Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Số phức - Lý thuyết chung

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Số phức - Lý thuyết chung

1. MỤC LỤC Lý thuyết chung 1 Chuyên đề 1. THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN .5 Chuyên đề 2. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO 31 Chuyên đề 3. SỐ PHỨC LIÊN HỢP 67 Chuyên đề 4. TÍNH MOĐUN SỐ PHỨC 78 Chuyên đề 5. PT BẬC NHẤT THEO Z VÀ LIÊN HỢP CỦA Z 123 Chuyên đề 6. TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PT BẬC 2 .138 Chuyên đề 7. MỐI LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PT 148 Chuyên đề 8. TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PT BẬC CAO 174 Chuyên đề 9. BIỂU DIỄN MỘT SỐ PHỨC .189 Chuyên đề 10. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 255 Chuyên đề 11. MAX-MIN CỦA MOĐUN SỐ PHỨC .318 Chuyên đề 12. CÁC DẠNG KHÁC 390
2. A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA ❖ + Một số phức là một biểu thức dạng z a bi với a,b ¡ và i2 1, ❖ i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức . z a bi + Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ . £ a bi / a,b ¡ ;i2 1 . ❖ + Chú ý: - Khi phần ảo là số thực. - Khi phần thực a 0 z bi z là số thuần ảo. - Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo. a c ❖ + Hai số phức bằng nhau: a bi c di vôùi a,b,c,d ¡ . b d ❖ + Hai số phức z1 a bi; z2 a bi được gọi là hai số phức đối nhau. 2.SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp của z a bi với a,b ¡ là a bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z z Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z 1 2i là số phức z 1 2i . Số phức liên hợp của số phức z 5 3i là số phức z 5 3i . 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với a,b ¡ được biểu diễn bằng điểm M a;b . Ví dụ: • A 1; 2 biểu diễn số phức z1 1 2i . • B 0;3 biểu diễn số phức z2 3i . • C 3;1 biểu diễn số phức z3 3 i . • D 1;2 biểu diễn số phức z4 1 2i . 4. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC ❖ Môđun của số phức z a bi a,b ¡ là z a2 b2 . ❖ Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z a bi a,b ¡ đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:  OM a2 b2 zz . 5. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho hai số phức ; z' a' b'i với a,b,a',b' ¡ và số k ¡ .
3. ❖ + Tổng hai số phức: z z ' a a ' (b b')i ❖ + Hiệu hai số phức: z z ' a a ' (b b')i . ❖ + Số đối của số phức z a bi là z a bi .  ❖ + Nếu u,u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z ' thì  u u' biểu diễn số phức z z '.  u u' biểu diễn số phức z z ' . ❖ + Nhân hai số phức: z.z ' a bi a ' b'i a.a ' b.b' a.b' a '.b i . ❖ + Chia 2 số phức: 1 - + Số phức nghịch đảo: z 1 z z 2 z ' z '.z - Nếu z 0 thì , nghĩa là nếu muốn chia số phức z ' cho số phức z 0 thì ta nhân cả tử và z z 2 z ' mẫu của thương cho z . z ❖ + Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 1; i4k 3 i (k ¢ ) B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC: 1. LÝ THUYẾT Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn thức bậc 2 của w. Mỗi số phức w 0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z). • *Trường hợp w là số thực ( w a ¡ ) + Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là a và a . + Khi a<0 nên a ( a)i2 , do đó w có hai căn bậc hai là a.i và a.i . Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i. Hai căn bậc 2 của a2 (a 0) là ai , ai. • *Trường hợp w a bi (a,b ¡ ;b 0) + Cách 1: Gọi z x yi (x,y ¡ ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2 w , tức là: (x yi)2 a bi x2 y2 a x ; y 2xy b Mỗi cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z x yi của số phức w a bi . + Cách 2: Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w z2 . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là z và - z .
4. II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC a) Phương pháp giải: Cho phương trình bậc 2: Az2 Bz C 0 (1) Trong đó A,B,C là những số phức A≠0. Xét biệt thức B2 4AC + Nếu 0thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: B  B  z ; z 1 2A 2 2A Trong đó  là một căn bậc 2 của . + Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: B z z 1 2 2A CHÚ Ý: n n 1 + Mọi phương trình bậc n: A0 z A1z An 1z An 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). + Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 : Az2 Bz C 0 (A, B,C ¡ ; A 0) có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có: B S z z 1 2 A C P z z . 1 2 A 2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. a) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. * Bước 1: Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau: + Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là x 1 . + Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình x 1. + Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x a bằng giá trị của đa thức f (x) tại x a . Tức là f x x a g x f a Hệ quả: Nếu f a 0 thì f x  x a . Nếu f x  x a thì f a 0 . + Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: - Nhập phương trình vào máy tính. - Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình. Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử. + Sơ đồ Hoocne: n n-1 n-2 Với đa thức f(x) = an x an-1x an-2 x a1x a0 chia cho x - a thương là
5. n-1 n-2 n-3 g(x) = bn-1x bn-2 x bn-3 x b1x b0 dư r. Nếu r 0 thì f x g x , nghĩa là: f x x a g x . Ta đi tìm các hệ số bn-1,bn-2 ,bn-3 b1,b0 bằng bảng sau đây. an an-1 an-2 . a2 a1 a0 r a bn 1 bn 2 bn 3 b1 b0 ab0 a0 an abn 1 an-1 abn 2 an-2 ab2 a2 ab1 a1 * Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm.