›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 5: Tích phân đổi biến số (Có đáp án)

docx 66 trang nhungbui22 12/08/2022 2500
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 5: Tích phân đổi biến số (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 5: Tích phân đổi biến số (Có đáp án)

  1. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 y f x Cho hàm số liên tục trên đoạn [a;b].Giả sử hàm số u u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và u(x) . Giả sử có thể viết f (x) g(u(x))u '(x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ; ]. Khi đó, ta có b u(b) I f (x)dx g(u)du. a u(a) Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ 3 3 x dx 1 Có f (x) t f (x) I . Đặt t x 1 0 x 1 1 2 Có (ax b)n t ax b I x(x 1)2016 dx . Đặt t x 1 0 etan x 3 3 Có a f (x) t f (x) I 4 dx . Đặt t tan x 3 0 cos2 x dx t ln x hoặc biểu thức e ln xdx 4 Có và ln x I . Đặt t ln x 1 x chứa ln x 1 x(ln x 1) x ln 2 2x x x x t e hoặc biểu thức I e 3e 1dx . Đặt t 3e 1 5 Có e dx 0 chứa ex 6 Có sin xdx t cos x I 2 sin3 xcos xdx . Đặt t sin x 0 3 sin x 7 Có cos xdx t sin xdx I dx Đặt t 2 cos x 1 0 2cos x 1 1 1 dx I 4 dx 4 (1 tan2 x) dx 0 4 0 2 8 Có 2 t tan x cos x cos x cos x Đặt t tan x dx ecot x ecot x 9 Có t cot x I 4 dx dx . Đặt t cot x 2 1 cos2x 2 sin x 6 2sin x BÀI TẬP Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên a,b . Giả sử hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên a,b và u x  ,   x a,b, hơn nữa f u liên tục trên đoạn  ,  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x a b b u b b A. f u x u x dx f u du . B. f u x u x dx f u du . a a u a a b u b b b C. f u x u x dx f u du . D. f u x u x dx f x du . a u a a a HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 1000 Câu 2: Tính tích phân I x x 1 dx. 1 2003.21002 1502.21001 3005.21002 2003.21001 A. I . B. I . C. I . D. I . 1003002 501501 1003002 501501
  2. 100 Câu 3: Giá trị của tích phân x x 1 x 100 dx bằng 0 A. 0. B. 1. C. 100. D. một giá trị khác. 2 x Câu 4: Tích phân dx bằng 2 0 x 3 1 7 7 1 7 1 3 A. log . B. ln . C. ln . D. ln . 2 3 3 2 3 2 7 2 dx 5 Câu 5: Cho tích phân I a ln b . Khi đó a 2b bằng 1 x5 x3 8 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 8 16 1 x5dx Câu 6: Tích phân I 3 được kết quả I a ln 2 b . Giá trị a+b là: 2 0 1 x 3 13 14 4 A. B. C. D. 16 16 17 17 0 2x Câu 7: Tích phân I dx có giá trị là: 2 1 x 1 A. I ln 3 . B. I ln 2 . C. I ln 3. D. I ln 2 . 1 x2 1 Câu 8: Cho dx ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 0 x 1 3 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 0 ax Câu 9: Tích phân I dx ,với a 2 có giá trị là: 2 1 ax 2 ln 2 ln a 2 ln 2 ln a 2 A. I . B. I . 2 2 ln 2 ln a 2 ln 2 ln a 2 C. I . D. I . 2 2 5 dx 5 dx Câu 10: Giả sử aln5 bln3 cln 2.(a,b,c ¢ ) a ln 5 bln 3 c ln 2. Tính giá trị 2 2 3 x x 3 x x biểu thức S 2a b 3c2. A. S 3. B. S 6. C. S 0. D. S 2. 1 2x2 3x 3 Câu 11: Biết dx a ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P a2 b2 . 2 0 x 2x 1 A. 13. B. 5 . C. 4 . D. 10. b a x2 Câu 12: Tính I dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2 2 a a x 2b b a 1 b 1 b A. I . B. I . C. I . D. I . a2 b2 a b2 a b2 a 1 a2 b
  3. 4 1 x 2 f x Câu 13: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và các tích phân f tan x dx 4 và dx 2 . 2 0 0 x 1 1 Tính tích phân I f x dx . 0 A. I 6 . B. I 2 . y C. I 3 . D. I 1. Câu 14: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I f 2x 1 dx . 1 4 3 2 -1 2 x O 1 3 -1 2 A. I 2 . B. I 1. C. I 1. D. I 2 . HÀM VÔ TỈ 1 Câu 15: Cho tích phân 3 1 xdx , với cách đặt t 3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 1 A. 3 tdt . B. t3dt . C. 3 t 2dt . D. 3 t 3dt . 0 0 0 0 2 Câu 16: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I x3 x2 1dx 1 1 2 4 3 3 A. t t 1dt . B. t t 1dt C. t 2 1 t 2dt . D. x2 1 x2dx . 2 1 1 0 1 3 x 2 Câu 17: Nếu dx f (t)dt , với t 1 x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới 0 1 1 x 1 đây ? A. f (t) 2t2 2t B. f (t) t2 t C. f (t) t2 t D. f (t) 2t2 2t 4 1 Câu 18: Kết quả của dx bằng 0 2x 1 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . 1 dx Câu 19: Tích phân bằng 0 3x 1 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3
  4. 3 x a Câu 20: Cho dx bln 2 c ln 3 với a, b , c là các số nguyên. Giá trị của a b c 0 4 2 x 1 3 bằng A. 1. B. 2 . C. 7. D. 9 . 4 1 Câu 21: Biết I dx a bln 2 với a,b là số nguyên. Tính S a b . 0 2x 1 5 A. S 3. B. S 3. C. S 5. D. S 7. 5 dx Câu 22: Tính tích phân được kết quả I a ln 3 bln 5. Giá trị a2 ab 3b2 là 1 x 3x 1 A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 0 . 4 dx 2 Câu 23: Cho tích phân I a bln với a,b ¢ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 3 0 A. a b 3 . B. a b 5 . C. a b 5 . D. a b 3 . 3 2 Câu 24: Biết x x2 1dx a b , với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 1 3 A. a 2b . B. a b . C. a b . D. a 3b . a dx 1 5 Câu 25: Cho I ln , a 5 . Khi đó giá trị của số thực alà 2 5 x x 4 4 3 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2. 1 x Câu 26: Cho I dx a 2 b . Giá trịa.b là: 2 0 x 1 A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2. 2 4 x2 b Câu 27: Với a,b,c R . Đặt I dx a ln . Giá trị của tính abc là : 1 x c A. 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 3 3 x2 1 c d Câu 28: Cho dx a b ln với c nguyên dương và a, b , c , d , e là các số 1 x e nguyên tố. Giá trị của biểu thức a b c d e bằng. A. 14. B. 17 . C. 10. D. 24 . 7 x3dx a Câu 29: Giá trị của I được viết dưới dạng phân số tối giản ( a , b là các số nguyên 3 2 0 1 x b dương). Khi đó giá trị của a 7b bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1. 64 dx 2 Câu 30: Giả sử I a ln b với a, b là số nguyên. Tính giá trị a b . 3 1 x x 3 A. 17 . B. 5. C. 5. D. 17 .
  5. 2 1 x2 1 b Câu 31: Giả sử dx a a b với a,b,c ¥ ; 1 a,b,c 9 . Tính giá trị của biểu 4 1 x c b c b a thức C2a c . A. 165. B. 715. C. 5456 . D. 35 . x t Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình dt 0 (ẩn x) là: 2 0 t 1 A. ; . B. ;0 . C. ; \ 0 . D. 0; . 7 x3 m m Câu 33: Cho biết dx với là một phân số tối giản. Tính m 7n . 3 2 0 1 x n n A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91 . 2 x Câu 34: Biết dx a b 2 c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P a 2b c 7 2 1 3x 9x 1 . 1 86 67 A. . B. . C. 2 . D. . 9 27 27 2 dx Câu 35: Biết a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x x 1 x 1 x P a b c . A. P 44 . B. P 42 . C. P 46 . D. P 48 . 4 2x2 4x 1 1 3 Câu 36: Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn dx au4 bu2 c du , trong 0 2x 1 2 1 đó u 2x 1 . Tính giá trị S a b c . A. S 3. B. S 0 . C. S 1. D. S 2 . 1 a2 x3 ax Câu 37: Tích phân I dx , với a 0 có giá trị là: 2 0 ax 1 a a 2 a a 2 a a 2 a a 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 2 4 2 3 1 Câu 38: Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 x 9 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 A. I ln . B. I ln . C. I ln . D. I ln . 3 3 3 3 1 a Câu 39: Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 3x 12 a 1 5 a 1 5 A. I ln . B. I ln . 3 2 3 2
  6. a 1 5 a 1 5 C. I ln . D. I ln . 3 2 3 2 2 ax 2 Câu 40: Tích phân I dx 2 3 1. Giá trị nguyên của a là: 2 1 ax 4x A. a 5 . B. a 6 . C. a 7 . D. a 8. 2 1 2 a a Câu 41: Cho dx ln ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: 2 1 x 1 1 b b 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 3 7 3x5 Câu 42: Tích phân I dx có gái trị là: 3 3 0 8 x 87 67 77 57 A. I . B. I . C. I . D. I . 5 5 5 5 4 2x 1dx 5 Câu 43: Biết a bln 2 c ln a,b,c ¢ . Tính T 2a b c . 0 2x 3 2x 1 3 3 A. T 4 . B. T 2 . C. T 1 . D. T 3. 3 dx 1 Câu 44: Biết a 3 b 2 c ln 3 2 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1 1 x 1 x 2 P a b c . 1 1 5 A. P . B. P 1. C. P . D. P . 2 2 2 1 dx 2 a 2ln 2 1 b Câu 45: Biết rằng 0 x 4x 3 với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a b bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . 2 1 1 1 a a Câu 46: Biết 3 x 2 3 dx 3 c , với a,b,c nguyên dương, tối giản và c a . 2 8 11 1 x x x b b Tính S a b c A. S 51. B. S 67 . C. S 39 . D. S 75 . 2 dx Câu 47: Cho số thực dương k 0 thỏa ln 2 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 0 x k 3 1 1 3 A. k . B. 0 k . C. k 1 . D. 1 k . 2 2 2 2 HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 1 A. sin 1 x dx sin xdx . B. cos 1 x dx cos xdx . 0 0 0 0
  7. x 2 x 2 C. cos dx cos xdx . D. sin dx sin xdx . 0 2 0 0 2 0 π 3 sin x Câu 49: Tính tích phân I dx . 3 0 cos x 5 3 π 9 9 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 3 20 4 3 b Câu 50: Cho I sin2 x tan xdx ln a . Chọn mệnh đề đúng: 0 8 A. a b 4 B. a b 2 C. ab 6 D. ab 4 0 1 0 3 Câu 51: Biết rằng I dx a và I 3 x 2dx b 3 2 , a và b là các số hữu tỉ. 1 1 cos 2x 4 1 4 Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 a cos 2x 1 Câu 52: Cho I dx ln 3 . Tìm giá trị của a là: 0 1 2sin 2x 4 A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 1 4 1 1 Câu 53: Biết I 1 tan2 x dx a và I x2 x dx bx3 cx3 , a và b là các số hữu tỉ. Giá 1 2 0 0 0 trị của a + b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 3 sin 2x Câu 54: Tích phân I dx có giá trị là: 0 cos x cos3x 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 A. I ln ln . B. I ln ln . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 C. I ln ln . D. I ln ln . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2x cos x Câu 55: Tích phân I dx có giá trị là: 2 x sin x 4 2 2 2 2 2 2 A. I ln 1 ln . B. I ln 1 ln . 4 16 2 4 16 2 2 2 2 2 2 2 C. I ln 1 ln . D. I ln 1 ln . 4 16 2 4 16 2
  8. 4 1 1 Câu 56: Cho sin 2x ln tan x 1 dx a bln 2 c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T c 0 a b . A. T 2 . B. T 4 . C. T 6 . D. T 4 . 2 sin 2x Câu 57: Xét tích phân I dx . Nếu đặt t 1 cosx , khẳng định nào dưới đây là đúng? 0 1 cos x 1 4t3 4t 1 4t3 4t 2 A. I dt. B. I dt. C. I 4 t 2 1 dt. D. 2 t 2 t 1 2 I 4 t 2 1 dt. 1 6 1 Câu 58: Cho sinn x.cos xdx n ¥ . Tìm giá trị n. 0 64 A. n 3 . B. n 4 . C. n 5 . D. n 6 . 2 sin x Câu 59: Cho tích phân dx a ln 5 bln 2 với a, b ¢ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x 2 3 A. 2a b 0. B. a 2b 0. C. 2a b 0. D. a 2b 0. 2 cos x sin x Câu 60: Tích phân I dx có giá trị là: x e cos x 1 cos x 3 e 3 e 3 2 e 3 e 3 2 A. I ln 2 . B. I ln 2 . e 3 2 e 3 2 e 3 e 3 2 e 3 e 3 2 C. I ln 2 . D. I ln 2 . e 3 2 e 3 2 6 sin3 x Câu 61: Tích phân I dx có giá trị là: cos x 3 19 17 3 19 17 4 3 19 17 3 19 17 4 3 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 3 sin x Câu 62: Tích phân I dx có gái trị là: 2 cos x 3 sin x 3
  9. 3 3 2 3 3 3 2 3 A. I ln . B. I ln . 16 3 2 8 8 3 2 8 3 3 2 3 3 3 2 3 C. I ln . D. I ln . 8 3 2 8 16 3 2 8 4 1 Câu 63: Tích phân I dx có giá trị là: 2 2 0 9cos x sin x 1 1 1 A. I ln 2 . B. I ln 2 . C. I ln 2 . D. I ln 2 . 3 2 6 a sin x cos x 1 3 Câu 64: Tích phân I dx . Giá trị của alà: 2 0 sin x cos x 1 3 A. a . B. a . C. a . D. a . 2 4 3 6 2 sin x Câu 65: Tích phân I dx có giá trị là: sin x cos x 3 3 1 A. I ln 3 1 . B. I ln . 12 12 4 3 1 ln 2 3 1 C. I D. I ln . 12 2 . 12 2 4 cos x a Câu 66: Cho biết dx a bln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó bằng: 0 sin x cos x b 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 2 4 xsin2018 x a Câu 67: Biết d x trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P 2a b . 2018 2018 0 sin x cos x b A. P 8 . B. P 10.C. P 6 . D. P 12. sin xdx Câu 68: Cho tích phân I (với 1) thì giá trị của I bằng: 2 0 1 2 cos x 2 A. 2. B. . C. 2 . D. . 2 m sin x 1 Câu 69: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng 0;6 thỏa mãn dx ? 0 5 4cos x 2 A. 6 . B. 12 . C. 8 . D. 4 . 2 cos x 4 Câu 70: Cho dx a ln b, tính tổng S a b c . 2 0 sin x 5sin x 6 c
  10. A. S 1. B. S 4 . C. S 3. D. S 0 . 2 x2 2x cos x cos x 1 sin x c Câu 71: Cho tích phân I dx a 2 b ln với a , b , c là các số 0 x cos x hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức P ac3 b. 5 3 A. P 3. B. P . C. P . D. P 2 . 4 2 2 sin x 4 Câu 72: Cho dx a ln b , với a , b là các số hữu tỉ, c 0 . Tính tổng 2 0 cos x 5cos x 6 c S a b c . A. S 3. B. S 0 . C. S 1. D. S 4 . 2 a * a Câu 73: Cho 4cos 2x 3sin 2x ln cos x 2sin x dx c ln 2 , trong đó a , b , c ¥ , là phân 0 b b số tối giản. Tính T a b c . A. T 9 . B. T 11 . C. T 5 . D. T 7 . 3 sin x 3 3 2 Câu 74: Biết dx c d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính 6 3 1 x x a b 3 a b c d . A. a b c d 28 . B. a b c d 16. C. a b c d 14. D. a b c d 22 . 6 x cos x 2 3 Câu 75: Biết dx a với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M a b c . 2 1 x x b c 6 A. M 35. B. M 41 . C. M 37 . D. M 35. 1 2 12 f x dx 2018 cos 2x. f sin 2x dx Câu 76: Cho 0 . Tính 0 . 1009 A. I . B. I 1009 . C. I 4036 . D. I 2018 . 2 1 2 Câu 77: Cho f là hàm số liên tục thỏa f x dx 7 . Tính I cos x. f sin x dx . 0 0 A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 7 . 2 1 3 Câu 78: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 12 , f 2cos x sin xdx bằng 1 3 A. 12 . B. 12 . C. 6 . D. 6 .
