›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 4: Tích phân (Có đáp án)

docx 58 trang nhungbui22 12/08/2022 3680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 4: Tích phân (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 4: Tích phân (Có đáp án)

  1. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b]. Hiệu số F(b) F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn[ a;b] của hàm sốf (x), kí b hiệu là f (x)dx. a b Ta dùng kí hiệu F(x) a F(b) F(a) để chỉ hiệu số F(b) F(a) . Vậy b f (x)dx F(x) b F(b) F(a) . a a b b Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f (x)dx hay f (t)dt. Tích phân a a đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân b f (x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox và hai đường a b thẳng x a, x b. Vậy S f (x)dx. a 2.Tính chất của tích phân a b a 1. f (x)dx 0 2. f (x)dx f (x)dx a a b b c c b b 3. f (x)dx f (x)dx f (x)dx (a b c )4. k. f (x)dx k. f (x)dx (k ¡ ) a b a a a b b b 5. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx . a a a B. BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số y f x , y g x liên tục trên a;b và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b a A. . f x dx f x dx a b b b B. . xf x dx x f x dx a a a C. . kf x dx 0 a b b b D. . f x g x dx f x dx g x dx a a a Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai? b b b b b c A. . B.f .x g x dx f x dx g x dx f x dx f x dx f x dx a a a a c a
  2. b a b b C. . f x dx f x dx D. . f x dx f t dt a b a a Câu 3: Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên K , a, b K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A. . B.f .x g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx a a a a a b b b C. . f x gD. x dx f x dx. g x dx a a a b b b f x g x dx f x dx g x dx . a a a Câu 4: Cho hai số thực a , b tùy ý, F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên tập ¡ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? b b A. . f x dx f b B.f a. f x dx F b F a a a b b C. . f x dx F a FD. b. f x dx F b F a a a Câu 5: Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn a;b và c a;b . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c b a b c b A. . f x dx B. f . x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a c b a a c b c c b a b C. . f x dx D. f . x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a a c a c c Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng K và a,b,c K . Mệnh đề nào sau đây sai? b b c b b A. . f x dx B. f . x dx f x dx f x dx f t dt a c a a a b a a C. . f x dx f x dxD. . f x dx 0 a b a Câu 7: Cho hàm số f t liên tục trên K và a,b K , F t là một nguyên hàm của f t trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b b A. .F a F b f tB.d t. f t dt F t a a a b b b b C. . f t dt f t dtD. . f x dx f t dt a a a a Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b b A. . f x dx f t dt a a
  3. b a B. . f x dx f x dx a b b C. kdx k a b , k ¡ . a b c b D. f x dx f x dx f x dx , c a;b . a a c Câu 9: Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a b a A. . f x dB.x .1 f x dx f x dx a a b c b b b b C. . D.f .x dx f x dx f x dx, c a;b f x dx f t dt a c a a a Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b a b c b A. . f x dx f x dxB. f x dx , f x dx f x dx a b a a c c ¡ . b b a C. . D.f . x dx f t dt f x dx 0 a a a Câu 11: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Khi đó hiệu số F 0 F 1 bằng 1 1 1 1 A. . f x dx B. . C. . F x dxD. . F x dx f x dx 0 0 0 0 Câu 12: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b , có đồ thị y f x như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f x dx là diện tích hình thang ABMN . B. f x dx là dộ dài đoạn BP . a a b b C. f x dx là dộ dài đoạn MN . D. f x dx là dộ dài đoạn cong AB . a a a a a Câu 13: Cho hai tích phân f x dx m và g x dx n . Giá trị của tích phân f x g x dx a a a là:
  4. A. .m n B. . n m C. . mD. n Không thể xác định. b a b I f x dx m I f x dx n I f x dx Câu 14: Cho tích phân 1 và 2 . Tích phân có giá trị a c c là: A. .m n B. . m n C. . D.m Khôngn thể xác định. b Câu 15: Tích phân f x dx được phân tích thành: a b a b a A. . B.f .x f x dx f x f x dx c c c c b a b a C. . fD. x . f x dx f x f x dx c c c c 1 1 Câu 16: Cho f x dx 3 . Tính tích phân I 2 f x 1 dx . 2 2 A. . 9 B. . 3 C. . 3 D. . 5 3 Câu 17: Cho hàm f x có đạo hàm liên tục trên 2;3 đồng thời f 2 2 , f 3 5 . Tính f x dx 2 bằng A. . 3 B. . 7 C. 10 D. . 3 b Câu 18: Cho f x dx 7 và f b 5 . Khi đó f a bằng a A. .1 2 B. . 0 C. . 2 D. . 2 Câu 19: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và f a 2 , f b 4 . Tính b T f x dx . a A. .T 6 B. . T 2 C. . TD. .6 T 2 1 Câu 20: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và f 1 f 0 2 . Tính tích phân f x dx . 0 A. .I 1 B. . I 1 C. . I D.2 . I 0 4 Câu 21: Cho hàm số y f (x) thoả mãn điều kiện f (1) 12 , f (x) liên tục trên ¡ và f (x)dx 17 1 . Khi đó f (4) bằng A. 5 . B. 29 . C. 19. D. 9 . Câu 22: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f 1 4 ; f 3 7 . 3 Giá trị của I 5 f x dx bằng 1 A. .I 20 B. . I 3 C. . ID. 1. 0 I 15
  5. a b 1 Câu 23: Cho hàm số f x 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện f x dx 2 3ln 2 . 2 x x 1 2 Tính T a b . A. .T 1 B. . T 2 C. . D.T . 2 T 0 3 dx Câu 24: Tính tích phân I . 0 x 2 4581 5 5 21 A. .I B. . IC. l.o g D. . I ln I 5000 2 2 100 2018 2 dx Câu 25: Tính tích phân I . 1 x A. .I 2B.01 8. .ln 2 1 C. . I 2C.201 8. I 2018.ln 2 I 2018 1 1 Câu 26: Tính I 3 x dx . 0 2x 1 A. .2 ln 3 B. . 4 C.ln 3. D. . 2 ln 3 1 ln 3 1 Tính tích phân I x2018 1 x dx Câu 27: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 A. .I B. . C. . D. I I I 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 . 3x2 khi 0 x 1 2 Câu 28: Cho hàm số y f x . Tính tích phân f x dx . 4 x khi 1 x 2 0 7 5 3 A. . B. . 1 C. . D. . 2 2 2 2 3 khi 0 x 1 Câu 29: Cho hàm số y f x x 1 . Tính tích phân f x dx . 2x 1 khi 1 x 3 0 A. .6 ln 4 B. . 4 lnC.4 . D. .6 ln 2 2 2ln 2 3x2 khi 0 x 1 2 Câu 30: Cho hàm số y f x . Tính f x dx . 4 x khi 1 x 2 0 7 5 3 A. . B. . 1 C. . D. . 2 2 2 6x2 khi x 0 4 Câu 31: Cho hàm số y f x và I f x dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số 2 a a x khi x 0 1 nguyên a để I 22 0 ? A. .2 B. . 3 C. . 4 D. . 5 b Câu 32: Biết 2x 1 dx 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a
  6. A. .b a 1 B. . C. . D.a 2. b2 a b 1 b2 a2 b a 1 a b 1 2 Câu 33: Đặt I 2mx 1 dx (m là tham số thực). Tìm m để I 4 . 1 A. .m 1 B. . m C.2 . D.m . 1 m 2 3 3 2 Câu 34: Cho f (x)dx a , f (x)dx b . Khi đó f (x)dx bằng: 0 2 0 A. . a b B. . b a C. . a D.b . a b b Câu 35: Giá trị nào của b để 2x 6 dx 0 ? 1 A. b 0 hoặc b 3 . B. b 0 hoặc b 1 C. bhoặc 5 .b D.0 hoặc b 1 . b 5 a Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có 2x 5 dx a 4 0 A. .1 B. . 0 C. . 2 D. Vô số. m Câu 37: Xác định số thực dương m để tích phân x x2 dx có giá trị lớn nhất. 0 A. .m 1 B. . m 2 C. . mD. 3 m 4 2 Câu 38: Cho a là số thực thỏa mãn a 2 và 2x 1 dx 4 . Giá trị biểu thức 1 a3 bằng. a A. .0 B. . 2 C. . 1 D. . 3 2 Câu 39: Tích phân I 2x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. D. I = 4. 1 Câu 40: Tích phân I x3 3x 2 dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4. 1 1 a Câu 41: Cho gá trị của tích phân I x4 2x3 dx a , I x2 3x dx b . Giá trị của là: 1 2 1 2 b 4 12 12 4 A. .P B. . P C. . D. . P P 65 65 65 65 0 Câu 42: Tích phân I x3 ax 2 dx có giá trị là: 1 7 a 9 a 7 a 9 a A. .I B. . IC. . D. . I I 4 2 4 2 4 2 4 2 1 Câu 43: Tích phân I ax2 bx dx có giá trị là: 0 a b a b a b a b A. .I B. . IC. . D. . I I 2 3 3 3 2 2 3 2
  7. a 1 Câu 44: Tích phân I 2x dx có giá trị là: 2 2 x 1 1 3 1 5 1 7 1 A. .I B. . aC.2 . D. .I a2 I a2 I a2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 Câu 45: Tích phân I x2 xdx có giá trị là: 1 3 1 3 1 A. .I B. . I C. . D.I . I 2 6 2 6 1 Câu 46: Tích phân I x3 x2 x 1dx có giá trị là: 1 4 1 4 1 A. .I B. . I C. . D.I . I 3 2 3 2 1 x3 3x 2 Câu 47: Tích phân I dx có giá trị là: 2 x 1 7 17 7 17 A. .I B. . I C. . D.I . I 6 6 6 6 2 x2 x 2 Câu 48: Tích phân I dx có giá trị là: 2 x 1 A. .I 3 2lB.n 3 . C. .I 2lnD.3 . I 3 2ln 3 I 3 3ln 2 1 3 1 Câu 49: Tích phân I 2ax dx có giá trị là: 2 x 15a 15a 15a 15a A. .I B. . ln 2C. . D.I . ln 2 I ln 2 I ln 2 16 16 16 16 1 2 I 2xdx a I x2 2x dx Câu 50: Biết tích phân 1 . Giá trị của 2 là: 0 a 17 19 16 13 A. .I B. . I C. . D. . I I 2 3 2 3 2 3 2 3 b Câu 51: Cho tích phân I x2 1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b b A. .I x2 1 dxB. . x2dx dx I x3 x a a a a 1 1 C. .I b3 b a3 a D. Chỉ có A và C đúng. 3 3 3e 1 Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3 ax 2 0 với a dx là: 1 x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
  8. 1 Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: x3 ax 2 0 , với a 2xdx , a và b là các số hữu tỉ 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. k x 1 1 Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có 2x 1 dx 4lim . \ x 0 1 x k 1 k 1 k 1 k 1 A. . B. . C. . D. . k 2 k 2 k 2 k 2 Câu 55: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x 1 x trên tập ¡ và thỏa mãn F 1 3 . Tính tổng F 0 F 2 F 3 . A. .8 B. . 12 C. . 14 D. . 10 2 Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn 1 n2 2x 3x2 4x3 nxn 1 dx 2 ? 0 A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 3 Câu 57: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y f x trên đoạn  2;1 và 1;4 lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f 1 3 . Giá trị biểu thức f 2 f 4 bằng A. 21 B. .9 C. . 3 D. . 2 2 1 Câu 58: Cho I 2x2 x m dx và J x2 2mx dx . Tìm điều kiện của m để I J . 0 0 A. .m 3 B. . m 2 C. . mD. 1 . m 0 1 7 2 Câu 59: Biết rằng hàm số f x ax2 bx c thỏa mãn f x dx , f x dx 2 và 0 2 0 3 13 f x dx (với a , b , c ¡ ). Tính giá trị của biểu thức P a b c . 0 2 3 4 4 3 A. .P B. . P C. . D. .P P 4 3 3 4 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x 5 Câu 60: Biết dx a ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2x 2 3
