cho hai góc nhọn a và b phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. sin a = - cos b. B. cosa = sin b. C. tan a = cot b. D. cot a = tan b. Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° . A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 4. Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = sin a cos b + sin b cosa . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a 0. C. tan a 0. Câu 22. Cho hai góc nhọn a và b trong đó a cot b. D. tan a + tan b > 0.
  4. Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai? A. cos75° > cos50°. B. sin 80° > sin 50°. C. tan 45° cos100°. C. tan 85° cos125°. Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90° cos100°. D. cos150° > cos120°. Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 a + sin2 a = 1? a a 1 a a 1 A. cos2 + sin2 = . B. cos2 + sin2 = . 2 2 2 3 3 3 2 a 2 a 1 æ 2 a 2 a ö C. cos + sin = . D. 5çcos + sin ÷= 5. 4 4 4 èç 5 5 ø÷ a 3 a a Câu 27. Cho biết sin = . Giá trị của P = 3sin2 + 5cos2 bằng bao nhiêu ? 3 5 3 3 105 107 109 111 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 25 25 25 25 6 sin a - 7 cosa Câu 28. Cho biết tan a = - 3. Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 6 cosa + 7 sin a 4 5 4 5 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 3 3 3 3 2 cot a + 3tan a Câu 29. Cho biết cosa = - . Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 3 2 cot a + tan a 19 19 25 25 A. P = - . B. P = . C. P = . D. P = - . 13 13 13 13 Câu 30. Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2 cos2 a + 5sin a cosa + 1 bằng bao nhiêu ? 10 100 50 101 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 26 26 26 26 Câu 31. Cho biết 3cosa - sin a = 1 , 00 < a < 900. Giá trị của tan a bằng 4 3 4 5 A. tan a = . B. tan a = . C. tan a = . D. tan a = . 3 4 5 4 Câu 32. Cho biết 2 cosa + 2 sin a = 2 , 00 < a < 900. Tính giá trị của cot a. 5 3 2 2 A. cot a = . B. cot a = . C. cot a = . D. cot a = . 4 4 4 2 Câu 33. Cho biết sin a + cosa = a. Tính giá trị của sin a cosa. A. sin a cosa = a2. B. sin a cosa = 2a. a2 - 1 a2 - 11 C. sin a cosa = . D. sin a cosa = . 2 2 1 Câu 34. Cho biết cosa + sin a = . Giá trị của P = tan2 a + cot2 a bằng bao nhiêu ? 3 5 7 9 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 4 4 4 4 1 Câu 35. Cho biết sin a - cosa = . Giá trị của P = sin4 a + cos4 a bằng bao nhiêu ? 5
  5. 15 17 19 21 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 5 5 5 5 Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ? uuuur uuur uuur uuur uuuur uur uuuur uuur A. (MN,NP) B. (MO,ON ). C. (MN,OP). D. (MN, MP). uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos(AB,BC )+ cos(BC,CA)+ cos(CA, AB). 3 3 3 3 3 3 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 2 2 2 2 uuur uuur Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính (AH,BA). A. 300. B. 600. C. 1200. D. 1500. Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc Bµ= 500. Hệ thức nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur A. (AB, BC )= 1300. B. (BC, AC )= 400. uuur uur uuur uur C. (AB, CB)= 500. D. (AC, CB)= 400. uuur uur Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính cos(AC,CB). uuur uur 1 uuur uur 1 A. cos AC,CB = . B. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uur 3 uuur uur 3 C. cos AC,CB = . D. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA)+ (CA, AB). A. 180o. B. 360o. C. 270o. D. 120o. uuur uuur uuur uur Câu 42. Cho tam giác ABC với Aµ= 60o . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA). A. 120o. B. 360o. C. 270o. D. 240o. Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100o và có trực tâm H. Tính tổng uuur uuur uuur uuur uuur uuur (HA,HB)+ (HB,HC )+ (HC,HA). A. 360o. B. 180o. C. 80o. D. 160o. uuur uuur Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính cos(AC,BA). uuur uuur 2 uuur uuur 2 A. cos AC,BA = . B. cos AC,BA = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uuur C. cos(AC,BA)= 0. D. cos(AC,BA)= - 1. uuur uuur uuur uur uuur uuur Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng (AB, DC )+ (AD,CB)+ (CO, DC ). A. 450. B. 4050. C. 3150. D. 2250.
  6.  Baøi 02 TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 1. Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu r r là a.b, được xác định bởi công thức sau: r r r r r r a.b = a . b cos(a,b). r r r r r Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0. Chú ý r r r r r r r · Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0 Û a ^ b. r r r r r 2 · Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a và số này được gọi là bình phương r vô hướng của vectơ a. Ta có r 2 r r r 2 a = a . a .cos 00 = a . 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có: r r r r · a.b = b.a (tính chất giao hoán); r r r r r r r · a(b + c)= a.b + a.c (tính chất phân phối); r r r r r r · (ka).b = k(a.b)= a.(kb); r 2 r 2 r · a ³ 0, a = 0 Û a = 0. Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: r r 2 r 2 r r r 2 · (a + b) = a + 2a.b + b ; r r 2 r 2 r r r 2 · (a - b) = a - 2a.b + b ; r r r r r 2 r 2 · (a + b)(a - b)= a - b . 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng r r r ur Trên mặt phẳng tọa độ (O;i; j), cho hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ). Khi đó tích vô hướng r r a.b là: r r a.b = a1b1 + a2b2. r r r Nhận xét. Hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1 + a2b2 = 0. 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ r Độ dài của vectơ a = (a1;a2 ) được tính theo công thức: r 2 2 a = a1 + a2 . b) Góc giữa hai vectơ
  7. r r Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1;a2 ) và b = (b1;b2 ) đều r khác 0 thì ta có r r r r a.b a b + a b cos a;b = r r = 1 1 2 2 . ( ) 2 2 2 2 a . b a1 + a2 . b1 + b2 c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức: 2 2 AB = (xB - x A ) + (yB - yA ) . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? r r r r r r r r r r r r A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = - 1. D. a.b = - a . b . r r r r r Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi r r r r a.b = - a . b . A. a = 1800. B. a = 00. C. a = 900. D. a = 450. r r r r r r Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = - 3. Xác định góc a giữa r r hai vectơ a và b. A. a = 300. B. a = 450. C. a = 600. D. a = 1200. r r r r r 2 r r r r r Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u = a - 3b và v = a + b 5 r r vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b. A. a = 900. B. a = 1800. C. a = 600. D. a = 450. r r Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö A. a.b = ça + b - a - b ÷. B. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 2 èç ø÷ r r 1 ær r 2 r r 2 ö r r 1 ær r 2 r r 2 ö C. a.b = ça + b - a - b ÷. D. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 4 èç ø÷ uuur uuur Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.AC = 2a2 . B. AB.AC = - . C. AB.AC = - . D. AB.AC = . 2 2 2 uuur uuur Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.BC = a2 . B. AB.BC = . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 2 2 2 Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur 1 uuur uur 1 uuur uuur a2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AC.CB = - a2 . C. GA.GB = . D. AB.AG = a2 . 2 2 6 2 Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?
  8. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 uuur uur a2 A. AH.BC = 0. B. AB,HA = 1500. C. AB.AC = . D. AC.CB = . ( ) 2 2 uuur uuur Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 2 A. AB.BC = - a2 . B. AB.BC = a2 . C. AB.BC = - . D. 2 uuur uuur a2 2 AB.BC = . 2 uuur uuur Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BA.BC = b2 . B. BA.BC = c 2 . C. BA.BC = b2 + c 2 . D. BA.BC = b2 - c 2 . uur uur Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính CA.CB. uur uur uur uur uur uur uur uur A. CA.CB = 13. B. CA.CB = 15. C. CA.CB = 17. D. CA.CB = 19. uuur uuur uuur Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = (AB + AC ).BC. c 2 + b2 c 2 + b2 + a2 c 2 + b2 - a2 A. P = b2 - c 2 . B. P = . C. P = . D. P = . 2 3 2 Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. uuuur uuur Tính AM.BC. uuuur uuur b2 - c 2 uuuur uuur c 2 + b2 A. AM.BC = . B. AM.BC = . 2 2 uuuur uuur c 2 + b2 + a2 uuuur uuur c 2 + b2 - a2 C. AM.BC = . D. AM.BC = . 3 2 Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô uur uur uuur hướng (OA + OB).AB = 0 là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Câu 16. Cho M , N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur A. MN (NP + PQ)= MN.NP + MN.PQ .B. MP.MN = - MN.MP . uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur C. MN.PQ = PQ.MN . D. (MN - PQ)(MN + PQ)= MN 2 - PQ 2 . uuur uuur Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AB.AC = a2 2. C. AB.AC = a2 . D. AB.AC = a2 . 2 2 uuur uuur uur Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC.(CD + CA). A. P = - 1. B. P = 3a2 . C. P = - 3a2 . D. P = 2a2 . uuur uuur uuur uuur uuur Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = (AB + AC ).(BC + BD + BA). A. P = 2 2a. B. P = 2a2 . C. P = a2 . D. P = - 2a2 . Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính uuur uuur AE.AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AE.AB = 2a2 . B. AE.AB = 3a2 . C. AE.AB = 5a2 . D. AE.AB = 5a2 . Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao AC uuur uuuur cho AM = . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB.MN. 4 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0. C. MB.MN = 4. D. MB.MN = 16. uuur uuur Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64. C. AB.BD = - 62. D. AB.BD = - 64. uuur uuur Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC.
  9. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 24. B. AB.AC = 26. C. AB.AC = 28. D. AB.AC = 32. Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 12cm , góc A·BC nhọn và diện tích uuur uuur bằng 54cm2 . Tính cos(AB,BC ). uuur uuur 2 7 uuur uuur 2 7 A. cos AB,BC = . B. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 uuur uuur 5 7 uuur uuur 5 7 C. cos AB,BC = . D. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của uuur uuur cạnh AD. Tính BK.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BK.AC = 0. B. BK.AC = - a2 2. C. BK.AC = a2 2. D. BK.AC = 2a2 . Vấn đề 2. QUỸ TÍCH uuur uuur uuur Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA(MB + MC )= 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur uuur uuur Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB(MA + MB + MC )= 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác. A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N uuur uuur thỏa mãn AN.AB = 2a2 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn uuur uuur MA.MB = - 16 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ) thì æx + x y + y ö Trung điểm I của đoạn AB ¾ ¾® I ç A B ; A B ÷. èç 2 2 ø÷ æx + x + x y + y + y ö Trọng tâm G : ¾ ¾® Gç A B C ; A B C ÷. èç 3 3 ø÷ uuur uuur ì ï HA.BC = 0 Trực tâm H ¾ ¾® íï uuur uur . ï îï HB.CA = 0 ïì AE 2 = BE 2 ¾ ¾® = = Û ï Tâm đường tròn ngoại tiếp E EA EB EC í 2 2 . îï AE = CE uuur uuur ì ï AK.BC = 0 Chân đường cao K hạ từ đỉnh A ¾ ¾® íï uuur uuur . ï îï BK = kBC
  10. uuur AB uuur Chân đường phân giác trong góc A là điểm D ¾ ¾® DB = - .DC. AC Chu vi: P = AB + BC + CA . 1 1 Diện tích: S = AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A . 2 2 uuur uuur Góc A : cos A = cos(AB, AC ). uuur uuur ïì AB.AC = 0 Tam giác ABC vuông cân tại A ¾ ¾® íï . ï îï AB = AC Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;- 1), B(2;10), C (- 4;2). Tính tích uuur uuur vô hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40. C. AB.AC = 26. D. AB.AC = - 26. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;- 1) và B(2;10). Tính tích vô uuur uur hướng AO.OB. uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur A. AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0. C. AO.OB = 4. D. AO.OB = 16. r r r r r r Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j. Tính tích r r vô hướng a.b. r r r r r r r r A. a.b = - 30. B. a.b = 3. C. a.b = 30. D. a.b = 43. r r Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 3;2) và b = (- 1;- 7). Tìm tọa r r r r r độ vectơ c biết c.a = 9 và c.b = - 20. r r r r A. c = (- 1;- 3). B. c = (- 1;3). C. c = (1;- 3). D. c = (1;3). r r r Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3). r r r Tính P = a.(b + c). A. P = 0. B. P = 18. C. P = 20. D. P = 28. r r Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 1;1) và b = (2;0). Tính cosin r r của góc giữa hai vectơ a và b. r r 1 r r 2 A. cos(a,b)= . B. cos(a,b)= - . 2 2 r r 1 r r 1 C. cos(a,b)= - . D. cos(a,b)= . 2 2 2 r r Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;- 1) và b = (4;- 3). Tính cosin r r của góc giữa hai vectơ a và b. r r 5 r r 2 5 A. cos a,b = - . B. cos a,b = . ( ) 5 ( ) 5 r r 3 r r 1 C. cos a,b = . D. cos a,b = . ( ) 2 ( ) 2 r r Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7). Tính góc a r r giữa hai vectơ a và b. A. a = 90O. B. a = 60O. C. a = 45O. D. a = 30O. ur ur Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2) và y = (- 3;- 1). Tính góc a ur ur giữa hai vectơ x và y. A. a = 45O. B. a = 60O. C. a = 90O. D. a = 135O. r r Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;- 7). Tính góc a r r giữa hai vectơ a và b.
  11. A. a = 30O. B. a = 45O. C. a = 60O. D. a = 135O. r Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3). Vectơ nào sau đây không r vuông góc với vectơ a ? ur ur ur uur A. v1 = (1;- 3). B. v2 = (2;- 6). C. v3 = (1;3). D. v4 = (- 1;3). Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(- 1;1) và C (5;- 1). Tính cosin uuur uuur của góc giữa hai vectơ AB và AC. uuur uuur 1 uuur uuur 3 A. cos AB, AC = - . B. cos AB, AC = . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur 2 uuur uuur 5 C. cos AB, AC = - . D. cos AB, AC = - . ( ) 5 ( ) 5 Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0), B(3;1) và C (- 1;- 1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O. Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 8;0), B(0;4), C (2;0) và D(- 3;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai góc B·AD và B·CD phụ nhau.B. Góc B·CD là góc nhọn. uuur uuur uur uuur C. cos(AB, AD)= cos(CB,CD). D. Hai góc B·AD và B·CD bù nhau. r 1 r r r r r Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u vuông góc với v. A. k = 20. B. k = - 20. C. k = - 40. D. k = 40. r 1 r r r r r Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau. 37 37 37 5 A. k = . B. k = . C. k = ± . D. k = . 4 2 2 8 r r r r r Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (- 2;3), b = (4;1) và c = ka + mb với r r r k, m Î ¡ . Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ (a + b). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2k = 2m. B. 3k = 2m. C. 2k + 3m = 0. D. 3k + 2m = 0. r r ur Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;3) và b = (4;1). Tìm vectơ d r ur r ur biết a.d = 4 và b.d = - 2 . ur æ5 6ö ur æ 5 6ö ur æ5 6ö ur æ 5 6ö A. d = ç ; ÷. B. d = ç- ; ÷. C. d = ç ;- ÷. D. d = ç- ;- ÷. èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ r r r r r Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4) và a = u + m.v với r m Î ¡ . Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. m = 4. B. m = - 4. C. m = - 2. D. m = 2. r r Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4). Tìm m để r r r r r r vectơ a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450. 1 1 1 A. m = 4. B. m = - . C. m = - . D. m = . 2 4 2 Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
  12. Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1;- 2) và N (- 3;4). A. MN = 4. B. MN = 6. C. MN = 3 6. D. MN = 2 13. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;4), B(3;2), C (5;4). Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2. C. P = 8 + 8 2. D. P = 2 + 2 2. r r r 3 r 4 r r Câu 53. Trong hệ tọa độ (O;i ; j ), cho vectơ a = - i - j . Độ dài của vectơ a bằng 5 5 1 6 7 A. . B. 1. C. . D. . 5 5 5 r r Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3;4) và v = (- 8;6). Khẳng định nào sau đây đúng? r r r r A. u = v . B. u và v cùng phương. r r r r C. u vuông góc với v . D. u = - v. æ 3ö Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;2), B(- 2;- 4), C (0;1) và Dç- 1; ÷. èç 2ø÷ Mệnh đề nào sau đây đúng ? uuur uuur uuur uuur A. AB cùng phương với CD. B. AB = CD . uuur uuur uuur uuur C. AB ^ CD. D. AB = CD. Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(7;- 3), B(8;4), C (1;5) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uur A. AC ^ CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1), B(0;2), C (3;1) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1;1), B(1;3) và C (1;- 1). Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại A . Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(10;5), B(3;2) và C (6;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù.
  13. Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2;- 1), B(1;- 1) và C (- 2;2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại C . Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(- 2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C (6;0). B. C (0;0), C (6;0). C. C (0;0). D. C (- 1;0). Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(- 3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. A. C (0;6). B. C (5;0). C. C (3;1). D. C (0;- 6). Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–4;0), B(–5;0) và C (3;0). Tìm điểm uuur uuur uuur r M thuộc trục hoành sao cho MA + MB + MC = 0. A. M (–2;0). B. M (2;0). C. M (–4;0). D. M (–5;0). Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (–2;2) và N (1;1). Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M , N, P thẳng hàng. A. P (0;4). B. P (0;–4). C. P (–4;0). D. P (4;0). Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N (- 1;4) bằng 2 5. A. M (1;0). B. M (1;0), M (- 3;0). C. M (3;0). D. M (1;0), M (3;0). Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B. æ 5 ö æ5 ö æ 3 ö æ3 ö A. C ç- ;0÷. B. C ç ;0÷. C. C ç- ;0÷. D. C ç ;0÷. èç 3 ø÷ èç3 ÷ø èç 5 ø÷ èç5 ø÷ Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2), B(5;- 2). Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho A·MB = 900 ? A. M (0;1). B. M (6;0). C. M (1;6). D. M (0;6). Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;- 1) và B(3;2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. æ 1ö æ 1ö A. M (0;1). B. M (0;- 1). C. M ç0; ÷. D. M ç0;- ÷. èç 2ø÷ èç 2ø÷ Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(- 2;0), B(2;5), C (6;2). Tìm tọa độ điểm D. A. D(2;- 3). B. D(2;3). C. D(- 2;- 3). D. D(- 2;3).
  14. Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(- 2;4), C (5;3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. æ 10ö æ8 10ö æ4 10ö A. Gç2; ÷. B. Gç ;- ÷. C. G(2;5). D. Gç ; ÷. èç 3 ø÷ èç3 3 ø÷ èç3 3 ø÷ Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 4;1), B(2;4), C (2;- 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. æ1 ö æ 1 ö æ 1ö æ 1ö A. I ç ;1÷. B. I ç- ;1÷. C. I ç1; ÷. D. I ç1;- ÷. èç4 ø÷ èç 4 ø÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷ Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3;0), B(3;0) và C (2;6). Gọi H (a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b. A. a + 6b = 5. B. a + 6b = 6. C. a + 6b = 7. D. a + 6b = 8. Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7) và C (- 3;- 8). Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC. A. A'(1;- 4). B. A'(- 1;4). C. A'(1;4). D. A'(4;1). Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(- 3;1), C (3;- 1). Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. æ3 1ö æ 3 1ö æ 3 1ö æ3 1ö A. A'ç ; ÷. B. A'ç- ;- ÷. C. A'ç- ; ÷. D. A'ç ;- ÷. èç5 5ø÷ èç 5 5÷ø èç 5 5ø÷ èç5 5ø÷ Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(- 3;- 2), B(3;6) và C (11;0). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. D(5;- 8). B. D(8;5). C. D(- 5;8). D. D(- 8;5). Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4) và B(1;1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. A. C (4;0). B. C (- 2;2). C. C (4;0), C (- 2;2). D. C (2;0). Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;- 1) và B(3;0). Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. A. D(0;- 1). B. D(2;- 3). C. D(2;- 3), D(0;1). D. D(- 2;- 3). Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1;2), B(- 1;3), C (- 2;- 1) và D(0;- 2). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật. C. ABCD là hình thoi.D. ABCD là hình bình hành. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB. æ5 5ö æ3 1ö A. E = ç ; ÷. B. E = ç ;- ÷. èç2 2ø÷ èç2 2÷ø C. E = (- 2 + 3 2;4 + 2). D. E = (- 2 + 3 2;4 - 2). Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;0), B(0;2) và C (0;7). Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D(7;0). B. D(7;0), D(2;9). C. D(0;7), D(9;2). D. D(9;2).
