Tài liệu Hình học Lớp 12 - Nón. Trụ. Cầu - Toán thực tế liên quan mặt và khối trụ (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Tài liệu Hình học Lớp 12 - Nón. Trụ. Cầu - Toán thực tế liên quan mặt và khối trụ (Có lời giải chi tiết)

1. TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI TRỤ Câu 1: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích1 000cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng 5 5 500 500 A. 10. cm . B. 10.3 cm . C. cm . D. 3 cm . Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột trụ tròn gồm 10chiếc của một ngôi nhà. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác có cạnh 20 cm; sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính đáy bằng 60 . Chiều cao mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 4 m. Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa và cứ một bao xi măng 50 kg thì tương đương với 65000 cm3 xi măng. Hỏi số bao xi măng loại 50 kg cần để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột gần với số nào sau đây đây nhất? A. 120bao. B. 135bao. C. 130bao. D. 125bao. Câu 3: Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ 128 bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là m3 . Tính diện tích 3 xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m 2 . A. 50 m2 . B. 64 m2 . C. 40 m2 . D. 48 m2 . Câu 4: Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30cm , chiều rộng 5cm và chiều cao 6cm . Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một khối trụ có chiều cao 1 h 6cm và bán kính đáy r cm . Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn? 2 A. 153 viên. B. 151 viên. C. 154 viên. D. 150 viên. Câu 5: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3. Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất. 10 10 5 10 3 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Câu 6: Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m . Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000đ /m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? A. 14.647.000. B. 15.844.000. C. 13.627.000. D. 16.459.000. Câu 7: Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước 1,5m 8m . Tấm tôn thứ nhất được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có chiều cao 1,5 m ; còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao 1,5m . Gọi V1 , V2 theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật V và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số 1 . V2
2. V V V V A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 V2 4 V2 2 V2 3 Câu 8: Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo 1200. Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được. (trùng câu 7148) . A. S = 12p + 18 3 . B. S = 20p + 25 3 . C. S = 20p . D. S = 20p + 30 3 . Câu 9: Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3cm , 2 cm lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường tròn đáy là 4 cm . Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước? . A. 280 ngày. B. 282 ngày. C. 281 ngày. D. 283 ngày. Câu 10: Một ngôi biệt thự nhỏ có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2m . Trong đó có 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng40cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000đ /m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? A. 14.647.000. B. 15.845.000. C. 13.627.000. D. 16.459.000. Câu 11: Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo 1200. Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được.
3. . A. S = 12p + 18 3 . B. S = 20p + 25 3 . C. S = 20p . D. S = 20p + 30 3 . Câu 12: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị m3 ). 0,5m 5m . A. 114,923m3 . B. 12,637m3 . C. 8,307m3 . D. 11,781m3 . Câu 13: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa). . A. 700 cm2 . B. 750,25 cm2 . C. 756,25 cm2 . D. 754,25 cm2 . Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính R bằng. V V V V A. R 3 . B. R 3 . C. R . D. R . 2 2 Câu 15: Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ. Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là 30 cm và chiều cao cổng là 5 m. Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng. A. 30 m . B. 26 m . C. 24 m . D. 20 m . Câu 16: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm và 240 cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
4. - Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. - Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo V cách 2. Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V V V A. 1 . B. 1 4 . C. 1 1. D. 1 2 . V2 2 V2 V2 V2 Câu 17: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2m . Trong số các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40cm , sau cây cột còn lại phân bổ đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380000 /1m2 (kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy = 3,14159 ). A. 10.400.000 . B. 15.642.000 . C. 11.833.000 . D. 12.521.000 . Câu 18: Để chứa 7 m3 nước ngọt người ta xây một bồn hình trụ có nắp. Hỏi bán kính r của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất. 6 7 8 9 A. r 3 . B. r 3 . C. r 3 . D. r 3 . 2 3 4 Câu 19: Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40 cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26 cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380 000 đ/m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)? A. .1 5 835 00B.0 đ . C. . 15 844 0D.00 . đ 16 468 000 đ 31 688 000 đ Câu 20: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 2,67cm . B. 3,28cm. C. 2,28cm . D. 3,67cm. Câu 21: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm .Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0,2cm . Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng A. 2,28 cm . B. 2,62 cm . C. 3,67 cm . D. 3,08 cm . Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nướC. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào
5. 16 ra ngoài là (dm3 ) . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có 9 chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy R của bình nước. A. R 5(dm). B. R 3(dm). C. R 4(dm). D. R 2(dm). Câu 23: Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện 2 tích toàn phần của hình trụ. Tính S S1 S 2 cm . A. S 4 2400 3 . B. S 4 2400 . C. S 2400 4 . D. S 2400 4 3 . Câu 24: Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là A. 1725 cm2 B. 3450 cm 2 . . C. 1725 cm2 D. 862,5 cm2. Câu 25: Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là một phần của mặt xung quanh một hình trụ như hình bên dưới.