  11. 9 f x /2 Câu 79: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ thỏa mãn dx 4 và f sin x cos xdx 2. 1 x 0 3 Tích phân I f x dx bằng 0 A. I 2 . B. I 6 . C. I 4 . D. I 10 . HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 ae b Câu 80: Cho I xe1 x dx . Biết rằng I . Khi đó, a b bằng 0 2 A. 1. B. 0. C. 2 . D. 4 . 2 f x sin 2x.esin x Câu 81: Nguyên hàm của là sin2 x 1 sin2 x 1 2 e 2 e A. sin2 x.esin x 1 C . B. C . C. esin x C . D. C . sin2 x 1 sin2 x 1 1 a b b c Câu 82: Biết rằng 3e 1 3x dx e2 e c a,b,c ¢ . Tính T a . 0 5 3 2 3 A. T 6 . B. T 9 . C. T 10 . D. T 5 . ln12 Câu 83: Tích phân I ex 4dx có giá trị là: ln5 A. I 2 ln 3 ln 5 . B. I 2 2ln 3 2ln 5 . C. I 2 2ln 3 ln 5 . D. I 2 ln 3 2ln 5 . m 2 2 Câu 84: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho xe x 1dx 2500.e m 1 . 0 A. m 2250 2500 2 . B. m 21000 1 . C. m 2250 2500 2 . D. m 21000 1 . 3 dx Câu 85: Cho e x 1 a.e2 b.e c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S a b c . 0 x 1 A. S 1. B. S 2 . C. S 0 . D. S 4 . 2 2 Câu 86: Cho tích phân I esin x sin xcos3 xdx . Nếu đổi biến số t sin2 x thì: 0 1 1 1 1 1 t t 1 t t A. I e dt te dt . B. I e dt te dt . 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 t t t t C. I 2 e dt te dt . D. I 2 e dt te dt . 0 0 0 0 n 1 dx lim x 1 ex Câu 87: Tính n . A. 1. B. 1. C. e. D. 0. 2 x2016 Câu 88: Tính tích phân I dx. x 2 e 1
  12. 2 2018 2 2017 2 2018 A. I 0. B. I . C. I . D. I . 2017 2017 2018 1 x2ex a a Câu 89: Cho biết dx .e c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là 2 0 x 2 b b phân số tối giản. Tính a b c . A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . ln 6 ex Câu 90: Biết tích phân dx a bln 2 c ln 3, với a , b , c là các số nguyên. Tính x 0 1 e 3 T a b c . A. T 1 . B. T 0 . C. T 2 . D. T 1 . 9 3 4 3 2 3 cos x Câu 91: Giá trị I x sin x e dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0,046 . B. 0,036 . C. 0,037 . D. 0,038. 1 x2 x ex Câu 92: Cho dx a.e bln e c với a , b , c ¢ . Tính P a 2b c . x 0 x e A. P 1 . B. P 1. C. P 0 . D. P 2 . 2 x 1 x 5x 6 e ae c Câu 93: Biết dx ae b ln với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của x 0 x 2 e 3 logarit tự nhiên. Tính S 2a b c . A. S 10 . B. S 0 . C. S 5. D. S 9 . 1 x3 2x ex3.2x 1 1 e Câu 94: dx ln p với m , n , p là các số nguyên dương. Tính x 0 e.2 m eln n e tổng S m n p . A. S 6 . B. S 5. C. S 7 . D. S 8. Câu 95: Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c, a,b,c ¡ ,a 0 có hai nghiệm thực phân biệt x 2 ax2 bx c x1, x2 . Tính tích phân I 2ax b e dx . x 1 x x x x A. I x x . B. I 1 2 . C. I 0 . D. I 1 2 . 1 2 4 2 e ln x Câu 96: Với cách đổi biến u 1 3ln x thì tích phân dx trở thành 1 x 1 3ln x 2 2 2 2 2 2 2 u2 1 A. u2 1 du . B. u2 1 du . C. 2 u2 1 du . D. du . 3 1 9 1 1 9 1 u e x 1 ln x 2 e 1 a Câu 97: Biết dx a.e bln trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là 1 1 x ln x e b 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2. 2
  13. e 1 3ln x Câu 98: Tính tích phân I dx bằng cách đặt t 1 3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 1 2 2 2 2 2 2 14 A. I t3 . B. I tdt . C. I t2dt . D. I . 9 1 3 3 9 1 1 2 3x 1 ln b Câu 99: Biết dx ln a với a, b , c là các số nguyên dương và c 4 . Tổng 2 1 3x x ln x c a b c bằng A. 6. B. 9 . C. 7. D. 8 . e ln x 3 Câu 100: Biết I dx a ln b, a,b Q . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x ln x 2 2 A. a b 1. B. 2a b 1 . C. a2 b2 4 . D. a 2b 0 . 2 e ln x 2 ln x 1 1 Câu 101: Tích phân I dx có giá trị là: 1 x 4 2 3 4 2 1 4 2 5 4 2 3 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 3 3 3 e Câu 102: Tích phân I x ln2 x ln x dx có giá trị là: 1 A. I 2e . B. I e . C. I e . D. I 2e . 3 2 1 1 ln x 3x ln x x 3 2 Câu 103: Biết I dx 1 ae 27e2 27e3 3 3 , a là các số hữu tỉ. 0 x 9 Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. e 2ln x ln2 x 1 Câu 104: Tích phân I dx có gái trị là: 1 x 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 3 3 3 2 e 1 ln x 2 Câu 105: Tính I dx được kết quả là e x 13 1 5 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 e 1 3ln x Câu 106: Cho tích phân I dx , đặt t 1 3lnx . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 x 2 e 2 2 2 2 2 e A. I t 2dt . B. I tdt . C. I t 2dt . D. I tdt . 3 1 3 1 3 1 3 1
  14. e 3 ln x a b c Câu 107: Biết dx , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c 4 . Tính giá 1 x 3 trị S a b c . A. S 13. B. S 28 . C. S 25 . D. S 16 . e ln x Câu 108: Cho I dx có kết quả dạng I ln a b với a 0 , b ¡ . Khẳng định nào sau 2 1 x ln x 2 đây đúng? 3 1 3 1 A. 2ab 1. B. 2ab 1. C. b ln . D. b ln . 2a 3 2a 3 2 x 1 Câu 109: Biết dx ln ln a b với a , b là các số nguyên dương. Tính P a2 b2 ab . 2 1 x x ln x A. 10. B. 8 . C. 12. D. 6 . 2 4 2 e2 x 1 ln x 1 ae be Câu 110: Cho tích phân I dx c d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: e x ln x 2 1 A. a b c d B. a b2 c C. A và B đúng D. A và B sai d 2018 ln 1 2x Câu 111: Tính tích phân I dx . x 0 1 2 log4 e A. I ln 1 22018 ln 2 . B. I ln2 1 22018 ln2 2 . C. I ln2 1 22018 ln 4 . D. I ln2 1 2 2018 ln2 2 . e f ln x Câu 112: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn dx e. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x 1 1 e e A. f x dx 1. B. f x dx e. C. f x dx 1. D. f x dx e. 0 0 0 0 4 e 1 4 Câu 113: Biết f ln x dx 4 . Tính tích phân I f x dx . e x 1 A. I 8 . B. I 16 . C. I 2 . D. I 4 . PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ](*) sao cho ( ) a, ( ) b và a (t) b với mọi t [ ; ]. Khi đó: b  f (x)dx f ( (t)) '(t)dt. a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 2 2 1. a x : đặt x | a | sint; t ; 2 2 2 2 | a | 2. x a : đặt x ; t ; \{0} sint 2 2
  15. 2 2 3. x a : x | a | tant; t ; 2 2 a x a x 4. hoặc : đặt x a.cos2t a x a x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 3 x2dx 3 x dx tích phân I thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I thì nên đổi 2 0 2 0 x 1 x 1 biến dạng 1. 2 Câu 114: Khi tính I 4 x2 dx, bằng phép đặt x 2 sin t, thì được 0 2 2 2 2 A. 2 1 cos 2t dt . B. 2 1 cos 2t dt . C. 4cos2 tdt . D. 2cos2 tdt . 0 0 0 0 1 2 Câu 115: Biết rằng 4 x2 dx a . Khi đó a bằng: 1 3 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 1 2 1 Câu 116: Cho tích phân I dx a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 0 1 x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 6 3 a a Câu 117: Giá trị của 9 x2 dx trong đó a, b ¢ và là phân số tối giản. Tính giá trị của 0 b b biểu thức T ab . A. T 35 . B. T 24 . C. T 12 . D. T 36 . 1 dx Câu 118: Đổi biến x 2sin t thì tích phân trở thành 2 0 4 x 6 3 6 dt 6 A. tdt . B. tdt . C. . D. dt . 0 0 0 t 0 a b 1 Câu 119: Biết rằng dx trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 a b 5 . 2 4 x 6x 5 6 Tổng a b bằng A. 5 . B. 7 . C. 4 . D. 6 . 3 Câu 120: Tích phân I x 1 3 x dx có giá trị là: 5 2 3 3 3 3 A. I . B. I . C. I . D. I . 6 4 3 8 6 8 3 8
  16. 1 3 4x Câu 121: Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 3 2x x 7 7 A. I 4 3 8. B. I 4 3 8 . 6 6 7 7 C. I 4 3 8. D. I 4 3 8. 6 6 1 2 4x 3 Câu 122: Tích phân I dx có giá trị là: 2 1 5 4x x 5 5 5 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 6 3 6 1 2 Câu 123: Cho I 1 2x 1 x2 dc a b với a,b R . Giá trị a b gần nhất với 0 1 1 A. B. 1 C. D. 2 10 5 1 1 Câu 124: Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 x 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 3 4 6 1 Câu 125: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f tan x cos4 x , x ¡ . Tính I f x dx . 0 2 2 A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 Câu 126: Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn 5 như hình vẽ. Tính giá trị I f x 2 dx . 6 y 3 x 6 4 O 1 5 A. I 2 35 . B. I 2 34 . C. I 2 33. D. I 2 32 . 1 dx Câu 127: Khi đổi biến x 3 tan t , tích phân I trở thành tích phân nào? 2 0 x 3 3 6 3 6 6 1 A. I 3dt . B. I dt C. I 3tdt . D. I dt . 0 0 3 0 0 t
