Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Tính đơn điệu của hàm số - Lý thuyết: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Tính đơn điệu của hàm số - Lý thuyết: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa 1. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y f x là một hàm số xác định trên K. Ta nói: + Hàm số y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2 K, x1 x2 f x1 f x2 + Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2 K, x1 x2 f x1 f x2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. 2. Nhận xét. a. Nhận xét 1. Nếu hàm số f x và g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f x g x . b. Nhận xét 2. Nếu hàm số f x và g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f x .g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f x , g x không là các hàm số dương trên D. c. Nhận xét 3. Cho hàm số u u x , xác định với x a;b và u x c;d . Hàm số f u x cũng xác định với x a;b . Ta có nhận xét sau: i. Giả sử hàm số u u x đồng biến với x a;b . Khi đó, hàm số f u x đồng biến với x a;b f u đồng biến với u c;d . ii. Giả sử hàm số u u x nghịch biến với x a;b . Khi đó, hàm số f u x nghịch biến với x a;b f u nghịch biến với u c;d . 3. Định lí 1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' x 0,x K . b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ' x 0,x K . 4. Định lí 2. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f ' x 0,x K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu f ' x 0,x K thì hàm số f nghịch biến trên K. c) Nếu f ' x 0,x K thì hàm số f không đổi trên K. Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn: x a b f'(x) + f(b) f(x) f(a)
2. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và f ' x 0,x a;b thì hàm số f đồng biến trên đoạn a;b . Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau: 5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f ' x 0,x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu f ' x 0,x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K • Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng biến trên K . • Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f nghịch biến trên K . Chú ý: ax b *) Riêng hàm số: y . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau: cx d +) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y ' 0x D +) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y ' 0x D y ' 0x a,b +) Để hàm số đồng biến trên khoảng a;b thì d x c y ' 0x a,b +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a;b thì d x c Giả sử y f x ax3 bx2 cx d f x 3ax2 2bx c. Hàm số đồng biến trên ¡ Hàm số nghịch biến trên ¡ a 0 a 0 0 0 f x 0;x ¡ a 0 . f x 0;x ¡ a 0 . b 0 b 0 c 0 c 0 Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a b c 0 thì f x d (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) * Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng l ta giải như sau: Bước 1: Tính y f x;m ax2 bx c. Bước 2: Hàm số đơn điệu trên x1; x2 y 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 * a 0 Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l
3. 2 2 2 2 x1 x2 l x1 x2 4x1x2 l S 4P l Bước 4: Giải * và giao với để suy ra giá trị m cần tìm.