Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 7: Bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất. Tích phân (Có đáp án)

22 trang nhungbui22 12/08/2022 1770

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 7: Bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất. Tích phân (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 7: Bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất. Tích phân (Có đáp án)

BĐT – GTLN, GTNN TÍCH PHÂN BÀI TẬP 2 Câu 1: Tích phân min x2 ,3x 2dx bằng 0 2 11 2 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 6 2 Câu 2: Giá trị của tích phân max sin x;cos xdx bằng 0 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. . 2 2 Câu 3: Tính I min x; 3 2 xdx . 0 3 5 A. I 2 . B. I . C. I 1. D. I . 4 4 2 Câu 4: Tính tích phân I max x; x3dx. 0 17 15 7 A. . B. 2 . C. . D. . 4 4 4 3 Câu 5: Tính tích phân I max x3; 4x2 3xdx. 0 117 707 275 119 A. . B. . C. . D. . 2 2 12 6 x Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của G x t 2 t dt trên đoạn  1;1. 1 1 5 5 A. . B. 2 . C. . D. . 6 6 6 2 Câu 7: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex x3 4x . Hàm số F x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . 2017x Câu 8: Biết rằng F x là một nguyên hàm trên ¡ của hàm số f x 2018 thỏa mãn x2 1 F 1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 1 1 22017 1 22017 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 22018 22018 2 t Câu 9: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f t 2 3 cos 2x 2sin 2x dx trong khoảng 0; . 0 A. M 3 3 . B. M 3. C. M 2 3 . D. M 2 . 1 Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x x , x ¡ và f 1 1. Tìm giá x trị nhỏ nhất của f 2 . 5 A. 3 . B. 2 . C. ln 2 . D. 4 . 2
e2 x Câu 11: Gọi x , x lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số f x t ln tdt . Tính 1 2 ex S x1 x2 . A. ln 2e . B. ln 2 . C. ln 2 . D. 0 . Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 1; thỏa mãn f 1 1 và f x 3x2 2x 5 trên 1; . Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho min f x m với mọi hàm số x 3;10 y f x thỏa điều kiện đề bài. A. m 15 . B. m 20 . C. m 25. D. m 30 . x Câu 13: Xét hàm số F x f t dt trong đó hàm số y f t có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các 2 giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F 1 . B. F 2 . C. F 3 . D. F 0 . 1 Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của S x2 ax dx với a 0,1 0 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. 6 3 3 6 b Câu 15: Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x2 a b x ab dx a A. 4 3 . B. 12. C. 2 3 . D. 48 b Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của I x2 2 m x 2 dx trong đó a b là hai nghiệm của phương a trình x2 2 m x 2 0 128 8 2 A. . B. . C. 8 . D. 2 2 9 3 1 Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của S x3 ax dx với a 0,1 0 2 2 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. 6 8 4 8 b Câu 18: Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x a 2 x b dx a 64 49 A. 12. B. 0. C. . D. 3 3
2 Câu 19: Cho a b 2 a2 b2 4 và a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b I x2 a b x ab dx a 16 9 4 3 A. . B. . C. . D. 9 16 3 4 2m Câu 20: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S x3 4mx2 5m2 x 2m3 dx với m m 1;3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng 41 21 A. a b . B. a b 1. C. a b . D. a b 2 6 4 Câu 21: m là tham số thuộc đoạn 1;3 . Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2m P x m 2 x 2m 2 dx . Tính a b m 122 121 A. 31. B. 36 . C. . D. 15 4 2 2m 2 a Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của P x2 2 m2 m 1 x 4 m3 m dx là S ;a,b nguyên m b a dương và tối giản. Tính T a b b A. 7. B. 337. C. 25. D. 91 1 1 2 2018  Câu 23: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1. Tìm m m in x. f x dx x . f x dx f A 0 0  1 1 2017 1 A. . B. . C. . D. 2019 16144 2018 16140 Câu 24: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1. Tìm 1 1 2 2013  M m in x. f x dx+ x . f x dx f A 0 0  1 503 2012 1 A. . B. . C. . D. 2014 2014 2013 8.2013 Câu 25: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f x 1, x ¡ và f 0 0. Tìm giá trị lớn nhất của f 1 2e 1 e 1 A. . B. . C. e 1. D. 2e 1. e e Câu 26: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1 và nhận giá trị không âm trên đoạn 0;1. Tìm 1 1 m nhỏ nhất sao cho f 2018 x dx m. f x dx f A 0 0 1 A. 2018 . B. 1. C. . D. 2018 2018 Câu 27: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 1 1 1 2 mãn f 1 2018. f 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M dx f ' x dx 2 0 f x 0 A. ln 2018 . B. 2ln 2018 . C. 2e . D. 2018e
Câu 28: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1và thỏa mãn 2 1 f ' x . Tìm mệnh đề đung f 1 e. f 0 e; dx 1 0 f x 1 2 1 1 1 1 A. f e . B. f e . C. f e . D. f 2 2 2 2 2e Câu 29: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 1 1 1 2 mãn f 1 e. f 0 . Biểu thức dx f ' x dx 2 . Mệnh đề nào đúng 2 0 f x 0 2e 2e2 2 e 2 2 e 2 A. f 1 . B. f 1 . C. f 1 . D. f 1 e 1 e2 1 e 1 e2 1 Câu 30: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2 x 1 1 1 với mọi x  1;1 và f x dx 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 f x dx ? 1 1 1 1 2 A. B. C. D. 1 2 4 3 Câu 31: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn f x  8;8 với 1 1 mọi x 0;1 và xf x dx 3 . Tìm giá trị lớn nhất của x3 f x dx? 0 0 31 4 17 A. 2 B. C. D. 16 3 8 1 Câu 32: Cho hàm số y f x dương và liên tục trên 1;3 thỏa mãn max f x 2;min f x và 1;3 1;3 2 3 3 1 3 biểu thức S f x dx dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính f x dx ? 1 1 f x 1 7 5 7 3 A. B. C. D. 2 2 5 5 2 Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và f x x4 2x x 0 và f 1 1. x2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 0;1 . B. Phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm trên 0; . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 1;2 . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 2;5 . Câu 34: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 3 f x xf ' x x2018 1 với mọi x 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân f x dx bằng: 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 2021 2022 2018 2021 2018 2019 2019 2021
3 2 f x 7 Câu 35: Cho hàm số f x thỏa mãn f x 0, x 1;2 và dx . Biết f 1 1,   4 1 x 375 22 2 f 2 , tính I f x dx . 15 1 71 6 73 37 A. P . B. P . C. P . D. P . 60 5 60 30 Câu 36: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x 1 1 g x 1 f t dt . Biết g x f x với mọi x 0;1 . Tích phân dx có giá trị 0 0 g x lớn nhất bằng: 1 2 1 A. B. 1 C. D. 3 2 2 Câu 37: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x 1 g x 1 3 f t dt . Biết g x f 2 x với mọi x 0;1 . Tích phân g x dx có giá trị 0 0 lớn nhất bằng: 5 4 7 9 A. B. C. D. 2 3 4 5 Câu 38: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x2 1 g x 1 f t dt . Biết g x 2xf x2 với mọi x 0;1 . Tích phân g x dx có giá trị 0 0 lớn nhất bằng: A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Câu 39: Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và 1 1 1 2 1 3 3 f x f x dx 2 f x f x dx . Tính tích phân f x dx : 0 9 0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 2 Câu 40: Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên ¡ thỏa mãn f x . f x 2x f x 1 và f 0 0. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M 20 ; m 2 . B. M 4 11 ; m 3 . C. M 20 ; m 2 . D. M 3 11 ; m 3 . Câu 41: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x 1 3 2 3 g x 1 2 f t dt . Biết g x f x với mọi x 0;1 . Tích phân g x dx có 0 0 giá trị lớn nhất bằng: 5 4 A. B. 4 C. D. 5 3 3
