Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 4 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 4 - Ngô Tùng Hiếu

1. II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN ( NẾU CẦN BỔ XUNG MỜI CÁC THẦY CÔ CHO Ý KIẾN ) 1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP 1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI u1 2 Câu 1: Cho dãy số (un ) biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy. un 3un 1 1,n 2 Hướng dẫn giải 1 3 1 1 u 3u 1 u 3u u 3(u )(1) n n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 1 2 1 1 5 Ñaët v u v u n n 2 1 1 2 2 (1) vn 3vn 1,n 2 Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q 3. 5 Nên v v .qn 1 .3n 1 . n 1 2 1 5 1 Do đó u v 3n 1 ,n 1,2, n n 2 2 2 Câu 2: a) Tính giới hạn A lim 3 n3 n2 1 n . u1 11 b) Cho dãy số (un) xác định bởi : . Tìm công thức tính un 1 10un 1 9n,n ¥ un theo n . Hướng dẫn giải a) Tính giới hạn A lim 3 n3 n2 1 n n2 1 Ta có: A lim 3 n3 n2 1 n lim 2 3 n3 n2 1 n.3 n3 n2 1 n2 1 1 2 lim n 2 1 1 1 1 3 3 1 4 6 1 3 1 n n n n 1 Vậy A . 3 b) Ta có: u1 11 10 1 u2 10.11 1 9 102 100 2 u3 10.102 1 9.2 1003 1000 3 n Dự đoán: un 10 n 1 Chứng minh: 1 Ta có: u1 11 10 1, công thức (1) đúng với n 1
2. k Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: uk 10 k k k 1 Ta có: uk 1 10 10 k 1 9k 10 k 1 . Công thức (1) đúng với n k 1 n Vậy un 10 n, n N. 1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG un 1 Câu 3: Cho dãy số un xác định bởi u1 1, u2 2, un 2 un 2un 1, n 1. Tìm lim . n un Hướng dẫn giải Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức u u truy hồi của dãy ta có n 2 2 n ,n 1. un 1 un 1 un 1 1 Đặt vn ,n 1, ta được dãy số v1 2,vn 1 2 ,n 1. un vn Dễ thấy dãy vn là dãy số dương và vn 2, n 1. Do đó 1 1 1 5 5 5 2 vn 1 ,n 1. Vậy ta có 2 vn . vn 2 vn 2 2 2 1 5 1 Xét hàm số f x 2 , x 2; . Ta có f ' x 0,x. Do đó có hai dãy con đơn x 2 x2 điệu của dãy vn và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử a lim v2n và n b lim v2n 1 thì ta có hệ n 1 a 2 a b 1 2 b a b a b 1 2 1 ab 1 b 2 ab 1 a Ta thấy chỉ có a b 1 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm. u 4u2 4u 0,n 1 n 1 n n Câu 4: Tìm số các dãy số un thỏa mãn điều kiện: 1 . u2004 2 Hướng dẫn giải . Viết lại un 1 4un 1– un f un với f x 4x 1– x Nhận xét: f x 0;1 x 0;1 . 1 Vì vậy: u 0;1 u 0;1 u 0;1 u 0;1 . 2004 2 2003 2002 1
3. . Với 0 u 1 tồn tại duy nhất : 0 a và u sin2a . 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Lúc đó: u2 4sin a(1– sin a) sin 2a ; u3 4sin 2a(1– sin 2a) sin 4a . 1 1 Quy nạp ta được: u sin2 (2n 1 a) cos(2n ) . n 2 2 1 1 1 1 u cos(22004 ) 2004 2 2 2 2 cos(22004 ) 0 22004 k (2k 1),k Z. 2 22005 1 1 Vì 0 a nên 0 (2k 1) k 22003 2 22005 2 2 2 Do k Z nên: k 0;1;2; ;22003 –1. 2003 2 2003 Từ đó có tất cả 2 giá trị u1 thỏa bài toán: u1 sin (2k 1) ,k {0;1; ;2 1}. 