Tài liệu ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Nội dung text: Tài liệu ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY) 9 CHỦ ĐỀ A. KiÕn thøc cÇn nhí Cho a,b,c là các số không âm. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM: a b ab ; 2 a b c 3 abc ;. 3 n Tổng quát: Trung bình cộng của số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. a a ... a 1 2 n n a a ...a với a ,a ,...,a là các số không âm. n 1 2 n 1 2 n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 .... an . B. VÍ DỤ MINH HỌA 1) Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng qua trung bình nhân Sử dụng bất đẳng thức AM –GM dạng: a a ... a 1 2 n n a a ...a với a ,a ,...,a là các số không âm. n 1 2 n 1 2 n Thí dụ 1. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b b c c a 8abc Hướng dẫn giải CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b b c c a 2 ab.2 bc.2 ac 8abc (đpcm) Thí dụ 2. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 a) x y 4 b) x y z 9 x y x y z Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: TỦ SÁCH CẤP 2| 58
2. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | x y 2 xy 0  1 1 1 1 1 1 1 1  x y 2 xy.2 x y 4 (đpcm) 2 0 x y xy x y x y xy  Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi x = y. b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: x y z 3 xyz 0  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  x y z 3 xyz.3 x y z 9 3 0 x y z xyz x y z x y z xyz  Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi x = y = z. 3 3 3 2 2 2 Thí dụ 3. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c a b b c c a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a3 a3 b3 33 a3.a3.b3 3a2b b3 b3 c3 33 b3.b3.c3 3b2c c3 c3 a3 33 c3.c3a3 3c2a Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta được: 3 a3 b3 c3 3 a2b b2c c2a a3 b3 c3 a2b b2c c2a (đpcm) 2) Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân qua trung bình cộng Sử dụng bất đẳng thức AM –GM theo chiều: a a ... a n 1 2 n a1a2 ...a n với a1 ,a2 ,...,a n là các số không âm. n ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Ta thường áp dụng khi gặp bài toán bất đẳng thức có dạng: m m m A1 A2 .... An B Ta có hai hướng xử lý: + Đánh giá trực tiếp + Nhân thêm hằng số mục đích lược bỏ biến hoặc hằng số không thích hợp. Một số ví dụ minh họa Thí dụ 1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh bất đẳng thức: 1 a2 1 b2 1 c2 2 a b c Hướng dẫn giải Ta có ab + bc + ca = 1 nên a b a c b c 1 a2 ab bc ca a2 a b a c a . 2 2 59 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
3. Từ đó: 2 2 2 b c c a a b 1 a 1 b 1 c a b c 2 2 2 2 a b c 1 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c 3 Thí dụ 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn ab bc ca nhất của biểu thức: P = . c ab a bc b ca Hướng dẫn giải Có: a b c 1 c a b c .c ac bc c2 c ab ac bc c2 ab a(c b) c(b c) = (c a)(c b) a b ab ab c a c b c ab (c a)(c b) 2 Tương tự: a bc a b a c , b ca b c b a b c bc bc a b a c a bc (a b)(a c) 2 c a ca ca b c b a b ca (b c)(b a) 2 a b b c c a P c a c b a b a c b c b a = 2 a c c b b a 3 = a c c b b a = 2 2 1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 3 1 Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi a b c 2 3 Thí dụ 3. Chứng minh với mọi a 1, b 1. Chứng minh rằng a b 1 b a 1 Hướng dẫn giải Nhận xét: Vế phải không chứa hằng số do vậy sử dụng AM-GM để triệt tiêu các số -1 trong 2 căn thức do đó nhân thêm vào mỗi căn với 1. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: TỦ SÁCH CẤP 2| 60
4. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | b 1 1 ab a b 1 a b 1 .1 a. 2 2 a 1 1 ab b a 1 b a 1 .1 b. 2 2 Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2. 3) Kĩ thuật tách nghịch đảo a b Thí dụ 1. Chứng minh rằng: 2 , a,b 0 b a Hướng dẫn giải a b Vì a,b 0 nên 0, 0 b a a b a b Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 2 . 2 (đpcm) b a b a Đẳng thức xảy ra khi a = b. 1 Thí dụ 2. Chứng minh rằng: a 3 , a 1 a 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 1 1 a a 1 1 2 a 1 1 2 1 3 (đpcm) a 1 a 1 a 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 2 a 1 1 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Thí dụ 3. Chứng minh rằng: a 3 , a b 0 b(a b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 1 1 a b a b 33 b. a b . 3 b a b b a b b a b Đẳng thức xảy ra khi b a b b a b a 2,b 1 4 Thí dụ 4. Chứng minh rằng: a 3 , a b 0 a b b 1 2 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 4 b 1 b 1 1 a a b 1 a b b 1 2 2 2 b 1 b 1 a b 2 2 61 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
5. b 1 b 1 1 4. a b . . . 1 3 4 2 2 b 1 b 1 a b 2 2 a 2 2 Thí dụ 5. Chứng minh rằng: 2 , a R a 2 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 2 2 a 2 1 1 1 1 a 2 1 2 a 2 1 2 (đpcm) a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a = 0. 3a2 1 Thí dụ 5. Chứng minh rằng: , a 0 1 9a4 2 Hướng dẫn giải Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a2 1 1 1 1 4 4 (đpcm) 1 9a 1 9a 1 2 1 2 2 2 3a 2 .3a 3a2 3a2 3a 3a2 2 2 2 a Thí dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 1 2 , a 1 a 1 Hướng dẫn giải 2 2 2 a 2a 2 A a 1 a 1 2 2 2 a 1 1 a 1 a 1 2 2 1 a 1 a 1 a 1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 Cauchy 1 2 a 1 2 2 2 2 a 1 2 2 2 2 2 a 1 2 a 1 2 1 2 4 8 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 a 1 2 hay a a 1 2 2 Vậy GTNN của A 2 2 2 4) Kĩ thuật ghép đối xứng Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để bài toán trở nên đơn giản hơn. TỦ SÁCH CẤP 2| 62
6. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh X Y Z A B C ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X Y 2A. Sau đó, tương tự hóa đẻ chỉ ra Y Z 2B và Z X 2C (nhờ tính đối xứng của bài toán). Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh. Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với X ,Y, Z 0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2 . Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra YZ B2 và ZX C 2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có: XYZ A2 B2C 2 ABC ABC . Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau: a b b c c a a b c Phép cộng: 2 2 2 2 a b c a b b c c a abc ab bc ca, a,b,c 0 Phép nhân: 2 2 2 a b c ab bc ca bc ca ab Thí dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c a b c Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc a b c 2 a b 2 b c 2 c a ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT bc ca ca ab ab bc . . . a b c a b b c c a a 2 b 2 c 2 b c a Thí dụ 2. Cho ba số thực abc 0 . Chứng minh rằng: b 2 c 2 a 2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a 2 b 2 c 2 1 a 2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a 2 b c 2 c a 2 a b a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b c a b c a . . b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a b c a b c Thí dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1. Chứng minh rằng: b c c a a b a b c 3 a b c Hướng dẫn giải 63 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