1 Câu 42: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; 1 thỏa mãn xf x dx 0 và max f x 1. Tích [0; 1] 0 1 phân I ex f x dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5 3 5 3 A. ; . B. ; e 1 . C. ; . D. e 1; . 4 2 4 2 1 Câu 43: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn x2 f x dx 0 và max f x 6. [0;1] 0 1 Giá trị lớn nhất của tích phân x3 f x dx bằng 0 3 1 3 2 4 2 3 4 1 A. . B. . C. . D. . 8 4 16 24
HƯỚNG DẪN GIẢI 2 min x2 ,3x 2dx Câu 1. Tích phân 0 bằng 2 11 2 17 A. .B. .C. . D. . 3 6 3 6 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 x 1 Ta có x 3x 2 x 3x 2 0 . x 2 Suy ra x2 3x 2 âm trên khoảng 0,1 ; dương trên 1,2 . Vậy min x2 ,3x 2 3x 2 , min x2 ,3x 2 x2 [0,1]  [1,2]  2 1 2 1 7 11 Vậy min x2 ,3x 2dx 3x 2 dx x2dx . 0 0 1 2 3 6 2 Câu 2. Giá trị của tích phân max sin x;cos xdx bằng 0 1 A. 0 . B. 1.C. 2 . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có phương trình sin x cos x 0 có một nghiệm trên đoạn 0; là x . 2 4 Bảng xét dấu x 0 4 2 sin x cos x 0 2 4 2 Suy ra max sin x;cos x dx cos xdx sin xdx sin x 4 cos x 2 2 .  0 0 0 4 4 2 I min x; 3 2 xdx Câu 3. Tính 0 . 3 5 A. I 2 .B. I . C. I 1.D. I . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta xét dấu f x x 3 2 x trên đoạn 0;2 . Ta có x 3 2 x 0 x3 x 2 0 x 1 x2 x 2 0 x 1. Bảng xét dấu
x khi x 0;1 Do đó min x; 3 2 x .  3 2 x khi x 1;2 2 1 2 1 3 5 Suy ra I min x; 3 2 xdx x dx 3 2 xdx . 0 0 1 2 4 4 2 Câu 4. Tính tích phân I max x; x3dx. 0 17 15 7 A. .B. 2 .C. .D. . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Trên đoạn 0; 2 , xét x x3 x x 1 x 1 0x 0; 2 0 x 1. x 0; 1 x x3   3 x khi 0 x 1 Vậy max x; x  . 3 0; 2 3 x 1; 2 x x x khi 1 x 2 2 1 2 1 15 17 Suy ra I max x; x3dx xdx x3dx 0 0 1 2 4 4 3 Câu 5. Tính tích phân I max x3; 4x2 3xdx. 0 117 707 275 119 A. .B. .C. .D. . 2 2 12 6 Hướng dẫn giải Chọn C Trên đoạn 0; 3 : Xét x3 4x2 3x x x 1 x 3 0x 0; 3 x 0; 1. x 0; 1 x3 4x2 3x x3 khi x 0; 1   3 2   Vậy max x ; 4x 03x . 3 2 0; 3 2 x 1; 3 x 4x 3x 4x 3x khi x 1; 3 3 1 3 275 Khi đó I max x3;4x2 3xdx x3dx 4x2 3x dx 0 0 1 12 x Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của G x t 2 t dt trên đoạn  1;1. 1 1 5 5 A. .B. 2 .C. .D. . 6 6 6 Hướng dẫn giải x x 3 2 3 2 3 2 2 t t x x 1 1 x x 5 G x t t dt 3 2 3 2 3 2 3 2 6 1 1 G ' x x2 x bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên Chọn C
2 Câu 7. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex x3 4x . Hàm số F x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 .B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 Ta có F x f x ex .x x 2 x 2 . F x đổi dấu qua các điểm x 0 ; x 2 nên hàm số F x có 3 điểm cực trị. 2017x Câu 8. Biết rằng F x là một nguyên hàm trên ¡ của hàm số f x 2018 thỏa mãn x2 1 F 1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 1 1 22017 1 22017 1 A. m .B. m .C. m .D. m . 2 22018 22018 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2017 2017x 2017 2018 2017 x 1 Ta có f x dx dx x2 1 d x2 1 . C 2018 x2 1 2 2 2017 1 2017 C F x 2 x2 1 1 1 Mà F 1 0 C 0 C 2.22017 22018 1 1 Do đó F x 2017 2018 suy ra 2. x2 1 2 1 2 F x đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 2017 lớn nhất x 1 nhỏ nhất x 0 2 x2 1 1 1 1 22017 Vậy m . 2 22018 22018 t Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f t 2 3 cos 2x 2sin 2x dx trong khoảng 0; . 0 A. M 3 3 .B. M 3. C. M 2 3 . D. M 2 . Hướng dẫn giải Chọn B t t Ta có: f t 2 3 cos 2x 2sin 2x dx 3 sin 2x cos 2x 3 sin 2t cos 2t 1. 0 0 3 1 f t 2 sin 2t cos 2t 1 2sin 2t 1 3 . 2 2 6 Dấu bằng xảy ra khi t . 3 Vậy giá trị lớn nhất M của hàm số là 3. 1 Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x x , x ¡ và f 1 1. Tìm giá x trị nhỏ nhất của f 2 .
5 A. 3 .B. 2 .C. ln 2 .D. 4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Theo giả thiết f x x , x ¡ nên lấy tích phân 2 vế với cận từ 1 đến 2 ta được x 2 2 1 3 f x dx x dx ln 2 1 1 x 2 2 2 3 5 Mà f x dx f x f 2 f 1 f 2 1 nên f 2 1 ln 2 f 2 ln 2 1 1 2 2 1 x2 Đẳng thức xảy ra khi f x x , x 0 f x ln x C . x 2 1 x2 1 Mà f 1 1 C . Vậy f x ln x . 2 2 2 x2 1 5 f x ln x KL: giá trị nhỏ nhất của f 2 bằng ln 2 khi 2 2 . 2 e2 x Câu 11. Gọi x , x lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số f x t ln tdt . Tính 1 2 ex S x1 x2 . A. ln 2e .B. ln 2 .C. ln 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C e2 x Đặt g t t ln t . Ta có f x t ln tdt g e2x g ex ex Ta có f x e2x .g e2x ex .g ex 2e2x .e2x .ln e2x ex .ex .ln ex 4xe4x xe2x xe2x 4e2x 1 . x1 0 f x 0 . x2 ln 2 x1 x2 ln 2 . Câu 12. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 1; thỏa mãn f 1 1 và f x 3x2 2x 5 trên 1; . Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho min f x m với mọi hàm số x 3;10 y f x thỏa điều kiện đề bài. A. m 15 . B. m 20 .C. m 25.D. m 30 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f x 3x2 2x 5 trên 1; Do 3x2 2x 5 0 , x 1; nên f x 0 , x 1; . Do đó hàm số f x đồng biến trên 1; . Suy ra min f x f 3 . x 3;10 Ta lại có: 3 3 3 3 f x dx 3x2 2x 5 dx f x x3 x2 5x 1 1 1 1
f 3 f 1 24 f 3 25 Vậy min f x 25 . Hay m 25. x 3;10 x Câu 13. Xét hàm số F x f t dt trong đó hàm số y f t có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các 2 giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F 1 .B. F 2 . C. F 3 . D. F 0 . Hướng dẫn giải Chọn B x Ta có F x f t dt f x . 2 Xét trên đoạn 0;3 , ta thấy F x 0 f x 0 x 2 . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên 0;2 hàm số F x đồng biến nên F 0 F 2 . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên 2;3 hàm số F x nghịch biến nên F 3 F 2 . Vậy F 2 là giá trị lớn nhất. 1 Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của S x2 ax dx với a 0,1 0 2 2 2 1 2 2 2 1 A. .B. . C. . D. 6 3 3 6 Hướng dẫn giải Phá dấu trị tuyệt đối ta có a 1 1 a 1 3 2 3 2 3 2 2 2 x ax x ax 2a 3a 2 S x ax dx x ax dx x ax dx 3 3 3 3 6 0 0 a 0 a 1 2 2 Smin f 2 6 b Câu 15. Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x2 a b x ab dx a A. 4 3 .B. 12.C. 2 3 .D. 48 Ta có 2 3 2 3 2 3 3 a b 4ab ab 4 4ab ab 2 12 123 I 2 48 36.a4 36 36 36 36 I 4 3 b Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của I x2 2 m x 2 dx trong đó a b là hai nghiệm của phương a trình x2 2 m x 2 0
128 8 2 A. .B. .C. 8 . D. 2 2 9 3 2 3 3 2 m 8 128 8 2 I I 36a 4 36 9 3 1 Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của S x3 ax dx với a 0,1 0 2 2 1 1 2 2 A. .B. .C. . D. 6 8 4 8 a 1 a 1 2 4 4 2 3 3 a.x x x a.x S a.x x dx x a.x dx 2 4 4 2 0 a 0 a 2 a2 a2 1 a a2 a2 1 1 1 1 S a 2 4 4 2 4 2 2 2 8 8 b Câu 18. Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x a 2 x b dx a 64 49 A. 12.B. 0.C. . D. 3 3 b b b 2 2 2 S x a x a a b dx x a x a dx a b x a dx a a a 1 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 S a b a b 4ab ab 4 4ab ab 2 12 12 12 12 12 12 2 Câu 19. Cho a b 2 a2 b2 4 và a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b I x2 a b x ab dx a 16 9 4 3 A. .B. .C. . D. 9 16 3 4 2 4 a b 2 a2 b2 a b 2 1 a b 2 a b 2 2 3 2 3 3 a b 4ab a b 43 4 I 2 36a 4 36 36 36 3 a b 0 a 1 Khi đó 2 2 2 2 b 1 a b a b 4 2m Câu 20. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S x3 4mx2 5m2 x 2m3 dx với m m 1;3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng 41 21 A. a b .B. a b 1.C. a b .D. a b 2 6 4 2m 2m 2m S x m 2 x 2m dx x m 2 x 2m dx x m 2 x m m dx m m m 2m 2m 2m 4 3 4 3 2 x m m x m m S x m dx+m x m dx= m m 4 3 12 m