  17. HƯỚNG DẪN GIẢI y f x a,b u u x Câu 1. Cho hàm số liên tục trên   . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên a,b u x ,  x a,b f u ,    và    , hơn nữa liên tục trên đoạn  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x a b b u b b A. f u x u x dx f u du . B. f u x u x dx f u du . a a u a a b u b b b C. f u x u x dx f u du . D. f u x u x dx f x du . a u a a a Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u x t u x dx dt . Đổi cận Khi x a thì t u x ; khi x b thì t u b . b u b u b Do đó f u x u x dx f t dt f u du . a u a u a HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 1000 Câu 2. Tính tích phân I x x 1 dx. 1 2003.21002 1502.21001 3005.21002 2003.21001 A. I . B. I . C. I . D. I . 1003002 501501 1003002 501501 Hướng dẫn giải Đặt x 1 t, khi x 1 t 0; x 3 t 2. 2 2 1002 1001 2 1000 1001 1000 t t Do đó I t 1 t d t 1 t t dt 0 0 1002 1001 0 1002 1001 1001 2 2 1001 2 1 1502.2 2 . 1002 1001 1002 1001 501501 Chọn B 100 Câu 3. Giá trị của tích phân x x 1 x 100 dx bằng 0 A. 0. B. 1. C. 100.D. một giá trị khác. Hướng dẫn giải Chọn A 100 Tính I x x 1 x 100 dx . 0 Đặt t 100 x dx dt . Đổi cận: Khi x 0 thì t 100 ; khi x 100 thì t 0. Do x x 1 x 100 100 t 99 t 1 t t t t 1 t 99 t 100 nên 100 100 I x x 1 x 100 dx t t 1 t 100 dt I 2I 0 I 0 . 0 0 2 x Câu 4. Tích phân dx bằng 2 0 x 3
  18. 1 7 7 1 7 1 3 A. log . B. ln .C. ln . D. ln . 2 3 3 2 3 2 7 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 x 1 2 1 1 1 7 Ta có: dx d x2 3 ln x2 3 ln . 2 2 0 x 3 2 0 x 3 2 0 2 3 2 dx 5 Câu 5. Cho tích phân I a ln b . Khi đó a 2b bằng 1 x5 x3 8 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 8 16 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 dx 2 dx 2 x I dx 1 5 3 1 3 2 1 4 2 x x x . x 1 x . x 1 1 Đặt t x2 1, suy ra dt 2xdx dt xdx . 2 Đổi cận x 1 t 2, x 2 t 5 . 5 1 1 Suy ra I . dt . 2 2 2 t 1 .t 1 mt n k Ta cần tách tiếp về dạng để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm t 1 2 .t t 1 2 t được m,n,k bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được m 1,n 2,k 1. Suy ra 5 5 5 1 5 1 2 t 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 3 I 2 dt ln x . ln t 1 ln . 1 ln 4 ln 2 2 t 2 2 t 1 2 2 2 2 4 2 2 8 8 t 1 2 2 2 1 3 5 Suy ra a ,b a 2b . 2 8 4 Ta chọn phương án B. 1 x5dx Câu 6. Tích phân I 3 được kết quả I a ln 2 b . Giá trị a+b là: 2 0 1 x 3 13 14 4 A. B. C. D. 16 16 17 17 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 1 2 1 1 5 đặt t 1 x2 I dt ln 2 . 2 3 2 1 t t t 2 16 0 2x Câu 7. Tích phân I dx có giá trị là: 2 1 x 1 A. I ln 3 .B. I ln 2 . C. I ln 3. D. I ln 2 . Hướng dẫn giải Ta nhận thấy: x2 1 ' 2x . Ta đặt: t x2 1 dt 2xdx . 1 x 1 t 2 1 1 Đổi cận: . I dt ln t ln 2 . x 0 t 1 2 t 2
  19. Chọn B 1 x2 1 Câu 8. Cho dx ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 0 x 1 3 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải 1 x2 1 Cho dx ln a . Giá trị của a là: 3 0 x 1 3 Ta có: 1 2 2 x 1 1 2 1 dx dt ln t ln 2 a 2 . 3 1 0 x 1 1 3t 3 3 Chọn A 0 ax Câu 9. Tích phân I dx ,với a 2 có giá trị là: 2 1 ax 2 ln 2 ln a 2 ln 2 ln a 2 A. I .B. I . 2 2 ln 2 ln a 2 ln 2 ln a 2 C. I . D. I . 2 2 Hướng dẫn giải 0 ax Tích phân I dx , với a 2 có giá trị là: 2 1 ax 2 Ta nhận thấy: ax2 2 ' 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đăt t ax2 2 dt 2axdx . x 0 t 2 Đổi cận . x 1 t a 2 2 1 1 2 1 I dt ln t ln 2 ln a 2 . a 2 a 2 2t 2 2 Chọn B 5 dx 5 dx Câu 10. Giả sử aln5 bln3 cln 2.(a,b,c ¢ ) a ln 5 bln 3 c ln 2. Tính giá trị 2 2 3 x x 3 x x biểu thức S 2a b 3c2. A. S 3. B. S 6. C. S 0. D. S 2. Hướng dẫn giải Chọn B 5 5 dx 5 dx 5 dx 5 dx x 1 4 2 ln ln ln ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5 2 3 x x 3 x x 1 3 x 1 3 x x 3 5 3 suy ra a 1;b 1;c 1 Vậy S 2 1 3 6. 1 2x2 3x 3 Câu 11. Biết dx a ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P a2 b2 . 2 0 x 2x 1 A. 13. B. 5 . C. 4 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn A 1 2x2 3x 3 Ta có I dx 2 0 x 2x 1
  20. dt dx x 0  t 1 Đặt t x 1 suy ra x t 1 x 1  t 2 2 2 2 2 2 2 t 1 3 t 1 3 2t 2 t 2 1 2 2 Khi đó I dt dt 2 dt 2t ln t 2 2 2 1 t 1 t 1 t t t 1 3 ln 2 . Suy ra P 32 22 13. b a x2 Câu 12. Tính I dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2 2 a a x 2b b a 1 b 1 b A. I . B. I .C. I . D. I . a2 b2 a b2 a b2 a 1 a2 b Hướng dẫn giải Chọn C a b 2 b 1 a x 2 I dx x dx . 2 2 2 a a x a a x x a a a Đặt t x dt 2 1 dx . Đổi cận: x a t 1 a ; x b t b x x b a a a b2 b b b 1 1 b 1 b b 1 a b b 1 Khi đó: I dt 2 2 2 1 a t t 1 a t 1 a a b 1 a a b a 1 k 1 . 4 1 x 2 f x Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và các tích phân f tan x dx 4 và dx 2 . 2 0 0 x 1 1 Tính tích phân I f x dx . 0 A. I 6 . B. I 2 . C. I 3 . D. I 1. Hướng dẫn giải: Chọn A dt Đặt 2 t tan x dt 1 tan x dx 2 dx 1 t Đổi cận x 0 t 0 và x t 1 4 4 1 f t dt 1 f x dx Đó đó: f tan x dxdx 4 4 4 2 2 0 0 1 t 0 1 x 1 f x dx 1 x 2 f x dx 1 Nên 4 2 f x dx 6 2 2 0 1 x 0 1 x 0 Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I f 2x 1 dx . 1
  21. y 4 3 2 -1 2 x O 1 3 -1 2 A. I 2 .B. I 1.C. I 1.D. I 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số y f x đi qua các điểm 1; 1 , 0;3 , 2; 1 , 3;3 nên hàm số y f x x3 3x2 3 . 2 2 1 1 2 1 Ta có: I f 2x 1 dx f 2x 1 d 2x 1 f 2x 1 f 3 f 1 1 1 1 2 1 2 2
  22. HÀM VÔ TỈ 1 Câu 15. Cho tích phân 3 1 xdx , với cách đặt t 3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 1 A. 3 tdt . B. t3dt . C. 3 t 2dt .D. 3 t 3dt . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 Đặt t 3 1 x x 1 t dx 3t dt , đổi cận: x 0 t 1, x 1 t 0 . 1 1 Khi đó ta có 3 1 xdx 3 t3dt . 0 0 2 Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I x3 x2 1dx 1 1 2 4 3 3 A. t t 1dt . B. t t 1dt C. t 2 1 t 2dt . D. x2 1 x2dx . 2 1 1 0 1 Hướng dẫn giải. Đặt t x2 1 t 2 x2 1 tdt xdx x 1 t 0 , x 2 t 3 2 3 I x3 x2 1dx t 2 1 t 2dt 1 0 Chọn C 3 x 2 Câu 17. Nếu dx f (t)dt , với t 1 x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới 0 1 1 x 1 đây ? A. f (t) 2t2 2t B. f (t) t2 t C. f (t) t2 t D. f (t) 2t2 2t Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t 1 x , suy ra t 2 1 x , 2tdt dx 3 x 2 t 2 1 2 2 Ta có dx .2tdt (t 1).2tdt (2t 2 2t)dt 0 1 1 x 1 1 t 1 1 4 1 Câu 18. Kết quả của dx bằng 0 2x 1 A. 4. B. 5 .C. 2. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t 2x 1 t2 2x 1 2tdt 2dx tdt dx . Đổi cận: x 0 t 1, x 4 t 3 . 4 3 3 1 tdt 3 Khi đó, ta có dx dt t 2 . 1 0 2x 1 1 t 1 1 dx Câu 19. Tích phân bằng 0 3x 1 4 3 1 2 A. . B. . C. .D. . 3 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D
  23. 2t Đặt t 3x 1 t 2 3x 1 2tdt 3dx dt dx 3 Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 2 2 1 dx 2 2 1 2 2 2 2 Khi đó .tdt dt t . 0 3x 1 3 1 t 3 1 3 1 3 1 dx 2 1 dx 2 2 Cách khác: Sử dụng công thức ax b C thì 3x 1 . ax b a 0 3x 1 3 0 3 3 x a Câu 20. Cho dx bln 2 c ln 3 với a, b , c là các số nguyên. Giá trị của a b c 0 4 2 x 1 3 bằng A. 1. B. 2. C. 7. D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x 1 t 2 x 1 x t 2 1 dx 2tdt . Đổi cận: x 0 t 2 ; x 3 t 4 . Khi đó: 2 2 2 2 3 2 3 t 1 t t 2 6 t 2 7 .2tdt dt t 2t 3 dt t 3t 6ln t 2 12ln 2 6ln 3 4 2t t 2 t 2 3 3 1 1 1 1 a 7 Suy ra b 12 a b c 1. c 6 4 1 Câu 21. Biết I dx a bln 2 với a,b là số nguyên. Tính S a b . 0 2x 1 5 A. S 3. B. S 3. C. S 5. D. S 7. Hướng dẫn giải: Chọn B t 2x 1 t 2 2x 1 2tdt 2dx x 0 t 1 x 4 t 3 4 3 3 1 t 5 3 I dx dt 1 dt t 5ln t 5 2 5ln 2. 1 0 2x 1 5 1 t 5 1 t 5 Suy ra: a 2;b 5 S a b 3. 5 dx Câu 22. Tính tích phân được kết quả I a ln 3 bln 5. Giá trị a2 ab 3b2 là 1 x 3x 1 A. 4 .B. 5 . C. 1. D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B t 2 1 2tdt Đặt t 3x 1 t 2 3x 1 x dx . 3 3 Đổi cận: x 1 t 2; x 5 t 4. Khi đó 4 4 2 4 1 1 t 1 a 2 I dt dt ln 2ln 3 ln 5 . Suy ra . 2 2 t 1 2 t 1 t 1 t 1 2 b 1 Do đó a2 ab 3b2 5 .
  24. 4 dx 2 Câu 23. Cho tích phân I a bln với a,b ¢ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 3 0 A. a b 3 . B. a b 5 .C. a b 5 . D. a b 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t 2x 1 t 2 2x 1 dx tdt . Đổi cận: x 0 t 1; x 4 t 3 4 3 3 dx tdt 3 3 2 Khi đó I 1 dt t 3ln t 3 2 3ln 1 0 3 2x 1 1 3 t 1 t 3 3 Do đó a b 5 . 3 2 Câu 24. Biết x x2 1dx a b , với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 1 3 A. a 2b . B. a b . C. a b . D. a 3b . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x2 1 t 2 x2 1 tdt xdx . Đổi cận x 1 t 2; x 3 t 2 . 2 3 2 t3 2 Khi đó x x2 1dx t 2dt 4 2 . Vậy a 2b. 1 2 3 2 3 a dx 1 5 Câu 25. Cho I ln , a 5 . Khi đó giá trị của số thực alà 2 5 x x 4 4 3 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x2 4 t 2 x2 4 tdt xdx. Đổi cận: x 5 t 3, x a t a2 4 . 2 2 a xdx a 4 dt a 4 dt I 2 2 2 5 x x 4 3 t 4 3 (t 2)(t 2) 2 a2 4 1 a 4 1 1 1 t 2 1 a2 4 2 dt ln ln 5 . 4 t 2 t 2 4 t 2 4 2 3 3 a 4 2 1 5 1 a2 4 2 1 5 a2 4 2 1 Ta có, I ln ln 5 ln , a 5 2 2 4 3 4 a 4 2 4 3 a 4 2 3 3 a2 4 2 a2 4 2 a 2 3 . 1 x Câu 26. Cho I dx a 2 b . Giá trịa.b là: 2 0 x 1 A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải 1 x Cho I dx a 2 b . Giá trịa.b là: 2 0 x 1 Ta có: x 0 t 1 Đặt t x2 1 dt 2xdx . Đổi cận . x 1 t 2 1 2 1 I dt 2 1 a 1,b 1 a.b 1. 2 1 t
  25. Chọn A 2 4 x2 b Câu 27. Với a,b,c R . Đặt I dx a ln . Giá trị của tính abc là : 1 x c A. 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn D Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn. Dưới đây là một cách Đặt t 4 x2 t 2 4 x2 tdt xdx 0 0 t( tdt) 0 t 2 0 4 t 2 2 3 I 2 2 dt 1 2 dt t ln 3 ln 4 t t 4 t 4 t 2 3 3 3 3 2 3 Suy ra abc 3(2 3)(2 3) 3 3 x2 1 c d Câu 28. Cho dx a b ln với c nguyên dương và a, b , c , d , e là các số 1 x e nguyên tố. Giá trị của biểu thức a b c d e bằng. A. 14. B. 17 .C. 10. D. 24 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 x2 1 3 x2 1 I dx xdx . x x2 1 1 Đặt t x2 1 t 2 x2 1 2tdt 2xdx tdt xdx . x 1 t 2 Đổi cận: . x 3 t 2 2 t 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 I dt 1 dt dt dt 2 2 t 1 2 2 t 1 t 1 2 2 2 t 1 t 1 2 2 1 t 1 1 1 1 3 8 t ln 2 2 ln ln 3 2 2 2 2 ln 2 2 t 1 2 2 3 2 3 1 2 2 2 ln . 3 Vậy a b c d e 10 . 7 x3dx a Câu 29. Giá trị của I được viết dưới dạng phân số tối giản ( a , b là các số nguyên 3 2 0 1 x b dương). Khi đó giá trị của a 7b bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B 7 x3dx Cách 1: Tính I 3 2 0 1 x 3 Đặt u 3 1 x2 u2du xdx . Đổi cận: x 0 u 1; x 7 u 2 . 2 3 2 3 2 u 1 u 3 2 141 Vậy I du u4 u du . 2 1 u 2 1 20
  26. Suy ra: a 141, b 20 . Vậy a 7b 1. 7 x3dx 141 Cách 2: Dùng MTCT I 7.01 . 3 2 0 1 x 20 Suy ra: a 141, b 20 . Vậy a 7b 1. 64 dx 2 Câu 30. Giả sử I a ln b với a, b là số nguyên. Tính giá trị a b . 3 1 x x 3 A. 17 . B. 5.C. 5. D. 17 . Hướng dẫn giải Chọn C 6 Đặt x t x t 6 dx 6t 5dt . Với x 1 t 1, x 64 t 2 . 2 5 2 6t 2 1 3 2 2 2 Khi đó I dt 6 t t 1 dt 2t 3t 6t 6 ln t 1 6 ln 11. 3 2 1 1 t t 1 t 1 3 a 6 , b 11.Vậy a b 5 . 2 1 x2 1 b Câu 31. Giả sử dx a a b với a,b,c ¥ ; 1 a,b,c 9 . Tính giá trị của biểu 4 1 x c b c b a thức C2a c . A. 165. B. 715. C. 5456 .D. 35 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 2 2 1 1 x2 2 I dx x dx 4 3 1 x 1 x 1 2 1 Đặt t 2 1 2tdt dx tdt dx x2 x3 x3 5 2 2 2 1 3 1 5 Ta được I t dt t 2 2 5 . 5 2 3 3 5 3 2 b a 3 Vậy a 2 , b 5 , c 3, suy ra C2a c C7 35 . x t Câu 32. Tập hợp nghiệm của bất phương trình dt 0 (ẩn x) là: 2 0 t 1 A. ; . B. ;0 .C. ; \ 0 . D. 0; . Hướng dẫn giải Chọn C x t 1 x 1 x Ta có dt 0 d t 2 1 0 t 2 1 0 x2 1 1 0 2 2 0 0 t 1 2 0 t 1 x2 1 1 x2 0 x 0 7 x3 m m Câu 33. Cho biết dx với là một phân số tối giản. Tính m 7n . 3 2 0 1 x n n A. 0 .B. 1. C. 2 . D. 91. Hướng dẫn giải Chọn B
  27. 3t 2dt Đặt t 3 1 x2 t3 1 x2 3t 2dt 2xdx xdx . 2 Đổi cận: khi x 0 t 1; khi x 7 t 2 2 7 3 2 3 2 2 5 2 x t 1 3t 3 4 3 t t 141 dx . dt . t t dt . . 3 2 t 2 2 2 5 2 20 0 1 x 1 1 1 m 7n 141 7.20 1. 2 x Câu 34. Biết dx a b 2 c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P a 2b c 7 . 2 1 3x 9x 1 1 86 67 A. . B. . C. 2 . D. . 9 27 27 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 2 2 Cách 1: Ta có dx x 3x 9x2 1 dx 3x2 x 9x2 1 dx 2 1 3x 9x 1 1 1 2 2 2 2 2 3x2dx x 9x2 1dx x3 x 9x2 1dx 7 x 9x2 1dx . 1 1 1 1 1 2 Tính x 9x2 1dx . 1 tdt Đặt 9x2 1 t 9x2 1 t 2 xdx . 9 Khi x 1 thì t 2 2 ; khi x 2 thì t 35 . 35 2 35 tdt t3 35 16 Khi đó x 9x2 1dx t 35 2 . 1 2 2 9 27 2 2 27 27 2 x 35 16 16 35 Vậy dx 7 35 2 a 7 , b , c . 2 1 3x 9x 1 27 27 27 27 32 35 1 Vậy P a 2b c 7 7 7 . 27 27 9 2 2 2 1 1 1 3 35 35 16 2 Cách 2: x 9x2 1dx 9x2 1 2 d 9x2 1 9x2 1 2 18 1 1 27 1 27 27 2 x 35 16 16 35 dx 7 35 2 a 7 , b , c . 2 1 3x 9x 1 27 27 27 27 32 35 1 Vậy P a 2b c 7 7 7 . 27 27 9 2 dx Câu 35. Biết a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x x 1 x 1 x P a b c . A. P 44 . B. P 42 . C. P 46 .D. P 48 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 dx 2 dx Đặt I . 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1
  28. x 1 x dx dt Đặt t x x 1 dt dx 2 . 2 x x 1 x x 1 t Khi x 1 thì t 2 1, khi x 2 thì t 3 2 . 2 dx 3 2 dt 1 3 2 1 1 2 I 2 2 2 t t 3 2 2 1 1 x x 1 x x 1 2 1 2 1 4 2 2 3 2 32 12 4 a 32 , b 12 , c 4 Vậy P a b c 48 4 2x2 4x 1 1 3 Câu 36. Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn dx au4 bu2 c du , trong đó 0 2x 1 2 1 u 2x 1 . Tính giá trị S a b c . A. S 3. B. S 0 . C. S 1.D. S 2 . Hướng dẫn giải Chọn D udu dx 2 u 2x 1 u 2x 1 u2 1 x 2 2 u2 1 u2 1 4 3 2 4 1 3 2x2 4x 1 2 2 1 Khi đó dx u.du u4 2u2 1 .du 0 2x 1 1 u 2 1 Vậy S a b c 1 2 1 2 . 1 a2 x3 ax Câu 37. Tích phân I dx , với a 0 có giá trị là: 2 0 ax 1 a a 2 a a 2 a a 2 a a 2 A. I . B. I .C. I . D. I . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải 1 a2 x3 ax Tích phân I dx , với a 0 có giá trị là: 2 0 ax 1 2 1 a2 x3 ax 1 ax ax 1 1 Ta biến đổi: I dx dx ax ax2 1 dx . 2 2 0 ax 1 0 ax 1 0 Ta nhận thấy: ax2 1 ' 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đặt t ax2 1 dt 2axdx . x 0 t 1 Đổi cận . x 1 t a 1 a 1 a 1 1 1 2 1 I tdt t a a 2 . 1 2 4 1 4 Chọn C 3 1 Câu 38. Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 x 9 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 A. I ln . B. I ln .C. I ln . D. I ln . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải
  29. 3 1 Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 x 9 2 2 x x x 9 udx du dx Đặt u x x 9 du 1 dx dx . x2 9 x2 9 x2 9 u x2 9 x 0 u 3 Đổi cận . x 3 u 3 3 2 3 3 2 du 3 3 2 I ln u ln 1 2 . 3 3 u Chọn C 1 a Câu 39. Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 3x 12 a 1 5 a 1 5 A. I ln . B. I ln . 3 2 3 2 a 1 5 a 1 5 C. I ln .D. I ln . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải 1 a Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 3x 12 Ta có: 1 a a 1 1 I dx dx . 2 2 0 3x 12 3 0 x 4 x x2 4 du dx Đặt u x x2 4 du dx . x2 4 u x2 4 1 5 a 1 5 1 a a 1 5 I du ln u ln . 3 2 u 3 2 3 2 Chọn D 2 ax 2 Câu 40. Tích phân I dx 2 3 1. Giá trị nguyên của a là: 2 1 ax 4x A. a 5 . B. a 6 . C. a 7 . D. a 8. Hướng dẫn giải 2 ax 2 Tích phân I dx 2 3 1. Giá trị của a là: 2 1 ax 4x Ta có: ax2 4x ' 2ax 4 2 ax 2 . 1 2 2ax 4 I dx . 2 2 1 ax 4x Đặt t ax2 4x dt 2ax 4 dx . x 2 t 4a 8 Đổi cận . x 1 t a 4 1 4a 8 1 4a 8 I dt t 4a 8 a 4 a 4 2 a 4 t Theo đề bài: I 2 3 1 4a 8 a 4 2 3 1 a 5 .
  30. 2 1 2 a a Câu 41. Cho dx ln ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: 2 1 x 1 1 b b 2 5 2 3 A. .B. . C. . D. . 5 2 3 2 Hướng dẫn giải 2 1 a a Cho dx ln . Giá trị là: 2 1 x 1 b b dt dx Ta đặt: t x x2 1 . t x2 1 x 1 t 1 2 Đổi cận . x 2 t 2 5 2 5 dt 2 5 2 5 ln t ln . 1 2 1 2 t 1 2 Chọn B 3 7 3x5 Câu 42. Tích phân I dx có gái trị là: 3 3 0 8 x 87 67 77 57 A. I . B. I . C. I . D. I . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải 3 7 3x5 Tích phân I dx có gái trị là: 3 3 0 8 x Cách 1: Ta nhận thấy: 8 x3 ' 3x2 . Ta dùng đổi biến số. Đặt t 8 x3 dt 3x2dx . x 0 t 8 Đổi cận . 3 x 7 t 1 3 3 3 7 3x5 7 3x2.x3 7 3x2 8 t Ta có: I dx dx dx 3 3 3 3 3 3 0 8 x 0 8 x 0 8 x 1 1 1 2 1 5 2 t 8 3 87 I dt t 3 8.t 3 dt t 3 12t 3 . 3 t 5 5 8 8 8 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian. 4 2x 1dx 5 Câu 43. Biết a bln 2 c ln a,b,c ¢ . Tính T 2a b c . 0 2x 3 2x 1 3 3 A. T 4 . B. T 2 .C. T 1. D. T 3. Hướng dẫn giải Chọn C 4 2x 1dx 4 2x 1dx 4 2 2x 1 1 2x 1 2 dx I 0 2x 3 2x 1 3 0 2x 1 1 2x 1 2 0 2x 1 1 2x 1 2 4 2dx 4 dx . 0 2x 1 2 0 2x 1 1 Đặt u 2x 1 udu dx . Với x 0 u 1, với x 4 u 3.
  31. .3 2udu .3 udu .3 4 .3 1 Suy ra I 2 du 1 du 1 u 2 1 u 1 1 u 2 1 u 1 3 5 u 4ln u 2 ln u 1 2 4ln ln 2 1 3 a 2 , b 1, c 1 T 2.1 1 4 1. 3 dx 1 Câu 44. Biết a 3 b 2 c ln 3 2 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1 1 x 1 x 2 P a b c . 1 1 5 A. P . B. P 1. C. P . D. P . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C 2 3 3 1 x 1 x dx 3 3 2 dx 1 1 x 1 x dx Ta có ln x x . 2 2 1 1 x 1 x 1 2x 2 2 1 1 2x 1 3 1 ln 3 I 2 2 3 x 1 x2 dx Xét I 2 1 2x Đặt t 1 x2 tdt xdx 2 2 t 2dt 1 1 2 1 1 1 1 t 1 I t dt t ln 2 2 2 t 1 t 1 2 2 t 1 2 2 t 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 ln ln 2 2 3 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 ln 3 ln 2 1 2 2 ln 3 ln 2 1 2 2 2 2 2 dx 1 3 1 1 Vậy ln 3 2 2 ln 3 ln 2 1 2 1 1 x 1 x 2 2 2 1 1 3 1 3 2 ln 3 2 3 2 2 2 2 1 Vậy P a b c . 2 1 dx 2 a 2ln 2 1 b Câu 45. Biết rằng 0 x 4x 3 với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a b bằng A. 3 .B. 5 . C. 9 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 dx 1 dx Ta có 2 0 x 4x 3 0 x 1 x 3 Đặt t x 3 x 1 1 1 1 1 x 1 x 3 dt dx dt 2 x 3 x 1 2 x 1 x 3
  32. 1 t 2dt dx dt dx . 2 t x 1 x 3 x 1 x 3 Khi x 0 thì t 1 3 ; khi x 1 thì t 2 2 . 1 2 2 dx dt 2 2 2 2 a 2 2 2ln t 2ln a b 5. 2 1 3 0 x 4x 3 1 3 t 1 3 b 3 2 1 1 1 a a Câu 46. Biết 3 x 2 3 dx 3 c , với a,b,c nguyên dương, tối giản và c a . 2 8 11 1 x x x b b Tính S a b c A. S 51.B. S 67 . C. S 39 . D. S 75 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 1 1 1 2 1 2 Ta có 3 x 2 3 dx 3 x 1 dx . 2 8 11 2 3 1 x x x 1 x x 1 1 2 3 3 2 Đặt t x 2 t x 2 3t dt 1 3 dx . x x x 7 3 7 2 4 3 4 1 1 1 3 3 4 21 Khi đó: 3 x 2 3 dx 3t dt t 3 14 . 2 8 11 1 x x x 0 4 0 32 Vậy S 67 . 2 dx Câu 47. Cho số thực dương k 0 thỏa ln 2 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 0 x k 3 1 1 3 A. k . B. 0 k .C. k 1 . D. 1 k . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C x 1 2 2 x k 1 Đặt t ln x x k dt dx dt dx 2 2 x x k x k 2 2 2 dx 2 Ta có dt t ln x x2 k ln 2 5 2 0 0 x k 0 0 2 4 k ln 2 4 k ln k ln 2 5 ln ln 2 5 k 2 4 k 2 5 k 2 2 4 k 2 5 k 4 4 k 4 4 k 2 5 k 4 k 2 5 k 2
  33. 2 2 k k 2 5 2 5 2 2 4 k 2 5 k 2 4 4 2 5 k 2 5 k 2 9 4 5 k 0 2 k 2 5 k 0 k 1
  34. HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 1 A. sin 1 x dx sin xdx . B. cos 1 x dx cos xdx . 0 0 0 0 x 2 x 2 C. cos dx cos xdx . D. sin dx sin xdx . 0 2 0 0 2 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Xét tích phân sin 1 x dx 0 Đặt 1 x t dx dt . Khi x 0 t 1; Khi x 1 t 0 . 1 0 1 1 Do đó sin 1 x dx sin t dt sin tdt sin xdx . 0 1 0 0 π 3 sin x Câu 49. Tính tích phân I dx . 3 0 cos x 5 3 π 9 9 A. I .B. I . C. I . D. I . 2 2 3 20 4 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t cos x dt sin xdx . π 1 Đổi cận: x 0 t 1; x t . 3 2 1 1 2 1 1 1 1 1 3 Khi đó: I 3 dt 3 dt 2 2 . 1 1 t 1 t 2t 2 2 2 2 3 b Câu 50. Cho I sin2 x tan xdx ln a . Chọn mệnh đề đúng: 0 8 A. a b 4 B. a b 2 C. ab 6 D. ab 4 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u cos x du sin xdx 1 x u Đổi cận 3 2 x 0 u 1 1 2 1 2 1 u du 1 1 u2 3 I u du lnu ln 2 1 1 u 1 u 2 8 2 2 0 1 0 3 Câu 51. Biết rằng I dx a và I 3 x 2dx b 3 2 , a và b là các số hữu tỉ. 1 1 cos 2x 4 1 4 Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 3 2 A. .B. . C. .D. . 2 3 4 3 Hướng dẫn giải
  35. 0 1 0 3 Biết rằng I dx a và I 3 x 2dx b 3 2 . Thương số giữa a và b có giá 1 1 cos 2x 4 1 4 trị là: Ta có: 0 1 1 0 1 1 0 1 I dx dx tdt , với t tan x . 1 2 1 cos 2x 2 cos x 2 2 1 4 4 0 0 3 4 3 3 I 3 x 2dx 3 x 2 3 2 . 1 4 1 2 4 1 3 a 1 a ,b . 2 2 b 3 Chọn B a cos 2x 1 Câu 52. Cho I dx ln 3 . Tìm giá trị của a là: 0 1 2sin 2x 4 A. 3 B. 2 C. 4D. 6 Hướng dẫn giải Chọn C 1 2sin2 a 1 dt 1 1 2sin2 / a 1 Đặt t 1 2sin2x đưa đến I = = lnt| 1 = ln3 4 1 t 4 4 suy ra 1 2sin2 / a 3 suy ra a = 4. 1 4 1 1 Câu 53. Biết I 1 tan2 x dx a và I x2 x dx bx3 cx3 , a và b là các số hữu tỉ. Giá 1 2 0 0 0 trị của a + b + c là: A. 1.B. 2.C. 3.D. 0. Hướng dẫn giải 1 4 1 1 Biết I 1 tan2 x dx a và I x2 x dx bx3 cx3 . Giá trị của a + b + c là: 1 2 0 0 0 Ta có: 4 4 1 1 I 1 tan2 x dx dx tdt 1, với t tan x . 1 2 0 0 cos x 0 1 1 1 2 1 3 2 3 I2 x x dx x x . 3 3 0 0 1 2 a 1,b ,c a b c 2 . 3 3 Chọn B 3 sin 2x Câu 54. Tích phân I dx có giá trị là: 0 cos x cos3x 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 A. I ln ln .B. I ln ln . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 C. I ln ln . D. I ln ln . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1
  36. Hướng dẫn giải 3 sin 2x Tích phân I dx có giá trị là: 0 cos x cos3x 1 3 sin 2x 3 sin x 3 sin x 1 2t 1 2 I dxI dx dx ln cos x cos3x cos 2x 2cos2 x 1 2 2 2t 1 Ta biến đổi: 0 0 0 1 , 1 2 2 2 1 ln ln 2 2 2 2 2 1 với t cos x . Chọn C 2 2x cos x Câu 55. Tích phân I dx có giá trị là: 2 x sin x 4 2 2 2 2 2 2 A. I ln 1 ln .B. I ln 1 ln . 4 16 2 4 16 2 2 2 2 2 2 2 C. I ln 1 ln .D. I ln 1 ln . 4 16 2 4 16 2 Hướng dẫn giải 2 2x cos x Tích phân I dx có giá trị là: 2 x sin x 4 2 1 2 2x cos x 4 1 2 2 2 Ta có: I dx dt ln 1 ln , với t x2 sin x . 2 x sin x 2 t 4 16 2 2 4 16 2 Chọn B 4 1 1 Câu 56. Cho sin 2x ln tan x 1 dx a bln 2 c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T c 0 a b . A. T 2 .B. T 4 . C. T 6 . D. T 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 4 1 4 Ta có sin 2x ln tan x 1 dx ln tan x 1 d cos 2x 0 2 0 4 1 4 1 cos 2x ln tan x 1 cos 2xd ln tan x 1 2 2 0 0 1 4 1 1 1 4 cos2 x sin2 x 1 cos 2x. . dx . dx 2 sin x cos x 2 2 0 tan x 1 cos x 2 0 cos x cos x 4 4 1 sin x 1 4 1 1 1 dx x d cos x 2 0 cos x 2 2 0 cos x 0
  37. 1 4 1 1 ln cos x ln 2 T 8 4 0 4 . 8 2 8 4 0 2 sin 2x Câu 57. Xét tích phân I dx . Nếu đặt t 1 cosx , khẳng định nào dưới đây là đúng? 0 1 cos x 1 4t3 4t 1 4t3 4t 2 A. I dt. B. I dt. C. I 4 t 2 1 dt. D. 2 t 2 t 1 2 I 4 t 2 1 dt. 1 Hướng dẫn giải Chọn C sin x sin x Đặt t 1 cos x dt dx dx 2dt 2 1 cos x 1 cos x t 2 1 cos x cos x t 2 1 Đổi cận x 0 t 2; x t 1. 2 1 1 2 2 sin 2x dx 2 2 cos x sin xdx 2 2 2 I 2(t 1)( 2)dt 4 (t 1)dt 4 (t 1)dt. 0 1 cos x 0 1 cos x 2 2 1 6 1 Câu 58. Cho sinn x.cos xdx n ¥ . Tìm giá trị n. 0 64 A. n 3 . B. n 4 . C. n 5 . D. n 6 . Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] 1 Đặt t sin x dt cos xdx . Với x 0 t 0 ; x t . 6 2 1 n 1 n 6 1 2 t n 1 1 1 1 1 1 n 1 Vậy sin n x.cosxdx t ndt |2 . 1 0 0 64 0 n 1 n 1 2 64 2 32 n 1 Phương trình 1 là phương trình hoành độ giao điểm của y là một hàm số giảm trên 2 n 1 1 ¡ và y y 0 là một hàm số tăng trên ¡ . 32 32 Vậy phương trình 1 có tối đa 1 nghiệm. 3 1 3 1 Với n 3 thay vào phương trình 1 ta được: ( đúng). 2 32 Vậy n 3 là nghiệm duy nhất của phương trình 1 . [Phương pháp trắc nghiệm] 6 1 Thay n 3 vào bấm máy tính: sin 3 x.cos xdx . Ta chọn đáp ánA. 0 64 2 sin x Câu 59. Cho tích phân dx a ln 5 bln 2 với a, b ¢ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x 2 3
  38. A. 2a b 0. B. a 2b 0. C. 2a b 0. D. a 2b 0. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t cos x 2 dt sin xdx 5 Đổi cận x t , x t 2 3 2 2 5 2 sin x 2 1 2 1 5 5 dx dt dt ln t 2 ln ln 2 ln 5 2ln 2 2 cos x 2 5 t 2 t 2 3 2 Vậy ta được a 1;b 2 . 2 cos x sin x Câu 60. Tích phân I dx có giá trị là: x e cos x 1 cos x 3 e 3 e 3 2 e 3 e 3 2 A. I ln 2 . B. I ln 2 . e 3 2 e 3 2 e 3 e 3 2 e 3 e 3 2 C. I ln 2 . D. I ln 2 . e 3 2 e 3 2 Hướng dẫn giải 2 3 cos x sin x Tích phân I dx có giá trị là: x e cos x 1 cos x 3 2 ex . cos x sin x Ta biến đổi: I dx . x x e cos x 1 e cos x 3 Đặtt ex cos x dt ex cos x sin x dx . 1 x t e 3 3 2 Đổi cận . 2 1 2 x t e 3 3 2 2 2 1 1 2 3 3 e 3 e 3 e e 2 2 1 t 2 e 3 e 3 I dt ln ln ln ln . 2 2 t t 1 t 1 1 1 e 3 3 3 3 e 3 2 e 2 e 2 e 2 2 Chọn A 6 sin3 x Câu 61. Tích phân I dx có giá trị là: cos x 3
  39. 19 17 3 19 17 4 3 19 17 3 19 17 4 3 A. I . B. I . C. I .D. I . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 6 sin3 x Tích phân I dx có giá trị là: cos x 3 Ta nhận thấy: cos x ' sin x . T dùng đổi biến số. Đặt t cos x dt sin xdx . 1 x t 3 2 Đổi cận . 3 x t 6 2 2 2 sin3 x 2 1 cos x sin x I dx dx cos x cos x 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 1 5 1 t 1 2 19 17 4 3 I dt t 2 t 2 dx t 2 2t 2 1 t 1 5 2 1 2 2 2 Chọn D 3 sin x Câu 62. Tích phân I dx có gái trị là: 2 cos x 3 sin x 3 3 3 2 3 3 3 2 3 A. I ln . B. I ln . 16 3 2 8 8 3 2 8 3 3 2 3 3 3 2 3 C. I ln .D. I ln . 8 3 2 8 16 3 2 8 Hướng dẫn giải 3 sin x Tích phân I dx có gái trị là: 2 cos x 3 sin x 3 Ta có: 3 sin x 3 sin x 3 sin x I dx dxI dx . 2 2 2 cos x 3 sin x 1 3 3 3 4 cos x sin x 3 4 sin x 2 2 6 Đặt u x x u dx du . 6 6 x u 3 6 Đổi cận x u 3 2
  40. 2 sin u 2 sin u.cos sin cosu 2 6 1 3.sin u cosu I du 6 6 du du 2 2 2 4sin u 4sin u 8 sin u 6 6 6 1 2 3 sin u 2 cosu du du 2 2 8 1 cos u sin u 6 6 2 3 sin u Xét I du . 1 2 1 cos u 6 Đặt t cosu,u 0;  dt sin udu . 3 u t 6 2 Đổi cận . u t 0 2 0 0 3dt 3 0 1 1 3 t 1 3 3 2 I1 2 dt l n ln . 1 t 2 1 t 1 t 2 t 1 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 cosu Xét I du . 2 2 sin u 6 Đặt t sin u,u ; dt cosudu . 2 2 1 u t 6 2 Đổi cận . u t 1 2 1 1 1 1 1 3 3 2 3 I du 3. I I I ln . 2 2 1 2 1 t t 1 8 16 3 2 8 2 2 Chọn D 4 1 Câu 63. Tích phân I dx có giá trị là: 2 2 0 9cos x sin x 1 1 1 A. I ln 2 . B. I ln 2 .C. I ln 2 . D. I ln 2 . 3 2 6 Hướng dẫn giải 4 1 Tích phân I dx có giá trị là: 2 2 0 9cos x sin x 4 1 4 1 Ta biến đổi: I dx dx . 2 2 2 2 0 9cos x sin x 0 cos x 9 tan x 1 Nhận thấy: tan x ' . Ta dùng đổi biến số. cos2 x
  41. 1 Đặt t tan x dt dx . cos2 x x 0 t 0 Đổi cận . x t 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3 t 1 I 2 dt dt ln ln 2 . 9 t 6 3 t 3 t 6 3 t 6 0 0 0 Chọn C a sin x cos x 1 3 Câu 64. Tích phân I dx . Giá trị của alà: 2 0 sin x cos x 1 3 A. a .B. a .C. a .D. a . 2 4 3 6 Hướng dẫn giải a sin x cos x 1 3 Tích phân I dx . Giá trị của alà: 2 0 sin x cos x 1 3 Ta có: sin a cosa a sin x cos x 1 1 I dx 1, t sin x cos x . 2 0 sin x cos x t 1 cos a sin a 1 1 3 Theo đề bài, ta có: 1 casio a . cos a sin a 1 3 3 Chọn C 2 sin x Câu 65. Tích phân I dx có giá trị là: sin x cos x 3 3 1 A. I ln 3 1 .B. I ln . 12 12 4 3 1 ln 2 3 1 C. I D. I ln . 12 2 . 12 2 Hướng dẫn giải 2 sin x Tích phân I dx có giá trị là: sin x cos x 3 2 cos x Xét I dx 1 sin x cos x 3 2 I I I dx 2 1 1 3 ln I2 I3 2 Ta có: 3 I , t sin x cos x . 1 1 2 12 2 I I I dt 3 1 1 3 t 2 2 Chọn C
  42. 4 cos x a Câu 66. Cho biết dx a bln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó bằng: 0 sin x cos x b 1 3 1 3 A. . B. .C. . D. . 4 8 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C 4 cos x 4 sin x Xét I dx ; I dx 1 2 0 sin x cos x 0 sin x cos x 4 I I dx ; 1 2 0 4 4 4 cos x sinx 4 d(sin x cos x) 1 I I dx ln(sin x cos x) ln 2 1 2 0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 2 1 1 1 a 1 I ln 2 a ; b . 1 8 4 8 4 b 2 Cách giải khác:Đặt x t 4 xsin2018 x a Câu 67. Biết d x trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P 2a b . 2018 2018 0 sin x cos x b A. P 8 . B. P 10. C P 6 . D. P 12. Hướng dẫn giải Chọn A xsin2018 x Xét tích phân I d x . 2018 2018 0 sin x cos x Đặt x t d x dt . Khi x 0 thì t . Khi x thì t 0 . 0 t sin2018 t x sin2018 x Ta có I dt d x 2018 2018 2018 2018 sin t cos t 0 sin x cos x sin2018 x xsin2018 x d x d x 2018 2018 2018 2018 0 sin x cos x 0 sin x cos x sin2018 x d x I . 2018 2018 0 sin x cos x sin2018 x Suy ra I d x . 2018 2018 2 0 sin x cos x sin2018 x Xét tích phân J d x . 2018 2018 sin x cos x 2 Đặt x u d x du . 2 Khi x thì u 0 . 2 Khi x thì t . 2
  43. 2018 2 sin u 0 2018 2 cos x Nên J du d x . 2018 2018 0 2018 2018 sin x cos x sin u cos u 2 2 2 cos2018 x Vì hàm số f x là hàm số chẵn nên: sin2018 x cos2018 x 0 cos2018 x 2 cos2018 x dx d x 2018 2018 2018 2018 sin x cos x sin x cos x 0 2 Từ đó ta có: sin2018 x 2 sin2018 x sin2018 x I d x d x d x 2 sin2018 x cos2018 x 2 sin2018 x cos2018 x sin2018 x cos2018 x 0 0 2 2 sin2018 x 2 cos2018 x d x d x 2 sin2018 x cos2018 x sin2018 x cos2018 x 0 0 2 sin2018 x cos2018 x 2 2 d x d x . 2018 2018 2 0 sin x cos x 2 0 4 Như vậy a 2 , b 4 . Do đó P 2a b 2.2 4 8 . sin xdx Câu 68. Cho tích phân I (với 1) thì giá trị của I bằng: 2 0 1 2 cos x 2 A. 2. B. . C. 2 .D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn D t Đặt t 1 2 cos x 2 t 2 1 2 cos x 2 dt sin xdx 1 1 tdt 1 1 2 Vậy I .t 1 1 t m sin x 1 Câu 69. Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng 0;6 thỏa mãn dx ? 0 5 4cos x 2 A. 6 . B. 12. C. 8 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 m sin x m 1 Ta có dx d cos x 2 0 5 4cos x 0 5 4cos x 1 m 1 1 m d 5 4cos x ln 5 4cos x . 4 0 5 4cos x 4 0 1 1 m 1 5 4cos m Mà 5 4cos x 5 4 0 ln 5 4cos x ln 2 4 0 4 9 5 4cos m 5 4cos m 9e 2 5 ln 2 e 2 cos m 9 9 4
  44. 9e 2 5 m arccos k2 k ¢ . 4 k 0 9e 2 5 arccos k2 0;6 k 1 4 k 2 Theo đề bài m 0;6 . k 1 9e 2 5 arccos k2 0;6 k 2 4 k 3 Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. 2 cos x 4 Câu 70. Cho dx a ln b, tính tổng S a b c . 2 0 sin x 5sin x 6 c A. S 1.B. S 4 . C. S 3. D. S 0 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t sin x dt cos xdx . x 0 t 0 , x t 1. 2 1 2 cos x 1 1 1 1 1 t 3 3 4 dx dt dt ln ln 2 ln ln 2 2 0 sin x 5sin x 6 0 t 5t 6 0 t 3 t 2 t 2 0 2 3 a 1,b 0,c 3 S a b c 4 . 2 x2 2x cos x cos x 1 sin x c Câu 71. Cho tích phân I dx a 2 b ln với a , b , c là các số 0 x cos x hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức P ac3 b. 5 3 A. P 3. B. P . C. P .D. P 2 . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 x2 2x cos x cos x 1 sin x 2 x cos x 2 1 sin x Ta có I dx dx 0 x cos x 0 x cos x 2 1 sin x x2 2 2 2 2 x cos x dx sin x ln x cos x 1 ln 1 ln x cos x 2 8 2 8 0 0 1 1 a , b 1, c 2 . P ac3 b .8 1 2 . 8 8 2 sin x 4 Câu 72. Cho dx a ln b , với a , b là các số hữu tỉ, c 0 . Tính tổng 2 0 cos x 5cos x 6 c S a b c . A. S 3. B. S 0 . C. S 1.D. S 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t cos x dt sin xdx . Đổi cận: x 0 t 1; x t 0 2
  45. Ta có: 1 2 sin x 0 1 1 1 1 t 3 3 dx dt dt ln ln 2 ln 2 2 0 cos x 5cos x 6 1 t 5t 6 0 t 3 t 2 t 2 0 2 4 4 ln a ln b . 3 c a 1 Do đó: c 3 . b 0 Vậy S a b c 4 . 2 a * a Câu 73. Cho 4cos 2x 3sin 2x ln cos x 2sin x dx c ln 2 , trong đó a , b , c ¥ , là phân 0 b b số tối giản. Tính T a b c . A. T 9 . B. T 11. C. T 5 . D. T 7 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 I 4cos 2x 3sin 2x ln cos x 2sin x dx 0 2 2 cos x 2sin x 2cos x sin x ln cos x 2sin x dx . 0 Đặt t cos x 2sin x dt sin x 2cos x dx . Với x 0 thì t 1. Với x thì t 2. 2 2 2 2 2 2 t 2 3 Suy ra I 2t ln tdt ln td t 2 t 2.ln t tdt 4ln 2 4ln 2 . 1 1 1 1 2 1 2 a 3 Vậy b 2 T a b c 9 . c 4 3 sin x 3 3 2 Câu 74. Biết dx c d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính 6 3 1 x x a b 3 a b c d . A. a b c d 28 . B. a b c d 16. C. a b c d 14. D. a b c d 22 . Hướng dẫn giải ChọnA. 6 3 3 sin x 3 1 x x sin x 3 I dx dx 1 x6 x3 sin xdx . 6 3 6 6 1 x x 1 x x 3 3 3
  46. x t 3 3 Đặt t x dt dx . Đổi cận . x t 3 3 3 3 3 I 1 t 6 t3 sin t dt 1 t 6 t3 sin tdt 1 x6 x3 sin xdx 3 3 3 3 3 Suy ra 2I 2x3 sin x dx I x3 sin xdx . 3 3 x3 (+) sin x 3x 2 (–) cos x 6x (+) sin x 6 (–) cos x 0 sin x 3 2 3 2 3 3 I x cos x 3x sin x 6x cos x 6sin x 2 6 3 3 27 3 Suy ra: a 27, b 3, c 2, d 6 . Vậy a b c d 28 . 6 x cos x 2 3 Câu 75. Biết dx a với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M a b c . 2 1 x x b c 6 A. M 35. B. M 41. C. M 37 . D. M 35. Hướng dẫn giải Chọn A 6 x cos x 0 x cos x 6 x cos x Ta có dx dx dx I J 2 2 2 1 x x 1 x x 1 x x 0 6 6 0 x cos x Xét I dx . Đặt t x C ; Đổi cận: x 0 t 0 ; x t . 2 m 1 x x 6 6 6 0 x cos x 0 t cos t 6 t cost 6 x cos x Suy ra I dx dt dt dx . 2 2 2 2 1 x x 1 t t 1 x x 1 t t 0 0 6 6 6 x cos x 6 x cos x 6 x cos x Khi đó dx dx dx 2 2 2 1 x x 0 1 x x 0 1 x x 6 6 1 1 6 x cos x dx 2x2 cos x dx . 2 2 0 1 x x 1 x x 0 6 x cos x 2 3 dx 2x2 sin x 4x cos x 4sin x 6 2 . 2 0 1 x x 36 3 6 Khi đó a 2 ; b 36 ; c 3. Vậy M a b c 35 .
  47. 1 2 12 f x dx 2018 cos 2x. f sin 2x dx Câu 76. Cho 0 . Tính 0 . 1009 A. I .B. I 1009 . C. I 4036 . D. I 2018 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B 12 Xét I cos2x. f sin 2x dx . 0 Đặt u sin 2x du 2cos2xdx . 1 Đổi cận: x 0 u 0 và x u . 12 2 1 1 1 2 1 2 1 Khi đó I f u du f x dx .2018 1009 . 2 0 2 0 2 1 2 Câu 77. Cho f là hàm số liên tục thỏa f x dx 7 . Tính I cos x. f sin x dx . 0 0 A. 1. B. 9 . C. 3 .D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận x 0 t 0 , x t 1. 2 2 1 1 Ta có I cos x. f sin x dx f t dt f x dx 7 . 0 0 0 2 1 3 Câu 78. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 12 , f 2cos x sin xdx bằng 1 3 A. 12 . B. 12.C. 6 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t 2cos x dt 2sin xdx . Đổi cận 2 3 1 1 1 1 1 1 f 2cos x sin xdx f t dt f t dt f x dx 6 . 1 2 2 1 2 1 3 9 f x /2 Câu 79. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ thỏa mãn dx 4 và f sin x cos xdx 2. 1 x 0 3 Tích phân I f x dx bằng 0 A. I 2 . B. I 6 .C. I 4 . D. I 10 . Hướng dẫn giải
  48. Chọn C 1 9 f x 3 3 Đặt t x dt dx dx 2 f t dt 4 f t dt 2. 2 x 1 x 1 1 /2 1 Đặt t sin x dt cos dx f sin x cos xdx f t dt 2. 0 0 3 1 3 I f x dx f x dx f x dx 2 2 4. 0 0 1
  49. HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 ae b Câu 80. Cho I xe1 x dx . Biết rằng I . Khi đó, a b bằng 0 2 A. 1. B. 0.C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 2 1 2 1 2 1 e 1 Ta có I xe1 x dx e1 x d 1 x2 e1 x 0 2 0 2 0 2 ae b Vì I a 1;b 1 . Vậy a b 2 . 2 2 f x sin 2x.esin x Câu 81. Nguyên hàm của là sin2 x 1 sin2 x 1 2 e 2 e A. sin2 x.esin x 1 C . B. C .C. esin x C . D. C . sin2 x 1 sin2 x 1 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 Ta có sin 2x.esin xdx esin xd sin2 x esin x C 1 a b b c Câu 82. Biết rằng 3e 1 3x dx e2 e c a,b,c ¢ . Tính T a . 0 5 3 2 3 A. T 6 . B. T 9 .C. T 10 . D. T 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t 1 3x t2 1 3x 2tdt 3dx Đổi cận: x 0 t 1, x 1 t 2 1 2 2 2 2 2 3e 1 3x dx 2 tetdt 2 tet etdt 2 tet et 2 2e2 e e2 e 2e2. 0 1 1 1 1 1 a 10 T 10 nên câu C đúng. b c 0 ln12 Câu 83. Tích phân I ex 4dx có giá trị là: ln5 A. I 2 ln 3 ln 5 .B. I 2 2ln 3 2ln 5 . C. I 2 2ln 3 ln 5 . D. I 2 ln 3 2ln 5 . Hướng dẫn giải ln12 Tích phân I ex 4dx có giá trị là: ln5 2tdt Đặt: t ex 4 t 2 ex 4 2tdt exdx dx . t 2 4 x ln 5 x 3 Đổi cận . x ln12 x 4 4 4 2t 2 t 2 I dt 2 t 2ln 2 2ln 3 2ln 5 . t 2 4 t 2 3 3 Chọn B m 2 2 Câu 84. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho xe x 1dx 2500.e m 1 . 0 A. m 2250 2500 2 . B. m 21000 1 .C. m 2250 2500 2 . D. m 21000 1 . Hướng dẫn giải
  50. Chọn C 2 2 m 2 m 1 m 1 2 Ta có xe x 1dx tetdt tet et m2 1 1 e m 1 0 1 1 m 2 2 2 2 Theo bài ra xe x 1dx 2500.e m 1 2500.e m 1 m2 1 1 e m 1 2500 m2 1 1 0 2 m2 1 2500 1 m2 21000 2501 2500 2500 2 m 2250 2500 2 . 3 dx Câu 85. Cho e x 1 a.e2 b.e c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S a b c . 0 x 1 A. S 1. B. S 2 .C. S 0 . D. S 4 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 dx 1 Xét I e x 1 ; đặt u x 1 du dx . 0 x 1 2 x 1 Đổi cận: x 0 u 1; x 3 u 2 2 2 I eu 2du 2eu 2e2 2e a 2 , b 2 , c 0 , S a b c 0 . 1 1 2 2 Câu 86. Cho tích phân I esin x sin xcos3 xdx . Nếu đổi biến số t sin 2 x thì: 0 1 1 1 1 1 t t 1 t t A. I e dt te dt .B. I e dt te dt . 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 t t t t C. I 2 e dt te dt . D. I 2 e dt te dt . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có I esin x sin x cos3 xdx esin x . 1 sin2 x sin x.cos xdx . 0 0 1 Đặt t sin2 x dt 2sin x cos xdx sin x cos xdx dt . 2 Đổi cận x 0 2 t 0 1 1 1 1 1 t 1 t t Vậy I e 1 t dt e dt te dt . 2 0 2 0 0 n 1 dx lim x 1 ex Câu 87. Tính n . A. 1. B. 1. C. e.D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D n 1 dx n 1 exdx I Tính x x x . n 1 e n e 1 e Đặt t e x dt e x dx . Đổi cận: x n t e n , x n 1 t e n 1 .
  51. 1 en 1 en 1 1 dt 1 1 en 1 n Khi đó I dt ln t ln t 1 1 ln e . en n t t 1 n t t 1 1 e e e en 1 n 1 1 dx en Suy ra lim lim I lim 1 ln 1 1 0. x 1 ex x x 1 n e en 2 x2016 Câu 88. Tính tích phân I dx. x 2 e 1 2 2018 2 2017 2 2018 A. I 0. B. I .C. I . D. I . 2017 2017 2018 Hướng dẫn giải. Chọn C Đặt x t dx dt . Đổi cận: Với x 2 t 2; x 2 t 2 2 2 2016 2 2016 x 2 2017 2018 t x e dx x 2 2017 Khi đó: I dt , suy ra 2I x2016dx 2 . t x I 2 e 1 2 1 e 2 2017 2 2017 2017 1 x2ex a a Câu 89. Cho biết dx .e c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là 2 0 x 2 b b phân số tối giản. Tính a b c . A. 3 . B. 0 . C. 2 .D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t x 2 dt dx , đổi cận x 0 t 2 , x 1 t 3 . 1 2 x 3 2 t 2 3 3 3 x e t 2 e 4 4 t 2 t 2 4 4 t 2 Ta có I dx dt 1 e dt e dt e dt 2 2 2 2 0 x 2 2 t 2 t t 2 2 t t 3 3 + Tính I et 2dt et 2 e 1. 1 2 2 3 4 4 + Tính I et 2dt . 2 2 2 t t 4 4 Đặt u du dt , dv et 2dt v et 2 t t 2 3 3 4 4 3 4 3 4 4 4 Ta có et 2dt .et 2 et 2dt I et 2dt e 2 . 2 2 2 2 t t 2 2 t 2 t t 3 1 Suy ra I e 1 a 1, b 3 , c 1. Vậy a b c 3 . 3 ln 6 ex Câu 90. Biết tích phân dx a bln 2 c ln 3, với a , b , c là các số nguyên. Tính x 0 1 e 3 T a b c . A. T 1.B. T 0 . C. T 2 . D. T 1. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t ex 3 t 2 ex 3 2tdt exdx . x ln 6 t 3 Đổi cận . x 0 t 2
  52. ln 6 3 3 ex 2tdt 2 3 Suy ra dx 2 dt 2t 2ln t 1 6 2ln 4 4 2ln 3 x 2 0 1 e 3 2 1 t 2 1 t a 2 2 4ln 2 2ln 3 b 4 . c 2 Vậy T 0 . 9 3 4 3 2 3 cos x Câu 91. Giá trị I x sin x e dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0,046 . B. 0,036 .C. 0,037 . D. 0,038. Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt u cos x3 du 3 x2 sin x3 d x x2 sin x3 d x du . 3 1 3 Khi x thì u . 3 6 2 9 2 Khi x thì u . 3 4 2 2 3 3 2 2 3 2 1 1 1 2 1 Ta có I eu du eu du eu e 2 e 2 0,037 . 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 1 x2 x ex Câu 92. Cho dx a.e bln e c với a , b , c ¢ . Tính P a 2b c . x 0 x e A. P 1. B. P 1. C. P 0 .D. P 2 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 x2 x ex 1 x 1 ex xex Ta có: I dx dx . x x 0 x e 0 xe 1 Đặt t xex 1 dt 1 x exdx . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1. e 1 t 1 e 1 1 e 1 Khi đó: I dt 1 dt t ln t e ln e 1 . 1 t 1 t 1 Suy ra: a 1, b 1, c 1. Vậy: P a 2b c 2 . 2 x 1 x 5x 6 e ae c Câu 93. Biết dx ae b ln với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của x 0 x 2 e 3 logarit tự nhiên. Tính S 2a b c . A. S 10 . B. S 0 . C. S 5.D. S 9 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 x2 5x 6 ex 1 x 2 x 3 e2x Ta có : I dx dx . x x 0 x 2 e 0 x 2 e 1 Đặt t x 2 ex dt x 3 exdx . Đổi cận : x 0 t 2 , x 1 t 3e .
  53. 3e 3e tdt 1 3e 3e 1 I 1 dt t ln t 1 3e 2 ln . 2 2 t 1 2 t 1 3 Vậy a 3, b 2 , c 1 S 9 . 1 x3 2x ex3.2x 1 1 e Câu 94. dx ln p với m , n , p là các số nguyên dương. Tính x 0 e.2 m eln n e tổng S m n p . A. S 6 . B. S 5.C. S 7 . D. S 8. Hướng dẫn giải Chọn C 1 x3 2x ex3.2x 1 2x 1 1 2x 1 Ta có dx x3 dx dx J . x x x 0 e.2 0 e.2 4 0 e.2 4 1 2x 1 Tính J dx . Đặt e.2x t e.2x ln 2dx dt 2x dx dt . x 0 e.2 e.ln 2 Đổi cận: Khi x 0 thì t e ; khi x 1 thì t 2e . 1 x 2e 2 1 1 1 2e 1 e J dx dt ln t ln 1 . x e 0 e.2 eln 2 e t eln 2 eln 2 e 1 x3 2x ex3.2x 1 1 e Khi đó dx ln 1 m 4 , n 2 , p 1. Vậy S 7 . x 0 e.2 4 eln 2 e Câu 95. Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c, a,b,c ¡ ,a 0 có hai nghiệm thực phân biệt x 2 ax2 bx c x1, x2 . Tính tích phân I 2ax b e dx . x 1 x x x x A. I x x .B. I 1 2 .C. I 0 .D. I 1 2 . 1 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t ax2 bx c dt 2ax b dx 2 x 0 x x1 t ax1 bx1 c 0 2 2 Khi . Do đó I 2ax b eax bx cdx etdt 0 . 2 x 0 1 x x2 t ax2 bx2 c 0 e ln x Câu 96. Với cách đổi biến u 1 3ln x thì tích phân dx trở thành 1 x 1 3ln x 2 2 2 2 2 2 2 u2 1 A. u2 1 du .B. u2 1 du . C. 2 u2 1 du . D. du . 3 1 9 1 1 9 1 u Hướng dẫn giải Chọn B u2 1 dx 2u u 1 3ln x u2 1 3ln x ln x du . 3 x 3 u2 1 e ln x 2 2u 2 2 Khi đó dx 3 du u2 1 du . 1 x 1 3ln x 1 u 3 9 1 e x 1 ln x 2 e 1 a Câu 97. Biết dx a.e bln trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là 1 1 x ln x e b 1 A. .B. 1. C. 3 . D. 2. 2 Hướng dẫn giải Chọn B
  54. e x 1 ln x 2 e 1 x ln x 1 ln x e e d 1 x ln x Ta có: dx dx dx 1 1 x ln x 1 1 x ln x 1 1 1 x ln x e 1 x e ln 1 x ln x e e 1 ln 1 e e ln . 1 1 e a Suy ra a b 1. Vậy 1. b e 1 3ln x Câu 98. Tính tích phân I dx bằng cách đặt t 1 3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 1 2 2 2 2 2 2 14 A. I t3 .B. I tdt . C. I t2dt . D. I . 9 1 3 3 9 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B e 1 3ln x 3 2t dx I dx , đặt t 1 3ln x t 2 1 3ln x 2tdt dx dt . x x 3 x 1 Đổi cận: x 1 t 1; x e t 2 . 2 2t 2 2 2 14 I dt t3 . 3 9 1 9 1 2 3x 1 ln b Câu 99. Biết dx ln a với a, b , c là các số nguyên dương và c 4 . Tổng 2 1 3x x ln x c a b c bằng A. 6. B. 9 .C. 7. D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 2 2 3 3x 1 1 Ta có dx x dx . Đặt t 3x ln x , dt 3 dx 2 1 3x x ln x 1 3x ln x x Đổi cận x 1 t 3 , x 2 t 6 ln 2 . 1 2 3 6 ln 2 dt 6 ln 2 ln 2 x dx ln t ln 6 ln 2 ln 3 ln 2 3 1 3x ln x 3 t 3 a 2 , b 2 , c 3. Vậy tổng a b c 7 . e ln x 3 Câu 100. Biết I dx a ln b, a,b Q . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x ln x 2 2 A. a b 1. B. 2a b 1 . C. a2 b2 4 .D. a 2b 0 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t ln x 2 , suy ra dt dx. x Đổi cận: x 1 t 2 x e t 3 3 t 2 3 2 3 Khi đó, I dt t 2ln t 1 2ln 1 2ln . 2 2 t 3 2 Vậy a 2;b 1, nên a 2b 0.
  55. 2 e ln x 2 ln x 1 1 Câu 101. Tích phân I dx có giá trị là: 1 x 4 2 3 4 2 1 4 2 5 4 2 3 A. I .B. I . C. I . D. I . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 2 e ln x 2 ln x 1 1 Tích phân I dx có giá trị là: 1 x Ta có: 2 e ln x 2 ln x 1 1 e 2ln x ln2 x 1 e ln x I dx dx dx . 1 x 1 x 1 x e 2ln x ln2 x 1 Xét I dx . 1 1 x 2ln x Đặt t ln2 x 1 dt dx . x 2 x 1 t 1 2 2 4 2 2 Đổi cận . I tdt t3 . 1 x e t 2 1 3 1 3 e ln x Xét I dx . 2 1 x 1 Đặt t ln x dt dx . x x 1 t 0 1 Đổi cận . I dt 1. 2 x e t 1 0 4 2 1 I I I . 1 2 3 Chọn B e Câu 102. Tích phân I x ln2 x ln x dx có giá trị là: 1 A. I 2e . B. I e .C. I e . D. I 2e . Hướng dẫn giải e Tích phân I x ln2 x ln x dx có giá trị là: 1 e e Ta biến đổi: I x ln2 x ln x dx x ln x ln x 1 dx . 1 1 Đặt t x ln x dt ln x 1 dx . x 1 t 0 e Đổi cận . I dt e . x e t e 0 Chọn C 3 2 1 1 ln x 3x ln x x 3 2 Câu 103. Biết I dx 1 ae 27e2 27e3 3 3 , a là các số hữu tỉ. 0 x 9 Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. Hướng dẫn giải
  56. 3 2 1 e ln x 3x ln x x 3 2 Biết I dx 1 ae 27e2 27e3 3 3 . Giá trị của a là: 1 x 9 Ta có: 3 2 1 e ln x 3x ln x x e 3 2 3 1 ln x 3x 3ln x x I dx dx 1 x 3 1 x 3 Đặt t ln3 x 3x dt ln2 x 1 x x 1 t 3 Đổi cận . x e t 1 3e 1 3e 1 3e 2 2 3 2 I tdt t3 1 3e 3 3 1 9e 27e2 27e3 3 3 a 9 3 3 3 3 9 . Chọn A e 2ln x ln2 x 1 Câu 104. Tích phân I dx có gái trị là: 1 x 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải e 2ln x ln2 x 1 Tích phân I dx có gái trị là: 1 x 2ln x Ta nhận thấy: ln2 x 1 ' . Ta dùng đổi biến số. x 2ln x Đặt t ln2 x 1 dt dx . x x 1 t 1 Đổi cận . x e t 2 2 2 2 3 4 2 2 I tdx t 2 . 3 3 1 1 Chọn A 2 e 1 ln x 2 Câu 105. Tính I dx được kết quả là e x 13 1 5 4 A. .B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Đặt t ln x dt dx . Với x e t 1; x e2 t 2 x e2 2 2 1 ln x 2 1 3 2 1 1 I dx 1 t dt 1 t 0 1 e x 1 3 3 3 e 1 3ln x Câu 106. Cho tích phân I dx , đặt t 1 3lnx . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 x
  57. 2 e 2 2 2 2 2 e A. I t 2dt . B. I tdt .C. I t 2dt . D. I tdt . 3 1 3 1 3 1 3 1 Hướng dẫn giải Chọn C 2 1 Đặt t 1 3 ln x tdt dx . Đổi cận x e t 2; x 1 t 1 3 x 2 2 Do đó I t 2dt 3 1 . e 3 ln x a b c Câu 107. Biết dx , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c 4 . Tính giá 1 x 3 trị S a b c . A. S 13. B. S 28 .C. S 25 . D. S 16 . Hướng dẫn giải Chọn C dx Đặt t 3 ln x 2tdt . x Đổi: Với x 1 t 3 ; x e t 2 . e 2 3 ln x 2 2 16 6 3 I dx 2 t 2dt t3 . 3 1 x 3 3 3 a 16 , b 6 , c 3 S a b c 25 . e ln x Câu 108. Cho I dx có kết quả dạng I ln a b với a 0 , b ¡ . Khẳng định nào sau 2 1 x ln x 2 đây đúng? 3 1 3 1 A. 2ab 1. B. 2ab 1. C. b ln . D. b ln . 2a 3 2a 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Đặt ln x 2 t ln x t 2 dx dt . x Đổi cận: khi x 1 thì t 2; khi x e thì t 3 . 3 3 3 3 a t 2 1 2 2 3 1 2 Khi đó I 2 dt 2 dt ln t ln . t t t t 2 3 1 2 2 2 b 3 Vậy 2ab 1. 2 x 1 Câu 109. Biết dx ln ln a b với a , b là các số nguyên dương. Tính P a2 b2 ab . 2 1 x x ln x A. 10.B. 8 . C. 12. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 x 1 2 x 1 Ta có dx dx . 2 1 x x ln x 1 x x ln x 1 x 1 Đặt t x ln x dt 1 dx dx . x x Khi x 1 t 1; x 2 t 2 ln 2 .
  58. 2 ln 2 dt 2 ln 2 a 2 Khi đó I ln t ln ln 2 2 . Suy ra . 1 1 t b 2 Vậy P 8 . 2 4 2 e2 x 1 ln x 1 ae be Câu 110. Cho tích phân I dx c d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: e x ln x 2 1 A. a b c d B. a b2 c C. A và B đúng D. A và B sai d Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 e2 x 1 ln x 1 e2 x ln x 1 ln x I dx dx e x ln x e x ln x e2 1 1 e2 1 e2 1 x dx x dx dx e x x ln x e x e x ln x e2 2 4 2 e2 1 x e e Xét M x dx ln x 1 e x 2 2 e e2 1 1 Xét N dx , đặt t ln x , suy ra dt dx . e x ln x x Đối cận x e t 1 và x e2 t 2 ta được 2 dt 2 N ln t ln 2 ln1 ln 2 . 1 t 1 e4 e2 Vậy I 1 ln 2 . 2 Do đó a b c d 1. Ta chọn phương án B. 2018 ln 1 2x Câu 111. Tính tích phân I dx . x 0 1 2 log4 e A. I ln 1 22018 ln 2 .B. I ln2 1 22018 ln2 2 . C. I ln2 1 22018 ln 4 . D. I ln2 1 2 2018 ln2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B x 2018 ln 1 2 2018 2x ln 2 2018 Ta có I dx 2 ln 1 2x dx 2 ln 1 2x d ln 1 2x x x 0 1 2 log4 e 0 1 2 0 2018 Do đó I ln2 1 2x ln2 1 22018 ln2 2 . 0 e f ln x Câu 112. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn dx e. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x 1 1 e e A. f x dx 1. B. f x dx e. C. f x dx 1. D. f x dx e. 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Đặt t ln x dt dx. Cận: x 1 t 0; x e t 1 x e f ln x 1 1 dx f t dt e f x dx e . 1 x 0 0
  59. 4 e 1 4 Câu 113. Biết f ln x dx 4 . Tính tích phân I f x dx . e x 1 A. I 8 . B. I 16 . C. I 2 .D. I 4 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t ln x dt dx . x x e e4 t 1 4 4 e 1 4 4 f ln x dx f t dt f x dx . e x 1 1 4 Suy ra I f x dx 4 . 1
  60. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ](*) sao cho ( ) a, ( ) b và a (t) b với mọi t [ ; ]. Khi đó: b  f (x)dx f ( (t)) '(t)dt. a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng 2 2 1. a x : đặt x | a | sint; t ; 2 2 2 2 | a | 2. x a : đặt x ; t ; \{0} sint 2 2 2 2 3. x a : x | a | tant; t ; 2 2 a x a x 4. hoặc : đặt x a.cos2t a x a x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 3 x2dx 3 x dx tích phân I thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I thì nên đổi 2 0 2 0 x 1 x 1 biến dạng 1. 2 Câu 114. Khi tính I 4 x2 dx, bằng phép đặt x 2 sin t, thì được 0 2 2 2 2 A. 2 1 cos 2t dt . B. 2 1 cos 2t dt . C. 4cos2 tdt . D. 2cos2 tdt . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt x 2sin t dx 2costdt Đổi cận x 0 t 0 x 2 t 2 2 2 Khi đó I 4 4sin2 t.2costdt 4cos2 tdt. 0 0 1 2 Câu 115. Biết rằng 4 x2 dx a . Khi đó a bằng: 1 3 A. 2 . B. 1.C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x 2sin t dx 2costdt . 1 6 6 6 Khi đó : 4 x2 dx 4cost cost dt 4cos2 tdt 2 2cos 2t dt 1 6 6 6 6 2 2t sin 2t 3 . 6 3
  61. 1 2 1 Câu 116. Cho tích phân I dx a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 0 1 x 1 1 1 1 A. . B. . C. .D. . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải 1 2 1 Cho tích phân I dx a . Giá trị của a là: 2 0 1 x Ta có: Đặt x sin t,t ; dx costdt . 2 2 x 0 t 0 Đổi cận 1 . x t 2 6 6 1 I dt a . 0 6 6 Chọn D 3 a a Câu 117. Giá trị của 9 x2 dx trong đó a, b ¢ và là phân số tối giản. Tính giá trị của 0 b b biểu thức T ab . A. T 35 . B. T 24 . C. T 12 .D. T 36 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt x 3sin t dx 3costdt . Đổi cận: x 0 t 0; x 3 t . 2 2 2 2 2 1 cos 2t 9 I 9 3sin t .3costdt = 9cos2 tdt 9. dt . Vậy T 9.4 36. 0 0 0 2 4 1 dx Câu 118. Đổi biến x 2sin t thì tích phân trở thành 2 0 4 x 6 3 6 dt 6 A. tdt . B. tdt . C. .D. dt . 0 0 0 t 0 Hướng dẫn giải Chọn D x 0 t 0 Đặt x 2sin t , khi đó dx 2costdt . Đổi cận x 1 t 6 1 dx 6 2cost 6 2cost 6 2cost 6 I dt dt dt dt . 2 2 2 0 4 x 0 4 4sin t 0 4cos t 0 2cost 0 a b 1 Câu 119. Biết rằng dx trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 a b 5 . 2 4 x 6x 5 6 Tổng a b bằng A. 5 . B. 7 . C. 4 .D. 6 . Hướng dẫn giải
  62. Chọn D a b 1 a b 1 Ta có dx dx . 2 2 4 x 6x 5 4 4 x 3 Đặt x 3 2sin t , t ; , dx 2costdt . 2 2 a b 3 Đổi cận x 4 t , x a b t arcsin m . 6 2 m m 2cost m dt dt t m . 2 4 4sin t 6 6 6 6 a b 3 a b 3 3 Theo đề ta có m arcsin a b 3 3. 6 6 2 3 2 2 Do đó a 3, b 3 , a b 6. 3 Câu 120. Tích phân I x 1 3 x dx có giá trị là: 5 2 3 3 3 3 A. I . B. I .C. I . D. I . 6 4 3 8 6 8 3 8 Hướng dẫn giải 3 Tích phân I x 1 3 x dx có giá trị là: 5 2 Ta có: 3 3 3 I x 1 3 x dx 3 x2 2xdx 1 x 2 2 dx . 5 5 5 2 2 2 Đặt x 2 sin t,t ; dx costdt . 2 2 5 x t 2 6 Đổi cận . x 3 t 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2t 1 1 3 I 1 sin t.costdt cos tdt dt x sin 2t . 2 2 2 6 8 6 6 6 6 Chọn C 1 3 4x Câu 121. Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 3 2x x 7 7 A. I 4 3 8. B. I 4 3 8 . 6 6 7 7 C. I 4 3 8. D. I 4 3 8. 6 6 Hướng dẫn giải 1 3 4x Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 3 2x x Ta có: 3 3x x2 ' 3 2x và 3 4x 9 2 3 2x
  63. 1 3 4x 1 7 2 2 2x 1 7 1 2 2 2x I dx dx dx dx . 2 2 2 2 0 3 2x x 0 3 2x x 0 3 2x x 0 3 2x x 1 7 1 7 Xét I dx dx . 1 2 2 0 3 2x x 0 4 x 1 Đặt x 1 2sin t,t ; dx 2costdt . 2 2 x 0 t Đổi cận 6 . x 1 t 0 0 14cost 7 I dt . 1 2 4 4sin t 6 6 1 2 2 2x Xét I dx . 2 2 0 3 2x x Đặt t 3 2x x2 dt 2 2x dx . x 0 t 3 Đổi cận . x 1 t 4 4 4 1 2 2 I2 dt 4 t 4 2 3 . t 3 3 7 I I I 4 3 8. 1 2 6 Chọn C 1 2 4x 3 Câu 122. Tích phân I dx có giá trị là: 2 1 5 4x x 5 5 5 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 6 3 6 Hướng dẫn giải 7 2 4x 3 Tích phân I dx có giá trị là: 2 1 5 4x x 2 Cách 1: Ta có: 5 4x x2 ' 4 2x và 4x 3 5 2 4 2x . 7 7 7 2 4x 3 2 5 2 2 4 2x I dx dx dx . 2 2 2 1 5 4x x 1 5 4x x 1 5 4x x 2 2 2 7 7 2 5 2 5 Xét I dx dx . 1 2 2 1 5 4x x 1 9 x 2 2 2 Đặt x 2 3sin t,t ; dx 3costdt . 2 2
  64. 7 x t 2 6 Đổi cận . 1 x t 2 6 6 5.3cost 5 I dt . 1 2 9 9sin t 3 6 7 2 2 4 2x Xét I dx . 2 2 1 5 4x x 2 Đặt t 5 4x x2 dt 4 2x . 1 27 x t 2 4 Đổi cận I2 0 . 7 27 x t 2 4 5 I . 3 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 2 Câu 123. Cho I 1 2x 1 x2 dc a b với a,b R . Giá trị a b gần nhất với 0 1 1 A. B. 1C. D. 2 10 5 Hướng dẫn giải Đáp án: C Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh. Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác. Đặt x sin t,t ; . I được viết lại là 2 2 6 6 6 2 I 1 2sin t cost.costdt cost sin t .costdt (cost sin t)costdt 0 0 0 6 6 1 6 1 6 sin t costdt cos2 tdt sin 2td(2t) (cos 2t 1)d(2t) 0 0 4 0 4 0 cos 2t 6 sin 2t 2t 6 3 1 I 4 0 4 0 12 8 3 1 Suy ra 0,175 . 12 8 Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi giải quyết các bài toán này. 1 1 Câu 124. Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 x 1
  65. A. I . B. I .C. I . D. I . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải 1 1 Tích phân I dx có giá trị là: 2 0 x 1 Ta có: 1 1 I dx . Ta dùng đổi biến số. 2 0 x 1 1 Đặt x tan t,t ; dx 2 dt . 2 2 cos t x 0 t 0 Đổi cận . x 1 t 4 4 I dt t 4 . 0 0 4 Chọn C 1 Câu 125. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f tan x cos4 x , x ¡ . Tính I f x dx . 0 2 2 A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 2 4 1 1 Đặt t tan x . Ta có 2 1 tan x 1 t cos x 2 f t 2 cos x 1 t 2 1 t 2 1 1 1 I f x dx dx . 2 2 0 0 1 x 2 Đặt x tan u , x dx 1 tan u du ; đổi cận: x 0 u 0 ; x 1 u . 2 2 4 4 2 4 4 4 1 tan u 1 1 2 1 1 2 I 2 du 2 . 2 du cos udu u sin 2u 2 cos u 2 4 8 0 1 tan u 0 1 0 0 2 cos u Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn 5 như hình vẽ. Tính giá trị I f x 2 dx . 6 y 3 x 6 4 O 1 5 A. I 2 35 . B. I 2 34 . C. I 2 33.D. I 2 32 . Hướng dẫn giải Chọn D
  66. 1 x 2 khi 6 x 2 2 2 f x 1 4 x khi 2 x 2 2 1 x khi 2 x 5 3 3 Ta có . 5 5 5 I f x 2 dx f x dx 2 dx 6 6 6 2 2 5 1 2 2 1 x 2 dx 1 4 x dx x dx 22 6 2 2 2 3 3 2 5 1 2 1 2 x x 2x J x 22 J 28. 4 6 3 3 2 2 Tính J 1 4 x2 dx 2 Đặt x 2 sin t dx 2 cos tdt . Đổi cận: Khi x 2 thì t ; khi x 2 thì t . 2 2 2 2 2 J 1 4 x2 dx 4 4 cos2 tdt 4 2 1 cos 2t dt 4 2 . Vậy I 32 2 . 2 2 2 1 dx Câu 127. Khi đổi biến x 3 tan t , tích phân I trở thành tích phân nào? 2 0 x 3 3 6 3 6 6 1 A. I 3dt .B. I dt C. I 3tdt . D. I dt . 0 0 3 0 0 t Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x 3 tan t dx 3 1 tan2 t dt . Khi x 0 thì t 0 ; Khi x 1 thì t . 6 2 1 dx 6 3 1 tan t 6 3 Ta có I dt dt . 2 2 0 x 3 0 3 1 tan t 0 3