Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số: Dãy số cho bởi công thức truy hồi - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số: Dãy số cho bởi công thức truy hồi - Ngô Tùng Hiếu

1. . 1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI. u1 2 Bài 1. Cho dãy số (un ) biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy. un 3un 1 1,n 2 Hướng dẫn giải 1 3 1 1 u 3u 1 u 3u u 3(u )(1) . n n 1 n 2 n 1 2 n 2 n 1 2 1 1 5 Ñaët v u v u n n 2 1 1 2 2 . (1) vn 3vn 1,n 2 Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q 3. 5 Nên v v .qn 1 .3n 1 . n 1 2 1 5 1 Do đó u v 3n 1 ,n 1,2, n n 2 2 2 Bài 2. a) Tính giới hạn A lim 3 n3 n2 1 n . u1 11 b) Cho dãy số (un) xác định bởi : . Tìm công thức tính un theo n . un 1 10un 1 9n,n ¥ Hướng dẫn giải a) Tính giới hạn A lim 3 n3 n2 1 n . n2 1 Ta có: A lim 3 n3 n2 1 n lim . 2 3 n3 n2 1 n.3 n3 n2 1 n2 1 1 2 lim n . 2 1 1 1 1 3 3 1 4 6 1 3 1 n n n n 1 Vậy A . 3 b) Ta có:. u1 11 10 1 u2 10.11 1 9 102 100 2 . u3 10.102 1 9.2 1003 1000 3 n Dự đoán: un 10 n 1 .
2. Chứng minh:. 1 Ta có: u1 11 10 1, công thức (1) đúng với n 1. k Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: uk 10 k . k k 1 Ta có: uk 1 10 10 k 1 9k 10 k 1 . . Công thức (1) đúng với n k 1. n Vậy un 10 n, n N u 4 1 Bài 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi: 1 . Tìm công thức của số hạng u (u 4 4 1 2u ),n ¥ * n 1 9 n n tổng quát (un ) ?. Hướng dẫn giải x2 1 Đặt x 1 2u x2 1 2u , x 0 u n . n n n n n n 2 Thay vào giả thiết:. x2 1 1 x2 1 n 1 ( n 4 4x ) (3x )2 (x 4)2 3x x 4,n N *, x 0 . 2 9 2 n n 1 n n 1 n n n 1 n n Ta có 3xn 1 xn 4 3 xn 1 3 xn 4.3 . n n * Đặt yn 3 .xn yn 1 yn 4.3 ,n N . n n 1 n 1 yn 1 y1 4(3 3 3) yn 1 y1 6 2.3 . n Ta có x1 3 y1 9 yn 3 2.3 . 1 1 4 1 Suy ra x 2 ,n N * u (3 ),n N * . n 3n 1 n 2 3n 1 32n 2 un * Bài 4. Cho dãy số un xác định bởi: u1 1; un 1 ,n ¥ . Tìm công thức số hạng tổng quát 2un 1 un theo n. . Hướng dẫn giải * un 1 1 Ta có un 0,n ¥ . Khi đó un 1 2 . . 2un 1 un 1 un * 1 * Với mọi n ¥ , đặt vn v1 1; vn 1 vn 2, n ¥ . . un Suy ra, dãy số vn là cấp số cộng có v1 1 và công sai d 2 * Do đó, vn v1 n 1 d 2n 1, n ¥ . . 1 1 Vậy un vn 2n 1
3. n * Bài 5. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1 2un 3 ,n ¥ . Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n . Hướng dẫn giải Với mọi n ¥ * , ta có. n n 1 n un 1 2un 3 un 1 3 2(un 3 ) . n * Xét dãy số (vn ), với vn un 3 ,n ¥ . Ta có: vn 1 2vn . Do đó, dãy số (vn ) là một cấp số nhân có công bội q 2 và số hạng đầu bằng 2. . n 1 n Suy ra vn v1.q 2 n n n Vậy un vn 3 3 2 . . 3 n 4 * Bài 6. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1;un 1 un 2 ,n ¥ . Tìm công thức số hạng 2 n 3n 2 tổng quát un theo n . Hướng dẫn giải Với mọi n ¥ * , ta có. n 4 2 3 2u 3(u ) 2u 3(u ) . n 1 n (n 1)(n 2) n 1 n n 2 n 1 3 3 3 3 3 2(u ) 3(u ) u (u ) n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 2 n n 1 3 3 1 dãy số (v ),v u là cấp số nhân có công bội q và v . n n n n 1 2 1 2 n 1 n 1 3 1 * 3 1 3 * vn . ,n ¥ un ,n ¥ . 2 2 n 1 2 2 u1 3 Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi: 5u 3 * . u n , n n 1 ¥ 3un 1 un 1 * Xét dãy số vn với vn , n ¥ . . Chứng minh dãy số vn là một cấp số cộng. Tìm số hạng tổng un 1 quát của dãy số un Hướng dẫn giải un 1 vn 1 Ta có vn un thay vào hệ thức truy hồi ta có. un 1 vn 1 v 1 5. n 3 v 1 v 1 v 1 2v 8 v 1 2v 8 n 1 n n 1 n n 1 n . v 1 v 1 v 1 2v 4 2 4 n 1 3. n 1 n 1 n vn 1
4. hay vn 1 vn 3 và v1 2 . Suy ra dãy số vn là một cấp số cộng có v1 2 và công sai d 3 Ta có vn v1 n 1 d 2 3 n 1 3n 1. . 3n 1 1 3n Do đó u . Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn. n 3n 1 1 3n 2 3n Vậy số hạng tổng quát của dãy số u là u n ¥ *. . n n 3n 2 Bài 8. Cho dãy số (un ) xác định bởi:. u 4 1 1 . u (u 4 4 1 2u ),n ¥ * n 1 9 n n Tìm công thức của số hạng tổng quát (un ) ?. Hướng dẫn giải x2 1 Đặt x 1 2u x2 1 2u , x 0 u n . n n n n n n 2 Thay vào giả thiết:. x2 1 1 x2 1 n 1 ( n 4 4x ) 2 9 2 n 2 2 (3xn 1) (xn 4) . * 3xn 1 xn 4,n N , xn 0 n 1 n n Ta có 3xn 1 xn 4 3 xn 1 3 xn 4.3 . n n * Đặt yn 3 .xn yn 1 yn 4.3 ,n N . y y 4(3n 3n 1 3) n 1 1 . n 1 yn 1 y1 6 2.3 n Ta có x1 3 y1 9 yn 3 2.3 . Suy ra. 1 x 2 ,n N * n 3n 1 . 1 4 1 u (3 ),n N * n 2 3n 1 32n 2