Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 8 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 8 - Ngô Tùng Hiếu

1. 1 Câu 1. Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f 3x f f 2x 2x với mọi 2 x 0 . Chứng minh rằng f x x với mọi x 0 . Hướng dẫn giải 1 f (3x) f f (2x) 2x (1) . 2 1 2x 2x 2x Từ (1) suy ra f (x) f f f (x) , x 0 (2) 2 3 3 3 1 2x 2x 2 1 2x 2x 1 2x 2x 4 2 Khi đó f (x) f f . f f x 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3 2 1 2 Xét dãy (a ) , (n=1,2, ) được xác định như sau: a và a a2 . n 1 3 n 1 3 n 3 * Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ¥ luôn có f (x) an x với x 0 (3). Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3). Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó: a2 2 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x k f (x) f f a . f a .a . .x ak 1.x 2 3 3 2 k 3 3 2 k k 3 3 3 * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1. Thật vậy, ta thấy ngay an 1 n ¥ . Do đó: 1 a a (a 1)(a 2) 0 , suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 n 3 n n n 1 2 Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a l thì l l 2 với l 1, suy ra l 1. n n 3 3 Vậy lim an 1. Do đó từ (3) suy ra f (x) x với mọi x 0 (đpcm). Vậy (3) đúng với n k 1. Câu 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz 1. Chứng minh rằng: x3 y3 z3 x y z Câu 3. Cho 3 số x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x y z 1. Chứng minh rằng: x y z 3 y z x z x y 2 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 2 x y z 3 2 x y y z z x ( ) 3 3 3 2 3 1 2 x y . x y . ( x y) 2 3 2 2 3
2. 3 1 2 3 1 2 Tương tự : y z . y z ; x z . ( x z) 2 2 3 2 2 3 x y z 1 1 1 Ta có: P x y y z x z y z z x x y y z z x x y 1 3 1 3 3 3 P 3. . 2 2 x y z 3. 2. ( Đpcm) 3 x y) y z z x 2 2 2 2 2 Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b b c c a . a2 c2 b2 a2 c2 b2 a c b a c b Câu 5. Cho tứ diện ABCD có các đường cao AA', BB ', CC ', DD ' đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng AA', BB ', CC ', DD ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA' BB ' CC ' DD ' 8 ABCD theo thứ tự tại A1; B1; C1; D1 . Chứng minh: . AA1 BB1 CC1 DD1 3 Câu 6. Cho 3 số dương tùy ý x, y, z . Tìm giá trị nhỏ nhất của: x 1 y 1 z 1 P x y z 2 yz 2 zx 2 xy Câu 7. Cho tam giác ABC . Biết rằng trên mặt phẳng ABC có điểm M sao cho MA 1;MB MC 6 . Gọi S là diện tích tam giác ABC . Chứng minh rằng S 10 5 .Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 8. Cho hàm số f (x) a1 sin x a2 sin 2x an sinn x . Chứng minh rằng: Nếu f (x) sin x ; với mọi x  1;1 thì a1 2a2 3a3 nan 1 . Câu 9. Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 a b c ab bc ca . Tìm giá trị 1 nhỏ nhất của biểu thức P= a a 2b 2 b b 2c 2 c c 2a 2 . abc 2 an 5an 10 Câu 10. Cho dãy (an )n 1 : a1 1;an 1 n 1. 5 an a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an . a a a 5 5 b) Chứng minh 1 2 n n 1. n 2 Câu 11. Gọi AD, BE, CF là ba đường phân giác trong của tam giác ABC vuông ở A . Đoạn thẳng AD cắt EF tại K . Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC lần lượt ở M , N . Chứng minh rằng: 2 2 MN AB AC . 2 Câu 12. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: a a2 1 b 2 1 c c2 1 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 4 a3 b3 c3 3 a b c Hướng dẫn giải Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: a a2 1 b 2 1 c c2 1 8.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 4 a3 b3 c3 3 a b c Từ giả thiết ta có: ln a a2 1 ln b 2 1 ln c c2 1 ln8 Đặt: x ln a a2 1 ; y ln b 2 1 ;z ln c c2 1 Suy ra x y z ln8 và ex e x a 2 x a a 1 e 2 y y 2 y e e b 1 e b 2 2 z c c 1 e z z e e c 2 P 4 a3 b3 c3 3 a b c 3 3 3 ex e x e y e y ez e z ex e x e y e y ez e z 4 3 2 2 2 2 2 2 e3x e3 y e3z e 3x e 3 y e 3z 2 2 1 3 3 195 33 e3 x y z 33 e 3 x y z 3 e3ln8 3 e 3ln8 2 2 2 16 195 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: P . min 16 5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . 4 Câu 13. Cho x, y, z là các số thức dương thoả mãn: x y z 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 27 1 xy 1 yz 1 xz 8 Câu 14. Cho x, y, z là các số thực không âm thoã mãn x3 y3 z3 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3 xy yz zx xyz . Câu 15. Tìm điểm M nằm trong tam giác nhọn ABC cho trước để 3MA 4MB 5MC bé nhất. Hướng dẫn giải • Vẽ hình • Dựng tam giác XYZ ngoại tiếp tam giác ABC có độ dài 3 cạnh tỉ lệ 3: 4 :5 • Lập luận M nhìn các đoạn thẳng BC; CA dưới các góc bù X ; Y . • Sử dụng giao các cung chứa góc tìm được điểm M trong tam giác ABC .