22005 2003 Do đó có tất cả 2 dãy số un thỏa điều kiện đã cho. Câu 5: Cho x1, x2 , , xn , là các nghiệm dương của phương trình tan x x được sắp theo thứ tự tăng dần. Tính lim xn xn 1 . n Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) tan x x , với x k ; k . Ta có f '(x) 2 1 0 => f (x) 2 2 cos x tăng từ đến Suy ra: trong khoảng k ; k phương trình tan x x có nghiệm duy nhất xk 2 2 xk yk k với yk ; => tan yn tan xn yn n => lim yn 2 2 n 2 lim xn xn 1 = lim yn n yn 1 n 1 = lim yn yn 1 . n n n u1 2014 Câu 6: Cho dãy số (un ) xác định như sau: 2 2 . un 1 un (1 2a)un a n 1,2, Tìm điều kiện của a ¡ để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
4. 2 2 Giả sử tồn tại limun L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: L L2 (1 2a)L a2 L a * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k nên L a trái với kết quả limun L a . 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, nói riêng 2 2 u1 (1 2a)u1 a a a 1 u1 a a 1 2014 a từ đó ta được 2014 a 2015 . * Đảo lại: Nếu 2014 a 2015 a 1 u1 a 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a và u1 u2 a 1 u2 a . Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, (H/s trình bày ra) Như vậy dãy (un ) tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và limun a Câu 7: Cho hai dãy số an và bn được xác định như sau: 2an .bn a1 2,b1 1, an 1 ;bn 1 an 1.bn , n 1,2, an bn Chứng minh rằng an và bn có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng: n n 2 .sin n 2 .sin n a 2 .3 1 ;b 2 .3 (2) n n sin .cos sin 3 2n.3 3 Từ (1), (2) tồn tại lim an và lim bn n n 2n.sin 2n.3 3 2 3 Ngoài ra: lim an lim n n sin .cos sin 9 3 2n.3 3 2 3 limbn lim an .lim cos n n n 2n.3 9 2 3 Vậy hai dãy a , b  có cùng giới hạn chung là n n 9
5. 1 x 1 2 Câu 8: Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1) n 2 Thật vậy: n 1 đúng k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1: x k 2 k 2 2 2 xk 2 xk 2 2 xk 1 k 1 xk 2 k 1 = 2 xk k k 1 k k 2 k 1 k k 1 2 3 k 1 k k 1 1 k 1 k 2 2 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm) 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n 1 1 1 2 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 2 xn với mọi n 1 xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n 2 2 Vậy xn có giới hạn. 1.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5. DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC U1 3 Câu 9: Cho dãy số Un định bởi Un 2 1 * . Tính U2013 Un 1 ; n 1,2,3, 1 1 2 U n Hướng dẫn giải Tính đúng tan 2 1 8 2.tan 1 tan tan 2 8 tan 2 1 4 8 1 tan2 8 8 Un tan Từ * ta viết được U 8 1 n 1 1 U .tan n 8