  15. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT CHUÛ ÑEÀ TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 7. VAØ ÖÙNG DUÏNG  Baøi 01 GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ TÖØ 00 ÑEÁN 1800 1. Định nghĩa Với mỗi góc a (00 £ a £ 1800 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao · cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M (x0 ; y0 ). Khi đó ta có định nghĩa: · sin của góc a là y0 , kí hiệu sin a = y0 ; y · cosin của góc a là x0 , kí hiệu cosa = x0 ; y y 1 · tang của góc a là 0 (x ¹ 0), kí hiệu tan a = 0 ; x 0 x M 0 0 y 0 x x · cotang của góc a là 0 (y ¹ 0), kí hiệu cot a = 0 . y 0 y 0 0 a x x - 1 0 O 1 2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu x·OM = a thì · 0 xON = 180 - a. Ta có yM = yN = y0 , x M = - xN = x0 . Do đó sin a = sin 1800 - a ( ) y cosa = - cos(1800 - a) tan a = - tan(1800 - a) 0 y0 M cot a = - cot(180 - a). N a x - x x 0 O 0 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị a 00 300 450 600 900 1800 lượng giác 1 2 3 sin a 0 1 0 2 2 2 3 2 1 cosa 1 0 - 1 2 2 2 1 tan a 0 1 3 P 0 3 1 cot a P 3 1 0 P 3 Trong bảng kí hiệu "P" để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
  16. Chẳng hạn 3 sin1200 = sin(1800 - 600 )= sin 600 = 2 2 cos1350 = cos(1800 - 450 )= - cos 450 = - . 2 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r uur r Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b. r r Góc A·OB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu r r r r r r r r góc giữa hai vectơ a và b là (a,b). Nếu (a,b)= 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với r r r r nhau, kí hiệu là a ^ b hoặc b ^ a. r A b r r B r a a b O r r r r b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có (a,b)= (b,a). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 450 + sin 450 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ïì ï 0 2 ï cos 45 = ï 2 0 0 ta được í ¾ ¾® cos 45 + sin 45 = 2. Chọn B. ï ï 0 2 ï sin 45 = îï 2 Câu 2. Giá trị của tan 300 + cot 300 bằng bao nhiêu? 4 1+ 3 2 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ïì 0 1 ï tan 30 = 4 ta được íï 3 ¾ ¾® tan 300 + cot 300 = . Chọn A. ï ï 0 3 îï cot 30 = 3 Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? 3 3 A. sin150O = - . B. cos150O = . 2 2 1 C. tan150O = - . D. cot150O = 3. 3 Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT 1 ta được tan150O = - . Chọn C. 3
  17. Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30o cos 60o - sin 30o sin 60o. 3 A. P = 3. B. P = . C. P = 1. D. P = 0. 2 ïì sin 300 = cos 600 Lời giải. Vì 300 và 600 là hai góc phụ nhau nên íï ï 0 0 îï sin 60 = cos30 ¾ ¾® P = cos30o cos 60o - sin 30o sin 60o = cos30o cos 60o - cos 60o cos30o = 0. Chọn D. Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin 30o cos 60o + sin 60o cos30o. A. P = 1. B. P = 0. C. P = 3. D. P = - 3. ïì sin 300 = cos 600 Lời giải. Vì 300 và 600 là hai góc phụ nhau nên íï ï 0 0 îï sin 60 = cos30 ¾ ¾® P = sin 30o cos 60o + sin 60o cos30o = cos2 60o + sin2 60o = 1. Chọn A. Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 45O + cos 45O = 2. B. sin 30O + cos 60O = 1. C. sin 60O + cos150O = 0. D. sin120O + cos30O = 0. Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ïì ï 0 3 ï cos30 = ï 2 0 0 ta được í ¾ ¾® cos30 + sin120 = 3. Chọn D. ï ï 0 3 ï sin120 = îï 2 Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0O + cos 0O = 0. B. sin 90O + cos 90O = 1. 3 + 1 C. sin180O + cos180O = - 1. D. sin 60O + cos 60O = . 2 Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ïì cos 00 = 1 ta được íï ¾ ¾® cos 00 + sin 00 = 1. Chọn A. ï 0 îï sin 0 = 0 Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. cos 45O = sin 45O. B. cos 45O = sin135O. C. cos30O = sin120O. D. sin 60O = cos120O. Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ïì 0 1 ï cos120 = - ï 2 ta được íï . Chọn D. ï 3 ï sin 600 = îï 2 Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc Bµ= 300. Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cos B = . B. sinC = . C. cosC = . D. sin B = . 3 2 2 2 Lời giải. Từ giả thiết suy ra Cµ= 600. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 3 cos B = cos300 = . Chọn A. 2 Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. sin B·AH = . B. cos B·AH = . C. sin A·BC = . D. sin A·HC = . 2 3 2 2
  18. ïì · 1 ï sin BAH = ï 2 Lời giải. Ta có B·AH = 300 ¾ ¾® íï . Do đó A sai; B sai. ï 3 ï cos B·AH = îï 2 3 Ta có A·BC = 600 ¾ ¾® sin A·BC = . Do đó C đúng. Chọn C. 2 Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin(180°- a)= - cosa. B. sin(180°- a)= - sin a. C. sin(180°- a)= sin a. D. sin(180°- a)= cosa. Lời giải. Hai góc bù nhau a và (180°- a) thì cho có giá trị của sin bằng nhau. Chọn C. Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin a = sin b. B. cosa = - cos b. C. tan a = - tan b. D. cot a = cot b. Lời giải. Hai góc bù nhau a và b thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai. Chọn D. Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin 30°cos15°+ sin150°cos165°. 3 1 A. P = - . B. P = 0. C. P = . D. P = 1. 4 2 Lời giải. Hai góc 300 và 1500 bù nhau nên sin 30° = sin150° ; Hai góc 15° và 165° bù nhau nên cos15° = - cos165° . Do đó P = sin 30°cos15°+ sin150°cos165° = sin150°.(- cos165°)+ sin150°cos165° = 0 . Chọn B. Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Lời giải. Hai góc a và b bù nhau nên sin a = sin b ; cosa = - cos b . Do đó, P = cosa cos b - sin b sin a = - cos2 a - sin2 a = - (sin2 a + cos2 a)= - 1 . Chọn C. Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính P = sin A.cos(B + C )+ cos A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Lời giải. Giả sử Aµ= a; Bµ+ Cµ= b . Biểu thức trở thành P = sin a cos b + cosa sin b . Trong tam giác ABC , có Aµ+ Bµ+ Cµ= 180° Þ a + b = 180° . Do hai góc a và b bù nhau nên sin a = sin b ; cosa = - cos b . Do đó, P = sin a cos b + cosa sin b = - sin a cosa + cosa sin a = 0 . Chọn A. Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính P = cos A.cos(B + C )- sin A.sin(B + C ). A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Lời giải. Giả sử Aµ= a; Bµ+ Cµ= b . Biểu thức trở thành P = cosa cos b - sin a sin b . Trong tam giác ABC có Aµ+ Bµ+ Cµ= 180° Þ a + b = 180° . Do hai góc a và b bù nhau nên sin a = sin b ; cosa = - cos b .
  19. Do đó, P = cosa cos b - sin a sin b = - cos2 a - sin2 a = - (sin2 a + cos2 a)= - 1 . Chọn C. Câu 17. Cho hai góc nhọn a và b phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. sin a = - cos b. B. cosa = sin b. C. tan a = cot b. D. cot a = tan b. Lời giải. Hai góc nhọn a và b phụ nhau thì sin a = cos b; cosa = sin b; tan a = cot b; cot a = tan b . Chọn A. Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° . A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 4. Lời giải. Hai góc 15° và 75° phụ nhau nên sin75° = cos15°. Hai góc 20° và 110° hơn kém nhau 90° nên cos110° = - sin 20°. Do đó, S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° = sin2 15°+ cos2 20 + cos2 15°+ (- sin 20°)2 = (sin2 15°+ cos2 15°)+ (sin2 20°+ cos2 20°)= 2 . Chọn C. Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = sin a cos b + sin b cosa . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Lời giải. Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b; cosa = sin b . Do đó, P = sin a cos b + sin b cosa = sin2 a + cos2 a = 1 . Chọn B. Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90° . Tính giá trị của biểu thức P = cosa cos b - sin b sin a . A. P = 0. B. P = 1. C. P = - 1. D. P = 2. Lời giải. Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b; cosa = sin b . Do đó, P = cosa cos b - sin b sin a = cosa sin a - cosa sin a = 0 . Chọn A. Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin a 0. C. tan a 0. Lời giải. Chọn C. Câu 22. Cho hai góc nhọn a và b trong đó a cot b. D. tan a + tan b > 0. Lời giải. Chọn A. Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai? A. cos75° > cos50°. B. sin 80° > sin 50°. C. tan 45° < tan 60°. D. cos30° = sin 60°. Lời giải. Chọn A. Trong khoảng từ 0° đến 90° , khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?
  20. A. sin 90° cos100°. C. tan 85° cos125°. Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn B. Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90° cos100°. D. cos150° > cos120°. Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn C. Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 a + sin2 a = 1? a a 1 a a 1 A. cos2 + sin2 = . B. cos2 + sin2 = . 2 2 2 3 3 3 2 a 2 a 1 æ 2 a 2 a ö C. cos + sin = . D. 5çcos + sin ÷= 5. 4 4 4 èç 5 5 ø÷ a a Lời giải. Từ biểu thức cos2 a + sin2 a = 1 ta suy ra cos2 + sin2 = 1. 5 5 æ 2 a 2 a ö Do đó ta có 5çcos + sin ÷= 5. Chọn D. èç 5 5 ø÷ a 3 a a Câu 27. Cho biết sin = . Giá trị của P = 3sin2 + 5cos2 bằng bao nhiêu ? 3 5 3 3 105 107 109 111 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 25 25 25 25 a a a a 16 Lời giải. Ta có biểu thức sin2 + cos2 = 1 Û cos2 = 1- sin2 = . 3 3 3 3 25 2 2 a 2 a æ3ö 16 107 Do đó ta có P = 3sin + 5cos = 3.ç ÷ + 5. = . Chọn B. 3 3 èç5ø÷ 25 25 6 sin a - 7 cosa Câu 28. Cho biết tan a = - 3. Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 6 cosa + 7 sin a 4 5 4 5 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 3 3 3 3 sin a 6 - 7 6 sin a - 7 cosa 6 tan a - 7 5 Lời giải. Ta có P = = cosa = = . Chọn B. a + a sin a + a 6 cos 7 sin 6 + 7 6 7 tan 3 cosa 2 cot a + 3tan a Câu 29. Cho biết cosa = - . Giá trị của P = bằng bao nhiêu ? 3 2 cot a + tan a 19 19 25 25 A. P = - . B. P = . C. P = . D. P = - . 13 13 13 13 5 Lời giải. Ta có biểu thức sin2 a + cos2 a = 1 Û sin2 a = 1- cos2 a = . 9