6. Biết AB 4m , ·AEB 150 ( E là điểm chính giữa cung »AB ) và DA 1,4m . Biết giá tiền loại kính này là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Số tiền (làm tròn đến hàng chục nghìn) mà ông An phải trả là: A. 2.840.000 đồng. B. 3.200.000 đồng. C. 2.930.000 đồng. D. 5.820.000 đồng. Câu 26: Để làm một hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể tích V 2 m3 , cần ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn? A. 6 m2 . B. 4 m2 . C. 2 m2 . D. 8 m2 . Câu 27: Người ta cho vào một chiếc hộp hình trụ 3 quả bóng tennis hình cầu. Biết đáy hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi S1 là tổng diện tích S1 3 quả bóng và S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích là: S 2 A. 2. B. 5 . C. 1. D. 3 . Câu 28: Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60 cm, diện tích đáy 900 cm2. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp) . A. Chiều dài 60 cm, chiều rộng 60 cm. B. Chiều dài 900 cm, chiều rộng 60 cm. C. Chiều dài 180cm, chiều rộng 60 cm. D. Chiều dài 30 cm, chiều rộng 60 cm. Câu 29: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm , chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng 9 26 9 26 9 26 A. cm2 . B. cm2 . C. cm2 . D. 9 26 cm2 . 2 5 10 Câu 30: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc). A. 2,33cm . B. 2,25cm . C. 2,75cm . D. 2,67cm . Câu 31: Từ một nguyên liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 100ml 3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy. B. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy. C. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy. D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
7. Câu 32: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng 100 cm3 , bán kính đáy x cm , chiều cao h cm (xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích thước của x và h gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất? A. h 6,476 cm và x 2,217 cm . B. h 3,261 cm và x 3,124 cm . C. h 4,128 cm và x 2,747 cm . h 5,031 cm và x 2,515 cm . D. Câu 33: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ dày của thành ống là 15cm , đường kính của ống là 80cm . Lượng bê tông cần phải đổ là A. m3 . B. 0,195 m3 . C. 0,18 m3 . D. 0,14 m3 . Câu 34: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước. Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là. 3 2 3 2 3 2 3 2 A. 6 V . B. 3 6V . C. 2 V . D. 3 2 V . Câu 35: Một lọ trống miệng đựng nước là hình trụ tròn xoay có chiều cao bằng 1,6 dm ; đường kính đáy bằng 1 dm ; đáy (dưới) của lọ phẳng với bề dày không đổi bằng 0,2 dm ; thành lọ với bề dày không đổi bằng 0,2 dm ; thiết diện qua trục của lọ như hình vẽ; đổ vào lọ 2,5 dl nước (trước đó trong lọ không có nước hoặc vật khác). Tính gần đúng khoảng cách k từ mặt nước trong lọ khi nước lặng yên đến mép trên của lọ (quy tròn số đến hàng phần trăm, nghĩa là làm tròn số đến hai chữ số sau dấu phảy). . A. k 0,51 dm . B. k 0,53 dm . C. k 1,18 dm . D. k 0,52 dm . Câu 36: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 (cm) . Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45 (cm) . Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét ? A. 373 (m) . B. 187 (m) . C. 384 (m) . D. 192 (m) .
8. Câu 37: Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi S1 là S1 tổng diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích là: S 2 A. 5 . B. Là một số khác. C. 2 . D. 1. Câu 38: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm (như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là: A. 3000 cm2 . B. 300 cm2 . C. 1500 cm2 . D. 150 cm2 . Câu 39: Đổ nước vào một thùng hình trụ có bán kính đáy 20cm . Nghiêng thùng sao cho mặt nước chạm vào miệng cốc và đáy cốc như hình vẽ thì mặt nước tạo với đáy cốc một góc 45 Hỏi thể tích của thùng là bao nhiêu cm3 ? . A. 12000 . B. 16000 . C. 8000 . D. 6000 . Câu 40: Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 10,2dm , chiều rộng 2 dm được uốn lại thành mặt xung quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao 2 dm (như hình vẽ). Biết rằng chỗ ghép mất 2cm . Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước? 2 dm 2 dm A. 20,4 lít. B. 20 lít. C. 50 lít. D. 100 lít. Câu 41: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là A Q P B M N C
9. 91125 13500. 3 A. cm3 . B. cm3 . 2 108000 3 91125 C. cm3 . D. cm3 . 4 Câu 42: Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình vẽ (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2 cm , đáy của nó là hình vuông có cạnh 5 cm . Đường kính của khoan là 8 mm . Thể tích phần còn lại của tấm kim loại là: . A. 5000 1280 mm3 . B. 5000 1280 mm3 . C. 50000 1280 mm3 . D. 50000 320 mm3 . Câu 43: Nghiêng một cốc nước hình trụ có đựng nước, người ta thấy bề mặt nước là hình Elip có độ dài trục lớn là 10cm , khoảng cách từ hai đỉnh trên trục lớn của Elip đến đáy cốc lần lượt là 5cm và 11cm . Tính thể tích nước trong cốc. . A. 128p cm3 . B. 172p cm3 . C. 96p cm3 . D. 100p cm3 . Câu 44: Cắt một khối trụ cao 18cm bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất lần lượt là 8cm và 14cm . Tính tỉ số thể tích của hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn). 2 1 5 7 A. . B. . C. . D. . 11 2 11 11 Câu 45: Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao 3m , đường kính đáy 80cm . Người ta cưa 4 tấm bìa để được một khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ. Tính tổng thể tích của 4 tấm bìa bị cưa, xem mạch cưa không đáng kể.
10. 3m . A. 0,12( 2) m3 . B. 0,48( 2) m3 . C. 1,92( 2) m3 . D. 0,4( 2) m3 . Câu 46: Một đại lý xăng dầu cần làm một bồn chứa dầu hình trụ có đáy và nắp đậy bằng tôn với thể tích 16 m3 . Biết rằng giá thành (cả vật liệu và tiền công) được tính theo mét vuông, tìm đường kính đáy của bồn để đại lý phải trả ít chi phí nhất. A. 1 m . B. 2 m . C. 8 m . D. 4 m . Câu 47: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là: 91125 108000 3 13500. 3 91125 A. cm3 . B. cm3 . C. cm3 . D. cm3 . 2 A 4 Câu 48: Một thợ xây muốn sử dụng 1 tấm sắt có chiều dài là 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tông, 1 khung hình trụ có đáy là hình vuông và 1 Qkhung hình trụP có đáy là hình tròn. Hỏi phải chia tấm sắt thành 2 phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích 2 khung là nhỏ nhất? 4 2 A. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình Btròn lầnM lượt có chiềuN dàiC là , . p + 4 p + 4 2 4p B. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là , . p + 4 p + 4 2 4p + 14 C. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là , . p + 4 p + 4 4p + 14 2 D. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là , . p + 4 p + 4 Câu 49: Người ta cần sản xuất một lon hình trụ bằng nhôm có thể tích V. Để tiết kiệm nhôm nhất thì phải sản xuất lon có bán kính đáy là: V V V 2V A. R . B. R 3 . R 3 D. R 3 . 3 2 C. . Câu 50: Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ là V mà diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn đáy khối trụ bằng? V V V V A. . B. 3 . C. 3 . D. . 2 2 Câu 51: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là k m3 ( k 0 ). Chi phí mỗi m2 đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m2 mặt bên
11. là 400 nghìn đồng. Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể). k k k 2 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 . 2 2 k Câu 52: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất. A. 1m và 2m . B. 1dm và 2dm . C. 1cm và 2cm . D. 1m và 1m. Câu 53: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150m3 . Đáy bể làm bằng bê tông giá 100000đ / m2 . Phần thân làm bằng tôn giá 90000đ / m2 , nắp bằng nhôm giá 120000đ / m2 . Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu? 31 9 21 22 A. . B. . C. . D. . 22 22 32 9 Câu 54: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V cm3 . Hỏi bán kính R(cm) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất? 3V V V V A. R 3 . B. R 3 . C. R 3 . D. R 3 . 2 4 2 Câu 55: Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? A. 1m và 2 m. B. 2 dm và 1 dm. C. 2 m và 1m. D. 1 dm và 2 dm. Câu 56: Một người có một dải ruy băng dài 130 cm , người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nặp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây ruy băng bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? . A. 2000 cm3 . B. 1000 cm3 . C. 4000 cm3 . D. 1600 cm3 . Câu 57: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3. Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất. 10 10 3 5 5 10 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Câu 58: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r 2m , chiều cao h 6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V .