7. b c c a a b 2 bc 2 ca 2 ab bc ca ab 2 a b c a b c a b c bc ca ca ab ab bc a b b c c a bc ca ca ab ab bc 2 2 2 a b b c c a 2 a b c a b c a b c a b c 33 a b c a b c 3 b c c a a b Vậy a b c 3 a b c a b c Thí dụ 4. Cho ABC, AB c, BC a,CA b, p . Chứng minh rằng: 2 1 p a p b p c abc 8 Hướng dẫn giải Ta có: p a p b p c p a p b p b p c p c p a p a p b p b p c p c p a . . 2 2 2 2 p a b 2 p b c 2 p c a 1 . . abc 2 2 2 8 a b c Thí dụ 5. Cho ABC, AB c, BC a,CA b, p . Chứng minh rằng: 2 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI p a p b p c 2 p a p b 2 p b p c 2 p c p a 1 1 1 p a p b p b p c p c p a 1 1 1 p a p b p b p c p c p a 2 2 2 1 1 1 2 a b c 5) Kĩ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau TỦ SÁCH CẤP 2| 64
8. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Với n N và x1 , x2 ,..., xn 0 thì 1 1 1 2 x1 x2 ... xn .. n x1 x2 xn Chứng minh bất đẳng thức trên : Ta có với x1 , x2 ,..., xn 0 thì 1 1 1 1 2 n n x1 x2 ... xn .. n x1 x2 ...xn .n n x1 x2 xn x1 x2 ...xn Với n 3 và x1 , x2 , x3 0 thì 1 1 1 x1 x2 x3 9 x1 x2 x3 b c c a a b Thí dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 6 a b c Hướng dẫn giải Ta có: b c c a a b b c c a a b 1 1 1 3 a b c a b c a b c b c a c a b 3 a b c 1 1 1 a b c 3 9 3 6 a b c a b c 3 Thí dụ 2. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 (Bất đẳng thức Nesbit) ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Hướng dẫn giải Ta có: a b c a b c 1 1 1 3 b c c a a b b c c a a b a b c b c a c a b 3 b c c a a b 1 1 1 a b c 3 b c c a a b 1 1 1 1  b c c a a b  3 2 b c c a a b 9 3 3 2 2 c 2 a 2 b 2 a b c Thí dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b b c c a 2 65 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
9. Hướng dẫn giải c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c a b a b c a b b c c a a b b c c a c a b c 1 a 1 b 1 a b c a b b c c a a b c b c a c a b c a b a b c a b b c c a c a b a b c a b c a b b c c a c a b a b c 1 a b b c c a Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì: a b c 3 b c c a a b 2 c 2 a 2 b 2 3 a b c Do đó a b c 1 (đpcm) a b b c c a 2 2 Thí dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a b c 1. Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 sau: 9 a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Hướng dẫn giải Do a b c 1 ta có: 1 1 1 2 1 1 1 a b c a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 1 1 1 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 1 1 1  a 2 2bc b 2 2ac c 2 2ab  9 a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 6) Kỹ thuật đổi biến số CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn. Thí dụ 1. Cho ABC, AB c, BC a,CA b. Chứng minh rằng: b c a c a b a b c abc (1) Hướng dẫn giải TỦ SÁCH CẤP 2| 66
10. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | y z a 2 b c a x z x Đặt: c a b y b 2 a b c z x y c 2 Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y y z z x x.y.z . . 2 2 2 Trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên: x, y, z 0 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: x y y z z x . . xy. yz zx xyz 2 2 2 Hay b c a c a b a b c abc (đpcm) Thí dụ 2. Cho ABC, AB c, BC a,CA b. Chứng minh rằng: a b c 3 1 b c a c a b a b c Hướng dẫn giải y z a 2 b c a x 0 z x Đặt: c a b y 0 b 2 a b c z 0 x y c 2 y z z x x y ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành: 2x 2y 2z y z z x x y 1 y x 1 z x 1 z y Ta có: 2x 2y 2z 2 x y 2 x z 2 y z 2 y x 2 z x 2 z y . . . 3 2 x y 2 x z 2 y z a b c Hay 3 (đpcm) b c a c a b a b c Thí dụ 3. Cho ABC, AB c, BC a,CA b. Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 a b c (1) b c a c a b a b c Hướng dẫn giải 67 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