  21. æ ö2 cosa sin a ç 2÷ 5 + 3 2 2 ç- ÷ + 3. cot a + 3tan a cos a + 3sin a èç 3÷ø 9 19 Ta có P = = sin a cosa = = = . 2 cot a + tan a cosa sin a 2 cos2 a + sin2 a æ 2ö2 5 13 2 + 2.ç- ÷ + sin a cosa èç 3ø÷ 9 Chọn B. Câu 30. Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2 cos2 a + 5sin a cosa + 1 bằng bao nhiêu ? 10 100 50 101 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 26 26 26 26 æ cos2 a cosa 1 ö 2 2 ç ÷ Lời giải. Ta có P = 2 cos a + 5sin a cosa + 1 = sin a ç2 2 + 5 + 2 ÷ èç sin a sin a sin a ø÷ 1 3cot2 a + 5cot a + 1 101 = (2 cot2 a + 5cot a + 1+ cot2 a)= = . Chọn D. 1+ cot2 a cot2 a + 1 26 Câu 31. Cho biết 3cosa - sin a = 1 , 00 < a < 900. Giá trị của tan a bằng 4 3 4 5 A. tan a = . B. tan a = . C. tan a = . D. tan a = . 3 4 5 4 Lời giải. Ta có 3cosa - sin a = 1 Û 3cosa = sin a + 1 ® 9 cos2 a = (sin a + 1)2 Û 9 cos2 a = sin2 a + 2 sin a + 1 Û 9(1- sin2 a)= sin2 a + 2 sin a + 1 ésin a = - 1 ê Û 10 sin2 a + 2 sin a - 8 = 0 Û ê 4 . êsin a = ëê 5 · sin a = - 1 : không thỏa mãn vì 00 < a < 900. 4 3 sin a 4 · sin a = Þ cosa = ¾ ¾® tan a = = . Chọn A. 5 5 cosa 3 Câu 32. Cho biết 2 cosa + 2 sin a = 2 , 00 < a < 900. Tính giá trị của cot a. 5 3 2 2 A. cot a = . B. cot a = . C. cot a = . D. cot a = . 4 4 4 2 Lời giải. Ta có 2 cosa + 2 sin a = 2 Û 2 sin a = 2- 2 cosa ® 2 sin2 a = (2- 2 cosa)2 Û 2 sin2 a = 4 - 8cosa + 4 cos2 a Û 2(1- cos2 a)= 4 - 8cosa + 4 cos2 a écosa = 1 ê Û 6 cos2 a - 8cosa + 2 = 0 Û ê 1. êcosa = ëê 3 · cosa = 1 : không thỏa mãn vì 00 < a < 900. 1 2 2 cosa 2 · cosa = Þ sin a = ¾ ¾® cot a = = . Chọn C. 3 3 sin a 4 Câu 33. Cho biết sin a + cosa = a. Tính giá trị của sin a cosa. A. sin a cosa = a2. B. sin a cosa = 2a. a2 - 1 a2 - 11 C. sin a cosa = . D. sin a cosa = . 2 2 2 Lời giải. Ta có sin a + cosa = a ® (sin a + cosa) = a2 a2 - 1 Û 1+ 2 sin a cosa = a2 Û sin a cosa = . Chọn C. 2 1 Câu 34. Cho biết cosa + sin a = . Giá trị của P = tan2 a + cot2 a bằng bao nhiêu ? 3 5 7 9 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 4 4 4 4 1 2 1 Lời giải. Ta có cosa + sin a = ® (cosa + sin a) = 3 9
  22. 1 4 Û 1+ 2 sin a cosa = Û sin a cosa = - . 9 9 2 2 2 2 æsin a cosa ö Ta có P = tan a + cot a = (tan a + cot a) - 2 tan a cot a = ç + ÷ - 2 èçcosa sin a ø÷ æ 2 2 ö2 æ ö2 æ ö2 çsin a + cos a ÷ ç 1 ÷ ç 9÷ 7 = ç ÷ - 2 = ç ÷ - 2 = ç- ÷ - 2 = . Chọn B. èç sin a cosa ø÷ èçsin a cosa ø÷ èç 4ø÷ 4 1 Câu 35. Cho biết sin a - cosa = . Giá trị của P = sin4 a + cos4 a bằng bao nhiêu ? 5 15 17 19 21 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 5 5 5 5 1 2 1 Lời giải. Ta có sin a - cosa = ® (sin a - cosa) = 5 5 1 2 Û 1- 2 sin a cosa = Û sin a cosa = . 5 5 2 Ta có P = sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a) - 2 sin2 a cos2 a 2 17 = 1- 2(sin a cosa) = . Chọn B. 5 Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ? uuuur uuur uuur uuur uuuur uur uuuur uuur A. (MN,NP) B. (MO,ON ). C. (MN,OP). D. (MN, MP). uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur Lời giải. · Vẽ NE = MN . Khi đó (MN,NP)= (NE,NP) P = P·NE = 1800 - M· NP = 1800 - 600 = 1200. Chọn A. uuur uuur uuur uuur uuur uuur F · Vẽ OF = MO . Khi đó (MO,ON )= (OF,ON )= N·OF = 600. uuuur uur O · Vì MN ^ OP ¾ ¾® (MN,OP)= 900. uuuur uuur N M · Ta có (MN, MP)= N·MP = 600. E uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos(AB,BC )+ cos(BC,CA)+ cos(CA, AB). 3 3 3 3 3 3 A. P = . B. P = . C. P = - . D. P = - . 2 2 2 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Vẽ BE = AB . Khi đó (AB,BC )= (BE,BC )= C·BE = 180- C·BA = 1200 C uuur uuur 1 ¾ ¾® cos AB,BC = cos1200 = - . ( ) 2 uuur uur uur uuur 1 Tương tự, ta cũng có cos(BC,CA)= cos(CA, AB)= - . A2 B E uuur uuur uuur uur uur uuur 3 Vậy cos AB,BC + cos BC,CA + cos CA, AB = - . Chọn C. ( ) ( ) ( ) 2 uuur uuur Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính (AH,BA).
  23. A. 300. B. 600. C. 1200. D. 1500. uuur uuur Lời giải. Vẽ AE = BA . C uuur uuur Khi đó AH, AE = H·AE = a (hình ( ) H vẽ) a 0 · 0 0 0 = 180 - BAH = 180 - 30 = 150 . B A E Chọn D. Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc Bµ= 500. Hệ thức nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur A. (AB, BC )= 1300. B. (BC, AC )= 400. uuur uur uuur uur C. (AB, CB)= 500. D. (AC, CB)= 400. uuur uur Lời giải. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì (AC, CB)= 1800 - A·CB = 1800 - 400 = 1400. uuur uur Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính cos(AC,CB). uuur uur 1 uuur uur 1 A. cos AC,CB = . B. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uur 3 uuur uur 3 C. cos AC,CB = . D. cos AC,CB = - . ( ) 2 ( ) 2 Lời giải. Xác định được uuur uur C (AC,CB)= 1800 - A·CB. AC 1 Ta có cos A·CB = = ¾ ¾® A·CB = 600 CB 2 uuur uur ¾ ¾® AC,CB = 1800 - A·CB = 1200 ( ) A B uuur uur 1 Vậy cos AC,CB = cos1200 = - . Chọn B. ( ) 2 uuur uuur uuur uur uur uuur Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA)+ (CA, AB). A. 180o. B. 360o. C. 270o. D. 120o. uuur uuur ïì AB,BC = 1800 - A·BC ï ( ) ï uuur uur ï 0 Lời giải. Ta có í BC,CA = 180 - B·CA ï ( ) ï uur uuur ï CA, AB = 1800 - C·AB îï ( ) uuur uuur uuur uur uur uuur ¾ ¾® (AB,BC )+ (BC,CA)+ (CA, AB)= 5400 - (A·BC + B·CA + C·AB)= 5400 - 1800 = 3600. Chọn B. uuur uuur uuur uur Câu 42. Cho tam giác ABC với Aµ= 60o . Tính tổng (AB,BC )+ (BC,CA). A. 120o. B. 360o. C. 270o. D. 240o. uuur uuur ì 0 ï AB,BC = 180 - A·BC ï ( ) Lời giải. Ta có í uuur uur ï 0 ï BC,CA = 180 - B·CA îï ( ) uuur uuur uuur uur ¾ ¾® (AB,BC )+ (BC,CA)= 3600 - (A·BC + B·CA) = 3600 - (1800 - B·AC )= 3600 - 1800 + 600 = 2400. Chọn D. Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100o và có trực tâm H. Tính tổng uuur uuur uuur uuur uuur uuur (HA,HB)+ (HB,HC )+ (HC,HA). A. 360o. B. 180o. C. 80o. D. 160o.
  24. uuur uuur ïì · ï (HA,HB)= BHA H ï ï uuur uuur Lời giải. Ta có í (HB,HC )= B·HC ï F ï uuur uuur I ï HC,HA = C·HA A îï ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur · · · 0 ¾ ¾® (HA,HB)+ (HB,HC )+ (HC,HA)= BHA + BHC + CHA 100 = 2B·HC = 2(1800 - 1000 )= 1600 B C (do tứ giác HIAF nội tiếp. Chọn D. uuur uuur Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính cos(AC,BA). uuur uuur 2 uuur uuur 2 A. cos AC,BA = . B. cos AC,BA = - . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur uuur uuur C. cos(AC,BA)= 0. D. cos(AC,BA)= - 1. uuur uuur Lời giải. Vẽ AE = BA . C D uuur uuur uuur uuur Khi đó cos(AC,BA)= cos(AC, AE) 2 = cosC·AE = cos1350 = - . 2 E Chọn B. B A uuur uuur uuur uur uuur uuur Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng (AB, DC )+ (AD,CB)+ (CO, DC ). A. 450. B. 4050. C. 3150. D. 2250. uuur uuur uuur uuur Lời giải. · Ta có AB, DC cùng hướng nên (AB, DC ) = 00 . uuur uur uuur uur · Ta có AD,CB ngược hướng nên (AD,CB)= 1800 . uur uuur uuur uuur uuur uur · Vẽ CE = DC , khi đó (CO, DC )= (CO,CE)= O·CE = 1350. A B O D C E uuur uuur uuur uur uuur uuur Vậy (AB, DC )+ (AD,CB)+ (CO, DC )= 00 + 1800 + 1350 = 3150. Chọn C
  25.  Baøi 02 TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 1. Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu r r là a.b, được xác định bởi công thức sau: r r r r r r a.b = a . b cos(a,b). r r r r r Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0. Chú ý r r r r r r r · Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0 Û a ^ b. r r r r r 2 · Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a và số này được gọi là bình phương r vô hướng của vectơ a. Ta có r 2 r r r 2 a = a . a .cos 00 = a . 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có: r r r r · a.b = b.a (tính chất giao hoán); r r r r r r r · a(b + c)= a.b + a.c (tính chất phân phối); r r r r r r · (ka).b = k(a.b)= a.(kb); r 2 r 2 r · a ³ 0, a = 0 Û a = 0. Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: r r 2 r 2 r r r 2 · (a + b) = a + 2a.b + b ; r r 2 r 2 r r r 2 · (a - b) = a - 2a.b + b ; r r r r r 2 r 2 · (a + b)(a - b)= a - b . 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng r r r ur Trên mặt phẳng tọa độ (O;i; j), cho hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ). Khi đó tích vô hướng r r a.b là: r r a.b = a1b1 + a2b2. r r r Nhận xét. Hai vectơ a = (a1;a2 ), b = (b1;b2 ) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1b1 + a2b2 = 0. 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ r Độ dài của vectơ a = (a1;a2 ) được tính theo công thức: r 2 2 a = a1 + a2 . b) Góc giữa hai vectơ