  9. 8 7 9 3 A. .a b B. . aC. b. D. . ab a b 81 24 8 10 1 2ax Câu 61: Tích phân I dx ln 2 . Giá trị của a là: 0 x 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. .a B. . C. . a D. . a a 1 ln 2 2 2ln 2 1 ln 2 2 2ln 2 1 1 Câu 62: Cho I dx a b ln 2 bln 3 . Giá trị a + b là: 2 0 3 2x x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 2 x2 Câu 63: Biết dx a ln b a,b ¢ . Gọi S 2a b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây? 0 x 1 A. . 8;10 B. . 6;8 C. . 4D.;6 . 2;4 2 2 x Câu 64: Tích phân I x dx có giá trị là: 1 x 1 10 10 10 A. .I B. . C.ln .2 D.ln 3 I ln 2 ln 3 I ln 2 ln 3 3 3 3 10 I ln 2 ln 3 . 3 Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2 1 tra mà Tích phân I 2x dx có giá trị là: 2 1 x 5 7 9 11 A. .I B. . I C. . I D. . I 2 2 2 2 1 ax Câu 66: Tích phân I 2ax dx có giá trị là: 0 x 1 A. .I a ln 2B. . C.I . 2ln 2 D. . I 2ln 2 I a ln 2 a a x Câu 67: Tích phân I dx ,với a 0 có giá trị là: 1 x a a2 1 a2 1 A. .I B.a l.n a I a ln a 2a 2a a2 1 a2 1 C. .I D.a l .n a I a ln a 2a 2a 3 a2 x2 2x Câu 68: Tích phân I dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: 2 ax 2 1 A. .2 5 B. . C. . D. . 5 5 5
  10. 2 2 b Câu 69: Tích phân I ax dx có giá trị là: 1 x 7 7 A. .I aB. b. ln 2 C. . D.I . 3a bln 2 I a bln 2 I 3a bln 2 3 3 1 3 b Câu 70: Tích phân I ax dx có giá trị là: 1 x 2 a a A. .I bln 3 B. . C. . I D.b l.n 3 I bln 3 I bln 3 2 2 2 e x 1 Câu 71: Tích phân I dx có giá trị là: 2 e x 1 1 1 1 1 1 1 1 A. .I 1 B. . C. . I D.1 . I 1 I 1 e e2 e e2 e e2 e e2 1 x Câu 72: Giá trị của tích phân I dx a . Biểu thức P 2a 1 có giá trị là: 0 x 1 A. .P 1 ln 2B. . C. . P 2D. 2 .ln 2 P 1 2ln 2 P 2 ln 2 2 e 1 x x2 Câu 73: Giá trị của tích phân I dx a . Biểu thức P a 1 có giá trị là: e x 1 1 1 1 A. .P B.e . e2 e4 P e e2 e4 2 2 2 2 1 1 1 1 C. .P D. .e e2 e4 P e e2 e4 2 2 2 2 0 3x2 5x 1 2 Câu 74: Biết ,I với . Tính giá trị dx a ln . b a,b ¤ a 2b 1 x 2 3 A. .3 0 B. . 40 C. . 50 D. . 60 2 x 1 Câu 75: Tính tích phân: I dx . 1 x 7 A. .I 1 ln 2B. . C.I . 2ln 2 D. . I 1 ln 2 I 4 1 dx Câu 76: Tính tích phân I . 2 0 x 9 1 1 1 1 1 A. .I ln B. . C. I. ln D. . I ln 2 I ln 6 2 6 2 6 2 6 4 dx Câu 77: Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5, với a,b,c là các số nguyên. Tính S a b c. 2 3 x x A. .S 6 B. . S 2 C. . SD. 2 S 0. 5 3 Câu 78: Biết rằng dx a ln 5 bln 2 a,b Z . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 x 3x A. .a 2b 0 B. . C.2a . b 0 D. . a b 0 a b 0
  11. 2 x 1 Câu 79: Giả sử dx a ln 5 bln 3; a,b ¤ . Tính P ab . 2 0 x 4x 3 A. .P 8 B. . P 6C. . D.P . 4 P 5 2 2 x2 2x e 1 Câu 80: Cho giá trị của tích phân a 2,b 3 I dx a , I dx b . Giá trị của biểu 1 2 1 x 1 e x thức P a b là: 7 3 A. .P B. . ln 2 ln 3 P ln 2 ln 3 2 2 5 1 C. .P D. . ln 2 ln 3 P ln 2 ln 3 2 2 0 x3 3x2 2 Câu 81: Giá trị của tích phân I dx gần nhất với gái trị nào sau đây? 2 1 x x 2 ln 2 3 ln 3 A. . B. . ln 2 1C. . D. . ln 4 2 2 3 2 ax 1 3 4 3 2 Câu 82: Tích phân I dx ln ln . Giá trị của a là: 2 1 x 3x 2 5 3 5 3 1 2 3 4 A. .a B. . a C. . aD. . a 5 5 5 5 a x2 1 1 7 Câu 83: Tích phân I dx ln . Giá trị của a là: 3 1 x 3x 3 2 A. .a 1 B. . a 2 C. . a D.3 . a 4 x 1 Câu 84: Biết dx a.ln x 1 b.ln x 2 C , a,b ¢ . Tính giá trị của biểu thức a b . x 1 2 x A. .a b 1 B. . a C.b . 5 D. . a b 1 a b 5 1 3x 1 a 5 a Câu 85: Biết dx 3ln , trong đó a,b là hai số nguyên dương và là phân số tối 2 0 x 6x 9 b 6 b giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab 5. B. ab 27. C. ab 6. D. ab 12. 3 x2 3x 2 Câu 86: Biết dx a ln 7 bln 3 c với a , b , c ¢ . Tính T a 2b2 3c3 . 2 2 x x 1 A. .T 4 B. . T 6 C. . T D. 3 . T 5 0 3x2 5x 1 2 Câu 87: Giả sử I dx a.ln b . Khi đó giá trị a 2b là: 1 x 2 3 A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. 5 3 Câu 88: Biết rằng dx a ln 5 bln 2 a, b ¢ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 x 3x A. .a 2b 0 B. . 2a b 0 C. .a b 0 D. . a b 0
  12. 3 x 2 Câu 89: Nếu dx a ln 5 bln 3 3ln 2 a,b ¤ thì giá trị của P 2a b là 2 2 2x 3x 1 15 15 A. .P 1 B. . P 7 C. . D.P . P 2 2 3 x 3 Câu 90: Cho dx mln 2 nln 3 p ln 5 , với m , n , p là các số hữu tỉ. Tính 2 1 x 3x 2 S m2 n p2 . A. .S 6 B. . S 4 C. . S D. 3 . S 5 2 x2 Câu 91: Biết rằng dx a ln b với a , b ¢ , b 0 . Hỏi giá trị 2a b thuộc khoảng nào sau 0 x 1 đây? A. . 8;10 B. . 6;8 C. . 4D.;6 . 2;4 4 dx Câu 92: Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5 với a,b,c là các số nguyên. Tính S a b c 2 3 x x A. .S 6 B. . S 2 C. . SD. . 2 S 0 2 dx 1 1 Câu 93: Biết , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng 7;3 thì a và b là 2 1 4x 4x 1 a b nghiệm của phương trình nào sau đây? A. .2 x2 xB. 1 . 0 C. . D.x 2. 4x 12 0 x2 5x 6 0 x2 9 0 5 x2 x 1 b Câu 94: Biết dx a ln với a , b là các số nguyên. Tính S a 2b . 3 x 1 2 A. .S 2 B. . S 5 C. . SD. .2 S 10 3 dx Câu 95: Biết a ln 2 bln 5 c ln 7 , a,b,c ¤ . Giá trị của biểu thức 2a 3b c 0 x 2 x 4 bằng A. .5 B. . 4 C. . 2 D. . 3 4 1 Câu 96: Tìm giá trị của a để dx ln a . 3 x 1 x 2 4 1 3 A. .1 2 B. . C. . D. . 3 3 4 1 1 1 Câu 97: Cho dx a ln 2 bln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây 0 x 1 x 2 đúng ? A. .a b 2 B. . aC. .2 b 0 D. . a b 2 a 2b 0 3 5x 12 Câu 98: Biết dx a ln 2 bln 5 c ln 6 . Tính S 3a 2b c . 2 2 x 5x 6 A. .3 B. . 14 C. . 2 D. . 11
  13. 2 1 Câu 99: Cho dx a ln 2 bln 3 c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới 2 1 x 5x 6 đây đúng? A. .a b c B.4 . C. . a bD. c. 3 a b c 2 a b c 6 2 x 1 m n p Câu 100: Biết dx ln x 1 x 2 x 3 C . Tính 4 m n p . x3 6x2 11x 6 A. .5 B. . 0 C. . 2 D. . 4 3 x 8 Câu 101: Cho dx a ln 2 bln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 x x 2 A. .a b 3 B. . C.a . 2b 11 D. . a b 5 a 2b 11 1 x3 2x2 3 1 3 Câu 102: Biết dx bln a,b 0 tìm các giá trị của k để 0 x 2 a 2 ab k 2 1 x 2017 dx lim . x 8 x 2018 A. .k 0 B. . k 0 C. . k D.0 . k ¡ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2 Câu 103: Tính tích phân I 4x 1 dx . 0 13 4 A. .1 3 B. . C. . 4 D. . 3 3 1 a 3 I x x 1 dx b 2 Câu 104: Biết rằng 1 . Giá trị của a b là: 0 6 4 A. – 1. B. – 2. C. – 3. D. – 4. 2 1 Câu 105: Tích phân I dx bằng 0 2 x 2 1 1 A. .I 1 B. . IC. .2 2 D. . I 2 I 2 2 2 2 1 dx 8 2 Câu 106: Cho a b a , a,b ¥ * . Tính a 2b . 0 x 2 x 1 3 3 A. .a 2b 7 B. . C.a . 2b 8 D. . a 2b 1 a 2b 5 1 x a b 3 Câu 107: Biết tích phân dx với a , b là các số thực. Tính tổng T a b . 0 3x 1 2x 1 9 A. .T 10 B. . T C.4 . D. .T 15 T 8 a Câu 108: Tích phân I x x 1dx có giá trị là: 0 5 3 5 3 2 a 1 2 a 1 4 2 a 1 2 a 1 4 A. .I B. . I 5 3 15 5 3 15
  14. 5 3 5 3 2 a 1 2 a 1 4 2 a 1 2 a 1 4 C. .I D. . I 5 3 15 5 3 15 1 x Câu 109: Tích phân I dx có giá trị là: 1 x 1 1 4 2 4 2 4 2 4 2 A. .I B. 2 . C. . I D. . 2 I 1 I 1 3 3 3 3 4 x2 x 2 a 4 b Câu 110: Biết rằng I dx . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a b c . 3 x x 2 c A. .3 9 B. . 27 C. . 33 D. . 41 2 dx Câu 111: Biết a b c với a,b,c là các số nguyên dương. Tính 1 x x 2 x 2 x P a b c . A. .P 2 B. . P 8 C. . PD. .46 P 22 2 dx Câu 112: Biết I a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x 1 x x x 1 P a b c . A. .P 24 B. . P 12C. . D.P . 18 P 46 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113: Tính tích phân sin 3xdx . 0 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 2 Câu 114: Tính tích phân I sin x dx . 0 4 A. .I B. . I 1 C. . ID. 0. I 1 4 3 dx Câu 115: Tích phân I bằng? 2 sin x 4 A. .c ot cB.ot . C. . cD.ot . cot cot cot cot cot 3 4 3 4 3 4 3 4 2 Câu 116: Biết cos xdx a b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T 2a 6b . 3 A. .T 3 B. T 1 C. . T 4D. . T 2 m Câu 117: Số cot cot các số nguyên thỏa mãn cos 2 x dx 0 là 3 4 0
  15. A. .6 43 B. . 1284 C. . 1285 D. . 642 2 Câu 118: Tích phân I sin xdx có giá trị là: 0 A. .I 1 B. . I 0 C. . I D. 1 Cả A, B, C đều sai. b Câu 119: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng ;3 sao cho 4cos 2xdx 1 ? A. .8 B. . 2 C. . 4 D. . 6 2 Câu 120: Tích phân I sin x cos x dx có giá trị là: 2 A. .I 1 B. . I 2 C. . I D. .2 I 1 6 Câu 121: Tích phân I sin 2x cos3x dx có giá trị là: 2 2 3 3 2 A. .I B. . I C. . D.I . I 3 4 4 3 2 Câu 122: Kết quả của tích phân 2x 1 sin x dx được viết ở dạng a , b ¢ . Khẳng định nào sau 0 đây là sai? A. .a 2b 8 B. . aC. .b 5 D. . 2a 3b 2 a b 2 2 cos 2x Câu 123: Cho tích phân dx a b với a, b ¤ . Tính P 1 a3 b2 0 1 sin x A. .P 9 B. . P 29C. . D.P . 11 P 25 2 1 Câu 124: Cho tích phân 4x 1 cos x dx c , a,b,c ¤ . Tính a b c 0 a b 1 A. 3 B. 1. C. 2 . D. . 3 6 a c 3 a Câu 125: Biết 3 4sin2 x dx , trong đó a ,b nguyên dương và tối giản. Tính a b c 0 b 6 b . A. 8 . B. 16. C. 12 . D. 14 . 3 3 Câu 126: Cho giá trị của tích phân I sin 2x cos x dx a , I cos 2x sin x dx b . Giá trị 1 2 2 3 của a + b là:
  16. 3 3 3 3 3 3 A. P 3 . B. P . C. P 3 . D. P . 4 4 2 4 4 2 2 3 2e 1 1 1 Câu 127: Cho giá trị của tích phân I sin 3x cos3x dx a , I dx b . Giá 1 2 2 x x x 1 e 3 trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 .B. 16.C. 10 . D. 1. 2 Câu 128: Tích phân I sin ax cos ax dx , với a 0 có giá trị là: 2 2 A. I sin a sin a . a 2 4 2 4 2 B. I sin a sin a . a 2 4 2 4 2 C. I sin a sin a . a 2 4 2 4 2 D. I sin a sin a . a 2 4 2 4 π 2 x x cos x sin3 x π2 b Câu 129: Biết I dx . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số 0 1 cos x a c b tối giản. Tính T a2 b2 c2 . c A. T 16 . B. T 59 . C. T 69 . D. T 50 . b Câu 130: Cho hàm số f x asin 2x bcos 2x thỏa mãn f ' 2 và adx 3 . Tính tổng a b 2 a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. 0 Câu 131: Cho tích phân cos 2x cos 4xdx a b 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính 3 a e log2 b . 1 A. 2 . B. 3 . C. . D. 0 . 8 1  Câu 132: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y với x ¡ \ k ,k ¢ , biết 1 sin 2x 4  11 F 0 1; F( ) 0 . Tính P F F . 12 12 A. P 2 3 . B. P 0 . C. Không tồn tại P . D. P 1 .