41 Thay m 1;3 vào ta có a b 6 Câu 21. m là tham số thuộc đoạn 1;3 . Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2m P x m 2 x 2m 2 dx . Tính a b m 122 121 A. 31.B. 36 .C. .D. 15 4 m5 1 35 35 1 122 P ; T 30 30 30 30 15 2 2m 2 a Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của P x2 2 m2 m 1 x 4 m3 m dx là S ;a,b nguyên m b a dương và tối giản. Tính T a b b A. 7.B. 337.C. 25.D. 91 Hướng dẫn giải 3 2 3 4 m m 1 4 3 9 Ta có: P . T 9 16 25 3 3 4 16 1 1 2 2018  Câu 23. A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1. Tìm m m in x. f x dx x . f x dx f A 0 0  1 1 2017 1 A. .B. .C. .D. 2019 16144 2018 16140 Hướng dẫn giải Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f x có hệ số a x;b x2018;c 0 b x2017 f x 2a 2 Nên biểu thức Min tại 1 1 1 x4036 x4035 1 m dx dx min 4a 4.x 4x4036 16144 0 0 0 Câu 24. A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1. Tìm 1 1 2 2013  M m in x. f x dx+ x . f x dx f A 0 0  1 503 2012 1 A. .B. .C. .D. 2014 2014 2013 8.2013 Hướng dẫn giải Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f x có hệ số a x;b x2013;c 0 b x2013 x2012 f x 2a 2x 2 Nên biểu thức Max tại 1 1 1 x4026 x4026 1 M dx dx max 4a 4.x 4.4026 4.4026 0 0 0 Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f x 1, x ¡ và f 0 0. Tìm giá trị lớn nhất của f 1 2e 1 e 1 A. .B. .C. e 1.D. 2e 1. e e
Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x ¡ , x x x x x f x f x 1 e f x e f x e e f x e 1 1 1 1 e 1 ex f x dx ex dx ex f x ex e. f 1 e 1 f 1 . 0 0 0 0 e e 1 Do đó giá trị lớn nhất của f 1 là . e Câu 26. A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1 và nhận giá trị không âm trên đoạn 0;1. Tìm 1 1 m nhỏ nhất sao cho f 2018 x dx m. f x dx f A 0 0 1 A. 2018 .B. 1. C. . D. 2018 2018 1 1 1 Đặt t 2018 x dx 2018.t 2017dt nên f 2018 x dx=2018. t 2017 . f t .dt 2018 f t .dt 0 0 0 Tìm m nhỏ nhất nên m 2018 . Ta sẽ Cm m 2018 là số cần tìm. Xét f x xn ta có 1 1 2018 m 2018 n 1 xn/2018dx m xndx m 0 0 n 2018 n 1 n 2018 Cho n ta có m 2018 . Vậy m 2018 là hằng số nhỏ nhất cần tìm Câu 27. Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 1 1 1 2 mãn f 1 2018. f 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M dx f ' x dx 2 0 f x 0 A. ln 2018 .B. 2ln 2018 .C. 2e .D. 2018e Hướng dẫn giải 2 1 1 1 1 f x f x 1 M= f ' x dx 2 dx 2 dx 2ln f x 2ln 2018 ' ' 0 0 f x 0 f x 0 f x Câu 28. Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1và thỏa mãn 2 1 f ' x . Tìm mệnh đề đung f 1 e. f 0 e; dx 1 0 f x 1 2 1 1 1 1 A. f e .B. f e .C. f e .D. f 2 2 2 2 2e Hướng dẫn giải 1 ' f x 1 f 1 Ta có dx= ln f x lnf 1 ln f 0 ln ln e 1 0 0 f x f 0 2 2 1 f ' x 1 f ' x Nên dx 1 1 dx 0 f x f x 0 0 2 2 1 f ' x f ' x 1 f ' x f ' x 2. 1 dx 0 1 dx 0 1 0 f x f x f x f x 0 0
