›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 11.1: Ứng dụng thể tích (Có đáp án)

docx 38 trang nhungbui22 12/08/2022 2480
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 11.1: Ứng dụng thể tích (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 11.1: Ứng dụng thể tích (Có đáp án)

  1. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 1) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm x , (a £ x £ b) . Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x S ( x )dx a V O b x a S (x) b Khi đĩ, thể tích của vật thể B được xác định: V =ịS(x)dx a 2) Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , trục hồnh và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y f (x) (C) : y f (x) b (Ox) : y 0 2 V f (x) dx a b x x   O x a a x b Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) , trục hồnh và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y d (C) : x g(y) d (Oy) : x 0 2 V g( y) dy y   y c c c y d O x - Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b V =pị f 2 (x) - g 2 (x) dx a THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRỊN XOAY) PHƯƠNG PHÁP: . Tính thể tích khối trịn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) , y 0, b x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là V f 2 (x)dx . a Trường hợp 2. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), y g(x) , b x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là V f 2 (x) g 2 (x) dx . a
  2. BÀI TẬP Dạng 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi miền D giới hạn bởi y f x ; y 0 và x a, x b khi quay quanh trục Ox. Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hồnh và hai đường thẳng x a , x b a b . Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh được tính theo cơng thức. b b b b A. V f 2 x dx . B. V 2 f 2 x dx . C. V 2 f 2 x dx . D. V 2 f x dx a a a a . Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục và cĩ đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối trịn xoay cĩ thể tích V được xác định theo cơng thức y 3 O 1 3 x 3 3 2 1 2 A. V f x dx . B. V f x dx . 1 3 1 3 3 2 2 2 C. V f x dx . D. V f x dx . 1 1 Câu 3. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 3x 2 , trục hồnh và hai đường thẳng x 1, x 2 . Quay H xung quanh trục hồnh được khối trịn xoay cĩ thể tích là 2 2 2 A. V x2 3x 2 dx . B. V x2 3x 2 dx . 1 1 2 2 2 C. V x2 3x 2 dx . D. V x2 3x 2 dx . 1 1 Câu 4. Cho hàm số y x cĩ đồ thị C . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi C , trục hồnh và hai đường thẳng x 2 , x 3. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh được tính bởi cơng thức: 2 3 3 3 A. V 2xdx . B. V 3 xdx . C. V 2xdx . D. V 2 xdx . 3 2 2 2 Câu 5. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , trục Ox và hai đường thẳng x 1; x 4 khi quay quanh trục hồnh được tính bởi cơng thức nào? 4 4 4 4 A. V xdx . B. V x dx . C. V 2 xdx . D. V xdx . 1 1 1 1 Câu 6. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x2 2x , trục hồnh, trục tung, đường thẳng x 1. Tính thể tích V hình trịn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox. 8 4 15 7 A. V B. V C. V D. V 15 3 8 8
  3. x2 y2 Câu 7. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip E cĩ phương trình 1. Hình phẳng H giới 25 9 hạn bởi nửa elip nằm trên trục hồnh và trục hồnh. Quay hình H xung quanh trục Ox ta được khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đĩ: 1188 1416 A. V 60 . B. 30 . C. . D. . 25 25 Câu 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục hồnh và các đường thẳng x 0 , x 1. Khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? 2 2 e2 1 e 1 e 1 e2 A. V . B. V . C. V . D. . 2 2 2 2 Câu 9. Thể tích V của khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường trịn C : x2 y 3 2 1 xung quanh trục hồnh là A. V 6 . B. V 6 3 . C. V 3 2 . D. V 6 2 . Câu 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y tan x , trục hồnh và hai đường thẳng x 0, x a víi a (0; ) . Thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục 2 Ox là A. a tana B. a tana C. ln(cosa) D. ln(cosa) Câu 11. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình trịn C : x 2 2 y 3 2 1 quanh trục Ox . A. V 2 2 (đvtt). B. V 6 2 (đvtt). C. V 2 (đvtt). D. V 6 (đvtt). Dạng 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y f x và y g x quay quanh trục Ox. Câu 12. Cho hình phẳng trong hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành được tính theo cơng thức nào? y f1 x f2 x O a b x b b A. V f 2 x f 2 x dx . B. V f 2 x f 2 x dx . 1 2 1 2 a a b b 2 C. V f 2 x f 2 x dx . D. V f x f x dx . 2 1 1 2 a a Câu 13. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi các đường x 0 , x 1, y 0 và y 2x 1 . Thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo cơng thức? 1 1 1 1 A. V 2x 1dx . B. V 2x 1 dx . C. V 2x 1 dx . D. V 2x 1dx . 0 0 0 0
  4. Câu 14. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi các đường x 0 , x , y 0 và y sin x . Thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo cơng thức A. V sin x dx . B. V sin2 xdx . 0 0 C. V sin x dx . D. V sin2 xdx . 0 0 Câu 15. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y xex , y 0 , x 0 , x 1 xung quanh trục Ox là 1 1 1 1 A. V x2e2xdx . B. V xexdx . C. V x2e2xdx . D. V x2exdx . 0 0 0 0 Câu 16. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x.ln x , trục hồnh và hai đường thẳng x 1; x 2 . Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới H khi nĩ quay quanh trục hồnh cĩ thể tích V được xác định bởi 2 2 A. V x.ln x 2 dx . B. V x.ln x dx . 1 1 2 2 2 C. V x.ln x dx . D. V x.ln x dx . 1 1 Câu 17. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 ; y 0; x 2. Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay H quanh trục Ox . 8 32 8 32 A. V . B. V . C. V . D. 3 5 3 5 Câu 18. Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng H giới hạn bởi y x2 và y x 2 quanh trục Ox là 72 72 81 81 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 10 5 10 5 Câu 19. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ex và các đường thẳng y 0 , x 0 và x 1 được tính bởi cơng thức nào sau đây? 1 1 1 1 2 2 A. V e2x dx . B. V ex dx . C. V ex dx . D. V e2x dx . 0 0 0 0 Câu 20. Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 2 A. x2 2x dx . B. 4x2dx x4dx . 0 0 0 2 2 2 C. 4x2dx x4dx . D. 2x x2 dx . 0 0 0 Câu 21. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x và y x2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể trịn xoay cĩ thể tích bằng 2 4 A. . B. . C. . D. . 6 3 15 15
  5. Câu 22. Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y=0 quanh a trục Ox cĩ kết quả dạng . Khi đĩ a+b cĩ kết quả là: b A. 11 B. 17 C. 31 D. 25 1 x2 Câu 23. Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : y f (x) ; y g(x) .Tính thể tích 1 x2 2 khối trịn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng T m 2 n ;m,n R thì tổng giá trị m n là ? 1 13 2 3 A. B. C. D. 2 20 5 5 Câu 24. Cho hình H giới hạn bởi trục hồnh, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đĩ tại điểm A 2;4 , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi khi hình H quay quanh trục Ox bằng y 4 2 O 1 2 x 16 32 2 22 A. . B. . C. . D. . 15 5 3 5 Câu 25. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường xy 4 , x 0 , y 1 và y 4 . Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục tung. A. V 8π . B. V 16π . C. V 10π . D. V 12π . Câu 26. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 1, x 1. Thể tích vật thể trịn xoay được tạo ra khi cho hình H quay quanh trục hồnh bằng e2 e 2 e2 e 2 e4 e2 e 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 27. Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y 1 x2 , y 0 quanh trục Ox aπ là V với a , b là số nguyên. Khi đĩ a b bằng b A. 11. B. 17 . C. 31. D. 25 . 1 x Câu 28. Gọi (H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y 2x, y , y 0 (phần tơ x đậm màu đen ở hình vẽ bên).
