Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 7 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 7 - Ngô Tùng Hiếu

1. NHÓM 4 : DÃY SỐ - GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ (TÁCH TỪ ĐỀ THI) II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN 1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài 1. Cho dãy số xn được xác định bởi : x4 1 và xn 1 xn 1 n 2 2 n 3 3 n 4  n 2 1, với mọi n 4. x Tính giới hạn lim n . n n4 Hướng dẫn giải Ta có: 1 n 2 2 n 3 3 n 4 n 2 .1 n 1 1 2 n 1 2 3 n 1 3 n 2 n 1 n 2 n 1 1 2 3 n 2 12 22 32 n 2 2 n 2 n 1 n 2 n 1 2m 3 n n 1 n 2 = n 1 . 2 6 6 n n 1 n 2 Do đó ta suy ra : x x x C3 * n 1 n 6 n n 4 4 Ta chứng minh xn Cn . Thật vậy với n 4 , ta có x4 1 C4 4 Giả sử với n 4 ta có : xn Cn 4 3 4 3 4 Ta có : xn 1 xn Cn theo (*) hay xn 1 xn Cn Cn Cn Cn trong x n! 1 lim n lim . n n4 n 4! n 4 !n4 6 1 Bài 2. Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f 3x f f 2x 2x với mọi x 0 . 2 Chứng minh rằng f x x với mọi x 0 . Hướng dẫn giải 1 Ta có: f (3x) f f (2x) 2x (1) 2 1 2x 2x 2x Từ (1) suy ra f (x) f f f (x) , x 0 (2) 2 3 3 3 1 2x 2x 2 1 2x 2x 1 2x 2x 4 2 Khi đó f (x) f f . f f x 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3 2 1 2 Xét dãy (a ) , n 1,2, được xác định như sau: a và a a2 . n 1 3 n 1 3 n 3 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ¥ * luôn có f (x) an x với x 0 (3) Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3)
2. Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x f (x) f f a . f a .a . 2 3 3 2 k 3 3 2 k k 3 3 a2 2 k .x a .x 3 k 1 Vậy (3) đúng với n k 1. * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1. Thật vậy, ta thấy ngay an 1 n ¥ . Do đó: 1 a a (a 1)(a 2) 0 , suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 n 3 n n n 1 2 Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a l thì l l 2 với l 1, suy ra l 1. Vậy n n 3 3 lim an 1. Do đó từ (3) suy ra f (x) x với mỗi x 0 (đpcm). Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây 1. f x y f x f y với mọi x, y ¡ . 2. f x ex 1 với mỗi x ¡ . Hướng dẫn giải f x 0 f x f 0 f 0 0 và bởi vì f 0 e0 1 0 cho nên f 0 0 f x x f x f x f x f x 0 1 x x x f x f f 2 e 2 1 2 2 x x x x f x 2 e 2 1 f x f f 4 e 4 1 2 2 x Dùng quy nạp theo ta CM được n 2n n 1,2, f x 2 e 1 x0 Cố định x ¡ ta có f x 2n e 2n 1 0 0 x0 Xét dãy a 2n e 2n 1 ta có: n
3. x0 e 2n 1 lim a lim .x x n x 0 0 0 2n Vậy f x0 x0 x0 ¡ 2 Vậy f x f x x x 0 3 Kết hợp (1) và (3) ta được f x f x 0 Từ (2) f x x f x x 4 . Kết hợp (2) và (4) ta được f x xx ¡ . Thử lại f x x ta thấy đúng. Vậy f x f x x x 0 3 Kết hợp (1) và (3) ta được f x f x 0 Từ (2) f x x f x x 4 . Kết hợp (2) và (4) ta được f x xx ¡ . Thử lại f x x ta thấy đúng. 1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI 2015 x1 2016 Bài 4. Cho dãy số xác định bởi 2 . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu xn xn 1 xn ,n 1 n hạn. Hướng dẫn giải Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có xn 0 n 1 và dãy số đã cho là dãy tăng. Ta có : 2 x2 x1 x1 2x1; x2 x x 2 2x x2 3x ; 3 2 4 1 1 1 x2 Giả sử x kx với k 1. Ta có: x x k kx x2 (k 1)x k 1 k 1 k k 2 1 1 1 Theo nguyên lý quy nạp ta có xn nx1 n 1.
4. Ta có : xm m 1 m 2017 thật vậy : 1 1 mx m 1 m 1 x 1 m m m 2016 ; 1 1 1 x 2015 1 1 2016 Do đó xm mx1 m 1. 2 xn 2 1 1 xn 1 xn n xn 1 1 1 1 Ta có với n 2 thì 2 2 xn xn 1 xn xn 1 xn xn 1 n xn 1 n n(n 1) n 1 n 1 1 n 2018 1 1 n 2018 1 1 1 1 1 Do đó n 2018 thì   x2017 xn i 0 x2017 i x2018 i i 0 2016 i 2017 i 2016 n 1 2016 1 1 1 2016x2017 Suy ra 0 xn xn x2017 2016 2016 x2017 Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. u 1;u 2 1 2 Bài 5. Cho dãy số (un ) xác định như sau 3 1 u u u n 2 n 1 2 n 2 n 1 a) Xác định số hạng tổng quát un b) Tính limun n Hướng dẫn giải 1 1 Biến đổi ta được:u u u u với v u u khi đó: v v , n 2 n 1 n 2 n n 1 n 1 n 1 n n 1 2 n 1 nghĩa là dãy v ,v , v , là một cấp số cộng của v 1; q 2 3 n 2 2 vn un un 1  vn 1 un 1 un 2  un u1 v2 v3 vn v2 u2 u1  n 2 n 2 1 1 1 u 1 1 3 n 2 2 2 n 2 1 lim un lim 3 3 x x 2
5. Bài 6. Cho dãy số un được xác định như sau 2 u1 2011;un 1 n un 1 un , * với mọi n ¥ ,n 2 . Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi của dãy ta được 1 1 1 1 1 1 u 1 u 1 1 u 1 1 1 u n 2 n 1 2 2 n 2 2 2 2 1 n n n 1 n n 1 2 n 1 n 1 n 2 n 4.2 3.1 n 1 2011 Do đó un . . .2011 .2011. Từ đó limun . n2 n 1 2 32 22 2n 2 4 2 un 2013 * Bài 7. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014,un 1 3 ,n ¥ un un 4026 n 1 v , n * Đặt n  3  ¥ . Tính limvn . k 1 uk 2013 Hướng dẫn giải 4 2 un 2013 * Cho dãy số un xác định bởi u1 2014,un 1 3 ,n ¥ un un 4026 n 1 v , n * Đặt n  3  ¥ . Tính limvn . k 1 uk 2013 4 2 3 u 2013 un 2013 un 2013 Ta có u 2013 n 2013 n 1 3 2 un un 4026 un un 1 4026 * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un 2013,n ¥ . 3 un 2013 un 2013 u 2013 1 n 1 3 un 2013 un 2013 1 1 1 1 1 1 Từ 1 suy ra 3 3 un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 1 1 Do đó vn  1 k 1 uk 2013 uk 1 2013 u1 2013 un 1 2013 un 1 2013 Ta chứng minh limun . 2 2 2 un 4026un 2013 un 2013 * Thật vậy, ta có un 1 un 3 3 0,n ¥ un un 4026 un un 4026 Suy ra un là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2
6. Giả sử ngược lại un bị chặn trên và un là dãy tăng nên limun a thì a 2014 . Khi đó a4 20132 a a 2013 2014 (vô lý). Suy ra u không bị chặn trên, do đó limu a3 a 4026 n n 1 Vậy limvn lim 1 1. uk 1 2013 1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 1.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5. DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC 1.7. CÁC DẠNG KHÁC 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP Bài 8. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây: 1. f x y f (x) f (y) với mọi x, y ¡ . 2. f (x) ex 1 với mỗi x ¡ . Hướng dẫn giải f x 0 f (x) f (0) f (0) 0 và bởi vì f (0) e0 1 0 nên f (0) 0 f (x ( x)) f (x) f ( x) f (x) f ( x) 0 (1) x x x f (x) f f 2 e 2 1 2 2 x x x x f (x) 2 e 2 1 f (x) f f 4 e 4 1 2 2 x Dùng quy nạp theo ta CM được 2n n 1,2, f (x) 2 e 1 x0 Cố định x ¡ ta có f (x ) 2n e 2n 1 0 0
7. x0 x0 2n n 2n e 1 Xét dãy an 2 e 1 ta có : lim an lim x0 x0 . x0 2n Vậy f (x0 ) x0 ,x0 ¡ (2) Vậy f (x) f ( x) x ( x) 0 (3) Kết hợp ( 1) và (3) ta được f (x) f ( x) 0 Từ (2) f ( x) x f (x) x (4) . Kết hợp ( 2) và (4) ta được f (x) x,x ¡ . Thử lại f (x) x ta thấy đúng. 3.3. CÁC DẠNG KHÁC 4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 1 6x 3 1 9x Bài 9. Tính giới hạn lim x 0 x2 Hướng dẫn giải 1 6x (1 3x) (1 3x) 3 1 9x lim lim x 0 x2 x 0 x2 9 27 27x 9 27 lim lim 9 x 0 1 6x 1 3x x 0 (1 3x)2 (1 3x) 3 1 3x 3 (1 3x)2 2 2 Bài 10. Tính giới hạn: x 2x 1 3 3x 2 2 A lim x 1 x2 1 Hướng dẫn giải x 2x 1 3 3x 2 2 x 2x 1 1 3 3x 2 1 Ta có lim lim x 1 x2 1 x 1 x2 1 x 2x 1 1 3 3x 2 1 lim 2 2 x 1 x 1 x 1
8. 2x3 x2 1 3x 3 lim x 1 2 x 1 x 2x 1 1 x2 1 3 3x 2 2 3 3x 2 1 2x2 x 1 3 lim x 1 x 1 x 2x 1 1 x 1 3 3x 2 2 3 3x 2 1 4 3 3 4 6 2 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4. CÁC DẠNG KHÁC HẾT