  26. r r Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1;a2 ) và b = (b1;b2 ) đều r khác 0 thì ta có r r r r a.b a b + a b cos a;b = r r = 1 1 2 2 . ( ) 2 2 2 2 a . b a1 + a2 . b1 + b2 c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức: 2 2 AB = (xB - x A ) + (yB - yA ) . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? r r r r r r r r r r r r A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = - 1. D. a.b = - a . b . r r r r r r Lời giải. Ta có a.b = a . b .cos(a,b). r r r r r r Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên (a,b)= 00 ¾ ¾® cos(a,b)= 1. r r r r Vậy a.b = a . b . Chọn A. r r r r r Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b khi r r r r a.b = - a . b . A. a = 1800. B. a = 00. C. a = 900. D. a = 450. r r r r r r Lời giải. Ta có a.b = a . b .cos(a,b). r r r r r r r r Mà theo giả thiết a.b = - a . b , suy ra cos(a,b)= - 1 ¾ ¾® (a,b)= 1800. Chọn A. r r r r r r Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = - 3. Xác định góc a giữa r r hai vectơ a và b. A. a = 300. B. a = 450. C. a = 600. D. a = 1200. r r r r r r r r r r r r a.b - 3 1 0 Lời giải. Ta có a.b = a . b .cos(a,b)¾ ¾® cos(a,b)= r r = = - ¾ ¾® (a,b)= 120 . a . b 3.2 2 Chọn D. r r r r r 2 r r r r r Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u = a - 3b và v = a + b 5 r r vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b. A. a = 900. B. a = 1800. C. a = 600. D. a = 450. r r r r æ2 r rö r r 2 r 2 13 r r r 2 Lời giải. Ta có u ^ v ¾ ¾® u.v = 0 Û ç a - 3b÷ a + b = 0 Û a - ab - 3b = 0 èç5 ø÷( ) 5 5 r r a = b = 1 r r ¾ ¾ ¾¾® ab = - 1. r r r r r r a.b 0 Suy ra cos(a,b)= r r = - 1 ¾ ¾® (a,b)= 180 . Chọn B. a . b r r Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
  27. r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö A. a.b = ça + b - a - b ÷. B. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 2 èç ø÷ r r 1 ær r 2 r r 2 ö r r 1 ær r 2 r r 2 ö C. a.b = ça + b - a - b ÷. D. a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ø÷ 4 èç ø÷ Lời giải. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 1 và 1 nên đáp án sai sẽ rơi vào 2 4 C hoặc D. r r 2 r r 2 r r 2 r r 2 r r r r 1 ær r 2 r r 2 ö Ta có a + b - a - b = a + b - a - b = 4ab ¾ ¾® a.b = ça + b - a - b ÷. Chọn C. ( ) ( ) 4 èç ø÷ r r 2 r r 2 r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r r · A đúng, vì a + b = (a + b) = (a + b).(a + b)= a.a + a.b + b.a + b.b = a + b + 2a.b r r 1 ær r 2 r 2 r 2 ö ¾ ¾® a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ÷ø r r 2 r r 2 r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r r · B đúng, vì a - b = (a - b) = (a - b).(a - b)= a.a - a.b - b.a + b.b = a + b - 2a.b r r 1 ær 2 r 2 r r 2 ö ¾ ¾® a.b = ça + b - a - b ÷. 2 èç ÷ø uuur uuur Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.AC = 2a2 . B. AB.AC = - . C. AB.AC = - . D. AB.AC = . 2 2 2 uuur uuur uuur uuur Lời giải. Xác định được góc (AB, AC ) là góc Aµ nên (AB, AC )= 600. uuur uuur uuur uuur a2 Do đó AB.AC = AB.AC.cos AB, AC = a.a.cos 600 = . Chọn D. ( ) 2 uuur uuur Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC. uuur uuur uuur uuur a2 3 uuur uuur a2 uuur uuur a2 A. AB.BC = a2 . B. AB.BC = . C. AB.BC = - . D. AB.BC = . 2 2 2 uuur uuur uuur uuur Lời giải. Xác định được góc (AB,BC ) là góc ngoài của góc Bµ nên (AB,BC )= 1200. uuur uuur uuur uuur a2 Do đó AB.BC = AB.BC.cos AB,BC = a.a.cos1200 = - . Chọn C. ( ) 2 Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur 1 uuur uur 1 uuur uuur a2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AC.CB = - a2 . C. GA.GB = . D. AB.AG = a2 . 2 2 6 2 Lời giải. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: uuur uuur uuur uuur · Xác định được góc (AB, AC ) là góc Aµ nên (AB, AC )= 600. uuur uuur uuur uuur a2 Do đó AB.AC = AB.AC.cos AB, AC = a.a.cos 600 = ¾ ¾® A đúng. ( ) 2 uuur uur uuur uur · Xác định được góc (AC,CB) là góc ngoài của góc Cµ nên (AC,CB)= 1200. uuur uur uuur uur a2 Do đó AC.CB = AC.CB.cos AC,CB = a.a.cos1200 = - ¾ ¾® B đúng. ( ) 2 uuur uuur uuur uuur · Xác định được góc (GA,GB) là góc A·GB nên (GA,GB)= 1200. uuur uuur uuur uuur a a a2 Do đó GA.GB = GA.GB.cos(GA,GB)= . .cos1200 = - ¾ ¾® C sai. Chọn C. 3 3 6 uuur uuur uuur uuur · Xác định được góc (AB, AG) là góc G·AB nên (AB, AG)= 300. uuur uuur uuur uuur a a2 Do đó AB.AG = AB.AG.cos(AB, AG)= a. .cos300 = ¾ ¾® D đúng. 3 2
  28. Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 uuur uur a2 A. AH.BC = 0. B. AB,HA = 1500. C. AB.AC = . D. AC.CB = . ( ) 2 2 uuur uur uuur uur Lời giải. Xác định được góc (AC,CB) là góc ngoài của góc Aµ nên (AC,CB)= 1200. uuur uur uuur uur a2 Do đó AC.CB = AC.CB.cos AC,CB = a.a.cos1200 = - . Chọn D. ( ) 2 uuur uuur Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 2 A. AB.BC = - a2 . B. AB.BC = a2 . C. AB.BC = - . D. 2 uuur uuur a2 2 AB.BC = . 2 uuur uuur uuur uuur Lời giải. Xác định được góc (AB,BC ) là góc ngoài của góc Bµ nên (AB,BC )= 1350. uuur uuur uuur uuur Do đó AB.BC = AB.BC.cos(AB,BC )= a.a 2.cos1350 = - a2 . Chọn A. uuur uuur Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BA.BC = b2 . B. BA.BC = c 2 . C. BA.BC = b2 + c 2 . D. BA.BC = b2 - c 2 . uuur uuur uuur uuur c Lời giải. Ta có BA.BC = BA.BC.cos(BA,BC )= BA.BC.cos Bµ= c. b2 + c 2 . = c 2 . b2 + c 2 Chọn B. uuur uuur Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB ^ AC Þ AB.AC = 0. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur Ta có BA.BC = BA.(BA + AC )= BA + BA.AC = AB 2 = c 2 . Chọn B. uur uur Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính CA.CB. uur uur uur uur uur uur uur uur A. CA.CB = 13. B. CA.CB = 15. C. CA.CB = 17. D. CA.CB = 19. Lời giải. Ta có AB + BC = CA Þ ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C. uur uur uur uur Khi đó CA.CB = CA.CB.cos(CA,CB)= 3.5.cos 00 = 15. Chọn B. uuur 2 uur uur 2 uur uur Cách khác. Ta có AB 2 = AB = (CB - CA) = CB 2 - 2CBCA + CA2 uur uur 1 1 ¾ ¾® CBCA = (CB 2 + CA2 - AB 2 )= (32 + 52 - 22 )= 15. 2 2 uuur uuur uuur Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P = (AB + AC ).BC. c 2 + b2 c 2 + b2 + a2 c 2 + b2 - a2 A. P = b2 - c 2 . B. P = . C. P = . D. P = . 2 3 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có P = (AB + AC ).BC = (AB + AC ).(BA + AC ). uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 = (AC + AB).(AC - AB)= AC - AB = AC 2 - AB 2 = b2 - c 2 . Chọn A. Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. uuuur uuur Tính AM.BC. uuuur uuur b2 - c 2 uuuur uuur c 2 + b2 A. AM.BC = . B. AM.BC = . 2 2 uuuur uuur c 2 + b2 + a2 uuuur uuur c 2 + b2 - a2 C. AM.BC = . D. AM.BC = . 3 2 uuur uuur uuuur Lời giải. Vì M là trung điểm của BC suy ra AB + AC = 2 AM. uuuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur Khi đó AM.BC = AB + AC .BC = AB + AC . BA + AC 2 ( ) 2 ( ) ( )
  29. 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2 1 b2 - c 2 = AC + AB . AC - AB = AC - AB = (AC 2 - AB 2 )= . Chọn A. 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô uur uur uuur hướng (OA + OB).AB = 0 là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. uur uur uuur uur uur uur uur Lời giải. Ta có (OA + OB).AB = 0 Û (OA + OB).(OB - OA)= 0 uur 2 uur 2 Û OB - OA = 0 Û OB 2 - OA2 = 0 Û OB = OA. Chọn B. Câu 16. Cho M , N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur A. MN (NP + PQ)= MN.NP + MN.PQ .B. MP.MN = - MN.MP . uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur C. MN.PQ = PQ.MN . D. (MN - PQ)(MN + PQ)= MN 2 - PQ 2 . Lời giải. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối. uuur uuuur uuuur uuur Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP.MN = MN.MP . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán. Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B uuur uuur Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 A. AB.AC = a2 . B. AB.AC = a2 2. C. AB.AC = a2 . D. AB.AC = a2 . 2 2 uuur uuur uuur uuur 2 Lời giải. Ta có AB, AC = B·AC = 450 nên AB.AC = AB.AC.cos 450 = a.a 2. = a2 . ( ) 2 Chọn A. uuur uuur uur Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC.(CD + CA). A. P = - 1. B. P = 3a2 . C. P = - 3a2 . D. P = 2a2 . Lời giải. Từ giả thiết suy ra AC = a 2. uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uur uuur uuur 2 Ta có P = AC.(CD + CA)= AC.CD + AC.CA = - CA.CD - AC uur uuur 2 = - CA.CD cos(CA,CD)- AC 2 = - a 2.a.cos 450 - (a 2) = - 3a2 . Chọn C. uuur uuur uuur uuur uuur Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = (AB + AC ).(BC + BD + BA). A. P = 2 2a. B. P = 2a2 . C. P = a2 . D. P = - 2a2 . ì ï BD = a 2 Lời giải. Ta có íï uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . ï BC + BD + BA = BC + BA + BD = BD + BD = 2BD îï ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó P = (AB + AC ).2BD = 2AB.BD + 2AC.BD = - 2BA.BD + 0 uuur uuur 2 = - 2.BA.BD cos BA,BD = - 2.a.a 2. = - 2a2 . Chọn D. ( ) 2 Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính uuur uuur AE.AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AE.AB = 2a2 . B. AE.AB = 3a2 . C. AE.AB = 5a2 . D. AE.AB = 5a2 . Lời giải. Ta có C là trung điểm của DE nên A B DE = 2a. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó AE.AB = (AD + DE).AB = 1A4D42.A44B3+ DE.AB 0 D C E