  6. Thể tích của vật thể trịn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hồnh bằng. 5 5 2 A. V 2ln 2 . B. V 2ln 2 . C. V 2ln 2 . D. 3 3 3 2 V 2ln 2 . 3 Câu 29. Tính thể tích của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4, y 2x 4 , x 0 , x 2 quanh trục Ox. 32π 32π 32π 22π A. . B. . C. . D. . 5 7 15 5 1 Câu 30. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các đường thẳng y 0, x 1, x x 4 . Thể tích V của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox . 3 3 A. 2 ln 2 . B. . C. 1. D. 2 ln 2 . 4 4 Câu 31. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y , y 0, x 1, x a , a 1 quay xung quanh trục Ox . x 1 1 1 1 A. V 1 . B. V 1 . C. V 1 . D. V 1 . a a a a Câu 32. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x . Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: 32 64 21 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Câu 33. Tính thể tích V của vật trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 ; y x quanh trục Ox . 9 3 7 A. V . B. V . C. V . D. V . 10 10 10 10 Câu 34. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex 1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y 2 x với x 1. Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh. 2 1 e2 1 5e 3 1 e 1 1 e2 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2e2 6e2 2 e 2 2e2
  7. Dạng 3:Tính thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x g y ; x f y quay xung quanh trục Oy Câu 35. Cho hình H giới hạn bởi các đường y x2 2x , trục hồnh. Quay hình phẳng H quanh trục Ox ta được khối trịn xoay cĩ thể tích là: 496 32 4 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 15 Câu 36. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x 1, trục hồnh và đường thẳng x 4 . Khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? 7 7π2 7π 7π A. V . B. V . C. V . D. V . 6 6 6 3 Câu 37. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ln x 1 , trục hồnh và đường thẳng x e 1. Tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình H quanh trục Ox . A. e 2. B. 2 . C. e. D. e 2 . Câu 38. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y 2x 1 ln x , trục hồnh và đường thẳng x e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hồnh được vật thể trịn xoay cĩ thể tích V được tính theo cơng thức e e 2 A. V 2x 1 ln xdx . B. V 2x 1 2 ln xdx . 1 1 2 e e 2 C. V 2x 1 2 ln xdx . D. V 2x 1 ln xdx . 1 1 2 Câu 39. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y tan x , trục hồnh và các đường π thẳng x 0 , x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối trịn xoay cĩ thể tích bằng 4 π π2 π2 A. 1 . B. π2 . C. π . D. π . 4 4 4 Câu 40. Goi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ex , trục Ox và hai đường thẳng x 0, x 1. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay H xung quanh trụcOx là A. e2 1 . B. e2 1 . C. e2 1 . D. e2 1 . 2 2 Câu 41. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π y tan x , trục hồnh và các đường thẳng x 0 , x quanh trục hồnh là 4 π π ln 2 π2 π A. V . B. V . C. V . D. V . 4 2 4 4 Câu 42. Xét hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số f x asin x bcos x (với a , b là các hằng số thực dương), trục hồnh, trục tung và đường thăng x . Nếu vật thể trịn xoay được tạo 5 2 thành khi quay H quanh trục Ox cĩ thể tích bằng và f 0 2 thì 2a 5b bằng 2 A. 8 . B. 11. C. 9 . D. 10.
  8. Câu 43. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x x2 4x 3, trục hồnh và hai đường thẳng x 1; x 3. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh bằng 16 16 4 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 3 Câu 44. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 1 x 3 thì được thiết diện là hình chữ nhật cĩ hai cạnh là 3x và 3x2 2 . 124 124 A. 32 2 15 . B. . C. . D. 32 2 15 . 3 3 Câu 45. Thể tích khối trịn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y xex , trục hồnh và đường thẳng x 1 là: 1 1 A. e2 1 . B. e2 1 . C. e4 1 . D. e4 1 . 4 4 4 4 Câu 46. Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x x2 và trục hồnh, quanh trục hồnh. 81 85 41 8 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 10 10 7 7 Câu 47. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos x , trục hồnh và các đường thẳng x 0 , x . Khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? 2 A. V 1. B. V 1. C. V 1 . D. V 1 . Câu 48. Thể tích của khối trịn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y xex , trục hồnh và đường thẳng x 1 là: 1 1 A. e2 1 . B. e2 1 . C. e4 1 . D. e4 1 . 4 4 4 4 Câu 49. Thể tích của vật trịn xoay cĩ được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y tan x , trục Ox , đường thẳng x 0 , đường thẳng x quanh trục Ox là 3 2 2 A. V 3 . B. V 3 . C. V 3 . D. V 3 . 3 3 3 3 x Câu 50. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 1, x 4 4 quay quanh trục Ox bằng 15 15 21 21 A. . B. . C. . D. . 16 8 16 16 ln x Câu 51. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường cong y , trục hồnh và đường thẳng x x e . Khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 Câu 52. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x2 4x 6 và y x2 2x 6. A. . B. 1. C. 3 . D. 2 .
  9. Câu 53. Tính thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị P : y 2x x2 và trục Ox bằng 19 13 17 16 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 15 15 15 Câu 54. Cho hình phẳng S giới hạn bởi đường cong cĩ phương trình y 2 x2 và trục Ox , quay S xung quang trục Ox . Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành bằng 8 2 4 2 4 8 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Câu 55. Gọi H là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y 2x2 (với x 0 ), đường thẳng y x 3 và trục hồnh. Thể tích của khối trịn xoay tạo bởi hình H khi quay quanh trục Ox bằng 52 17 51 53 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 5 17 17 Câu 56. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường thẳng y 2x . Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hồnh. 64 16 20 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 3 Câu 57. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y 2 0 ; y x ; y 0 quay quanh trục Ox bằng 5 6 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 5 3 6 Câu 58. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y , y x 2 và x 0 quay quanh trục Ox cĩ giá trị là kết quả nào sau đây? 1 3 32 11 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 15 6 Câu 59. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , cung trịn cĩ phương trình y 6 x2 6 x 6 và trục hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox . y x 6 O 6 22 22 22 A. V 8 6 2 . B. V 8 6 . C. V 8 6 . D. V 4 6 3 3 3 . Câu 60. Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0, y x , y x 2 . 8 16 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 3 3 Câu 61. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường trịn x2 y2 2 (phần tơ đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh.
  10. y x O 44 22 5 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 15 3 5 Câu 62. Cho nửa đường trịn đường kính AB 4 5. Trên đĩ người ta vẽ một parabol cĩ đỉnh trùng với tâm của nửa hình trịn, trục đối xứng là đường kính vuơng gĩc với AB . Parabol cắt nửa đường trịn tại hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai điểm đĩ đến AB bằng nhau và bằng 4 cm . Sau đĩ người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường trịn và parabol (phần tơ màu trong hình vẽ). Đem phần cịn lại quay xung quanh trục AB . Thể tích của khối trịn xoay thu được bằng: A. V 800 5 464 cm3 . B. V 800 5 928 cm3 . 15 3 C. V 800 5 928 cm3 . D. V 800 5 928 cm3 . 5 15 Câu 63. Cho hai đường trịn O1;10 và O2;8 cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường trịn O2 . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đường trịn ( phần được tơ màu như hình vẽ). Quay H quanh trục O1O2 ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành. A O2 O1 C B 824 608 97 145 A. . B. . C. . D. 3 3 3 3 x2 Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y , 1 4 x2 y , x 4, x 4 và hình H là hình gồm các điểm x; y thỏa: x2 y2 16 , 4 2 2 2 x2 y 2 4 , x2 y 2 4.
  11. Cho H1 và H2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể cĩ thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 A. V V . B. V V . C. V 2V . D. V V 1 2 1 2 2 1 2 1 3 2 Câu 65. Cho hai đường trịn O1;5 và O2 ;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của đường trịn O2 ;3 . Gọi D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay D quanh trục O1O2 ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo thành. A D C O1 O2 B 68 14 40 A. V 36 . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Câu 66. Cho hai mặt cầu S1 , S2 cĩ cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. V R3 . B. V . C. V . D. V . 2 12 5 THỂ TÍCH TÍNH THEO MẶT CẮT S(X) Câu 67. Trong khơng gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng P , Q vuơng gĩc với trục Ox lần lượt tại x a , x b a b . Một mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với Ox tại điểm cĩ hồnh độ x , a x b cắt vật thể theo thiết diện cĩ diện tích là S x với y S x là hàm số liên tục trên a;b . Thể tích V của thể tích đĩ được tính theo cơng thức z S(x) y O a x b x
  12. b b b b A. .V S 2B. x . dx C. . V D. π . S 2 x dx V π S x dx V S x dx a a a a Câu 68. Cho phần vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng cĩ phương trình x 0 và x 2 . Cắt phần vật thể  bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 0 x 2 , ta được thiết diện là một tam giác đều cĩ độ dài cạnh bằng x 2 x . Tính thể tích V của phần vật thể  . 4 3 A. V . B. V . C. V 4 3. D. V 3. 3 3 Câu 69. Cho vật thể cĩ mặt đáy là hình trịn cĩ bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 1 x 1 thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đĩ. 4 3 A. V 3 . B. V 3 3 . C. V . D. V . 3 Câu 70. Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng cĩ phương trình x 0 và x . Cắt phần 3 vật thể B bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 0 x ta được thiết 3 diện là một tam giác vuơng cĩ độ dài hai cạnh gĩc vuơng lần lượt là 2x và cos x . Thể tích vật thể B bằng 3 3 3 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 6 Câu 71. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 0 x là một tam giác đều cạnh 2 sin x . A. V 3. B. V 3 . C. V 2 3 . D. V 2 3 .
  13. HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi miền D giới hạn bởi y f x ; y 0 và x a, x b khi quay quanh trục Ox. Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hồnh và hai đường thẳng x a , x b a b . Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh được tính theo cơng thức. b b b b A. V f 2 x dx . B. V 2 f 2 x dx . C. V 2 f 2 x dx . D. V 2 f x dx a a a a . Hướng dẫn giải Chọn A Theo cơng thức tính thể tích vật trịn xoay khi quay hình H quanh trục hồnh ta cĩ b V f 2 x dx . a Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục và cĩ đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối trịn xoay cĩ thể tích V được xác định theo cơng thức y 3 O 1 3 x 3 3 2 1 2 A. V f x dx . B. V f x dx . 1 3 1 3 3 2 2 2 C. V f x dx . D. V f x dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox tại hai điểm cĩ hồnh độ lần lượt là x 1, x 3 nên thể tích 3 2 khối trịn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính theo cơng thức V f x dx 1 Câu 3. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 3x 2 , trục hồnh và hai đường thẳng x 1, x 2 . Quay H xung quanh trục hồnh được khối trịn xoay cĩ thể tích là 2 2 2 A. V x2 3x 2 dx . B. V x2 3x 2 dx . 1 1 2 2 2 C. V x2 3x 2 dx . D. V x2 3x 2 dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 4. Cho hàm số y x cĩ đồ thị C . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi C , trục hồnh và hai đường thẳng x 2 , x 3. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh được tính bởi cơng thức:
  14. 2 3 3 3 A. V 2xdx . B. V 3 xdx . C. V 2xdx . D. V 2 xdx . 3 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh được tính bởi cơng thức: 3 3 2 V x dx 2xdx . 2 2 Câu 5. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , trục Ox và hai đường thẳng x 1; x 4 khi quay quanh trục hồnh được tính bởi cơng thức nào? 4 4 4 4 A. V xdx . B. V x dx . C. V 2 xdx . D. V xdx . 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích khối trịn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y f x , trục Ox , x a và x b được tính b 2 bởi cơng thức V f x dx . a Câu 6. [2D3-2]Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x2 2x , trục hồnh, trục tung, đường thẳng x 1. Tính thể tích V hình trịn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox. 8 4 15 7 A. V B. V C. V D. V 15 3 8 8 - Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a, x b a b quay xung quanh trục Ox là b V f 2 x dx a - Cách giải: Áp dụng cơng thức ta cĩ 1 1 1 5 3 2 2 4 3 2 x 4 x  V x 2x dx x 4x 4x dx x 4 5 3 15 0 0 0 x2 y2 Câu 7. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip E cĩ phương trình 1. Hình phẳng H giới 25 9 hạn bởi nửa elip nằm trên trục hồnh và trục hồnh. Quay hình H xung quanh trục Ox ta được khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đĩ: 1188 1416 A. V 60 . B. 30 . C. . D. . 25 25 Hướng dẫn giải Chọn D y2 x2 x2 Ta cĩ 1 y 9 1 với 5 x 5 . 9 25 25 5 9x2 Gọi V là thể tích cần tìm, ta cĩ: V 9 dx 60 . 5 25 Câu 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục hồnh và các đường thẳng x 0 , x 1. Khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? 2 2 e2 1 e 1 e 1 e2 A. V . B. V . C. V . D. . 2 2 2 2
  15. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 2x e2 1 x 2 e Thể tích khối trịn xoay cần tính là V e dx . 2 2 0 0 Câu 9. Thể tích V của khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường trịn C : x2 y 3 2 1 xung quanh trục hồnh là A. V 6 . B. V 6 3 . C. V 3 2 . D. V 6 2 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 C : x2 y 3 1 y 3 1 x2 y 3 1 x2 . y 3 2 1 x2 0 1 x 1. Thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường trịn C : x2 y 3 2 1 xung quanh trục hồnh là 1 2 1 2 V 3 1 x2 dx 3 1 x2 dx 6 2 . 1 1 Câu 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y tan x , trục hồnh và hai đường thẳng x 0, x a víi a (0; ) . Thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục 2 Ox là A. a tana B. a tana C. ln(cosa) D. ln(cosa) Hướng dẫn giải Chọn A Câu 11. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình trịn C : x 2 2 y 3 2 1 quanh trục Ox . A. V 2 2 (đvtt). B. V 6 2 (đvtt). C. V 2 (đvtt). D. V 6 (đvtt). Hướng dẫn giải Chọn D 2 Tịnh tiến C theo v 2;0 ta được hình trịn C :x2 y 3 1. Xét x2 y 3 2 1 y 3 1 x2 . Khi đĩ thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quanh C quanh trục Ox là: 1 2 2 1 2 2 2 V 3 1 x 3 1 x dx 4 1 x dx . 1 1 Đặt x sin t dx costdt . Đổi cận x 1 t , x 1 t . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 V 12 1 sin t costdt 12 cos tdt 12 cos 2t dt 2 2 2 2 2 1 1 2 12 . t sin 2t 6 . 2 4 2
  16. Dạng 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y f x và y g x quay quanh trục Ox. Câu 12. Cho hình phẳng trong hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành được tính theo cơng thức nào? y f1 x f2 x O a b x b b A. V f 2 x f 2 x dx . B. V f 2 x f 2 x dx . 1 2 1 2 a a b b 2 C. V f 2 x f 2 x dx . D. V f x f x dx . 2 1 1 2 a a Hướng dẫn giải Chọn B Do f1 x f2 x x a;b nên Chọn B . Câu 13. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi các đường x 0 , x 1, y 0 và y 2x 1 . Thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo cơng thức? 1 1 1 1 A. V 2x 1dx . B. V 2x 1 dx . C. V 2x 1 dx . D. V 2x 1dx . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 2 Ta cĩ V 2x 1 dx 2x 1 dx . 0 0 Câu 14. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi các đường x 0 , x , y 0 và y sin x . Thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox được tính theo cơng thức A. V sin x dx . B. V sin2 xdx . 0 0 C. V sin x dx . D. V sin2 xdx . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B Ta cĩ thể tích của khối trịn xoay cần tính là V sin2 xdx . 0 Câu 15. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y xex , y 0, x 0 , x 1 xung quanh trục Ox là 1 1 1 1 A. V x2e2xdx . B. V xexdx . C. V x2e2xdx . D. V x2exdx . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn C
  17. Thể tích khối trịn xoay giới hạn bởi y f x , y 0, x a , x b ( a b ) xác định bởi: b V f 2 x dx . a 1 Vậy, V x2e2xdx . 0 Câu 16. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x.ln x , trục hồnh và hai đường thẳng x 1; x 2 . Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới H khi nĩ quay quanh trục hồnh cĩ thể tích V được xác định bởi 2 2 A. V x.ln x 2 dx . B. V x.ln x dx . 1 1 2 2 2 C. V x.ln x dx . D. V x.ln x dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A y x.ln x Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới H : y 0 khi nĩ quay quanh trục hồnh cĩ thể tích V x 1; x 2 2 2 được xác định bởi V x.ln x dx . 1 Câu 17. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 ; y 0; x 2. Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay H quanh trục Ox . 8 32 8 32 A. V . B. V . C. V . D. 3 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn D Vẽ phác họa hình thấy ngay miền cần tính 2 2 32 V x4dx x5 . 0 5 0 5 Câu 18. Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng H giới hạn bởi y x2 và y x 2 quanh trục Ox là 72 72 81 81 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 10 5 10 5 Hướng dẫn giải Chọn B
  18. 2 x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm x x 2 . x 2 2 2 72 Thể tích cần tìm là V x4 x 2 dx . 1 5 Câu 19. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ex và các đường thẳng y 0 , x 0 và x 1 được tính bởi cơng thức nào sau đây? 1 1 1 1 2 2 A. V e2x dx . B. V ex dx . C. V ex dx . D. V e2x dx . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 2 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: V π ex dx π e2xdx . 0 0 Câu 20. Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 2 A. x2 2x dx . B. 4x2dx x4dx . 0 0 0 2 2 2 C. 4x2dx x4dx . D. 2x x2 dx . 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm: x 2x 0 . x 2 2 2 Vậy thể tích khối trịn xoay được tính: V x2 2x dx . 0 Câu 21. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x và y x2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể trịn xoay cĩ thể tích bằng 2 4 A. . B. . C. . D. . 6 3 15 15 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 0 y 0 Phương trình hồnh độ giao điểm x x . x 1 y 1 Ta cĩ đồ thị hai hàm số y x và y x2 đều đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x và y x2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể trịn xoay cĩ thể tích bằng thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường x y và x y quay xung quanh trục Oy .
  19. Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là: 1 1 1 2 2 1 2 1 3 V y y dy y y dy . y y . 0 0 2 3 0 6 Câu 22. Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y=0 quanh a trục Ox cĩ kết quả dạng . Khi đĩ a+b cĩ kết quả là: b A. 11 B. 17 C. 31 D. 25 Hướng dẫn giải Chọn C 1 16 (1 x2 )2 dx 1 15 Nên a= 16, b= 15, a+b=31 1 x2 Câu 23. Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : y f (x) ; y g(x) .Tính thể tích 1 x2 2 khối trịn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng T m 2 n ;m,n R thì tổng giá trị m n là ? 1 13 2 3 A. B. C. D. 2 20 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B 1 x2 x 1 Xét phương trình 2 1 x 2 x 1 1 Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo cơng thức: V f 2 (x) g 2 (x)dx 1 2 1 1 1 x4 1 1 1 x4 1 1 x5 1 1 1 V 2 dx 2 dx dx 2 dx 2 dx 1 x 4 2 4 2 20 2 10 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 V I với I dx 10 2 2 1 1 x 1 2 Tính I: Đặt x tan t,t ; dx 2 dt (1 tan t)dt 2 2 cos t Ta cĩ thể viết I lại dưới dạng 4 1 tan2 t 4 1 4 I dt cos2 tdt (1 cos 2t)dt 2 2 2 1 tan t 4 4 4 1 1 1 2 2 I V 4 2 4 2 10 4 5 Nhận xét: Đây là một bài tốn khá khĩ, địi hỏi thí sinh phải biết đúng cơng thức và việc xử lí tích phân khéo léo.
  20. Câu 24. Cho hình H giới hạn bởi trục hồnh, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đĩ tại điểm A 2;4 , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi khi hình H quay quanh trục Ox bằng y 4 2 O 1 2 x 16 32 2 22 A. . B. . C. . D. . 15 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A Parabol cĩ đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A 2;4 nên cĩ phương trình y x2 . Tiếp tuyến của Parabol đĩ tại A 2;4 cĩ phương trình là y 4 x 2 4 4x 4 . 2 2 2 Suy ra thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là V x2 dx 4x 4 2 dx . 0 1 2 2 5 2 2 2 3 2 2 x 32 2 2 x 2 16 x dx ; 4x 4 dx 16 x 2x 1 dx 16 x x . 5 5 3 3 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 32 16 16 Vậy V x dx 4x 4 dx . 0 1 5 3 15 Câu 25. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường xy 4 , x 0 , y 1 và y 4 . Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục tung. A. V 8π . B. V 16π . C. V 10π . D. V 12π . Hướng dẫn giải Chọn D Ta cĩ thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục tung là 2 4 4 4 4 16 16 V π dy π 2 dy π 12π . y y y 1 1 1 Câu 26. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 1, x 1. Thể tích vật thể trịn xoay được tạo ra khi cho hình H quay quanh trục hồnh bằng e2 e 2 e2 e 2 e4 e2 e 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 2 2 1 e e Thể tích vật thể cần tính là V e2xdx d e2x e2x . 1 1 2 1 2 2
  21. Câu 27. Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y 1 x2 , y 0 quanh trục Ox aπ là V với a , b là số nguyên. Khi đĩ a b bằng b A. 11. B. 17 . C. 31. D. 25 . Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm 1 x2 0 x 1. 1 2 16π Ta cĩ V π 1 x2 dx a 16 , b 15 . 1 15 Vậy a b 31. 1 x Câu 28. Gọi (H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y 2x, y , y 0 (phần tơ x đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể trịn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hồnh bằng. 5 5 2 A. V 2ln 2 . B. V 2ln 2 . C. V 2ln 2 . D. 3 3 3 2 V 2ln 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm của y 2x và y là: x x 0 1 x x 0 1 1 2x x x . x 2x2 x 1 0 2 2 x 1 x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm của y 2x và y 0 là: 2x 0 x 0 . 2 2x x 1 0 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm của y 0 và y là: x 1 x x 0 x 0 0 x 1. x 1 x 0 x 1 1 1 2 2 2 1 1 x 4x3 2 1 1 1 1 1 2 V 4x2dx dx . 1 dx 1 dx 2 0 1 x 3 0 1 x 6 1 x x 2 2 2 Câu 29. Tính thể tích của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4, y 2x 4 , x 0 , x 2 quanh trục Ox.
  22. 32π 32π 32π 22π A. . B. . C. . D. . 5 7 15 5 Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2 256 2 32 Ta cĩ V π x2 4 dx π , V π 2x 4 dx π . 1 2 0 15 0 3 32π Vậy thể tích cần tìm V V V . 1 2 5 1 Câu 30. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các đường thẳng y 0, x 1, x x 4 . Thể tích V của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox . 3 3 A. 2 ln 2 . B. . C. 1. D. 2 ln 2 . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích V của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là 4 2 4 1 1 1 3 V dx 1 . 1 x x 1 4 4 Câu 31. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y , y 0, x 1, x a , a 1 quay xung quanh trục Ox . x 1 1 1 1 A. V 1 . B. V 1 . C. V 1 . D. V 1 . a a a a Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích V của vật thể trịn xoay cần tìm là 2 a a 1 1 1 1 V dx 1 V 1 . 1 x x 1 a a Câu 32. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x . Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: 32 64 21 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải Chọn B
  23. 2 x 0 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x 2x 0 . x 2 y x2 y 2x Khi quay H xung quanh trục Ox ta được khối trịn xoay giới hạn bởi . x 0 x 2 2 2 2 64 Do đĩ thể tích của khối trịn xoay là: V x2 2x dx . 0 15 Câu 33. Tính thể tích V của vật trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 ; y x quanh trục Ox . 9 3 7 A. V . B. V . C. V . D. V . 10 10 10 10 Hướng dẫn giải Chọn B y y x2 y x 1 O 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm x2 x x4 x 0 x x 1 x2 x 1 0 x 0 hoặc x 1 Khi đĩ: 1 1 2 2 3 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình H là V x dx x2 dx 0 0 10 Câu 34. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex 1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y 2 x với x 1. Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh. 2 1 e2 1 5e 3 1 e 1 1 e2 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2e2 6e2 2 e 2 2e2 Lời giải Chọn B
  24. Phương trình hồnh độ giao điểm của đường cong y ex 1 và đường thẳng y 2 x : ex 1 2 x x 1. (Vì y ex 1 là hàm đồng biến và y 2 x là hàm nghịch biến trên tập xác định ¡ nên phương trình cĩ tối đa 1 nghiệm. Mặt khác x 1 thỏa mãn pt nên đĩ là nghiệm duy nhất của pt đĩ). Đường thẳng y 2 x cắt trục hồnh tại x 2 . 2 1 2 3 5e2 1 x 1 2 2 2x 2 1 x V e dx 2 x dx e 2x 4 2 0 3 6e 0 1 1
  25. Dạng 3:Tính thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x g y ; x f y quay xung quanh trục Oy Câu 35. Cho hình H giới hạn bởi các đường y x2 2x , trục hồnh. Quay hình phẳng H quanh trục Ox ta được khối trịn xoay cĩ thể tích là: 496 32 4 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 15 Hướng dẫn giải Chọn D 2 x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm của H và trục hồnh x 2x 0 . x 2 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là 2 2 2 5 2 2 4 3 2 x 4 4 3 16 V x 2x dx x 4x 4x dx x x . 5 3 15 0 0 0 Câu 36. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x 1, trục hồnh và đường thẳng x 4 . Khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? 7 7π2 7π 7π A. V . B. V . C. V . D. V . 6 6 6 3 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm x 1 0 x 1. 4 4 2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành V π x 1 dx π x 2 x 1 dx 1 1 4 x2 4 7π π x x x . 2 3 6 1 Câu 37. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ln x 1 , trục hồnh và đường thẳng x e 1. Tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình H quanh trục Ox . A. e 2. B. 2 . C. e. D. e 2 . Hướng dẫn giải Chọn D e 1 e Thể tích khối trịn xoay H là: V ln2 x 1 dx ln2 xdx 0 1 2ln x u ln2 x du dx Đặt x dv dx v x e 1 2 e u ln x du dx Ta cĩ V x ln x 2 ln xdx . Đặt x 1 1 dv dx v x e 2 e e e e e Suy ra V x ln x 2x ln x 2 dx x ln2 x 2x ln x 2x e 2 . 1 1 1 1 1 1 Câu 38. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y 2x 1 ln x , trục hồnh và đường thẳng x e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hồnh được vật thể trịn xoay cĩ thể tích V được tính theo cơng thức
  26. e e 2 A. V 2x 1 ln xdx . B. V 2x 1 2 ln xdx . 1 1 2 e e 2 C. V 2x 1 2 ln xdx . D. V 2x 1 ln xdx . 1 1 2 Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số y 2x 1 ln x cĩ tập xác định là D 1; . 1 x (loại) Phương trình hồnh độ giao điểm là 2x 1 ln x 0 2 . x 1 e 2 Thể tích vật thể trịn xoay là: V 2x 1 ln xdx . 1 Câu 39. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y tan x , trục hồnh và các đường π thẳng x 0 , x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối trịn xoay cĩ thể tích bằng 4 π π2 π2 A. 1 . B. π2 . C. π . D. π . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C π π 4 4 1 π π2 Thể tích của H là : V π tan2 xdx π 1 dx π tan x x 4 π . 2 0 0 0 cos x 4 Câu 40. Goi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ex , trục Ox và hai đường thẳng x 0, x 1. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay H xung quanh trụcOx là A. e2 1 . B. e2 1 . C. e2 1 . D. e2 1 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Thể tích khối trịn xoay V e2xdx e2x e2 1 . 0 2 0 2 Câu 41. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π y tan x , trục hồnh và các đường thẳng x 0 , x quanh trục hồnh là 4 π π ln 2 π2 π A. V . B. V . C. V . D. V . 4 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B π π 4 4 sin x π π ln 2 Thể tích khối trịn xoay cần tính là V π tan xdx π dx π ln cos x 4 . 0 0 0 cos x 2 Câu 42. Xét hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số f x asin x bcos x (với a , b là các hằng số thực dương), trục hồnh, trục tung và đường thăng x . Nếu vật thể trịn xoay được tạo 5 2 thành khi quay H quanh trục Ox cĩ thể tích bằng và f 0 2 thì 2a 5b bằng 2
  27. A. 8 . B. 11. C. 9 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn C Ta cĩ thể tích của vật thể là V asin x bcos x 2 dx a2 sin2 x b2 cos2 x 2absin x cos x dx 0 0 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x 2 x sin 2x 2 x sin 2x ab a b absin 2x dx a b cos 2x 0 2 2 2 4 2 4 2 0 a2 b2 . 2 Theo giả thiết ta cĩ a2 b2 5 1 . Ta cĩ f x a cos x bsin x f 0 a . Theo giả thiết ta cĩ a 2 và b 1. Ta được 2a 5b 9 . Câu 43. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x x2 4x 3, trục hồnh và hai đường thẳng x 1; x 3. Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh bằng 16 16 4 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A * Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh là: 3 3 2 2 4 3 2 16 V x 4x 3 dx x 5x 19x 12x 9 dx (đvtt). 1 1 15 Câu 44. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 1 x 3 thì được thiết diện là hình chữ nhật cĩ hai cạnh là 3x và 3x2 2 . 124 124 A. 32 2 15 . B. . C. . D. 32 2 15 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C 5 3 5 t3 124 Thể tích vật thể cần tìm là V 3x 3x2 2dx t.tdt . 1 1 3 1 3 Câu 45. Thể tích khối trịn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y xex , trục hồnh và đường thẳng x 1 là: 1 1 A. e2 1 . B. e2 1 . C. e4 1 . D. e4 1 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y xex và trục hồnh: xex 0 x 0 . du dx 1 u x Khi đĩ V xe2xdx . Đặt . 2x 1 2x 0 dv e dx v e 2 1 1 1 1 1 2 1 2x 1 1 2 1 2 1 Khi đĩ: V xe2x e2xdx e e e e e2 1 . 2 2 2 4 0 2 4 4 4 0 0
  28. 1 1 1 1 3 5 2ln x x 2ln 2 2ln 2 . 6 x 1 6 2 3 2 Câu 46. Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x x2 và trục hồnh, quanh trục hồnh. 81 85 41 8 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 10 10 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 0 Ta cĩ 3x x 0 . x 3 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: 3 3 3 4 5 2 2 2 3 4 3 3x x 81 V 3x x dx 9x 6x x dx 3x (đvtt). 2 5 10 0 0 0 Câu 47. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos x , trục hồnh và các đường thẳng x 0 , x . Khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? 2 A. V 1. B. V 1. C. V 1 . D. V 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Thể tích khối trịn xoay khi quay D quanh trục hồnh cĩ thể tích là: 2 2 V y2dx 2 cos x dx 2x sin x 2 1 . 0 0 0 Câu 48. Thể tích của khối trịn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y xex , trục hồnh và đường thẳng x 1 là: 1 1 A. e2 1 . B. e2 1 . C. e4 1 . D. e4 1 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm xex 0 x 0 . Thể tích khối trịn xoay thu được là: 1 1 1 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 2 V xe dx xe dx xe e e 1 . 0 0 2 4 0 4 Câu 49. Thể tích của vật trịn xoay cĩ được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y tan x , trục Ox , đường thẳng x 0 , đường thẳng x quanh trục Ox là 3 2 2 A. V 3 . B. V 3 . C. V 3 . D. V 3 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Thể tích của vật trịn xoay là 3 3 1 2 V tan2 xdx 1 dx tan x x 3 tan 3 . 2 0 0 0 cos x 3 3 3
  29. x Câu 50. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 1, x 4 4 quay quanh trục Ox bằng 15 15 21 21 A. . B. . C. . D. . 16 8 16 16 Hướng dẫn giải Chọn D 4 4 x2 x3 21 V dx . 1 16 48 1 16 ln x Câu 51. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường cong y , trục hồnh và đường thẳng x x e . Khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh cĩ thể tích V bằng bao nhiêu? A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 Hướng dẫn giải Chọn B ln x ln x Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y và trục hồnh là 0 x 1 x x Khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh cĩ thể tích 2 e e ln x ln3 x V dx . 3 3 1 x 1 Câu 52. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x2 4x 6 và y x2 2x 6. A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 x 0 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x 4x 6 x 2x 6 2x 2x 0 . x 1 Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là 1 1 2 2 V x2 4x 6 x2 2x 6 dx 12x3 36x2 24x dx 0 0 1 1 12x3 36x2 24x dx 3x3 12x3 12x2 3 . 0 0 Câu 53. Tính thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị P : y 2x x2 và trục Ox bằng 19 13 17 16 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải Chọn D 2 x 0 Xét phương trình 2x x 0 x 2 Vì 2x x2 0x 0;2 nên thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng 2 2 16 D giới hạn bởi đồ thị P : y 2x x2 và trục Ox là V 2x x2 dx . 0 15 Vậy a b 1.
  30. Câu 54. Cho hình phẳng S giới hạn bởi đường cong cĩ phương trình y 2 x2 và trục Ox , quay S xung quang trục Ox . Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành bằng 8 2 4 2 4 8 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm của đường cong và trục Ox : x 2 2 x2 0 2 x2 0 . x 2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành là 2 2 2 2 3 2 2 x 8 2 V 2 x dx 2 x dx 2x . 3 3 2 2 2 Câu 55. Gọi H là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y 2x2 (với x 0 ), đường thẳng y x 3 và trục hồnh. Thể tích của khối trịn xoay tạo bởi hình H khi quay quanh trục Ox bằng 52 17 51 53 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 5 17 17 Hướng dẫn giải Chọn A y x O 1 3 x 1 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x x 3 3 x 2 3 1 2 52 Thể tích khối trịn xoay tạo bởi H :V x 3 dx 4x4dx . 1 0 15 Câu 56. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường thẳng y 2x . Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hồnh. 64 16 20 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm của paraboly y x2 và đường thẳng y 2x ta cĩ 2 2 x 0 x 2x x 2x 0 . x 2 Do x2 2x 0 với 0 x 2 nên 2x x2 0 với 0 x 2 . Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hồnh thì 2 2 5 2 2 2 4 3 x 64 V 2x x dx x . 3 5 15 0 0
  31. Câu 57. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y 2 0 ; y x ; y 0 quay quanh trục Ox bằng 5 6 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 5 3 6 Hướng dẫn giải Chọn D Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau: Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ; y 0; x 0 ; x 1. 1 x2 1 Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối trịn xoay cĩ thể tích V x dx . . 1 0 2 0 2 Phần 2 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x ; y 0; x 1; x 2 . Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối trịn xoay cĩ thể tích 3 2 2 2 x 2 V 2 x dx . . 2 1 3 1 3 5 Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là V V V . 1 2 6 Câu 58. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y , y x 2 và x 0 quay quanh trục Ox cĩ giá trị là kết quả nào sau đây? 1 3 32 11 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 15 6 Hướng dẫn giải Chọn C x y y x2 x 0 Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x 2 y x 2 x 0 x 0 x 1 nhận Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 x 2 x2 x 2 0 x 2 loại Thể tích vật trịn xoay sinh ra khi hình H quay quanh trục Ox là: 1 1 2 2 32 V x 2 x2 dx x2 4x 4 x4 dx (đvtt) 0 0 15 Câu 59. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , cung trịn cĩ phương trình y 6 x2 6 x 6 và trục hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox . y x 6 O 6 22 22 22 A. V 8 6 2 . B. V 8 6 . C. V 8 6 . D. V 4 6 3 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. Cung trịn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu cĩ thể tích
  32. 4 3 V 6 8 6 . 3 Thể tích nửa khối cầu là V1 4 6 . x 0 Xét phương trình: x 6 x2 x 2. 2 x x 6 0 Thể tích khối trịn xoay cĩ được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x , cung trịn cĩ phương trình y 6 x2 , và hai đường thẳng x 0, x 2 quanh Ox là 2 22 V 6 x2 x dx . 2 0 3 22 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là V V V 4 6 . 1 2 3 Cách 2. Cung trịn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu cĩ thể tích 4 3 V 6 8 6 . 1 3 x 0 Xét phương trình: x 6 x2 x 2. 2 x x 6 0 Thể tích khối trịn xoay cĩ được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x , 2 6 cung trịn cĩ phương trình y 6 x2 và đường thẳng y 0 quanh Ox là V xdx 6 x2 dx 2 0 2 12 6 28 22 2 4 6 . 3 3 22 22 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là V V1 V2 8 6 4 6 4 6 . 3 3 Câu 60. Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0, y x , y x 2 . 8 16 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 0 x x 0 Ta cĩ: 0 x 2 x 2 x x 2 x 4 Dựa vào hồnh độ giao điểm của ba đường ta cĩ diện tích hình phẳng gồm hai phần. Phần thứ nhất giới hạn bởi y x , y 0 và x 0; x 2. Phần thứ hai giới hạn bởi y x , y x 2 và x 2; x 4 . Thể tích vật thể bằng: 2 4 2 4 2 2 V x dx x 2 2 x dx xdx x x 2 2 dx 0 2 0 2 4 2 3 x2 x2 x 2 16 . 2 0 2 3 3 2 Câu 61. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường trịn x2 y2 2 (phần tơ đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hồnh.
  33. y x O 44 22 5 A. V . B. V . C. V . D. V . 15 15 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A x2 1 x 1 Với y x2 thay vào phương trình đường trịn ta được x2 x4 2 . 2 x 2 x 1 y 2 x2 Hơn nữa x2 y2 2 . 2 y 2 x y 2 x2 x 1 Thể tích cần tìm chính là thể tích vật thể trịn xoay H1 : quay quanh Ox bỏ đi phần x 1 Ox y x2 x 1 thể tích H2 : quay quanh Ox . x 1 Ox 1 2 1 2 2 2 44 Do đĩ V 2 x dx x dx . 1 1 15 Câu 62. Cho nửa đường trịn đường kính AB 4 5. Trên đĩ người ta vẽ một parabol cĩ đỉnh trùng với tâm của nửa hình trịn, trục đối xứng là đường kính vuơng gĩc với AB . Parabol cắt nửa đường trịn tại hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai điểm đĩ đến AB bằng nhau và bằng 4 cm . Sau đĩ người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường trịn và parabol (phần tơ màu trong hình vẽ). Đem phần cịn lại quay xung quanh trục AB . Thể tích của khối trịn xoay thu được bằng: A. V 800 5 464 cm3 . B. V 800 5 928 cm3 . 15 3 C. V 800 5 928 cm3 . D. V 800 5 928 cm3 . 5 15 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
  34. y 1 x A O B Theo đề bài ta cĩ phương trình đường trịn là y 20 x2 và phương trình của parabol là y x2 . Phương trình hồnh độ giao điểm là 20 x2 x2 x4 x2 20 0 x 2 . Do tính chất đối xứng của hình vẽ nên ta cĩ thể tích vật thể trịn xoay được tính theo cơng thức 2 5 2 2 1 V 2 20 x dx 20 x2 x4 dx 800 5 928 . 15 0 0 Câu 63. Cho hai đường trịn O1;10 và O2;8 cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường trịn O2 . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đường trịn ( phần được tơ màu như hình vẽ). Quay H quanh trục O1O2 ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành. A O2 O1 C B 824 608 97 145 A. . B. . C. . D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ 2 2 Ta cĩ O1O2 O1A O2 A 6 . Ta cĩ O2 0;0 ,O1 6;0 . 2 2 2 Đường trịn O2;8 cĩ phương trình là: x y 64 y 64 x .
  35. 2 2 2 Đường trịn O1;10 cĩ phương trình là: x 6 y 100 y 100 x 6 . 8 4 2 608 Thể tích cần tìm V 64 x2 dx 100 x 6 dx . 0 0 3 x2 Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y , 1 4 x2 y , x 4, x 4 và hình H là hình gồm các điểm x; y thỏa: x2 y2 16 , 4 2 2 2 x2 y 2 4 , x2 y 2 4. Cho H1 và H2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể cĩ thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 A. V V . B. V V . C. V 2V . D. V V 1 2 1 2 2 1 2 1 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A • Thể tích khối trụ bán kính r 4 , chiều cao h 8 là: V r 2h .42.8 128 . x2 • Thể tích giới hạn bởi Parabol y , trục tung, đường thẳng y 4 quay quanh Oy là: 4 4 4 V π x2dy π 4ydy 32π. P 0 0 Suy ra thể tích H1 là: V1 V 2.V P 128π 2.32π 64π . 4 256 • Thể tích khối cầu bán kính R 4 : V πR3 π . L 3 3 4 32 • Thể tích khối cầu bán kính r 2 : V π23 π N 3 3 256π 2.32π Suy ra thể tích H là: V V 2.V 64π . 2 2 L N 3 3 Vậy r 2 : V1 V2 . Câu 65. Cho hai đường trịn O1;5 và O2 ;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của đường trịn O2 ;3 . Gọi D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay D quanh trục O1O2 ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo thành.
  36. A D C O1 O2 B 68 14 40 A. V 36 . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  O , O2C  Ox , O2 A  Oy . 2 2 2 2 2 2 Cạnh O1O2 O1 A O2 A 5 3 4 O1 : x 4 y 25. 2 2 Phương trình đường trịn O2 : x y 9 . 2 Kí hiệu H1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 25 x 4 , trục Ox , x 0 , x 1. 2 Kí hiệu H2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 9 x , trục Ox , x 0 , x 3. Khi đĩ thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối trịn xoay thu được khi quay hình H2 xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V1 của khối trịn xoay thu được khi quay hình H1 xung quanh trục Ox. 1 4 2 Ta cĩ V . r3 .33 18 . 2 2 3 3 1 1 3 1 2 x 4 14 Lại cĩ V y2dx 25 x 4 dx 25x . 1 3 3 0 0 0 14 40 Do đĩ V V V 18 . 2 1 3 3 Câu 66. Cho hai mặt cầu S1 , S2 cĩ cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. V R3 . B. V . C. V . D. V . 2 12 5 Hướng dẫn giải Chọn C y 2 2 2 Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ (C) : x y R Khối cầu S O, R chứa một đường trịn lớn là 2 2 2 C : x y R O R R x 2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là R R 3 3 2 2 2 x 5 R V 2 R x dx 2 R x . R 3 R 12 2 2
  37. THỂ TÍCH TÍNH THEO MẶT CẮT S(X) Câu 67. Trong khơng gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng P , Q vuơng gĩc với trục Ox lần lượt tại x a , x b a b . Một mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với Ox tại điểm cĩ hồnh độ x , a x b cắt vật thể theo thiết diện cĩ diện tích là S x với y S x là hàm số liên tục trên a;b . Thể tích V của thể tích đĩ được tính theo cơng thức z S(x) y O a x b x b b b b A. .V S 2B. x . dx C. . V D. π S 2 x dx V π S x dx V S x dx . a a a a Câu 68. Cho phần vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng cĩ phương trình x 0 và x 2 . Cắt phần vật thể  bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 0 x 2 , ta được thiết diện là một tam giác đều cĩ độ dài cạnh bằng x 2 x . Tính thể tích V của phần vật thể  . 4 3 A. V . B. V . C. V 4 3. D. V 3. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B x2 2 x 3 Diện tích thiết diện: S . 4 2 2 2 2 2 x 2 x 3 3 2 3 2 3 2 3 1 4 3 V dx x 2 x dx x 2 x dx x x . 4 4 4 4 3 4 3 0 0 0 0 Câu 69. Cho vật thể cĩ mặt đáy là hình trịn cĩ bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 1 x 1 thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đĩ. 4 3 A. V 3 . B. V 3 3 . C. V . D. V . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Tại vị trí cĩ hồnh độ x 1 x 1 thì tam giác thiết diện cĩ cạnh là 2 1 x2 .
  38. 2 3 Do đĩ tam giác thiết diện cĩ diện tích S x 2 1 x2 3 1 x2 . 4 1 4 3 Vậy thể tích V của vật thể là 3 1 x2 dx . 1 3 Câu 70. Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng cĩ phương trình x 0 và x . Cắt phần 3 vật thể B bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 0 x ta được thiết 3 diện là một tam giác vuơng cĩ độ dài hai cạnh gĩc vuơng lần lượt là 2x và cos x . Thể tích vật thể B bằng 3 3 3 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 6 Hướng dẫn giải Chọn C 3 3 3 3 Thể tích vật thể B là V x cos xdx xsin x 3 sin xdx xsin x 3 cos x 3 . 0 0 0 0 0 6 Câu 71. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x 0 x là một tam giác đều cạnh 2 sin x . A. V 3. B. V 3 . C. V 2 3 . D. V 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 3 2 sin x Diện tích tam giác đều S x 3 sin x . 4 Vậy thể tích V S x dx 3 sin xdx 2 3 . 0 0