  17. Câu 133: Cho M , N là các số thực, xét hàm số f x M.sin πx N.cos πx thỏa mãn f 1 3 và 1 2 1 1 f x dx . Giá trị của f bằng 0 π 4 5π 2 5π 2 π 2 π 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 Câu 134: Tích phân I cos x 1 cos2 xdx có giá trị là: 0 1 2 1 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 3 4 3 4 3 4 3 2 1 x2 1 Câu 135: Biết tích phân I sin xdx a . Giá trị của I dx bln 2 c ln 5 . Thương số giữa b 1 2 3 a x x 3 và c là: A. – 2. B. – 4. C. 2. D. 4. 3 Câu 136: Cho I sin 3x cos2 x dx a cos3x bxsin csin 2x 6 . Giá trị của 3a 2b 4c là: 0 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2. Câu 137: Cho I tann xdx với n . Khi đó I I 2 I I I I I bằng n ¥ 0 1 2 3 8 9 10 r r 1 r r 1 9 tan x 9 tan x 10 tan x 10 tan x A.  C . B.  C . C.  C . D.  C r 1 r r 1 r 1 r 1 r r 1 r 1 . TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT 1 Câu 138: Tích phân e xdx bằng 0 1 e 1 1 A. e 1. B. 1. C. . D. . e e e 2018 Câu 139: Tích phân I 2x dx bằng 0 22018 1 22018 A. 22018 1. B. . C. . D. 22018 . ln 2 ln 2 4 0 4 1 1 2x Câu 140: Biết f (x)dx và. f (x)dx . Tính tích phân I 4e 2 f (x) dx . 1 2 1 2 0 A. I 2e8 . B. I 4e8 2 . C. I 4e8 . D. I 2e8 4 . x2 2 Câu 141: Cho F x et dt . Tính F 2 . 0 A. F 2 4e4 . B. F 2 8e16 . C. F 2 4e16 . D. F 2 e4 .
  18. 2 x 1 Câu 142: Cho hàm số g x dt với x 0 . Đạo hàm của g x là x ln t x 1 1 x 1 A. g x . B. g x . C. g x . D. g x ln x . ln x ln x ln x 3 2 Câu 143: f x dx 6.Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3 2 2 2018.ek 2018 ekxdx . Số phần tử của tập hợp S bằng. 1 k A. 7. B. 8 . C. Vô số. D. 6. 1 e nx Câu 144: Cho I dx với n ¥ . n x 0 1 e Đặt un 1. I1 I2 2 I2 I3 3 I3 I4 n In In 1 n . Biết limun L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L 1;0 . B. L 2; 1 . C. L 0;1 . D. L 1;2 .
  19. C . HƯỚNG DẪN GIẢI ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1. Cho hàm số y f x , y g x liên tục trên a;b và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b a A. f x dx f x dx . a b b b B. xf x dx x f x dx . a a a C. kf x dx 0 . a b b b D. f x g x dx f x dx g x dx . a a a Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai. Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai? b b b b b c A. f x g x dx f x dx g x dx . B. f x dx f x dx f x dx . a a a a c a b a b b C. f x dx f x dx . D. f x dx f t dt . a b a a Hướng dẫn giải Chọn C Câu 3. Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên K , a, b K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A. . B.f x g x dx f x d .x g x dx kf x dx k f x dx a a a a a b b b C. f x g x dx f x dx. g x dx . D. a a a b b b f x g x dx f x dx g x dx . a a a Hướng dẫn giải Chọn C Câu 4. Cho hai số thực a , b tùy ý, F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên tập ¡ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? b b A. f x dx f b f a .B. f x dx F b F a . a a b b C. f x dx F a F b .D. f x . dx F b F a a a Hướng dẫn giải Chọn B b Theo định nghĩa, ta có f x dx F b F a . a
  20. Câu 5. Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn a;b và c a;b . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c b a b c b A. f x dx f x dx f x dx . B. f x dx f x dx f x dx . a c b a a c b c c b a b C. f x dx f x dx f x dx .D. f x dx f x dx f x dx . a a c a c c Hướng dẫn giải Chọn D b a b f x dx f x dx F b F a F a F c F b F c f x dx . a c c Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng K và a,b,c K . Mệnh đề nào sau đây sai? b b c b b A. f x dx f x dx f x dx .B. f x dx . f t dt a c a a a b a a C. f x dx f x dx .D. . f x dx 0 a b a Hướng dẫn giải Chọn A b c c Mệnh đề đúng là: f x dx f x dx f x dx . a b a Câu 7. Cho hàm số f t liên tục trên K và a,b K , F t là một nguyên hàm của f t trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b b A. F a F b f t dt .B. . f t dt F t a a a b b b b C. f t dt f t dt .D. . f x dx f t dt a a a a Bài giải Chọn A b b Theo định nghĩa ta có: f t dt F t F b F a . Suy ra phương án A sai. a a Câu 8. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b b A. . f x dx f t dt a a b a B. . f x dx f x dx a b b C. kdx k a b , k ¡ . a b c b D. f x dx f x dx f x dx , c a;b . a a c Hướng dẫn giải Chọn C b b Ta có: kdx kx kb ka k b a . a a
  21. Câu 9. Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a b a A. f x dx 1 .B. f x dx f . x dx a a b c b b b b C. f x dx f x dx f x dx, c a;b .D. f x dx f t dt . a c a a a Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có: f x dx F a F a 0 . a Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b a b c b A. f x dx f x dx .B. f x dx f x dx f x dx , a b a a c c ¡ . b b a C. f x dx f t dt .D. f x dx 0 . a a a Câu 11. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Khi đó hiệu số F 0 F 1 bằng 1 1 1 1 A. f x dx .B. .C. F x dx .D. F x dx f x dx . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 Ta có: f x dx F x F 1 F 0 F 0 F 1 . 0 0 Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên a;b , có đồ thị y f x như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f x dx là diện tích hình thang ABMN .B. f x dx là dộ dài đoạn BP . a a b b C. f x dx là dộ dài đoạn MN .D. là dộ f dài x đoạndx cong . AB a a Hướng dẫn giải Chọn B b b f x dx f x f b f a BM PM BP . a a a a a Câu 13. Cho hai tích phân f x dx m và g x dx n . Giá trị của tích phân f x g x dx a a a là:
  22. A. m n .B. . n mC. . m nD. Không thể xác định. Hướng dẫn giải a a a Cho hai tích phân f x dx m và g x dx n . Giá trị của tích phân f x g x dx a a a là: a a a Ta có ngay kết quả: f x g x dx f x dx g x dx m n . a a a Chọn A b a b I f x dx m I f x dx n I f x dx Câu 14. Cho tích phân 1 và 2 . Tích phân có giá trị a c c là: A. m n .B. . m nC. . m D.n Không thể xác định. Hướng dẫn giải b a b I f x dx m I f x dx n I f x dx Cho tích phân 1 và 2 . Tích phân có giá trị a c c là: b b a Quy tắc “nối đuôi” cho ta: I f x dx f x dx f x dx m n . c a c Chọn A b Câu 15. Tích phân f x dx được phân tích thành: a b a b a A. f x f x dx .B. f x f x dx . c c c c b a b a C. f x f x dx .D. f x f x d . x c c c c Hướng dẫn giải b Tích phân f x dx được phân tích thành: a b b c b a Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx . a c a c c Chọn A 1 1 Câu 16. Cho f x dx 3 . Tính tích phân I 2 f x 1 dx . 2 2 A. 9 .B. .C. 3 3 .D. . 5 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 1 Ta có I 2 f x 1 dx 2 f x dx dx 6 x 3 . 2 2 2 2 3 Câu 17. Cho hàm f x có đạo hàm liên tục trên 2;3 đồng thời f 2 2 , f 3 5 . Tính f x dx 2 bằng A. 3 .B. .C. D. 7 10 3 . Hướng dẫn giải
  23. Chọn D 3 3 Ta có f x dx f x f 3 f 2 3 . 2 2 b Câu 18. Cho f x dx 7 và f b 5 . Khi đó f a bằng a A. 12 .B. .C. .D. 0 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D b f x dx 7 f b f a 7 f a f b 7 2 . a Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và f a 2 , f b 4 . Tính b T f x dx . a A. T 6 .B. .C. T . D2. T 6 T 2 . Hướng dẫn giải Chọn D b T f x dx f x b Ta có: a f b f a 2 . a 1 Câu 20. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và f 1 f 0 2 . Tính tích phân f x dx . 0 A. .IB. 1 .C. I 1 I 2 .D. . I 0 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có: f x dx f x f 1 f 0 2 . 0 0 Câu 21. Cho hàm số y f x thoả mãn điều kiện f 1 12 , f x liên tục trên ¡ và 4 f x dx 17 . Khi đó f 4 bằng 1 A. .5B. 29 . C. .D. . 19 9 Hướng dẫn giải Chọn B 4 4 Ta có f x dx 17 f x 17 f 4 f 1 17 f 4 29 . 1 1 Câu 22. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f 1 4 ; f 3 7 . 3 Giá trị của I 5 f x dx bằng 1 A. .IB. 20 .C. .D. I 3 I 10 I 15 . Hướng dẫn giải Chọn D 3 3 I 5 f x dx 5 f x 5 f 3 5 f 1 5.7 5.4 15 . 1 1 a b 1 Câu 23. Cho hàm số f x 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện f x dx 2 3ln 2 . 2 x x 1 2 Tính T a b . A. T 1 .B. .C. T 2 T 2 .D. . T 0 Hướng dẫn giải