6. Theo quy nạp từ 1 và U1 3 Un tan n 1 . 3 8 6047 Vậy U2013 tan 2013. tan 3 8 24 1.7. CÁC DẠNG KHÁC x1 1 Câu 10: Cho dãy số thực xn được xác định như sau: 1 x x ,n 1 n 1 n 2xn Chứng minh rằng: 25x625  625 ( kí hiệu x là phần nguyên của số thực x ). Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta chứng minh rằng: n n x n H ,n 1, với H 1  n 8 n n 2 n 2 2 1 2 2 2 xn 1 xn 2 1, x1 1 quy nạp xn n .Với n 1 đúng giả sử đúng đến n . Tức là xn n . Từ 4xn đó suy ra 2 1 xn 1 n 1 2 n 1 nxn n 4xn 1 n 1 1 1 n 1 1 x2 x2 1  x2 n 1 n n n 1 2 1  2  4xn 1 k 1 4xk 4 k 1 k 2 1 1 1 n Hn n Hn nxn n Hn 4 8 n 8 Việc tiếp theo ta chứng minh H625 8. Ta có BĐT Hn 1 ln n thật vậy, 1 1 1 Xét hàm số f x ln x 1 ln x ln 1 x 0 x 1 x x 1 1 1 f x 0 ,x 0 hàm số f x giảm trên khoảng x x 1 x 1 2 1 0; f x 0,x 0 , ta suy ra ln x 1 ln x * áp dụng x 1 1 1 1  1 ln 2 ln1 ln 3 ln 2  ln 625 ln 624 1 ln 625 8 2 625 1 Từ đó: 625 625 x 625 H 626 25x  625 625 8 625 625 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 3 Câu 11: Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn ,n 1. y  Chứng minh rằng dãy số n  có giới hạn bằng 0 khi n . n  Hướng dẫn giải
7. Từ giả thiết ta có y3 y y3 ,n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì n 1 n n nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 y2 n 1 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0 n 1 n 1 n un (0;1) Câu 12: Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: n 1 un 1(1 un ) c đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có un 1 4cun ; n 1 4 1 un un (1 un ) n 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra un (4c) u1 . Do 4c 1 nên un khi n . Do đó, 1 c không thỏa mãn. 4 1 1 1 4c 1 1 4c a(1 b) c + Nếu 0 c , thì tồn tại a,b ; , a b sao cho . Thật 4 2 2 b(1 a) c 1 1 4c 1 1 4c vây, lấy a ; , đặt b a x (x 0) , thì 2 2 a(1 a) c a(1 b) c a(1 a x) c x . a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi a nêu n 2m un b nêu n 2m 1 1 thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 c cũng không thỏa mãn. n 4 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, 4 4(1 un ) 4un (1 un ) (un ) hội tụ. 1 1 1 Đặt x limu , thì từ giả thiết ta có x(1 x) hay x . Vậy limu . n 4 2 n 2
8. 1 x 1 2 Câu 13: Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1) n 2 Thật vậy: n 1 đúng k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1: x k 2 k 2 2 2 xk 2 xk 2 2 xk 1 k 1 xk 2 k 1 2 xk k k 1 k k 2 k 1 k k 1 2 3 k 1 k k 1 1 k 1 k 2 2 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm) 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n 1 1 1 2 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 2 xn với mọi n 1 xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n 2 2 Vậy xn có giới hạn. 4 2 un 2013 * Câu 14: Cho dãy số un xác định bởi u1 2014, un 1 3 ,n ¥ . un un 4026 n 1 Đặt v , n * . Tính lim v . n  3  ¥ n k 1 uk 2013 Hướng dẫn giải 4 2 3 un 2013 (un 2013)(un 2013) + Ta có un 1 2013 3 2013 3 (1) un un 4026 (un 2013) (un 2013) * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un 2013,n ¥ . 1 1 1 1 1 1 + Từ (1) suy ra 3 3 un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 1 1 Do đó vn  1 k 1 uk 2013 uk 1 2013 u1 2013 uk 1 2013 uk 1 2013 + Ta chứng minh limun .
