Tài liệu ôn tạp HSG Toán THCS - Chuyên đề: Bất đẳng thức và Cực trị đại số

Nội dung text: Tài liệu ôn tạp HSG Toán THCS - Chuyên đề: Bất đẳng thức và Cực trị đại số

1. HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO CẨM NANG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ ĐẠI SỐ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán ● Phân dạng và phương pháp giải rõ ràng
2. CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI TỦ SÁCHCẤP 2|2
3. Lêi giíi thiÖu Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Cẩm nang chứng minh bất đẳng thức THCS được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này. Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện giúp các em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học. Mỗi chủ đề có ba phần: A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề. B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi. Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán. C. Bài tập vận dụng: Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải. Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
4. CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI TỦ SÁCHCẤP 2|2
5. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | PHƯƠNG PHÁP 1 DÙNG ĐỊNH NGHĨA CHỦ ĐỀ A. KiÕn thøc cÇn nhí ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh hiệu A – B là số không âm bằng cách dồn về các tổng bình phương. ● Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . B. VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có: x 1 x 2 x 3 x 4 1 Hướng dẫn giải Xét hiệu: A x 1 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 4 x 2 x 3 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 Đặt y x2 5x 5 ta được A y 1 y 1 1 y2 1 1 y2 0 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Vậy x 1 x 2 x 3 x 4 1 Thí dụ 2. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng: a2 b2 1 ab a b Hướng dẫn giải 1 Xét hiệu: A a 2 b2 1 ab a b a 2ab b2 a 2 2a 1 b2 2b 1 2 1 2 2 2 a b a 1 b 1 0 2 Vậy a2 b2 1 ab a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: a6 1 a 2 a 2 1 Hướng dẫn giải Xét hiệu: A a6 1 a 2 a 2 1 a6 a 4 a 2 1 5 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
6. a 4 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 4 1 2 a 2 1 a 2 1 0 2 Ta có A 0 do a 2 1 0 và a 2 1 0 Vậy a6 1 a 2 a 2 1 Dấu bằng xảy ra khi a = 1 hoặc a = -1 Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: 19 a 2 9b2 c2 2a 12b 4c 2 Hướng dẫn giải Xét hiệu: 2 2 2 19 2 2 2 1 A a 9b c 2a 12b 4c a 2a 1 9b 12b 4 c 4c 4 2 2 2 2 2 1 a 1 3b 2 c 2 0 2 2 2 2 Ta có A > 0 do a 1 0, 3b 2 0 và c 2 0 19 Vậy a 2 9b2 c2 2a 12b 4c 2 2 Thí dụ 5. Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm x y x3 y3 x2 y2 Hướng dẫn giải 2 Xét hiệu hai vế: x y x3 y3 x2 y2 x4 xy3 x3 y y4 x4 2x2 y2 y4 2 xy y2 x2 2xy xy x y 0 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0, hoặc y 0, hoặc x y C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh rằng với mọi x ta có: x 1 x 2 x 3 x 4 1 0 2) Chứng minh rằng mới mọi a, b, c ta đều có: a 2 4b2 3c2 2a 12b 6c 14 3) Chứng minh với mọi x, y, z ta có: a) x2 y2 z2 xy yz zx b) x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 4) Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: 4x2 4xy 4y2 6y 4 TỦ SÁCH CẤP 2| 6
7. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 2 CHỦ ĐỀ A. KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A B ta chứng minh A B ... C D với C D luôn đúng. Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có : ) 4ab a b 2 2 a 2 b2 a b 2 0 ) a 2 b2 c2 ab bc ca. 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ) 3 ab bc ca a b c 3 a b c a b b c c a 0 2 2 2 B. VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh đẳng thức: 2 a2 b2 c2 a b c 1 3 3 Hướng dẫn giải 3 a 2 b2 c2 a b c Ta có: 1 3 3 3 a 2 b2 c2 a b c 2 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 3 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 2 ab bc ca a 2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a 2 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 2 Bất đẳng thức (2) đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 2 Thí dụ 2. Chứng minh đẳng thức a2 b2 c2 d 2 ac bd 1 Hướng dẫn giải 1 a2c2 a2d 2 b2c2 b2d 2 a2c2 2abcd b2d 2 0 a2d 2 b2c2 2abcd 0 ad bc 2 3 Bất đẳng thức 3 đúng. Vậy bất đẳng thức 1 đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad bc 7 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
8. Thí dụ 3. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) a,b,c,d,e R Hướng dẫn giải Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) a2 a2 a2 a2 ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứng minh. a Dấu “=” xảy ra khi: b c d 2 Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 a 4 b4 ab3 a3b 2a 2b2 Hướng dẫn giải 2 Để ý với a = b thì có dấu bằng đẳng thức nên ta tách các số hạng để tạo ra nhân tử chung a b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 4 2a 2 b2 b4 a 4 a3b b4 b4 ab3 0 2 a 2 b2 a3 b3 a b 0 a b 2 a b 2 a 2 ab b2 0 a b 2 2 a b 2 2a 2 2ab 2b2 0 a b 2 3 a b 2 a 2 b2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . Chú ý: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 2 2 2 hai thường xuất hiện các đại lượng a - b ; b - c ; c - a với điều kiện dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c . Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy ra để từ đó có hướng đi hợp lí. 12ab Thí dụ 5. Cho 2 số thực x, y dương. Chứng minh rằng: a b 9 ab Hướng dẫn giải Ta có: TỦ SÁCH CẤP 2| 8
9. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 12ab a b 9 ab a b 9 ab 12ab do 9 ab 0 9a 9b a 2 b ab2 12ab a 2 b 6ab 9b ab2 6ab 9a 0 b a 3 2 a b 3 2 0 2 2 2 Vì a,b 0 nên b a 3 0 và a b 3 0 do đó (2) đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi a = b = 3. a 2 b 2 a 2 2ab Thí dụ 6. Cho 2 số thực a, b dương. Chứng minh rằng: . 2a3 b3 3 2a 2 b2 Hướng dẫn giải a 2 b 1 a 2 2ab Để ý a = b thì có dấu bằng của đẳng thức, khi đó ; 1.Nên ta biến đổi 2a3 b3 3 2a 2 b2 như sau : 2 2 a 2 b 2 a 2 2ab a 2 b 1 a 2 2ab a b 2a b a b . . 1 2a3 b3 3 2a 2 b2 2a3 b3 3 2a 2 b2 3 2a 2 b3 2a 2 b2 2 1 2a b 2 3 3 2 2 a b 2 2 0 a b 3 2a b 2a b 2a b 2a b 3 3 3 2a b 2 2 3 2 2 4 a b 2a 2b 2a b 2ab 0 a b a b 0 Ta có bất đẳng thức được chứng minh. ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Thí dụ 7. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 2ab b2 3 + a2 + 4b2 3a2 + 2b2 5 Hướng dẫn giải 2ab 2 b2 1 Dấu đẳng thức xảy ra với a = b , khi đó ; . Nên ta ta biến đổi a2 4b2 5 3a2 2b2 5 2 2ab 1 b2 bất đẳng thức thành - + - 0 . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân 5 a2 + 4b2 5 3a2 + 2b2 tích thành các bình phương. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab b2 3 2 2ab 1 b2 + - + - 0 a2 + 4b2 3a2 + 2b2 5 5 a2 + 4b2 5 3a2 + 2b2 9 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
10. 2a2 - 10ab + 8b2 3a2 - 3b2 2 a - b a - 4b 3 a - b a + b + 0 + 0 a2 + 4b2 3a2 + 2b2 a2 + 4b2 3a2 + 2b2 2 2 2 2 a - b 2 a - 4b 3a + 2b + 3 a + b a + 4b 0 2 2 a - b 9a3 - 21a2 b + 16ab2 - 4b3 0 a - b 3a - 2b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b hoặc 3a = 2b Thí dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3a2 + 2ab + 3b2 2 2 a2 + b2 a + b Hướng dẫn giải Đẳng thức xẩy ra khi a b , do đó ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 2 a - b . Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất hiện nhân tử chung có 2 2 2 dạng a - b ta cần chú ý đến phép biến đổi 2 a2 + b2 - a + b = a - b 2 a - b Khi đó ta có 2 a2 + b2 - a + b = 2 a2 + b2 + a + b Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau 3a2 + 2ab + 3b2 2 2 a2 + b2 a + b 3a2 + 2ab + 3b2 - 2 a + b 2 2 a2 + b2 - 2 a + b a + b 2 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a - b 2 a - b a + b 2 a2 + b2 + a + b 2 2 2 a - b 2 a + b + a + b - 2 a + b 0 4 2 a - b 2 2 a - b 2 a + b - a + b 0 0 2 a2 + b2 + a + b Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Thí dụ 9. Cho biểu thức : P xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 36. TỦ SÁCH CẤP 2| 10
11. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Chứng minh P luôn dương với mọi x;y thuộc R . (Đề toán vào lớp 10 Quảng Ninh năm 2010-2011) Hướng dẫn giải Ta có: P xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 36. xy x 2 y 6 12x x 2 3y y 6 36 x x 2 y y 6 12 3 y y 6 12 y2 6y 12 x2 2x 3 2 Mà y2 6y 12 y 3 3 0 2 x2 2x 3 x 1 2 0 Vậy P > 0 với mọi x;y thuộc R Thí dụ 9. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức : a b 16 1 1 2 2 5 . b a a b a b Hướng dẫn giải Ta có : a b 16 1 1 2 2 5 b a a b a b a 1 b 1 4 1 1 2 2 4 0 b b a a a b a b 2 a b b a 4ab a b 4. 0 b2 a 2 a b ab 2 2 a b a b 4 a b ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 0 a 2 b2 a b ab a b 2 a b 2 4ab 0 a b 4 0. Bất đẳng cuối cùng nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b 0. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: a2 b2 1 ab a b 2) Chứng minh rằng mới mọi a, b, c ta đều có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 3) Chứng minh bất đẳng thức x y xy 1 với x 1, y 1. 2 4) Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: x y x3 y3 x2 y2 11 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
12. 4a2 b2 a2 b2 5) Cho a, b là hai số thực khác không. Chứng minh rằng: + + 3 2 2 2 a2 + b2 b a 6) Cho các số thực dương a, b, m, n m n . Chứng minh rằng: a b 2 + na + mb mb + na m + n 7) Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2ab a2 + b2 a + b + ab + a + b 2 2 8) Cho x, y là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 1 1 1 . 2 2 1 x 1 y 1 xy 9) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y, x 0, y 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 4 . 2 2 2 x y x y xy 10) Cho x, y là các số thực không âm tùy ý . Chứng minh rằng: a b a b 2 a b . Khi nào có dấu đẳng thức ? CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI TỦ SÁCH CẤP 2| 12
13. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | PHƯƠNG PHÁP 3 PHẢN CHỨNG CHỦ ĐỀ A. KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A B . * Các bước giải: ● Bước 1: Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh ( tức là A < B). ● Bước 2: Sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để chứng tỏ điều giả sử (A < B) là sai. ● Bước 3: kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng. B. VÍ DỤ MINH HỌA 2 Thí dụ 1. Chứng minh rằng: a b 4ab Hướng dẫn giải 2 Giả sử a b 4ab , khi đó: 2 a2 2ab b2 4ab a2 2ab b2 0 a b 0 điều này là sai với mọi a, b. 2 Vậy giả sử trên là sai, điều phải chứng minh là đúng.Tức là: a b 4ab ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Thí dụ 2. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng: 3 a 3 b 2 Hướng dẫn giải Đặt 3 x a; 3 y b x a3; y b3 . Ta có: x3 y3 2 . Cần chứng minh x y 2 3 Giả sử x y 2 thì: x y 8 x3 y3 3xy x y 8 2 3xy x y 8 xy x y 2 xy x y x3 y3 ; (vì x3 y3 2 ) 2 Chia cả hai vế cho số dương x y ta được: xy x2 xy y2 0 x y (vô lý) Vậy x y 2 tức là 3 a 3 b 2 Thí dụ 3. Cho ba số a, b, c 0;1 . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng 1 1 1 thức sau đây là sai: a 1 b ; b 1 c ; c 1 a . 4 4 4 13 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
14. Hướng dẫn giải Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng. Theo giả thiết ta có: 1 a,b,c, 1 a , 1 b , 1 c đều là các số dương, suy ra: a 1 b b 1 c c 1 a 1 64 2 2 1 1 2 1 1 1 Mặt khác: a 1 a a a a a a 4 4 4 2 4 1 1 Tương tự ta có: b 1 b ; c 1 c 4 4 1 Suy ra: a 1 b b 1 c c 1 a ; 2 64 Ta có (1) mâu thuẫn (2) nên giải sử là sai, điều cần chứng minh là đúng. Tức là với a, b, c 0;1 . Thì ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: 1 1 1 a 1 b ;b 1 c ;c 1 a (đpcm). 4 4 4 Thí dụ 4. Chứng minh rằng nếu: a1.a2 2 b1 b2 thì ít nhất một trong hai phương trình 2 2 sau có nghiệm: x a1 x b1 0, 1 ; x a2 x b2 0 2 . Hướng dẫn giải Giải sử phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm. 2 2 Khi đó ta có: 1 0; 2 0 1 2 0 a1 4b1 a2 4b2 0 2 2 2 2 a1 a2 4 b1 b2 0 a1 a2 4 b1 b2 2a1a2 2 a1 a2 0 . Điều này là sai với mọi a1 ,a2 . CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Vậy giải sử là sai, điều cần chứng minh là đúng. Tức là nếu: a1.a2 2 b1 b2 thì ít 2 2 nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: x a1 x b1 0, 1 ; x a2 x b2 0 2 . Thí dụ 5. Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai: x y z ; y z x ; z x y Hướng dẫn giải Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng 2 2 x2 y z x2 y z 0 x y z x y z 0 (1).. TỦ SÁCH CẤP 2| 14
15. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Tương tự ta có: y z x y z x 0 (2) z x y z x y 0 (3) 2 2 2 Nhân vế với vế (1); (2); (3) ta được: x y z y z x z x y 0 (vô lý) Vậy giải sử là sai, điều cần chứng minh là đúng. Tức là: Với mọi số thực x, y, z. thì có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai: x y z ; y z x ; z x y Thí dụ 6. Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a2 b2 ab bc ca 0. Chứng minh rằng a2 b2 c2 . (Trích đề toán vào 10 Chuyên Thái Bình năm 2007-2008) Hướng dẫn giải Giả sử a2 b2 c2 . Từ giả thiết suy ra a2 b2 a2 b2 2 ab bc ca 0 2 Lại có: a2 b2 a2 b2 2 ab bc ca a2 b2 c2 2 ab bc ca a b c 2 a b c 0 (vô lý) Vậy a2 b2 c2 . Thí dụ 7. Các số dương x, y thoả mãn điều kiện x3 y3 x y. Chứng minh rằng x2 y2 1. (Trích đề toán vào 10 Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2006-2007) ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có x y 0 . Giả sử x2 y2 1, khi đó từ giả thiết ta suy ra x3 y3 x y x2 y2 x3 y3 x3 xy2 yx2 y3 xy? yx2 2y3 0 y xy x2 2y2 0 * Vì x y 0 nên x y x 0 x y x 2y3 0 . Do đó (*) không thể xảy ra. Mâu thuẫn này chứng tỏ x2 y2 1. Thí dụ 8. Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 2 9ab,9bc,9ca nhỏ hơn a b c . Hướng dẫn giải 2 2 2 Giả sử ngược lại 9ab a b c ,9bc a b c ,9ca a b c . 2 Cộng hai vế bất đẳng thức ta có: 3 a b c 9 ab bc ca 15 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
16. a b c 2 3 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 0 1 2 2 2 Theo đầu bài a,b,c đôi một khác nhau nên a b b c c a 0 2 Vì (1) và (2) mâu thuẫn nhau nên ta có điều phải chứng minh. Thí dụ 9. Cho a 4,b 5,c 6 và a2 b2 c2 90. Chứng minh: a b c 16. (Trích đề toán vào 10 Nam Định năm 2006-2007) Hướng dẫn giải Đặt: a x 4,b y 5,c z 6 thì x, y, z 0 và điều kiện của bài toán trở thành x 4 2 y 5 2 z 6 2 90 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13. 1 Ta cần chứng minh a b c 16 x y z 1. Giả sử tồn tại x, y, z 0 thỏa mãn (1) nhưng lại có x y z 1. 2 Khi đó hiển nhiên x, y, z 0;1 nên x2 x, y2 y, z2 z, hay x2 y2 z2 x y z. 3 Từ (1), (2) và (3) ta có: 13 x2 y2 z2 12 x y z 4x 2z 13 x y z 4x 2z 13 x y z 13. Mâu thuẫn này chứng tỏ x y z 1 hay a b c 16. a + b + c > 0 Thí dụ 10. Cho các số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca > 0 . abc > 0 Chứng minh rằng cả ba số đều dương. (Trích đề toán vào 10 Chuyên Lam Sơn năm 2008-2009) Hướng dẫn giải CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Giả sử trong ba số a, b, c có một số không dương. Không mất tính tổng quát ta xem a 0. Mà abc 0 nên a 0 do đó a 0. Lại có a b c 0 nên b c 0 suy ra a b c 0. Theo giả thiết thứ hai ab bc ca 0 ta có a b c bc 0 bc 0. Vì thế a.bc 0 (mâu thuẫn với giả thiết thứ ba). Chứng tỏ bất đẳng thức được chứng minh. Thí dụ 11. Cho a, b, c là các số thức không âm thỏa mãn a + b + c abc . Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 abc Hướng dẫn giải TỦ SÁCH CẤP 2| 16
17. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Nếu một trong 3 số bằng 0 thì bất đẳng thức được chứng minh vì thế chỉ cần xét a,b,c 0. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là a2 + b2 + c2 < abc . Khi đó ta có abc > a2 + b2 + c2 > a2 nên bc > a . Chứng minh tương tự ta được b < ac, c < ab Từ đó suy ra a + b + c < ab + bc + ca . Mặt khác ta lại có abc > a2 + b2 + c2 ab + bc + ca abc > ab + bc + ca Kết hợp hai bất đẳng thức ta được abc > a + b + c , bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Thí dụ 12. Cho a, b là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: 1 a b 1; 1 a b ab 1 Chứng minh rằng: 2 a, b 2 Hướng dẫn giải Vì vai trò của a, b như nhau nên ta chỉ cần chứng minh 2 a 2. Việc chứng minh 2 b 2 hoàn toàn tương tự. Giả sử bất đẳng thức 2 a 2 là sai, khi đó ta có a 2 hoặc a 2. + Xét trường hợp a 2, khi đó từ 1 a b 1 suy ra b 1 a 1 2 1, do đó ta được ab 2 mà a b 1 nên a b ab 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này không xẩy ra. + Xét tường hợp a 2, khi đó từ 1 a b 1 suy ra b 1 a 1 2 1, do đó ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ta được ab 2 mà a b 1 nên a b ab 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này cũng không xẩy ra. Các kết quả trên chứng tỏ điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Thí dụ 13. Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b2 c2 1 ab . Chứng minh rằng: a c và b c Hướng dẫn giải + Trước hết ta chứng minh a c. Ta viết lại giả thiết là a2 c2 b ac2 b . Giả sử a c khi đó ta được a2 c2 b ac2 b 0 b ac2 . Mà ta lại thấy b b ac2 b ac2 . Như vậy ta được c2 a2 ac2 0. Mà do a, c là các số nguyên dương nên ta được c2 a2 ac2 c2 1 a a2 0. 17 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
18. Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn với nhau. Do đó không thể xẩy ra a c, tức là ta có bất đẳng thức a c. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được b c. Vậy bài toán được chứng minh xong. Thí dụ 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh 1 1 1 rằng: 1 1 8a 1 8b 1 8c Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt x ; y ; z . 1 8a 1 8b 1 8c 1 x2 1 y2 1 z2 Suy ra a ; b ; c , khi đó ta được 0 x; y; z 1. 8x2 8y2 8z2 Vì abc 1 nên giả thiết được viết lại là 83 x2.y2.z2 1 x2 1 y2 1 z2 và bất đẳng thức cần chứng minh là x y z 1. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức x y z 1. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 1 x2 x y z x2 y z x y x z 2 y z x y x z 0 Áp dụng tương tự ta có 2 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 y 2 x z x y y z 0; 1 z 2 x y x z y z 0 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 83 x2.y2.z2 1 x2 1 y2 1 z2 x y y z z z Hay 8xyz x y y z z x , rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. TỦ SÁCH CẤP 2| 18
19. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Thí dụ 15. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a b c; a b c 6; ab bc ca 9 Chứng minh rằng: 0 a 1; 1 b 3; 3 c 4 Hướng dẫn giải Từ giả thiết của bài toán, ta suy ra 2 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 18 Mặt khác, vì a, b, c là các số dương cho nên 2 2 b c 6 a 9 ab bc ca a b c a 6 a 4 2 3a3 Hay 3a 0, từ đó suy ra 0 a 4 , do vậy 0 a b c 4 Khi đó 18 a2 b2 c2 ac bc c2 c a b c 6c . Suy ra c 3. 2 Bây giờ ta chứng minh c 4. Thật vậy, giả sử c 4 khi đó ta được c 4c, từ đây ta suy ra 2 2 a b 6 c 18 a2 b2 c2 c2 4c 2 2 c2 Hay 2c 0 0 c 4. Mâu thuẫn với c 4, do vậy c 4 2 Từ đó ta có 3 c 4 Cũng từ đây ta suy ra a b c 4. Ta chứng minh a 1. Thật vậy, giả sử a 1 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Khi đó ta được 1 a b c 4, suy ra a 1 a 4 0; b 1 b 4 0; c 1 c 4 0 Hay a2 5a 4; b2 5b 4; c2 5c 4 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 b2 c2 5 a b c 12 18 2 2 2 Điều này mâu thuẫn với điều kiện a b c 18 . Do đó a 1. Vậy 0 a 1. Cuối cùng ta chứng minh 1 b 3 Thật vậy, vì a 1 và c 4, do đó b 6 a c 6 1 4 1 hay b 1 Ta cần chứng minh b 3. Giả sử b 3, khi đó ta có b 3 c 3 0 Hay bc 3 b c 9 3 6 a 9 9 3a 19 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
20. Từ đó suy ra 9 ab bc ca a b c bc a b c 9 3a Hay a b c 3 0 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai do 3 c 4 . Vì vậy giả sử b 3 là sai. Do đó b 3. Vậy ta được 1 b 3. Như vậy bài toán được chứng minh xong. Thí dụ 16. Cho 25 số tự nhiên a1,a2,...,a25 thoả mãn điều kiện 1 1 1 1 + + + ... + = 9. a1 a2 a3 a25 Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau. Hướng dẫn giải Giả sử trong 25 số tự nhiên a1, a2,..., a25 không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta có thể chọn a1 a2 ... a25 . Khi đó ta có a1 1, a2 2, ..., a25 25 1 1 1 1 1 1 Suy ra ta được       a1 a2 a25 1 2 25 Mặt khác ta chứng minh được 1 1 1 2 2 2    1 ... 1 2 25 2 2 2 3 2 25 1 1 1 1 2 ... 2 1 3 2 25 24 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 2 2 1 3 2 ...... 25 24 1 2 25 1 9 1 1 1 Điều này dẫn tới    9 a1 a2 a25 Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. TỦ SÁCH CẤP 2| 20