  24. Chọn C 1 1 1 a b a bln x 2x a 1 bln 2 Ta có f x dx 2 2 dx . 1 1 1 x x x 2 2 2 Theo giả thiết, ta có 2 3ln 2 a 1 bln 2 . Từ đó suy ra a 1 , b 3 . Vậy T a b 2 . 3 dx Câu 24. Tính tích phân I . 0 x 2 4581 5 5 21 A. I .B. .C.I log I ln .D. . I 5000 2 2 100 Hướng dẫn giải Chọn C 3 dx 3 5 Ta có: I ln x 2 ln . 0 x 2 0 2 2018 2 dx Câu 25. Tính tích phân I . 1 x A. I 2018.ln 2 1 .B. I 2 .C20.1 8 I 2018.ln 2 .C. I .2018 Hướng dẫn giải Chọn C 22018 Ta có: I ln x ln 22018 ln1 2018.ln 2 . 1 1 1 Câu 26. Tính I 3 x dx . 0 2x 1 A. 2 ln 3 .B. . 4 ln 3 C. . 2 ln 3 D. . 1 ln 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 1 1 Ta có I 3 x dx dx 3 xdx 0 2x 1 0 2x 1 0 1 1 1 2 1 ln 2x 1 3. x x ln 3 2 ln 3 2 . 2 0 3 0 2 1 Tính tích phân I x2018 1 x dx Câu 27. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I .B. I .C. I .D. I 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 2019 2020 2018 2018 2019 x x 1 1 Ta có:I x 1 x dx x x dx . 2019 2020 2019 2020 0 0 0 3x2 khi 0 x 1 2 Câu 28. Cho hàm số y f x . Tính tích phân f x dx . 4 x khi 1 x 2 0 7 5 3 A. .B. . 1 C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
  25. Ta có 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 3x x 7 f x dx f x dx f x dx 3x dx 4 x dx 4x . 3 2 2 0 0 1 0 1 1 1 2 3 khi 0 x 1 Câu 29. Cho hàm số y f x x 1 . Tính tích phân f x dx . 2x 1 khi 1 x 3 0 A. 6 ln 4 .B. . 4 ln 4C. . 6 ln 2D. . 2 2ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A 3 1 3 1 2 3 Ta có: f x dx f x dx f x dx dx 2x 1 dx 0 0 1 0 x 1 1 1 3 2ln x 1 x2 x ln 4 6 . 0 1 3x2 khi 0 x 1 2 Câu 30. Cho hàm số y f x . Tính f x dx . 4 x khi 1 x 2 0 7 5 3 A. .B. . 1 C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 1 2 2 2 3 1 x 2 5 7 Ta có, f x dx f x dx 3x dx 4 x dx x 4x 1 . 0 1 0 1 0 2 1 2 2 6x2 khi x 0 4 Câu 31. Cho hàm số y f x và I f x dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số 2 a a x khi x 0 1 nguyên a để I 22 0 ? A. .2B. .C. 3 4 .D. . 5 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 4 0 4 0 4 2 2 2 2 3 0 a x 2 I f x dx f x dx 6x dx a a x dx 2x ax 2 4a 8a . 1 2 1 0 1 0 0 3 I 22 0 2 4a 8a2 22 0 2a2 a 6 0 a 2 a ¢ a 1;0;1;2 . 2 Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn. b Câu 32. Biết 2x 1 dx 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a A. b a 1 .B. a2 b .C2 . a b 1 b2 a2 b a 1 .D. a b .1 Hướng dẫn giải Chọn C b b Ta có: 2x 1 dx x2 x b2 b a2 a . a a b Mà 2x 1 dx 1 b2 b a2 a 1 b2 a2 b a 1 . a 2 Câu 33. Đặt I 2mx 1 dx (m là tham số thực). Tìm m để I 4 . 1
  26. A. .mB. 1 .C. m 2 m 1.D. . m 2 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 Ta có I 2mx 1 dx mx2 x 4m 2 m 1 3m 1 . 1 1 I 4 3m 1 4 m 1 . 3 3 2 Câu 34. Cho f (x)dx a , f (x)dx b . Khi đó f (x)dx bằng: 0 2 0 A. . B.a .C.b .D. b a a b a b . Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 3 2 3 3 2 Do f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx a b 0 0 2 0 0 2 0 b Câu 35. Giá trị nào của b để 2x 6 dx 0 ? 1 A. b 0 hoặc b 3 .B. b h oặc0 b 1C. b hoặc 5 b .D .0 b 1 hoặc b 5 . Hướng dẫn giải Chọn D b b Ta có 2x 6 dx x2 6x b2 6b 1 6 b2 6b 5 . 1 1 2 b 1 Theo bài ra, có b 6b 5 0 . b 5 a Câu 36. Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có 2x 5 dx a 4 0 A. 1.B. . 0C. . 2D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn A a a Ta có 2x 5 dx a 4 x2 5x a 4 H y x 1 0 0 m Câu 37. Xác định số thực dương m để tích phân x x2 dx có giá trị lớn nhất. 0 A. m 1.B. . m 2C. . m 3D. m 4 Hướng dẫn giải Chọn A m m 2 3 2 3 2 x x m m P x x dx . 2 3 2 3 0 0 m2 m3 Đặt f m f m m m2 f m 0 m 0 hoặc m 1 2 3 Lập bảng biến thiên Vậy f m đạt GTLN tại m 1 .
  27. 2 Câu 38. Cho a là số thực thỏa mãn a 2 và 2x 1 dx 4 . Giá trị biểu thức 1 a3 bằng. a A. 0 .B. 2 .C. .D. . 1 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 a 2 Ta có: 2x 1 dx x2 x 6 a2 a . Theo đề: a 1 . a 2 a 6 a a 4 Vậy 1 a3 2 . 2 Câu 39. Tích phân I 2x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1.B. I =2.C. I = 3. D. I = 4. Hướng dẫn giải 2 Tích phân I 2x.dx có giá trị là: 1 2 2 2 x2 Cách 1:I 2x.dx 2. x.dx 2. 3 . 2 1 1 1 Chọn C Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. 1 Câu 40. Tích phân I x3 3x 2 dx có giá trị là: 1 A. I = 1.B. I = 2.C. I = 3.D. I = 4. Hướng dẫn giải 1 Tích phân I x3 3x 2 dx có giá trị là: 1 1 1 3 1 4 3 2 Cách 1: I x 3x 2 dx x x 2x 4 . 1 4 2 1 Chọn D Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 1 a Câu 41. Cho gá trị của tích phân I x4 2x3 dx a , I x2 3x dx b . Giá trị của là: 1 2 1 2 b 4 12 12 4 A. .PB. .C. P P .D. . P 65 65 65 65 Hướng dẫn giải 1 1 a Cho gá trị của tích phân I x4 2x3 dx a , I x2 3x dx b . Giá trị của là: 1 2 1 2 b Ta có: 1 1 1 1 2 2 I x4 2x3 dx x5 x4 a . 1 1 5 2 1 5 5 1 1 1 3 13 13 I x2 3x dx x3 x2 b . 2 2 3 2 2 6 6 a 12 P . b 65 Chọn C
  28. 0 Câu 42. Tích phân I x3 ax 2 dx có giá trị là: 1 7 a 9 a 7 a 9 a A. I .B. . I C. . I D. . I 4 2 4 2 4 2 4 2 Hướng dẫn giải 0 Tích phân I x3 ax 2 dx có giá trị là: 1 0 0 3 1 4 a 2 7 a I x ax 2 dx x x 2x . 1 4 2 1 4 2 Chọn A 1 Câu 43. Tích phân I ax2 bx dx có giá trị là: 0 a b a b a b a b A. .IB. .C. I .D. I I . 2 3 3 3 2 2 3 2 Hướng dẫn giải 1 Tích phân I ax2 bx dx có giá trị là: 0 Ta có: 1 1 2 a 3 b 2 a b I ax bx dx x x . 0 3 2 0 3 2 Chọn D a 1 Câu 44. Tích phân I 2x dx có giá trị là: 2 2 x 1 1 3 1 5 1 7 1 A. .IB. a2 .C. I a .D2 . I a2 I a2 . 2 a 2 a 2 a 2 a Hướng dẫn giải a 1 Tích phân I 2x dx , với a 0 có giá trị là: 2 2 x Ta có: a a 1 1 1 7 I 2x dx x2 a2 . 2 2 x x 2 a 2 Chọn D 2 Câu 45. Tích phân I x2 xdx có giá trị là: 1 3 1 3 1 A. I .B. . I C. . I D. . I 2 6 2 6 Hướng dẫn giải 2 Tích phân I x2 xdx có giá trị là: 1 Ta có: 2 x x 0 x 0  x 2 . f x Từ bảng xét dấu ta được: 2 0 2 0 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 I x xdx x x dx x x dx x x x x . 1 1 0 3 2 1 3 2 0 2
  29. Chọn A 1 Câu 46. Tích phân I x3 x2 x 1dx có giá trị là: 1 4 1 4 1 A. I .B. . I C. . I D. . I 3 2 3 2 Hướng dẫn giải 1 Tích phân I x3 x2 x 1dx có giá trị là: 1 Ta có: 3 2 2 x  x x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 f x Từ bảng xét dấu ta được: 1 1 1 3 2 3 2 1 4 1 3 1 2 4 I x x x 1dx x x x 1 dx x x x x . 1 1 4 3 2 1 3 Chọn A 1 x3 3x 2 Câu 47. Tích phân I dx có giá trị là: 2 x 1 7 17 7 17 A. .IB. .C. I I .D. . I 6 6 6 6 Hướng dẫn giải 1 x3 3x 2 Tích phân I dx có giá trị là: 2 x 1 Ta có: 3 2 x  3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 . f x Từ bảng xét dấu ta được: 1 3 1 1 x 3x 2 2 1 3 1 2 7 I dx x x 2 dx x x 2x . 2 x 1 2 3 2 2 6 Chọn C 2 x2 x 2 Câu 48. Tích phân I dx có giá trị là: 2 x 1 A. I 3 2ln 3.B. I . 2ln 3 C. I 3 . 2ln 3D. I 3 . 3ln 2 Hướng dẫn giải 0 x2 x 2 Tích phân I dx có giá trị là: 2 x 1 Ta có: x2 x 2 f x f x 0 x 1 x 2  x 1 x 1 Từ bảng xét dấu ta được: 0 x2 x 2 1 x2 x 2 0 x2 x 2 I dx dx dx . 2 x 1 2 x 1 1 x 1 1 1 x2 x 2 1 2 x2 5 I1 dx x dx 2ln x 1 2ln 2 2ln 3. x 1 x 1 2 2 2 2 2
  30. 0 0 x2 x 2 x2 1 I2 dx 2ln x 1 2ln 2 . x 1 2 2 1 1 I I1 I2 3 2ln 3 . Chọn A 1 3 1 Câu 49. Tích phân I 2ax dx có giá trị là: 2 x 15a 15a 15a 15a A. .IB. ln 2 .C. I ln 2 I ln 2 .D. I . ln 2 16 16 16 16 Hướng dẫn giải 1 3 1 Tích phân I 2ax dx có giá trị là: 2 x Ta có: 1 1 3 1 a 4 15a I 2ax dx x ln x ln 2 . 2 x 2 2 16 Chọn C 1 2 I 2xdx a I x2 2x dx Câu 50. Biết tích phân 1 . Giá trị của 2 là: 0 a 17 19 16 13 A. .IB. .C. I I .D. . I 2 3 2 3 2 3 2 3 Hướng dẫn giải 1 2 I 2xdx a I x2 2x dx Biết tích phân 1 . Giá trị của 2 là: 0 a Ta có: 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 16 I1 2xdx x 1 I2 x 2x dx x 2x dx x x . 0 0 a 1 3 1 3 Chọn C b Câu 51. Cho tích phân I x2 1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b b A. .IB . x2 1 dx x2dx dx I x3 x . a a a a 1 1 C. I b3 b a3 a .D. Chỉ có A và C đúng. 3 3 Hướng dẫn giải b Cho tích phân I x2 1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a Ta có: b b 2 1 3 1 3 1 3 I x 1 dx x x b b a a . a 3 a 3 3 Phát biểu (A): đúng. Phát biểu (B): sai. Phát biểu (C): đúng. Phát biểu (D): đúng. Chọn B