  30. uuur uuur = DE.AB.cos(DE, AB)= DE.AB.cos 00 = 2a2 . Chọn A. Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao AC uuur uuuur cho AM = . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB.MN. 4 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0. C. MB.MN = 4. D. MB.MN = 16. uuur uuuur Lời giải. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. uuur uuur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur · MB = AB - AM = AB - AC = AB - AB + AD = AB - AD. 4 4 ( ) 4 4 uuuur uuur uuuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur · MN = AN - AM = AD + DN - AC = AD + DC - AB + AD 4 2 4 ( ) uuur 1 uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur = AD + AB - AB + AD = AD + AB. 2 4 ( ) 4 4 A B M D N C uuur uuuur æ3 uuur 1 uuuröæ3 uuur 1 uuurö 1 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur Suy ra MB.MN = ç AB - AD÷ç AD + AB÷= 3AB.AD + 3AB - 3AD - AD.AB èç4 4 ø÷èç4 4 ø÷ 16 ( ) 1 = (0 + 3a2 - 3a2 - 0)= 0 . Chọn B. 16 uuur uuur Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64. C. AB.BD = - 62. D. AB.BD = - 64. uuur uuur Lời giải. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB.BD = AB.(BA + BC )= AB.BA + AB.BC = - AB.AB + 0 = - AB 2 = - 64 . Chọn D. uuur uuur Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 24. B. AB.AC = 26. C. AB.AC = 28. D. AB.AC = 32. uuur uuur Lời giải. Gọi O = AC ÇBD , giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, AC theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. B A C D uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur 1 uuur uuur 1 Ta có AB.AC = AO + OB .AC = AO.AC + OB.AC = AC.AC + 0 = AC 2 = 32 . Chọn D. ( ) 2 2 Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 12cm , góc A·BC nhọn và diện tích uuur uuur bằng 54cm2 . Tính cos(AB,BC ). uuur uuur 2 7 uuur uuur 2 7 A. cos AB,BC = . B. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16
  31. uuur uuur 5 7 uuur uuur 5 7 C. cos AB,BC = . D. cos AB,BC = - . ( ) 16 ( ) 16 2 Lời giải. Ta có SABCD = 2.SDABC = 54 Û SDABC = 27 cm . 1 1 Diện tích tam giác ABC là S = .AB.BC.sin A·BC = .AB.AD.sin A·BC. DABC 2 2 2.S 2.27 9 5 7 Þ sin A·BC = DABC = = ¾ ¾® cos A·BC = 1- sin2 A·BC = (vì A·BC nhọn). AB.AD 8.12 16 16 A D B C uuur uuur Mặt khác góc giữa hai vectơ AB, BC là góc ngoài của góc A·BC uuur uuur 5 7 Suy ra cos AB,BC = cos 1800 - A·BC = - cos A·BC = - . Chọn D. ( ) ( ) 16 Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của uuur uuur cạnh AD. Tính BK.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. BK.AC = 0. B. BK.AC = - a2 2. C. BK.AC = a2 2. D. BK.AC = 2a2 . Lời giải. Ta có AC = BD = AB 2 + AD 2 = 2a2 + a2 = a 3. ïì uuur uuur uuur uuur 1 uuur A K D ï BK = BA + AK = BA + AD Ta có íï 2 ï uuur uuur uuur îï AC = AB + AD uuur uuur æuuur 1 uuurö uuur uuur B C ¾ ¾® BK.AC = çBA + AD÷ AB + AD èç 2 ø÷( ) uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 2 = BA.AB + BA.AD + AD.AB + AD.AD = - a2 + 0 + 0 + (a 2) = 0. Chọn A. 2 2 2 Vấn đề 2. QUỸ TÍCH uuur uuur uuur Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA(MB + MC )= 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur uuur Lời giải. Gọi I là trung điểm BC ¾ ¾® MB + MC = 2MI. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có MA(MB + MC )= 0 Û MA.2MI = 0 Û MA.MI = 0 Û MA ^ MI . (*) Biểu thức (*) chứng tỏ MA ^ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI. Chọn D. uuur uuur uuur uuur Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB(MA + MB + MC )= 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác. A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur uuur uuuur Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ¾ ¾® MA + MB + MC = 3MG. uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur Ta có MB(MA + MB + MC )= 0 Û MB.3MG = 0 Û MB.MG = 0 Û MB ^ MG. (*)
  32. Biểu thức (*) chứng tỏ MB ^ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG. Chọn D. uuur uuur Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur Lời giải. Ta có MA.BC = 0 Û MA ^ BC. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC. Chọn B. Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N uuur uuur thỏa mãn AN.AB = 2a2 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uuur uuur Lời giải. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đó AC = 2AB. uuur uuur uuur 2 Suy ra AB.AC = 2AB = 2a2 . uuur uuur uuur uuur Kết hợp với giả thiết, ta có AN.AB = AB.AC uuur uuur uuur uuur uuur Û AB(AN - AC )= 0 Û AB.CN = 0 Û CN ^ AB . Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB. Chọn B. Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn uuur uuur MA.MB = - 16 là: A. một điểm. B. đường thẳng.C. đoạn thẳng.D. đường tròn. uur uur Lời giải. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB ¾ ¾® IA = - IB. uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur Ta có MA.MB = (MI + IA)(MI + IB)= (MI + IA)(MI - IA) uuur 2 uur 2 AB 2 = MI - IA = MI 2 - IA2 = MI 2 - . 4 AB 2 AB 2 82 Theo giả thiết, ta có MI 2 - = - 16 Û MI 2 = - 16 = - 16 = 0 ¾ ¾® M º I. 4 4 4 Chọn A. Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ) thì æx + x y + y ö Trung điểm I của đoạn AB ¾ ¾® I ç A B ; A B ÷. èç 2 2 ø÷ æx + x + x y + y + y ö Trọng tâm G : ¾ ¾® Gç A B C ; A B C ÷. èç 3 3 ø÷ uuur uuur ì ï HA.BC = 0 Trực tâm H ¾ ¾® íï uuur uur . ï îï HB.CA = 0 ïì AE 2 = BE 2 ¾ ¾® = = Û ï Tâm đường tròn ngoại tiếp E EA EB EC í 2 2 . îï AE = CE uuur uuur ì ï AK.BC = 0 Chân đường cao K hạ từ đỉnh A ¾ ¾® íï uuur uuur . ï îï BK = kBC uuur AB uuur Chân đường phân giác trong góc A là điểm D ¾ ¾® DB = - .DC. AC Chu vi: P = AB + BC + CA . 1 1 Diện tích: S = AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A . 2 2
  33. uuur uuur Góc A : cos A = cos(AB, AC ). uuur uuur ïì AB.AC = 0 Tam giác ABC vuông cân tại A ¾ ¾® íï . ï îï AB = AC Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;- 1), B(2;10), C (- 4;2). Tính tích uuur uuur vô hướng AB.AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40. C. AB.AC = 26. D. AB.AC = - 26. uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (- 1;11), AC = (- 7;3). uuur uuur Suy ra AB.AC = (- 1).(- 7)+ 11.3 = 40. Chọn A. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;- 1) và B(2;10). Tính tích vô uuur uur hướng AO.OB. uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur A. AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0. C. AO.OB = 4. D. AO.OB = 16. uuur uur Lời giải. Ta có AO = (- 3;1), OB = (2;10). uuur uur Suy ra AO.OB = - 3.2 + 1.10 = 4. Chọn C. r r r r r r Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j. Tính tích r r vô hướng a.b. r r r r r r r r A. a.b = - 30. B. a.b = 3. C. a.b = 30. D. a.b = 43. r r Lời giải. Từ giả thiết suy ra a = (4;6) và b = (3;- 7). r r Suy ra a.b = 4.3+ 6.(- 7)= - 30. Chọn A. r r Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 3;2) và b = (- 1;- 7). Tìm tọa r r r r r độ vectơ c biết c.a = 9 và c.b = - 20. r r r r A. c = (- 1;- 3). B. c = (- 1;3). C. c = (1;- 3). D. c = (1;3). r Lời giải. Gọi c = (x; y). r r ì ï c.a = 9 ïì - 3x + 2y = 9 ïì x = - 1 r Ta có íï r r Û íï Û íï ¾ ¾® c = (- 1;3). Chọn B. ï ï - x - 7y = - 20 ï y = 3 îï c.b = - 20 îï îï r r r Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3). r r r Tính P = a.(b + c). A. P = 0. B. P = 18. C. P = 20. D. P = 28. r r Lời giải. Ta có b + c = (6;6). r r r Suy ra P = a.(b + c)= 1.6 + 2.6 = 18. Chọn B. r r Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 1;1) và b = (2;0). Tính cosin r r của góc giữa hai vectơ a và b. r r 1 r r 2 A. cos(a,b)= . B. cos(a,b)= - . 2 2 r r 1 r r 1 C. cos(a,b)= - . D. cos(a,b)= . 2 2 2 r r r r a.b - 1.2 + 1.0 2 Lời giải. Ta có cos(a,b)= r r = = - . Chọn B. a . b (- 1)2 + 12 . 22 + 02 2 r r Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;- 1) và b = (4;- 3). Tính cosin r r của góc giữa hai vectơ a và b.
  34. r r 5 r r 2 5 A. cos a,b = - . B. cos a,b = . ( ) 5 ( ) 5 r r 3 r r 1 C. cos a,b = . D. cos a,b = . ( ) 2 ( ) 2 r r r r a.b - 2.4 + (- 1).(- 3) 5 Lời giải. Ta có cos(a,b)= r r = = - . Chọn A. a . b 4 + 1. 16 + 9 5 r r Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1;7). Tính góc a r r giữa hai vectơ a và b. A. a = 90O. B. a = 60O. C. a = 45O. D. a = 30O. r r r r a.b 4.1+ 3.7 2 r r Lời giải. Ta có cos(a,b)= r r = = ¾ ¾® (a,b)= 450. Chọn C. a . b 16 + 9. 1+ 49 2 ur ur Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2) và y = (- 3;- 1). Tính góc a ur ur giữa hai vectơ x và y. A. a = 45O. B. a = 60O. C. a = 90O. D. a = 135O. ur ur ur ur x.y 1.(- 3)+ 2.(- 1) 2 ur ur Lời giải. Ta có cos(x, y)= ur ur = = - ¾ ¾® (x, y)= 1350. Chọn D. x . y 1+ 4. 9 + 1 2 r r Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3;- 7). Tính góc a r r giữa hai vectơ a và b. A. a = 30O. B. a = 45O. C. a = 60O. D. a = 135O. r r r r a.b 2.3+ 5(- 7) 2 r r Lời giải. Ta có cos(a,b)= r r = = - ¾ ¾® (a,b)= 1350. Chọn D. a . b 4 + 25. 9 + 49 2 r Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3). Vectơ nào sau đây không r vuông góc với vectơ a ? ur ur ur uur A. v1 = (1;- 3). B. v2 = (2;- 6). C. v3 = (1;3). D. v4 = (- 1;3). r r Lời giải. Kiểm tra tích vô hướng a.v , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận r vectơ đó không vuông góc với a. Chọn C. Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;2), B(- 1;1) và C (5;- 1). Tính cosin uuur uuur của góc giữa hai vectơ AB và AC. uuur uuur 1 uuur uuur 3 A. cos AB, AC = - . B. cos AB, AC = . ( ) 2 ( ) 2 uuur uuur 2 uuur uuur 5 C. cos AB, AC = - . D. cos AB, AC = - . ( ) 5 ( ) 5 uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (- 2;- 1) và AC = (4;- 3). uuur uuur uuur uuur AB.AC - 2.4 + (- 1).(- 3) 5 Suy ra cos(AB, AC )= uuur uuur = = - . Chọn D. AB . AC 4 + 1. 16 + 9 5 Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0), B(3;1) và C (- 1;- 1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. 15O. B. 60O. C. 120O. D. 135O. uuur uuur Lời giải. Ta có BA = (3;- 1) và BC = (- 4;- 2). uuur uuur uuur uuur BA.BC 3.(- 4)+ (- 1).(- 2) 2 uuur uuur Suy ra cos(BA,BC )= uuur uuur = = - ¾ ¾® Bµ= (BA,BC )= 135O. BA . BC 9 + 1. 16 + 4 2