9. 2 2 2 un 4026un 2013 (un 2013) * Thật vậy, ta có un 1 un 3 3 0,n ¥ un un 4026 un un 4026 Suy ra un là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 a4 20132 Giả sử u bị chặn trên và limu a thì a 2014 . Khi đó a n n a3 a 4026 a 2013 2014 ( vô lí). Suy ra un không bị chặn trên, do đó limun 1 Vậy limvn lim (1 ) 1. uk 1 2013 u 2013 2 1 un 1 Câu 15: Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 - Vì u 2013 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a Bằng quy nạp, ta chứng minh được 2n 1 un 1 a n , n ¥ a2 - Xét n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2 1.0  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 20132 4 1.0 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN x 2 1 Câu 16: Cho dãy số xn thỏa mãn x 2x 3x (n 1)x x 1 2 3 n 1 ,n 1,n . n 2 ¥ n(n 1) 3 Tìm limun với un (n 1) xn . Hướng dẫn giải 1 Ta có x . 2 3 Với n 3: x 2x 3x nx n3 x (1) 1 2 3 n n
10. 3 x1 2x2 3x3 (n 1)xn 1 (n 1) xn 1 (2) 3 3 Từ (1) và (2) ta có nxn n xn (n 1) xn 1 (n 1)3 x n 1 n Suy ra x n 1 ( )2. .x n n3 n n n 1 n 1 n 1 n 2 2 n n 1 3 x ( )2.( )2 ( )2. . x n n n 1 3 n 1 n 4 2 4 4(n 1)2 x suy ra limu = lim 4 n n2 (n 1) n n2 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 3.3. CÁC DẠNG KHÁC u v Câu 17: Cho hai dãy số u  và v  xác định như sau: u 1,v 2,vàu n 1 n 1 ,v u v khi n n 1 1 n 2 n n n 1 n 2 . Chứng minh rằng hai dãy un và vn có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 a b Ta có cos suy ra u cos v mà a n 1 n 1 ,b a b khi n 2 3 2 1 3 1 n 2 n n n 1 u v Suy ra u 1 1 2cos2 3 ,v u v 2cos 3 2 2 2 2 2 1 2 u v u 2 2 2cos 3 cos2 3 ,v u v 2cos 3 cos 3 2 2 4 3 3 2 2 3 bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u v u n 1 n 1 2cos 3 cos 3 cos 3 cos2 3 n 2 2 22 23 2n 1 v u v 2cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 n n n 1 2 22 23 2n 1 sin 2 Mặt khác cos nên ta có 2sin sin sin 3 sin2 3 n 2 1 u 2 3 . 2 2 sin cot 3 n 2n 2 3 2n 1 2sin 3 2sin 3 22 sin2 3 2 22 2n 1
11. sin sin 3 sin 3 sin n 2 1 v 2 3 . 2 2 3 n 2n 2 2sin 3 2sin 3 2sin 3 sin 3 2 22 2n 1 2n 1 Do đó 3 cot 1 3 2n 1 limun lim n 2 sin cot n 1 2sin lim n 1 n n 2 3 2 3 n 2 2sin 3 2sin n 1 3 3 3 lim 2 3 n 3 tan 3 3 2n 1 n * 2 Câu 18: Với mỗi n ¥ , đặt Qn x  x i . i 0 a) Chứng minh đa thức Qn x có duy nhất 1 nghiệm thực xn thuộc 0;1 . b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy xn . Hướng dẫn giải 2 2 a) Ta có Qn 0 Qn 1 Qn 2 Qn n 0 nên trong mỗi khoảng 0;1 , 1;4 , , n 1 2 ;n2 có 1 nghiệm của phương trình Q x 0 . n Mặt khác, ta có det Qn x n nên đa thức Qn x có duy nhất 1 nghiệm xn thuộc khoảng 0;1 . 1 1 1 b) Ta có Qn x Qn x 2 2 x x 1 x n Do Qn x có nghiệm không là nghiệm của Qn x nên nghiệm của phương trình Qn x 0 là nghiệm của phương trình: 1 1 1 f x 0 n x x 12 x n2 1 1 1 Ta có: fn x 2 2 2 0 x x 1 x n2 Nên fn x nghịch biến trên 0;1 1 1 1 Lại có: fn xn 2 2 0 xn xn 1 xn n
12. 1 1 1 1 1 0 2 x x 12 x n2 2 xn n 1 n n n xn n 1 fn 1 xn 0 fn xn fn 1 xn 1 xn xn 1 Do đó dãy xn là dãy giảm. Lại có xn 0;1 . Vậy dãy xn có giới hạn. 4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4. CÁC DẠNG KHÁC HẾT