x x 1 Vậy: f x A.e . Mà f 1 e. f 0 e Nên f x e f e 2 f ' x f x f 1 e. f 0 e x 1 f x e f e 2 Câu 29. Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 1 1 1 2 mãn f 1 e. f 0 . Biểu thức dx f ' x dx 2 . Mệnh đề nào đúng 2 0 f x 0 2e 2e2 2 e 2 2 e 2 A. f 1 .B. f 1 .C. f 1 .D. f 1 e 1 e2 1 e 1 e2 1 Hướng dẫn giải 2 1 1 ' Viết lại biểu thức cho dưới dạng f x dx 0 . Dấu bằng xảy ra khi 0 f x 1 1 f ' x 0 f ' x 1dx f x .d f x f x f x f 2 x x c f x 2 x c 2 f 0 2c f 1 2 2c 1 Thay x 0 vào ta có e c f 0 e2 1 f 1 2 2c 2c 1 2e2 f x 2x f 1 e2 1 e2 1 Câu 30. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2 x 1 1 1 với mọi x  1;1 và f x dx 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 f x dx ? 1 1 1 1 2 A. B. C. D. 1 2 4 3 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Ta đặt I x2 f x dx I x2 a f x dx x2 a f x dx x2 a dx a R . 1 1 1 1 1 Do đó ta suy ra I min x2 a dx . Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau: a R 1 1 1 2 2 Trường hợp 1: Nếu a 0 thì min x2 a dx min x2 a dx min 2a . a R a 0 a 0 1 1 3 3 1 1 2 4 Trường hợp 2: Nếu a 1 thì min x2 a dx min a x2 dx min 2a . a R a 1 a 1 1 1 3 3
Trường hợp 3: Nếu a 0;1 thì 1 a a 1 min x2 a dx min x2 a dx a x2 dx x2 a dx a R a 0;1 1 1 a a 1 3 3 3 1 2 x a x a x min x a dx min ax ax ax a R a 0;1 3 3 3 1 1 a a 1 8a a 2 1 1 min x2 a dx min 2a khi và chỉ khi a . a R a 0;1 4 1 3 3 2 1 1 1 1 Kết luận: Như vậy min x2 a dx do đó I min I . a R 1 2 2 2 Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 đồng thời thỏa mãn f x  8;8 với 1 1 mọi x 0;1 và xf x dx 3 . Tìm giá trị lớn nhất của x3 f x dx? 0 0 31 4 17 A. B.2 C. D. 16 3 8 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta đặt I x3 f x dx khi đó: I 3a x3 ax f x dx x3 ax f x dx 0 0 0 1 1 1 3 3 3 I 3a 8 x ax dx a R I 3a 8 x ax dx a R I min 3a 8 x ax dx a R 0 0 0 . Trường hợp 1: Nếu a 0 khi đó 1 1 3 3 min 3a 8 x ax dx min 3a 8 x ax dx min 2 a 2 a R a 0 a 0 0 0 Trường hợp 2: Nếu a 1 khi đó 1 1 3 3 min 3a 8 x ax dx min 3a 8 ax x dx min 7a 2 5 a R a 1 a 1 0 0 Trường hợp 3: Nếu a 0;1 khi đó ta có đánh giá sau: 1 a 1 3 3 3 2 31 min 3a 8 x ax dx min 3a 8 ax x dx 8 x ax dx min 4a a 2 a R a 0;1 a 0;1 16 0 0 a 1 3 31 31 Kết luận: Vậy min 3a 8 x ax dx I . Đẳng thức xảy ra khi a R 0 16 16 1 31 3 a ; I 3a . 8 12 8 1 Câu 32. Cho hàm số y f x dương và liên tục trên 1;3 thỏa mãn max f x 2;min f x và 1;3 1;3 2 3 3 1 3 biểu thức S f x dx dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính f x dx ? 1 1 f x 1 7 5 7 3 A. B. C. D. 2 2 5 5 Hướng dẫn giải
1 1 5 Ta có: f x 2 2 f x 1 f x 2 0 f x 2 f x 2 1 5 3 3 5 25 f x S f x dx f x dx . Ta tìm được max S khi f x 2 1 1 2 4 3 5 f x dx . 1 2 2 Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và f x x4 2x x 0 và f 1 1. x2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 0;1 . B. Phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm trên 0; . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 1;2 . C. Phương trình f x 0 có 1 nghiệm trên 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C 3 2 2 x6 2x3 2 x 1 1 f x x4 2x 0 , x 0 . x2 x2 x2 y f x đồng biến trên 0; . f x 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng 0; 1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21 f x x4 2x 0 , x 0 f x dx x4 2x dx 2 2 x 1 1 x 5 21 17 f 2 f 1 f 2 . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y f x liên tục trên 1;2 và f 2 . f 1 0 2 . Từ 1 và 2 suy ra phương trình f x 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1;2 . Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 3 f x xf ' x x2018 1 với mọi x 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân f x dx bằng: 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 2021 2022 2018 2021 2018 2019 2019 2021 Hướng dẫn giải Ta có: 3 f x x. f ' x x2018 3x2 f x x3 f ' x x2020 t t 2018 3 2020 3 2020 t x f x x x f x dx x dx t 0;1 f t 0 0 2021 1 1 x2018 1 1 Khi đó f x dx dx . Giá trị nhỏ nhất của tích phân f x dx là 0 0 2021 2019.2021 0 1 . 2019.2021
3 f x f x 0 x 1;2 2 f x 7 f 1 1 Câu 35. Cho hàm số thỏa mãn ,   và dx . Biết , 4 1 x 375 22 2 f 2 , tính I f x dx . 15 1 71 6 73 37 A. P .B. P .C. P . D. P . 60 5 60 30 Hướng dẫn giải Chọn A +) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3 f x x2 x2 f x x2 x2 3 f x 33 . . x4 125 125 x4 125 125 25 3 2 f x 2 x2 2 3 f x Lấy tích phân hai vế BĐT trên ta có: dx 2 dx dx 4 1 x 1 125 1 25 3 3 2 f x 7 3 2 f x 7 dx 2. f 2 f 1 dx . 4 4 1 x 375 25 1 x 375 Kết hợp với giả thiết ta có dấu “ ” của BĐT trên xảy ra 3 2 6 2 3 f x x 3 x x x f x f x f x C . x4 125 125 5 15 1 14 x3 14 Mà f 1 1 1 C C f 1 15 15 15 2 x3 14 71 +) Ta có I dx . 1 15 60 Câu 36. Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x 1 1 g x 1 f t dt . Biết g x f x với mọi x 0;1 . Tích phân dx có giá trị 0 0 g x lớn nhất bằng: 1 2 1 A. B. C. D. 1 3 2 2 Hướng dẫn giải Đặt x F x F x f t dt g x 1 F x f x x 0;1 1 0 x 0;1   2   0 F x 1 t F x 1 h t 1 dx 1 t là hàm số đồng biến trên 0;1 do vậy ta có 2 F t 1 0 F x 1 đánh giá: 1 1 1 1 1 h x h 0 x 0;1 1 x 0 1 x x 0;1 dx F x 1 F x 1 0 g x 2 . Câu 37. Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x 1 g x 1 3 f t dt . Biết g x f 2 x với mọi x 0;1 . Tích phân g x dx có giá trị 0 0 lớn nhất bằng:
5 4 7 9 A. B. C. D. 2 3 4 5 Hướng dẫn giải Đặt x F x F x f t dt g x 1 3F x f 2 x x 0;1 1 0 x 0;1 0 3F x 1 t F x 2 2 h t 1 dx 3F t 1 t là hàm số nghịch biến trên 0;1 do 3 3 0 3F x 1 vậy ta có: 2 2 h x h 0 x 0;1 3F x 1 t 0 3 3 3 1 7 3F x 1 x 1 x 0;1 g x dx 2 0 4 Câu 38. Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x2 1 g x 1 f t dt . Biết g x 2xf x2 với mọi x 0;1 . Tích phân g x dx có giá trị 0 0 lớn nhất bằng: A. B.2 C. D. 3 4 1 Hướng dẫn giải Đặt x2 2xf x2 F x2 f t dt g x 1 F x2 2xf x2 x 0;1 1 0 x 0;1   2   0 1 F x t 2xf x2 h t 1 dx ln 1 F t t là hàm số nghịch biến trên 0;1 do vậy ta 1 F x2 0 có: 1 h x h 0 x 0;1 ln 1 F x x 0 1 F x e x x 0;1 g x dx 2 0 . Câu 39. Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và 1 1 1 2 1 3 3 f x f x dx 2 f x f x dx . Tính tích phân f x dx : 0 9 0 0 3 5 5 7 A. .B. .C. .D. . 2 4 6 6 Hươngd dẫn giải Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 2 1 2 3 f x f x 2.3 f x f x 1 dx 0 3 f x f x 1 dx 0 . 0 0 1 1 Suy ra 3 f x f x 1 0 f x f x f x . f 2 x . 3 9 1 1 Vì f 3 x 3. f 2 x f x nên suy ra f 3 x f 3 x x C . 3 3 Vì f 0 1 nên f 3 0 1 C 1.