11. y z a 2 b c a x 0 z x Đặt: c a b y 0 b 2 a b c z 0 x y c 2 Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: y z 2 z x 2 x y 2 x y z 4x 4y 4z Ta có: y z 2 z x 2 x y 2 yz zx xy 1 yz zx 1 zx xy 1 xy yz 4x 4y 4z x y z 2 x y 2 y z 2 z x yz zx zx xy xy yz . . . z x y x y y z z x a 2 b 2 c 2 Hay a b c (đpcm) b c a c a b a b c a b c Thí dụ 4. Cho ABC, AB c, BC a,CA b, p . CMR: 2 1 1 1 p (1) p a 2 p b 2 p c 2 p a p b p c Hướng dẫn giải b c a Ta có: p a 0 2 Tương tự: p b 0, p c 0 p a x 0 Đặt: p b y 0 p x y z p c z 0 Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 1 1 x y z x 2 y 2 z 2 xyz Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 x y 2 y z 2 z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z . . x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 xy yz zx xyz 1 1 1 p Hay (đpcm) p a 2 p b 2 p c 2 p a p b p c TỦ SÁCH CẤP 2| 68
12. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | a b c 3 Thí dụ 5. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: (1) b c c a a b 2 Hướng dẫn giải y z x a 2 b c x z x y Đặt: c a y b 2 a b z x y z c 2 y z x z x y x y z 1 Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 2x 2y 2z 2 y z x z x y x y z 1 y x 1 z x 1 z y 3 Ta có: 2x 2y 2z 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 y x 2 z x 2 z y 3 3 . . . 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 a b c 3 Hay (đpcm) b c c a a b 2 Thí dụ 6. Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa a c b c 1 . Chứng minh: 1 1 1 4 (1) a b 2 a c 2 b c 2 Hướng dẫn giải 1 x y a c x xy 1 1 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Đặt: y b c y a b x y x a b x y Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành: 1 1 1 4 x y 2 x2 y2 Ta có: 1 1 1 1 1 x2 y2 x2 y2 x y 2 x2 y2 x y 2 x2 2xy y2 1 1 x2 y2 2 2 2 . x2 y2 2 2 4 x2 2 y2 x2 2 y2 1 1 1 Vậy 4 (đpcm) a b 2 a c 2 b c 2 Thí dụ 7. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1 . 69 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
13. x 2 y z y 2 z x z 2 x y Tìm GTNN của biểu thức: A y y 2z z z z 2x x x x 2y y (Đề thi Đại học khối A năm 2007) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: x2 .2 yz y2 .2 zx z2 .2 xy 2x x xyz 2y y yzx 2z z zxy A y y 2z z z z 2x x x x 2y y y y 2z z z z 2x x x x 2y y 2x x 2y y 2z z y y 2z z z z 2x x x x 2y y 1 x x 2a 4b c 9 a y y 2z z 1 Đặt: b z z 2x x y y a 2b 4c 9 c x x 2y y 1 z z 4a b 2c 9 Khi đó 2 2a 4b c a 2b 4c 4a b 2c A 9 a b c 2 b a c c a b 6 4 9 a c b a b c 2 b a c c a b 2 3 3 6 4.3. . . 3. . . 6 12 3 2 9 a c b a b c 9 Dấu “=” xảy ra a b c 1 Vậy GTNN của A là 2 7) Kỹ thuật chọn điểm rơi Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra. CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau: • Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm • Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên Xét các bài toán sau: 1 Bài toán 1: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A a a TỦ SÁCH CẤP 2| 70
14. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 1 1 Sai lầm thường gặp là: A a 2 a. 2 . Vậy GTNN của A là 2. a a 1 Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 a a 1vô lý vì theo giả thuyết thì a 2 . a 1 Phân tích tìm tòi lời giải : Xét bảng biến thiên của a, và S để dự đoán Min A. a a 2 3 4 5 6 7 8 .. 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .. a 2 3 4 5 6 7 8 20 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 A .. 20 2 3 4 5 6 7 8 20 Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì A càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a 2 thì A nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng 1 5 MinA 2 đạt tại “Điểm rơi a = 2” 2 2 Do bất đẳng thức AM-GM xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi a = 2” ta không thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp cho 2 số a 1 1 a 1 và vì 2 . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho cặp số , a 2 a a 1 sao cho tại “Điểm rơi a = 2” thì tức là ta có lược đồ “Điểm rơi a = 2” sau đây: a ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT a 2 2 1 a 2 4 : Hệ số điểm rơi. 1 1 2 a 2 Từ đó ta biến đổi A theo sơ đồ “Điểm rơi” được nêu ở trên. 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 Lời giải đúng: A a 2 . 1 a 4 a 4 4 a 4 4 2 a 1 Dấu “=” xảy ra hay a 2 4 a 5 Vậy GTNN của A là đạt được khi a 2. 2 a 1 Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số , ta có thể chọn các các cặp số sau: a 1 1 a, hoặc a, hoặc a, . a a a 71 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
15. Khi đã quen thì các bạn có thể suy luận đơn giản với điều kiện a 2 thì điểm rơi sẽ 1 1 a 1 a 3 thường nằm ở điểm nút tức là a = 2 khi đó nên ta sẽ tách a a và a 2 4 a 4 4 a 1 ghép cặp để sử dụng bất đẳng thức AM-GM: 4 a 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 A a 2 . 1 a 4 a 4 4 a 4 4 2 1 Bài toán 2: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A a a 2 Sơ đồ điểm rơi: a 2 2 1 a 2 8 1 1 4 a 2 4 a 1 7a a 1 7a 1 7a 1 7.2 9 Sai lầm thường gặp là: A 2 . . Dấu 8 a 2 8 8 a 2 8 2a 8 2.2 8 4 “=” xảy ra a 2 . 9 Vậy GTNN của A là 4 9 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là là đáp số đúng nhưng cách giải trên 4 1 1 mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a 2 là sai”. 2a 2.2 Lời giải đúng: a a 1 6a a a 1 6a 3 6.2 9 A 3.3 . . 8 8 a 2 8 8 8 a 2 8 4 8 4 Dấu “=” xảy ra a 2 . 9 Vậy GTNN của A là CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 4 1 1 Bài toán 3: Cho số thực 0 a . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 2a 2 a2 1 1 1 Sai lầm thường gặp là: A 2a a a 33 a.a. 3 Min A 3. a2 a2 a 1 1 Nguyên nhân sai lầm: Min A 3 a a 1 mâu thuẫn với giả thiết 0 a . a2 2 Phân tích tìm tòi lời giải : Xét bảng biến thiên để dự đoán Min A. TỦ SÁCH CẤP 2| 72
16. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2a 1 5 9 4 7 3 5 2 3 1 100 81 64 49 36 25 16 9 4 a2 1 2 1 2 1 2 1 100 81 64 49 36 25 16 2 A 9 5 5 9 4 7 3 5 2 3 Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì A càng nhỏ và từ đó dẫn đến dự đoán 1 khi a thì A nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng 2 1 MinA 5 đạt tại “Điểm rơi a ” 2 Sơ đồ điểm rơi 1: 1 a 1 2 1 4 a 8 : Hệ số điểm rơi 2 1 4 2 a2 1 1 7 1 7 3 7.4 3 Cách 1: A 2a 2 a a 2 2 3 a.a. 2 2 5. a 8a 8a 8a 8a 2 8 1 Với a thì MinS 5. 2 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Sơ đồ điểm rơi 2: a 1 2 1 4 a 8 : Hệ số điểm rơi 2 1 2 4 a2 1 1 1 1 3 Cách 2: A 2a 2 8a 8a 2 14a 3 8a.8a. 2 14a 12 14a 12 14. 5 a a a 2 1 Với a thì MinS 5. 2 1 Thí dụ 1. Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. Tìm GTNN của A ab ab 1 1 Sai lầm thường gặp: A ab 2 ab. 2 ab ab 73 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
17. 1 a b 1 1 Min A 2 ab 1 1 ab 1 :Vô lý ab 2 2 2 Phân tích và tìm tòi lời giải: 1 1 Biểu thức A chứa hai biến số a, b nhưng nếu đặt t ab hoặc t thì S t là biểu ab t thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến mới, cụ thể là: 1 1 1 1 1 Đặt t ab và t 2 2 4 ab t ab a b 1 2 2 1 Bài toán trở thành: Cho t 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S t t Sơ đồ điểm rơi: t 4 1 4 t 4 16 : Hệ số điểm rơi 1 1 4 t 4 Lời giải đúng: 1 t 1 15t t 1 15t 2 15t 2 15.4 17 A t 2. . t 16 t 16 16 t 6 4 6 4 16 4 1 1 Dấu “=” xảy ra ab a b 4 2 17 1 Vậy GTNN của A là khi t 4 hay a b . 4 2 18 Thí dụ 2. Cho số thực a 6. Tìm GTNN của A a 2 a Phân tích: 18 9 9 Ta có: A a 2 a 2 a a a CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 6 . a 2 36 36 3 Ta có sơ đồ điểm rơi: a 6 24 9 9 3 2 a 6 2 Hướng dẫn giải a2 9 9 23a2 a2 9 9 23a2 9 23.36 Ta có: A 33 . . 39 24 a a 24 24 a a 24 2 24 TỦ SÁCH CẤP 2| 74
18. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | a 2 9 Dấu “=” xảy ra a 6 24 a Vậy GTNN của A là 39 Thí dụ 3. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 . Tìm GTNN của 3 9 4 A a b c a 2b c Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi a 2,b 3,c 4. Sơ đồ điểm rơi: a 2 2 3 4 a 2 3 3 2 3 a 2 b 3   3 3 b 3  2 9 3  2 2b 2 c 4   4 c 4 1  4 4  1 c Hướng dẫn giải 3a 3 b 9 c 4 a b 3c A 4 a 2 2b 4 c 4 2 4 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 3a 3 b 9 c 4 a 2b 3c 2 . 2 . 2 . 4 a 2 2b 4 c 4 3 3 2 5 13 Dấu “=” xảy ra a 2,b 3,c 4 Vậy GTNN của A là 13 ab 12 Thí dụ 4. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: bc 8 1 1 1 8 121 a b c 2 ab bc ca abc 12 ab 12 Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi ,tại điểm rơi a 3,b 4,c 2. bc 8 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 75 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
19. a b 2 a b 2 1 33 . . 18 24 ab 18 24 ab 2 a c 2 a c 2 33 . . 1 9 6 ca 9 6 ca b c 2 b c 2 3 33 . . 16 8 bc 16 8 bc 4 a c b 8 a c b 8 4 44 . . . 9 6 12 abc 9 6 12 abc 3 13a 13b 13a 13b 13 13 13 2 . 2 . .12 18 24 18 24 18 24 3 13b 13c 13b 13c 13 13 13 2 . 2 . .8 48 24 48 24 48 24 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 8 121 a b c 2 (đpcm) ab bc ca abc 12 2) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm Xét bài toán sau: Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1.Tìm GTNN của 1 1 A a b a b 1 1 1 1 Sai lầm thường gặp là: A a b 44 a.b. . 4 a b a b Vậy GTNN của A là 4. 1 1 Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 a b a b 1. Khi đó a b 2 1 a b trái giả thuyết . Phân tích: 1 Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 2 a b 1 1 2 1 1 Sơ đồ điểm rơi: a b 2 2 1 1 2 4 2 a b 1 1 1 1 Lời giải đúng: A 4a 4b 3a 3b 44 4a..4b. . 3 a b 8 3 5 a b a b 1 Dấu “=” xảy ra a b 2 Vậy GTNN của A là 5 TỦ SÁCH CẤP 2| 76
20. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 3 Thí dụ 1. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c . Tìm GTNN của 2 1 1 1 A a b c a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 1 a b c 2 Sơ đồ điểm rơi: a b c 1 1 2 1 1 a b c 2 2 1 1 1 2 4 2 a b c Hướng dẫn giải 1 1 1 A 4a 4b 4c 3a 3b 3c a b c 1 1 1 66 4a.4b.4c. . . 3 a b c a b c 9 13 12 2 2 1 Dấu “=” xảy ra a b c 2 13 Vậy GTNN của A là 2 3 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Thí dụ 2. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c . Tìm GTNN của 2 1 1 1 A a 2 b 2 c 2 a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 1 a b c 2 Sơ đồ điểm rơi: 1 a 2 b 2 c 2 1 4 1 2 a b c 8 2 1 1 1 2 4 a b c Hướng dẫn giải 77 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC