Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 9 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 9 - Ngô Tùng Hiếu

1. Câu 1. Cho x, y, z là 3 số dương và xyz 1 . Chứng minh rằng : x3 y3 z3 x y z Câu 2. Xét tất cả các tam thức bậc hai: f x ax2 bx c 0 ,x R, a<b. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất a b c của biểu thức: A b a Câu 3. Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.Chứng minh rằng: 52 a2 b2 c2 2abc 2. 27 Câu 4. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Hãy xét xem phương trình: c2 x2 a2 b2 c2 x b2 0 có nghiệm hay không? Câu 5. Giả sử 0 a,b,c 1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S a b c ab bc ca x y sin 1 2 2 Cho x; y là nghiệm của hệ phương trình: x y sin 2sin 1 R Hảy tìm giá trị lớn nhất ,giá trị bé nhất của xy ? Câu 6. Tìm a,b để P a4 a3b a2b2 ab3 18ab b4 2005 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 7. Chứng minh: 3 3 a. sinx+sin2x+sin3x< 2 sin 2x sin nx b. sin x sin nx trong đó, n là số nguyên lớn hơn 1 và 0<x< . 2 n n Câu 8. Cho a,b,c 0 Chứng minh rằng 2abc a 1 2 b 1 2 c 1 2 2 a b c 2 2 Hướng dẫn giải Trong ba số a 1;b 1;c 1 luôn tồn tại hai số có tích không âm (nguyên lý Dirchlet). Không mất tính tổng quát, giả sử b 1 c 1 0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 2 2 2 1 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b c 2 2 a 1 2 b c 2 1 2 2 2 Do đó abc 2 a 1 b 1 c 1 abc 2 a 1 2 b c 2 Mà abc 2 a 1 2 b c a b c a b 1 c 1 a b c 1 2 2 2 Suy ra abc 2 a 1 b 1 c 1 a b c chính là (1) 2 1 Dấu " " khi và chỉ khi a b c 1 hoặc a 0, b c 1 và các hoán vị 2 Câu 9. Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a b c 2 . a b c Chứng minh rằng: 2 3 3 3 a bc b ca c ab 4 4 4 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Cauchy Shwars ta có
2. a b c VT 2 a b c 3 3 3 a bc b ca c ab 4 4 4 a b c =2 3 3 3 a bc b ca c ab 4 4 4 a bc ca ab 3 3  3 cylic a bc 4a 3bc 4b 3ca 4c 3ab 4 3 bc ca ab 2 bc 4a 3bc ca 4b 3ca ab 4c 3ab bc ca ab 2 = b2c2 c2a2 a2b2 4abc bc ca ab 2 = 1 b2c2 c2a2 a2b2 2abc a b c Tư đó suy ra a b c 3 1 2 3 3 3 a bc b ca c ab 4 4 4 2 2 2 Dấu bằng xẩy ra khi a,b,c , , hoặc a,b,c 1,1,0 cùng các hoán vị của nó. 3 3 3 1 2 3 Câu 10. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (3a + 2b + c)( + + ) = 2014 . Tìm giá trị lớn nhất a b c b 2c 1002 72a2 c2 của biểu thức P a Hướng dẫn giải Đặt b ax,c ay x, y 0 2 3 Giả thiết 3 2x y (1 ) 2014 x y x 3x 3x 6 9 9x 2y 2014 y 2 2y 2 x y 2y x x 3x 3x 3972y 18 x 3972 x 2 2y y y+3 3972y Có P = x 2y 1002 72 y2 ≤ + 2y 1002 72 y2 = f(y). y+3 11816 1002y Xét hàm số f (y) với y 0 , ta có f (y) 2 2 và (y 3) 72 y2 11816.3 1002.72 f (y) 3 < 0 , y 0 f (y) đồng biến trên 0; . (y+3) 72 y2 Ta có f (3) 0 . Lập bảng biến thiên suy ra GTLN của P f  
3. Câu 11. Cho x, y, z dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz 1 . Chứng minh: x2 y y2 z z2 x 2xyz x 1 y 1 z 1 Hướng dẫn giải 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 xy yz zx Xét VT (1) xy y yz z xz x xy yz zx x y z Liên quan tới xy yz zx , từ giả thiết, ta xét: xy yz zx 33 x2 y2 z2 3 2 4t Đặt t xy yz zx , từ giả thiết có: 1 t 4x2 y2 z2 27 3 3 t hay xy yz zx 4 4 1 1 Thay vào giả thiết được: 2xyz 1 – xy yz zx hay xyz 4 8 Do đó, xy yz zx 6xyz Suy ra: xy yz zx 2 6xyz xy yz zx (2) Mặt khác: xy yz zx 2 3 xy.yz yz.zx zx.xy 2 xy yz zx 2 6xyz x y z (3) Cộng vế (2) và (3) có: 3 xy yz zx 2 6xyz xy yz zx x y z (4) Kết hợp (1) và (4) ta có đpcm. 1 Dấu “=” xảy ra khi x y z . 