  35. Chọn D. Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 8;0), B(0;4), C (2;0) và D(- 3;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai góc B·AD và B·CD phụ nhau.B. Góc B·CD là góc nhọn. uuur uuur uur uuur C. cos(AB, AD)= cos(CB,CD). D. Hai góc B·AD và B·CD bù nhau. uuur uuur uur uuur Lời giải. Ta có AB = (8;4), AD = (5;- 5), CB = (- 2;4), CD = (- 5;5). ïì uuur uuur 8.5+ 4.(- 5) 1 ï cos AB, AD = = ï ( ) 2 2 2 2 ï 8 + 4 . 5 + 5 10 Suy ra íï ï uur uuur (- 2).(- 5)+ 4.(- 5) 1 ï cos CB,CD = = - ï ( ) 2 2 2 2 îï 2 + 4 . 5 + 5 10 uuur uuur uur uuur ¾ ¾® cos(AB, AD)+ cos(CB,CD)= 0 Þ B·AD + B·CD = 1800. Chọn D. r 1 r r r r r Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u vuông góc với v. A. k = 20. B. k = - 20. C. k = - 40. D. k = 40. r æ1 ö r Lời giải. Từ giả thiết suy ra u = ç ;- 5÷,v = (k;- 4). èç2 ø÷ r r 1 Yêu cầu bài toán: u ^ v Û k + (- 5)(- 4)= 0 Û k = - 40 . Chọn C. 2 r 1 r r r r r Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - 5 j và v = ki - 4 j. Tìm k để 2 r r vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau. 37 37 37 5 A. k = . B. k = . C. k = ± . D. k = . 4 2 2 8 r æ1 ö r Lời giải. Từ giả thiết suy ra u = ç ;- 5÷,v = (k;- 4). èç2 ø÷ r 1 1 r Suy ra u = + 25 = 101 và v = k 2 + 16 . 4 2 r r 1 101 37 37 Do đó để u = v Û k 2 + 16 = 101 Û k 2 + 16 = Û k 2 = Û k = ± . Chọn C. 2 4 4 2 r r r r r Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (- 2;3), b = (4;1) và c = ka + mb với r r r k, m Î ¡ . Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ (a + b). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2k = 2m. B. 3k = 2m. C. 2k + 3m = 0. D. 3k + 2m = 0. r r r ì ï c = ka + mb = (- 2k + 4m;3k + m) Lời giải. Ta có íï r r . ï îï a + b = (2;4) r r r r r r Để c ^ (a + b)Û c (a + b)= 0 Û 2(- 2k + 4m)+ 4(3k + m)= 0 Û 2k + 3m = 0. Chọn C. r r ur Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (- 2;3) và b = (4;1). Tìm vectơ d r ur r ur biết a.d = 4 và b.d = - 2 . ur æ5 6ö ur æ 5 6ö ur æ5 6ö ur æ 5 6ö A. d = ç ; ÷. B. d = ç- ; ÷. C. d = ç ;- ÷. D. d = ç- ;- ÷. èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ èç7 7ø÷ èç 7 7ø÷ ïì 5 ï x = - ur ïì - 2x + 3y = 4 ï 7 Lời giải. Gọi d = (x; y). Từ giả thiết, ta có hệ íï Û íï . Chọn B. ï 4x + y = - 2 ï 6 îï ï y = îï 7
  36. r r r r r Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = (4;1), v = (1;4) và a = u + m.v với r m Î ¡ . Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. m = 4. B. m = - 4. C. m = - 2. D. m = 2. r r r Lời giải. Ta có a = u + m.v = (4 + m;1+ 4m). r Trục hoành có vectơ đơn vị là i = (1;0). r r r Vectơ a vuông góc với trục hoành Û a.i = 0 Û 4 + m = 0 Û m = - 4. Chọn B. r r Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (4;1) và v = (1;4). Tìm m để r r r r r r vectơ a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450. 1 1 1 A. m = 4. B. m = - . C. m = - . D. m = . 2 4 2 r r r ì ï a = m.u + v = (4m + 1;m + 4) Lời giải. Ta có íï r r r . ï îï b = i + j = (1;1) r r 2 Yêu cầu bài toán Û cos a,b = cos 450 = ( ) 2 (4m + 1)+ (m + 4) 2 5(m + 1) 2 Û = Û = 2 2 2 2 (4m + 1) + (m + 4) 2 2 17m + 16m + 17 2 ì 2 ï m + 1³ 0 1 Û 5(m + 1)= 17m + 16m + 17 Û í 2 2 Û m = - . îï 25m + 50m + 25 = 17m + 16m + 17 4 Chọn C. Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1;- 2) và N (- 3;4). A. MN = 4. B. MN = 6. C. MN = 3 6. D. MN = 2 13. uuuur 2 Lời giải. Ta có MN = (- 4;6) suy ra MN = (- 4) + 62 = 42 = 2 13. Chọn D. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;4), B(3;2), C (5;4). Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2. C. P = 8 + 8 2. D. P = 2 + 2 2. uuur ì ïì 2 2 ï AB = (2;- 2) ï AB = 2 + (- 2) = 2 2 ï uuur ï ï 2 2 Lời giải. Ta có í BC = (2;2) Þ ïí BC = 2 + 2 = 2 2 ï uur ï ï ï 2 2 ï CA = (- 4;0) ï CA = (- 4) + 0 = 4 î îï Vậy chu vi P của tam giác ABC là P = AB + BC + CA = 4 + 4 2. Chọn B. r r r 3 r 4 r r Câu 53. Trong hệ tọa độ (O;i ; j ), cho vectơ a = - i - j . Độ dài của vectơ a bằng 5 5 1 6 7 A. . B. 1. C. . D. . 5 5 5 r 3 r 4 r r æ 3 4ö r æ 3ö2 æ 4ö2 Lời giải. Ta có a = - i - j ¾ ¾® a = ç- ;- ÷Þ a = ç- ÷ + ç- ÷ = 1. Chọn B. 5 5 èç 5 5ø÷ èç 5ø÷ èç 5ø÷ r r Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = (3;4) và v = (- 8;6). Khẳng định nào sau đây đúng?
  37. r r r r A. u = v . B. u và v cùng phương. r r r r C. u vuông góc với v . D. u = - v. r r r r Lời giải. Ta có u.v = 3.(- 8)+ 4.6 = 0 suy ra u vuông góc với v . Chọn C. æ 3ö Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;2), B(- 2;- 4), C (0;1) và Dç- 1; ÷. èç 2ø÷ Mệnh đề nào sau đây đúng ? uuur uuur uuur uuur A. AB cùng phương với CD. B. AB = CD . uuur uuur uuur uuur C. AB ^ CD. D. AB = CD. uuur uuur æ 1ö uuur uuur 1 Lời giải. Ta có AB = (- 3;- 6) và CD = ç- 1; ÷ suy ra AB.CD = (- 3).(- 1)+ (- 6). = 0. èç 2ø÷ 2 uuur uuur Vậy AB vuông góc với CD. Chọn C. Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(7;- 3), B(8;4), C (1;5) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uur A. AC ^ CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. uuur ì 2 2 ï AB = (1;7)Þ AB = 1 + 7 = 5 2 ï uuur ï ï BC = (- 7;1)Þ BC = 5 2 Lời giải. Ta có í uuur ¾ ¾® AB = BC = CD = DA = 5 2. ï ï CD = (- 1;- 7)Þ CD = 5 2 ï uuur ï îï DA = (7;- 1)Þ DA = 5 2 uuur uuur Lại có AB.BC = 1(- 7)+ 7.1 = 0 nên AB ^ BC . Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Chọn C. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1), B(0;2), C (3;1) và D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. uuur ì ï AB = (1;1) uuur uuur Lời giải. Ta có íï uuur ¾ ¾® DC = 3AB . ï îï DC = (3;3) Suy ra DC PAB và DC = 3AB. (1) ì 2 2 ï AD = 1 + 3 = 10 Mặt khác íï ¾ ¾® AD = BC. (2) ï 2 2 îï BC = 3 + 1 = 10 Từ (1) và (2), suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Chọn C. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1;1), B(1;3) và C (1;- 1). Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại A .
  38. uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (2;2), BC = (0;- 4) và AC = (2;- 2). ì ï AB = AC = 2 2 Suy ra í . Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn D. ï 2 2 2 îï AB + AC = BC Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(10;5), B(3;2) và C (6;- 5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù. uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (- 7;- 3), BC = (3;- 7) và AC = (- 4;- 10). uuur uuur Suy ra AB.BC = (- 7).3+ (- 3).(- 7)= 0 và AB = BC. Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Chọn C. Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2;- 1), B(1;- 1) và C (- 2;2). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại C . uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (3;0), BC = (- 3;3) và AC = (0;3). ïì AB = AC = 3 Do đó íï Þ AB 2 + AC 2 = BC 2 . Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. ï îï BC = 3 2 Chọn B. Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(- 2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C (6;0). B. C (0;0), C (6;0). C. C (0;0). D. C (- 1;0). uur ïì ï CA = (- 2- c;4) Lời giải. Ta có C Î Ox nên C (c;0) và í uur . ï îï CB = (8- c;4) uur uur Tam giác ABC vuông tại C nên CA.CB = 0 Û (- 2- c).(8- c)+ 4.4 = 0 éc = 6 ® C (6;0) 2 ê Û c - 6c = 0 Û ê . Chọn B. ëêc = 0 ® C (0;0) Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(- 3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. A. C (0;6). B. C (5;0). C. C (3;1). D. C (0;- 6). uuur ì ï AB = (- 4;- 1) Lời giải. Ta có C Î Oy nên C (0;c) và íï uuur . ï îï AC = (- 1;c - 2) uuur uuur Tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC = 0 Û (- 4).(- 1)+ (- 1)(c - 2)= 0 Û c = 6. Vậy C (0;6). Chọn A.
  39. Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–4;0), B(–5;0) và C (3;0). Tìm điểm uuur uuur uuur r M thuộc trục hoành sao cho MA + MB + MC = 0. A. M (–2;0). B. M (2;0). C. M (–4;0). D. M (–5;0). Lời giải. uuur ïì MA = (- 4 - x;0) ï ï uuur uuur uuur uuur Ta có M Î Ox nên M (x;0) và í MB = (- 5- x;0) ¾ ¾® MA + MB + MC = (- 6- 3x;0). ï uuur ï MC = (3- x;0) îï uuur uuur uuur r Do MA + MB + MC = 0 nên- 6- 3x = 0 Û x = - 2 ¾ ¾® M (- 2;0). Chọn A. Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (–2;2) và N (1;1). Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M , N, P thẳng hàng. A. P (0;4). B. P (0;–4). C. P (–4;0). D. P (4;0). uuur ì ï MP = (x + 2;- 2) Lời giải. Ta có P Î Ox nên P (x;0) và íï uuuur . ï îï MN = (3;- 1) x + 2 - 2 Do M , N, P thẳng hàng nên = Û x = 4 ¾ ¾® P (4;0). Chọn D. 3 - 1 Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N (- 1;4) bằng 2 5. A. M (1;0). B. M (1;0), M (- 3;0). C. M (3;0). D. M (1;0), M (3;0). uuuur Lời giải. Ta có M Î Ox nên M (m;0) và MN = (- 1- m;4). uuuur 2 Theo giả thiết: MN = 2 5 Û MN = 2 5 Û (- 1- m) + 42 = 2 5 ém = 1 ¾ ¾® M (1;0) 2 2 ê Û (1+ m) + 16 = 20 Û m + 2m - 3 = 0 Û ê . Chọn B. ëêm = - 3 ¾ ¾® M (- 3;0) Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B. æ 5 ö æ5 ö æ 3 ö æ3 ö A. C ç- ;0÷. B. C ç ;0÷. C. C ç- ;0÷. D. C ç ;0÷. èç 3 ø÷ èç3 ÷ø èç 5 ø÷ èç5 ø÷ uuur ì ï AC = (x - 1;- 3) Lời giải. Ta có C Î Ox nên C (x;0) và íï uuur . ï îï BC = (x - 4;- 2) 2 2 2 2 2 2 5 æ5 ö Do CA = CB Û CA = CB Û (x - 1) + (- 3) = (x - 4) + (- 2) Û x = ¾ ¾® C ç ;0÷. 3 èç3 ÷ø Chọn B. Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2), B(5;- 2). Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho A·MB = 900 ? A. M (0;1). B. M (6;0). C. M (1;6). D. M (0;6). uuuur ì ï AM = (m - 2;- 2) Lời giải. Ta có M Î Ox nên M (m;0) và íï uuur . ï îï BM = (m - 5;2) uuuur uuur Vì A·MB = 900 suy ra AM.BM = 0 nên (m - 2)(m - 5)+ (- 2).2 = 0.
  40. ém = 1 éM (1;0) Û m2 - 7m + 6 = 0 Û ê ¾ ¾® ê . ê ê Chọn B. ëm = 6 ëêM (6;0) Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;- 1) và B(3;2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. æ 1ö æ 1ö A. M (0;1). B. M (0;- 1). C. M ç0; ÷. D. M ç0;- ÷. èç 2ø÷ èç 2ø÷ uuur ì ï MA = (1;- 1- m) Lời giải. Ta có M Î Oy nên M (0;m) và íï uuur . ï îï MB = (3;2- m) uuur 2 uuur 2 2 2 Khi đó MA2 + MB 2 = MA + MB = 12 + (- 1- m) + 32 + (2- m) = 2m2 - 2m + 15. æ 1ö2 29 29 = 2çm - ÷ + ³ ; " m Î ¡ . èç 2ø÷ 2 2 29 Suy ra {MA2 + MB 2 } = . min 2 1 æ 1ö Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = ¾ ¾® M ç0; ÷. Chọn C. 2 èç 2÷ø Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(- 2;0), B(2;5), C (6;2). Tìm tọa độ điểm D. A. D(2;- 3). B. D(2;3). C. D(- 2;- 3). D. D(- 2;3). uuur uuur Lời giải. Gọi D(x; y). Ta có AD = (x + 2; y) và BC = (4;- 3). uuur uuur ïì x + 2 = 4 ïì x = 2 Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC ¾ ¾® íï Û íï ¾ ¾® D(2;- 3). îï y = - 3 îï y = - 3 Chọn A. Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(- 2;4), C (5;3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. æ 10ö æ8 10ö æ4 10ö A. Gç2; ÷. B. Gç ;- ÷. C. G(2;5). D. Gç ; ÷. èç 3 ø÷ èç3 3 ø÷ èç3 3 ø÷ ì ï 1- 2 + 5 4 ï xG = = ï 3 3 Lời giải. Tọa độ trọng tâm G(x ; y ) là íï . Chọn D. G G ï 3+ 4 + 3 10 ï y = = îï G 3 3 Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 4;1), B(2;4), C (2;- 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. æ1 ö æ 1 ö æ 1ö æ 1ö A. I ç ;1÷. B. I ç- ;1÷. C. I ç1; ÷. D. I ç1;- ÷. èç4 ø÷ èç 4 ø÷ èç 4ø÷ èç 4ø÷ uur ïì AI = (x + 4; y - 1) ï ï uur Lời giải. Gọi I (x; y). Ta có í BI = (x - 2; y - 4). ï uur ï CI = (x - 2; y + 2) îï ïì IA2 = IB 2 = = Û ï Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA IB IC í 2 2 îï IB = IC ì 2 2 2 2 2 2 ïì 1 ï (x + 4) + (y - 1) = (x - 2) + (y - 4) ïì (x + 4) = (x - 2) + 9 ï x = - Û ï Û ï Û ï í 2 2 2 2 í í 4 . Chọn B. ï (x - 2) + (y - 4) = (x - 2) + (y + 2) ï y = 1 ï îï î îï y = 1
  41. Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3;0), B(3;0) và C (2;6). Gọi H (a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b. A. a + 6b = 5. B. a + 6b = 6. C. a + 6b = 7. D. a + 6b = 8. uuur uuur ì ï AH = (a + 3;b) & BC = (- 1;6) Lời giải. Ta có íï uuur uuur . ï îï BH = (a - 3;b) & AC = (5;6) uuur uuur ïì ïì a = 2 ï AH.BC = 0 ïì (a + 3).(- 1)+ b.6 = 0 ï Từ giả thiết, ta có íï uuur uuur Û íï Û í ¾ ¾® a + 6b = 7. ï ï ï 5 ï BH.AC = 0 îï (a - 3).5+ b.6 = 0 ï b = îï îï 6 Chọn C. Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7) và C (- 3;- 8). Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC. A. A'(1;- 4). B. A'(- 1;4). C. A'(1;4). D. A'(4;1). uuur ïì AA' = (x - 4; y - 3) ï ï uuur Lời giải. Gọi A'(x; y). Ta có í BC = (- 5;- 15) . ï uuur ï BA' = (x - 2; y - 7) îï uuur uuur ì ïì AA' ^ BC ï AA'.BC = 0 (1) Từ giả thiết, ta có íï Û íï uuur uuur . ï B, A', C thang hang ï îï îï BA' = kBC (2) · (1)Û - 5(x - 4)- 15(y - 3)= 0 Û x + 3y = 13. x - 2 y - 7 · (2)Û = Û 3x - y = - 1. - 5 - 15 ïì x + 3y = 13 ïì x = 1 Giải hệ íï Û íï ¾ ¾® A'(1;4). Chọn C. îï 3x - y = - 1 îï y = 4 Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(- 3;1), C (3;- 1). Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. æ3 1ö æ 3 1ö æ 3 1ö æ3 1ö A. A'ç ; ÷. B. A'ç- ;- ÷. C. A'ç- ; ÷. D. A'ç ;- ÷. èç5 5ø÷ èç 5 5÷ø èç 5 5ø÷ èç5 5ø÷ uuur ïì AA' = (x - 2; y - 4) ï ï uuur Lời giải. Gọi A'(x; y). Ta có í BC = (6;- 2) . ï uuur ï BA' = (x + 3; y - 1) îï ïì AA' ^ BC Vì A' là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên íï îï B, C, A' thang hang ì ì uuur uuur ì ï ï 3 ïì ï (x - 2).6 + (y - 4).(- 2)= 0 ï ï x = ï AA'.BC = 0 ï ï 6x - 2y = 4 ï 5 Û í uuur uuur Û í x + 3 y - 1 Û í Û í . Chọn D. ï BA' = kBC ï = ï - 2x - 6y = 0 ï 1 îï îï 6 - 2 ï ï y = - îï îï 5 Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(- 3;- 2), B(3;6) và C (11;0). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. D(5;- 8). B. D(8;5). C. D(- 5;8). D. D(- 8;5). uuur uuur Lời giải. Dễ dàng kiểm tra BA.BC = 0 ¾ ¾® A·BC = 900. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC ¾ ¾® I (4;- 1).
  42. ïì x + 3 ï = 4 ï 2 ïì x = 5 Gọi D(x; y), do I cũng là trung điểm của BD ¾ ¾® íï Û íï Þ D(5;- 8). ï y + 6 ï y = - 8 ï = - 1 îï îï 2 Chọn A. Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4) và B(1;1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. A. C (4;0). B. C (- 2;2). C. C (4;0), C (- 2;2). D. C (2;0). uuur ì ï BA = (1;3) Lời giải. Gọi C (x; y). Ta có íï uuur . ï îï BC = (x - 1; y - 1) uuur uuur ïì BA.BC = 0 Tam giác ABC vuông cân tại B Û íï ï îï BA = BC ì ï 1.(x - 1)+ 3.(y - 1)= 0 ïì x = 4 - 3y ïì y = 0 ïì y = 2 Û íï Û íï Û íï hay íï . Chọn C. ï 2 2 2 2 ï 10y2 - 20y = 0 ï x = 4 ï x = - 2 îï 1 + 3 = (x - 1) + (y - 1) ïî ïî îï Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;- 1) và B(3;0). Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. A. D(0;- 1). B. D(2;- 3). C. D(2;- 3), D(0;1). D. D(- 2;- 3). uuur ì ï AB = (2;1) Lời giải. Gọi C = (x; y). Ta có íï uuur . ï îï BC = (x - 3; y) uuur uuur ïì AB ^ BC Vì ABCD là hình vuông nên ta có íï ï îï AB = BC ì ì ì ï 2(x - 3)+ 1.y = 0 ï y = 2(3- x) ï y = 2(3- x) ïì x = 4 ïì x = 2 Û íï Û íï Û íï Û íï hoặc íï . ï 2 2 ï 2 ï 2 ï y = - 2 ï y = 2 îï (x - 3) + y = 5 îï 5(x - 3) = 5 îï (x - 3) = 1 îï îï Với C1 (4;- 2) ta tính được đỉnh D1 (2;- 3): thỏa mãn. Với C2 (2;2) ta tính được đỉnh D2 (0;1): không thỏa mãn. Chọn B. Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1;2), B(- 1;3), C (- 2;- 1) và D(0;- 2). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật. C. ABCD là hình thoi.D. ABCD là hình bình hành. uuur ì ï AB = (- 2;1) uuur uuur ï uuur ïì ï ï AB = DC Lời giải. Ta có í BC = (- 1;- 4)¾ ¾® í uuur uuur ¾ ¾® ABCD là hình hình hành. ï ï ï uuur îï AB.BC = - 2 ¹ 0 ï DC = (- 2;1) îï Chọn D. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB. æ5 5ö æ3 1ö A. E = ç ; ÷. B. E = ç ;- ÷. èç2 2ø÷ èç2 2÷ø C. E = (- 2 + 3 2;4 + 2). D. E = (- 2 + 3 2;4 - 2). EA OA 2 Lời giải. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có = = . EB OB 2
  43. uuur 2 uuur Vì E nằm giữa hai điểm A, B nên EA = - EB. (*) 2 uuur ì ï EA = (1- x;3- y) Gọi E (x; y). Ta có íï uuur . ï îï EB = (4 - x;2- y) ì ï 2 ï 1- x = - (4 - x) ì ï 2 ï x = - 2 + 3 2 Từ (*), suy ra í Û íï . Chọn D. ï ï ï 2 îï y = 4 - 2 ï 3- y = - (2- y) îï 2 Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;0), B(0;2) và C (0;7). Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D(7;0). B. D(7;0), D(2;9). C. D(0;7), D(9;2). D. D(9;2). Lời giải. Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi D(x; y). ïì AB P CD uuur uuur Trường hợp 1: íï Û CD = k AB (với k ¹ - 1 ) îï AB ¹ CD ïì x = - 2k Û (x - 0; y - 7)= (- 2k;2k)Û íï . (1) îï y = 2k + 7 ì uuur 2 ï = - 2; Þ = - 2 + 2 ï AD (x y) AD (x ) y 2 2 Ta có í uuur ¾ ¾® AD = BC Û (x - 2) + y = 25. (2) ï îï BC = (0;5)Þ BC = 5 ék = - 1(loaïi) 2 2 ê Từ (1) và (2), ta có (- 2k - 2) + (2k + 7) = 25 Û ê 7 ¾ ¾® D(7;0). êk = - ëê 2 ïì AD P BC Trường hợp 2: íï . Làm tương tự ta được D = (2;9). îï AD ¹ BC Vậy D(7;0) hoặc D(2;9). Chọn B.