  31. 3e 1 Câu 52. Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3 ax 2 0 với a dx là: 1 x A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Hướng dẫn giải 3e 1 Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3 ax 2 0 với a dx là: 1 x 3e 1 3e 2 Ta có: a dx ln x 3 x3 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 . 1 1 x Chọn B 1 Câu 53. Số nghiệm dương của phương trình: x3 ax 2 0 , với a 2xdx , a và b là các số hữu tỉ 0 là: A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Hướng dẫn giải 1 Số nghiệm dương của phương trình: x3 ax 2 0 , với a 2xdx là: 0 1 1 Ta có: a 2xdx x2 1 x3 x 2 0 x 1 x2 x 2 0 x 1 . 0 0 Chọn B k x 1 1 Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có 2x 1 dx 4lim . \ x 0 1 x k 1 k 1 k 1 k 1 A. B. C. D. . . . . k 2 k 2 k 2 k 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 k 2 k 1 k 2x 1 2k 1 1 Ta có: 2x 1 dx 2x 1 d 2x 1 1 2 1 4 4 4 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 1 Mà 4lim 4lim 4lim 2 x 0 x x 0 x x 1 1 x 0 x 1 1 k 2 x 1 1 2k 1 1 2 k 2 Khi đó: 2x 1 dx 4lim 2 2k 1 9 . x 0 1 x 4 k 1 Câu 55. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x 1 x trên tập ¡ và thỏa mãn F 1 3 . Tính tổng F 0 F 2 F 3 . A. 8 .B. .C. 12 14 .D. . 10 Hướng dẫn giải Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: 1 1 x 1 x 0 | 1 x | 0 f x 2 | 2x | 2
  32. 2 2 2 Ta có: f x dx F 2 F 1 F 2 3 mà f x dx 2dx 2 nên F 2 5 . 1 1 1 1 1 1 f x dx F 1 F 0 3 F 0 f x dx 2xdx x2 1 1  mà 0 nên F 0 2 . 0 0 0 0 0 0  f x dx F 0 F 1 2 F 1 mà f x dx 2xdx x2 0 1 nên 1 1 1 1 F 1 3. 1 1 1  f x dx F 1 F 3 3 F 3 mà f x dx 2dx 4 nên F 3 7 . 3 3 3 Vậy F 0 F 2 F 3 2 5 7 14 . 2 Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn 1 n2 2x 3x2 4x3 nxn 1 dx 2 ? 0 A. 1 .B. .C. 2 0 .D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có: 1 n2 2x 3x2 4x3 nxn 1 dx 2 0 2 x n2 x x2 x3 x4 xn 2 0 2 2n2 22 23 24 2n 2 1 2 22 2n 1 n2 1 2n 1 n2 1 2n n2 2 0 . Thử với các giá trị n 1;2;3;4 đều không thỏa mãn. Với n ¢ , n 5 ta chứng minh 2n n2 2 1 . Dễ thấy n 5 thì 1 đúng. Giả sử 1 đúng với n k với k ¢ , k 5 . Khi đó 2k k 2 2 . 2 Khi đó: 2k 1 2 k 2 2 k 2 k 2 2 2 k 2 2k 1 2 k 1 2 . Do đó 1 đúng với n k 1 . Theo nguyên lý quy nạp thì 1 đúng. Vậy không tồn tại số nguyên n . Câu 57. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y f x trên đoạn  2;1 và 1;4 lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f 1 3 . Giá trị biểu thức f 2 f 4 bằng A. 21 B. .9C. 3 . D. .2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 4 Theo giả thiết ta có f x dx 9 và f x dx 12 . 2 1
  33. 1 1 1 Dựa vào đồ thị ta có: f x dx f x dx f x f 1 f 2 2 2 2 f 1 f 2 9 . Tương tự ta có f 4 f 1 12 . Như vậy f 1 f 2 f 4 f 1 3 f 2 f 4 2 f 1 3 f 2 f 4 6 3 f 2 f 4 3 . 2 1 Câu 58. Cho I 2x2 x m dx và J x2 2mx dx . Tìm điều kiện của m để I J . 0 0 A. m 3 .B. . m 2C. . m 1D. . m 0 Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 3 2 2 2x x 10 Ta có I 2x x m dx mx 2m . 3 2 3 0 0 1 1 3 2 x 2 1 J x 2mx dx mx m . 3 3 0 0 10 1 Do đó I J 2m m m 3 3 3 1 7 2 Câu 59. Biết rằng hàm số f x ax2 bx c thỏa mãn f x dx , f x dx 2 và 0 2 0 3 13 f x dx (với a , b , c ¡ ). Tính giá trị của biểu thức P a b c . 0 2 3 4 4 3 A. P .B. P .C. .D. P . P 4 3 3 4 Hướng dẫn giải Chọn B d d a 3 b 2 a 3 b 2 Ta có f x dx x x cx d d cd . 0 3 2 0 3 2 1 7 f x dx a b 7 2 c 0 3 2 2 a 1 2 8 4 Do đó: f x dx 2 a 2b 2c 2 b 3 . Vậy P a b c 3 3 0 16 3 13 9 13 c 9a b 3c 3 f x dx 2 2 0 2 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x 5 Câu 60. Biết dx a ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2x 2 3 8 7 9 3 A. ab .B. . a b C. . ab D. . a b 81 24 8 10 Hướng dẫn giải Chọn A
  34. 1 1 x 5 1 1 6 1 1 1 4 Ta có: dx 1 dx x 6ln x 1 1 6ln 2 6ln 1 1 2x 2 2 1 x 1 2 2 3 3 3 3 3 1 8 1 8 8 ln . Vậy ab . . 3 27 3 27 81 1 2ax Câu 61. Tích phân I dx ln 2 . Giá trị của a là: 0 x 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. .aB . a .C. a .D. . a 1 ln 2 2 2ln 2 1 ln 2 2 2ln 2 Hướng dẫn giải 1 2ax Tích phân I dx ln 2 . Giá trị của a là: 0 x 1 Ta có: 1 1 2ax 1 1 I dx 2a 1 dx 2a x ln x 1 2a 1 ln 2 . 0 0 x 1 0 x 1 ln 2 Mà I ln 2 2a 1 ln 2 ln 2 a . 2 2ln 2 Chọn B 1 1 Câu 62. Cho I dx a b ln 2 bln 3 . Giá trị a + b là: 2 0 3 2x x 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 4 2 6 3 Hướng dẫn giải 1 1 Cho I dx a b ln 2 bln 3 . Giá trị a + b là: 2 0 3 2x x Ta có: 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 I dx ln x 1 ln x 3 ln 3 a b a b 3 2x x2 x 1 3 x 4 0 4 4 2 0 0 . Chọn B 2 x2 Câu 63. Biết dx a ln b a,b ¢ . Gọi S 2a b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây 0 x 1 ? A. 8;10 . B. . 6;8 C. .D. 4;6 2;4 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2 2 x2 2 1 x2 a 0 dx x 1 dx x ln x 1 ln 3 a ln b S 3 . x 1 x 1 2 b 3 0 0 0 Vậy S 2;4 . 2 2 x Câu 64. Tích phân I x dx có giá trị là: 1 x 1
  35. 10 10 10 A. I ln 2 ln 3 .B. I ln 2 ln . 3C. I ln 2 ln . 3D. 3 3 3 10 I ln 2 ln 3 . 3 Hướng dẫn giải 2 2 x Tích phân I x dx có giá trị là: 1 x 1 2 2 2 3 2 x 2 1 x I x dx x 1 dx x ln x 1 x 1 x 1 3 Ta có: 1 1 1 8 1 10 2 ln 3 1 ln 2 ln 2 ln 3 3 3 3 Chọn A Câu 65. Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2 1 tra mà Tích phân I 2x dx có giá trị là: 2 1 x 5 7 9 11 A. .IB . I .C. .D. I . I 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 1 Tích phân I 2x dx có giá trị là: 2 1 x 2 2 1 1 7 Cách 1:I 2x dx x2 . 2 1 x x 1 2 Chọn B Cách 2: DÙng máy tính cầm tay. 1 ax Câu 66. Tích phân I 2ax dx có giá trị là: 0 x 1 A. I a ln 2 .B. I . 2ln 2C. . I 2ln 2 D. .I a ln 2 Hướng dẫn giải 1 ax Tích phân I 2ax dx có giá trị là: 0 x 1 1 1 1 ax x 1 1 I 2ax dx a dx 2a xdx a x ln x 1 a x2 a 1 ln 2 a a ln 2 0 0 0 x 1 0 x 1 0 . Chọn A a a x Câu 67. Tích phân I dx ,với a 0 có giá trị là: 1 x a a2 1 a2 1 A. .IB. a ln a . I a ln a 2a 2a a2 1 a2 1 C. I a ln a . D. I a ln a . 2a 2a Hướng dẫn giải a a x Tích phân I dx , với a 0 có giá trị là: 1 x a Ta có:
  36. a a a x x2 a 1 a2 1 I dx a ln x a ln a a ln a . x a 2a 2 2a 2a 1 1 Chọn C 3 a2 x2 2x Câu 68. Tích phân I dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: 2 ax 2 1 A. 2 5 .B. . C. . D. . 5 5 5 Hướng dẫn giải 3 a2 x2 2x Tích phân I dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: 2 ax Ta có: 3 2 2 3 3 a x 2x 2 a 2 2 5a 2 I dx ax dx x x 2 ax 2 a 2 a 2 2 a 5a 2 5a 2 Vì a là số thực dương nên I 2 . 2 5 . 2 a 2 a Chọn A 2 2 b Câu 69. Tích phân I ax dx có giá trị là: 1 x 7 7 A. .IB. a bln 2 .C. I 3a bln 2 I a bln 2 .D. I 3a b .ln 2 3 3 Hướng dẫn giải 2 2 b Tích phân I ax dx có giá trị là: 1 x Ta có: 2 2 2 b a 3 7a I ax dx x bln x bln 2 . 1 x 3 1 3 Chọn C 1 3 b Câu 70. Tích phân I ax dx có giá trị là: 1 x 2 a a A. .IB. bln 3 .C. I b .lDn.3 I bln 3 I bln 3. 2 2 Hướng dẫn giải 1 3 b Tích phân I ax dx có giá trị là: 1 x 2 Ta có: 1 1 3 b a 4 I ax dx x bln x 2 bln 3 . 1 x 2 4 1 Chọn D 2 e x 1 Câu 71. Tích phân I dx có giá trị là: 2 e x 1 1 1 1 1 1 1 1 A. .IB. 1 .C. I 1 .D. I 1 I 1 . e e2 e e2 e e2 e e2 Hướng dẫn giải
  37. 2 e x 1 Tích phân I dx có giá trị là: 2 e x 2 2 e2 e x 1 e 1 1 1 1 1 I dx dx ln x 1 . 2 2 2 e x e x x x e e e Chọn D 1 x Câu 72. Giá trị của tích phân I dx a . Biểu thức P 2a 1 có giá trị là: 0 x 1 A. .PB. 1 ln 2 .C. P 2 2ln 2 P 1 2ln 2 .D. P 2 . ln 2 Hướng dẫn giải 1 x Giá trị của tích phân I dx a . Biểu thức P 2a 1 có giá trị là: 0 x 1 Tacó: 1 1 x 1 1 I dx 1 dx x ln x 1 1 ln 2 a 1 ln 2 P 2a 1 1 2ln 2 0 0 x 1 0 x 1 . Chọn C 2 e 1 x x2 Câu 73. Giá trị của tích phân I dx a . Biểu thức P a 1 có giá trị là: e x 1 1 1 1 A. .PB. e e2 e4 P e e2 e4 . 2 2 2 2 1 1 1 1 C. P e e2 e4 .D. P e e2 e .4 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 e 1 x x2 Giá trị của tích phân I dx a . Biểu thức P a 1 có giá trị là: e x Ta có: 2 2 2 e e 1 x x2 e 1 x2 e2 e4 I dx 1 x dx ln x x 1 e . x x 2 2 2 e e e e2 e4 e2 e4 e2 e4 a 1 e a 1 e P e . 2 2 2 2 2 2 Chọn B 0 3x2 5x 1 2 Câu 74. Biết ,I với . Tính giá trị dx a ln . b a,b ¤ a 2b 1 x 2 3 A. .3B0. 40 .C. .D. . 50 60 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 0 0 3x2 5x 1 0 21 3x2 2 19 I dx 3x 11 dx 11x 21ln x 2 21.ln . x 2 x 2 2 3 2 1 1 1 Vậy a 2b 40. 2 x 1 Câu 75. Tính tích phân: I dx . 1 x 7 A. I 1 ln 2 .B. .CI . 2ln 2 I 1 ln 2 .D. . I 4
  38. Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 x 1 1 2 Ta có I dx 1 dx x ln x 1 ln 2 . 1 1 x 1 x 1 dx Câu 76. Tính tích phân I . 2 0 x 9 1 1 1 1 1 A. I ln .B. I . ln C. . I ln 2D. . I ln 6 2 6 2 6 2 6 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 dx 1 1 1 1 1 x 3 1 1 1 1 Ta có: I I dx ln ln ln1 ln . 2 0 x 9 6 0 x 3 x 3 6 x 3 0 6 2 6 2 4 dx Câu 77. Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5, với a,b,c là các số nguyên. Tính S a b c. 2 3 x x A. .SB. 6 .C. .D. S 2 S 2 S 0. Hướng dẫn giải Chọn B 4 dx 1 1 1 1 I . Ta có: . 2 2 3 x x x x x(x 1) x x 1 Khi đó: 4 dx 4 1 1 I dx ln x ln(x 1) |4 (ln 4 ln 5) (ln 3 ln 4) 4ln 2 ln 3 ln 5. 2 3 3 x x 3 x x 1 Suy ra: a 4,b 1,c 1. Vậy S 2. 5 3 Câu 78. Biết rằng dx a ln 5 bln 2 a,b Z . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 x 3x A. a 2b 0 .B. .C. .D. 2a b 0 a b 0 a b 0 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 5 3 1 1 5 dx dx ln x ln x 3 ln 5 ln 2 a 1 và b 1 . 2 1 1 x 3x 1 x x 3 Ta có: a b 0 . 2 x 1 Câu 79. Giả sử dx a ln 5 bln 3; a,b ¤ . Tính P ab . 2 0 x 4x 3 A. P 8 .B. P 6 .C. .D. P 4 . P 5 Hướng dẫn giải Chọn B BN M 2 x 1 2 x 1 2 1 2 2 dx dx dx ln x 1 2ln x 3 2ln 5 3ln 3 2 0 x 4x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 x 3 0 Suy ra:. Do đó: P ab 6 . 2 2 x2 2x e 1 Câu 80. Cho giá trị của tích phân a 2,b 3 I dx a , I dx b . Giá trị của biểu 1 2 1 x 1 e x thức P a b là: 7 3 A. .PB. ln 2 ln 3 P ln 2 ln 3 . 2 2
  39. 5 1 C. P ln 2 ln 3 .D. P ln 2 l .n 3 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 x2 2x e 1 Cho giá trị của tích phân I dx a , I dx b . Giá trị của biểu thức P a b 1 2 1 x 1 e x có giá trị là: Ta có: 2 2 x2 2x 2 1 x2 5 5 I1 dx x 1 dx x ln x 1 ln 2 ln 3 a ln 2 ln 3 x 1 x 1 2 2 2 1 1 1 . 2 2 e e 1 I dx ln x 1 b 1 2 . e x e 3 P a b ln 2 ln 3 . 2 Chọn B 0 x3 3x2 2 Câu 81. Giá trị của tích phân I dx gần nhất với gái trị nào sau đây? 2 1 x x 2 ln 2 3 ln 3 A. .B. . ln 2 C.1 . lnD.4 . 2 2 3 Hướng dẫn giải 0 x3 3x2 2 Giá trị của tích phân I dx gần nhất với gái trị nào sau đây? 2 1 x x 2 Ta có: 0 x3 3x2 2 I dx 2 1 x x 2 2 0 0 x 1 x 2x 2 0 x2 2x 2 0 6 x2 9 dx dx x 4 dx 4x 6ln x 2 6ln 2 x 1 x 2 x 2 x 2 2 2 1 1 1 1 Chọn A 2 ax 1 3 4 3 2 Câu 82. Tích phân I dx ln ln . Giá trị của a là: 2 1 x 3x 2 5 3 5 3 1 2 3 4 A. .aB. .C. .D. a a a . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải 2 ax 1 3 4 3 2 Tích phân I dx ln ln . Giá trị của a là: 2 1 x 3x 2 5 3 5 3 Ta có: 2 ax 1 2 x 2 1 I dx a dx dx . 2 2 2 1 x 3x 2 1 x 3x 2 1 x 3x 2 2 2 x 2 1 2 I1 a 2 dx a dx a 2ln x 2 ln x 1 x 3x 2 x 2 x 1 1 Xét 1 1 . 4 2 a 2ln 4 3ln 3 ln 2 2a ln a ln 3 3 2 1 2 4 2 Xét I dx ln x 1 ln x 2 ln ln . 2 2 1 1 x 3x 2 3 3
  40. 4 2 I I I 2a 1 ln a 1 ln 1 2 3 3 3 4 3 2 4 Theo đề bài: I ln ln a . 5 3 5 3 5 Chọn D a x2 1 1 7 Câu 83. Tích phân I dx ln . Giá trị của a là: 3 1 x 3x 3 2 A. .aB . 1 a 2 .C. .D. a . 3 a 4 Hướng dẫn giải a x2 1 1 7 Tích phân I dx ln . Giá trị của a là: 3 1 x 3x 3 2 Ta có: a 2 a3 3a 3 x 1 1 1 1 a3 3a 1 a 3a I dx dt ln t ln , với t x3 3x . 3 4 1 x 3x 3 4 t 3 3 4 1 a3 3a 1 7 Theo đề bài: ln ln a3 3a 14 0 a 2 a2 2a 7 0 a 2 . 3 4 3 2 Chọn B x 1 Câu 84. Biết dx a.ln x 1 b.ln x 2 C , a,b ¢ . Tính giá trị của biểu thức a b . x 1 2 x A. .aB. b 1 .C. a b 5 a b 1.D. a . b 5 Hướng dẫn giải: Chọn C x 1 A B . x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 A x 2 B x 1 . A B 1 A 2 . 2A B 1 B 3 x 1 2 3 Nên: dx dx . x 1 2 x x 1 x 2 2ln x 1 3ln x 2 C . Vậy a 2 ,b 3 . Vậy a b 1 . 1 3x 1 a 5 a Câu 85. Biết dx 3ln , trong đó a,b là hai số nguyên dương và là phân số tối 2 0 x 6x 9 b 6 b giản. Tính ab ta được kết quả. A. B.ab C. D5 ab 27. ab 6. ab 12. Hướng dẫn giải Chọn D 1 3x 1 1 3x 1 dx dx 2 2 0 x 6x 9 0 x 3 Đặt t x 3 dt dx; x t 3 Đổi cận: x 0 t 3; x 1 t 4 Khi đó: 1 3x 1 4 3 t 3 1 4 3 10 10 4 K dx dt dt 3ln t 2 2 2 0 x 3 3 t 3 t t t 3
  41. 5 4 5 3ln 4 3ln 3 3ln a 4,b 3 a.b 12 . 6 3 6 3 x2 3x 2 Câu 86. Biết dx a ln 7 bln 3 c với a , b , c ¢ . Tính T a 2b2 3c3 . 2 2 x x 1 A. T 4 .B. . T 6C. . T 3D. . T 5 Hướng dẫn giải Chọn A a 1 3 2 3 3 x 3x 2 2x 1 2 2 dx 1 2 dx x ln x x 1 ln 7 ln 3 1 , suy ra b 1 . 2 2 x x 1 2 x x 1 c 1 Vậy T a 2b2 3c3 4 . 0 3x2 5x 1 2 Câu 87. Giả sử I dx a.ln b . Khi đó giá trị a 2b là: 1 x 2 3 A. 30.B. 40.C. 50.D. 60. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 0 2 2 3x 5x 1 0 21 3x 0 2 19 I dx 3x 11 dx 11x 21ln x 2 21ln 1 1 x 2 x 2 2 1 3 2 5 3 Câu 88. Biết rằng dx a ln 5 bln 2 a, b ¢ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 x 3x A. a 2b 0 .B. .2a b 0 C. a b 0 .D. a b 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D 5 3 5 1 1 dx dx 2 1 x 3x 1 x x 3 5 ln | x | ln | x 3| ln 5 ln 2. 1 Vậy a 1,b 1 . 3 x 2 Câu 89. Nếu dx a ln 5 bln 3 3ln 2 a,b ¤ thì giá trị của P 2a b là 2 2 2x 3x 1 15 15 A. P 1 .B. .C. P 7 P .D. . P 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 x 2 1 3 4x 3 11 3 1 dx dx dx 2 2 2 2 2x 3x 1 4 2 2x 3x 1 4 2 2x 3x 1 1 3 1 11 3 1 d 2x2 3x 1 dx 2 4 2 2x 3x 1 4 2 x 1 2x 1 3 3 1 2 11 1 2 ln 2x 3x 1 dx 4 2 4 2 x 1 2x 1 3 3 1 2 11 x 1 1 11 2 1 ln 2x 3x 1 ln ln10 ln 3 ln ln 4 2 4 2x 1 2 4 4 5 3
  42. 1 10 11 6 1 11 5 5 ln ln ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5 ln 5 ln 3 3ln 2 . 4 3 4 5 4 4 2 2 5 5 15 Do đó a , b , P . 2 2 2 3 x 3 Câu 90. Cho dx mln 2 nln 3 p ln 5 , với m , n , p là các số hữu tỉ. Tính 2 1 x 3x 2 S m2 n p2 . A. S 6 .B. . S 4C. . S 3D. . S 5 Hướng dẫn giải Chọn A 3 x 3 3 x 3 3 2x 4 x 1 Ta có dx dx dx 2 1 x 3x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 3 2x 4 x 1 dx 1 x 2 x 1 x 2 x 1 3 3 2 1 3 3 dx dx 2ln x 1 ln x 2 2ln 4 2ln 2 ln 5 ln 3 1 1 1 x 1 1 x 2 m 2 4 2 2 2ln ln 5 ln 3 2ln 2 ln 3 ln 5 n 1 S 2 1 1 6 . 2 p 1 2 x2 Câu 91. Biết rằng dx a ln b với a , b ¢ , b 0 . Hỏi giá trị 2a b thuộc khoảng nào sau 0 x 1 đây? A. 8;10 .B. .C. 6 .D;8. 4;6 2;4 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 x2 2 1 x2 Ta có: dx x 1 dx x ln x 1 ln 3 a 0 , b 3 x 1 x 1 2 0 0 0 2a b 3 . 4 dx Câu 92. Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5 với a,b,c là các số nguyên. Tính S a b c 2 3 x x A. S 6 .B. S 2 .C. .D. S . 2 S 0 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: 4 1 4 1 x 4 4 3 I dx dx ln ln ln 4ln 2 ln 3 ln 5 . 2 3 x x 3 x x 1 x 1 3 5 4 Suy ra a 4,b c 1 S 2 . Cách 2: Ta có: 4 1 4 1 4 1 4 1 I dx dx dx dx ln 4 ln 3 ln 5 ln 4 4ln 2 ln 3 ln 5 2 3 x x 3 x x 1 3 x 3 x 1 Suy ra a 4,b c 1 S 2 .