1 Vậy f 3 x x 1. 3 1 1 3 1 7 Suy ra f x dx x 1 dx . 0 0 3 6 2 Câu 40. Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên ¡ thỏa mãn f x . f x 2x f x 1 và f 0 0. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M 20 ; m 2 . B. M 4 11 ; m 3 . C. M 20 ; m 2 .D. M 3 11 ; m 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 f x . f x Ta có f x . f x 2x f x 1 2x . 2 f x 1 2 Lấy nguyên hàm hai vế ta có f x 1 x2 C , do f 0 0 nên C 1. Vậy f x x4 2x2 x x2 2 trên đoạn 1;3 . x2 Ta có f x x2 2 0 với mọi x 1;3 nên f x đồng biến trên 1;3 . x2 2 Vậy M f 3 3 11 ; m f 1 3 . Câu 41. Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời ta đặt x 1 3 2 3 g x 1 2 f t dt . Biết g x f x với mọi x 0;1 . Tích phân g x dx có 0 0 giá trị lớn nhất bằng: 5 4 A. B. C.4 D. 5 3 3 Hướng dẫn giải x 3 Ta đặt F x f t dt khi đó g x 1 2F x f x x 0;1 . 0 f x F x Do vậy 1 0 x 0;1 1 0 x 0;1 . 3 1 2F x 3 1 2F x t F x 3 2 3 Xét hàm số: h t 1 dx 3 1 2F t t t 0;1 là hàm nghịch 3 4 4 0 1 2F x biến trên 0;1 cho nên 3 2 3 2 4 h t h 0 t 0;1 3 1 2F t t 0 3 1 2F t t 1 t 0;1 . 4 4 3 1 1 1 2 2 2 4 3 4 3 5 Do đó: 3 g x x 1 x 0;1 g x dx x 1 dx g x dx 3 0 0 3 0 3 . Chọn A
1 Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục trên 0; 1 thỏa mãn xf x dx 0 và max f x 1. Tích [0; 1] 0 1 phân I ex f x dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5 3 5 3 A. ; . B. ; e 1 . C. ; . D. e 1; . 4 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 Với mọi a 0;1, ta có 0 xf x dx a xf x dx axf x dx 0 0 0 1 Kí hiệu I a ex ax dx . 0 1 1 1 Khi đó, với mọi a 0;1 ta có ex f x dx ex f x dx axf x dx 0 0 0 1 1 1 1 ex ax f x dx ex ax . f x dx ex ax .max f x dx ex ax dx I a . x 0;1 0 0 0 0 1 Suy ra ex f x dx min I a a 0;1 0 Mặt khác 1 1 1 x x x a 2 a Với mọi a 0;1 ta có I a e ax dx e ax dx e x e 1 0 0 2 0 2 3 1 3 min I a e ex f x dx e 1,22 . a 0;1 2 0 2 5 3 Vậy I ; . 4 2 1 Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn x2 f x dx 0 và max f x 6. [0;1] 0 1 Giá trị lớn nhất của tích phân x3 f x dx bằng 0 3 1 3 2 4 2 3 4 1 A. .B. . C. . D. . 8 4 16 24 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Ta có f x 6, x 0;1 . 1 1 1 1 1 3 2 3 3 3 3 2 3 3 Xét I 6x dx 1 6x dx x f x dx x 6 f x dx 1 x 6 f x dx . 0 0 0 3 2 3 2 1 1 1 3 2 2 1 2 Suy ra I x 6 f x dx 1 x 6 f x dx 3 0 3 2 2 3 2 1 1 1 1 3 3 3 1 3 2 2 1 2 1 2 x f x dx 6x dx 1 6x dx x f x dx . 3 0 3 0 3 3 0 2 2 2 2 2 3 2 2
3 3 3 1 1 3 2 4 x3 f x dx 0 x3 f x dx . 2 3 2 2 0 0 4 Cách 2: 1 Ta có với mọi số thực a R thì ax2 f x dx 0 do đó: 0 1 1 1 1 x3 f x dx x3 ax2 f x dx x3 ax2 f x dx 6 x3 ax2 dx a R 0 0 0 0 1 1 Do đó: x3 f x dx min 6 x3 ax2 dx min g a . Tới đây ta chia các trường hợp sau: a R a R 0 0 Trường hợp 1: Nếu a 0 thì x3 ax2 x2 x a 0 x 0;1 . Khi đó: 1 1 1 a 3 g a 6 x3 ax2 dx 6 x3 ax2dx 6 min g a a 0 0 0 4 3 2 Trường hợp 2: Nếu a 1 thì x3 ax2 x2 x a 0 x 0;1 . Khi đó: 1 1 a 1 1 g a 6 x3 ax2 dx 6 ax2 x3dx 6 min g a a 1 0 0 3 4 2 Trường hợp 3: Nếu a 0;1 thì 1 a 1 2a4 4a 3 f a 6 x3 ax2 dx 6 ax2 x3dx x3 ax2dx . 0 0 a 2 3 2a4 4a 3 3 2 4 1 3 Ta tìm được min g a min vậy a 0;1 a 0;1 2 4 2 2 3 2 3 4 min g a . a R 4 Do vậy: 1 1 3 2 3 4 1 3 2 3 4 x3 f x dx min g a x3 f x dx max x3 f x dx a R 0;1 0 0 4 0 4