12. 32 32 32 32 A. V m3 . B. V m3 . C. V m3 . D. V m2 . 9 3 3 9 Câu 59: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là R 3 3 cm Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng). . A. 108 cm3 . B. 18 cm3 . C. 54 cm3 . D. 45 cm3 . Câu 60: Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều hộp kiểu hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt, Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiết kiêm được nguyên liệu mà thể tích lại lớn nhất. A. Hộp hình trụ có đường cao bằng một nửa bán kính đáy. B. Hộp hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. C. Hộp hình trụ có đường cao bằng hai lần đường kính đáy. D. Hộp hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy. Câu 61: Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật (không nắp) bằng tôn thể tích 665,5 dm3 . Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh x(dm) , chiều cao h(dm) . Để làm chiếc thùng, bác thợ phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm x để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất. A. 11(dm) . B. 12(dm) . C. 10,5(dm) . D. 9(dm) . Câu 62: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng A. 50 5dm2 . B. 125dm2 . C. 106,25dm2 . D. 75dm2 . Câu 63: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m. Trong số các cây đó có 2 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, 6 cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột
13. bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380.000 / m2 (kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy 3,14159 ) A. 15.642.000 B. 10.400.000 C. 11.833.000 D. 12.521.000 Câu 64: Khi sản xuất vỏ lon bia hình trụ có chiều cao h và đường kính đáy d . Các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu chi phí nguyên liệu vỏ lon (bằng nhôm) là ít nhất khi thể tích của lon bia là V không đổi. Khi h đó tỉ lệ là: d 1 1 A. 3 2 . B. . C. . D. . 3 2 Câu 65: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng 100 cm3 , bán kính đáy x cm , chiều cao h cm (xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích thước của x và h gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất? A. h 6,476 cm và x 2,217 cm . B. h 3,261 cm và x 3,124 cm . C. h 4,128 cm và x 2,747 cm . D. h 5,031 cm và x 2,515 cm . Câu 66: Một cái nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao của nồi 11.4 cm, đường kính dáy là 20.8 cm. Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình tròn có bán kính R tối thiểu là bao nhiêu để làm cái nồi như vậy (không kể quay nồi) A. R 18.58cm . B. R 19.58cm . C. R 13.13cm . D. R 14.13cm . Câu 67: Một bang giấy dài được cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh một ống lõi C B hình trụ rỗng có đường kính C 12,5mm. Biết độ dày của giấy cuộn là 0,6mm và đường kính cả cuộn giấy là B 44,9mm. Tính chiều dài l của cuộn giấy. A. L 44m B. L 38m C. L 4m D. L 24m Câu 68: Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự định tính tạo thành các hình trụ (không đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gò hai mép hình vuông để thành mặt xunng quanh của một hình trụ, gọi thể tích của khối trụ đó là V1.
14. Cách 2: Cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2. V Khi đó, tỉ số 1 là: V2 1 1 A. 3 B. 2 C. D. 2 3 Câu 69: Người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng một elip với độ dài trục lớn bằng 8 độ dài trục bé bằng 4 để được một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không có đáy như hình bên. Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối trụ đó A A C x H 2x B B 128 3 64 64 128 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 3 2 3 3 3 2