  43. 2 dx 1 1 Câu 93. Biết , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng 7;3 thì a và b là 2 1 4x 4x 1 a b nghiệm của phương trình nào sau đây? A. .2Bx. 2 x 1 0 x2 4x 12 0 .C. .D. .x2 5x 6 0 x2 9 0 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 dx dx 1 2 1 1 1 1 1 1 Ta có 2x 1 d 2x 1  . 2 2 2 2x 1 1 4x 4x 1 1 2x 1 2 1 1 6 2 6 2 a 6 a 2 2 Suy ra hoặc và a , b là nghiệm của phương trình .x 4x 12 0 b 2 b 6 5 x2 x 1 b Câu 94. Biết dx a ln với a , b là các số nguyên. Tính S a 2b . 3 x 1 2 A. S 2 .B. .C. S 5 S 2 .D. . S 10 Hướng dẫn giải Chọn C 5 2 5 5 x x 1 1 1 2 25 9 3 Ta có dx x dx x ln x 1 ln 6 ln 4 8 ln . 3 x 1 3 x 1 2 3 2 2 2 Vậy a 8 , b 3 . Suy ra S a 2b 8 2.3 2 . 3 dx Câu 95. Biết a ln 2 bln 5 c ln 7 , a,b,c ¤ . Giá trị của biểu thức 2a 3b c 0 x 2 x 4 bằng A. 5 .B. .C. .D. 4 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 3 3 dx 1 1 1 1 3 1 1 1 dx ln x 2 ln x 4 ln 5 ln 7 ln 2 . 0 0 x 2 x 4 2 0 x 2 x 4 2 2 2 2 1 1 1 Khi đó: 2a 3b c 2. 3. 3 . 2 2 2 4 1 Câu 96. Tìm giá trị của a để dx ln a . 3 x 1 x 2 4 1 3 A. 12 .B. .C. .D. . 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 4 4 4 1 1 1 x 2 2 1 2 2 4 dx dx ln ln ln ln . ln ln a 3 x 1 x 2 3 x 2 x 1 x 1 3 3 2 3 1 3 4 a 3 1 1 1 Câu 97. Cho dx a ln 2 bln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây 0 x 1 x 2 đúng ? A. a b 2 .B. .C.a 2b 0 .D. a b 2 a 2b 0 . Hướng dẫn giải Chọn D
  44. 1 dx 1 1 dx 1 Ta có: ln x 1 ln 2 và ln x 2 ln 3 ln 2 0 x 1 0 0 x 2 0 1 1 1 Do đó dx ln 2 ln 3 ln 2 2ln 2 ln 3 a 2 , b 1 . 0 x 1 x 2 Vậy a 2b 0 . 3 5x 12 Câu 98. Biết dx a ln 2 bln 5 c ln 6 . Tính S 3a 2b c . 2 2 x 5x 6 A. 3 .B. .C. .D. . 14 2 11 Hướng dẫn giải Chọn D 5x 12 5x 12 A B A B x 3A 2B Ta có: . 2 x 2 x 3 2 x 5x 6 x 2 x 3 x 5x 6 A B 5 A 2 . 3A 2B 12 B 3 3 3 3 5x 12 2 3 3 3 Nên dx dx dx 2ln x 2 3ln x 3 2 2 2 2 x 5x 6 2 x 2 2 x 3 3ln 6 ln 5 2ln 4 4ln 2 ln 5 3ln 6 . Vậy S 3a 2b c 11 . 2 1 Câu 99. Cho dx a ln 2 bln 3 c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới 2 1 x 5x 6 đây đúng? A. .aB. b c 4 .C. a b c 3 a b c 2 .D. a b . c 6 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 1 1 1 2 Ta có: dx dx ln x 2 ln x 3 2 1 1 x 5x 6 1 x 2 x 3 ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 2ln 4 ln 3 ln 5 4ln 2 ln 3 ln 5 . Vậy a b c 4 1 1 2 . 2 x 1 m n p Câu 100. Biết dx ln x 1 x 2 x 3 C . Tính 4 m n p . x3 6x2 11x 6 A. 5 .B. .C. .D. 0 2 4 . Hướng dẫn giải Chọn D x2 1 x2 1 A B C Ta có: x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x2 1 A x 2 x 3 B x 1 x 3 C x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x2 1 A x 2 x 3 B x 1 x 3 C x 1 x 2 A B C 1 A 1 5A 4B 3C 0 B 5 . 6A 3B 2C 1 C 5 x2 1 1 1 1 Suy ra dx dx 5 dx 5 dx x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 ln x 1 x 2 5 x 3 5 C .
  45. Vậy 4 m n p 4 . 3 x 8 Câu 101. Cho dx a ln 2 bln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 x x 2 A. a b 3 . B. a 2b 11.C. a .D. b 5 . a 2b 11 Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 x 8 3 2 3 3 Ta có dx dx 3ln x 1 2ln x 2 7ln 2 2ln 5 . 2 2 2 2 x x 2 2 x 1 x 2 a 7 Suy ra a 2b 11 . b 2 1 x3 2x2 3 1 3 Câu 102. Biết dx bln a,b 0 tìm các giá trị của k để 0 x 2 a 2 ab k 2 1 x 2017 dx lim . x 8 x 2018 A. k 0 .B. k 0 .C. .D. k . 0 k ¡ Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 2 1 1 x 2x 3 2 3 1 3 1 3 Ta có: dx x dx x 3ln x 2 3ln 0 x 2 0 x 2 3 0 3 2 a 3 ab 9 dx dx 1 b 3 8 8 ab k 2 1 x 2017 k 2 1 x 2017 Mà dx lim 1 lim x x 8 x 2018 x 2018 k 2 1 x 2017 Mặt khác ta có lim k 2 1 . x x 2018 ab k 2 1 x 2017 Vậy để dx lim thì 1 k 2 1 k 2 0 k 0 . x 8 x 2018 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2 Câu 103. Tính tích phân I 4x 1 dx . 0 13 4 A. 13 .B. .C. .D. . 4 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 1 1 2 3 13 Ta có I 4x 1 dx 4x 1 2 dx . 4x 1 2 . 0 0 4 3 0 3 1 a 3 I x x 1 dx b 2 Câu 104. Biết rằng 1 . Giá trị của a b là: 0 6 4 A. – 1.B. – 2.C. – 3.D. – 4. Hướng dẫn giải 1 a 3 I x x 1 dx b 2 Biết rằng 1 . Giá trị của a b là: 0 6 4 Ta có:
  46. 1 1 2 x 2 3 1 4 2 4 3 I1 x x 1 dx x 1 a 1,b a b 2 . 2 3 6 3 3 4 0 0 Chọn B 2 1 Câu 105. Tích phân I dx bằng 0 2 x 2 1 1 A. .IB. .1C. .D. I 2 2 I 2 I 2 2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 1 2 Ta có: I dx x 2 2 2 . 0 0 2 x 2 1 dx 8 2 Câu 106. Cho a b a , a,b ¥ * . Tính a 2b . 0 x 2 x 1 3 3 A. a 2b 7 .B. a 2b 8 .C. a .D.2b 1 . a 2b 5 Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 dx 2 3 3 Ta có x 2 x 1 dx x 2 x 1 0 x 2 x 1 0 3 0 8 2 2 3 2 . 3 3 Do đó a 2 , b 3 , a 2b 8 . 1 x a b 3 Câu 107. Biết tích phân dx với a , b là các số thực. Tính tổng T a b . 0 3x 1 2x 1 9 A. T 10 .B. .C. T .4D. T 15 T 8 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 x 1 x 3x 1 2x 1 1 Ta có dx dx 3x 1 2x 1 dx 0 3x 1 2x 1 0 x 0 1 1 1 1 2 3 1 3 3x 1 2 2x 1 2 dx 3x 1 2 2x 1 2 0 9 3 0 16 2 1 17 17 9 3 3 3 . 9 9 3 9 9 a Câu 108. Tích phân I x x 1dx có giá trị là: 0 5 3 5 3 2 a 1 2 a 1 4 2 a 1 2 a 1 4 A. .IB . I . 5 3 15 5 3 15 5 3 5 3 2 a 1 2 a 1 4 2 a 1 2 a 1 4 C. I .D. I . 5 3 15 5 3 15 Hướng dẫn giải a Tích phân I x x 1dx có giá trị là: 0 Ta có:
  47. a a a a 3 a 1 I x x 1dx x 1 x 1dx x 1dx x 1 2 dx x 1 2 dx 0 0 0 0 0 a a 5 3 2 2 2 5 2 3 4 = x 1 2 x 1 2 = x 1 x 1 5 0 3 0 5 3 15 Chọn B 1 x Câu 109. Tích phân I dx có giá trị là: 1 x 1 1 4 2 4 2 4 2 4 2 A. I 2 .B. I . 2C. I . 1D. I . 1 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 1 x Tích phân I dx có giá trị là: 1 x 1 1 Ta có: 1 x 1 x 1 2 3 4 2 x 1 1 I dx x 1 1 dx x 1 2 x 2 . x 1 1 1 x 1 1 1 3 1 3 Chọn A 4 x2 x 2 a 4 b Câu 110. Biết rằng I dx . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a b c . 3 x x 2 c A. 39 .B. . 27C. . 33D. . 41 Hướng dẫn giải Chọn A 4 4 4 x2 x 2 x2 2 3 25 8 2 25 4 8 Ta có dx x x 2 dx x 2 2 3 6 6 3 x x 2 3 3 Suy ra a 25 , b 8 , c 6 . Vậy a b c 39 . 2 dx Câu 111. Biết a b c với a,b,c là các số nguyên dương. Tính 1 x x 2 x 2 x P a b c . A. P 2 . B. P 8 .C. .D. P 4 .6 P 22 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 dx 2 dx 2 x 2 x dx 1 1 1 x x 2 x 2 x x x 2 x 2 x 2 x x 2 2 1 1 2 dx x x 2 2 3 3 . 1 2 x 2 x 2 1 Vậy a 2 ;b 3 ;c 3 nên P a b c 8 . 2 dx Câu 112. Biết I a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x 1 x x x 1 P a b c . A. P 24 .B. .C. P .1D2. P 18 P 46 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: x 1 x 0 , x 1;2 nên:
  48. 2 dx 2 dx I x 1 x x x 1 1 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 x dx 2 x 1 x dx 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 1 1 2 dx 2 x 2 x 1 4 2 2 3 2 32 12 2 . 1 1 x x 1 a 32 Mà I a b c nên b 12 . Suy ra: P a b c 32 12 2 46 . c 2 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113. Tính tích phân sin 3xdx . 0 1 1 2 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 2 Ta có sin 3xdx cos3x 1 1 . 0 0 3 3 3 2 Câu 114. Tính tích phân I sin x dx . 0 4 A. I .B. .C. I 1 I 0 .D. . I 1 4 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 I sin x dx cos x cos cos 0 . 0 4 4 0 4 4 3 dx Câu 115. Tích phân I bằng? 2 sin x 4 A. .cB.ot cot .C. cot cot cot cot .D. cot co .t 3 4 3 4 3 4 3 4 Hướng dẫn giải Chọn C 3 dx 3 Ta có I cot x . 2 sin x 4 4 2 Câu 116. Biết cos xdx a b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T 2a 6b . 3 A. T 3 .B. T 1 C. .TD. 4 . T 2 Hướng dẫn giải Chọn B
  49. 2 3 Ta có: cos xdx sin x 2 1 . Vậy 2a 6b 2 3 1 . 3 2 3 m Câu 117. Số cot cot các số nguyên thỏa mãn cos 2 x dx 0 là 3 4 0 A. .6B4.3 1284.C. .D. . 1285 642 Hướng dẫn giải. Chọn B Ta có m 1 m 1 k cos 2 x dx 0 sin 2x 0 sin 2m 0 sin 2m 0 2m k m ,k ¢ 0 2 0 2 2 . k 4043 Vì m 0;2017 0 2017 0 k 1284,06 . 2 Vì k ¢ có tất cả 1284số nguyên của m . 2 Câu 118. Tích phân I sin xdx có giá trị là: 0 A. I 1.B. . I 0C. . I D.1 Cả A, B, C đều sai. Hướng dẫn giải 2 Tích phân I sin xdx có giá trị là: 0 2 Cách 1:I sin xdx cos x 2 1 . 0 0 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. b Câu 119. Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng ;3 sao cho 4cos 2xdx 1 ? A. 8 .B. .C. 2 4 .D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn C b b k b 1 12 Ta có:4cos 2xdx 1 2sin 2x 1 sin 2b . 2 5 b k 12 Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Câu 120. Tích phân I sin x cos x dx có giá trị là: 2 A. .IB. 1 .C. I 2 I 2 .D. . I 1 Hướng dẫn giải 2 Tích phân I sin x cos x dx có giá trị là: 2
  50. 2 2 Cách 1m 0;2017 :I sin x cos x dx cos x sin x 2 . 2 2 Chọn C Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 6 Câu 121. Tích phân I sin 2x cos3x dx có giá trị là: 2 2 3 3 2 A. .IB. .C. I I .D. . I 3 4 4 3 Hướng dẫn giải 6 Tích phân I sin 2x cos3x dx có giá trị là: 2 6 1 1 6 3 Cách 1:I sin 2x cos3x dx cos 2x sin 3x . 2 3 4 2 2 Chọn C Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 2 Câu 122. Kết quả của tích phân 2x 1 sin x dx được viết ở dạng a , b ¢ . Khẳng định nào sau 0 đây là sai? A. a 2b 8 .B. a b 5 .C. 2 . aD. 3b 2 . a b 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 1 2x 1 sin x dx x2 x cos x 2 1 1 . 0 0 4 2 4 2 Vậy a 4 , b 2 . Suy ra a b 6 . Vậy B sai. 2 cos 2x Câu 123. Cho tích phân dx a b với a, b ¤ . Tính P 1 a3 b2 0 1 sin x A. P 9 .B. .C. P .D2.9 P 11 P 25 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 cos 2x 2 1 2sin2 x 2 1 dx dx 2sin x 2 dx 0 1 sin x 0 1 sin x 0 1 sin x 2 1 2 1 2sin x 2 dx . 2cos x 2x 2 dx 0 2 x 0 1 cos x 0 2cos 2 2 4 1 x 2 .2 tan 2 3 . 2 2 4 0 Vậy a 3,b 1 .
  51. P 1 a3 b2 25 . 2 1 Câu 124. Cho tích phân 4x 1 cos x dx c , a,b,c ¤ . Tính a b c 0 a b 1 A. 3 B. 1. C. 2 .D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 Ta có 4x 1 cos x dx 2x2 x sin x 2 1. 0 0 2 2 Suy ra a 2 , b 2 , c 1 nên a b c 1. 6 a c 3 a Câu 125. Biết 3 4sin2 x dx , trong đó a ,b nguyên dương và tối giản. Tính a b c 0 b 6 b . A. 8 .B. 16.C. 12 .D. 14 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 6 6 6 2 3 4sin x dx 3 2 1 cos 2x dx 5 2cos 2x dx 0 0 0 5 3 3 . 6 6 Suy ra a 5 , b 6 , c 3. Vậy a b c 14. 3 3 Câu 126. Cho giá trị của tích phân I sin 2x cos x dx a , I cos 2x sin x dx b . Giá trị 1 2 2 3 của a + b là: 3 3 3 3 3 3 A. P 3 .B. P .C. P 3 .D. P . 4 4 2 4 4 2 Hướng dẫn giải 3 3 Cho giá trị của tích phân I sin 2x cos x dx a , I cos 2x sin x dx b . Giá trị 1 2 2 3 của a + b là: Cách 1: Ta có: 3 1 3 3 3 3 3 I sin 2x cos x dx cos 2x sin x a . 1 2 4 2 4 2 2 2 3 1 3 3 3 I cos 2x sin x dx sin 2x cos x b . 2 2 2 2 3 3 3 P a b 3 . 4
  52. Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra. 2 3 2e 1 1 1 Câu 127. Cho giá trị của tích phân I sin 3x cos3x dx a , I dx b . Giá 1 2 2 x x x 1 e 3 trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 .B. 16.C. 10 .D. 1. Ta có: 2 2 3 1 1 3 2 2 I sin 3x cos3x dx cos3x sin 3x a . 1 3 3 3 3 3 3 2e 2e 1 1 1 1 1 1 I dx ln x ln x 1 ln 2 ln 2e 1 ln e 1 2 2 e x x x 1 x e 2e e 1 1 b ln 2 ln 2e 1 ln e 1 2e e a.b 0,2198 . Chọn D 2 Câu 128. Tích phân I sin ax cos ax dx , với a 0 có giá trị là: 2 2 A. I sin a sin a . a 2 4 2 4 2 B. I sin a sin a . a 2 4 2 4 2 C. I sin a sin a . a 2 4 2 4 2 D. I sin a sin a . a 2 4 2 4 Hướng dẫn giải 2 Tích phân I sin ax cos ax dx có giá trị là: 2 Ta có: 2 1 1 2 2 2 I sin ax cos ax dx cos ax sin ax sin ax a a a 4 2 2 2 . 2 sin a sin a a 2 4 2 4 Chọn B
  53. π 2 x x cos x sin3 x π2 b Câu 129. Biết I dx . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số 0 1 cos x a c b tối giản. Tính T a2 b2 c2 . c A. T 16 .B. T 59 .C. T 69 . D. T 50 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 x x cos x sin3 x 2 sin3 x Ta có I dx x dx 0 1 cos x 0 1 cos x 2 2 2 2 2 1 2 1 xdx 1 cos x sin xdx cos x cos x . 0 0 8 2 0 8 2 Như vậy a 8, b 1, c 2 . Vậy T a2 b2 c2 69 . b Câu 130. Cho hàm số f x asin 2x bcos 2x thỏa mãn f ' 2 và adx 3 . Tính tổng a b 2 a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn C f ' x 2a cos 2x 2bsin 2x f ' 2 2a 2 a 1 2 b b adx dx 3 b 1 3 b 4 a 1 Vậy a b 1 4 5. 0 Câu 131. Cho tích phân cos 2x cos 4xdx a b 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính 3 a e log2 b . 1 A. 2 . B. 3 . C. . D. 0 . 8 Hướng dẫn giải Chọn A 0 0 1 0 1 1 1 1 Ta có: cos 2x cos 4xdx cos6x cos 2x dx sin 6x sin 2x 3 . 3 2 3 2 6 2 8 3 1 1 Do đó ta có a 0 , b . Vậy ea log b e0 log 2 . 8 2 2 8 1  Câu 132. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y với x ¡ \ k ,k ¢ , biết 1 sin 2x 4  11 F 0 1; F( ) 0 . Tính P F F . 12 12 A. P 2 3 .B. P 0 .C. Không tồn tại P .D. P 1 . Hướng dẫn giải Chọn D
  54. 11 11 Ta có P F F F 0 F F F F 0 F 12 12 12 12 0 1 1 dx dx 1. 1 sin 2x 11 1 sin 2x 12 12 1 1 1 Ta có 2 nên 1 sin 2x sin x cos x 2 2cos x 4 0 0 1 1 1 dx tan x 1 3 ; 1 sin 2x 2 4 2 12 12 1 1 1 dx tan x 1 3 . 11 1 sin 2x 2 4 11 2 12 12 Vậy P 1 . Câu 133. Cho M , N là các số thực, xét hàm số f x M.sin πx N.cos πx thỏa mãn f 1 3 và 1 2 1 1 f x dx . Giá trị của f bằng 0 π 4 5π 2 5π 2 π 2 π 2 A. .B. .C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f 1 3 M.sin π N.cos π 3 N 3. 1 1 2 1 2 1 Mặt khác f x dx M.sin πx 3.cos πx dx 0 π 0 π 1 M 3 2 1 3 M 1 cos πx sin πx M 2. π π 0 π π π π 1 5π 2 Vậy f x 2sin πx 3cos πx nên f x 2π cos πx 3πsin πx f . 4 2 2 Câu 134. Tích phân I cos x 1 cos2 xdx có giá trị là: 0 1 2 1 2 A. I .B. I . C. I .D. I . 4 3 4 3 4 3 4 3 Hướng dẫn giải 2 Tích phân I cos x 1 cos2 xdx có giá trị là: 0 Ta biến đổi: 1 2 2 2 3 2 2 2 2 t 1 1 2 I cos x 1 cos xdx cos x 1 sin x dx cos xdx t x sin 2x 3 2 2 3 4 0 0 0 0 0 , với t sin x . Chọn D
  55. 2 1 x2 1 Câu 135. Biết tích phân I sin xdx a . Giá trị của I dx bln 2 c ln 5 . Thương số giữa b 1 2 3 a x x 3 và c là: A. – 2.B. – 4.C. 2.D. 4. Hướng dẫn giải 2 1 x2 1 Biết tích phân I sin xdx a . Giá trị của I dx bln 2 c ln 5 . Thương số giữa b 1 2 3 a x x 3 và c là: Ta có: 2 1 I sin xdx cos x 2 . 1 3 2 3 1 2 1 2 x 1 x 1 1 2 4 1 4 1 b I dx dx ln t ln 2 ln 5 b ,c 4 . 2 3 3 5 a x x 1 x x 3 8 3 3 3 3 c 2 Chọn B 3 Câu 136. Cho I sin 3x cos2 x dx a cos3x bxsin csin 2x 6 . Giá trị của 3a 2b 4c là: 0 0 A. – 1.B. 1.C. – 2.D. 2. Hướng dẫn giải 3 Cho I sin 3x cos2 x dx a cos3x bxsin csin 2x 6 . Giá trị của 3a 2b 4c là: 0 0 Ta có: 3 3 1 cos 2x 1 1 1 3 I sin 3x cos2 x dx sin 3x dx cos3x x sin 2x 1 0 0 2 3 2 4 0 1 1 1 a ,b ,c 3a 2c 4c 1 3 2 4 Chọn B Câu 137. Cho I tann xdx với n . Khi đó I I 2 I I I I I bằng n ¥ 0 1 2 3 8 9 10 r r 1 r r 1 9 tan x 9 tan x 10 tan x 10 tan x A.  C .B.  C .C.  C . D.  C r 1 r r 1 r 1 r 1 r r 1 r 1 . Hướng dẫn giải Chọn A n 2 2 n 2 1 n 2 In tan x.tan xdx tan x. 2 1 dx tan x. tan x dx In 2 cos x tann 1 x I C n 1 n 2 tann 1 x I I C . n n 2 n 1 I0 I1 2 I2 I3 I8 I9 I10 = I10 I8 I9 I7 I3 I1 I2 I0
  56. tan9 x tan8 x tan2 x 9 tanr x tan x C  C . 9 8 2 r 1 r TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT 1 Câu 138. Tích phân e xdx bằng 0 1 e 1 1 A. e 1.B. 1.C. .D. . e e e Hướng dẫn giải Chọn C 1 x x 1 1 e 1 Ta có: e dx e 1 . 0 0 e e 2018 Câu 139. Tích phân I 2x dx bằng 0 22018 1 22018 A. 22018 1.B. .C. . D. 22018 . ln 2 ln 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2018 2018 2x 22018 1 I 2x dx . 0 ln 2 0 ln 2 4 0 4 1 1 2x Câu 140. Biết f (x)dx và. f (x)dx . Tính tích phân I 4e 2 f (x) dx . 1 2 1 2 0 A. I 2e8 . B. I 4e8 2 . C. I 4e8 . D. I 2e8 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 2x 1 4 2x e 4 Ta có I 4e 2 f (x) dx 4. 2 f x dx 2 f x dx . 0 2 0 0 1 1 1 I 2 e8 1 2. 2. 2.e8 . 2 2 x2 2 Câu 141. Cho F x et dt . Tính F 2 . 0 A. F 2 4e4 .B. F 2 8e16 .C. F 2 4e16 . D. F 2 e4 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Gọi G x là nguyên hàm của hàm số et . F x G x2 G 0 4 F x 2x.G x2 2x.ex . F 2 4.e16 2 x 1 Câu 142. Cho hàm số g x dt với x 0 . Đạo hàm của g x là x ln t x 1 1 x 1 A. g x .B. g x . C. g x .D. g x ln x . ln x ln x ln x Hướng dẫn giải Chọn A
  57. 1 Giả sử F t là một nguyên hàm của hàm số . ln t 1 1 Khi đó F t hay F x . ln t ln x 2 x 1 Ta có g x dt F x2 F x . x ln t 1 1 x 1 Suy ra g x F x2 F x F x2 F x .2x . ln x2 ln x ln x v x Chú ý: ta có công thức f t dt v x . f v x u x . f u x u x 3 2 Câu 143. f x dx 6.Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3 2 2 2018.ek 2018 ekxdx . Số phần tử của tập hợp S bằng. 1 k A. 7.B. 8 . C. Vô số. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2k k kx 1 kx e e Ta có: e dx e . 1 k 1 k 2 2018.ek 2018 e2k ek 2018.ek 2018 ekxdx 1 k k k ek ek 1 2018 ek 1 (do k nguyên dương). ek 1 ek 2018 0 1 ek 2018 0 k ln 2018 7.6 . Do k nguyên dương nên ta chọn được k S (với S 1;2;3;4;5;6;7 ). Suy ra số phần tử của S là 7 . 1 e nx Câu 144. Cho I dx với n ¥ . n x 0 1 e Đặt un 1. I1 I2 2 I2 I3 3 I3 I4 n In In 1 n . Biết limun L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L 1;0 .B. L 2; 1 .C. L 0;1 . D. L 1;2 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 e n 1 x 1 e nx .e x 1 1 e nx 1 Với n ¥ , I dx dx e nxdx dx e nxdx I n 1 x x x n 0 1 e 0 1 e 0 0 1 e 0 1 1 I e nxdx I I I 1 e n n 1 n n 1 n 0 n 1 2 3 n Do đó un 1 e 1 e 1 e 1 e n 1 2 3 n un e e e e
  58. 1 Ta thấy u là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với u e 1 và q , nên n 1 e e 1 1 limu L L 1;0 . n 1 1 e 1 e