2 5 Câu 12. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng ab 3ac 5bc 4 Câu 13. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x.y.z = 3 . 2x9 y9 2y9 z9 2z9 x9 Tìm GTNN của biểu thức: P x3 y3 y6 x6 z3 y3 y6 z6 x3 z3 z6 x6 Giải: 3 3 Ta có: x3 y3 x6 y3 x3 y6 2x9 y9 x6 y3 x3 y6 x9 x3 x3 y3 y6 x6 2x9 y9 x3 . Từ đó ta có: x3 y3 y6 x6 2x9 y9 2y9 z9 2z9 x9 P x3 y3 z3 3xyz 3 3 . x3 y3 y6 x6 z3 y3 y6 z6 x3 z3 z6 x6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 6 3 . Câu 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b2 c2 b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 4 thức: P . 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 a 1 b 1 c Hướng dẫn giải
4. 2 2 Từ điều kiện rút ra a b c 2a b2 c2 2 b c b c . a Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 1 2 4 P 1 a 2 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 2 2 1 2 1 2 1 a Và 1 b 1 c 2 b c 2 2 , 4 4 a a 2a3 6a2 a 1 suy ra: P f a ,a 0 , a 1 3 2 5a 1 1 có f ' a 0 a . a 1 4 5 91 1 Lập bảng biến thiên rút ra được: P , xảy ra khi a ,b c 5 . 108 5 Câu 15. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2 y2 z2 xyz . Chứng minh x y z 1 x2 yz y2 zx z2 xy 2 Hướng dẫn giải Vì x, y, z 0 , áp dụng BĐT Côsi ta có x y z 1 1 1 P 2 x2 yz 2 y2 zx 2 z2 xy 2 yz 2 zx 2 xy 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 yz zx xy 4 y z z x x y 1 xy yz zx 1 x2 y2 z2 1 xyz 1 2 xyz 2 xyz 2 xyz 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3. Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 16. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc 1. Chứng minh bất đẳng thức ab bc ca 9 a3 b3 c3 . a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Hướng dẫn giải Ta có 0 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 a4 b4 2a2b2 4ab a2 ab b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b a b ab 1 a b a b 4ab a ab b 2 2 1 2 2 a b 4ab a b 4 b a Tương tự có bc 1 b c ca 1 c a 1 2 2 ; 1 2 2 . b c 4 c b c a 4 a c Do đó, cộng theo vế các bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Schur cùng giả thiết abc 1 ta được
5. ab bc ca 1 b c c a a b bc b c ca c a ab a b 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 4 a b c 4abc 1 1 a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3 4 4 Hay 3 3 3 ab bc ca a b c 4 2 2 2 2 2 2 9 1 a b b c c a Mặt khác 3 a3 b3 c3 3.33 abc 3 9 2 Từ 1 và 2 suy ra ab bc ca 4 a3 b3 c3 18 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Do vậy ab bc ca 9 a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Câu 17. Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh rằng 2 a2 b2 (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải Nếu a,b,c không là độ dài ba cạnh một tam giác thì 2 (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 a2 b2 Nếu a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác thì theo công thức Heron thì (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 16S 2 (1), ( a,b,c) với S(a,b,c) là diện tích ta giác có độ dài ba cạnh là a,b,c 1 1 1 2 2 Mặt khác: S(a,b,c) absin C ab a b (2) 2 2 4 2 Từ (1) và (2) suy ra: (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 a2 b2 . a b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 . c a b Câu 18. Cho x, y, z 0, x y z 1. Chứng minh rằng 4 x3 y3 z3 15xyz 1. Hướng dẫn giải Ta có 4 x3 y3 z3 15xyz 1 4 x y 3 3xy x y 4z3 15xyz 1 4 1 z 3 3xy 1 z z3 15xyz 1 4 1 z 3 12xy z 1 4z3 15xyz 1 f xy xy 27z 12 4z3 4 1 z 3 1. Do
6. 2 2 1 z 1 z  0 xy f xy min f 0 , f  4 4  2 2 1 z 2 19 Trong đó f 0 3 2z 1 1 0, f 1 z z 0 . 4 4 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 19. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng 2a 1 2b 1 2c 1 1 2c 1 2a 1 2b 1 Hướng dẫn giải x y z Do a,b,c 0 và abc 1 nên tồn tại cac số dương x, y, z sao cho a ,b ,c . Khi đó y z x bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: x 2x y y 2y z z 2z x 1 y 2z x z 2x y x 2y z 2x2 2yz 2y2 2zx 2z2 2xy 4 y 2z x z 2x y x 2y z x2 yz y2 zx z2 xy 2 y 2z x z 2x y x 2y z x2 y2 z2 z x y 2 (1) 2yz xy 2zx yz 2xy zx 2z x 2x y 2y z Ta có x2 y2 z2 z x y 2yz xy 2zx yz 2xy zx 2z x 2x y 2y z x2 y2 z2 z2 x2 y2 2yz xy 2zx yz 2xy zx 2z2 zx 2x2 xy 2y2 yz 2x 2y 2z 2 4 x y z 2 2. 2x2 2y2 2z2 4xy 4yz 4zx 2 x y z 2 Do đó (1) được chứng minh suy ra bất đẳng thức đã cho đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z . 1 1 1 Câu 20. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 2012 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z 1 1 1 P = 2x y z x 2y z x y 2z y2 Câu 21. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 xy 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 y3 biểu thức A x3 3x 3y . 3 Hướng dẫn giải 2 y y2 Từ giả thiết ta có x 1 2 12
7. y x sin 2 x sin 3 cos Đặt y cos y 2 3 cos 2 3 y3 A x3 3x 3y 3 3 sin 3 cos 8 3 cos3 3 sin 3 cos 6 3 cos 3 3 2sin( ) 6sin 2 3 4cos 3cos 3 3 2sin 3 2 3 cos3 2sin 3 2 3 cos3 4sin 3 3 2 GTLN của A bằng 4 khi và chỉ khi sin 3 1 k 3 18 3 5 2 GTLN của A bằng - 4 khi và chỉ khi sin 3 1 k 3 18 3 Câu 22. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng x3 y3 z3 3 . 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 4 Hướng dẫn giải Không mất tính tổng quát, giả sử x y z , ta có: 1 1 1 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y Theo bất đẳng thức Chebyshev ta được x3 y3 z3 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 3 3 3 1 1 1 x y z 3 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 3 x y z x3 y3 z3 3 1 x 1 y 1 z x y z Đặt a a 1 , ta có các bất đẳng thức sau: 3 x3 y3 z3 a3 , x y z 33 xyz 3 3 3 x y z 3 1 x 1 y 1 z 1 1 a 3 3 1 3 3 3 3 x y z 3 6 6a Do đó: x y z a 3 3 3 1 x 1 y 1 z 1 a 1 a 6a3 3 Ta thấy . 1 a 3 4
8. 3 6a 3 3 Thật vậy: 8a3 1 a luôn đúng vì a 1. 1 a 3 4 Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 Câu 23. Cho x,y,z là 3 số thực thoả mãn: x2 y2 z2 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu: P x3 y3 z3 3xyz. Câu 24. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: (a2b b2a a2c c2a b2c c2b)2 4(ab bc ca)(a2b2 b2c2 c2a2 ) . x2 y2 9 2 2 Câu 25. Trong các nghiệm x; y; z;t của hệ: z t 16 . Hãy tìm nghiệm làm cho x z đạt giá trị xt yz 12 lớn nhất. Câu 26. Cho các số thực a,b,c [ 1;2] thoả mãn điều kiện a b c 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a2 b2 c2 . a2 b2 c2 25 2 2 2 Câu 27. Cho a, b, c, x, y, z là 6 số bất kỳ thoả mãn hệ: x y z 36 . ax by cz 30 a b c Tính M . x y z